Wizualizacja 3D obiektów i systemów biomedycznych
|
|
- Barbara Zych
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Wizualizacja 3D obiektów i systemów biomedycznych Krzysztof Gdawiec Instytut Informatyki Uniwersytet Śląski
2 Wejście: przykładowe zbiory danych
3 Wyjście: obraz Dziedzina: przestrzeń 2D (pozycje pikseli) Przeciwdziedzina: kolor piksela lub odcień szarości
4 Funkcyjne spojrzenie na wizualizację Wejście: zbiór danych w przestrzeni wysokowymiarowej d D m n. Wyjście: kolorowy obraz i R 2 3 = R 5. Wizualizacja: funkcja v : D m n R 5. Analiza: funkcja odwrotna v 1 : R 5 D m n.
5 Wyzwania w wizualizacji Wymiarowość: zbiór danych wejściowych ma znacznie większą wymiarowość niż obrazy 2D (m + n >> 2 + 3), gdzie umieścić wszystkie te wymiary? Rozmiar danych: liczba punktów wejściowych znacznie większa niż rozdzielczość ekranu, gdzie narysować wszystkie te punkty? Analiza: funkcja wizualizacji nie (w pełni) odwracalna, jak przejść od kształtów/kolorów z powrotem do danych? W jaki sposób sprawić, aby funkcja v była odwracalna?
6 Przykład:
7
8 Bardziej złożone przypadki: Dane o wielu zmiennych (ang. multivariate): f : R 3 R n>>1 Dane wielowymiarowe (ang. multidimensional): f : R m>>3 R gdzie narysować wszystkie m wymiarów na obrazie 2D? Dane nieprzestrzenne (ang. non-spatial): f : D C, gdzie D, C nie są podzbiorami R k grafy, drzewa, bazy danych, kody źródłowe... jak przekształcić D, C na atrybuty obrazu (pozycję, kolor)?
9 Problemy: Co jeśli nie rozróżniamy dobrze kolorów? (krok 1) Co jeśli nie potrafimy dobrze porównywać kolorów? (krok 2) Co jeśli mapa kolorów jest zła? (krok 3, np. klika wartości s 1, s 2 odpowiada temu samemu kolorowi c) Co jeśli nie ma mapy kolorów?...
10 Dane ciągłe (ang. continuous data) Matematycznie, dane ciągłe mogą być modelowane jako funkcja f : D C, gdzie D R d jest dziedziną (ang. domain), a C R c jest przeciwdziedziną (ang. codomain). W ramach przypomnienia funkcja f jest ciągła w punkcie p D (def. Cauchy ego) jeśli ε>0 δ>0 x D x p < δ f (x) f (p) < ε.
11 Funkcja f jest rzędu k jeśli funkcja jest k-krotnie różniczkowalna i wszystkie pochodne do rzędu k są ciągłe. Oznaczamy to następująco f C k. Funkcję, której pochodna jest ciągła na przedziałach zwartych nazywamy funkcją kawałkami ciągło-różniczkowalną lub kawałkami gładką.
12 Trójka D = (D, C, f ) definiuje ciągły zbiór danych. Wymiar d przestrzeni R d, w której zawarte jest D nazywamy wymiarem geometrycznym. Wymiar s d dziedziny D nazywamy wymiarem topologicznym zbioru danych. Przykład: Jeśli D jest płaszczyzną lub powierzchnią zawartą w R 3, to s = 2 i d = 3. Jeśli D jest prostą lub krzywą zawartą w R 3, to s = 1 i d = 3. Na wymiar topologiczny możemy patrzeć jak na liczbę niezależnych zmiennych potrzebnych do reprezentowania D, np. dla powierzchni w R 3 wystarczą 2 niezależne zmienne.
13 Kowymiarem nazywamy różnicę d s. W wizualizacji naukowej najczęściej wymiar geometryczny jest ustalony, d = 3. Jedynie zmianie ulega wymiar topologiczny. W takim przypadku wymiar topologiczny nazywany jest również wymiarem zbioru danych. Wartości funkcji często nazywane są atrybutami zbioru danych, a wymiar przeciwdziedziny C nazywany jest wymiarem atrybutów.
14 Dane próbkowane (ang. sampled data) W wizualizacji naukowej nie zawsze używamy danych w ciągłej reprezentacji. Jest to konsekwencją tego, że niektóre operacje wykonywane na danych (np. przetwarzanie, filtrowanie, rendering) nie są proste ani efektywne na danych ciągłych. Z tego powodu większość metod operuje na danych próbkowanych. Wyróżniamy dwie operacje związane z danymi próbkowanymi i ciągłymi: próbkowanie mając dany ciągły zbiór danych tworzymy dane próbkowane, rekonstrukcja mając dane próbkowane odtwarzamy (aproksymujemy) oryginalne ciągłe dane.
15
16 Dane próbkowane, aby były użyteczne w praktyce, muszą spełniać kilka wymagań. Dane muszą być: dokładne musimy mieć kontrolę nad tworzeniem próbkowanego zbioru danych D s ze zbioru ciągłego D c w ten sposób, że D c może być zrekonstruowane z D s z dowolnie małym błędem określonym przez użytkownika, minimalne D s zawiera najmniejszą liczbę punktów potrzebnych do rekonstrukcji z zadanym błędem, ogólne możemy w łatwy sposób zamienić różne operacje na danych, które mogliśmy wykonać na D c ich wersjami dla D s, wydajne rekonstrukcja oraz operowanie na danych D s może być wykonane wydajnie, proste możemy stosunkowo łatwo stworzyć implementację reprezentacji D s oraz operacji wykonywanych na D s.
17 Interpolacja Problem rekonstrukcji definiujemy następująco: Mamy dane próbkowane {p i, f i } zawierające N punktów p i D i wartości f i C. Chcemy znaleźć funkcję ciągłą f : D C taką, że aproksymuje funkcję f. Funkcja zrekonstruowana powinna spełniać warunek: f (p i ) = f (p i ) = f i.
18 Jednym ze sposobów zdefiniowania funkcji f jest f = N f i φ i, i=1 gdzie φ i : D C są nazywane funkcjami bazowymi lub funkcjami interpolacji. Ponieważ chcemy, aby f (p i ) = f (p i ), więc dla każdego j {1, 2,..., N} N f i φ i (p j ) = f j (1) i=1
19 Rozważmy funkcję g, która równa jest 0 wszędzie poza p j, gdzie g(p j ) = 1. Wstawiając do (1) otrzymujemy φ i (p j ) = { 1, i = j, 0, i j. Powyższy warunek często nazywany jest ortogonalnością funkcji bazowych.
20 Rozważmy funkcję g(x) = 1 dla x D. Wstawiając g do (1) otrzymujemy N φ i (p j ) = 1, i=1 czyli suma funkcji bazowych jest równa w punktach p j. Jeśli założymy, że suma ta jest równa 1 dla x D, tzn. pj N φ i (x) = 1, x D, i=1 to możemy zrekonstruować g wszędzie w D. Własność dana powyższym wzorem nazywana jest normalnością funkcji bazowych lub też rozkładem jedynki (ang. partition of unity). Większość funkcji bazowych używanych w praktyce ma własność ortogonalności i normalności.
21 Wzór interpolacyjny f = N f i φ i, i=1 staje się nieefektywny jeśli N jest duże i musimy obliczać φ i we wszystkich tych punktach, φ i jest skomplikowane. W praktyce używamy funkcji bazowych, które: są niezerowe na małej części D (tzw. ograniczony nośnik), mają taką samą prostą postać w każdym punkcie p i.
22 Siatki i komórki (ang. grids and cells) Siatka jest podziałem danej dziedziny D R d w zbiór komórek czasem nazywanych elementami, które oznaczamy c i. Najczęściej używanymi komórkami są łamane w R, wielokąty w R 2, wielościany w R 3 itd. Ponadto, suma komórek pokrywa D, tzn. i c i = D, oraz komórki nie przecinają się, tzn. c i c j = dla i j. Wierzchołki komórek zazwyczaj są punktami p i R d zbioru danych próbkowanych.
23 Najprostszym przykładem funkcji bazowych są stałe funkcje bazowe. Dla siatki składającej się z N komórek {c 1, c 2,..., c N } definiujemy funkcje bazowe φ 0 i następująco: φ 0 i (x) = { 1, x ci, 0, x c i. 0 w indeksie funkcji φ oznacza, że jest to funkcja stała. Tak zdefiniowane funkcje bazowe są ortogonalne i normalne. Ten typ interpolacji nazywany jest interpolacją najbliższego sąsiada ponieważ każdemu x D przypisujemy wartość komórki, której środek leży najbliżej x.
24 Oryginalna funkcja f (x, y) = e (x2 +y 2 ) Interpolacja najbliższego sąsiada
25 Stałe funkcje bazowe są proste w implementacji, działają z komórkami dowolnego kształtu, ale zapewniają słabą aproksymację f oryginalnej funkcji f. W celu lepszej aproksymacji musimy użyć funkcji bazowych wyższego rzędu. Następnymi, prostymi funkcjami bazowymi są liniowe funkcje bazowe. W odróżnieniu od stałych funkcji bazowych musimy dokonać pewnych założeń na temat komórek.
26 Niech c będzie czworokątną komórką o wierzchołkach (v 1, v 2, v 3, v 4 ), gdzie v 1 = (0, 0), v 2 = (1, 0), v 3 = (1, 1), v 4 = (0, 1). Komórkę c będziemy nazywać komórką referencyjną w R 2. Niech (r, s) oznaczają współrzędne w komórce referencyjnej (współrzędne referencyjne), a (x, y) w dziedzinie D. Ogólnie niech (r 1, r 2,..., r d ) oznaczają współrzędne w komórce referencyjnej, a (x 1, x 2,..., x d ) w dziedzinie D.
27 Dla komórki referencyjnej c definiujemy: Φ 1 1(r, s) = (1 r)(1 s), Φ 1 2(r, s) = r(1 s), Φ 1 3(r, s) = rs, Φ 1 4(r, s) = (1 r)s Funkcje bazowe Φ są to funkcje lokalne, a funkcje φ, których używaliśmy wcześniej, globalne. Ponadto funkcje Φ 1 i są ortogonalne i normalne. Dla każdego punktu (r, s) c możemy zdefiniować: 4 f (r, s) = f i Φ 1 i (r, s), i=1 gdzie f 1, f 2, f 3, f 4 to wartości dane w wierzchołkach komórki.
28 Chcemy wykonać rekonstrukcję dla dowolnej komórki c = (p 1, p 2, p 3, p 4 ) pewnej dowolnej siatki. Jak to zrobić? Dla komórki c definiujemy transformację współrzędnych T : [0, 1] 2 R 3, która przekształca komórkę referencyjną na c. Funkcja T powinna być: prostym wyrażeniem działającym na dowolnej komórce, spełniać warunek T (v i ) = p i dla i = 1, 2, 3, 4, liniowa (ze względu na prostotę i efektywność obliczeniową).
29 Funkcję T przyjmujemy jako: (x, y, z) = T (r, s) = 4 p i Φ 1 i (r, s). Funkcja T przekształca komórkę referencyjną na komórkę w świecie. Zatem T 1 przekształca punkt (x, y, z) komórki w świecie na punkt (r, s) komórki referencyjnej. i=1 Zatem rekonstrukcja dla komórki c wygląda następująco: f (x, y, z) = 4 f i Φ 1 i (T 1 (x, y, z)). i=1 Rozumowanie możemy rozszerzyć na inne typy komórek, ale funkcja T 1 zależy od rodzaju komórki i z tego powodu musimy ją wyznaczać dla każdego rodzaju z osobna.
30
31 Wiemy jak zrekonstruować funkcję dla pojedynczej komórki. Rekonstrukcja dla siatki (kawałkami klasy C 1 ) zdefiniowana jest następująco: 4 f (x, y, z) = f i φ 1 i (x, y, z), i=1 gdzie 0, gdy (x, y, z) cells(p i ), φ 1 i (x, y, z) = Φ 1 j (T 1 (x, y, z)), gdy (x, y, z) c = {v 1, v 2, v 3, v 4 } i v j = p i, gdzie cells(p i ) oznacza komórkę, której jeden z wierzchołków to p i.
32 Oryginalna funkcja f (x, y) = e (x2 +y 2 ) Interpolacja najbliższego sąsiada Interpolacja liniowa
33
34 Proces próbkowania i rekonstrukcji nie jest ograniczony tylko do geometrii. W podobny sposób możemy również potraktować cieniowanie powierzchni, które możemy przedstawić jako s : R 3 R 3 R czyli (p, n) l. Cieniowanie płaskie Cieniowanie Gouraud Powierzchnia: inter. liniowa Kolory: inter. najbliższy sąsiad Powierzchnia: inter. liniowa Kolory: inter. liniowa
35 Dyskretny zbiór danych: D s = ({p i }, {c i }, {f i }, {Φ k i }), gdzie p i to punkty siatki, c i to komórki siatki, f i wartości, Φ k i to referencyjne funkcje bazowe. Kształt komórki + funkcje bazowe wyznaczają typ komórki. Liczba i pozycja punktów wyznacza typ siatki. Liczba i typ wartości wyznaczają typ atrybutu.
36 Typy komórek Jeśli chcemy aproksymować dziedzinę D za pomocą sumy komórek i c i, to wymiar d komórki c i musi być taki sam jak wymiar topologiczny dziedziny D. Zatem jeśli D jest krzywą, to używamy komórek w postaci linii. Jeśli D jest powierzchnią, to używamy planarnych komórek, takich jak wielokąty. Jeśli D jest objętością, to używamy komórek wolumetrycznych (objętościowych), takich jak czworościany.
37 Wierzchołek Wymiar d = 0. Komórka jest identyczna z pojedynczym wierzchołkiem c = {v 1 }. Komórka posiada jedną stałą funkcję bazową: Φ 0 1 = 1 W praktyce nie robimy rozróżnienia pomiędzy punktami i wierzchołkami takich komórek. Tego typu komórki służą jako modelowanie abstrakcji.
38 Odcinek Wymiar d = 1. Komórka składa się z dwóch wierzchołków, c = {v 1, v 2 }. Komórki składające się z linii używane są do interpolowania wzdłuż dowolnych krzywych zanurzonych w dowolnej przestrzeni. Zapewnia interpolację liniową. Dla komórki referencyjnej o wierzchołkach v 1 = 0, v 2 = 1 liniowe funkcje bazowe są następujące: Φ 1 1(r) = 1 r, Φ 1 2(r) = r.
39 Dla punktu p w komórce (p 1, p 2 ) transformacja T 1 ma postać: T 1 (p) = p p 1 p 2 p 1.
40 Trójkąt Wymiar d = 2. Komórka składa się z trzech wierzchołków, c = {v 1, v 2, v 3 }. Trójkąty są używane do interpolacji wzdłuż powierzchni zanurzonej w dowolnej przestrzeni. Możemy wykonywać interpolację liniową. Dla komórki referencyjnej o wierzchołkach v 1 = (0, 0), v 2 = (1, 0), v 3 = (0, 1) liniowe funkcje bazowe są następujące: Φ 1 1(r, s) = 1 r s, Φ 1 2(r, s) = r, Φ 1 3(r, s) = s.
41 Dla punktu p w komórce (p 1, p 2, p 3 ) transformacja T 1 ma postać: T 1 (p) = ( (p p1 ) (p 3 p 1 ) (p 2 p 1 ) (p 3 p 1 ), (p p ) 1) (p 2 p 1 ) (p 3 p 1 ) (p 2 p 1 )
42 Niech A 123 oznacza pole powierzchni trójkąta o wierzchołkach p 1, p 2, p 3 oraz niech p będzie punktem wewnątrz trójkąta. Niech A 12 będzie polem powierzchni trójkąta o wierzchołkach p, p 1, p 2, a A 13 trójkąta o wierzchołkach p, p 1, p 3. Wówczas r = A 13 /A 123 oraz s = A 12 /A 123. Ponadto jeśli dołożymy t = 1 r s, to trójkę (r, s, t) nazywamy współrzędnymi barycentrycznymi. Pole trójkąta o wierzchołkach p 1, p 2, p 3 możemy obliczyć korzystając ze wzoru: (p 3 p 1 ) (p 2 p 1 ) Jeśli p leży wewnątrz trójkąta, to r, s [0, 1].
43 Czworokąt (ang. quadrilateral quad) Wymiar d = 2. Komórka składa się z czterech wierzchołków, c = (v 1, v 2, v 3, v 4 ). Używane do interpolacji wzdłuż powierzchni zanurzonej w dowolnej przestrzeni. Możemy wykonać interpolację liniową. Dla komórki referencyjnej o wierzchołkach v 1 = (0, 0), v 2 = (1, 0), v 3 = (1, 1), v 4 = (0, 1) liniowe funkcje bazowe są następujące: Φ 1 1(r, s) = (1 r)(1 s), Φ 1 2(r, s) = r(1 s), Φ 1 3(r, s) = rs, Φ 1 4(r, s) = (1 r)s.
44 Znalezienie transformacji T 1 dla dowolnego czworokąta i funkcji bazowych z poprzedniego slajdu nie jest proste. Jednym z rozwiązań jest numeryczne znalezienie r, s jako funkcji x, y, z.
45 Dla punktu p w prostokątnej komórce (p 1, p 2, p 3, p 4 ) transformacja T 1 ma postać: T 1 (p) = ( (p p1 ) (p 2 p 1 ) p 2 p 1 2, (p p ) 1) (p 4 p 1 ) p 4 p 1 2
46 Czworościan (ang. tetrahedron) Wymiar d = 3. Komórka składa się z czterech wierzchołków, c = (v 1, v 2, v 3, v 4 ). Używane do interpolacji objętości. Możemy wykonywać interpolację liniową. Dla komórki referencyjne o wierzchołkach v 1 = (0, 0, 0), v 2 = (1, 0, 0), v 3 = (0, 1, 0), v 4 = (0, 0, 1) liniowe funkcje bazowe są następujące: Φ 1 1(r, s, t) = 1 r s t, Φ 1 2(r, s, t) = r, Φ 1 3(r, s, t) = s, Φ 1 4(r, s, t) = t.
47 Podobnie jak dla trójkąta, korzystając ze współrzędnych barycentrycznych możemy wyznaczyć T 1 dla komórki o wierzchołkach p 1, p 2, p 3, p 4 : gdzie T 1 (p) = (r, s, t), r = (p p 4) ((p 1 p 4 ) (p 3 p 4 ) (p 1 p 4 ) ((p 2 p 4 ) (p 3 p 4 ), s = (p p 4) ((p 1 p 4 ) (p 2 p 4 ) (p 1 p 4 ) ((p 2 p 4 ) (p 3 p 4 ), t = (p p 3) ((p 1 p 3 ) (p 2 p 3 ) (p 1 p 4 ) ((p 2 p 4 ) (p 3 p 4 ).
48
49 Sześciościan (ang. hexahedron hex) Wymiar d = 3. Komórka składa się z ośmiu wierzchołków, c = (v 1, v 2,..., v 8 ). Używane do interpolacji objętości. Możemy wykonywać interpolację liniową. Komórka referencyjna to sześcian o krawędzi 1, którego wierzchołek v 1 leży w początku układu współrzędnych.
50 Liniowe funkcje bazowe są następujące: Φ 1 1(r, s, t) = (1 r)(1 s)(1 t), Φ 1 2(r, s, t) = r(1 s)(1 t), Φ 1 3(r, s, t) = rs(1 t), Φ 1 4(r, s, t) = (1 r)s(1 t), Φ 1 5(r, s, t) = (1 r)(1 s)t, Φ 1 6(r, s, t) = r(1 s)t, Φ 1 7(r, s, t) = rst, Φ 1 8(r, s, t) = (1 r)st.
51 Podobnie jak w przypadku dowolnych czworokątów, dla dowolnych sześciościanów znalezienie T 1 przy funkcjach bazowych z poprzedniego slajdu jest trudne. Jednym z rozwiązań jest użycie metod numerycznych.
52 Dla punktu p w komórce w kształcie prostopadłościanu o wierzchołkach (p 1, p 2,..., p 8 ) transformacja T 1 ma postać: T 1 (p) = ( (p p1 ) (p 2 p 1 ) p 2 p 1 2, (p p 1) (p 4 p 1 ) p 4 p 1 2, (p p 1 ) (p 5 p 1 ) p 5 p 1 2 )
53 Inne typy Niektóre programy korzystają z komórek: kwadratów, pikseli, pasków trójkątów, wielokątów w 2D, sześcianów lub wokseli w 3D. Niektóre programy korzystają również z kwadratowych komórek, tzn. komórek, w których używamy kwadratowych funkcji bazowych.
Wizualizacja 3D obiektów i systemów biomedycznych
Wizualizacja 3D obiektów i systemów biomedycznych Krzysztof Gdawiec Instytut Informatyki Uniwersytet Śląski Wejście: przykładowe zbiory danych Wyjście: obraz Dziedzina: przestrzeń 2D (pozycje pikseli)
Bardziej szczegółowoZadania optymalizacyjne w szkole ponadgimnazjalnej. Materiały do przedmiotu Metodyka Nauczania Matematyki 2 (G-PG). Prowadzący dr Andrzej Rychlewicz
Zadania optymalizacyjne w szkole ponadgimnazjalnej. Materiały do przedmiotu Metodyka Nauczania Matematyki 2 G-PG). Prowadzący dr Andrzej Rychlewicz Przeanalizujmy następujące zadanie. Zadanie. próbna matura
Bardziej szczegółowoXII. GEOMETRIA PRZESTRZENNA GRANIASTOSŁUPY
pitagoras.d2.pl XII. GEOMETRIA PRZESTRZENNA GRANIASTOSŁUPY Graniastosłup to wielościan posiadający dwie identyczne i równoległe podstawy oraz ściany boczne będące równoległobokami. Jeśli podstawy graniastosłupa
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA Z WIEDZY I UMIEJĘTNOŚCI NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE SZKOLNE DLA KLASY CZWARTEJ H. zakres rozszerzony. Wiadomości i umiejętności
WYMAGANIA Z WIEDZY I UMIEJĘTNOŚCI NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE SZKOLNE DLA KLASY CZWARTEJ H. zakres rozszerzony Funkcja wykładnicza i funkcja logarytmiczna. Stopień Wiadomości i umiejętności -definiować potęgę
Bardziej szczegółowoGraniastosłupy mają dwie podstawy, a ich ściany boczne mają kształt prostokątów.
GRANIASTOSŁUPY I OSTROSŁUPY Bryły czyli figury przestrzenne dzielimy na: graniastosłupy ostrosłupy bryły obrotowe Graniastosłupy i ostrosłupy nazywamy wielościanami Graniastosłupy mają dwie podstawy, a
Bardziej szczegółowo1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia
1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia Definicja 1 Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach w zbiorze R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej
Bardziej szczegółowoSTEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH
STEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH Stereometria jest działem geometrii, którego przedmiotem badań są bryły przestrzenne oraz ich właściwości. WZAJEMNE POŁOŻENIE PROSTYCH W PRZESTRZENI 2 proste
Bardziej szczegółowoBIBLIOTEKA PROGRAMU R - BIOPS. Narzędzia Informatyczne w Badaniach Naukowych Katarzyna Bernat
BIBLIOTEKA PROGRAMU R - BIOPS Narzędzia Informatyczne w Badaniach Naukowych Katarzyna Bernat Biblioteka biops zawiera funkcje do analizy i przetwarzania obrazów. Operacje geometryczne (obrót, przesunięcie,
Bardziej szczegółowoGrafika Komputerowa Wykład 6. Teksturowanie. mgr inż. Michał Chwesiuk 1/23
Wykład 6 mgr inż. 1/23 jest to technika w grafice komputerowej, której celem jest zwiększenie szczegółowości renderowanych powierzchni za pomocą tekstur. jest to pewna funkcja (najczęściej w formie bitmapy)
Bardziej szczegółowoKrzywa uniwersalna Sierpińskiego
Krzywa uniwersalna Sierpińskiego Małgorzata Blaszke Karol Grzyb Streszczenie W niniejszej pracy omówimy krzywą uniwersalną Sierpińskiego, zwaną również dywanem Sierpińskiego. Pokażemy klasyczną metodę
Bardziej szczegółowoFRAKTALE I SAMOPODOBIEŃSTWO
FRAKTALE I SAMOPODOBIEŃSTWO Mariusz Gromada marzec 2003 mariusz.gromada@wp.pl http://multifraktal.net 1 Wstęp Fraktalem nazywamy każdy zbiór, dla którego wymiar Hausdorffa-Besicovitcha (tzw. wymiar fraktalny)
Bardziej szczegółowo1. Prymitywy graficzne
1. Prymitywy graficzne Prymitywy graficzne są elementarnymi obiektami jakie potrafi bezpośrednio rysować, określony system graficzny (DirectX, OpenGL itp.) są to: punkty, listy linii, serie linii, listy
Bardziej szczegółowoZadania domowe. Ćwiczenie 2. Rysowanie obiektów 2-D przy pomocy tworów pierwotnych biblioteki graficznej OpenGL
Zadania domowe Ćwiczenie 2 Rysowanie obiektów 2-D przy pomocy tworów pierwotnych biblioteki graficznej OpenGL Zadanie 2.1 Fraktal plazmowy (Plasma fractal) Kwadrat należy pokryć prostokątną siatką 2 n
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II W PUBLICZNYM GIMNAZJUM NR 2 W ZESPOLE SZKÓŁ W RUDKACH
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II W PUBLICZNYM GIMNAZJUM NR 2 W ZESPOLE SZKÓŁ W RUDKACH Marzena Zbrożyna DOPUSZCZAJĄCY: Uczeń potrafi: odczytać informacje z tabeli odczytać informacje z diagramu
Bardziej szczegółowoĆwiczenia nr 7. TEMATYKA: Krzywe Bézier a
TEMATYKA: Krzywe Bézier a Ćwiczenia nr 7 DEFINICJE: Interpolacja: przybliżanie funkcji za pomocą innej funkcji, zwykle wielomianu, tak aby były sobie równe w zadanych punktach. Poniżej przykład interpolacji
Bardziej szczegółowoOsiągnięcia ponadprzedmiotowe
W rezultacie kształcenia matematycznego uczeń potrafi: Osiągnięcia ponadprzedmiotowe Umiejętności konieczne i podstawowe czytać teksty w stylu matematycznym wykorzystywać słownictwo wprowadzane przy okazji
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA WYDZIAŁ MATEMATYKI - TEST 1
Wszelkie prawa zastrzeżone. Rozpowszechnianie, wypożyczanie i powielanie niniejszych testów w jakiejkolwiek formie surowo zabronione. W przypadku złamania zakazu mają zastosowanie przepisy dotyczące naruszenia
Bardziej szczegółowoStereometria bryły. Wielościany. Wielościany foremne
Stereometria bryły Stereometria - geometria przestrzeni trójwymiarowej. Przedmiotem jej badań są własności brył oraz przekształcenia izometryczne i afiniczne przestrzeni. Przyjęte oznaczenia: - Pole powierzchni
Bardziej szczegółowo10.3. Typowe zadania NMT W niniejszym rozdziale przedstawimy podstawowe zadania do jakich może być wykorzystany numerycznego modelu terenu.
Waldemar Izdebski - Wykłady z przedmiotu SIT 91 10.3. Typowe zadania NMT W niniejszym rozdziale przedstawimy podstawowe zadania do jakich może być wykorzystany numerycznego modelu terenu. 10.3.1. Wyznaczanie
Bardziej szczegółowoOsiągnięcia ponadprzedmiotowe
W rezultacie kształcenia matematycznego uczeń potrafi: Osiągnięcia ponadprzedmiotowe Umiejętności konieczne i podstawowe KONIECZNE PODSTAWOWE ROZSZERZAJĄCE DOPEŁNIAJACE WYKRACZAJĄCE czytać teksty w stylu
Bardziej szczegółowoMatematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja)
Matematyka II Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 208/209 wykład 3 (27 maja) Całki niewłaściwe przedział nieograniczony Rozpatrujemy funkcje ciągłe określone na zbiorach < a, ),
Bardziej szczegółowoGEOMETRIA PRZESTRZENNA (STEREOMETRIA)
GEOMETRIA PRZESTRZENNA (STEREOMETRIA) WZAJEMNE POŁOŻENIE PROSTYCH W PRZESTRZENI Stereometria jest działem geometrii, którego przedmiotem badań są bryły przestrzenne oraz ich właściwości. Na początek omówimy
Bardziej szczegółowoPojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas II w roku szkolnym 2016/2017 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze
Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas II w roku szkolnym 2016/2017 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze I. Funkcja i jej własności POZIOM PODSTAWOWY Pojęcie
Bardziej szczegółowoKONKURS ZOSTAŃ PITAGORASEM MUM. Podstawowe własności figur geometrycznych na płaszczyźnie
KONKURS ZOSTAŃ PITAGORASEM MUM ETAP I TEST II Podstawowe własności figur geometrycznych na płaszczyźnie 1. A. Stosunek pola koła wpisanego w kwadrat o boku długości 6 do pola koła opisanego na tym kwadracie
Bardziej szczegółowoInformacja o przestrzeniach Sobolewa
Wykład 11 Informacja o przestrzeniach Sobolewa 11.1 Definicja przestrzeni Sobolewa Niech R n będzie zbiorem mierzalnym. Rozważmy przestrzeń Hilberta X = L 2 () z iloczynem skalarnym zdefiniowanym równością
Bardziej szczegółowoGEOMETRIA ELEMENTARNA
Bardo, 7 11 XII A. D. 2016 I Uniwersytecki Obóz Olimpiady Matematycznej GEOMETRIA ELEMENTARNA materiały przygotował Antoni Kamiński na podstawie zbiorów zadań: Przygotowanie do olimpiad matematycznych
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA I GIMNAZJUM Małgorzata Janik
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA I GIMNAZJUM Małgorzata Janik DOPUSZCZAJĄCY DOSTATECZNY DOBRY BARDZO DOBRY LICZBY I DZIAŁANIA zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej. rozumie rozszerzenie
Bardziej szczegółowoDział I FUNKCJE I ICH WŁASNOŚCI
MATEMATYKA ZAKRES PODSTAWOWY Rok szkolny 01/013 Klasa: II Nauczyciel: Mirosław Kołomyjski Dział I FUNKCJE I ICH WŁASNOŚCI Lp. Zagadnienie Osiągnięcia ucznia. 1. Podstawowe własności funkcji.. Podaje określenie
Bardziej szczegółowoWYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą
1. Statystyka odczytać informacje z tabeli odczytać informacje z diagramu 2. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach 3. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych wykładnikach 4. Potęga o wykładniku
Bardziej szczegółowoPrzekształcenia widmowe Transformata Fouriera. Adam Wojciechowski
Przekształcenia widmowe Transformata Fouriera Adam Wojciechowski Przekształcenia widmowe Odmiana przekształceń kontekstowych, w których kontekstem jest w zasadzie cały obraz. Za pomocą transformaty Fouriera
Bardziej szczegółowoLista zadań nr 2 z Matematyki II
Lista zadań nr 2 z Matematyki II dla studentów wydziału Architektury, kierunku Gospodarka Przestrzenna. Wyznaczyć dziedzinę funkcji f(x, y) = ln(4 x 2 y 2 ), f(x, y) = x 2 + y 2, f(x, y) = ln(4 x 2 y 2
Bardziej szczegółowoV Konkurs Matematyczny Politechniki Białostockiej
V Konkurs Matematyczny Politechniki iałostockiej Rozwiązania - klasy pierwsze 27 kwietnia 2013 r. 1. ane są cztery liczby dodatnie a b c d. Wykazać że przynajmniej jedna z liczb a + b + c d b + c + d a
Bardziej szczegółowoAproksymacja. funkcji: ,a 2. ,...,a m. - są funkcjami bazowymi m+1 wymiarowej podprzestrzeni liniowej X m+1
Założenie: f(x) funkcja którą aproksymujemy X jest przestrzenią liniową Aproksymacja liniowa funkcji f(x) polega na wyznaczeniu współczynników a 0,a 1,a 2,...,a m funkcji: Gdzie: - są funkcjami bazowymi
Bardziej szczegółowoDystrybucje, wiadomości wstępne (I)
Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów
Bardziej szczegółowoW. Guzicki Zadanie 28 z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1
W. uzicki Zadanie 8 z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 Zadanie 8. any jest sześcian (zobacz rysunek) o krawędzi równej 1. unkt S jest środkiem krawędzi. Odcinek W jest wysokością ostrosłupa
Bardziej szczegółowoVI. FIGURY GEOMETRYCZNE i MODELE
VI. FIGURY GEOMETRYCZNE i MODELE 6.1. Wprowadzenie Jednym z głównych zastosowań grafiki komputerowej jest modelowanie obiektów, czyli ich opis matematyczny, na podstawie którego na ekranie można stworzyć
Bardziej szczegółowoWykład 4 Przebieg zmienności funkcji. Badanie dziedziny oraz wyznaczanie granic funkcji poznaliśmy na poprzednich wykładach.
Wykład Przebieg zmienności funkcji. Celem badania przebiegu zmienności funkcji y = f() jest poznanie ważnych własności tej funkcji na podstawie jej wzoru. Efekty badania pozwalają naszkicować wykres badanej
Bardziej szczegółowoGrafika komputerowa Wykład 8 Modelowanie obiektów graficznych cz. II
Grafika komputerowa Wykład 8 Modelowanie obiektów graficznych cz. II Instytut Informatyki i Automatyki Państwowa Wyższa Szkoła Informatyki i Przedsiębiorczości w Łomży 2 0 0 9 Spis treści Spis treści 1
Bardziej szczegółowoAnaliza obrazów - sprawozdanie nr 2
Analiza obrazów - sprawozdanie nr 2 Filtracja obrazów Filtracja obrazu polega na obliczeniu wartości każdego z punktów obrazu na podstawie punktów z jego otoczenia. Każdy sąsiedni piksel ma wagę, która
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki dla klasy VII
Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy VII Szkoły Podstawowej nr 100 w Krakowie Na podstawie programu Matematyka z plusem Na ocenę dopuszczającą Uczeń: rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby
Bardziej szczegółowoMatura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy
Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych zad 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 odp A C C C A A B B C B D A 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 C C A B A D C B
Bardziej szczegółowoPDM 3. Zakres podstawowy i rozszerzony. Plan wynikowy. STEREOMETRIA (22 godz.) W zakresie TREŚCI PODSTAWOWYCH uczeń potrafi:
PDM 3 Zakres podstawowy i rozszerzony Plan wynikowy STEREOMETRIA ( godz.) Proste i płaszczyzny w przestrzeni Kąt nachylenia prostej do płaszczyzny wskazać płaszczyzny równoległe i płaszczyzny prostopadłe
Bardziej szczegółowoROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA KLASA 1, ZAKRES PODSTAWOWY
ROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA KLASA 1, ZAKRES PODSTAWOWY Numer lekcji 1 2 Nazwa działu Lekcja organizacyjna. Zapoznanie z programem nauczania i kryteriami wymagań Zbiór liczb rzeczywistych i jego 3 Zbiór
Bardziej szczegółowo[ P ] T PODSTAWY I ZASTOSOWANIA INŻYNIERSKIE MES. [ u v u v u v ] T. wykład 4. Element trójkątny płaski stan (naprężenia lub odkształcenia)
PODSTAWY I ZASTOSOWANIA INŻYNIERSKIE MES wykład 4 Element trójkątny płaski stan (naprężenia lub odkształcenia) Obszar zdyskretyzowany trójkątami U = [ u v u v u v ] T stopnie swobody elementu P = [ P ]
Bardziej szczegółowoNaCoBeZU z matematyki dla klasy 7
NaCoBeZU z matematyki dla klasy 7 I. LICZBY I DZIAŁANIA 1. Znam pojęcia: liczby naturalne, całkowite, wymierne, dodatnie, ujemne, niedodatnie, odwrotne, przeciwne. 2. Zaznaczam i odczytuję położenie liczby
Bardziej szczegółowoModele (graficznej reprezentacji) danych przestrzennych postać danych przestrzennych
Modele (graficznej reprezentacji) danych przestrzennych postać danych przestrzennych Jest to sposób graficznej reprezentacji połoŝenia przestrzennego, kształtu oraz relacji przestrzennych obiektów SIP
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ
ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH RZECZYWISTYCH Definicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze A nazywamy funkcję rzeczywistą
Bardziej szczegółowoZAKRES PODSTAWOWY CZĘŚĆ II. Wyrażenia wymierne
CZĘŚĆ II ZAKRES PODSTAWOWY Wyrażenia wymierne Temat: Wielomiany-przypomnienie i poszerzenie wiadomości. (2 godz.) znać i rozumieć pojęcie jednomianu (2) znać i rozumieć pojęcie wielomianu stopnia n (2)
Bardziej szczegółowoMATURA PRÓBNA - odpowiedzi
MATURA PRÓBNA - odpowiedzi Zadanie 1. (1pkt) Zbiorem wartości funkcji = + 6 7 jest przedział: A., B., C., D., Zadanie. (1pkt) Objętość kuli wpisanej w sześcian o krawędzi długości 6 jest równa: A. B. 4
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów. 7. Całkowanie numeryczne
Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów 7. Całkowanie numeryczne 7.1. Całkowanie numeryczne 7.2. Metoda trapezów 7.3. Metoda Simpsona 7.4. Metoda 3/8 Newtona 7.5. Ogólna postać wzorów kwadratur
Bardziej szczegółowoINTERPOLACJA I APROKSYMACJA FUNKCJI
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Wprowadzenie Na czym polega interpolacja? Interpolacja polega
Bardziej szczegółowoRobert Susmaga. Instytut Informatyki ul. Piotrowo 2 Poznań
... Robert Susmaga Instytut Informatyki ul. Piotrowo 2 Poznań kontakt mail owy Robert.Susmaga@CS.PUT.Poznan.PL kontakt osobisty Centrum Wykładowe, blok informatyki, pok. 7 Wyłączenie odpowiedzialności
Bardziej szczegółowoAnaliza obrazu. wykład 1. Marek Jan Kasprowicz Uniwersytet Rolniczy Marek Jan Kasprowicz Analiza obrazu komputerowego 2009 r.
Analiza obrazu komputerowego wykład 1 Marek Jan Kasprowicz Uniwersytet Rolniczy 2009 Plan wykładu Wprowadzenie pojęcie obrazu cyfrowego i analogowego Geometryczne przekształcenia obrazu Przekształcenia
Bardziej szczegółowoJeśli X jest przestrzenią o nieskończonej liczbie elementów:
Logika rozmyta 2 Zbiór rozmyty może być formalnie zapisany na dwa sposoby w zależności od tego z jakim typem przestrzeni elementów mamy do czynienia: Jeśli X jest przestrzenią o skończonej liczbie elementów
Bardziej szczegółowoGeometria analityczna
Geometria analityczna Paweł Mleczko Teoria Informacja (o prostej). postać ogólna prostej: Ax + By + C = 0, A + B 0, postać kanoniczna (kierunkowa) prostej: y = ax + b. Współczynnik a nazywamy współczynnikiem
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI W KLASIE V
WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI W KLASIE V OCENA ŚRÓDROCZNA: DOPUSZCZAJĄCY uczeń potrafi: zapisywać i odczytywać liczby w dziesiątkowym
Bardziej szczegółowoŚWIAT PONAD WYBROAŹNIĄ-czyli wyższe wymiary przestrzenne.
ŚWIAT PONAD WYBROAŹNIĄ-czyli wyższe wymiary przestrzenne. Ilu wymiarowy jest ten obiekt? Rzeczywistość Najlepiej popatrzeć pod całkiem innym kątem, aby dostrzec pełnię trzeciego wymiaru Tylko przestrzeń
Bardziej szczegółowoElementy geometrii analitycznej w R 3
Rozdział 12 Elementy geometrii analitycznej w R 3 Elementy trójwymiarowej przestrzeni rzeczywistej R 3 = {(x,y,z) : x,y,z R} możemy interpretować co najmniej na trzy sposoby, tzn. jako: zbiór punktów (x,
Bardziej szczegółowo========================= Zapisujemy naszą funkcję kwadratową w postaci kanonicznej: 2
Leszek Sochański Arkusz przykładowy, poziom podstawowy (A1) Zadanie 1. Wykresem funkcji kwadratowej f jest parabola o wierzchołku 5,7 Wówczas prawdziwa jest równość W. A. f 1 f 9 B. f 1 f 11 C. f 1 f 1
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki dla uczniów klasy VII szkoły podstawowej
Wymagania edukacyjne z matematyki dla uczniów klasy VII szkoły podstawowej Ocenę dopuszczającą otrzymuje uczeń, który: rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne umie porównywać liczby wymierne,
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne niezbędne do otrzymania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z matematyki dla klasy VIII
Wymagania edukacyjne niezbędne do otrzymania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z matematyki dla klasy VIII Temat 1. System rzymski. 2. Własności liczb naturalnych. 3. Porównywanie
Bardziej szczegółowoEstymacja wektora stanu w prostym układzie elektroenergetycznym
Zakład Sieci i Systemów Elektroenergetycznych LABORATORIUM INFORMATYCZNE SYSTEMY WSPOMAGANIA DYSPOZYTORÓW Estymacja wektora stanu w prostym układzie elektroenergetycznym Autorzy: dr inż. Zbigniew Zdun
Bardziej szczegółowoPRZEDMIOTOWE ZASADY OCENIANIA I WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI Klasa 3
PRZEDMIOTOWE ZASADY OCENIANIA I WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI Klasa 3 I. FUNKCJE grupuje elementy w zbiory ze względu na wspólne cechy wymienia elementy zbioru rozpoznaje funkcje wśród przyporządkowań
Bardziej szczegółowoI. Liczby i działania
I. Liczby i działania porównywać liczby wymierne, zaznaczać liczby wymierne na osi liczbowej, zamieniać ułamki zwykłe na dziesiętne i odwrotnie, zaokrąglać liczby do danego rzędu, szacować wyniki działań,
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATEMATYKA KLASA 8 DZIAŁ 1. LICZBY I DZIAŁANIA
WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATEMATYKA KLASA 8 DZIAŁ 1. LICZBY I DZIAŁANIA zna znaki używane do zapisu liczb w systemie rzymskim; zna zasady zapisu liczb w systemie rzymskim; umie zapisać
Bardziej szczegółowoPropozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON.
Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Zadanie 6. Dane są punkty A=(5; 2); B=(1; -3); C=(-2; -8). Oblicz odległość punktu A od prostej l przechodzącej
Bardziej szczegółowoDZIAŁ 1. STATYSTYKA DZIAŁ 2. FUNKCJE
DZIAŁ 1. STATYSTYKA poda pojęcie diagramu słupkowego i kołowego (2) poda pojęcie wykresu (2) poda potrzebę korzystania z różnych form prezentacji informacji (2) poda pojęcie średniej, mediany (2) obliczy
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki - klasa III (poziom rozszerzony) wg programu nauczania Matematyka Prosto do matury
STEREOMETRIA Wymagania edukacyjne z matematyki - klasa III (poziom rozszerzony) wskazać płaszczyzny równoległe i prostopadłe do danej płaszczyzny wskazać proste równoległe i prostopadłe do danej płaszczyzny
Bardziej szczegółowoPDM 3 zakres podstawowy i rozszerzony PSO
PDM 3 zakres podstawowy i rozszerzony PSO STEREOMETRIA wskazać płaszczyzny równoległe i prostopadłe do danej płaszczyzny wskazać proste równoległe i prostopadłe do danej płaszczyzny odróżnić proste równoległe
Bardziej szczegółowoVII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.
VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w
Bardziej szczegółowoXI Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
XI Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa www.omg.edu.pl (24 września 2015 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Dane są takie dodatnie liczby a i b, że 30% liczby a
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących, 2008/09
9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie Pitagorasa i twierdzenie cosinusów, twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym, okrąg wpisany i opisany na wielokącie, wielokąty foremne (dokończenie).
Bardziej szczegółowoAby przygotować się do kolokwiów oraz do egzaminów należy ponownie przeanalizować zadania
Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Aby przygotować się do kolokwiów oraz do egzaminów należy ponownie przeanalizować zadania rozwiązywane na wykładzie, rozwiązywane na ćwiczeniach, oraz samodzielnie
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 7/15 Rachunek różnicowy Dobrym narzędziem do obliczania skończonych sum jest rachunek różnicowy. W rachunku tym odpowiednikiem operatora
Bardziej szczegółowoKurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI - MODUŁ 13 Teoria stereometria
1 GRANIASTOSŁUPY i OSTROSŁUPY wiadomości ogólne Aby tworzyć wzory na OBJĘTOŚĆ i POLE CAŁKOWITE graniastosłupów musimy znać pola figur płaskich a następnie na ich bazie stosować się do zasady: Objętość
Bardziej szczegółowoObraz jako funkcja Przekształcenia geometryczne
Cyfrowe przetwarzanie obrazów I Obraz jako funkcja Przekształcenia geometryczne dr. inż Robert Kazała Definicja obrazu Obraz dwuwymiarowa funkcja intensywności światła f(x,y); wartość f w przestrzennych
Bardziej szczegółowoPlan wynikowy, klasa 3 ZSZ
Plan wynikowy, klasa 3 ZSZ Nazwa działu Temat Liczba godzin 1. Trójkąty prostokątne powtórzenie 1. Trygonometria (10 h) 2. Funkcje trygonometryczne kąta ostrego 3. 4. Trygonometria zastosowania 5. 6. Związki
Bardziej szczegółowoTechnikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu
Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z obowiązkowych
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki w klasie III gimnazjum
Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III gimnazjum - nie potrafi konstrukcyjnie podzielić odcinka - nie potrafi konstruować figur jednokładnych - nie zna pojęcia skali - nie rozpoznaje figur jednokładnych
Bardziej szczegółowoKształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 2
Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 2 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego działu, aby uzyskać poszczególne stopnie. Na ocenę dopuszczającą uczeń powinien opanować
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne w przykładach
Metody numeryczne w przykładach Bartosz Ziemkiewicz Wydział Matematyki i Informatyki UMK, Toruń Regionalne Koło Matematyczne 8 kwietnia 2010 r. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Metody numeryczne w przykładach
Bardziej szczegółowoTydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L
Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja) Równania różniczkowe wartości własne funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L Wszelkie pytania oraz uwagi o błędach proszę kierować na przemek.majewski@gmail.com
Bardziej szczegółowoDOPASOWYWANIE KRZYWYCH
DOPASOWYWANIE KRZYWYCH Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski Motywacje Przykład 1. Dane o przyroście światowej populacji są aktualizowane co każde 10 lat, celem szacowania średniego przyrostu rocznego.
Bardziej szczegółowoWymagania na poszczególne oceny szkolne z. matematyki. dla uczniów klasy IIIa i IIIb. Gimnazjum im. Jana Pawła II w Mętowie. w roku szkolnym 2015/2016
Wymagania na poszczególne oceny szkolne z matematyki dla uczniów klasy IIIa i IIIb Gimnazjum im. Jana Pawła II w Mętowie w roku szkolnym 2015/2016 DZIAŁ 1. FUNKCJE (11h) Uczeń: poda definicję funkcji (2)
Bardziej szczegółowoPochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji
Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji Adam Kiersztyn Lublin 2014 Adam Kiersztyn () Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji maj 2014 1 / 24 Zanim przejdziemy
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do Mathcada 1
Wprowadzenie do Mathcada Ćwiczenie. - Badanie zmienności funkcji kwadratowej Ćwiczenie. pokazuje krok po kroku tworzenie prostego dokumentu w Mathcadzie. Dokument ten składa się z następujących elementów:.
Bardziej szczegółowoMatematyka z kluczem. Układ treści w klasach 4 8 szkoły podstawowej. KLASA 4 (126 h) część 1 (59 h) część 2 (67 h)
Matematyka z kluczem Układ treści w klasach 4 8 szkoły podstawowej KLASA 4 (126 h) część 1 (59 h) I. LICZBY NATURALNE część 1 (23) 1. Jak się uczyć matematyki (1) 2. Oś liczbowa 3. Jak zapisujemy liczby
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki dla klasy III gimnazjum
Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy III gimnazjum Poziomy wymagań edukacyjnych: K konieczny dotyczą zagadnień elementarnych, stanowiących swego rodzaju podstawę, powinien je zatem opanować każdy
Bardziej szczegółowoLUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 09 MARCA Kartoteka testu. Maksymalna liczba punktów. Nr zad. Matematyka dla klasy 3 poziom podstawowy
Matematyka dla klasy poziom podstawowy LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 09 MARCA 06 Kartoteka testu Nr zad Wymaganie ogólne. II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.. II. Wykorzystanie i interpretowanie
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE VIII
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE VIII Uczeń na ocenę dopuszczającą: - zna znaki używane do zapisu liczb w systemie rzymskim, - umie zapisać i odczytać liczby naturalne dodatnie w systemie rzymskim
Bardziej szczegółowoAproksymacja funkcji a regresja symboliczna
Aproksymacja funkcji a regresja symboliczna Problem aproksymacji funkcji polega na tym, że funkcję F(x), znaną lub określoną tablicą wartości, należy zastąpić inną funkcją, f(x), zwaną funkcją aproksymującą
Bardziej szczegółowoMatematyka, kl. 6. Konieczne umiejętności
Matematyka, kl. 6 Liczby naturalne i ułamki Program Matematyka z plusem Odczytywanie liczb na osi liczbowej. Zapisywanie potęg w postaci iloczynu i obliczanie ich wartości. Sprawność rachunkowa w pisemnych
Bardziej szczegółowoW naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora.
1. Podstawy matematyki 1.1. Geometria analityczna W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. Skalarem w fizyce nazywamy
Bardziej szczegółowoOrientacyjnie 140 godzin lekcyjnych, tj. 35 tygodni po 4 godziny lekcyjne tygodniowo.
6 Orientacyjnie 40 godzin lekcyjnych, tj. 35 tygodni po 4 godziny lekcyjne tygodniowo.. Śmietankowe ponad wszystko Statystyka. Powtórzenie wiadomości ze statystyki 3 Czytanka. O języku matematyki, czyli
Bardziej szczegółowoPLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1
PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1 Planimetria to dział geometrii, w którym przedmiotem badań są własności figur geometrycznych leżących na płaszczyźnie (patrz określenie płaszczyzny). Pojęcia
Bardziej szczegółowoFUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH
FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH PROPORCJONALNOŚĆ PROSTA Proporcjonalnością prostą nazywamy zależność między dwoma wielkościami zmiennymi x i y, określoną wzorem: y = a x Gdzie a jest
Bardziej szczegółowoPRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA- MATEMATYKA KLASA 6. Rok szkolny 2012/2013. Tamara Kostencka
PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA- MATEMATYKA KLASA 6 Rok szkolny 2012/2013 Tamara Kostencka 1 LICZBY NA CO DZIEŃ LICZBY NATURALNE I UŁAMKI Wymagania programowe dla klasy VI szkoły podstawowej DZIAŁ WYMAGANIA
Bardziej szczegółowoZESPÓŁ SZKÓŁ W OBRZYCKU
Matematyka na czasie Program nauczania matematyki w gimnazjum ZGODNY Z PODSTAWĄ PROGRAMOWĄ I z dn. 23 grudnia 2008 r. Autorzy: Agnieszka Kamińska, Dorota Ponczek ZESPÓŁ SZKÓŁ W OBRZYCKU Wymagania edukacyjne
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA - WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY
MATEMATYKA - WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY KLASA III GIMNAZJUM Wymagania konieczne (K) dotyczą zagadnień elementarnych, podstawowych; powinien je opanować każdy uczeń. Wymagania podstawowe
Bardziej szczegółowoPojęcie funkcji. Funkcja liniowa
Pojęcie funkcji. Funkcja liniowa dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu Wykład 2; rok akademicki 2016/2017 Zależności funkcyjne w naukach przyrodniczych Rozwój algebry
Bardziej szczegółowo