DRGANIA POPRZECZNE UKŁADU DWÓCH BELEK POŁĄ CZONYCH ELEMENTEM SPRĘ Ż YSTYM

Transkrypt

1 MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 1, 12 (1974) DRGANIA POPRZECZNE UKŁADU DWÓCH BELEK POŁĄ CZONYCH ELEMENTEM SPRĘ Ż YSTYM ZBIGNIEW ONISZCZUK (KRAKÓW) W pracy rozpatrzono poprzeczne drgania ukł adu złoż onego z dwóch belek pryzmatycznych połą czonych elementem sprę ż ystym. Górna belka opatra jest koń cami na sztywnych podporach, dolna zaś jest podwieszona na pierwszej za pomocą sprę ż ystego elementu na całej długoś ci belki (rys. 1). wy Rys. 1. Model ukł adu drgają cego W przybliż eniu model ten odpowiada niektórym typom suwnic wzglę dnie mostów, ponieważ w takich konstrukcjach dość rzadko spotyka się przypadek, aby dź wigary noś ne miał y stałe przekroje poprzeczne, a takie zostały przyję te w modelu. Kratowe (lub inne) połą czenie dź wigarów został o zastą pione liniowym elementem sprę ż ystym. Dla tak zbudowanego modelu rozpatrzymy drgania swobodne belek oraz drgania wymuszone, wywołane harmonicznie zmiennymi siłami skupionymi, przemieszczają cymi się ze stałą, prę dkoś ci ą po belce dolnej. Pracę należy traktować jako wstę pny krok do szerszej analizy postawionego problemu. Analiza ta bę dzie przeprowadzona dla róż nych sposobów podparcia belki górnej i róż nych rodzajów obcią ż eń. 1. Drgania swobodne Przyjmujemy nastę pują ce założ enia: a) układ nie jest tłumiony, b) belki mają stałe przekroje poprzeczne i stał e momenty bezwładnoś ci.

2 72 Z. ONISZCZUK Oznaczenia: / cał kowita dł ugość belki, Fi,F2,Ji, J2 przekroje poprzeczne i momenty bezwładnoś ci belek, WL = Wi(x, i) przemieszczenie przekrojów górnej belki, w 2 = Wi(x, t) przemieszczenie przekrojów dolnej belki, x współrzę dna okreś lają ca położ enie danego przekroju, t czas, k współczynnik sprę ż ystośi elementu c sprę ż ystego, Q gę stość materiału belek, E moduł Younga, li rozstaw belek. Równania ruchu układu (rys. 1) mają nastę pują cą postać: (1) - wj) = 0, (2) Warunki brzegowe: (3) 8 2 w 2 8x 2 w tn *\. (0,0 - w t (/,t)- = 0, 8x 2 ri u, 8 2 w 8 3 w 2 8x 3 (0,0 (0,0 8 2 Wi 8x 2 ' 8x 3 = 0, = 0. Warunki począ tkowe: Wi(x, 0) _ f^x), \v 2 {x, 0) = f a (x), (4) dt dt (x,0) Układ równań (1), (2) sprowadzamy do postaci: (5). 3 2 w,,, (6) dt 2 Izie (7) EL k i - 1,2. Ukł ad równań (5), (6) rozwią zujemy metodą Fouriera, przewidują c rozwią zania w postaci: (8) w i (x,t)=x t (x)t«), im 1,2:

3 DRGANIA POPRZECZNE UKŁADU DWÓCH BELEK 73 Podstawiają c (8) do (5), (6) otrzymujemy b t b,x 2 T^ a\ afx[" a\ f~ >' b 3 X 1 T" X, a\ i 2 'a\ a\xxn 2 a\'. aff gdzie A*, A* oznaczają stale rozdzielenia zmiennych. Ostatecznie po rozdzieleniu równań mamy (9) 1 +a 1 A^l = u, i Ą - a 2 A 2 l u oraz a 2 Xi lv > + (b 1 - a 2 i Af)X i - b l X 2 = 0, (10) Funkcja czasu (cał ka ogólna równań (9)) ma postać (11) T = Ccoscot+Dsinwł, gdzie co = a t A 2 a 2 A"1 oznacza czę stość drgań własnych układu. Rozwią zań ukł adu równań (10) poszukujemy w postaci (12.) X x = A x e, X 2 = A 2 e. Po podstawieniu (12) do (10) i przyrównaniu do zera wyznacznika zbudowanego ze współczynników wystę pują cych przy stałych A t,a 2 otrzymujemy równanie ł2 «2 8 t r S-.2/L.2\ i rjlcu, *2\ T«4 i /"Ł, v2\ fl r v2\ Ł L A ^*1 "2' ' L"l\ ^2 O) ) ihoyoi Ct) 11/ ~r" l"l ^ J v^2 ^ y *^1 1 = = w» które z uwagi na oznaczenia (7) przyjmuje postać Jest to równanie kwadratowe wzglę dem r 4. A zatem (14) + F 4 Obydwa pierwiastki rf i r\ są dodatnie, jeż el i zachodzi nierówność Warunek (15) eliminuje z rozważ ań mało interesują cy przypadek drgań belek jako ciał sztywnych, połą czonych elementem sprę ż ystym, oraz przypadek, kiedy drgania belek nie są w ogóle moż liwe. Oznaczmy rt = k\, Ą - k\.

4 74 Z. ONISZCZUK Równanie charakterystyczne (13) ma osiem pierwiastków: (16) +k ± ; - kil +ih; - ikr, +k 2 ; - k 2 ; +ik 2 ; - ik 2, gdzie i = i/ - =T. Cał kami ogólnymi równań (10) są funkcje: X x = C 1 sh(k 1 x)+c 2 ch{k 1 x)+c 3 sm(k l x)+c 4.cos(k 1 x) + X 2 =» D 1 sh.(k 1 x)+d 2 ch(k 1 x)+d 3 sm(k 1 x)+d Ą cos(k i x) + +D 5 sh(k 2 x)+d 6 ch(k 2 x)+d 7 sm(k 2 x)+d 8 cos(k 2 x), gdzie stałe C u A Q 1, 2,..., 8) są zwią zane zależ noś ciami wynikają cymi z równań (10): (18) ki j k ^ F ) k a i /? są liczbami rzeczywistymi. Mamy wię c tylko osiem dowolnych stał ych rzeczywistych. Stałe wyznaczamy wykorzystują c warunki brzegowe (3). Otrzymujemy jednorodny ukł ad oś miu równań algebraicznych: C 2 + C 4 + C 6 + C 8 = 0, ki C 2 /Ci C4 + K 2 C-6 k 2 Cg = 0, ocfcf Ci- ofcf C 3 + j5* C5- /?* C 7-0, Cishz x + C 2 chz 1 + C 3 sin2r C 5 shz 2 + C 6 chz 2 + C 7 sinz 2 + C 8 cosz 2 = 0, k\c 2 chz x k\c^va- Z 1 k\cą.cosz x + + fclc k 2 C 6 ch.z 2 fcic 7 sinz 2 ~ fc2c 8 cosz 2 = 0, 5 s afci C x shz x + afcj C 2 chz x afc C 3 sinzj +PklC s shz 2 +pklc 6 chz 3 - pklc 1 shiz i - pklc a cosz2 = O, + ^ C 5 chz 2 + /?jfclc 6 shz 2 - i3aric7cosz 2 + / 9A: C 8 smz 2 = 0. Warunkiem istnienia niezerowych rozwią zań tego układu jest zerowanie się wyznacznika utworzonego ze współ czynników wystę pują cych przy poszukiwanych stał ych: rf 2 shz 1 sinz l (l chz 2 cosz 2 ) shz 2 sinz 2 (l chz 1 cosz 1 ) + (21) + Jchz 2 [(shzj sinzj) (shz 2 cosz 2 chz 2 sinz 2 ) (shz 2 sinz 2 )(shz 1 cosz 1 - chz 1 sinz 1 )] == 0, gdzie Xi- kj, z 2 = k 2 l, d=^±.

5 DRGANIA POPRZECZNE UKŁ ADU DWÓCH BELEK 75 Z powyż szego równania otrzymamy ciąg rozwią zań na czę stośi cdrgań wł asnych ca (k L, k 2 są funkcjami co). Z wyraż enia (14) obliczymy cią gi wartoś ci dla k ln,k 2n. Z ukł adu równań (19), (20) dla okreś lonej czę stośi c m wyznaczamy stał e C, (/ = 1, 2,..., 8) w funkcji jednej ze stał ych, np. C 7 : C ln = R C-! -, C211 = Cł u ~^6n ~(- >6n G C 7, C 3 = N C- j, C 5n = K Cj, gdzie współ czynniki R n, G, N, K są stał e dla okreś lonej czę stośi c w n { 1 ). Ostatecznie mamy nastę pująe c postacie drgań gł ównych (17) dla okreś lonej czę stośi c X in = % = C{a([R + [K n sh(k 2n x) +s'm(k 2n x)] - G [ch{k 2n x) +cos(k 2n x)]}, +P ([K n sh(k 2 «x)+sin(k 2n x)]- G [ch.(k 2n x)+cos(k 2n x)])}, gdzie wolno przyjąć C 7 = 1. Rozwią zania (8) rozpatrywanego problemu wyraż ają się nastę pują cymi szeregami:, 0 = Xm(x)T (t) = 2J (A,,cosco t+b siaa> t) x (23) sh(k ln x) + N sin(k ln x)] + G [ch(k ln x) +cos(k v,x)] + + [K n sh(k 2n x)+sin k 2n x)] - G [ch(fc 2n x)+cos(k 2n x)]}, W 2 (X,t) = Z X 2,,(x)T n (t) = 5J ( A n COSm» t+jb n sina> "0 X n = l n= l x {a ([R n sh.(k in x) + N sin(fc ln x)] + G [ch(k u,x) + cos(fc ln x)]) + + ^ ( [K sh(ar 2n x)+ sin(a: 2n x)] G n [ch(k 2n x)+cos(fc 2n x)])}, gdzie stał e A, B n wyznaczamy z warunków począ tkowych wykorzystując warunek ortogonalnoś ci postaci drgań gł ównych, który w tym przypadku ma postać (24) ${F,X xi X yj +F 2 X 2l X 2j ]dx = Q dla o Z warunków począ tkowych (4) mamy: n= l ( l ) Zgodnie z zasadami rozwią zywania ukł adów równań jednorodnych należ ał oby sprawdzić z ilu rozwią zań liniowo niezależ nych skł ada się podstawowy ukł ad rozwią zań.

6 76 Z. ONISZCZUK Po odpowiednich przekształ ceniach otrzymujemy wyraż enia na poszukiwane stał e: / [F 1 f i (x)x 1 +F 2 f 2 (x)x 2n )dx (25), Podsumowanie 1. W rozpatrzonym problemie drgań belek moż emy doszukać się pewnej analogi z drganiami dwóch mas poł ą czonych wię zią sprę ż ystą. Abstrahując od tego, że górna belka jest podparta (co zresztą nie jest konieczne, gdyż rozważ ania nasze przeprowadzimy w oparciu o wzory ogólne, w których warunki brzegowe jeszcze nie ingerują ), ukł ad o 2n(n -» oo) stopniach swobody moż emy sprowadzić do ukł adu o 2 stopniach swobody zakł adają, cże sztywność obu belek wzrasta nieskoń czenie. Jeż el i EJ l, EJ 2 -» oo, to musi być r\ n<2n ~k\ t2n = 0. Wtedy z (14) wynika więc Of co 2 = O oraz OJ 2 = Przyjmują c, że x = kl oznacza cał kowitą sztywność elementu sprę ż ystego, = QF X I, m 2 = QF 2 1 masy belek, otrzymujemy m 1 nt 2 Wyraż enie to okreś la czę stość drgań dwóch mas poł ą czonych jednym elementem spręż ystym. Warunek (15) eliminuje ten mało interesują cy przypadek drgań belek jako prętów nieskoń czenie sztywnych. 2. Na podstawie (14), (15) i (18) moż na wykazać, że gdzie 1 1 4fe 2 Wynika z tego, że skł adowe wychyleń postaci drgań X ln,x 2n przyporzą dkowane współ czynnikom k ln mają kierunek zgodny, natomiast przyporzą dkowane współ czynnikom k 2n kierunek przeciwny.

7 DRGANIA POPRZECZNE UKŁADU DWÓCH BELEK 77 Jeż el i przejdziemy teraz do układu o dwóch stopniach swobody, to otrzymamy _ R _ ^ _ «i t 2 m 2 co rzeczywiś cie ma miejsce. O pełnej analogii ukł adu składają cego się z dwóch belek i ukł adu dwumasowego moż na jednak mówić dopiero w przypadku, gdy górna belka nie jest podparta. 3. Z wyraż enia (14) wynika, że gdy sztywność górnej belki EĄ ~* oo, wtedy dolna belka drga jak belka na sprę ż ystym podłożu z czę stoś ciami EJ 2 k$ +k 4. Na zakoń czenie warto podkreś lić, że w oparciu o przedstawiony sposób rozwią zania znalezienie swobodnych drgań belek przy róż nych typach podparcia zarówno górnej, jak i dolnej belki nie przedstawia trudnoś ci. 2. Drgania wymuszone 2.1. Ogólny przypadek drgań wymuszonych. Przejdziemy obecnie do wyznaczenia wymuszonych drgań belek, wywołanych obcią ż eniami dowolnymi, przyłoż onymi na górnej i dolnej belce (rys. 2); 1 HM m y x II w \ Wx,t) TrTTrrr - JL Rys. 2 A(x, t), f 2 (x, i) oznaczają obcią ż eni a w odpowiednich punktach górnej i dolnej belki. Ruch układu drgają cego (rys. 2) opisują równania: (26) i u- wr)"mx, t), (27) li- w I ) =f 2 {x,t). Peł ne rozwią zania tego układu równań są nastę pują ce: (28) WtmWt + Wi, W n = gdzie w t, w 2 oznaczają drgania swobodne belek, a.w x iw 2 drgania wymuszone. 6 Mechanika Teoretyczna

8 78 Z. ONISZCZUK Wobec tego funkcje W x, W 2 muszą speł niać równania (29) E (30) E J ^^ + ^^W~ +k< < w *~ W ^ - /»C*. 0. z warunkami brzegowymi typu (3) oraz nastę pują cymi warunkami począ tkowymi : (31) 8 W = o. Do znalezienia rozwią zańpowyż szego ukł adu równań posł uż ymy się metodą rozkł adu w/ g postaci drgań wł asnych. Szukane funkcje przedstawiamy w postaci szeregów: (32) W t {x, 0 = 2/ S»(04W, i = 1,2, «= 1 00 gdzie (0 oznacza nieznaną funkcję czasu, X ln (x), (znane). Podstawiając (32) do (29) i (30) otrzymujemy X 2 (x) postacie drgań wł asnych (33) 2 [EJ^X^+QF.SL'X^- ks^x^- X^)]= A(x, t), (34) ^ [^S n X2F+QF 2 S' n 'X 2n +ks (X 2n - X ln )] = /,(*, 0 n = l Równanie (33) mnoż ymy przez X lk, (34) zaś przez X 2 \. Po zsumowaniu tych równań mamy co (35) [E(Ą lk XXi > +J 2 X 2k X^)S +Q(F 1 X lll X 1 +F 2 X 2k X 2 )S' K ' ( 30) Wiemy, że funkcje X ln,x 2 speł niają równania (10) E + fc(z 2t - x lt )(z 2n - x ln )s n ] =Mx, t)x 11c +f 2 {x, t)x 2k. <8 lb +k(x 2n - X ln ), Z równań (36) moż na otrzymać nastę pująą c zależ noś: ć

9 DRGANIA POPRZECZNE UKŁ ADU DWÓCH BELEK 79 którą wprowadzamy do wyraż enia (35). Uzyskane w ten sposób równanie e {F,x lk x ln +F 1 x 2k x 2n ) [s;; + m 2n s n ] - A(x, t)x lk +f 2 (x, t)x 2k n= l cał kujemy obustronnie po dł ugoś i c belki. Przyjmując teraz k = n i biorąc pod uwagę warunek ortogonalnoś ci (24), otrzymujemy równanie róż niczkowe zwyczajne na poszukiwaną funkcję czasu (37) SX+a>*S n =jh n (f), gdzie / [fi(x, t)x ln (x)+f 2 (x, t)x 2 (x))dx (38) H n (t) - ; / (F.Xl+F^ Ddx o Rozwią zanie równania (37) przy warunkach począ tkowych (31) ma postać (39) S (0 = f tf (T)sinK(ć - r)]dz. t Zatem drgania wymuszone belek wyraż aj ą się nastę pują cymi wzorami: (40) Wx(x, t) = 2J x^s n - 2J - ^- X I»J Hn(^m[co n (t- r)]dr, CO CO t W 2 (x, 0 = 2J X2 " S " = / - ^. I H (T)ń n[w n (t- x)]dr. Cał kowite drgania belek mają postać Wl = (41) n= l f H n (r)sin[m n (t- T)]dr\. Qa>> 0 6*

10 80 Z. ONISZCZUK 2.2. Drgania poprzeczne przy obcią ż eni u skupionymi siłami harmonicznymi przemieszczają cymi się ze stałą prę dkoś cią Tp o dolnej belce. Wyprowadzone wzory ogólne (38), (39), (40) wykorzystamy teraz do znalezienia drgań belek w przypadku sił przemieszczają cych się (rys. 3). Oznaczenia: P x = Pxsincot, P n = P 2 ń nmt oznaczają siły wymuszają ce,». czę stość wymuszenia, a ustaloną odległ ość mię dzy sił ami, c stał ą prę dkość przemieszczania się sił (kierunek jej oznaczony jest na rys. 3). (42) Rys. 3 Zakł adamy, że w chwili t = 0 położ enie sił jest takie jak na rys. 3. Rozpoczniemy od ^obliczenia funkcji (38), która w tym przypadku ma postać: z JMx,t)X 2n dx H«(t) = j [F.Xl Mianownik tego wyraż enia po wprowadzeniu X ln, X 2 z (22) daje: +G [R n sh 2 Z ln +N n sin 2 Z ln + (N n +R ) shz ln sinz lb + (i? ~N n ) chz ln cos Z ln ] ~ I(JC,- 1)G + ~ k 2 \ " " 4 - G [K n sh 2 Z 2n +sin 2 Z 2 +(K + l)shz 2 sinz 2n + (K n - l)chz 2n cosz 2n ] ~ 2c 3/ 1 ln K n +k 2n R n )shz ln shz 2n lnr +k 2n K n )chz ln chz 2n + (k ln +k 2n N )smz ln smz 2n

11 DRGANIA POPRZECZNE UKŁADU DWÓCH BELEK 81 + (k ln K n R +k 2n Gl)chZ ln shz 2 - (k ln Gi~k 2n N n )smz ln cosz 2n - - (k ln N n - k 2n Gt)cosZ ln smz 2n } + - (k ln R n +k 2n )chz ln cosz 2n }- (k ln GZ+k 2n R n )shz ln cosz 2 + R n +k 2n Gt)chZ ln smz 2n + (k ln G*- k 2n K n N n )smz ln chz 2n - - (k ln K N +k 2n G 2 B )cosz ln shz GA(k ln K - k 2 N n )sinz Sn shz 2n + (k ln N +k gdzie c ln = F l +a 2 nf 2, Z ln =k ln l, c 3n = J W liczniku wyraż enia (42) otrzymujemy nastę pują cą funkcję czasu: gdzie L {t) = Jf 2 (x,t)x 2n dx = smaitf {P^dlxo o = [QinSh(k ln ct)+q 2n ch(k ln ct)+q 3n sm(k ln c +Q s sh(k 2n ct)+q 6 ch(k 2n ct)+q ln sm(k 2n ct)+q B cos(k 2tt ct)]sm(ot, fo dla x ^ et, fo; x ^ a+c, W- *'[l dla x ^ < + ^ { U i Q ln = +a [R (P 1 +P 2 ch Qc lh a Q 2 = +a [G n (P 1 +P 2 ch Qzn - Q*» = (k ln a))+r n P 2 sh(k ln a)], +<x [N (P 1 +P 2 cos(k ln a))- G n P 2 sm(k ln a)], +a [G (P 1 +P 2 cos(k ln a))+n P 2 sin(k ln a)], Qsn = +p [K n (P 1 + P 2 ch h (k 2n a))- G n P 2 sh(k 2n a)], (k 2n a))- K P 2 sh(k 2n a)], Qan= - ^ {Pi+P^osQc^a))- P 2 sm(k 2n a)]. Ostatecznie H {t) = L (t)/ M. Wprowadzają c to wyraż enie do wzoru (39) mamy (43) ^ - ^

12 82 ' Z.ONISZCZUK gdzie. (44) V n = u v n, u = m ln m 2n m 3n m An, v = n ln n 2n n 3 n 4n, m ln - (fc ln c) 2 - (eo+ a> ) 2, n lb - (k 2n c) 2 - (<o+(o n ) 2, >» 2n - (fc ln c) 2 - (<w- co ) 2, n 2n = (k 2n c) 2 - (a>- (o n ) 2, n 3n = (fc 2n c w 6n = (fc lb c) 2 - (co 2 - a>l), n 6n = (fc 2n c) 2 - (co 2 - ca 2 ), U (t) = sia(ot{v [m ln m 2 m 6 (Q in sh(k ln ct)+q 2 ch(k ln ct))- - m 3n m 4n m Stt (Q 3n sm(k ln ct)- Q4 n cos(k u,ct))]+u n [n in n 2n n 6n (Q 5n sh(k2 n ct) + h(k 2n et)) - n 3n n An n 5n (Q 7 sin(ar 2/1 et) - Q 8n cos(k 2l, et))]} - ~2mcoscot{(k ln c)v n [m in m 2n (Q ln ch(k ln ct)+q 2n sh(k in ct)) + (Q cos(k ci)- Q m\{k et))] + (k n 3n ln An ln 2n c)u [n ln n 2 (Q s ch(k 2 ct) + +Q 6n sh(k 2a ct)) +n 3 n 4 (Q 7 cos(k 2n ct)- Q Sn sm(k 2n ct))]} + Drgania wymuszone belek wywoł ane sił ami przemieszczają cymi się mają postać (46) OO 00 Wi(*. O - 2jXi*(x)S n (t) - ]? - ~Y W 2 (x, t) = X ln (x)u n (t), Podsumowanie 1. Rozwią zania drgań wymuszonych (46) składają się, jak to wynika z funkcji czasu (45), z dwóch czę ś ci : a) czystych drgań wymuszonych (zawierają człony sina>< i coscoć ), b) drgań swobodnych (zawierają człony sinco ż i cosa> f)> które powstają w chwili przyłoż enia sił zewnę trznych. Należy je odróż nić od drgań swobodnych, które wynikają z odpowiednich warunków począ tkowych. Jest rzeczą oczywistą, że wzory (46) są słuszne dopóki et < (l d), to znaczy dopóki zachodzi ruch obcią ż enia. W momencie gdy t = (l d), obcią ż eni e zostaje zdję te i pozoc staną tylko drgania swobodne.

13 DRGANIA POPRZECZNE UKŁADU DWÓCH BELEK Zjawisko rezonansu może wystą pić dla każ dego składnika sum (46) przy okreś lonych wartoś ciach prę dkoś i cprzemieszczania się sił wymuszają cych. Wynika to z wyraż enia (44). Przyrównują c V do zera otrzymujemy cztery prę dkoś i c rezonansowe przy ustalonej czę stoś i cwymuszenia co 0)+C0 \CO (O \ CO+CO n (M O) c \ n T. > C 2n T, C 3n r, CĄ -, " In "in K- 2n K- ln z których podstawową prę dkoś ci ą rezonansową jest c 2n. Podobnie moż emy mówić o czterech czę stoś ciach rezonansowych (przy ustalonej prę dkoś ci ) wynikają cych bezpoś rednio z tych zależ noś. ciprzypadek co = co nie prowadź do rezonansu, chyba że c = 0 lub gdy sama prę dkość jest już rezonansowa. Literatura cytowana w tekś cie 1. S. D. PONOMARIEW, Współ czesne metody obliczeń wytrzymał oś ciowychw budowie maszyn, PWN, Warszawa S. ZIEMBA, Analiza drgań,pwn, Warszawa A. II. <t>hjinnnobj Kojiefimun defiopmupyemux cucmem «ManiHHocTpoeHHe», MocKBa E. F. FOJIOCKOKOB, A. n. OmiHimoBj HecmaifuoHapHue Ko/ te6amih Mexamteaaix cucmem, «HayKOBa flymka», KHKB S. KALISKI, Drgania i fale w ciał ach stał ych, PWN, Warszawa P e 3 io M e nonepe^ihbie KOJIEBAHKLa CHCTEMŁI ^BYX EAJIOK, CBH3AHHBIX ynpyrhm SJIEMEHTOM B pa6ote paccmatphbaiotca nonepe^hbie KoneSanHH CHCTeiww, cowohmeft H3 flbyx npmmatmieckhx 6ajiOK 3 CBfloaHHtix ynpyrhm 3JieMeHT0M. Bepxasm 6ain<a onnpaetca KOHiiama Ha JKSCTKHX onopax. noflbeuieha Ha nepboft n o Bceń fljihhe 6ajn«i n p n noiwomn yn pyroro sneiwehta. AHajiH3Hpo- CHCTeMa HBJIHCTCH HeKOTopoit ynpomehhoii MOAeJttio KpaHa ww. Mocra. B pa6ote nphbeflehm flhcjxfiepehqhajibhbie ypabhehhh flbh>kehhh CHcreMbi, a TaKHce HaftfleHbi pecbo6oflhbix Kone6aHHft H BbiHy>KfleHHbix KOJieSaHHft nph fleiictbhh rapiwohhieckhx CHJI, HBH- >KymHXCH C noctohhhoft CKOpOCTbIO n o HH5KHCH GaJIKe. Summary TRANSVERSAL VIBRATION OF TH E SYSTEM OF TWO BEAMS CONNECTED BY MEANS OF AN ELASTIC ELEMENT In this paper is discussed the transversal vibration of the system of two beams connected by means of an elastic element. The top beam's ends are supported on rigid supports. The lower beam is suspended by means of an elastic element on the first one. This system represents a certain simplified model of a gantry or a bridge. There are considered the free vibrations of the beams and forced vibrations caused by harmonic forces which move with a constant velocity on the lower beam. POLITECHNIKA KRAKOWSKA Praca została złoż onaw Redakcji dnia 27 sierpnia 1973 r.