ROZWIĄ ZANIA OSOBLIWE W OGÓLNEJ TEORII PŁYT. 1. Wstę p

Transkrypt

1 MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 3, 5 (1967) ROZWIĄ ZANIA OSOBLIWE W OGÓLNEJ TEORII PŁYT TRÓJWARSTWOWYCH RYSZARD GANOWICZ (POZNAŃ) 1. Wstę p W pracy niniejszej podane zostaną rozwią zania nieograniczonej pł yty trójwarstwowej obcią ż one j kolejno siłą skupioną oraz momentem skupionym. Rozwią zania takie nazywać bę dziemy w dalszym cią gu pracy rozwią zaniami osobliwymi. Analogiczne rozwią zania znane są w teorii pł yt cienkich [1, 2 i 3] oraz w teorii pł yt Reissnera [4]. Zastosowanie ich jest bardzo szerokie. W zagadnieniach technicznych rozwią zania osobliwe są wykorzystywane przy budowaniu powierzchni wpł ywowych [5 i 6]. Znajdują one także zastosowanie przy rozpatrywaniu problemów niecią gł ych warunków brzegowych teorii płyt. Poza tym w teorii sprę ż ystośi ci w teorii płyt rozwią zania osobliwe są podstawą uzyskania zwią zków całkowych mię dzy rozwią zaniami wewną trz danego obszaru a wielkoś ciami brzegowymi. Zwią zki takie znane są w teorii sprę ż ystośi cjako twierdzenie Somigliano. Otrzymuje się je w oparciu o rozwią zania osobliwe oraz w oparciu o twierdzenie 0 wzajemnoś ci. Podobne zresztą zwią zki znane są w teorii funkcji harmonicznych [7]. Omówienie tych problemów dla płyt reissnerowskich i dla płyt trójwarstwowych o warstwach zewnę trznych bez sztywnoś ci na zginanie podał autor w pracy [4]. W pracy niniejszej zajmiemy się ogólną teorią zginanych płyt trójwarstwowych podaną przez HOFFA [8]. W teorii tej przyjmuje się, że warstwy zewnę trzne tych płyt są jednakowe 1 spełniają wszystkie założ enia teorii płyt cienkich. Natomiast odnoś nie do warstwy ś rodkowej zakłada się, że jest ona nieś ciś liwa i pracuje jedynie na naprę ż eni a styczne r xz i T yz. Z podanych wyż ej zał oż eń wynika, że przy zginaniu odkształcenia płyty trójwarstwowej są antysymetryczne wzglę dem jej powierzchni ś rodkowej. Rozwią zania otrzymane w niniejszej pracy są uogólnieniem wyników podanych przez autora dla płyt trójwarstwowych o warstwach zewnę trznych bez sztywnoś ci na zginanie na ogólną teorię płyt trójwarstwowych [4 i 9]. 2. Zasadnicze równania Poniż ej podamy zwią zki mię dzy siłami wewnę trznymi i przemieszczeniami płyty trójwarstwowej oraz równania równowagi wyraż one przez przemieszczenia. Zależ nośi cte podamy w oparciu o pracę J. WACHOWIAKA i P. WILDEGO [10]. Siły wewnę trzne dla omawianych płyt podamy za wyż ej wymienionymi autorami rozkł adają c je na siły tarczowe i na siły płytowe w warstwach zewnę trznych oraz na siły tną ce w wypełnieniu.

2 294 RYSZARD GANOWICZ Siły wewnę trzne okreś limy przez przemieszczenia nastę pują co: (rys. 1) Rys. 1 (2.1.1) siły tarczowe N x = Ed 8u 1 Ed I dv, Ny = - v 2 \8y n 8x1' Ed 8u + siły płytowe (2.1.2) m y = - D ' w; siły tną ce w wypeł nieniu (2.1.3) +

3 ROZWIĄ ZANIA OSOBLIWE W TEORII PŁYT TRÓJWARSTWOWYCH 295 gdzie wprowadzono oznaczenia: E, v stałe materiał owe warstw zewnę trznych, G w = G xz = Gyz moduł odkształcenia postaciowego warstwy ś rodkowej D = sztywność na zginanie warstw zewnę trznych, w ugię cie płyty, jednakowe dla wszystkich warstw, u, v przemieszczenia w płaszczyź nie ś rodkowej warstwy dolnej (równe co do bezwzglę dnej wartoś ci przemieszczeniom w płaszczyź nie ś rodkowej warstwy górnej, lecz przeciwnie do nich skierowane). W dalszym cią gu pracy zajmiemy się pł ytami trójwarstwowymi poddanymi dział aniu obcią ż eni a normalnego p(x, y) oraz obcią ż onymi siłami n x {x, y), n v {x, y) w warstwach zewnę trznych (rys. 2). Założ ymy, że te ostatnie są równomiernie rozłoż one na gruboś ci n x \ z Rys. 2 warstw zewnę trznych i są przeciwnie skierowane w obu tych warstwach. Dział anie tych sił odpowiada wię c dział aniu na całą pł ytę momentów zginają cych, rozłoż onych w obszarze pł yty. Postę pując podobnie jak w wyż ej wymienionej pracy [101 otrzymamy nastę pują cy układ równań dla płyty poddanej dział aniu obcią ż eni a p{x, y), n x (x, y) i n y (x, y): (2.2) v 2 ) G 2 2 w(2h+6) 2 (l~v 2 ) ] G w (2h+d) (l- v*) Idu 8v \_ l- v 2 Eb 4Edh J 2ESh \8x~ t 8y)~ 2EÓ P ' [ G w (l- v 2 )] G w (2h+d)(l- v 2 ) dw [ y d 2 G w (l- v 2 )] l+v 8 2 v _ \~v 2 2Edh dx + [dx By 2 Edh J" + 2 8x8y ~ Ed Ed "*' - v 2 ) dw l+v 8 2 u \ 8 2 l- v 8 2 G w (l- v 2 )] l- y 1 " dy + 2 8xdy + l8y 2+ 2 dx 2 Edh \ V ~ Ed M)I> 2Edh dy^ 2 8xdy^\_8y 2^ 2 8x 2 Edh J Ed Powyż szy ukł ad trzech równań róż niczkowych moż na sprowadzić do równań na trzy funkcje przemieszczeń [10 i 11]: (2-3) [l- ^d- i- jyj^^jm-,.^ i = 1,2,3,

4 296 RYSZARD GANOWICZ gdzie gi = p(,x, y), qi = 2n x (pc, y), q* = 2n y (x, y), Ed(2h+Sf 2(1- * J ) 1-2D oznacza sztywność całkowitą płyty trójwarstwowej, ESh współczynnik podatnoś ci wypełnienia. Natomiast przemieszczenia wyznaczyć moż na ze zwią zków w = (1 ) 2h+6 8 8x 2h y (2.4) G w 2 2h+d 8 8y Łatwo zauważ ymy, że jeż el i przyjmiemy, iż warstwy zewnę trzne płyty trójwarstwowej nie mają sztywnoś ci na zginanie (D = 0), to zależ nośi cpowyż sze uproszczą się do zależnoś ci podanych przez autora w poprzednio cytowanej pracy [4]. Nadmienimy ponadto, że przypadek ukł adu równań jednorodnych (2.3) został przedyskutowany w poprzednio cytowanej pracy [10]. 3. Obcią ż eni e silą skupioną Zajmiemy się nieograniczoną płytą trójwarstwową obcią ż on ą siłą skupioną prostopadle do powierzchni ś rodkowej. Obcią ż eni e dla tego przypadku przedstawimy nastę - pują co: p(x, y) = Pó(x)d(y), n x (x, y) = n y (x, y) = 0.

5 ROZWIĄ ZANIA OSOBLIWE W TEORII PŁYT TRÓJWARSTWOWYCH 297 Wobec tego, że mamy do czynienia z pł ytą nieograniczoną, interesować nas bę dzie cał ka szczególna układu równań (2.3). Przyjmiemy wię c F 2 ~ F 3 = 0. Ukł ad równań (2.3) i zależ nośi c(2.4) uproszczą się w tym przypadku do postaci: (3.1) w= (l «V' L * 2h+d 8 2 ^ L 2 Łatwo zauważ yć, że w zwią zkach powyż szych moż na wyłą czyć operator [10] Ostatecznie otrzymamy wię c nastę pują ce równanie (3.2) DM- x~vw VU = P&(x)d(y). oraz zwią zki mię dzy przemieszczeniami w, u, v a funkcją przemieszczeń V (3 3) W = (1- KV 2 )U «= 2h+Ó 8U v- 2 8x ' 2 by 2/ i+ ó 8U Przejdziemy teraz do rozwią zania naszego problemu. Wykonajmy na równaniu (3.2) nieskoń czoną podwójną transformację Fouriera [12]: (3.4) 2n N(x )- - = [ J 00 CO cc 00 CO 2n J J f Biorą c pod uwagę, że "p*(tx,, /3) == P/ 2JT, otrzymamy nastę pują ce wyraż enie na transformatę funkcji przemieszczeń: (3-5) t/ *( 8) Po wykorzystaniu zależ nośi c(3.4) funkcję przemieszczeń U(x, y) przedstawimy w postaci całkowej: (3.6) U(x,y) =

6 298 RYSZARD GANOWICZ Aby przedstawić rozwią zanie U(x,y) (3.6) w postaci wyraź nej, bę dziemy musieli obliczyć całkę wystę pują cą po prawej stronie powyż szego wyraż enia. Przekształć my tę całkę nastę pują co: CO co cc co co p [ r r e ~Kax+ m ID r (3.7) U(x, y) = - j- ~2 I I r~i ~52i&dtt,df} x = - co co co co co co Hax+fly) _ ^ ^ I 2D Di J. 1_Lv (r/ 2 - Z _00 - CO l ^ K p. \ a I f J Dwie pierwsze całki, wystę pują ce po prawej stronie wyraż enia (3.7), nie istnieją jako cał ki niewłaś ciwe, nie moż na też wydzielić z nich wartoś ci głównej według Cauchy'ego. Należy je rozumieć w sensie czę ś i cskoń czonej [13, 14 i 4], Wydzieleniem czę ś i c skoń czonej cał ek rozbież nych tego samego typu zajmował się autor w cytowanej poprzednio pracy [4]. Aż eby nie rozszerzać niniejszego opracowania, podamy poniż ej jedynie koń cowe wyniki tych obliczeń. oo co H a x- \ - py ) o i o _ x 2 +y 2 CO 00 CO to co i'(ra t- fiy) = 2JI In 1 CO CQ Ostatnią cał kę wystę pują cą po prawej stronie wyraż enia (3.7) ł atwo obliczymy jako cał kę niewł aś ciwą: Jeż el i weź miemy pod uwagę, że [15] to otrzymamy 2xD u. (3.10) i? 1 = - ^i-.y r f 2KD J d a = J gdzie K(,(z) oznacza zmodyfikowaną funkcję Bessela drugiego rodzaju, y\ = \ D Z \2KD.

7 ROZWIĄ ZANIA OSOBLIWE W TOERII PŁYT TRÓJWARSTWOWYCH 299 Wstawiają c zależ nośi c (3.8) i (3.10) do zwią zku (3.7) oraz wprowadzając jednostkę długoś ci ra otrzymamy poszukiwane rozwią zanie osobliwe funkcji przemieszczeń U(x, y) Reszta zadania jest już bardzo prosta. Znajdziemy teraz rozwią zania osobliwe przemieszczeń. Otrzymamy je wykorzystują c rozwią zanie osobliwe U(x, y) (3.11) oraz zależnoś ci (3.3) W= - : ~ (3.12). x 2 +y 2 P(2h+d) [ 8,,- 5 \x\n ~ \- x\ - ± ^ - r Ini/ x 2 + / r y + L Ą J AnD z y\ \_8x v = Zauważ my, że jeż el i w zależ noś ciac h powyż szych przyjmiemy D = 0, 2hj2h- \- 6= 1, to otrzymamy podane przez autoia we wcześ niejszej pracy [9] rozwią zania osobliwe dla płyty trójwarstwowej o warstwach zewnę trznych pracują cych jedynie na siły tarczowe. Podamy jeszcze rozwią zania dla sił wewnę trznych w omawianym przypadku nieograniczonej płyty trójwarstwowej obcią ż one j siłą skupioną. Po wykorzystaniu rozwią zania dla funkcji przemieszczeń U(x, y) (3.11) oraz zależ nośi c(3.3) i (2.1) otrzymamy przykł adowo Ed 2h+d (8 2 U, i-,* 2 r 8 2 U\ P A + 2n{2h+S)

8 300 RYSZARD GANOWICZ 8 2 U 8 2 U Id* 8 2 \ 1 2 8x 2 dy 2 \8x 2 8y 2 1 J (3.13) = - - ~^- 67T D z _ ''o )- O - ") cos 2tp [- ^ - K, (y, r)j J, s m 2 p ( 1 " ) s fc gdzie oznaczono r 2 = x 2 Ą - 2 y, sin <p y/ r, cos ę = x/ r Ed(2h+ó) z ' 2(1- /) ' Powyż sze siły wewnę trzne nie mogą być porównywalne z odpowiednimi sił ami wewnę - trznymi znanymi w teorii pł yt cienkich, ponieważ dotyczą one poszczególnych warstw. Porównywalne natomiast bę dą całkowite siły wewnę trzne, to znaczy siły wypadkowe dla całej płyty (rys. 3). Otrzymamy je z zależ nośic A,. n P COSC5 Q* = N +2q x = - - x- ~~, (3.14) M x = N x (2h+d)+2m x = - M xy = N p,. on Jeż el i porównamy teraz otrzymane powyż ej rozwią zania osobliwe wypadkowych sił wewnę trznych ze znanymi rozwią zaniami osobliwymi izotropowych płyt cienkich, to zauważ ymy, że są one identyczne. Zauważ my takż e, że powyż sze wielkoś ci (3.14) nie zależą od sztywnoś ci na zginanie warstw zewnę trznych D. Wobec tego przedstawiają one także rozwią zania osobliwe płyt trójwarstwowych o warstwach zewnę trznych bez sztywnoś ci na zginanie (por. [9]). Nadmienimy, że rozwią zanie osobliwe siły poprzecznej Q x (3.14) ł atwo otrzymać z warunku równowagi sił pionowych dla płyty kołowej wycię tej z pł yty nieograniczonej

9 ROZWIĄ ZANIA OSOBLIWE W TEORII PŁYT TRÓJWARSTWOWYCH 301 w ten sposób, że punkt przyłoż enia siły skupionej pokryje się ze ś rodkiem płyty kołowej. Wykorzystują c koł ową symetrię otrzymamy (3.15) Gr a stą d P COS ę (3.16) 2n r 2nr' P sin cp 2n Natomiast jeż el i chodzi o identyczność pozostał ych wypadkowych wielkoś ci statycznych (3.14) z odpowiednimi wielkoś ciami znanymi w teorii pł yt cienkich, to wynik ten, zdaniem autora, jest interesują cy. Oczywiś cie dla analizy stanu naprę ż eni a płyty potrzebna jest znajomość sił wewnę trznych dotyczą cych poszczególnych warstw (3.13). Rozwią zania osobliwe sił wewnę trznych dotyczą cych poszczególnych warstw zawierają natomiast człony osobliwe, które w sposób istotny róż ni ą je od znanych rozwią zań osobliwych teorii pł yt cienkich. Na zakoń czeni e niniejszego rozdziału zanalizujemy jeszcze zachowanie się otrzymanych przez nas rozwią zań osobliwych ugię cia w (3.12), siły poprzecznej w warstwach zewnę trznych q x oraz siły tną cej w wypełnieniu N xz (3.13) przy r- *0. Jeż el i weź miemy pod uwagę to, że dla dostatecznie małej wartoś ci argumentu obowią - zują nastę pują ce wzory asymptotyczne: (3.17) Ko(yir)x - to dla r - *0 otrzymamy (3.18) to, 2nD x - xi P cos<p An r ' N yz x0. q y a P sin 99 r ' Okazuje się wię c, że ugię cie w punkcie przyłoż enia siły skupionej, podobnie jak w teorii płyt cienkich, jest skoń czone. Poza tym łatwo zauważ ymy (3.18), że dla r- +0 siła skupiona P jest zrównoważ ona tylko przez siły poprzeczne w warstwach zewnę trznych (rys. 4) (3.19) 2q x xq Xi 2q r xq r = q r z P 4n i r

10 302 RYSZARD GANOWICZ Oznacza to, że siła skupiona obcią ża w pierwszym rzę dzie warstwy zewnę trzne, a dopiero nastę pnie jest przekazywana na całą płytę. Wnioski powyż sze są oczywiste z fizycznego punktu widzenia i potwierdzają prawidłowość rozwią zań otrzymanych w niniejszej pracy. Zwróć my jeszcze uwagę na fakt, że ze wzglę du na założ oną wzglę dem płaszczyzny ś rodkowej antysymetrię odkształceń płyty, obcią ż eni e sił ą skupioną P należy rozumieć jako obcią ż eni e dwiema siłami skupionymi 1/ 2P, przyłoż onymi na górnej i dolnej powierzchni pł yty równocześ nie (rys. 4). 4. Obcią ż eni e momentem skupionym Pierwszą trudnoś cią, jaką napotykamy przy rozwią zaniu tego problemu, jest definicja poję cia momentu skupionego w teorii płyt trójwarstwowych. Zagadnienie to omawiał autor w poprzedniej pracy dotyczą cej pł yt trójwarstwowych [4]. Przypomnijmy tu tylko to, że jednym ze sposobów zdefiniowania momentu skupionego jest przyję cie, że obcią - ż enie to odpowiada granicy obcią ż eni a dwiema siłami skupionymi przeciwnie skierowanymi, gdy odległość ich zmierza do zera: M = lim Pe. e- >0 Jak wiadomo, rozwią zanie dla takiego obcią ż eni a otrzymuje się przez róż niczkowanie rozwią zania otrzymanego dla obcią ż eni a siłą skupioną. Wobec tego nie wnosi ono zasadniczych nowoś ci do rozwią zania podanego w punkcie 3 niniejszej pracy. Ciekawsze natomiast jest obcią ż eni e momentem skupionym zdefiniowanym jako para sił poziomych przyłoż onych w warstwach zewnę trznych pł yty trójwarstwowej (rys. 5). Rozwią zanie płyty obcią ż one j tak zdefiniowanym momentem jest bardziej zł oż one od poprzednio omówionego i może być podstawą uzyskania zwią zków całkowych mię dzy przemieszczeniami u, v wewną trz danego obszaru a wielkoś ciami brzegowymi [4]. Poniż ej zajmiemy się nieogianiczoną płytą poddaną działaniu momentu skupionego zdefiniowanego jako para sił przył oż onych w warstwach skrajnych. Zał oż ymy, że sił y

11 ROZWIĄ ZANIA OSOBLIWE W TEORII PŁ YT TRÓJWARSTWOWYCH 303 te są równomiernie rozł oż one na gruboś ci warstw zewnę trznych. Obcią ż eni e tego typu omówione został o w punkcie 2 niniejszej pracy i uwidocznione jest w postaci obcią żńe n x i n y w równaniach (2.2) i (2.3). Przyjmiemy do rozwią zania N5(x)d(y) {2h+ó). obcią ż eni e momentem skupionym M x = n x (2h+5) N Rys. 5 Podobnie jak przy rozwią zywaniu pł yty nieograniczonej obcią ż one j sił ą skupioną interesować nas bę dzie cał ka szczególna ukł adu równań (2.3) przy qi = ą % 0, qi = = 2N6(x)6(y). Przyjmiemy więc F\ = F 3 = 0, a na funkcję przemieszczeń Fi otrzymamy równanie róż niczkowe (4.1) i Natomiast przemieszczenia u, v, w moż na bę dzie wyznaczyć z zależ nośi c(2.4) w = 2 (4.2) u = (2h+6) 2 4 v = Wykonamy teraz podwójną nieskoń czoną transformację Fouriera (3.4)~równania (4.1), a po wykonaniu retransformacji otrzymamy poszukiwaną funkcję F 2 w postaci *<* y) = - i^dl1 1 r 2D nr 1 T - co - c (a 2 + /? 2) «^i (a 2 +^) 1+ i. x( l_ v)(a 2 + /?) (4.3) L >* JL 2 J Cał kę wystę pująą c po prawej stronie powyż szego wyraż enia ł atwo przekształ cimy następują co:

12 304 RYSZARD GANOWICZ X - ((coc f fty) ( D z, 00 CO 2 / 2Z> D z 21 v.,.' J J,, 12 v y v Trzy pierwsze cał ki wystę pująe c w tym wyraż eniu omówiliś my w rozdziale 3 niniejszej pracy. Natomiast czwartą cał kę wyraż enia (4.4) obliczymy ł atwo postę pując podobnie jak przy obliczaniu cał ki (3.9). Otrzymamy dla niej wyraż enie (4.5) R 2 = J J j J J j 1 ^ ( J J l ii f - co - co l -f pc(i_ ) (a z + / S 2 ) / 1 \ / 2i O2\ Kil ^ I gdzie y 2 = ]/ 2/ x(l v). Wykorzystując zależ nośi c(3.8), (3.9), (3.10), (4.4), (4.5) ofaz wprowadzając jednostkę dł ugoś i cr 0 otrzymamy szukane rozwią zanie osobliwe dla funkcji przemieszczeń F 2 (x, y) Rozwią zania osobliwe przemieszczeń u, v, w otrzymamy wykonując na funkcji powyższej dział ania przepisane zależ noś ciami (4.2) N(2h+6)ix x 2 +y 2, x, 1 ' 2x 2y t x 1) w \z i 0 l y x lx +y y x2 +y 2 lxrif ' ']\ 2.,2 02 -x \- y\ 8x8y gdzie K v (z) jest zmodyfikowaną funkcją Bessela drugiego rodzaju.

13 ROZWIĄ ZANIA OSOBLIWE W TEORII PŁYT TRÓJWARSTWOWYCH 305 Jeż el i w wyraż eniach powyż szych wykonamy przejś cie graniczne D -» 0, to otrzymamy przemieszczenia osobliwe dla płyt trójwarstwowych o warstwach zewnę trznych bez sztywnoś ci na zginanie (por. [4]). Przejdziemy teraz do wyznaczenia poszczególnych sił wewnę trznych dla nieograniczonej pł yty trójwarstwowej obcią ż one j momentem skupionym. Wykorzystują c zależ nośi c(2.1) i (4.7) otrzymamy nastę pują ce wyraż enia dla sił płytowych w warstwach zewnę trznych: N(2h+6) D \ cos2<p cos2<p g s = l n jy [ ; n - ^,(yi>-) N(2h+S) D sin2<p [ 1 2, N(2h+d) D i cos sin ^cos99{ [l+ v+ 2(lv)smVH ro"'') ~3 71 ' (4.8) m N(2h+d) D fl o, cos sin 2 v cosy [l+ r2(ly)sin 2 y](lr) Podamy jeszcze wzory dla sił wewnę trznych wypadkowych dla całego przekroju f cos 2 3sin 2... v 2(1 ł

14 306 RYSZARD GANOWICZ Ar «Ł. «. t N(2h+d) sinycos2<p N(2h+d) M xy = 7^,(2/!+ ó)+ 2m^ = (l) (l- v ) u (I- H- Tt Y JJJt <P - [2~- 2y 2 rk l (y 2 r)- ylr 2 K 0 (.y 2 r)]+jy i 2 cos2r P K 1 (y 2 r)\. Pozostał e wielkoś ci statyczne, to znaczy siły tarczowe N x, N y, N xy oraz siły tną ce w wypełnieniu N xz i N yz, łatwo moż na otrzymać z podanych wyż ej zależ nośi c(4.8) i (4.9) odejmują c od siebie odpowiednie wyraż enia. Na przykł ad N = Q x - 2q x, N x = 2^py( M *- 2 " 7 *) - itd - Zauważ my, że podobnie jak dla przypadku obcią ż eni a siłą skupioną siły wewnę trzne wypadkowe dla całego przekroju płyty nie zależą od sztywnoś ci na zginanie warstw zewnę trznych D. Wobec powyż szego są one identyczne z rozwią zaniami dla pł yt trójwarstwowych o warstwach zewnę trznych bez sztywnoś ci na zginanie. Rozwią zania dla takich płyt podał autor w poprzednio cytowanej pracy [4]. Łatwo sprawdzić, że są one identyczne z otrzymanymi w pracy niniejszej. Literatura cytowana w tekś cie 1. A. PUCHER, Uber die Singularitatenmethode an elastischen Platten, Ing. Archiv., 12 (1941). 2. J. MOSSAKOWSKI, Osobliwe rozwią zania w teorii płyt ortotropowych, Arch. Mech. Stos., 3, 6 (1954). 3. J. MOSSAKOWSKI, Rozwią zania osobliwe dla płyt anizotropowych, Arch. Mech. Stos., 1, 7 (1955). 4. R. GANOWICZ, Wybrane zagadnienia teoriipłyt Reissnera i teorii płyt trójwarstwowych, Mechanika Teoret. i Stos., 3, 5 (1966). 5. A. PUCHER, Einflussfelder elastischer Platten, Springer Verlag, Wien M. SUCHAR, Computation by means of polynomials of influence surfaces for anisotropic plates withfinite dimensions, Arch. Mech. Stos., 5, 10 (1958). 7. S. BERGMANN, M. SCHIFFER, Kernel Functions and EHiptic Differential Eą uationsin Mathematical Physics. Acad. Press, New York N. J. HOFF, Bending and Buckling of Rectangular Sandwich Plates, NACA T. N., No. 2225, Nov R. GANOWICZ, O pewnym rozwią zaniu płyty trójwarstwowej, Rozpr. Inż yn., 3, 14 (1966). 10. J. WACHOWIAK, P. WILDE, Wolnopodparte, prostoką tne płyty trójwarstwowe. Arch. Inż yn. Lą dów., 1, 12 (1966). 11. S. KALISKI, Pewne problemy brzegowe dynamiczne] teorii sprę ż ystoś ci i ciał niespreż ystych,wat, I. N. SNEDDON, Fourier Transforms, Mc Graw- Hill, J. HADAMARD, Lectures on Cauchy's Problem in Partial Differential Eą uations, Yale Univ. Press, H. ZORSKI, Plates with Discontinuous Supports, Arch. Mech. Stos., 10 (1958). 15. H. C. rpajinitbhhj H. M. PBDKHK, Ta6jmtibi UHmezpanoe cymm, pndoe u npou3eedeuuu, MocKBa P e 3 10 M e OCOELIE PEUIEHH^ B OEUIEK TEOPHH TPEXCJIOEtHLIX njiacth H TeMoft pasotm abjweicn accjieflobahne H3OTpomn>ix TpexcjioftHŁix njiacthh. PaccyMCflemm OCHOi Ha Teoptw npefljtwkehhoił H. fl>k. Xocb4>OM 3 [8].

15 ROZWIĄ ZANIA OSOBLIWE W TEORII PŁYT TRÓJWARSTWOWYCH 307 peniehhh 3a«a«o HarpyMcemm cocpeflotonehhoh CHJIOH neorpahiwehhofi TpexcjioHHoft a TaraKe o HarpyscenuK TSKOH ruiactanu cocpeflotoiehhbim MOMemoiw B03HHKaiomaM OT napbi ropn3ohtajibhbix CHJI npmio>kehhbrx BO BHeuiiiHX CJIOHX. Bce peniehhh nojiy^eubi B 3aMKHyTOM BHfle. OHH cpabhhbaiotch c OCO6WMH pemennhmh Teopnn IOH- KHX njiacthhj a TaK>Ke c peniehhamn Teop«H TpexcjioftiiBix njiacthh, B KOTopbnc BHeniHue CJIOH He osjiaflaiot H3rH6HOH HteCTKOCTŁK). Sum mary m SINGULAR SOLUTIONS IN THE GENERAL THEORY OF THREE- LAYER PLATES Isotropic three- layer plates are considered in the paper, the solution being based upon the theory given by N. J. Hoff [8], The solution of an infinite three- layer plate is derived in the case when the load consists of a concentrated force and a concentrated couple formed by horizontal forces acting in the outer layers. Ali results are given in a closed form. The results given in the paper have been compared with the singular solutions of the theory of thin plates and the theory of three- layer plates in which the outer layers exhibit no bending rigidity. Praca została złoż onaw Redakcji dnia 26 wrześ nia1966 r. 3 Mechanika teoretyczna