Macierze i wyznaczniki

Transkrypt

1 //mumedupl/~gemuk de o eeoe Leu Julec Z Skocl lgeb lo M Gee Z Skocl l memc Defce, ede, o M Gee Z Skocl l memc Pkłd d B Wepkoc H Łuboc Memk Podoe domośc eoece, ćce dl udeó occh W Kck L Włodk l memc dch Cęść I Mcee ck I Defc mce m Mceą mu m gde m, N m ukłd m lcb uoch ech kolumch Mcee będem ocć dużm lem lfbeu p, B, C d Eleme mce oąc m eu e kolume ocć będem pe Mce ogólm pedeu moż pć poc: m m m m m Eleme mce oą ą kolumę mce oą e eleme m Pkłd: co B co mcee mu odpoedo II Rode mce o Mce mu m kóe ke eleme ą óe m mceą eoą mu m ocm pe m lub gd m e

2 o Mce kóe lcb e ó ę lcbe kolum m mceą kdoą Wpólą lcbę e kolum m opem mce kdoe, Eleme mce kóe mą ą m ume e co kolum oą pekąą głóą mce ; ; eleme pekąe głóe o Mce kdoą op kóe ke eleme duące ę d pekąą głóą ą óe m mceą ókąą dolą o logce mce kdoą op kóe ke eleme duące ę pod pekąą głóą ą óe m mceą ókąą góą o Mce kdoą op kóe eleme e oące pekąe głóe ą óe m mceą dgolą o Mce dgolą op kóe ke eleme pekąe głóe ą óe m mceą edokoą ocm pe opeń e J def J lub pe J gd

3 III Dł mcech o Sum óżc mce Sum óżc mce ee ed lko ed gd mcee mą e m m Nech m B b m będą mcem mu m Sumą óżcę ) mce B m mce m okeśloe oem C B m b b b c m def C kóe eleme ą b dl m Pem ed b m b b m o Iloc mce pe lcbę m b b b Iloc mce pe lcbę e kol e możm ke eleme pe lcbę Nech m o Iloc mce m R Wed c def m m Iloc dóch mce e kol gd pe mce m le mo kolum B będą mcem mu co dug mce e Nech b m p p odpoedo m p p Wed locem mce B m mce C kóe eleme ą okeśloe oem c def c m p b b pbp kbk dl m C B k m Pem ed Pkłd: B B e e kole poeż mce m kolum mce B m ee możeu e lcb po bć óe B

4 o Mce poo będe mceą mu m Mceą pooą do Nech m mce m mce B b m mu m kóe eleme ą okeśloe oem def b dl m Mce pooą do mce ocm pe pooe mce poleg me e kolum o m mm umee kolum ee o m mm umee Pkłd IV Włośc dłń mcech o Dode mce e pemee B B o Możee mce e e pemee c B B o Możee mce e odele ględem dod mce B C) B C B) C C BC o Dode możee mce e łące B) C B C) B) C BC) o B) ) B B) dl doole lcb mce, B dl kóch kole e możee o Dl mce mu m J J m B) B ; ) ; o ) ; B) B o Sum, óżc, loc, loc pe lcbę mce ókąch dolch góch) e mceą ókąą dolą góą) Defc: Mce kdo e mec Mce kdo e mec

5 V Wck mce kdoe Defc ck Nech będe mceą kdoą op o Jeżel mce e op = o de de df o Jeżel mce e op o df ) ) ) de de Dl uloego gde ck op połe mce pe keślee ego e e kolum Je o defc ck pomocą oęc Lplce kó kł, że ukuem edkoą ość eleże od bou ego e logcą defcę ukm ouąc pukce o oęc Lplce ględem e kolum Wed df ) ) ) de de Pkce oblce ckó op = oue ę ó: de c b d c b d d cb Pkłd de Pkce oblce ckó op = oue ę ó Su: de Geomece e o umoe pomożoch ech ó leżącch łkch kośch keoch dół chloch po kem + chloch leo kem, dopuąc d pee ee dołu mce lub de pee kolum pe o mce

6 Pkłd Oblce pomocą ou Su Oblce pomocą oęc Lplce p pomocą go e ) ) ) ) ) ) Wck op > lc ę pomocą oęc Lplce kouąc podoe łośc ckó kóe ą pde dl op żch VI Podoe łośc ckó o Wck mce kdoe mące kolumę e ) łożoą mch e e ó o Wck mce kdoe me k eżel mem męd obą de kolum ee) o Wck mce kdoe mące de kolum ee ) edkoe e ó b b

7 o Wck mce kdoe e me ę, eżel do elemeó doole kolum e) dodm odpodące m eleme e kolum ego e) e mce pomożoe pe doolą lcbę c c c Ogóle ck mce kdoe e me ę, eżel do elemeó doole kolum e) dodm umę odpodącch m elemeó ch kolum ch e) e mce pomożoe pe doole lcb o b b b b b b o de de o d d d d dl doole lcb d Pkłd Oblcć ck p Gde e k k d kuem ko mce mu W żeu ępue odemoe od k ego e ego e pomożoego pe lcbę d kouąc e dł k dł mcech k oblcom

8 om eem ępuem mce po pe oe óośc e k oe óośc Poołe ee e oblce ko oe pepuem be m VII Mce odo Defc mce odoe k po lee Mceą odoą mce kdoe op m mce ocą pe pełącą uek J gde J e mceą edokoą op Defc mce ooble eooble Mce kdoą m mceą ooblą, gd de ppdku móm, że mce e eoobl edee W pecm ) Mce kdo e odcl ed lko ed gd e eoobl b) Jeżel mce kdo op e eoobl, o k D D D D D D k gde D de k ) k dopełee lgebce elemeu D D D k, Nom k ck op połe mce pe keślee k ego e e kolum edee Nech mcee kdoe B ego mego op będą odcle R \ Wed mcee,, B, ą odcle o de de ) ) ) ) B ) B ) Pkłd Oblcć

9 ęc mce e odcl Pkłd Oblcć mce X pełącą óe ) X gde ) ) X możąc óe obuoe lee o pe X ) ) kouąc łącość może odelość może ględem dod ) J X J kouąc fk, że J J X kouąc fk, że X X J Włośc e ą pedoe łoścch dłń mcech cęśc IV de de ęc ee ) ) ) X

10 Ukłd óń loch Defc Ukłdu óń loch Ukłdem m óń loch edomm m ukłd óń poc: b b m m m bm gde R b R dl m,,,, gde m N,, Roąem ukłdu óń loch m cąg lcb ecch,,,, pełącch e ukłd Ukłd óń e podąc oą m pec Mcee b def def b def m X B m m m m m bm mce głó X mce edomch B mce ó olch ukłdu óń loch Wed X B e pem ukłdu óń loch poc mceoe W ppdku młe lośc edomch będem ocć pe e pe,,,, u, v, m, Ukłd Cme Ukłd óń lom m ukłdem Cme eżel pełoe ą łośc: Mce głó ukłdu óń e mceą kdoą / lcb óń ó ę lośc edomch / Jeżel mce e mceą eooblą de edee Ukłd Cme X B m dokłde edo oąe okeśloe oem: de de X de de lub de de,,, de de de de gde mce poe mce pope ee mce kolumę B ó olch,,, ą kolumę

11 kol b b b Pkłd Roąć ukłd óń loch Mm ó edome ęc mce głó ukłdu e mceą kdoą de Je óeż mceą eooblą ęc ukłd e ukłdem Cme Defc ukłdu óożego D ukłd óń loch X B X B ch oąń ą ke me dece) ą óoże, eżel bo Opece óożego pekłc ukłdó óń loch: Mceą oeoą m mce głóą dooą kolumą ó olch B ukłdu óń loch B B X ocm pe b b B mm mbm Moż dokoć ępuące opece ech mce oeoe pekłcące ukłd óń óoż Zm e męd obą m ego m eem ) Możee e pe łą óżą od e c możee ego e pe lcbę c ) Dode do e ego e pomożoego pe lcbę c c dode do ego e ego ego e pomożoego pe lcbę c) Skeślee e kłdącego ę mch e keślee ego e )

12 Skeślee edego e óch lub popocolch ~ keślee ego e popocolego do ego ego e ) Zm kolum ąkem oe kolum pmęem m edomch k k m e ą kolumą ) Dokouąc poże dopucle opece możem ukłd X B mceą oeoą B dopodć do ukłdu óożego X B mceą oeoą B poc meodą elmc Gu):,,,,, B Wed ) Jeżel o ukłd óń X B e pec b) Jeżel o e mce B e ępue o ukłd óń X B e óoż ukłdo Cme ukłd oco ) ego ede oąe,,, m poć,,, lub,,, eżel p pekłcu mce ąpł m kolum puk ) c) Jeżel o e mce B e ępue o ukłd óń X B m ekońcee ele oąń ukłd eoco) edomch,,, leż od poołch,,, edomch k k k k k) k,,,,,, R Nedome,,, m edomm leżm edome,,, pmem Lcb e co edoce eleże od ó olch b, b,, b m ó ę ędo mce ) k co lcb może łużć defcę ędu mce kóą defue ę ce ko mkml opeń mce kdoe o cku óżm od e połe pope keślee pee lcb e kolum mce Dokouąc dopucle opece mce oeoe B ukłdu X B możem dopodć do ukłdu óożego X B o mce oeoe B poc:

13 , B,,,,,,, l oąń łość deku e k m k popedo lko ce omue ę oą: ) Jeżel o ukłd óń X B e pec b) Jeżel o e mce B e ępue o ukłd óń X B e óoż ukłdo Cme ukłd oco ) m lko edo oąe c) Jeżel o e mce B e ępue o ukłd óń X B m ekońcee ele oąń ukłd eoco) edomch,,, leż od poołch,,, edomch Roą pukce b) c) moż ukć ępuąc poób: Ukłd óń loch ą mceą oeoą m poć: Z oego ó oblcm ) mece Id k k I mece m kk ) oblcoe poże ) k k k k k,,, kk k, k m ceśe oblcoe e ośc,, W ppdku mm ukłd Cme X B poc:

14 I e ukłd moż oąć pomocą oó Cme dl kóego de W kch ch och uględm pee kolum ąe m peee edomch opecch pekłc mce oeoe Pkłd Roąć ukłd óń loch Mce głó ukłdu de ęc ukłd e e e ukłdem Cme Spoób I,,,,, B B Ukłd B X e óoż ukłdo

15 Sąd R Spoób II B B Ukłd B X e óoż ukłdo Sąd R

16