DRGANIA UKŁADU Z NIESYMETRYCZNĄ CHARAKTERYSTYKĄ SPRĘ Ż YSTOŚI CPRZY PARAMETRYCZNYCH I ZEWNĘ TRZNYM WYMUSZENIU. 1. Wstę p

Transkrypt

1 MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 2, 23 (1985) DRGANIA UKŁADU Z NIESYMETRYCZNĄ CHARAKTERYSTYKĄ SPRĘ Ż YSTOŚI CPRZY PARAMETRYCZNYCH I ZEWNĘ TRZNYM WYMUSZENIU KAZIMIERZ SZABELSKI WALDEMAR SAMODULSKI Politechnika Lubelska 1. Wstę p Przeprowadź my badania analityczne drgań układu należ ą cego do takiej klasy nieliniowych układów mechanicznych, które zawierają elementy o charakterystykach sprę ż -y stoś ci typu kwadratowego. Przyjmijmy ponadto, że układ charakteryzuje się również okresowo zmienną sztywnoś cią, poddany jest dział aniu kinematycznego wymuszenia zewnę trznego oraz przedstawić go moż na w postaci dwumasowego modelu pł askiego z liniowym tł umieniem (rys. la). Q) Rys. 1 Rys. lb przykł adowo ilustruje model fizyczny takiego ukł adu w przypadku pionowych drgań ogumionego pojazdu. W przypadku tym masa uresorowana M połą czona jest z masą nieresorowaną elementem pneumatycznym (ł) o charakterystyce sprę ż ystośi cw postaci funkcji drugiego stopnia [6] oraz amortyzatorem (2) którego charakterystykę aproksymowano funkcją liniową. Element sprę ż yst y (3) przedstawia koł o którego sztywność promieniowa ogumienia na obwodzie zewnę trznego zarysu opony jest zmienna na skutek niejednorodnoś ci jej budowy powstałej w trakcie procesu technologicznego [5], [7]. Zmianę

2 224 K. SZABELSKI, W. SAMODULSKI tej sztywnoś ci wokół pewnej wartoś ci ś redniej aproksymujemy funkcją harmoniczną w postaci dwóch fal [7]. Ze wzglę du na adekwatność modelu z pewnym przybliż eniem wynikają cym mię dzy innymi z założ enia.słabego sprzę ż eni a drgań tylnej i przedniej osi samochodu moż emy traktować go jako odpowiadają cy układowi przedniego lub tylnego zawieszenia pojazdu. W dalszych rozważ aniach skoncentrujemy się na analizie drgań tego typu ukł adów (rys. la) 2. Matematyczny model drgań Ukł ad równań róż niczkowych ruchu przyjmuje postać Mz\+h(ż 1 - ż 2 )+k(z 1 - ZaH&ifo- z 2 f - 0 mż 2 - h(ż 1 - ż 2 )- k(z 1 - z 2 )- k 1 (z 1 - z 2 ) 2 = c(t)[q(t)- z 2 ] gdzie: Zi i *2 współrzę dne uogólnione, k 1 k 1 współczynniki sztywnoś ci, h współ czynnik tł umienia, c(t) zmienny współ czynnik sztywnoś ci elementu (3), q(t) funkcja przemieszczenia. Przyjmijmy okresowo zmienną sztywność elementu (3) w postaci c{t) = c 1 - c o cos2art oraz q{t) = q 0 COS{Qt- q>), gdzie: Ci ś rednia wartość współczynnika sztywnoś ci, c 0 amplituda modulacji sztywnoś ci, co czę stość kołowa wymuszenia parametrycznego, Q czę stość kołowa wymuszenia zewnę trznego, <p ką t przesunię cia fazowego. Wprowadzają c oznaczenia q 0 cosq> = nqi', q o smq> = (ipx oraz pomijają c niektóre wyrazy ze wzglę du na realne założ enie, że amplituda modulacji sztywnoś ci jest znacznie mniejsza od podwojonej ś redniej wartoś ci współ czynnika sztywnoś ci c 0 < 2ci otrzymujemy ukł ad nieliniowych równań róż niczkowych z których jedno jest równaniem niejednorodnym i zawiera okresowo zmienny współ czynnik Mz\+{ih l (ż 1 - Ż 2)+k(z l- z 2 ) + fixk(z i z 1 ) 2 = 0 mz 2 - / nhi (żx - ż 2 ) - k(z x z 2 ) - (Mxkizx- z 2 ) 2 + (2)

3 DRGANIA UKŁADU 225 Podstawiają c do ukł adu równań (2) /* = 0 otrzymujemy Przyjmują c rozwią zania równań (3) w postaci - Zj) = 0, mz 2 k(z 1 - z 2 ) + c 1 z 2 = 0. ' ' Zj. = acospt z 2 = bcospt znajdujemy przy zał oż eniu, że a i b są róż ne od zera kwadraty czę stoś i c kołowych drgań wł asnych ukł adu liniowego w postaci Zakładają c mał e tłumienie [4], wprowadź my współrzę dne quasi- normalne dla których przy fi 0 nastą pi rozprzę ż eni e układu równań róż niczkowych. W tym celu dokonajmy liniowej transformacji współ rzę dnych w postaci gdzie: Wprowadzają c czas bezwymiarowy myi _. my 2 M(y x y) ' M(y t y 2 ) ' _ k- Mpj t k r = (ot _ k- Mpl k oraz wykorzystują c zależ ność (5), z równań (2) otrzymujemy i(yi y 2 )cos2t + Q t X\ COS,QT+ P t X\ Ay i Ą X\ ^ ( l y 2 2 ytf ^ Pi I L \ Pi I Pi gdzie: mp\ ' r i ~ mpl o Q

4 226 K. SZABELSKI, W. SAMODULSKI oraz Mp 2 hi. mp\ AY drugim przypadku gdy A 2 = - - znajdujemy P2I \ Pi ial/ / ^j ^-j sini3t i - yi) cos 2T+ g 2 3. Metoda rozwią zań W badaniach drgań parametrycznych układów nieliniowych z symetrycznymi charakterystykami sprę ż ystośi czazwyczaj stosuje się metodę bilansu harmonicznych [2], [3]. Rozwią ż my układu równań (6) i (7) w oparciu o perturbacyjną metodę małego parametru [1]. Dzię ki temu wyznaczymy poszukiwane wielkoś ci, rozwią zując układ rekurencyjnych równań róż niczkowych liniowych. Zbadajmy drgania ukł adu odpowiadają ce gł ównym rezonansom parametrycznym. W celu znalezienia rozwią zań okresowych układów równań (6), (7) przedstawmy y 1 (r) i y 2 ( T ) w postaci szeregów potę gowych wyraż onych w funkcji mał ego parametru gdzie y[ iy, yi l) (i = 0, 1,2...) są funkcjami okresowymi. Rozwią zania okresowe równań (6) moż liwe są dla pewnych wartoś ci parametru X\, który również przedstawimy w postaci szeregu potę gowego.gdzie a t (i = 1,2...) są stałymi współczynnikami, które wyznaczymy z warunku okresowoś ci unikają c w rozwią zaniach wyrazów sekularnych. W przypadku ukł adu równań (7) parametr X\ wyrazimy w postaci ) 2 = l+ 0«1 + fł a (10)

5 DRGANIA UKŁ ADU 227 Podstawiając szeregi (8) i (9) oraz (8) i (10) odpowiednio do równań (6) i (7) oraz wprowadzając oznaczenia Pi po przyrównaniu do zera czł onów przy / J, 1 otrzymujemy ukł ady rekurencyjnych równań róż niczkowych liniowych. W celu uniknię cia rezonansów wewnę trznych, wył ą czmy przypadek szczególny gdy v - =- -jest liczbą cał kowitą. Pi P2 4. Analiza drgań okresowych ukł adu bez wymuszenia zewnę trznego Rozpatrzmy drgania okresowe ukł adu opisane równaniami (6) i (7) w przypadku gdy Pi = Qi = P 2 = Qz 0- Oznacza to, że na ukł ad nie dział a wymuszenie zewnę trzne. Na przykł adzie modelu przedstawionego na rys. lb równoważ ne jest to z zał oż eniem, że ogumione koł o toczy się po idealnie równej nawierzchni. Rozpatrując ukł ad równań (6) zbadajmy drgania okresowe dla których zgodnie z (9) przy [i = 0 czę stość at jest równa pierwszej czę stośi c drgań wł asnych j? x. Przyjmując y( ) = 0 otrzymujemy (11) (12) (14) 0) Zał oż eni e trywialnego rozwią zania y 2 *= 0 wynika z równania yp+v% - 0, Przy wcześ niejszym zał oż eniu, że obie czę stośi cdrgań wł asnych fi,p 2 są niewspół mierne 0) (v nie jest liczbą cał kowitą,) gdyby y 2 ^ 0, współ rzę dna nierezonansowa" y 2 (r) nie zmieniał aby się z taką samą czę stoś ą ci jak współ rzę dna rezonansowa" yi(r). W takich przypadkach rozwią zanie niezaburzone J>2 O) ( T ) stanowił oby czł on zakł ócają cy okresowość funkcji y 2 (r) a tym samym z uwagi na równania (5) również drgań opisanych przez współ rzę dne uogólnione.

6 228 K. SZABELSKI, W. SAMODULSKI Podstawiają c do równania (12) / i 0) = z warunków okresowoś ci rozwią zań otrzymujemy ską d przy a x *fc 0 i b t Ą= 0 znajdziemy fej = 0, gdzie Po przekształ ceniach równanie (12) przyjmuje postać Rozwią zaniem szczególnym tego równania jest funkcja z o ^xmeiai6 1 sin2t r 3 M i 6 i 2 lo ( natomiast równania (14) funkcja (17) i j cos T + ł- / 1, sinr 2TxAfe xafe 2 : fl 1 l> fll>sin2r+ 1 T T QT 9 ) 2 Podstawiają c zależ nośi c(17) i (18) do (15) z warunku zapewnienia rozwią zań okresowych otrzymujemy - ^ia 1 + i- (a )fl 1 + yfl 1^

7 DRGANIA UKŁADU f oraz ~- <?! e ac o + ( 1 Z powyż szych zależ nośi c znajdujemy Podstawiają c znalezione wyraż enia do (9) otrzymujemy 1_ 2 2 x 32 ei #W = i+ ^^^f- ^Jgl + a 2/ « AJW = l- y^l/ ej- 4ó?eI + a 2/ a (20) Zbadajmy nastę pnie drgania okresowe opisane ukł adem równań (7). W tym celu w równaniach tych wykorzystajmy szeregi (8) i (9) przy uwzglę dnieniu rozwinię cia Po przyrównaniu do zera poszczególnych wyrazów wystę pują cych przy fi l (i = 0, 1, 2,...) oraz analogicznym jak dla ukł adu równań (6) założ eniu y[ 0) = 0 wynikają cym z równania otrzymujemy y[o>+vly[ > = 0 J (21) (22)

8 230 K. SZABELSKI, W. SAMODULSKI - 0 (23) (24) Postę pując analogicznie jak w przypadku poprzednim znajdujemy a lj2 = ± ~Y ]'Q 2 4o 2 s 1 (26) 2 I c I xmsla 2 b 2 sm2t ó i i a 2 sin T- s73- i Tr («2-62)cos2T + (28) oraz ^- r %Me\a 2 b 2 %m2r (29) vf 1 (v? 1)^2 2(vi lk^i 9) Powyż sze zależ nośi cwykorzystujemy w równaniach l 32 (30) 2 5. Analiza drgań okresowych ukł adu z wymuszeniem zewnę trznym Zbadajmy drgania ukł adu z parametrycznym oraz jednoczesnym zewnę trznym wymuszeniem drgań. W dalszych rozważ aniach ograniczymy się do takich przypadków, dla których czę stość wzbudzenia parametrycznego jest równa czę stośi cwymuszenia zewnę trznego (co = Q). Zał oż eni e to zasadniczo rzutuje na rozważ ane rozwią zania. Podstawowa

9 DRGANIA UKŁADU 231 bowiem czę stość drgań parametrycznych rozpatrywanego układu bez wymuszenia zewnę trznego w przypadkach rezonansów gł ównych jest równa co. Jeś li rozpatrujemy drgania układu z ogumionym kołem (rys. lb), to ze wzglę du na zwią zki v ^ 2nv co = -; U - gdzie: v prę dkość jazdy, R promień koł a, / dł ugość fali nierównoś ci drogi; założ enie co = Q, odpowiada jeź dzie, po drodze której długość fali nierównoś ci okreś la zależ ność = 0, otrzy- Podstawiają c szeregi (8) i (9) do układu równań (6) przy założ eniu y l y 2 mujemy = y 2 0) (31) sinr, (32) (33) (34) +v 2 Q 2 oos %+v 2 Pi ^ 2 ) (35) Podstawiają c do równania (32) po przekształceniach znajdujemy Z powyż szych równań dla przypadku P t = <2i co odpowiada przyję ciu w funkcji przemieszczenia q(t) wartoś ci ką ta przesunię cia fazowego q> = n/ 4 oraz A t i= 0 otrzymujemy = ± (36)

10 232 K. SŻ ABELSKI, W. SAMODULSKI Rozwią zaniem szczególnym równania (32) jest funkcja natomiast równania (34) #> xmą Al+ xm j (37) 2 xmą x a b x sin2t- - - Pj^ COS3T+ &! sin3r) 5 16 v i i \ * + - ^n~ T ft w i + d 2 e 2 b x +vq 2 cos T + V i \ / / xme\v 2, P2V 2 * (ffef) (38) Wykorzystując zależ noś : ci Qt po przekształ ceniach znajdujemy (?1 x A\ ^y A\ 7 Podstawiając szeregi (8) i (10) do ukł adu równań (7) przy y^ m y[ 0) = 0 otrzymujemy o - - ^xm e f^2 ) 3 o - ó l lvi ; 2 ) +V1Q1 cos T+ v\ P t sin T

11 DRGANIA UKŁ ADU 233 (41) + oc x vjqi cos t+a t v\ Py sin r (42) + g 2 cos T+ P 2 SUIT (43) (44) Postę pując analogicznie jak w przypadku poprzednim przy zał oż eniu, że P 2 = >2 znajdujemy ^ j / ^ 2 2 l ) + ^- (45) y^m M! + - ^%M^(^- Z> 2 2)cos2r + Wykorzystując zależ nośic ^- % M e \ a 2 b 2 sin 2T+ - r- g 2 (a 2 cos 3 T+ b 2 sin 3 T) 3 lo al- bl= (46) otrzymujemy również a 2 b 2 = [Ql+Pl- 2(a i,q 2 a 2 + a l P 2 b 2 + d 2 e 1 Q 2 b Mech. Teoret. i Stos. 2/ 83

12 234 K. SZABELSKI, W. SAMODULSKI [~ b 2 - a 2, 32 dane: 6. Przykład liczbowy i badania analogowe Badania analityczne zilustrowano przykładem liczbowym przyjmują c [ Ns 1 ~m~ ' m = 100 [kg], d = [N/ m], MX = 0,4 [l/ m],?0 = 0,01 [m]. Na podstawie (4) obliczono P l - 14,3182 [l/ s], ^2 = 46,8507 [l/ s] nastę pują ce Wykorzystują c wyniki analityczne oraz zależ nośi c (5) sporzą dzono wykresy amplitud A 1^, A 2^, / 4\ 2) 2), A 2 odpowiadają ce współrzę dnym z% i z 2 oraz wartoś ci bezwzglę dnych przemieszczeń ś rodków drgań \X Zi \ i Z Z J obu mas w przypadkach braku i wystę powaniu wymuszenia zewnę trznego. Wielkoś ci te przedstawiono w funkcji rozstrojenia czę stoś ic wymuszenia parametrycznego a zgodnie z zależ noś ąci i) 1 W celu sprawdzenia poprawnoś ci badań analitycznych przeprowadzono badania analogowe na maszynie MEDA 43H. Badaniom analogowym poddano układy równań róż niczkowych wyraż onych we współrzę dnych uogólnionych z t i z 2, przy automatycznej zmianie co czę stoś i cwymuszenia parametrycznego. Pisak rejestrował graniczne wartoś ci wychyleń kreś ląc obwiednię amplitud. W celu okreś lenia przedział ów dwuznacznoś ci rozwią zań rejestrację analogową przeprowadzono przy zwię kszaniu, a nastę pnie zmniejszaniu wartoś ci w. Z tego też wzglę du symulacja analogowa speł nił a również rolę badań statecznoś ci rozwią zań. Wyniki badań analogowych przedstawiono łą cznie z wynikami badań analitycznych, nanoszą c na osiach odcię tych wartoś ci co oraz odpowiadają cych im wartoś ci rozstrojenia czę stoś i c a. Na rysunkach przedstawiają cych wykresy amplitud w funkcji czę stoś ci, literami a" oznaczono krzywe odpowiadają ce amplitudom drgań układu bez wymuszenia zewnę trznego, natomiast literami i" krzywe dotyczą ce amplitud drgań układu z wymuszeniem

13 krzywa teoretyczna krzywa analogowa , Rys krzywa teoretyczna krzywa analogowa 0,076-0,064 Rys. 3 krzywa teoretyczna krzywa analogowa krzywa teoretyczna krzywa analogowa , 0.02 ^25 14,00 14,20 [ Rys. 4 Rys. 5 U.30 aih/s] 14,50 5* [235]

14 0,75 krzywa teoretyczna krzywa analogowa 0,60-0, ,084 0,037 0 a uli/sl Rys. 6-0,047-0,086 48,00 49, krzywa teoretyczna krzywa analogowa 45,0 46,0 46,80 W11/9] Rys. 7 48,0 49,0 0,14 krzywa teoret. - krzywa analog. oc [236]

15 DRGANIA UKŁADU I " \ 5 0,18 V \ 0.02 I 0, ,005 krzywa teoretyczna krzywa analogowa - W.O Rys. 9 wli/ s] z.8.0 w=47,80tl/ s] Rys. 10 zewnę trznym. Wyniki badań dla przypadku rezonansu wzglę dem czę stoś i cdrgań własnych PL przedstawiają rysunki 2, 3, 4 i 5. Wyniki badań dla przypadku rezonansu wzglę dem drugiej czę stoś i c drgań wł asnych p 2 przedstawiają rysunki 6, 7, 8 i 9. Rys. 10 przedstawia przykładowo przebieg czasowy drgań zarejestrowany w trakcie badań analogowych. Ilustruje on przesunię cie ś rodka drgań. 7. Analiza wyników badań i wnioski koń cowe Przebiegi krzywych amplitudowych otrzymanych na drodze rozważ ań analitycznych oraz symulacji analogowej ś wiadczą o dobrej zgodnoś ci wyników obu rodzajów badań, a tym samym o poprawnoś ci dociekań analitycznych. Jedynie dla amplitud drgań masy M przy samym wymuszeniu parametrycznym i rezonansie wzglę dem p 2 rozbież ność tych wyników wynosi okoł o 12%.

16 238 K. SZABELSKI, W. SAMODULSKI Krzywe amplitudowe dla układu z nieliniową sprę ż ystośą ci typu kwadratowego odchylają się w stronę mniejszych czę stoś i cwymuszenia drgań, tak jak w przypadkach mię k- kiej charakterystyki sprę ż ystoś i c z nieliniowoś cią sześ cienną. N ajwię ksze amplitudy drgań statecznych stwierdzono dla dolnej masy m przy rezonansie wzglę dem drugiej czę stoś i cdrgań własnych p 2, zarówno w przypadku samego wzbudzenia parametrycznego, jak również jednocześ nie dział ają cego z nim wymuszenia kinematycznego. Szerokość obszaru niestatecznoś ci parametrycznej w przypadku rezonansu wzglę dem drugiej czę stoś ic drgań własnych p 2, jest około 7,2 razy wię ksza od szerokoś ci obszaru dla rezonansu wzglę - dem czę stoś cią. Porównują c prawe gałę zie krzywych amplitudowych a" i b" odpowiadają cych rozwią zaniom statecznym należy stwierdzić znaczny wpł yw wzbudzenia parametrycznego na wartoś ci amplitud drgań. Unaocznia się to tendencją do zbliż ania się obu tych krzywych wraz ze zmniejszaniem czę stośi c co począ wszy od prawej granicy obszaru niestatecznoś ci parametrycznej. Na przykł ad, dla rezonansu wzglę dem drugiej czę stoś i cp 2, amplituda drgań, przy a. = 0 masy m w przypadku działania samego wymuszenia parametrycznego stanowi okoł o 82% wartoś ci amplitudy przy jednoczesnym działaniu obu rodzajów wymuszeń, natomiast dla masy M udział ten wynosi okoł o 80%. Podczas symulacji analogowej speł niają cej również rolę badań statecznoś ci nie stwierdzono drgań odpowiadają cych lewym gałę ziom a" teoretycznych krzywych amplitudowych. Ś wiadczy to o tym, że drgania przedstawione tymi krzywymi są niestateczne. Ponieważ badania analogowe przeprowadzono przy cią gł ym zwię kszaniu, a nastę pnie zmniejszaniu wartoś ci co, w rezultacie otrzymano obwiednie amplitud drgań statecznych. Na rysunkach, wzdłuż krzywych amplitudowych oznaczono strzałkami kierunki ruchu pisaka, a tym samym zmian wartoś ci amplitud wraz ze zmianą czę stoś i cco. Stwierdzono przy tym przeskoki amplitud wystę pują ce w miejscach zaznaczonych strzał kami pionowymi. Rezultaty te potwierdzają znaną w teorii drgań zasadę zrywania amplitud wzdł uż pionowych stycznych do krzywych amplitudowych. We wszystkich rozpatrywanych przypadkach (rys. 4, 5, 8, 9) bezwglę dne wartoś ci przesunię ć rosną wraz ze zmniejszaniem czę stoś i c co. Dla rezonansów wzglę dem p t i p 2 bezwzglę dne wartoś ci przesunię ć dla masy M są wię ksze od masy dolnej m. Literatura cytowana w tekś cie 1. J. J. STOKER, Nonlinear vibrations in mechanical and electrical systems, New York, Ch. HAYASHI, Drgania nieliniowe w układach fizycznych, WNT Warszawa W. SZEMPLIŃ SKA- STUPNICKA, Uogólnienie metody bilansu harmonicznych do wyznaczania parametrycznych rezonansów kombinowanych, Prace I.P.P.T. PAN S. P. STRIEŁKOW, Wwiedienije w teoriju kolebani], Nauka, Moskwa M. MITSCHKE, Dynamika samochodowa, WKŁ, Warszawa W. WOJNO, Zawieszenia pneumatyczne w pojazdach drogowych. 7. H. SPUS, Badanie wpł ywu niejednorodnoś ciopony na drgania pojazdów, Postę pw badaniach pojazdów samochodowych, Wydawnictwo PAN, Kraków 1976.

17 DRGANIA UKŁADU 239 P e 3 w M e KOJIEEAHH.H CHCTEMfcl C HECHMMETPEMECKOH XAPAKTEPHCTHKOH yripyrocth nph'napametpkmeckom H BHEHIHEM BO3.HEHCTBHH B pa6ote HCCJieflyiOTCH KOJieSamro CHCTeMbi npii flsyx CTeneirax CBO6O#Ł.I C HeJiHHeHHoii ynpyrocttio Tuna, a Tai- oke c JIHHCHHWM 3aTyxaHHeM npa napametph^eckom Bo36yH<fleHHH COBMeCTHO C KHHeMaTH^ieCKHM B03fleHCTBHeM. HCCJiefloBaHHH npobeflerim c HcnoJiL3oBaHneM neptyp6aqhohhoro pe3yjii.tatob ahanhthmeckhx HccjieflOBaHHHj a TaKwe HcarcefloBanira nytem ahanoroboii nmhtatpin. Summary THE VIBRATIONS OF THE SYSTEM WITH NONSYMMETRICAL CHARACTERISTICS OF THE ELASTICITY UNDER THE PARAMETRIC EXCITATION AND EXTERNAL EXERTION In this work the vibrations were considered of the system of two degrees of freedom with nonlinear quadratic type elasticity and linear damping under the parametric excitation and simultaneous kinematic exertion. Analytical examinations were proceeded by the method of perturbation. The correctness of the results of analytical considerations and stability examination were proved by means of an analogue simulation. Praca została złoż onaw Redakcji dnia 24 paź dziernika 1983 roku