def def def def ( ) ( ) 0 liczba zespolona z def z 1 = z
|
|
|
- Irena Rutkowska
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 LICZBY ZESPOLONE PODSTWOWE DEFINICJE I WŁSNOCI Def (lc espolo płsc espolo) Lc espolo upodo p lc ecstch p () (uv) () Lc espoloe oc óto pe tp Zó sstch lc espoloch oc pe C M te C { ) : R} ( Ug Lc espolo () pedst płsce postc putu o spółdch () lu postc eto o poctu puce () ocu puce () W te tepetc ó sstch lc espoloch płsc espolo Def (óo su loc lc espoloch) Nech ( ) ( ) d lc espolo Róo lc espoloch oel pe ue: o Su lc espoloch oel oe: ( ) 3 Iloc lc espoloch oel oe: ( ) Ft 3 (łsoc dł oe lc espoloch) Nech 3 d dool lc espolo Wted dode lc espoloch est peee t dode lc espoloch est łce t ( ) ( ) 3 3 dl de lc espoloe lc espolo () speł óo 4 dl de lc espoloe ( ) lc ( ) speł óo ( ) 5 oee lc espoloch est peee t 6 oee lc espoloch est łce t ( ) ( ) dl de lc espoloe lc espolo ( ) speł óo 8 dl de lc espoloe ( ) lc espolo speł óo 9 oee lc espoloch est odele glde dod t ( 3 ) 3 Ug Lc espoloe o podoe odpoedo putch o 8 posego ftu s ed lc o dch tch putch łsocch Lc te odpoedo: eleete eutl dod eleete pec lc eleete eutl oe o eleete odot do lc Def 4 (odeoe delee lc espoloch) Nech C d dool lc espolo odeoe lc espoloch oel oe:
2 delee lc espoloch oel oe: ( ) o le Ug Wsste eguł cteech podstoch dł lgecch (dode odeoe oee delee) e lc ecstch oou te oe lc espoloch W scególoc pde s o sócoego oe o su ó cgu tetcego geoetcego td Ft 5 (ó lc ecstch est podoe ou lc espoloch) Podó R ou lc espoloch C łoo lc postc () gde R stpuce łsoc: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 ) ( ) ( ) ( ( ) 4 gde ( ) Ug Z łsoc tch ó R o utos e oe lc ecstch R Bde psl st (); scególoc () o () POST LGEBRICZN LICZBY ZESPOLONEJ Def (edost uoo) Lc espolo () edost uoo oc pe ; () Ft (post lgec lc espoloe) Kd lc espolo o edoce ps postc: gde R Ug Te sposó pedste lc espoloch ch postc lgec Ne de pedstee lc espoloe postc est e postc lgec Nede est dode uu R Def 3 (c ecst uoo lc espoloe) Nech de postc lgec lc espoloe Wócs lc cc ecst lc espoloe co psue Re lc cc uoo lc espoloe co psue I Lc espolo postc gde R \ {} lc csto uoo Rs Itepetc geoetc edoste ecste uooe o lc espoloe postc lgece Ug Dode odeoe oee lc espoloch postc lgece oue t dode odeoe oee eloó ee p uu P deleu pe lc espolo gde R le del del poo pe lc ou us lc ecst Ft 4 (o óoc lc espoloch postc lgece) De lc espoloe s óe ted tlo ted gd ch cc ecste uooe s óe t
3 Re Re I I 3 SPRZENIE I MODUŁ LICZBY ZESPOLONEJ Def 3 (sp ee lc espoloe) Spee lc espoloe gde R lc espolo oelo oe: Lc spo do lc espoloe est e oe set osoe glde os Re Ft 3 (łsoc sp e lc espoloch) Nech C Wted 5 Re 6 I 3 7 ( ) I I 4 o le 8 ( ) ( ) Ug Róoc pode putch 3 pde s odpoedo dl doole lc słdó có Def 33 (oduł lc espoloe) Modułe lc espoloe gde R lc ecst oelo oe: Moduł lc espoloe est uogólee toc eglde lc ecste Geoetce oduł lc espoloe est odległoc putu od poctu ułdu spółdch Ug Moduł óc lc espoloch est długoc odc łccego put płsc espoloe Ft 34 (łsoc odułu lc espoloe) Nech C Wted o le 7 Re 4 8 I Ug Wu pode putch 4 posego ftu pde s te dl doole lc odpoedo có słdó P olcu lou lc espoloch gode est stoso toso: 4 POST TRYGONOMETRYCZN LICZBY ZESPOLONEJ Def 4 (guet guet głó lc espoloe) guete lc espoloe gde R d lc ϕ R spełc ułd ó: cosϕ s ϕ
4 Pue e guete lc est d lc ϕ R guete głó lc espoloe guet ϕ te lc spełc eóo ϕ < π Pue e guete głó lc est guet głó lc espoloe oc pe g Kd guet ϕ lc espoloe post ϕ g π gde Z Rs 4 guet lc espoloe Rs 4 guet głó lc espoloe Ug guet lc espoloe s s t oetoego utooego pe dodt c os ecste eto odc te lc (s 4) guet głó lc espoloe est es eue t oetoego utooego pe dodt c os ecste eto odc te lc (s 4) Cse pue s e guet głó lc espoloe est lc pedłu (-ππ] Ft 4 (post tgooetc lc espoloe) Kd lc espolo o pedst postc: ( cosϕ sϕ ) gde o ϕ R Lc est ócs odułe lc ϕ ed e guetó Ft 43 (óo lc espoloch postc tgooetce) Lc espoloe ( cosϕ s ϕ ) ( cosϕ s ϕ ) gde o ϕ ϕ R s óe ted tlo ted gd: lo o ϕ ϕ π dl peego Z > Ft 44 (o ee delee lc espoloch postc tgooetce) Nech ( cosϕ s ϕ ) ( cosϕ s ϕ ) gde o ϕ ϕ R d lc espolo Wted [ cos( ϕ ϕ ) s( ϕ ϕ )] [ cos( ϕ ϕ ) s( ϕ ϕ )] o le Ice óc p oeu lc espoloch ch oduł o guet dode Podoe p deleu lc espoloch ch oduł del guet odeue Ug Pes e oó ostt fce est pd te dl doole lc có Ft 45 (o guetch locu lou sp e o lc pece) Nech C o ech N Wted g( ) g g π dl peego Z; g ( ) g π dl peego Z; 3 g g g π dl peego Z o le ; 4 g ( ) g π dl peego Z; 5 g( ) π g π dl peego Z; 6 g g π dl peego Z o le ; Ug W ecstoc oe po toc lu ; doole; 3 lu ; 4 ; 5 lu ; 6 Ft 46 (ó de Move ) cosϕ sϕ gde ϕ R o ech N Wted Nech ( ) Def 47 (sol ϕ e ) Dl ϕ R lc espolo cosϕ sϕ oc óto pe ( cos ϕ s ϕ ) ϕ e ;
5 e ϕ cosϕ sϕ ϕ Ft 48 (łsoc solu e ) Nech ϕ ϕ ϕ d dool lc ecst o ech de dool lc cłot Wted ( ϕ ϕ ) ϕ ϕ ϕ e e e 5 e ϕ ϕ ϕ ( ϕϕ ) e 6 e ϕ ϕ π e e l gde l Z ϕ e ϕ ϕ ϕ 3 ( e ) e 7 e ( ϕ π ) ϕ ϕ 4 e e 8 g ( e ) ϕ lπ dl peego l Z Ft 49 (post łdc lc espoloe) Kd lc espolo o ps postc łdce t postc ϕ e gde ϕ R Lc est ócs odułe lc ϕ e guete Ft 4 (o óoc lc espoloch postc łdce) Nech o ϕ ϕ R Wócs ϕ ϕ e e lo o ϕ ϕ π gde Z > Ft 4 (dł lcch espoloch postc łdce) ϕ ϕ ϕ Nech e e e gde o ϕ ϕ ϕ R d lc espolo o ech de lc cłot Wted 3 ϕ e 4 ( ϕ π ) e 5 ϕ e o le 6 ϕ e e ( ϕ e ϕ ) ( ϕ ϕ ) o le 5 PIERWISTKOWNIE LICZB ZESPOLONYCH Def 5 (peste lc espoloe) Peste stop N lc espoloe d lc espolo spełc óo: Zó pestó stop lc espoloe oc pe Ug Sol e cee odeseu do lc ecstch e do lc espoloch ( t te ecstch ttoch espoloe) Peste dede ecste est oelo edoce est to fuc R R dl epstch o [ ) [ ) dl pstch Pestoe dede espoloe est tost oe ó te est oe o tego ó Solu pest dede espoloe e olo u do dch dł olce gd podstoe o dl pestó pde dede ecste tut e sesu p 4 Ft 5 (ó pest lc espoloe) Kd lc espolo ( cosϕ s ϕ ) gde o ϕ R dołde pestó stop Zó tch pestó post: gde Ug Dl pd est leo: { } ϕ π ϕ π cos s dl
6 π π π π cos s cos s Ft 5 (tepetc geoetc ou pestó lc espoloe) cosϕ s ϕ gde o ϕ g po s e Zó pestó stop 3 lc espoloe ( ) oe echołó t foeego psego og o poeu odu poctu ułdu spółdch Pes echołe tego elot est puce ϕ ϕ cos s t d poe odc π olech echołó est ó (s 5) WIELOMINY Rs 5 Itepetc geoetc ou pestó lc espoloe PODSTWOWE POJCI I WŁSNOCI Def (elo ecst) Weloe ecst stop N {} fuc W: R R oelo oe: W ( ) gde R dl o Podto pue e fuc W() est eloe stop Lc spółc elou W Def (elo espolo) Weloe espolo stop N {} fuc W: C C oelo oe: W ( ) c c c c gde c C dl o c Podto pue e fuc W() est eloe stop Lc c spółc elou W Ug Kd elo ecst o tto o elo espolo osec ego ded R C T de postpo p ou pestó espoloch eloó ecstch Welo espolo lu ecst de l óto eloe Def 3 (su ó c loc eloó) Nech P Q d elo Su óc loc eloó P Q oel sposó tul t pue: ( P ± Q) ( ) P( ) ± Q( ) ( P Q) ( ) P( ) Q( ) Def 4 (podelo eloó) Mó e elo S est loe elo R est dele elou P pe elo Q eel dl dego R ( C) speło est ue P ( ) Q( ) S( ) R( ) o stope est R est es od stop del Q Jeel R() to ó e elo P est podel pe elo Q PIERWISTKI WIELOMINÓW Def (peste elou) Lc ecst (espolo) peste ecst (espolo) elou W eel W( ) T (Beout) Lc est peste elou W ted tlo ted gd stee elo P t e W ( ) ( ) P( ) Ug Rest dele elou W pe du est ó W( )
7 Def 3 (peste eloot elou) Lc est peste ot elou W ted tlo ted gd stee elo P t e W ( ) ( ) P( ) o P ( ) Ft 4 (o pestch elootch elou) Lc est peste ot elou W ted tlo ted gd ( ) ( ) W ) W ( ) W ( ) o W ) ( T 5 (o pestch cłotch elou) Nech W ( ) de eloe o spółcch cłotch o ech lc cłot p de peste elou W Wted p est dele u olego T 6 (o pestch ech elou) Nech W ( ) de eloe stop o spółcch cłotch o ech lc e p gde p q s lc q cłot glde pes de peste elou W Wted p est dele spółc q est dele spółc tego elou Ug Jeel to sste ee pest elou s cłote ( 3 ZSDNICZE TWIERDZENIE LGEBRY T 3 (sdce tedee lge) Kd elo espolo stop dodtego co e ede peste espolo Ft 3 (o pedsteu elou postc locu duó) Kd elo espolo stop N dołde pestó espoloch (ugldc pest eloote) Nech elo W stop N pest espoloe o otocch odpoedo gde N dl o Wted W ( ) c ( ) ( ) ( ) gde c est spółce stoc p eloe W Ft 33 (o Vete ) Nech W( ) c c c c de eloe espolo stop N Wócs lc s pest elou W ( ugldee otoc) ted tlo ted gd c c c 3 c c3 3 4 c c ( ) 3 c Ug Jeel etóe pest elou to o Vete pol le poostłe pest tego elou Ft 34 (o pestch espoloch elou ecstego) Nech W de eloe o spółcch ecstch Wócs lc espolo est ot peste elou W ted tlo ted gd lc est peste ot tego elou T 35 (o ołde elou ecstego c ecste) Nech W de eloe stop N o spółcch ecstch Podto ech d pest ecst tego elou o otoc gde N dl o ech gde I > d pest
8 espolo tego elou o otoc l gde s p c ( ) ( l l ) W ( ) ( ) s l l s ( ) ( p q) ( ps qs ) Wted gde p Re o q dl s est spółce elou W stoc p Ice óc d elo ecst o pedst postc locu eloó ecstch stop co e dugego Mó ócs o ołde elou ecstego ecste c eołdle 4 UŁMKI PROSTE Def 4 (fuc e) Fuc e ecst (espolo) lo dóch eloó ecstch (espoloch) Def 4 (fuc e łc) Fuc e łc eel stope elou lcu uł oelcego t fuc est es od stop elou ou Ug Kd fuc e est su elou o fuc ee łce Def 43 (uł poste) Zespolo ułe post espolo fuc e postc: gde C o N ( ) Recst ułe post pesego odu ecst fuc e postc: gde R o N ( ) 3 Recst ułe post dugego odu ecst fuc e postc: B gde p q B R o N p c p 4q < ( p q) T 44 (o ołde fuc ee uł poste) Kd fuc e łc ecst (espolo) est su ecstch (espoloch) ułó postch Pedstee to est edoce P( ) Zespolo fuc e łc postc gde Q( ) Q ) ( ) c ( ) ( ) ( ( ) odpod su ułó est su espoloch ułó postch p c co postch postc: gde C dl Recst fuc e łc postc Q( ) ( ) ( ) ( ) P( ) gde Q( ) l l l s ( ) ( ) ( p q) ( p q ) ( ps qs ) est su ecstch ułó postch pesego odu o l l l s ecstch ułó postch dugego odu p c co ( ) odpod su ułó postch pesego odu postc gde R dl l ( ) ( ) co ( p ) odpod su l ułó postch dugego odu postc q B C p q gde B B B l C C C l R dl s B C l ( p q ) ( p q ) B l C l
9 3 MCIERZE I WYZNCZNIKI 3 MCIERZE PODSTWOWE OKRELENI Def 3 (ce ecst espolo) Mce ecst (espolo) u gde N postot tlc łoo lc ecstch (espoloch) ustoch esch oluch Ug Mcee de ocl du lte lfetu p B X tp Eleet ce stoc t esu o te olue oc pe Mce o te ps postc ] [ lu [ ] gd est e Mcee lu B s óe gd te se o dl dego o Def 3 (ode ce) Mce u tóe sste eleet s óe ce eo u oc lu pe gd e Mce tóe lc es ó s lce olu ce dto Lc es (olu) ted stope ce dtoe Eleet ce tóe te s ue es co olu to głó pet ce 3 Mce dto stop tóe sste eleet stoce d głó pet s óe ce tót dol stop Podoe oel s ce tót gó Mce dto stop tóe sste eleet e stoce głóe pete s óe ce dgol lu peto stop 33
10 Mce dgol stop tóe sste eleet głóe pete s óe ce edosto stop Mce edosto stop oc pe I lu pe I gd est e stope 3 DZIŁNI N MCIERZCH Def 3 (su ó c ce) Nech [ ] B [ ] d ce u Su (óc) ce B ce C [c ] tóe eleet oeloe s oe: c c dl o Pse ted C B (C B) Def 3 (o ee ce pe lc) Nech [ ] de ce u o ech α de lc ecst lu espolo Iloce ce pe lc α ce B [ ] tóe eleet s oeloe oe: dl o Pse ted B α α Ft 33 (łsoc dł cech) Nech B C d dool ce tego sego u ecst lu espolo o ech α β d odpoedo lc ecst lu espolo Wted B B 5 α( B) α αb (B C) ( B) C 6 (α β) α β ( ) 8 (αβ) α(β) Def 34 (loc ce) Nech [ ] ce B [ ] Iloce ce B ce C [c ] u tóe eleet oeloe s oe: dl o Pse ted C B c Ug Eleet c locu ce B otue suuc loc odpodcch soe eleetó tego es ce te olu ce B Iloc ce B o olc tlo ted gd lc olu ce ó s lce es ce B Rs 3 Schet olc eleetó locu ce B
11 Ft 35 (łsoc locu ce) Nech ce cee B C Wted ( B C) B C Nech cee B ce C Wted ( B) C C BC 3 Nech ce ce B o ech α de lc ecst lu espolo Wted ( α B) ( α) B α( B) 4 Nech ce ce B ce C l Wted ( B ) C ( BC) 5 Nech ce Wted I I Ug Włsoc pode putch odeloc dod glde oe łso pod puce 4 łcoc oe Moee ce dtoch e est peee oe ogół B B Zst de psl có Def 36 (ce tspoo) Nech [ ] de ce u Mce tspoo do ce ce B [ ] u oelo oe: dl o Mce tspoo do ce oc T Ug P tspoou olee ese ce coe st s ole olu ce tspooe Ilustue to płde ce u T Ft 37 (łsoc tspoc ce) Nech B d ce u Wted T T T ( B) B Nech de ce u o ech α de lc ecst lu espolo Wted T ( ) T o ( ) T T α α 3 Nech de ce u B ce u Wted T T T ( B ) B 4 Nech de ce dto o ech N Wted T T ( ) ( ) Def 38 (ce setc tsetc) Nech de ce dto Mce est setc ted tlo ted gd T Mce est tsetc ted tlo ted gd T Ug Mce est setc gd e eleet połooe setce glde głóe pete s soe óe Mce est tsetc gd e eleet połooe setce glde głóe pete ó s tlo e eleet głóe pete s óe Ft 39 (łsoc ce setcch tsetcch) Nech de dool ce dto Wted ) ce T est setc ) ce T est tsetc Nech de dool ce Wted cee T T s setce 3 Kd ce dto o edoce pedst postc su ce setce tsetce: T T ( ) ( )
12 33 DEFINICJ INDUKCYJN WYZNCZNIK Def 33 (c ce) Wce ce dtoe fuc tó de ce ecste (espoloe) [ ] ppsue lc ecst (espolo) det Fuc t est oelo oe duc: eel ce stope to det eel ce stope to det ( ) det ( ) det ( ) det gde oc ce ot ce pe selee tego es te olu Ug Wc ce oc te pe det[ ] lu foe ote pe det lu Bde ól ee stope c stope ce eleet c eleet ce es c es ce olu c olu ce Ft 33 (eguł olc có -go 3-go stop) Nech de ce stop Wted c d c Nech d e f de ce stop 3 Wted g h Ug Pod e sposó olc có stop 3 eguł Sus Te sposó olc có e peos s c sch stop Ft 333 (tepetc geoetc có -go 3-go stop) Nech D oc óoległoo opt etoch ( ) ( ) óoległoou s oe: D det (s 33) Pole D tego Rs 33 Itepetc geoetc c dugego stop Nech V oc óoległoc opt etoch ( ) ( ) c ( 3 3 3) (s 33) Oto V tego óoległocu s oe:
13 V det Rs 33 Itepetc geoetc c tecego stop Def 334 (dopełee lgece) Nech [ ] de ce dto stop Dopełee lgec eleetu ce lc: D ( ) det gde oc ce stop postł pe selee tego es te olu ce T 335 (oc Lplce c) Nech de ce dto stop o ech lc d ustloe Wted c ce o olc e oó: det D D D Ice óc c ce est ó sue locó eleetó tego es ch dopełe lgecch Wó te oce Lplce c glde tego es det D D D Ice óc c ce est ó sue locó eleetó te olu ch dopełe lgecch Wó te oce Lplce c glde te lu Ug Dl ustloch lc s gde s pde s o: s D s D s D s D s D s D Ice óc su locó eleetó doolego es dopełe lgecch eleetó ego es est ó Podoe su locó doole olu odpodcch dopeł lgecch e olu est ó Ft 336 (c ce tóte) Nech [ ] de ce tót dol lu gó stop Wted det Ice óc c ce tóte est ó loco eleetó stocch głóe pete 34 DEFINICJ PERMUTCYJN WYZNCZNIK * Def 34 (peutc) Peutc eleeto gde N de óotocoe odooe p ou { } see Peutc t psue postc p p p p p gde p oc to peutc p dl Zó sstch peutc eleetoch oc pe P Ug Istee! óch peutc eleetoch Def 34 (es peutc) Nech p p p p p to es gd de peutc eleeto P {p p p } eleetó te peutc p > p o <
14 Z peutc p est oelo oe p ) ( ) sg( gde oc lc p eleetó te peutc tóe to ese Def 343 (c ce) Nech [ ] de ce dto stop Wce ce lc det oelo oe: P p p p p p ) sg( det gde p p p p suoe oeue sste (t!) peutce eleetoe Ug Oe ce c duc peutc s óoe 35 WŁSNOCI WYZNCZNIKÓW Ft 35 (łsoc có) Wc ce dtoe ce olu (es) łoo sch e est ó Wc ce dtoe e eel d so pest de olu (ese) 3 c ce dtoe ce de edoe olu (ese) est ó ω ω β β α α 4 Jeel sste eleet pee olu (es) ce dtoe e spól c to c te o łc ped c te ce c c c c Podto c c c c c c c c c c c c c 5 Wc ce dtoe tóe eleet pee olu (es) s su dóch słdó est ó sue có ce tóch eleet te olu (es) s stpoe t słd 6 Wc ce e e s eel do eleetó doole olu (es) dod odpodce eleet e olu (ego es) te ce poooe pe dool lc c c c
15 Ogóle: c ce e e s eel do eleetó doolego es (olu) dod su odpodcch eleetó ch es (olu) te ce poooch pe dool lc 7 Wc ce dtoe e tspoc s óe Ug Kostc posch łsoc có o stote upoc ego olce W t celu esu lu olue c st s us ole ce e Do oce podch e opec cech de stosol stpuce sole: oc d so tego o tego es oc d so te o te olu 3 c oc pooee tego es pe lc c 4 c oc pooee te olu pe lc c 5 c oc dode do eleetó tego es odpodcch eleetó tego es poooch pe lc c 6 c oc dode do eleetó te olu odpodcch eleetó te olu poooch pe lc c Weoe e pestłce ce opec eleet Ft 35 (lgot Chó olc có) Nech [ ] de ce dto stop 3 o ech Wócs det det gde det ( ) 3 dl 3 Ug lgot Chó stosue głóe do olc có ce elch stop tóch eleet s lc cłot lgot te post sposó pol o stope olcch có ( ) gde Rs 35 Schet lgotu Chó olc có T 353 (Cuch ego o cu locu ce) Nech B d ce dto tego sego stop Wted det( B) det det B Ft 354 (c Vdeode ) Nech o ech d lc espolo Wted V ( ) ( l ) < l ( ) Jeel lc s p óe to V 36 MCIERZ ODWROTN Def 36 (ce odot) Nech de ce stop Mce odot do ce ce B spełc ue: B B I
16 gde I oc ce edosto stop ce odot do ce oc pe Ug Jeel ce ce odot to odcl ócs det Mce odot do de ce est oelo edoce Def 36 (ce osol eosol) Mce dto ce osol gd det W pec ppdu ó e ce est eosol Ft 363 (ue odcloc ce) Mce dto est odcl ted tlo ted gd est eosol T 364 (o postc ce odote) Nech ce [ ] stop de eosol Wted D D D D D D det D D D gde D oc dopełe lgece eleetó ce Ug Dl ce eosole ó ce odot post: c d d d c c Ft 365 (łsoc ce odotch) Nech cee B tego sego stop d odcle o ech α C\{} Wted cee T B α te s odcle pde s óoc: det det 4 ( B ) B ( ) ( ) ( ) T 3 ( ) ( ) T 5 ( α ) ( ) Ft 366 (eco sposó do ce odote) Nech de ce eosol le ce odot do ce postpue stpuc sposó Z pe sto ce dopsue ce edosto I tego sego stop N esch ote te sposó ce looe [ I] de o stpuce opece eleete: pest d so d doole ese ( ) dol es o pe stł ó od e (c ) 3 do eleetó doolego es dod su odpodcch eleetó ch es poooch pe doole lc ( c ) P pooc tch opec spod ce loo [ I] do postc [I B] Mce B est ted ce odot do ce t B [ I ] [ I ] d l esch Rs 36 Schet ecoego sposou do ce odote α T 37 LGORYTM SPROWDZNI MCIERZY DO POSTCI JEDNOSTKOWEJ Ft 37 (lgot Guss) Nech de ce stop o cu ó od e Mce t o pestłc do ce edostoe I ouc e esch stpuce opece eleete: d so dóch doolch es oee doolego es pe lc ó od e 3 dode do eleetó doolego es odpodcch eleetó ego es poooch pe dool lc Mce edosto us dóch och: I o Ote ce tóte góe ed głóe pete postc:
17 3 3 3 Opece eleete oue t olee olu ce usł pedsto poe post Pestłce c od us odpoede postc pese olu Jeel to ese ce pestłc oleo ese edług oó: Jeel tost to ese ce pest t e le gó ogu lł s eleet eeo dle oue eoe cee opece Kolee olu ed pete e poe pete usue stosuc pedstoe e postpoe do ce co sch stop pocs od stop do stop łce II o Ote ce edostoe postc: Wese ote ce tóte pestłc oleo ese ce edostoe stpuc sposó: 3 3 Ug Mce o cu e o spod do ce edostoe lgot Guss est do god de p olcu co odcu ce oelu ch dó o p ou ułdó ó loch 4 UKŁDY RÓWN LINIOWYCH 4 PODSTWOWE OKRELENI Def 4 (ułd ó loch oe ułdu ó) Ułde ó loch edo gde N ułd ó postc: gde R R dl Roe ułdu ó loch d cg ( ) lc ecstch spełcch te ułd Ułd ó tó e o ułde spec Ug Pos ułd ó loch o ps postc ceoe: X B gde X B
18 Mce ce głó ułdu ó loch ce X ce (olu) edoch B ce (olu) ó olch Ro s te ułd ó loch tóch cee X o B s espoloe W ppdu łe lc edoch de e oc lte t u v Def 4 (ułd edood eedood) Ułd ó loch postc X gde est ce u tost est ce eo u ułde edood Ułd ó loch postc X B tó B est ce eeo ułde eedood Ug Jed o dego ułdu edoodego X est ce eo X u gde oc lc olu ce 4 UKŁDY CRMER Def 4 (ułd Ce) Ułde Ce ułd ó loch X B tó est ce eosol T 4 (ó Ce) Ułd Ce X B dołde edo oe Roe to est oeloe oe det det X det det gde oc stope ce tost dl oc ce tóe t olu stpoo olu ó olch B t Ug Róo oelc oe ułdu ó loch oe Ce Róo t po opsu pue post: det det det det det det o Ce Ft 43 (etod ce odote) Roe ułdu Ce X B est oeloe oe: X B 43 METOD ELIMINCJI GUSS DL UKŁDÓW CRMER Ft 43 (etod elc Guss dl ułdó Ce) Nech X B de ułde Ce tó est ce stop Roe tego ułdu due stpuc sposó: udue ce oseo ułdu postc [ ] B I X ouc e esch stpuce opece eleete: pestłc ce oseo do postc [ ]
19 ) d so dóch doolch es ( ) ) pooee doolego es pe lc ó od e (c ) c) dode do eleetó doolego es odpodcch eleetó ego es poooego pe dool lc ( c ) Opece te celu dopodee ce oseoe do postc: [ ] X I Ostt olu ce oseoe (ce X) est ted oe coego ułdu ó [ ] [ ] X I B esch eleete opece Rs 43 Schet etod elc Guss o ułdó ó loch Ug P pestłcu ce oseoe ułdu do postc ocoe oe ost lgot Guss spod ce eosole do postc edostoe pod fce 37 Ug Ptc es etod elc Guss dl ułdó Ce est etod olu edostoch Poleg o pestłceu ce oseoe ułdu celu dopode sstch olu ce tego ułdu do postc edostoe (t ed ed est e) Jed óch olu us s p t le óch esch Koco post [I X ] ce oseoe de s ó od postc[i X] ede oleoc es Dl ułdu Ce do etod t g oó gd d ou pestłc s osttece cł olu Koleo pestłcch olu o połoee ococh ede est dool p c gode est do pestłce olu słdc s ed łch lc cłotch due lc e W poóu lsc lgote Guss etod t e g pest es udo ce tóte Wg ed o se lc oe Ft 43 (lgot pestłc te olu) Chcc esce eeoego eleetu ot ed poostłch escch te olu se e stc t es ce oseoe podel pe Nstpe le od poostłch olech es odeo t es oo odpoedo pe - Schetce pedst to poe : 44 METOD ELIMINCJI GUSS DL DOWOLNYCH UKŁDÓW RÓWN LINIOWYCH Def 44 (óo o ułdó ó loch) Nech B B d ce o ch odpoedo Podto ech X X d ce edoch p c cg ( ) est peutc cgu ( ) Mó e ułd ó loch X B X B s óoe eel o ch o s detce Ft 44 (o óo pestłcu ułdó ó) Pode poe opece esch ce oseoe [ B] ułdu ó loch X B pestłc go ułd óo: d so es ( ) oee es pe stł ó od e (c ) 3 dode do ustloego es ego es po e ( ) 4 selee es łooego sch e ( ) 5 selee edego es óch lu popocolch ( ~ )
20 Dodtoo otue s ułd óo eel ce e esc de olu p edocese e edoch ( ) edoe edoe Ft 443 (etod elc Guss) Nech X B de ułde ó loch gde est ce u Wócs ułd te oue stpuco: udue ce oseo ułdu postc: [ ] B edoe ce oseoe dooue óoch pestłce ułdu spodc do postc: [ ] pet edoe s s s s s s B Wócs ) eel to ułd X B est spec ) eel to ułd X B est óo ułdo Ce ego ede oe post c) eel > to ułd X B esocee ele o p c spoód ech occh sol le od poostłch ech occh sol stpuc sposó: 3 s s s s s s s s s Ug Lc est co edoce Jest to t d ce Zee de e le ee e ele lu pet Podł ech lee pet e est edoc le e est te dool P pestłcu ce oseoe ułdu do postc ocoe oe ost lgot spod ce eosole do postc edostoe (pt ft 37) W peceste do ułdu Ce oóoego poped pgfe og po s tu t oe stuce: es łoo sch e ted go sel d ese óe lu popocole ted sel ede ch 3 eleetu eeoego olee olue pooduc eoo uste olee ed pete ted cł olu e e pest esce pedostte ped olu ó olch (e t ste s pete) Ug Ptc es etod elc Guss dl doolch ułdó ó loch est etod olu edostoch Jest o oseee etod opse dl ułdó Ce (pt ft 43) ppde ogól Poleg o óo pestłceu ce oseoe ułdu celu dopode ole se lc olu do postc edostoe Jed óch olu edostoch po s p t le óch esch Pestłcee poscególch olu oue dołde t so dl ułdó Ce P oe
21 tch olu o esc ed peł doolo Jedoce oelo est tlo lc tch olu le po s o tul sposó ocu postpo Ngode est do pestłce olu ece łe lc cłote duo e W ppdu doolch ułdó ó tce postpo og po s ese eoe ted e sel ese óe lu popocole ted sel ede ch Moe s te d e ce oseoe ułdu po s es eo eleete eeo olue ó olch T ułd ó est occe spec Jel t s e d to postpoe oc s ted gd lc óoch olu est ó lce es tóe poostł ce Roe ułdu odctue te ocoe postc ce óoe ed su ee lee 5 GEOMETRI NLITYCZN W PRZESTRZENI 5 WEKTORY Def 5 (peste R 3 ) Peste R 3 ó sstch upodoch tóe () lc ecstch; 3 R {( ) : R} Ug Peste R 3 de tepeto geoetce t sposo t o: ó sstch putó P () peste (s 5) W te tepetc eleet peste R 3 put oc pe B C P Q td Lc ted spółd putu P () ó sstch etoó cepoch OP Rs 5 Put peste peste Weto te spól pocte O () oce putch P () (s 5) Weto OP etoe odc putu P W te tepetc eleet peste R 3 eto oc pe c u v td Weto odce putó de ocl pe td Lc spółd eto ( ) Rs 5 Weto cepoe 3 ó sstch etoó soodch peste Pe eto sood u (s 53) oue tut ó sstch etoó cepoch óch putch tóe te s eue ot o długo co eto u W te tepetc eleet peste R 3 te eto Rs 53 Weto soode Def 5 (put spółloe spółpłscoe) Mó e put B C peste R 3 s spółloe gd stee post do tóe le te put (s 54) Rs 54 Put B C s spółloe
22 Mó e put K L M N peste R 3 s spółpłscoe gd stee płsc do tóe le te put Rs 55 Put K L M N s spółpłscoe Def 53 (eto spółloe spółpłscoe) Mó e eto s spółloe gd stee post tóe te s te eto (s 56) Weto spółloe de te eto óoległ; pse ted Pue e eto o est óoległ do doolego eto Rs 56 Weto s spółloe Mó e eto u v s spółpłscoe gd stee płsc tóe te s te eto Pue e eto o d doole eto s spółpłscoe Rs 57 Weto u v s spółpłscoe Def 54 (dł etoch) Nech u ( ) ( ) v ( ) o ech α R Su etoó v oel oe: v ( ) Róc etoó v oel oe: v ) ( Iloc eto u pe lc ecst α oel oe: α u ( α α α) Dodtoo pue oce o () o u ( ) Weto o etoe eo eto u etoe pec do eto u Ft 55 (u óoległoc spółpłscooc etoó) Mó e eto s óoległe ted tlo ted gd stee lc ecst α t e α Mó e eto c s spółpłscoe ted tlo ted gd ste lc ecste α β te e c α β Ft 56 (łsoc dł etoch) Nech u v d eto R 3 o ech α β R Wted dode etoó est dłe peet u v v u dode etoó est dłe łc t u ( v ) ( u v)
23 3 eto o est eleete eutl dod t u o u 4 eto u est eleete pec do eto u t u ( u) o 5 u u 6 ( αβ ) u α( βu) 7 ( α β ) u αu βu) 8 α ( u v) αu αv Ft 57 (o łsocch utó etoó) Nech u v d dool eto R 3 o ech α R Podto ech l de dool post peste Wted ut postot su etoó u v post l est ó sue utó tch etoó t post ut postot locu eto pe lc α post l est ó loco utu tego eto t post pe lc α Def 58 (ułd spółdch peste) Ułde spółdch peste t ustloe poste pecce s ed puce tóe s ee postopdłe T ułd spółdch oc pe O Poste O O O os płsc O O O płsc ułdu spółdch Def 59 (oetc ułdu spółdch peste) W leoc od eego połoe os O O O ułdu spółdch ó de ego oetce: ułd post (s 58) ułd leost (s 59) Rs 58 Ułd spółdch o oetc Rs 59 Ułd spółdch o oetc poste leoste Ug N ułd post pochod stpuce tepetc: eel p uec t cu sł dodt c os O to gte plce s eue ootu od os O do os O Podo tepetc ułd leost Def 5 (eso osch ułdu spółdch) Weto ( ) () ( ) eso odpoedo osch O O O (s 58 59) Def 5 (długo eto) Długo eto v ( ) est oelo oe: v Ug Długo eto v ( ) est ó odległoc putu P () od poctu ułdu spółdch (s 5) Rs 5 Itepetc geoetc długoc eto Ft 5 (łsoc długoc eto) Nech u v d eto R 3 o ech α R Wted u p c u u o 3 u v u v α u α u 4 u v u v
24 Ug Neóo 3 est pd te dl doole lc słdó Neóo t e gldu e tepetc geoetc eóoc tót (s 5) óo te eóoc est ol tlo ted gd o u lu o v lo gd u v β dl peego β > Rs 5 Ilustc eóoc tót Ft 53 (poło ee putu podłu odc) Nech o d eto odc odpoedo putó B Put P podłu odc B stosuu : λ gde λ > eto odc λ λ Ug Jeel ) ( ) ( to spółde eto ) ( s o: λ λ λ λ λ λ Rs 5 Podł odc B stosuu : λ Ft 54 (spółde od s ułdu putó telch) Nech gde d eto odc putó telch P o sch Weto odc od s C tego ułdu putó telch post: Ug Jeel ) ( gde to spółde eto ) ( s o: 5 ILOCZYN SKLRNY Def 5 (loc sl) Nech v u d dool eto R 3 Iloc sl etoó u v oel oe: cosϕ v u v u gde ϕ est t d eto u v (s 5)
25 Rs 5 Ilustc do c locu slego Ug M t d eto eeo u v s oe: u v ϕ c cos u v Rut postopdł eto u eto v s oe: u v v v Ft 5 (ó do olc locu slego) Nech u ( ) o v ( ) d eto R 3 Wted u v Ft 53 (łsoc locu slego) Nech u v d dool eto R 3 o ech α R Wted u v v u ( α u) v α( v u) 3 ( u v) u v 4 u u u 5 u v u v 6 eto u v s postopdłe u v Ug Róo pod puce 3 est pd te dl doole lc etoó słdó Róo eóo- c 5 est ol tlo ted gd eto u v s óoległe 53 ILOCZYN WEKTOROWY Def 53 (loc etoo) Nech u v d espółlo eto R 3 Iloce etoo upodoe p etoó u v eto tó speł u: est postopdł do płsc opte etoch u v (s 53) ego długo est ó polu óoległoou optego etoch u v t ó u v sϕ gde ϕ est t d eto u v 3 oetc tó etoó u v est god oetc ułdu spółdch O Iloc etoo p etoó u v oc pe u v Jeel ede etoó u v est etoe eo lu eto te s spółloe to pue e u v o Rs53 Weto est loce etoo etoó u v Ft 53 (ó do olc locu etooego) Nech u ) o v ) d eto R 3 Wted ( (
26 gde u v oc eso odpoedo osch O O O Ft 533 (łsoc locu etooego) Nech u v d dool eto R 3 o ech α R Wted u v v u ( α u) v α( u v ) 3 ( u v) u v 4 u ( v ) u v u 5 u v u v 6 eto u v s óoległe u v Ug Róo eóoc 5 est ol tlo ted gd eto u v s postopdłe Iloc etoó psch o oce loe esoó o olc stosuc pose łsoc o ostuc tel: o o o Def 534 (oet sł) Moete sł F płooe puce P glde putu O eto M oelo oe: M OP F Rs 53 Moet sł 54 ILOCZYN MIESZNY Def 54 (loc es) Nech u v d eto R 3 Iloc es upodoe tó etoó u v oel oe: u v u v ( ) ( ) Ft 54 (tepetc geoetc locu esego etoó) Iloc es etoó u v est ó ( dołdoc do u) otoc óoległocu V optego etoch u v (s 54) V u v ( ) Rs 54 Róoległoc opt etoch u v
27 Ft 543 (ó do olc locu esego) Nech u ) v ) ) d eto R 3 Wted ( ( ( u ( v ) Ft 544 (łsoc locu esego) Nech u v d eto R 3 o ech α R Wted ( u v ) ( v u) ( u v ) ( v u ) 3 ( u v ) ( u v ) ( v ) 4 ( α u v ) α( u v ) 5 eto u v le ede płsce ( u v ) 6 ( u v ) u v Ug Róo ostte eóoc est ol tlo ted gd pe ede etoó lo gd te eto s ee postopdłe u v est eo Oto coocu V o echołch ( ) ( ) 3 ( ) 4 ( ) s oe: det V RÓWNNI PŁSZCZYZNY Ft 55 (óe ole płsc) Róe płsc π pechodce pe put P ( ) o etoe odc postopdłe do eto ( B C) o (s 55) post: π : ( ) gde ( ) est etoe odc putó peste Weto etoe ol te płsc Rs 55 Płsc π pechod pe put P est postopdł do eto W foe ote óe płsc π pue post: π ( ) B( ) C( ) : Pose leoc ó ol płsc Ft 55 (óe ogóle płsc) Kde óe postc: π : B C D gde B C > pedst płsc Płsc t eto ol ( B C) puce D o le C (s 55) C pec o O
28 Rs 55 Płsc π est ops pe óe B C D C Ft 553 (óe petce płsc) Róe płsc π pechodce pe put P ( ) o etoe odc opte espółloch etoch u ( c ) v ( c) (s 553) post: π : su tv gde s t R lu ce: π : ( ) ( ) s( c ) t( c ) gde s t R W foe ote óe te płsc pue post: s t π : s t gde s t R sc tc Pose leoc ó petc płsc Rs 553 Płsc π pechod pe put P est óoległ do etoó u v Ft 554 (óe płsc pechodce pe 3 put) Róe płsc π pechodce pe 3 espółloe put P ( ) gde 3 (s 554) post: π : Rs 554 Płsc co pe t put Ft 555 (óe odcoe płsc) Róe płsc π odcce osch O O O ułdu spółdch odpoedo odc (oetoe) c (s 555) post: π : c Pos leo óe odco płsc
29 Rs 555 Płsc odcc osch ułdu odc c 56 RÓWNNI PROSTEJ Ft 56 (óe petce poste) Róe poste l pechodce pe put P ( ) o etoe odc coe pe eeo eto euu v ( c) (s 56) post: l : tv gde t R lu ce: l : ( ) ( ) t( c) gde t R Pos leo óe petc poste postc etooe Rs 56 Post l pechod pe put P est óoległ do eto v Po opsu spółde petce post pue post: t l : t gde t R ct Ft 56 (óe euoe poste) Róe poste l pechodce pe put P ( ) coe pe eeo eto euu v ( c) 56) post: l : c Te sposó psu ó petcego poste e óe euo (s Rs 56 Post l pechod pe put P est óoległ do eto v Ug Poe est to ps uo ó poste och posch ułó og stp e
30 Ft 563 (óe doe poste) Róe poste l tó est cc spól dóch eóoległch płsc π B C D π B C D (s 563) post: : B C D l : B C D Te sposó psu poste e óe do Ug Weto euo v poste l post v gde ( B C) ( B C) : Rs 563 Post l est cc spól płsc π π 57 WZJEMNE POŁOENI PUNKTÓW PROSTYCH I PŁSZCZYZN Def 57 (ut putu płsc post) Rute postopdł putu P płsc π put P te płsc (s 57) spełc ue: PP π Rs 57 Rut postopdł P putu P płsc π o odległo d putu P od te płsc Podoe ute postopdł putu P post l put P te poste (s 57) spełc ue: PP l Rs 57 Rut postopdł P putu P post l o odległo d putu P od te poste Ug W podo sposó ue s ut uo putu płsc lu post euu ustloego to Ft 57 (odległo putu od płsc) Odległo d putu P ( ) od płsc π : B C D s oe: B C D d B C Ug Odległo putu P od płsc π est ó długoc odc PP gde P est ute postopdł putu P płsc π (s 57) Podoe odległo putu P od poste l est ó długoc odc PP gde P est ute postopdł putu P post l (s 57) Ft 573 (odległo płsc óoległch) Odległo d d płsc óoległ π : B C D π : B C D (s 573) s oe: D D d B C
31 Rs 573 Odległo d płsc π π Def 574 (t chle poste do płsc) Kte chle poste l do płsc π t ost α d post l e ute postopdł l płsc π (s 574) Jeel post l est óoległ do płsc π to pue e t e chle do te płsc est ó Rs 574 Kt chle poste l do płsc π Ft 575 ( t chle poste do płsc) Kt chle ϕ poste o etoe euo v do płsc o etoe ol s oe: v π v ϕ c cos lu ϕ c cos v v Def 576 (t d post) Kte d post t ost utoo pe eto euoe tch postch (s 575) Pue e t d post óoległ est ó Rs 575 Kt d post pecc s o d post so Ft 577 ( t d post) M t ϕ d post o etoch euoch v v s oe: v v ϕ c cos v v Def 578 (t d płsc) Kte d płsc t ost d eto ol tch płsc (s 576) Pue e t d płsc óoległ est ó Rs 576 Kt d płsc
32 Ft 579 ( t d płsc) M t ϕ d płsc π π o etoch olch odpoedo s oe: ϕ c cos 6 GEOMETRI NLITYCZN N PŁSZCZYNIE 6 PROST N PŁSZCZYNIE Ft 6 (óe poste) Róe poste l pechodce pe put P ( ) chloe od dodte cc os O pod te α (s 6) post: l tgα ( ) : Rs 6 Rs 6 Róe poste l pechodce pe put P ( ) P ( ) (s 6) post: l : ( )( ) ( )( ) 3 Róe poste l odcce osch O O odc (seoe) o długocch odpoedo gde (s 63) post: l : Jest to t óe odcoe poste Rs 63 Rs 64 4 Róe poste l pechodce pe put P ( ) ce eto ol ( B) post: l ( ) B( ) Jest to t óe ole poste : (s 64) Rs 65 Rs 66 5 Róe petce poste l pechodce pe put P ( ) P ( ) (s 65) post: ( ) t l : t R ( ) t 6 Róe petce (post etoo) poste l pechodce pe put P o etoe odc ce eue d pe eto v (s 66) post: l : tv t R gde est poee odc putu P płsc
33 Ft 6 (u óoległoc postch) Poste l : B C l : B C s óoległe ted tlo gd B B Poste l : l : s óoległe ted tlo ted gd 3 Poste l : tv t R l : tv t R s óoległe ted tlo ted gd v v dl peego Rs 67 Poste óoległe Ft 63 (u postopdłoc postch) Poste l : B C l : B C s postopdłe ted tlo gd BB Poste l : l : s postopdłe ted tlo ted gd 3 Poste l : tv t R l : tv t R s postopdłe ted tlo ted gd v v Rs 68 Poste postopdłe Ft 64 (t d post) M t ostego ϕ utooego pe poste l : B C l : B C s oe: BB ϕ c cos ( ) ( B ) ( ) ( B ) M t ostego ϕ utooego pe poste l : l : s oe: ϕ ctg Jeel to pue e π ϕ Rs 69 Kt ost d post l l Ft 65 (odległoc putó postch) Odległo d putó P ( ) P ( ) s oe: d P P ( ) ( ) Rs 6 Odległo putó P P Rs 6 Odległo putu P od poste l
34 Odległo d putu P ( ) od poste l: B C s oe: B C d d( P l) B 3 Odległo d postch l : B C l : B C s oe: C C d d( l l ) B Rs 6 Odległo dóch postch óoległch 6 PRZEKSZTŁCENI PŁSZCZYZNY Ft 6 (pestłce płsc) Współde putu P otego u pesuc putu P () o eto v ( ) P : s o: Rs 6 Pesuce putu P o eto v Rs 6 Sete glde os ułdu spółdch Współde putó P P otch u set putu P () odpoedo glde os O O s o: P : P : 3 Współde putu P otego u set putu P () glde poctu ułdu spółdch s o: P : Rs 63 Set glde poctu ułdu spółdch Rs 64 Oót oół poctu ułdu spółdch o t α 4 Współde putu P otego u ootu putu P () oół poctu ułdu spółdch o t α ( euu pec do uchu sóe eg) s o: cosα sα P : sα cosα 5 Współde putó P P otch u podoest (pooct) putu P () sl glde odpoedo os O O s o:
35 P : P : Rs 65 Podoesto sl - glde os O o podoesto sl 3 glde os O Rs 66 Jedołdo sl glde poctu ułdu spółdch 6 Współde putu P otego u edołdoc (podoest) putu P () sl glde poctu ułdu spółdch s o: P : Ft 6 (ó ch pesutch oócoch) Nech Γ oc ó putó () R spełcch óe F() Wted ó Γ ot u pesuc ou Γ o eto v ( ) est ops pe óe: Γ : F ( ) Rs 67 Zó Γ postł u pesuc o Γ o eto v Nech Γ oc ó putó () R spełcch óe F() Wted ó Γ ot u ootu ou Γ oół poctu ułdu spółdch o t α est ops pe óe: Γ : F ( cosα sα sα cosα) Rs 68 Zó Γ postł e ou Γ u ego ootu oół poctu ułdu spółdch o t α Ug Podo post ó oó Γ otch u stoso do ou Γ {() R : F() } poostłch pestłce płsc t set osoe lu putoe podoest glde poste lu putu 63 KRZYWE STOKOWE Def 63 (og) Oge o odu puce O poeu > ó putó płsc połooch odległoc od putu O (s 63) Rs 63 Og o odu puce O poeu
36 Ft 63 (óe ogu) Róe ogu o odu poctu ułdu spółdch poeu > post: Def 633 (elps) Elps o ogsch putch F F o o due os gde > c F F ó putó płsc tóch su odległoc od ogs F F est stł ó (s 63) PF PF Rs 63 Elps o ogsch F F Ft 634 (óe elps) Róe elps o odu poctu ułdu spółdch półosch > > post: Zleo d półos o ogso c elps post: c Def 635 (hpeol) Hpeol o ogsch putch F F o o due os gde < c F F ó putó płsc tóch to egld óc odległoc od ogs F F est stł ó (s 633) PF PF Rs 633 Hpeol o ogsch F F Ft 636 (óe hpeol) Róe hpeol o odu poctu ułdu spółdch półosch ecste > uooe > post: Zleo d półos o ogso c hpeol post: c sptot hpeol ó: l : l : Def 637 (pol) Pol o ogsu puce F eoc ó putó płsc tóch odległo od ogs est ó ch odległoc od eoc (s 634) PF PK d( P )
37 Ft 638 (ó pol) Rs 634 Pol o ogsu F eoc Róe pol tóe ogso F spółde p gde p eoc óe post: p Róe c gde pedst pol Os te pol est post W ( ) spółde oeloe o: gde 4c 4 Jeel > to pol o seoe do gó dl < dół p echołe Rs 635 Pol o óu c gde Ug Og elps pol hpeol stoo gd d ch est peoe poech oce sto pe płsc Ft 639 (ó petce ch sto och) Róe petce elps E o odu poctu ułdu spółdch półosch > > post cost E : t [π) s t Gd pe to ot óe petce ogu Róe ptce hpeol H o odu poctu ułdu spółdch półos ecste > o półos uooe > post: ± cht H : t R sht Ug Puc e oe ot p gł hpeol puc ot le gł Ft 63 (ó stcch do ch sto och) Róe stce s do ogu O: stoe puce P ( ) lec do tego ogu post: s : Rs 636 Stc do ogu O puce P
38 Róe stce s do elps : E stoe puce P ( ) lec do te elps post: s : Rs 637 Stc do elps E puce P 3 Róe stce s do hpeol : H stoe puce P ( ) lec do te hpeol post: s : Rs 638 Stc do hpeol h puce P 4 Róe stce s do pol P: p stoe puce P ( ) lec do te pol post: s p( ) : Rs 639 Stc do pol P puce P
ELEMENTY RACHUNKU WEKTOROWEGO
Unwestet Wmńso- Mus w Ostne Złd Mehn onstu udownh ELEMENTY RCHUNU WETOROWEGO Włd d nż. Roet Smt Zen tetu 1. wtows J.: Stt ogón. Wsw : Wdw. Potehn Wswse, 1971. 2. wtows J.: Mehn tehnn. Wsw: Wdw.. Potehn
Macierze i wyznaczniki
//mumedupl/~gemuk de o eeoe Leu Julec Z Skocl lge lo M Gee Z Skocl l memc Defce, ede, o M Gee Z Skocl l memc Pkłd d B Wepkoc H Łuoc Memk Podoe domośc eoece, ćce dl udeó occh W Kck L Włodk l memc dch Cęść
Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyńskie Centrum Sportu jednostka budżetowa Rozdział 2. Informacja o trybie i stosowaniu przepisów
Z n a k s p r a w y G C S D Z P I 2 7 1 07 2 0 1 5 S P E C Y F I K A C J A I S T O T N Y C H W A R U N K Ó W Z A M Ó W I E N I A f U s ł u g i s p r z» t a n i a o b i e k t Gó w d y s k i e g o C e n
ILOCZYNY WEKTORÓW. s równoległe wtedy i tylko wtedy. b =
St Kowls Włd mtemt dl studentów erunu Mehn włd ILOZYNY WEKTORÓW 3 { : } trówmrow prestre tór mon nterpretow n tr sposo: Jo ór puntów W te nterpret element prestren 3 nw s puntm Nps on e punt m współrdne
GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI
GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI Współęde postoąte De są t osie OX OY OZ wjemie postopdłe peijąe się w puie O. Oiem pewie odie jo jedostow i om pe współęde putów odpowiedih osih. DEFINICJA Postoątm
Macierze i wyznaczniki
//mumedupl/~gemuk de o eeoe Leu Julec Z Skocl lgeb lo M Gee Z Skocl l memc Defce, ede, o M Gee Z Skocl l memc Pkłd d B Wepkoc H Łuboc Memk Podoe domośc eoece, ćce dl udeó occh W Kck L Włodk l memc dch
Wykład 6. Stabilność układów dynamicznych
Wyłd 6. Sblość ułdó dymcych Rożmy obe dymcy (uoomcy e poddy ymueom) d d d F( ) dm d Pu róog d F( ) r d Obe loy r r mcer( ) de Ułd e bly eżel yrącoy e u róog oe prodoy do u róog Defc blośc ee Lpuo Pu róog
Dziś: Pełna tabela loterii państwowej z poniedziałkowego ciągnienia
Dś: l l ń C D O 0 Ol : Z l N 40 X C R : D l ś 0 R 3 ń 6 93 Oź l ę l ę -H O D ę ź R l ś l R C - O ś ę B l () N H śl ź ę - H l ę ć " Bl : () f l N l l ś 9! l B l R Dl ę R l f G ęś l ś ę ę Y ń (l ) ę f ęś
Zestawienie porownawcze najpopularniejszych i darmowych programow GPS. dostepnych na smartfony i tablety
Zesee pre pplres r prr prr r ere, prr pree prr s sep sr ble ; > s r J Ž ˆ š š š š Ÿ š š rr e pr r p Ws ble e p ere ps rps Trs r sr l Dse r r r r r r r r ere ers prr..2 6.2..7 2. 2. 7. 8....2.2 2. 7...2
Def.12. Minorem stopnia k N macierzy nazywamy wyznacznik utworzony z elementów tej macierzy stojących na przecięciu dowolnie wybranych
Fk. Niech mciee i B ego smego sopi będą odrcle or iech R-{}, N. Wed mciee -, T, B,, są kże odrcle i prdie są róości:. de ( - )=(de ) -. ( - ) - =. ( T ) - =( - ) T. (B) - =B - -. ( ) - = ( - ). ( ) - =(
Ń Ł Ń Ó Ł Ę Ó Ó Ę ĘŚ Ó ÓŚ Ó Ę Ć Ó Ć Ę Ł Ó Ę Ć Ś Ż Ś Ś Ó Ó Ś Ń Ś Ó Ę Ę Ż Ć Ś Ó Ę Ó Ę Ę Ę Ę Ó Ś Ę Ę Ł Ć Ć Ś Ó Ę Ź Ę Ż Ź Ś Ź Ę Ę Ę Ó Ó Ó Ę Ę Ę Ę Ó Ę Ę Ć Ę Ć Ł Ź Ę Ę Ś Ń Ę Ć Ź Ó Ź Ó Ó Ę Ć Ć Ć Ź Ę Ę Ć Ę Ę
Przy zakupie kompletu opon Goodyear UltraGrip 8 ciepły koc w prezencie. Gratis! ** www.premio.pl. Nowość! UltraGrip 8 155/70 R13 75T 209 zł*
Gt! ** **c c gc, ść! UltG 8 209 ł*.m.l P mlt Gd UltG 8 cł c c Zm mc Dl śc Zmę Gd UltG 8 SP t St 4D 195/65 R15 91T SP t St 4D. dchd m mch. lc tó mtch cą c gd. tc fl tchę d d g t mch gdżtó Dl. 319,-* 209,-*
I n f o r m a c j e n a t e m a t p o d m i o t u k t ó r e m u z a m a w i a j» c y p o w i e r z y łk p o w i e r z y l i p r o w a d z e p o s t p
A d r e s s t r o n y i n t e r n e t o w e j, n a k t ó r e j z a m i e s z c z o n a b d z i e s p e c y f i k a c j a i s t o t n y c h w a r u n k ó w z a m ó w i e n i a ( j e e ld io t y c z y )
Ę ż Ł ś ą ł ść ó ą ż ę ł Ł ś ą ś Ż ż ż ń ż ł ś ń ż żę Ł ż ó ń ę ż ł ńó ó ł ń ą ż ę ż ą ą ż Ń ż ż ż óź ź ź ż Ę ż ś ż ł ó ń ż ć óź ż ę ż ż ńś ś ó ń ó ś
Ę Ł ś ą ł ść ą ę ł Ł ś ą ś Ż ł ś ę Ł ę ł ł ą ę ą ą Ń ź ź ź Ę ś ł ć Ź ę ś ś ś Ę ł ś ć Ę ś ł ś ą ź ą ą ą ą ą ą ą ą ś ą ęń ś ł ą ś Ł ś ś ź Ą ł ć ą ą Ę ą ś ź Ł ź ć ś ę ę ź ą Ż ć ć Ą ć ć ł ł ś ł ś ę ą łą ć
A B - zawieranie słabe
NAZEWNICTWO: : rówoważość defcj : rówość defcj dla każdego steje! ZBIORY steje dokłade jede {,,,...} - całkowte * - całkowte be era - wmere - ujeme plus ero - recwste - espoloe A B - awerae słabe A :
q (s, z) = ( ) (λ T) ρc = q
M O D E L O W A N I E I N Y N I E R S K I E n r 4 7, I S S N 1 8 9 6-7 7 1 X W Y Z N A C Z A N I E O D K S Z T A C E T O W A R Z Y S Z Ą C Y C H H A R T O W A N I U P O W I E R Z C H N I O W Y M W I E
WEKTORY skalary wektory W ogólnym przypadku, aby określić wektor, należy znać:
WEKTORY Wśród wielkości fizycznych występujących w fizyce możn wyróżnić sklry i wektory. Aby określić wielkość sklrną, wystrczy podć tylko jedną liczbę. Wielkościmi tkimi są ms, czs, tempertur, objętość
Wyznacznikiem macierzy kwadratowej A stopnia n nazywamy liczbę det A określoną następująco:
Def.8. Wyzncznikiem mcierzy kwdrtowej stopni n nzywmy liczbę det określoną nstępująco:.det.det dl n n det det n det n, gdzie i j ozncz mcierz, którą otrzymujemy z mcierzy przez skreślenie i- tego wiersz
δ δ δ 1 ε δ δ δ 1 ε ε δ δ δ ε ε = T T a b c 1 = T = T = T
M O D E L O W A N I E I N Y N I E R S K I E n r 4 7, I S S N 8 9 6-7 7 X M O D E L O W A N I E P A S Z C Z Y Z N B A Z O W Y C H K O R P U S W N A P O D S T A W I E P O M W S P R Z D N O C I O W Y C H
2 7k 0 5k 2 0 1 5 S 1 0 0 P a s t w a c z ł o n k o w s k i e - Z a m ó w i e n i e p u b l i c z n e n a u s ł u g- i O g ł o s z e n i e o z a m ó w i e n i u - P r o c e d u r a o t w a r t a P o l
Spójne przestrzenie metryczne
Spóe pzeszee ecze De. Pzeszeń eczą zw spóą eżel e d sę e pzedswć w posc s dwóc zoów epsc owc ozłączc. - pzeszeń spó ~ owe Icze es zoe spó eżel dl dowolc pów czl see cągł c : : = = see dog łącząc Tw. ągł
Gdyńskim Ośrodkiem Sportu i Rekreacji jednostka budżetowa
W Z Ó R U M O W Y z a w a r t a w G d y n i w d n i u 2 0 1 4 r po m i d z y G d y s k i m O r o d k i e m S p o r t u i R e k r e a c j i j e d n o s t k a b u d e t o w a ( 8 1-5 3 8 G d y n i a ), l
Spójne przestrzenie metryczne
lz Włd 5 d d Ćel cel@gedpl Spóe pzeszee ecze De Pzeszeń eczą ρ zw spóą eżel e d sę e pzedswć w psc s dwóc zów epsc wc złączc ρ - pzeszeń spó ~ we Icze es ze spó eżel dl dwlc pów czl see cągł c γ : : γ
Nazwa jednostki organizacyjnej, w skład której wchodzi szkoła. Zespół Szkolno- Przedszkolny nr 3
P d 19 ś 2018 Z p UCHAŁA NR NR RAY EE ROCŁAA p ul plu śl g bdó publh ó pdh b N pd 18 u 2 p 15 u d 8 1990 ą g ( U 2018 p 994, 1000, 1349 1432), 12 p 11 92 u 1 u d 5 1998 ą p ( U 2018 p 995, 1000, 1349 1432)
n ó g, S t r o n a 2 z 1 9
Z n a k s p r a w y G O S I R D Z P I2 7 1 0 6 3 2 0 1 4 S P E C Y F I K A C J A I S T O T N Y C H W A R U N K Ó W Z A M Ó W I E N I A D o s t a w a w r a z z m o n t a e m u r z» d z e s i ł o w n i z
Ć ź Ą Ć ź ź Ę Ę Ę Ę Ń Ą Ę ź ź Ó Ę Ę Ć Ę Ó ź ź ź ź Ń ź ź Ę Ę Ó ź Ć Ę ź ź Ą Ć Ę Ę Ę Ą Ć Ć Ż Ż Ó Ó Ą Ą Ą Ź Ą ź Ę Ą Ę Ó Ę ź Ę Ą Ś Ń Ż Ś Ó Ó Ó Ż Ę Ę Ę Ż Ź Ę Ę Ę Ę Ę Ę Ż Ż Ę Ę Ę Ę Ę Ę Ę Ż Ż Ń Ę Ś Ę Ę ĘĘ ÓŚ Ę
Instrukcja zarządzania systemem informatycznym przetwarzającym dane osobowe w Chorągwi Dolnośląskiej ZHP Spis treści
C h o r ą g i e w D o l n o l ą s k a Z H P Z a ł ą c z n i k 5 d o U c h w a ł y n r 2 2 / I X / 2 0 1 5 K o m e n d y C h o r ą g w i D o l n o 6 l ą s k i e j Z H P z d n i a 0 8. 0 62. 0 1 5 r. I n
latarnia morska wę d elbląg malbork an o el a z o i s olsztyn zamek krzyżacki w malborku Wisła płock żelazowa wola ęży z a me k ól.
T ę Ł ó 499 ż Y ę ą T T ą ść ż B ę ó ąż ę ąż żą ó ę ż ę ś Ś SZ ź ź S żó ż śó ś ść E ó E ń ó ó ó E ó ś ż ó Ł Gó ę ó SZ ś ż ę ę T 6 5 ó ż 6 5 : 685 75 ą ę 8 Ó ńó ę: : U 5 ó ż ó 5 Śą Gó 4 ść ę U żę ż ć Z
ę ą ę ó ń ń ń ó ń ó ó ń ź ą ę Ń ą ó ę ą ó ą ą ć ś ą ó ś ó ń ó ą Ń Ą ś ę ńś Ą ń ó ń ó ńś ó ś Ą ś ś ó ó ś ś ó ą ń ó ń Ę ń ć ńś ę ó ś ś Ę ń Ł ó ń ź ń ś ę
ń ę ś Ą Ń ó ę ą ń ą ś Ł ń ń ź ń ś ó ń ę ę ę Ń ą ą ń ą ź ą ź ń ć ę ó ó ę ś ą ść ńś ś ę ź ó ń ó ń ę ń ą ń ś ę ó ó Ę ó ń ę ń ó ń ń ń ą Ę ą ź ą ą ń ó ą ę ó ć ą ś ę ó ą ń ś ę ą ę ó ń ń ń ó ń ó ó ń ź ą ę Ń ą
Wrocław, dnia 31 marca 2017 r. Poz UCHWAŁA NR XXXVII/843/17 RADY MIEJSKIEJ WROCŁAWIA. z dnia 23 marca 2017 r.
ZENN URZĘY EÓZTA LNŚLĄE, 31 2017.. 1547 UHAŁA NR XXXV/843/17 RAY EE RŁAA 23 2017. p ó p gó N p. 18. 2 p 15 8 1990. ą g (. U. 2016. p. 814, 1579 1948). 210. 1. 4 14 g 2016. p pą ę - ś (. U. 2017. p. 60),
F u l l H D, I P S D, I P F u l l H D, I P 5 M P,
Z a ł» c z n i k n r 6 d o S p e c y f i k a c j i I s t o t n y c h W a r u n k ó w Z a m ó w i e n i a Z n a k s p r a w yg O S I R D Z P I 2 7 1 02 4 2 0 1 5 W Z Ó R U M O W Y z a w a r t a w G d y
Równania różniczkowe zwyczajne zadania z odpowiedziami
Równania różniczkowe zwyczajne zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie Spis treści I Równania pierwszego rzędu 2 o rozdzielonych zmiennych 2 jednorodne 4 liniowe 4 Bernoulliego 5 Równania sprowadzalne
Zadania z algebry liniowej Iloczyn skalarny, przestrzenie euklidesowe
Zadania z algebry liniowej Iloczyn skalarny, przestrzenie euklidesowe Definicja 1 (Iloczyn skalarny). Niech V będzie rzeczywistą przestrzenią liniową. Iloczynem skalarnym w przestrzeni V nazywamy funkcję
SPECYFIKACJA ISTOTNYCH WARUNKÓW ZAMÓWIENIA
Z n a k s p r a w y GC S D Z P I 2 7 1 0 1 42 0 1 5 S P E C Y F I K A C J A I S T O T N Y C H W A R U N K Ó W Z A M Ó W I E N I A f W y k o n a n i e p r a c p i e l g n a c y j n o r e n o w a c y j n
WEWNĘTRZNA INSTALACJA WOD-KAN. I C.W.U., 1. Zakres robót 啇 ty 啇 j 啇uj 啇 y st j dy 哷 啇 j st j pł j dy u 噷yt j st j 哷 j s t j udy 啇 s 哷 y p 哷y u y 哷 啇 s
ZAKŁAD USŁUG P ROJEKTOWYCH 44-121 GLIWICE UL.NIEDBALSKIEGO 4/5 PW 025/08/TT I-1 哷 JĄ 哷 哷 啇d udy ó js h 哷yst ud t p ł 哷 啇 p 哷 h 啇 哷 J Projekt bud-wyk. przebudowy mieszkań w celu wydzielenia pomieszczeń
ω a, ω - prędkości kątowe członów czynnego a i biernego b przy
Prekłne Mechncne PRZEKŁADNIE MECHANICZNE Prekłne mechncne są wykle mechnmm kołowym prenconym o prenesen npęu o włu slnk wykonuącego ruch orotowy o cłonu npęowego msyny rooce, mechnmu wykonwcego lu wprost
Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyńskie Centrum Sportu jednostka budżetowa Rozdział 2. Informacja o trybie i stosowaniu przepisów
Z n a k s p r a w y G C S D Z P I 2 7 1 01 82 0 1 5 S P E C Y F I K A C J A I S T O T N Y C H W A R U N K Ó W Z A M Ó W I E N I A P r o m o c j a G m i n y M i a s t a G d y n i a p r z e z z e s p óp
Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyński Ośrodek Sportu i Rekreacji jednostka budżetowa Rozdział 2.
Z n a k s p r a w y G O S I R D Z P I 2 7 1 03 3 2 0 1 4 S P E C Y F I K A C J A I S T O T N Y C H W A R U N K Ó W Z A M Ó W I E N I A f U d o s t p n i e n i e t e l e b i m ó w i n a g ł o n i e n i
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE zadania z odpowiedziami
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści I Równania pierwszego rzędu 2 o rozdzielonych zmiennych 2 jednorodne 3 liniowe 3 Bernoulliego
ą ą Ą ł ą Ą Ł ÓŁ Ą ę ą ż ę łą ą łą
Ą ł Ą Ł ÓŁ Ą ę ę ł ł ń ęść ł ł ę ęść źć ć ł ń ś ń ć ń ń ń Ż ł ć ść ń ń Ę ę ĘŚĆ Ó Ł Ł ę ł ś ł Ę ę ń ń ś ś ź ę ś Ę ś ć ś ę Ę ę ć ń ś ś ę ę ć ś Ę ń ź ć ś ś Ł ś Ł ź ł ę Ż ń Ę ń Ę ń ś ę ń ś ś ń ł ś ć ź ń ś
Malowanki wiejskie. OB OKI / agodne ręce lata. œ œ œ # œ œ. œ œ œ # œœ œ œ. œ œ œ œ. j œ œ œ # œ œ œ. j œ. & œ # œ œ œ œ œœ. œ & œ i. œ i I. œ # œ.
Maloanki ieskie na sopan lu mezzo-sopan z fotepianem Rok postania: 1990 aykonanie: aszaska siedzia ZAiKS-u, 1991 OB OKI / agodne ęe lata Muzyka: ezy Baue S oa: Kazimiea I akoizóna iano q = a (uato) I i
SPECYFIKACJA ISTOTNYCH WARUNKÓW ZAMÓWIENIA
Z n a k s p r a w y G C S D Z P I 2 7 1 0 2 02 0 1 5 S P E C Y F I K A C J A I S T O T N Y C H W A R U N K Ó W Z A M Ó W I E N I A U s ł u g a d r u k o w a n i a d l a p o t r z e b G d y s k i e g o
-ikademia w Tbilisi z okazji 60-lecia
4 XXXV 0 (8 * D 5 98 B B C - 0-0- P N END BEŻNE ś B C - P C P E- X X V P- ź ź - \ 0 - ś - - - - - - P B - U - ~ 0 ś B ź - B - - - C- C - U P P [/ N P-? Q Pś-? C - ś * ś - - 8 - ś - E? - P P > 7 B - - B
Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyński Ośrodek Sportu i Rekreacji jednostka budżetowa Rozdział 2.
Z n a k s p r a w y G O S I R D Z P I 2 7 1 0 5 32 0 1 4 S P E C Y F I K A C J A I S T O T N Y C H W A R U N K Ó W Z A M Ó W I E N I A f W y k o n a n i e p r z e g l» d ó w k o n s e r w a c y j n o -
1. Liczby zespolone Zadanie 1.1. Przedstawić w postaci a + ib, a, b R, następujące liczby zespolone (1) 1 i (2) (5)
. Liczby zespolone Zadanie.. Przedstawić w postaci a + ib, a, b R, następujące liczby zespolone () i +i, () 3i, (3) ( + i 3) 6, (4) (5) ( +i ( i) 5, +i 3 i ) 4. Zadanie.. Znaleźć moduł i argument główny
Í ń ę ń Í ę ź ę ń ľ ń ć ę ę ľ ń ę ľ ć
ń Í ń ę ń Í ę ź ę ń ľ ń ć ę ę ľ ń ę ľ ć Í ń Ó Ń Ń Ń Ó ľ ęż Ń Á ęż Ń Ą ę Ż ć ę ę Ż ć ę ć Ś ę ę Ś Ż Ż Ż Ż ę ę Ż ń Ż ń ę ę ć Ś ę Ż ć Ż ć Ż Ż ć ń Ż ľ ę ę ę ę Ś ę ę ľ ę Ę Ĺ Í ľ ď ý Ę ń ľ ę ń Ó Ń ć Í ô Ó ľ ü
Uwaga z alkoholem. Picie na świeżym powietrzu jest zabronione, poza licencjonowanymi ogródkami, a mandat można dostać nawet za niewinne piwko.
B : U U F F U 01 Ę ś ę 3 ż łć ę ę ź ł, Ż 64 ó ł ł óżó, j, j U 02 Ą ś U ł 1925, 1973 łś ą ż ęą fć j j ą j ł 9 ( ) ó 15 F 03 j ąó j j, ę j ż 15 ł, ó f Bść ł łj ł, 1223 j 15 B Ą ć ę j- j ść, j ż ą, ż, ją
kwartalna sprzeda elazek
Modele elowe MODELE NIELINIOWE Prłd. model low elow - orówe). Kwrl sred ele w lch 996-999 wosł: 4 5 6 7 8 9 4 45 5 57 6 64 68 65 68 67 69 7 7 7 75 Wc rogo rec wrł ro 999. Z wres wd, e red jes rosc lec
dr inż. Zbigniew Szklarski
Włd : Wetor dr nż. Zgnew Slrs sl@gh.edu.pl http://ler.uc.gh.edu.pl/z.slrs/ Welośc fcne Długość, cs, sł, ms, prędość, pęd, prspesene tempertur, nprężene, premescene, ntężene prądu eletrcnego, ntężene pol
DOPASOWANIE ZALEŻNOŚCI LINIOWEJ DO WYNIKÓW POMIARÓW
DOPAOWANIE ZALEŻNOŚCI LINIOWEJ DO WYNIKÓW POMIARÓW Jedm stotch gdeń l dch pomroch jest dopsoe leżośc teoretcej do kó pomró. Dotc oo stucj gd dokoo ser pomró pr elkośc które są e soą poąe leżoścą f... m
r = x x2 2 + x2 3.
Przestrze«aniczna Def. 1. Przestrzeni aniczn zwi zan z przestrzeni liniow V nazywamy dowolny niepusty zbiór P z dziaªaniem ω : P P V (które dowolnej parze elementów zbioru P przyporz dkowuje wektor z przestrzeni
Podstawy robotyki. Wykład II. Robert Muszyński Janusz Jakubiak Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki Politechnika Wrocławska
Podstawy robotyki Wykład II Ruch ciała sztywnego w przestrzeni euklidesowej Robert Muszyński Janusz Jakubiak Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki Politechnika Wrocławska Preliminaria matematyczne
Ć ę ą ą ę ó ó ó ó ą ęść ę ó ę ó ą ó ś ą ę ś ó ó ą Ć ą ą ę ó ą ą ę Ę ś ę ę ę ś ó ę ą ą ę ś ę ę ą ę ę ęś ą ę ó ń Ł ń ę ę ó ą ę ń ą ń ęś ą ą ę ó ś ę ó ęś ę ó ó ęś ść ć Ć ę ó ą Ę óż ą ć ą Ć ć ść ć ę ó ć ś
Endomorfizmy liniowe
Endomorfizmy liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 8. wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2011 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2011 1 / 16 Endomorfizmy
E %&' % % ( )*+ * *,!"#$% &' & ( $% )*+,-./ :;- CDE E 1 -FG HIJKLMIN O? O OP QRST: UE V./ WX -Y U? &E Z 2[\] ^_ I`ab Vc - 2[\]! RO?,
![E %&' % % ( )*+ * *,!#$% &' & ( $% )*+,-./ :;- CDE E 1 -FG HIJKLMIN O? O OP QRST: UE V./ WX -Y U? &E Z 2[\] ^_ I`ab Vc - 2[\]! RO?,](/thumbs/99/142573503.jpg "E %&' % % ( )*+ * *,!#$% &' & ( $% )*+,-./ :;- CDE E 1 -FG HIJKLMIN O? O OP QRST: UE V./ WX -Y U? &E Z 2[\] ^_ I`ab Vc - 2[\]! RO?,")
E %&'%%( )*+* *,!"#$%&'&( $% )*+,-./0123456789:;- ?@AB CDEE1-FGHIJKLMIN O?OOPQRST: UEV./ WX-YU?&EZ2[\]^_ I`abVc-2[\]!RO?,O 2OP8!2O?\:RQWX2!" [\ O OPQ RO?, 2 #$%&' U-: 5 5$% D-3456:;- 2LOO -O-a 2-56:;
WIELORÓWNANIOWY MODEL LINIOWY. (MODEL REKURENCYJNY)
WIELORÓWNANIOW MODEL LINIOW. (MODEL REKURENCJN) W odelu wspu edoeruowe pow d e opóo e edogec. W prpdu sosue s progoowe łcuchowe. Błd progo wc s dl dego rów oddele logce w odelu edorówow. Prłd. Fr lecł
Mechanika teoretyczna
pdkow prestreego ukłdu sił ieżc ecik teoretc kłd r 56 Ukłd prestree. etod grfic: = 2 = = 2 3 2 3 = i 3 2 2 2 3 2 2 litc etod wci wpdkowej α = 2 cosα = = γ 2 β 2 cos α cos β cos γ = cos β = = 2 cosγ = =
Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych
Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc i scemt ocenini zdń otwrtc Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc 4 7 9 0 4 7 9 0 D D D Scemt ocenini zdń otwrtc Zdnie (pkt) Rozwiąż nierówność x x 0 Oliczm wróżnik i miejsc
Wrocław, dnia 24 czerwca 2016 r. Poz UCHWAŁA NR XXVI/540/16 RADY MIEJSKIEJ WROCŁAWIA. z dnia 16 czerwca 2016 r.
DZE UZĘDY EÓDZA DLŚLĄE, d 24 2016 2966 UCHAŁA XXV/540/16 ADY EE CŁAA d 16 2016 ś g bdó b ó d gó d 18 2 15 d 8 1990 ąd g (D U 2016 446) 12 11 92 1 d 5 1998 ąd (D U 2015 1445 1890), ą 17 4 5 d 7 ś 1991 ś
S.A RAPORT ROCZNY Za 2013 rok
O P E R A T O R T E L E K O M U N I K A C Y J N Y R A P O R T R O C Z N Y Z A 2 0 1 3 R O K Y u r e c o S. A. z s i e d z i b t w O l e ~ n i c y O l e ~ n i c a, 6 m a j a 2 0 14 r. S p i s t r e ~ c
. C Y t h C Y t h L óó C Y t h C Y t h C Y t h C Y t h L óó C Y Ç t h C Y t í 9 ù h C Y t h C Y t h C a t h L óó C a t h C a t h óó C a Y t h óó C a a t h w C b t w ù h D C b t h [ C b t w ù h [ C b t
Maciej Grzesiak. Iloczyn skalarny. 1. Iloczyn skalarny wektorów na płaszczyźnie i w przestrzeni. a b = a b cos ϕ. j) (b x. i + b y
Mciej Grzesik Iloczyn sklrny. Iloczyn sklrny wektorów n płszczyźnie i w przestrzeni Iloczyn sklrny wektorów i b określmy jko b = b cos ϕ. Bezpośrednio z definicji iloczynu sklrnego mmy, że i i = j j =
Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyński Ośrodek Sportu i Rekreacji jednostka budżetowa Rozdział 2.
Z n a k s p r a w y G O S I R D Z P I 2 7 1 0 2 32 0 1 4 S P E C Y F I K A C J A I S T O T N Y C H W A R U N K Ó W Z A M Ó W I E N I A f O b s ł u g a o p e r a t o r s k a u r a w i s a m o j e z d n
G d y n i a W y k o n a n i e p r a c p i e l g n a c y j- n o r e n o w a c y j n y c h n a o b i e k t a c h s p o r t o w y c h G C S o r a z d o s t a w a n a s i o n t r a w, n a w o z u i w i r u
Co to jest wektor? Jest to obiekt posiadający: moduł (długość), kierunek wraz ze zwrotem.
1 Wektory Co to jest wektor? Jest to obiekt posiadający: moduł (długość), kierunek wraz ze zwrotem. 1.1 Dodawanie wektorów graficzne i algebraiczne. Graficzne - metoda równoległoboku. Sprowadzamy wektory
1 klasyfikacja trójkątów twierdzenie o sumie miar kątów w trójkącie
Funkcj kwdrtow - powtórzenie z klsy pierwszej (5godzin) PLANIMETRIA Moduł - dził - temt Miry kątów w trójkącie Lp Zkres treści 1 klsyfikcj trójkątów twierdzenie o sumie mir kątów w trójkącie Trójkąty przystjące
ALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA,
ALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA, MAT00405 PRZEKSZTAL CANIE WYRAZ EN ALGEBRAICZNYCH, WZO R DWUMIANOWY NEWTONA Uprościć podane wyrażenia 7; (b) ( 6)( + ); (c) a 5 6 8a ; (d) ( 5 )( 5 + ); (e) ( 45x 4 y
SPECYFIKACJA ISTOTNYCH WARUNKÓW ZAMÓWIENIA
Z n a k s p r a w y G C S D Z P I 2 7 1 0 1 12 0 1 5 S P E C Y F I K A C J A I S T O T N Y C H W A R U N K Ó W Z A M Ó W I E N I A D o s t a w a ( u d o s t p n i e n i e ) a g r e g a t u p r» d o t w
O F E R T A H o t e l Z A M E K R Y N * * * * T a m, g d z i e b łł k i t j e z i o r p r z e p l a t a s ił z s o c z y s t z i e l e n i t r a w, a r a d o s n e t r e l e p t a z m i a r o w y m s z
IV Koszaliński Bieg Sylwestrowy KOSZALIN,
D T L D T L T C C C U B V oslńsk Beg ylestroy L, 2012-12-29 V oslńsk Beg ylestroy ejsce: L - 2012-12-29 rgntor: TF L ejsce pen 1 75 CCHC 2 68 B D 3 98 T UB 4 125 T GG G 5 95 C CCH 6 92 D T 7 77 TC 8 63
PROJEKT STAŁEJ ORGANIZACJI RUCHU
B R I BUDMEX - C, K () --, -:@v WYKONAWCA Z Dó M P W, - Pń -: @ ZLECENIODAWCA Z Dó M P W, - Pń -: @ PROJEKT STAŁEJ ORGANIZACJI RUCHU B Hń P - ż Hń-J P: ż Kf Sb KUPPOOD A P S: F: Tł, Ię N Sść: N ń: P: Pń,
f(g(x))g (x)dx = 6) x 2 1
Mtemtyk -. rok Trnsport, stcjonrne. stopie«przykªdowe zdni n kolokwium nr.cªki nieoznczone - cªkownie przez cz ±ci, cªkownie przez podstwienie Denicj F () = f(), f()d = F () + C Cªkownie przez cz ±ci:
elektrostatyka ver
elektostatka ve-8.6.7 ładunek ładunek elementan asada achowana ładunku sła (centalna, achowawca) e.6 9 C stała absolutna pawo Coulomba: F ~ dwa ładunk punktowe w póżn: F 4πε ε 8.8585 e F m ε stała ł elektcna
SPECYFIKACJA ISTOTNYCH WARUNKÓW ZAMÓWIENIA
Z a m a w i a j» c y G D Y S K I O R O D E K S P O R T U I R E K R E A C J I J E D N O S T K A B U D E T O W A 8 1 5 3 8 G d y n i a, u l O l i m p i j s k a 5k 9 Z n a k s p r a w y G O S I R D Z P I
Granica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywsitej
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 3 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus listopada 07r. Granica i ciągłość funkcji Granica funkcji rzeczywistej jednej
6. *21!" 4 % rezerwy matematycznej. oraz (ii) $ :;!" "+!"!4 oraz "" % & "!4! " )$!"!4 1 1!4 )$$$ " ' ""
Memy fow 09..000 r. 6. *!" ( orz ( 4 % rezerwy memycze $ :;!" "+!"!4 orz "" % & "!4! " $!"!4!4 $$$ " ' "" V w dowole chwl d e wzorem V 0 0. &! "! "" 4 < ; ;!" 4 $%: ; $% ; = > %4( $;% 7 4'8 A..85 B..90
Wrocław, dnia 27 marca 2015 r. Poz UCHWAŁA NR VIII/113/15 RADY MIEJSKIEJ WROCŁAWIA. z dnia 19 marca 2015 r.
ZE URZĘY JEÓZTA LŚLĄE, 27 2015 P 1376 UCHAŁA R V/113/15 RAY EJEJ RCŁAA 19 2015 b ó ó ą 4,5% ( ą ), 18 2 15 8 1990 ą g ( U 2013 594, óź 1) ) ą 12 1 26 ź 1982 źś ( U 2012 1356, óź 2) ) R, ę: 1 1 U ś bę ó
Zadania z z matematyki dla studentów gospodarki przestrzennej UŠ. Marek Majewski Aktualizacja: 31 pa¹dziernika 2006
Zadania z z matematyki dla studentów gospodarki przestrzennej UŠ Marek Majewski Aktualizacja: 1 pa¹dziernika 006 Spis tre±ci 1 Macierze dziaªania na macierzach. Wyznaczniki 1 Macierz odwrotna. Rz d macierzy
Geometria Lista 0 Zadanie 1
Geometria Lista 0 Zadanie 1. Wyznaczyć wzór na pole równoległoboku rozpiętego na wektorach u, v: (a) nie odwołując się do współrzędnych tych wektorów; (b) odwołując się do współrzędnych względem odpowiednio
T00o historyczne: Rozwój uk00adu okresowego pierwiastków 1 Storytelling Teaching Model: wiki.science-stories.org , Research Group
13T 00 o h i s t o r y c z n Re o: z w ó j u k 00 a d u o k r e s o w e g o p i e r w i a s t k ó w W p r o w a d z e n i e I s t n i e j e w i e l e s u b s t a n c j i i m o g o n e r e a g o w a z e
, , , , 0
S T E R O W N I K G R E E N M I L L A Q U A S Y S T E M 2 4 V 4 S E K C J I G B 6 9 6 4 C, 8 S E K C J I G B 6 9 6 8 C I n s t r u k c j a i n s t a l a c j i i o b s ł u g i P r z e d r o z p o c z ę
GAL 80 zadań z liczb zespolonych
GAL 80 zadań z liczb zespolonych Postać algebraiczna liczby zespolonej 1 Sprowadź wyrażenia do postaci algebraicznej: (a) ( + i)(3 i) + ( + 31)(3 + 41), (b) (4 + 3i)(5 i) ( 6i), (5 + i)(7 6i) (c), 3 +
G:\AA_Wyklad 2000\FIN\DOC\FRAUN1.doc. "Drgania i fale" ii rok FizykaBC. Dyfrakcja: Skalarna teoria dyfrakcji: ia λ
Dyfrakcja: Skalarna teoria dyfrakcji: U iω t [ e ] ( t) Re U ( ) ;. c t U ( ; t) oraz [ + ] U ( ) k. U ia s ( ) A e ik r ( rs + r ) cos( n, ) cos( n, s ) ds s r. Dyfrakcja Fresnela (a) a dyfrakcja Fraunhofera
WEKTORY skalary wektory W ogólnym przypadku, aby określić wektor, należy znać:
WEKTORY Wśród wielkości fizycznych występujących w fizyce możn wyróżnić sklry i wektory. Aby określić wielkość sklrną, wystrczy podć tylko jedną liczbę. Wielkościmi tkimi są ms, czs, tempertur, objętość
1. Algebra wektorów. Rys Wektor w układzie współrzędnych (jego współrzędne i kąty)
1. Alger wetorów Welość wetorową chrterue wrtość, cl moduł, erune, wrot. Możn ą predstwć w sposó grfcn o odcne serown o długośc proporconlne do modułu lu te w sposó nltcn. Sposó nltcn poleg n podnu rutów,,
Zadania egzaminacyjne
Rozdział 13 Zadania egzaminacyjne Egzamin z algebry liniowej AiR termin I 03022011 Zadanie 1 Wyznacz sumę rozwiązań równania: (8z + 1 i 2 2 7 iz 4 = 0 Zadanie 2 Niech u 0 = (1, 2, 1 Rozważmy odwzorowanie
Lista nr 1 - Liczby zespolone
Lista nr - Liczby zespolone Zadanie. Obliczyć: a) ( 3 i) 3 ( 6 i ) 8 c) (+ 3i) 8 (i ) 6 + 3 i + e) f*) g) ( 3 i ) 77 ( ( 3 i + ) 3i 3i h) ( + 3i) 5 ( i) 0 i) i ( 3 i ) 4 ) +... + ( 3 i ) 0 Zadanie. Przedstawić
ó ę ą ż ż ś ść Ó Ś ż Ó Ś ę ą żć ó ż Ó ż Ó ó ó ż Ó ż ó ą ą Ą ś ą ż ó ó ż ę Ć ż ż ż Ó ó ó ó ę ż ę Ó ż ę ż Ó Ę Ó ó Óś Ś ść ę ć Ś ę ąć śó ą ę ęż ó ó ż Ś ż
Ó śó ą ę Ę śćś ść ę ą ś ó ą ó Ł Ó ż Ś ą ś Ó ą ć ó ż ść śó ą Óść ó ż ż ą Ś Ś ż Ó ą Ó ą Ć Ś ż ó ż ę ąś ó ć Ś Ó ó ś ś ś ó Ó ś Ź ż ą ó ą żą śó Ś Ó Ś ó Ś Ś ąś Ó ó ę ą ż ż ś ść Ó Ś ż Ó Ś ę ą żć ó ż Ó ż Ó ó ó
Opis i zakres czynności sprzątania obiektów Gdyńskiego Centrum Sportu
O p i s i z a k r e s c z y n n o c is p r z» t a n i a o b i e k t ó w G d y s k i e g o C e n t r u m S p o r t u I S t a d i o n p i ł k a r s k i w G d y n i I A S p r z» t a n i e p r z e d m e c
Mechanika teoretyczna
ktestki geometcze Mecik teoetcz Wkłd 9, i ktestki geometcze figu płskic. Główe cetle osie ezwłdości. Pole powiezci Momet sttcz współzęde śodk ciężkości. Momet ezwłdości Momet odśodkow główe cetle osie
o d ro z m ia r u /p o w y ż e j 1 0 c m d ł c m śr e d n ic y 5 a ) o ś r e d n ic y 2,5 5 c m 5 b ) o śr e d n ic y 5 c m 1 0 c m 8
T A B E L A O C E N Y P R O C E N T O W E J T R W A Ł E G O U S Z C Z E R B K U N A Z D R O W IU R o d z a j u s z k o d z e ń c ia ła P r o c e n t t r w a łe g o u s z c z e r b k u n a z d r o w iu
aangażowanie lokalnego biznesu w sponsoring i mecenat kultury jest niewielkie, czego przyczyną jest brak odpowiedniego kapitału kulturowego u
g Z gż llg b g l l, g ą b g ł lg ó, ll g b, żść g l ó łg, ż l f, ż f łą g, ó. R l b ą, ż ó ó gh ą lę ę łś llh, ó ą b h ó łg. Sg l g h, ó f b g gh lh. Gl g: ęb l źl, h g l l l. Mą ą ę l, óó ąą l ęh gh l
STATUT. Zespołu Szkolno-Przedszkolnego nr 7 w Warszawie, ul. W. Szadkowskiego 3
STATUT Szkolno-Przedszkolnego nr 7 w Warszawie, ul. W. Szadkowskiego 3 Rozdział 1 Podstawa prawna 1. Statut opracowano na podstawie: s z n ze n o s s e e o z z poz z p n z ; ozpo z zen n s uk o o e z n
Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyńskie Centrum Sportu jednostka budżetowa Rozdział 2. Informacja o trybie i stosowaniu przepisów
Z n a k s p r a w y G C S D Z P I 2 7 1 0 33 2 0 1 7 S P E C Y F I K A C J A I S T O T N Y C H W A R U N K Ó W Z A M Ó W I E N I A f U s ł u g i s p r z» t a n i a o b i e k t ó w G d y s k i e g o C e
STATYSTYKA MATEMATYCZNA
STATYSTYKA MATEMATYCZNA Woskowe sttstcze - egesj koelcj teść Wpowdzee Regesj koelcj low dwóch zmech Regesj koelcj elow - tsfomcj zmech Regesj koelcj welokot Wpowdzee Jedostk zoowośc sttstczej mogą ć chktezowe
Indeks odwzorowania zmiennej zespolonej wzgl. krzywej zamknietej
Indeks odwzorowania zmiennej zespolonej wzgl edem krzywej zamkni etej 1. Liczby zespolone - konstrukcja Hamiltona 2. Homotopia odwzorowań na okr egu 3. Indeks odwzorowania ciag lego wzgledem krzywej zamknietej
ZADANIA Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ dla I roku kierunku informatyka WSZiB
pro. dr hb. Stisłw Biłs ZADANIA Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I roku kieruku iormtyk WSZiB I. ELEMENTARNE WŁASNOŚCI FUNKCJI. Wyzczyć dziedzię ukcji: 5 7 log[ log 5 6. b c ] d. Wyzczyć przeciwdziedzię ukcji:
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ Tadeusz Konik
Pul opow pods el poetu Pl Rowou Polteh Cęstohowse współfsowego pe Uę Euopesą w mh Euopesego Fudusu Społeego LGEBR Z GEOMETRIĄ Tdeus Ko Sps teś Rodł I Welom O welomh ówh lgeh Fue wmee 4 Rodł II L espoloe
Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyński Ośrodek Sportu i Rekreacji jednostka budżetowa Rozdział 2.
Z n a k s p r a w y G O S I R D Z P I 2 7 1 02 02 0 1 4 S P E C Y F I K A C J A I S T O T N Y C H W A R U N K Ó W Z A M Ó W I E N I A f Z a b e z p i e c z e n i e m a s o w e j i m p r e z y s p o r t