Zbiór zadań z matematyki typowych, acz mogących sprawić problem.

Transkrypt

1 Zbiór zadań z matematyki typowych, acz mogących sprawić problem. z8m

2 Zbiór zadań typowych ale mogących sprawić problem powstał chwilę przed naszą maturą. Jest to jedynie kilka procent zadań, które przerobiliśmy na zajęciach z projektu. Gdybyśmy chcieli zamieścić wszystkie nie starczyłoby nam czasu na ich rozwiazywanie. W zbiorze umieściliśmy jedynie zadania otwarte, krótkiej i rozszerzonej odpowiedzi. Nie rzucaliśmy się w przepaść: nie ma tu zadań z tzw. rozszerzenia. Jesteśmy jednak pewni, że poświęciliśmy wystarczającą ilość czasu i maturę na poziomie podstawowym zdamy dobrze. Podział na działy w dużej mierze pokrywa się z faktycznym podziałem matematyki. Podział jest nasz, kolejność jest nasza bo tak uważaliśmy za stosowne. Zbiór zawiera 361 zadań i ich rozwiązania. Zadania pochodzą z różnych źródeł. Są to arkusze maturalne publikowane przez centralną komisję egzaminacyjną, strony internetowe z zadaniami (głównie zadania.info). Praca powstała dzięki projektowi Kompetencje kluczowe drogą do kariery realizowanemu przez Wyższą Szkołę Pedagogiczną TWP w Warszawie w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego. Zespół matematyczny z8m w składzie: Bojzan Karolina, Goc Karolina, Kacprzak Kamila, Kister Joanna, Królikowska Agata Wszystko pod czujnym okiem Pana Grzegorza Zająca

3 Spis treści I Liczby. Działania na liczbach 1 II Funkcje 5 III Równania i układy równań 10 IV Nierówności 14 V Wielomiany 17 VI Ciągi 19 VII Geometria analityczna 4 VIII Planimetria 8 IX Stereometria 33 X Trygonometria 38 XI Rachunek prawdopodobieństwa 40 XII Statystyka 45

4 I Liczby. Działania na liczbach. ZADANIE 1 Oceń, czy liczba 3, 14 π + π 3, 14 jest wymierna, czy niewymierna. ZADANIE Zaznacz w układzie współrzędnych zbiór wszystkich par (x, y) liczb rzeczywistych, dla których wyrażenie: 4 4 x y 1 ma wartości rzeczywiste. y log x ZADANIE 3 Wykaż, że jeżeli A = i B = 3 +3, to B = 9 A. ZADANIE 4 Wykaż, że liczba a = log 8 log 1 0, 5 jest liczba wymierna. ZADANIE 5 Oblicz ( ). ZADANIE 6 Oblicz log 5 + log 5 3. ZADANIE 7 a) Zaznacz na osi liczbowej i zapisz w postaci przedziału zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, których odległość na osi liczbowej od liczby (-1) jest nie większa niż 4. b) Liczba 6,5 stanowi 175% liczby a. Sprawdź czy liczba a należy do danego przedziału. ZADANIE 8 Wykaż, że różnica kwadratów dwóch kolejnych liczb parzystych jest liczba podzielna przez 4. ZADANIE 9 Wykaż, że różnica kwadratów dwóch kolejnych liczb parzystych jest liczba podzielna przez 4. ZADANIE 10 Przedstaw ( 3 ) 5 ( 1 ) 1 w postaci nieskracalnego ułamka zwykłego. 1

5 ZADANIE 11 Dane sa x = i y = Oblicz y x. ZADANIE 1 Wykaż, że jeżeli a > 0 i b > 0 oraz a + b = a + b, to a = b lub a + b = 1. ZADANIE 13 Oblicz ZADANIE 14 Wykaż, że liczba a = 4 log 5 jest liczba całkowita. ZADANIE 15 Oblicz x z równania bx abx = ba ab i przedstaw wynik w najprostszej postaci. ZADANIE 16 Wykaż, że liczba a = jest podzielna przez 30. ZADANIE 17 Zapisz podane wyrażenie w prostszej postaci: ZADANIE 18 Wykaż, że liczba ( (1 + 5) 3 + (1 5) 3) jest wymierna. ZADANIE 19 ( ( ) 1 ) 1,15 Zapisz podane wyrażenie w prostszej postaci: 1 9 : ZADANIE 0 Wyrażenie zapisz w postaci k, gdzie k jest liczba wymierna. 4 ZADANIE 1 Wykaż, że liczba jest liczba wymierna. 3 1

6 ZADANIE Wykaż, że log 7 5 = log ZADANIE 3 Doprowadź wyrażenie (x 1)(x + 1) 5(3x 4) (x + 3)(5 + x) do najprostszej postaci, a następnie oblicz jego wartość dla x = 5 ZADANIE 4 Zaznacz na osi liczbowej przedziały A = (, 5) i B =, 10. Wyznacz A B, A B, A \ B i B \ A. ZADANIE 5 Uprość wyrażenie ZADANIE 6 Wyznacz niewiadoma y z równania 1 x + y = 1, gdzie x = 0, x = 1, y = 0. ZADANIE 7 Oblicz [ 8, 5 0, 5 0,5 ( 0, ,5 ) ] 1. ZADANIE 8 Uzasadnij równość ( ) ,8 ( ) = 4. ZADANIE 9 Wykaż, że liczby a = 5 oraz b = sa liczbami przeciwnymi. +3 ZADANIE 30 Udowodnij, że jeżeli liczba a + b jest różna od zera oraz a a+b = 5 to b a+b = 3 5. ZADANIE 31 Zapisz jako potęgę liczby 3 wyrażenie , ZADANIE 3 Zapisz wyrażenie w prostszej postaci:

7 ZADANIE 33 Skróć ułamek x +4x+4. x 4 4

8 II Funkcje. ZADANIE 1 Dana jest funkcja liniowa f (x) = 3x 1. a) Rozwiaż nierówność f (x + 3) f (1 x). b) Podaj maksymalne przedziały monotoniczności funkcji f (x x ). ZADANIE Funkcja liniowa f określona jest wzorem f (x) = 3x + b, dla x R. Wyznacz współczynnik b, wiedzac, że f (x ) = 3x 5. ZADANIE 3 Wyznacz wzór funkcji liniowej f, wiedzac że nie przyjmuje ona wartości dodatnich oraz f () = 3. ZADANIE 4 O funkcji liniowej f wiadomo, że f (1) = oraz, że do wykresu tej funkcji należy punkt P = (, 3). Wyznacz wzór funkcji f. ZADANIE 5 Wyznacz wzór funkcji liniowej o współczynniku kierunkowym i przechodzacej przez punkt P = ( ; 3). ZADANIE 6 Wykres funkcji liniowej f przecina osie Ox i Oy układu współrzędnych odpowiednio w punktach P = (, 0) oraz Q = (0, 4). a) Wyznacz wzór funkcji f. b) Sprawdź, czy dla argumentu x = 1 1 wartość funkcji f wynosi. ZADANIE 7 Wyznacz wzór funkcji liniowej, wiedzac że jej wykres jest nachylony do osi Ox pod katem 60 i przechodzi przez punkt P = (1, 3). ZADANIE 8 Określ zbiór wartości funkcji: f (x) = x x 3 4. Dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości ujemne? ZADANIE 9 Określ zbiór wartości i przedziały monotoniczności funkcji f (x) = x

9 ZADANIE 10 Zapisz wzór funkcji f (x) = 5x + 10x 5 w postaci kanonicznej i iloczynowej. ZADANIE 11 Wykaż, że jeżeli c < 0, to trójmian kwadratowy y = x + bx + c ma dwa różne miejsca zerowe. ZADANIE 1 Dane sa dwie funkcje kwadratowe f (x) = 3x x + 5 i g(x) = x + x 1. Wyznacz największa wartość funkcji h(x) = g(x) f (x). ZADANIE 13 Wyznacz najmniejsza wartość funkcji f (x) = x + 3x w przedziale 3, 4. ZADANIE 14 Sprowadź do postaci kanonicznej funkcję kwadratowa dana w postaci ogólnej wzorem f (x) = x x + 3. ZADANIE 15 Wyznacz zbiór wartości funkcji f (x) = (x + 1) +. ZADANIE 16 Wyznacz najmniejsza i największa wartość funkcji f (x) = (x + 1) 3 w przedziale 1; 1. ZADANIE 17 Wyznacz najmniejsza wartość funkcji kwadratowej f (x) = 1 (x + )(x 8) w przedziale 1,. ZADANIE 18 Wyznacz wartość funkcji f (x) = x + 3x dla argumentu x = 3 +. ZADANIE 19 Na podstawie wykresu funkcji kwadratowej podaj jej wzór

10 ZADANIE 0 Punkty A = (0, 5) i B = (1, 1) należa do wykresu funkcji f (x) = x + bx + c. Zapisz wzór funkcji w postaci ogólnej, kanonicznej i iloczynowej. ZADANIE 1 Dla jakiego p prosta o równaniu x = jest osia symetrii wykresu funkcji y = x 4px + 8. ZADANIE Napisz równanie osi symetrii wykresu funkcji f (x) = 3x + 5x + 9. ZADANIE 3 Dane sa dwie funkcje kwadratowe f (x) = x + bx + 1 oraz g(x) = bx + cx 4. Wyznacz wartości parametrów b oraz c, tak aby wykresy funkcji miały wierzchołek w punkcie o odciętej -. ZADANIE 4 Funkcja f określona jest wzorem f (x) = 3x 9x + c, gdzie c R. Wyznacz wszystkie wartości współczynnika c, dla których: a) jednym z miejsc zerowych funkcji f jest liczba ; b) wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji f, należy do prostej o równaniu y = x. ZADANIE 5 Naszkicuj f (x) = x oraz g(x) = x + 3 i na ich podstawie określ liczbę pierwiastków równania x = x + 3 oraz znaki tych pierwiastków. ZADANIE 6 Dana jest funkcja f (x) = x + 6x 5. a) Narysuj parabolę, która jest wykresem funkcji f i zaznacz na rysunku współrzędne jej wierzchołka oraz punktów przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych. b) Odczytaj z wykresu zbiór wartości funkcji f. c) Rozwiaż nierówność f (x) 0. y x

11 ZADANIE 7 Wyznacz wzór funkcji f (x) = x + bx + c w postaci kanonicznej wiedzac, że jej miejsca zerowe sa rozwiaza- niami równania x 3 = 5. ZADANIE 8 Dana jest funkcja kwadratowa f (x) = 9(x a ) + 4 a) Dla a = wyznacz postać iloczynowa tej funkcji. b) Dla a = 0 wyznacz te argumenty, dla których funkcja osiaga wartości ujemne. c) Wyznacz a tak, aby osia symetrii wykresu funkcji była prosta o równaniu x = 6. ZADANIE 9 Określ zbiór wartości i przedziały monotoniczności funkcji f (x) = x + 8x 15. ZADANIE 30 Wiesz, że funkcja kwadratowa f (x) = x + bx + c przyjmuje wartość najmniejsza y = 1 dla x = 1. Wyznacz wzór funkcji f, a następnie rozwiaż równanie f (x + 4) = f ( 1). ZADANIE 31 Wyznacz f (x + 1) jeżeli f (x 1) = x 3x + 1. ZADANIE 3 Funkcja liniowa y = ax + b jest malejaca i jej miejscem zerowym jest liczba niedodatnia. Ustal znak wyrażenia a + b. ZADANIE 33 Oblicz f ( 3 5) jeżeli f (x) = ( 3 x) ZADANIE 34 Określ dziedzinę funkcji f (x) = x+ x ZADANIE 35 Wyznacz miejsca zerowe funkcji x + 5 dla x < 5 f (x) = x + dla 5 x < 5 x 6 dla x 5. 8

12 ZADANIE 36 Oblicz miejsca zerowe funkcji f (x) = { x + 1 dla x 0 x + dla x > 0. ZADANIE 37 Uprość wyrażenie x3 +16 x x+4. ZADANIE 38 Wyznacz dziedzinę funkcji f (x) = 1 x 3 7x x+14. ZADANIE 39 Wyznacz dziedzinę funkcji f (x) = 3+x x 3 x. ZADANIE 40 Wyznacz dziedzinę funkcji f (x) = 4 4x 3x. 9

13 III Równania i układy równań. ZADANIE 1 Rozwiaż równanie x = 117. ZADANIE Rozwiaż równanie x 4 x+3 = 1 3. ZADANIE 3 Rozwiaż równanie x + x 3 = 1 + x. ZADANIE 4 Rozwiaż równanie x (x 1) = 7x(1 x). ZADANIE 5 Rozwiaż równanie 8x + 3 = 35. ZADANIE 6 Liczba 3 jest pierwiastkiem wielomianu W(x) = x 3 4x mx Wyznacz parametr m i pozostałe pierwiastki tego wielomianu. ZADANIE 7 Rozwiaż równanie x 4 + x 3 4x 8x = 0. ZADANIE 8 Podaj miejsca zerowe funkcji f (x) = x(x + ). ZADANIE 9 Rozwiaż algebraicznie i graficznie układ równań { y = x + 5y 3x = 4. ZADANIE 10 Pierwiastkiem wielomianu W(x) = x 3 + mx 5 jest liczba -. Wyznacz parametr m. ZADANIE 11 Rozwiaż równanie x 3 4x 3x + 1 = 0. ZADANIE 1 Rozwiaż równanie x+1 x+1 = 5 6 x. 10

14 ZADANIE 13 Rozwiaż równanie 4x 16x + 9 = 0. ZADANIE 14 Rozwiazaniami równania x + bx + c = 0 sa liczby 8 i -3. Wyznacz parametry b, c. ZADANIE 15 Rozwiaż równanie x 3 18x = 0. ZADANIE 16 Rozwiaż układ równań { x + y = 3 x + y = 7. ZADANIE 17 Wykaż, że funkcja kwadratowa f (x) = x + (b + )x + b, ma co najmniej jedno miejsce zerowe dla każdej wartości parametru b. Dla jakiej wartości parametru b funkcja ma tylko jedno miejsce zerowe? Wyznacz to miejsce. ZADANIE 18 Rozwiaż układ równań { 3x y = 0 6y 10x 4 = 0 ZADANIE 19 Rozwiaż równanie x = x 1. ZADANIE 0 Rozwiaż równanie x 5 = x +. ZADANIE 1 Rozwiaż równanie 4+x x 5 = 5. ZADANIE Rozwiaż równanie 8 ( 7 6 x 9 ) 3(47 3x) = 7. ZADANIE 3 Rozwiaż równanie x 3 1x + x 1 = 0. 11

15 ZADANIE 4 Liczby x 1 = 4 i x = 3 sa pierwiastkami wielomianu W(x) = x 3 + 4x 9x 36. Oblicz trzeci pierwiastek tego wielomianu. ZADANIE 5 Rozłóż na czynniki liniowe trójmian kwadratowy y = x 3x +. ZADANIE 6 Rozwiaż układ równań { xy = 6 x + y = 13. ZADANIE 7 Rozwiaż równanie (x + 3) (4 x)(4 + x) = (x 1) + 1. ZADANIE 8 Rozwiaż układ równań { x + 3y = 5 x y = 3. ZADANIE 9 Rozwiaż równanie (x + 1)(x + 1) = 1. ZADANIE 30 Rozwiaż równanie x 4 3x = 3 x. ZADANIE 31 Rozwiaż graficznie i algebraicznie układ równań { y = x + x + 1 x + 4x + y + 3 = 0. ZADANIE 3 Rozwiaż równanie x 3 + 3x + x + 4 = (x + ). ZADANIE 33 Rozwiaż graficznie i algebraicznie układ równań { y = x 4x + 3 x y 1 = 0. 1

16 ZADANIE 34 Rozwiaż równanie 3 1 x = 911 x 76. ZADANIE 35 Rozwiaż równanie 3 1 x = 911 x 76. ZADANIE 36 Rozwiaż równanie 1 x 3 + x 9 x3 7 + x4 81 = 43 + x5. ZADANIE 37 Wyznacz niewiadoma x z równania: (x + 3)(3 3) = ZADANIE 38 Rozwiaż układ równań { x + 1 = y x + y = 7. ZADANIE 39 Rozwiaż nierówność (x ) 4 < 0. Podaj wszystkie rozwiazania równania x 3 + 6x 4x 4 = 0, które należa do zbioru rozwiazań tej nierówności. 13

17 IV Nierówności. ZADANIE 1 Rozwiaż nierówność x4 +x 3 +x < 0. x 1+6x ZADANIE Znajdź wszystkie liczby całkowite spełniajace nierówność x + 4 <. ZADANIE 3 Rozwiaż nierówność 1 x(x + 1) + 1 (x + 1)(x + ) + 1 (x + )(x + 3) + 1 (x + 3)(x + 4) + 1 (x + 4)(x + 5) < 0. ZADANIE 4 Wykaż, że dla każdych liczb rzeczywistych x oraz a prawdziwa jest nierówność (x + a) 8ax. ZADANIE 5 Wykaż, że dla m = 3 nierówność x + (m 3)x + m + 5 > 0 jest spełniona przez wszystkie liczby rzeczywiste x. ZADANIE 6 Rozwiaż nierówność 0x + x + 1 > 0. ZADANIE 7 Funkcja kwadratowa f jest określona wzorem f (x) = ( x). a) Wyznacz najmniejsza i największa wartość funkcji f w przedziale 0, 5. b) Rozwiaż nierówność f (x) ( x) 0. ZADANIE 8 Rozwiaż nierówność x < x. ZADANIE 9 Rozwiaż nierówność: x 7x + 1 > 0. 14

18 ZADANIE 10 Funkcje f i g dane sa wzorami f (x) = 3x x +, g(x) = 3x + 1. Wyznacz zbiór argumentów x, dla których funkcja f przyjmuje wartości większe od funkcji g. ZADANIE 11 Rozwiaż nierówność x < x. Podaj wszystkie liczby całkowite, które spełniaja tę nierówność. ZADANIE 1 Wyznacz wszystkie liczby pierwsze spełniajace nierówność x 14x + 13 < 0. ZADANIE 13 Uzasadnij, że jeśli liczby rzeczywiste a, b, c spełniaja nierówności 0 < a < b < c, to a + b + c 3 > a + b. ZADANIE 14 Rozwiaż nierówność (1 + x) > 4x(x + ). ZADANIE 15 Rozwiaż nierówność: (x + 3) (x 6) x 7. ZADANIE 16 Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność x + 4 4x. ZADANIE 17 Rozwiaż nierówność 3x + (3x + 1) + + (3x + 99) < 010, gdzie lewa strona jest suma kolejnych wyrazów ciagu arytmetycznego. ZADANIE 18 Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich a, b, c i d prawdziwa jest nierówność ac + bd a + b c + d. ZADANIE 19 Wyznacz wszystkie liczby pierwsze spełniajace nierówność (x 5) + (x 3)( 3 + x) (x + 14)(x 7). 15

19 ZADANIE 0 Wyznacz największa liczbę całkowita spełniajac a nierówność 1 x + 560x < 0. 16

20 V Wielomiany. ZADANIE 1 Dane sa wielomiany W(x) = x + 3x +, F(x) = ax + b, H(x) = x 3 3x + 5x + 6. Wyznacz współczynniki a, b, dla których wielomiany W(x) F(x) oraz H(x) sa równe. ZADANIE Wielomian W dany jest wzorem W(x) = x 3 + ax 4x + b. a) Wyznacz a, b oraz c tak, aby wielomian W był równy wielomianowi P, gdy P(x) = x 3 + (a + 3)x + (a + b + c)x 1. b) Dla a = 3 i b = 0 zapisz wielomian W w postaci iloczynu trzech wielomianów stopnia pierwszego. ZADANIE 3 Rozłóż wielomian W(x) = x 3 + 3x x 6 na czynniki liniowe. ZADANIE 4 Wyznacz zbiór wartości funkcji f (x) = W(x) x 3, gdzie W(x) = x 3 + 5x + 5x 3. ZADANIE 5 Sprawdź, czy równe sa wielomiany W 1 (x) = (x + ) 3 (x + 3)(x 3) i W (x) = (x 5)(x + 1) + 7x + 11x +. ZADANIE 6 Wielomiany W(x) = ax(x + b) i V(x) = x 3 + x + x sa równe. Oblicz a i b. ZADANIE 7 Wyznacz współczynniki a, b wielomianu W(x) = x 3 + ax + bx + 1 wiedzac, że dla każdego x R prawdziwa jest równość: W(x 1) W(x) = 3x + 3x 6. ZADANIE 8 Zbadaj, czy istnieje taka wartość współczynnika a, dla której wielomiany W(x) i [Q(x)] sa równe, jeśli Q(x) = x + ax 1, W(x) = x 4 + x 3 + x x + 1. ZADANIE 9 Rozłóż wielomian W(x) = x 4 7x + 1 na czynniki liniowe. Podaj niewymierne pierwiastki tego wielomianu. ZADANIE 10 Dany jest wielomian P(x) = 4x 3 1x + 9x, gdzie x R. a) Dla jakich argumentów wielomian P(x) przyjmuje wartość równa 7? b) Wielomiany P(x) = 4x 3 1x + 9x oraz W(x) = x(ax + b) sa równe. Wyznacz a i b. 17

21 ZADANIE 11 Dany jest wielomian W(x) = x 3 5x 9x a) Sprawdź, czy punkt A = (1, 30) należy do wykresu tego wielomianu. b) Zapisz wielomian W w postaci iloczynu trzech wielomianów stopnia pierwszego. 18

22 VI Ciągi. ZADANIE 1 Znajdź x, dla którego liczby, x+1, x w podanej kolejności tworza ciag arytmetyczny. ZADANIE 50 wyraz ciagu arytmetycznego b n jest równy 5. Oblicz S 60 S 39, gdzie S n oznacza sumę n poczatkowych wyrazów ciagu b n. ZADANIE 3 Pierwszy wyraz ciagu arytmetycznego jest równy -5, a suma dwudziestu poczatkowych wyrazów tego ciagu jest równa 130. Wyznacz różnicę tego ciagu. ZADANIE 4 Oblicz wyrazy a, a 8, a 3 ciagu arytmetycznego jeśli a 1 = 8 i r = 5. ZADANIE 5 Pierwszy wyraz malejacego ciagu arytmetycznego (a n ) jest równy 3, a iloczyn wyrazów czwartego i piatego równy jest 15. Oblicz różnicę ciagu (a n ) oraz sumę 14 jego poczatkowych wyrazów. ZADANIE 6 Liczby x, y, 19 w podanej kolejności tworza ciag arytmetyczny, przy czym x + y = 8. Oblicz x i y. ZADANIE 7 Znajdź ogólny wyraz ciagu arytmetycznego (a n ) wiedzac, że a 1 = 7, a 5 = 5. ZADANIE 8 Piaty wyraz ciagu arytmetycznego jest równy 6, a suma pięciu poczatkowych wyrazów tego ciagu jest równa 70. Oblicz pierwszy wyraz tego ciagu. ZADANIE 9 Liczby 3 i 7 sa dwoma poczatkowymi wyrazami pewnego rosnacego ciagu arytmetycznego. Oblicz dwudziesty wyraz tego ciagu i sumę jego dwudziestu poczatkowych wyrazów. ZADANIE 10 Wyrazami ciagu arytmetycznego (a n ) sa kolejne liczby naturalne, które przy dzieleniu przez 5 daja resztę. Ponadto a 3 = 1. Oblicz a 15. ZADANIE 11 Trzeci wyraz ciagu arytmetycznego jest równy 4. Suma czterech pierwszych wyrazów tego ciagu jest równa 14. Oblicz a

23 ZADANIE 1 Oblicz sumę pierwszych 14 wyrazów ciagu arytmetycznego (a n ) jeżeli a 1 = 6 oraz a 15 = 6. ZADANIE 13 Dany jest ciag arytmetyczny o pierwszym wyrazie a 1 = 0 i różnicy r = 4. Wyznacz liczbę n, dla której suma częściowa S n jest równa 780. ZADANIE 14 Drugi wyraz ciagu arytmetycznego jest równy -3, dziesiaty wyraz jest równy 1. Wyznacz pierwszy wyraz i różnicę tego ciagu. ZADANIE 15 Zbadaj, czy ciag a n = 3n 1 jest arytmetyczny. ZADANIE 16 Krawędzie prostopadłościanu wychodzace z jednego wierzchołka tworza ciag arytmetyczny o pierwszym wyrazie 5 i różnicy. Wyznacz pole powierzchni całkowitej tego prostopadłościanu. ZADANIE 17 Oblicz a 1, a 3, a 15 oraz sumę S 10 dziesięciu pierwszych wyrazów ciagu arytmetycznego (a n ) jeżeli a 6 a 8 = 3. = 1 i ZADANIE 18 Sprawdź czy podane liczby tworza ciag arytmetyczny (w podanej kolejności). a = 1, b = 1 3, c = 1 6 ZADANIE 19 W 10-wyrazowym ciagu arytmetycznym suma wyrazów o numerach nieparzystych jest równa 35. Oblicz piaty wyraz tego ciagu. ZADANIE 0 Liczby x, 3, x + 6 sa w podanej kolejności pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciagu arytmetycznego. Oblicz x. ZADANIE 1 ( ) Wykaż, że dla każdego m ciag m+1 4, m+3 6, m+9 1 jest arytmetyczny. 0

24 ZADANIE Suma drugiego, czwartego i szóstego wyrazu ciagu arytmetycznego jest równa 4, zaś suma kwadratów wyrazów drugiego i trzeciego jest równa 185. Wyznacz pierwszy wyraz i różnicę tego ciagu. ZADANIE 3 Dany jest ciag arytmetyczny (a n ) dla n 1, w którym a 7 = 1, a 11 = 9. a) Oblicz pierwszy wyraz a 1 i różnicę r ciagu (a n ). b) Sprawdź, czy ciag (a 7, a 8, a 11 ) jest geometryczny. c) Wyznacz takie n, aby suma n poczatkowych wyrazów ciagu (a n ) miała wartość najmniejsza. ZADANIE 4 W ciagu arytmetycznym (a n ) dane sa wyrazy: a 3 = 4, a 6 = 19. Wyznacz wszystkie wartości n, dla których wyrazy ciagu (a n ) sa mniejsze od 00. ZADANIE 5 Wykaż, że jeżeli liczby a, b i c tworza ciag arytmetyczny, który nie jest stały, to liczby b+c 1, 1 a+c i 1 a+b również tworza ciag arytmetyczny. ZADANIE 6 Suma n poczatkowych wyrazów ciagu arytmetycznego (a n ) wyraża się wzorem S n = n + n dla n 1. Oblicz pierwszy wyraz ciagu i jego różnice. ZADANIE 7 Liczby, x 3, 8 sa w podanej kolejności pierwszym, drugim i czwartym wyrazem ciagu arytmetycznego. Oblicz x. ZADANIE 8 Długości boków trójkata prostokatnego tworza ciag arytmetyczny, w którym środkowy wyraz jest równy 8. Wyznacz długości boków trójkata, oblicz jego pole oraz promień okręgu opisanego na tym trójkacie. ZADANIE 9 Nieskończony ciag liczbowy (a n ) jest określony wzorem a n = n 1, dla n = 1,, 3,.... a) Oblicz, ile wyrazów ciagu (a n ) jest mniejszych od 1,975. b) Dla pewnej liczby x trzywyrazowy ciag (a, a 7, x) jest arytmetyczny. Oblicz x. ZADANIE 30 Liczby a 3, a, a + 3, w podanej kolejności, tworza ciag geometryczny. Wyznacz a. 1

25 ZADANIE 31 Uzasadnij, że ciag określony wzorem a n = ( ) 3 n jest ciagiem geometrycznym. Wyznacz iloraz tego ciagu. ZADANIE 3 Oblicz sumę ośmiu poczatkowych wyrazów rosnacego ciagu geometrycznego, w którym a 1 = 4, a 3 = 16. ZADANIE 33 Ciag 36, 1 6, 4,... jest ciagiem geometrycznym. a) Oblicz iloraz q tego ciagu. b) Zapisz n-ty wyraz tego ciagu w postaci aq n c) Oblicz sumę ośmiu poczatkowych wyrazów tego ciagu. ZADANIE 34 Dany jest ciag geometryczny, w którym a 1 = 1 i a 3 = 7. a) Ile jest ciagów spełniajacych podane warunki? Odpowiedź uzasadnij. b) Oblicz wyraz a 6 tego ciagu, który jest rosnacy. Wynik podaj w postaci ułamka dziesiętnego. ZADANIE 35 Liczby x, 8, x w podanej kolejności tworza ciag geometryczny. Oblicz x. ZADANIE 36 W graniastosłupie prawidłowym trójkatnym wysokość podstawy, krawędź podstawy i wysokość graniastosłupa tworza ciag geometryczny. Oblicz długość krawędzi podstawy graniastosłupa wiedzac, że jego objętość jest równa 108. ZADANIE 37 Pierwszy wyraz nieskończonego ciagu geometrycznego (a n ) jest równy 1. Wyraz drugi, trzeci i czwarty spełniaja warunek a 3 a 4 = 8a + 4. a) Oblicz iloraz ciagu (a n ). b) Określ, czy ciag (a n ) jest rosnacy, czy malejacy. ZADANIE 38 Suma n poczatkowych wyrazów ciagu geometrycznego (a n ) wyraża się wzorem S n = 1 ( ) n 3 dla n 1. Oblicz pierwszy wyraz ciagu i jego iloraz.

26 ZADANIE 39 W nieskończonym ciagu geometrycznym (a n ) o wyrazach dodatnich każdy wyraz poczawszy od trzeciego, jest suma dwóch poprzednich wyrazów. Oblicz iloraz tego ciagu. ZADANIE 40 Wykaż, że liczby 3 3, 3 3 6, 3 4 sa kolejnymi wyrazami ciagu geometrycznego. 3

27 VII Geometria analityczna. ZADANIE 1 Wykaż, że prosta l : y = x 1 jest styczna do okręgu (x 3) + (y + ) = 5. ZADANIE Wyznacz równanie prostej przechodzacej przez poczatek układu współrzędnych i przez środek okręgu o równaniu x + y x + 4y 5 = 0. ZADANIE 3 Wierzchołkami trójkata ABC sa punkty A = ( 4, 1), B = (5, ), C = (3, 6). Oblicz długość środkowej AD. ZADANIE 4 W układzie współrzędnych na płaszczyźnie punkty A = (, 5) i C = (6, 7) sa przeciwległymi wierzchołkami kwadratu ABCD. Wyznacz równanie prostej BD. ZADANIE 5 Dane sa dwa przeciwległe wierzchołki kwadratu A = (1, 3), C = ( 5, 1). Wyznacz obwód tego kwadratu. ZADANIE 6 Dany jest jeden koniec odcinka A = ( 4, 7) i jego środek S = (5, 1). Wyznacz współrzędne drugiego końca tego odcinka. ZADANIE 7 Napisz równanie symetralnej boku AB trójkata ABC o wierzchołkach A = (3, ), B = (10, ) i C = (5, 8). ZADANIE 8 Na prostej o równaniu x y 4 = 0 znajdź punkt P, którego kwadrat odległości od punktu A(1, 1) jest najmniejszy. ZADANIE 9 Wyznacz równania stycznych do okręgu x + 6x + y 8y + 1 = 0 równoległych do osi Oy. ZADANIE 10 Oblicz pole i obwód trójkata o wierzchołkach: A = (1, 3), B = (4, 0), C = (, 1). ZADANIE 11 Dany jest równoległobok ABCD o wierzchołkach A = ( 3, 1), B = (6, ), C = (10, 1), D = (1, 4). Napisz równania prostych, w których zawarte sa przekatne równoległoboku. 4

28 ZADANIE 1 Podaj współrzędne środka i długość promienia okręgu o równaniu: (x 4) + (y + ) = 5. ZADANIE 13 Napisz równanie okręgu o środku w punkcie S(, 3), stycznego do osi Ox. ZADANIE 14 W kwadracie ABCD dane sa wierzchołek A = (1, ) i środek symetrii S = (, 1). Oblicz pole kwadratu ABCD. ZADANIE 15 Oblicz pole trójkata o wierzchołkach A = (, 4), B = (6, 1), C = (, 1). ZADANIE 16 Wyznacz równanie prostej równoległej do prostej y = 6x 10 przechodzacej przez punkt A = ( 1, ) oraz równanie prostej prostopadłej do tych prostych przechodzacej przez punkt B = (0, 3). ZADANIE 17 Napisz równanie prostej równoległej do prostej o równaniu x y 11 = 0 i przechodzacej przez punkt P = (1, ). ZADANIE 18 Wyznacz współrzędne punktów wspólnych prostej y = 1 3 x 1 i okręgu x + y = 9. ZADANIE 19 Określ wzajemne położenie prostych k i l o równaniach k : x y + 3 = 0, l : x 0, 5y 1 = 0 ZADANIE 0 Wyznacz współrzędne wierzchołków trójkata jeżeli środki jego boków maja współrzędne: P = (1, 3), Q = ( 5, 4), R = ( 6, 7). ZADANIE 1 Podstawa trójkata równoramiennego jest odcinek o końcach w punktach A = (, 4) oraz B = ( 5, ). Jedno z jego ramion zawiera się w prostej o równaniu y = x. Oblicz współrzędne trzeciego wierzchołka trójkata. 5

29 ZADANIE Napisz równanie okręgu, którego środek należy do osi Ox, i który przechodzi przez punkty A(, 3) i B(5, ). ZADANIE 3 W układzie współrzędnych dane sa dwa punkty: A = (, ) i B = (4, 4). a) Wyznacz równanie symetralnej odcinka AB. b) Prosta AB oraz prosta o równaniu 3x y 11 = 0 przecinaja się w punkcie C. Oblicz współrzędne punktu C. ZADANIE 4 W trójkacie ABC, gdzie AC = AB dane sa B = ( 6, 6) i C = ( 10, 9). Wyznacz współrzędne wierzchołka A, jeżeli leży on na prostej 3y + x = 1. ZADANIE 5 Punkty o współrzędnych A = ( 1; 6), B = (3; 6), C = ( 1; 4) sa wierzchołkami trapezu. Ramię trapezu AD jest prostopadłe do podstaw AB i CD. Oblicz współrzędne punktu D oraz pole powierzchni tego trapezu. ZADANIE 6 Dane sa punkty A(6, 3), B(1, ) oraz C(m 3 18m, m ). Wyznacz wszystkie wartości m, dla których proste AB i AC sa prostopadłe. ZADANIE 7 Dane sa punkty A = (, 7), B = ( 1, 4), C = (4, 11). Wykaż, że punkty te sa współliniowe ZADANIE 8 Na prostej y = 3x + wyznacz punkt, którego suma kwadratów odległości od osi układu współrzędnych jest najmniejsza. ZADANIE 9 Dany jest okrag (x ) + (y 1) = 3. Oblicz pole rombu opisanego na tym okręgu, jeśli kat ostry rombu ma miarę 60. ZADANIE 30 Wyznacz równanie okręgu przechodzacego przez punkt A = (, 1) i stycznego do obu osi układu współrzędnych. Rozważ wszystkie przypadki. ZADANIE 31 Okrag o równaniu x 6x + y y + = 0 i prosta x + 3y + = 0 przecinaja się w punktach A, B. Wyznacz długość cięciwy AB tego okręgu. 6

30 ZADANIE 3 Określ wzajemne położenie okręgów: x + y + x = 0 i x + y + 1x + 4y + 36 = 0. ZADANIE 33 Punkty A = (, 0) i B = (8, 0) sa wierzchołkami trójkata prostokatnego ABC o przeciwprostokatnej AB i polu równym 15. Oblicz współrzędne punktu C. ZADANIE 34 Sprawdź, czy czworokat ABCD, gdzie A = ( 3, 1), B = (53, ), C = (54, 4), D = (, 3) jest równoległobokiem. Odpowiedź uzasadnij. 7

31 VIII Planimetria. ZADANIE 1 Obwód czworokata wypukłego ABCD jest równy 50 cm. Obwód trójkata ABD jest równy 46 cm, a obwód trójkata BCD jest równy 36 cm. Oblicz długość przekatnej BD. ZADANIE Romb o kacie ostrym 30 jest opisany na okręgu o promieniu. Oblicz pole tego rombu. ZADANIE 3 Znajdź długości przekatnych rombu o boku 9 jeżeli wiadomo, że ich różnica długości jest równa. ZADANIE 4 Boki prostokata ABCD maja długości 5 i 1. Oblicz odległość wierzchołka A od przekatnej BD. ZADANIE 5 Przyprostokatne trójkata ABC maja długości 10 i 4. Przeciwprostokatna trójkata KLM podobnego do niego ma długość 39. Oblicz pole trójkata KLM. ZADANIE 6 Dany jest trójkat prostokatny o kacie ostrym 30. Oblicz obwód tego trójkata, jeżeli przeciwprostokatna ma długość 1 dm. ZADANIE 7 Krótsza przekatna rombu o długości 8 3cm dzieli go na dwa trójkaty równoboczne. Oblicz pole rombu. ZADANIE 8 Liczby 4, 10, c sa długościami boków trójkata równoramiennego. Oblicz c. ZADANIE 9 Krótsza podstawa trapezu ma długość, a ramiona długości i 4 tworza z dłuższa podstawa katy o miarach 45 i 30. Oblicz pole trapezu. ZADANIE 10 Wyznacz wymiary prostokata o obwodzie 36 cm, którego pole jest największe. ZADANIE 11 Punkty A, B, C sa środkami boków trójkata ABC. Pole trójkata A B C jest równe 4. Oblicz pole trójkata ABC. C C' B' A A' B 8

32 ZADANIE 1 Oblicz pole wycinka koła o środku w punkcie A jeśli pole rombu ABCD wynosi, a kat ostry rombu ma miarę 45. D C A 45 o B ZADANIE 13 Na kwadracie ABCD opisano okrag o promieniu r = 3 cm. Oblicz pole zacieniowanej figury. D C r s A B ZADANIE 14 Wyznacz miary katów trójkata ABC: C A O 10 o 40 o B ZADANIE 15 Proste DE i CB oraz EF i AC sa równoległe. Oblicz długość odcinka EB, jeżeli AE = 1, DE = 3 oraz FB = 4. C D F A E B 9

33 ZADANIE 16 Oblicz długości przekatnych sześciokata foremnego o boku 1. ZADANIE 17 Oblicz wysokość trójkata prostokatnego o przyprostokatnych 1 cm i 9 cm, która jest poprowadzona do przeciwprostokatnej. ZADANIE 18 Oblicz miarę kata α jaki tworza przekatne AC i AD sześciokata foremnego. A F α B E C D ZADANIE 19 W trapezie równoramiennym krótsza podstawa i ramię maja taka sama długość. Przekatna trapezu tworzy z jednym z ramion kat prosty. Oblicz miary katów tego trapezu. ZADANIE 0 W trójkacie prostokatnym wysokość poprowadzona na przeciwprostokatn a ma długość 10 cm, a promień okręgu opisanego ma długość 19 cm. Oblicz pole tego trójkata. ZADANIE 1 Dany jest trójkat prostokatny ABC, w którym BC = 30, AC = 40 i AB = 50. Okrag wpisany w trójkat ABC jest styczny do boku AB w punkcie M. Oblicz długość odcinka CM. B M C A ZADANIE Dany jest trapez, w którym podstawy maja długość 4 cm i 10 cm oraz ramiona tworza z dłuższa podstawa katy o miarach 30 i 45. Oblicz wysokość tego trapezu. 30

34 ZADANIE 3 Do dwóch okręgów o promieniach długości 3cm i 10cm poprowadzono wspólna styczna tak, że okręgi znajduja się po różnych stronach tej stycznej. Odległość między środkami okręgów wynosi 39 cm. Oblicz długość odcinka między punktami styczności. ZADANIE 4 Dany jest trójkat równoboczny ABC. Okrag o średnicy AB przecina bok BC w punkcie D. C D A B Wykaż, że CD = DB. ZADANIE 5 W okręgu o promieniu 5 poprowadzono dwie równoległe cięciwy o długościach 6 i 8. Oblicz odległość między tymi cięciwami. ZADANIE 6 Dany jest prostokat ABCD. Okręgi o średnicach AB i AD przecinaja się w punktach A i P. D P C A B Wykaż, że punkty B, P i D leża na jednej prostej. ZADANIE 7 Na sześciokacie foremnym opisano okrag i w ten sześciokat wpisano okrag. Pole powstałego pierścienia jest równe π dm. Oblicz pole powierzchni wielokata. ZADANIE 8 Trójkaty prostokatne równoramienne ABC i CDE sa położone tak, jak na poniższym rysunku (w obu trójkatach kat przy wierzchołku C jest prosty). Wykaż, że AD = BE. 31

35 C E D A B ZADANIE 9 W trapezie ABCD długość podstawy CD jest równa 18, a długości ramion trapezu AD i BC sa odpowiednio równe 5 i 15. Katy ADB i DCB, zaznaczone na rysunku, maja równe miary. Oblicz obwód tego trapezu. D C A B ZADANIE 30 Prosta k równoległa do boku AB trójkata ABC przecina boki AC oraz BC odpowiednio w punktach D i E (zobacz rysunek). Wiadomo, że pole trójkata DEC wynosi 4 cm, zaś pole trapezu ABED jest równe 8 cm. Wykaż, że AD = 3 1. DC C D E k A B ZADANIE 31 Odległości środków dwóch okręgów od wierzchołka kata sa równe 8 i 1. Okręgi te sa styczne zewnętrznie i każdy z nich jest styczny do obu ramion kata. Oblicz długości ich promieni. ZADANIE 3 Na okręgu o promieniu 9 opisano trójkat równoramienny o kacie równym 10. Oblicz długości boków trójkata. ZADANIE 33 Podstawy trapezu maja długości 6 i, a wysokość ma długość 4. Oblicz odległość punktu przecięcia przekat- nych trapezu od prostych zawierajacych jego podstawy. 3

36 IX Stereometria. ZADANIE 1 Podstawa graniastosłupa jest trójkat prostokatny, w którym przeciwprostokatna ma długość 8 cm, a jeden z katów ma miarę 30. Powierzchnia boczna tego graniastosłupa po rozwinięciu na płaszczyznę jest kwadratem. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość tego graniastosłupa. ZADANIE W graniastosłupie prawidłowym sześciokatnym wszystkie krawędzie maja jednakowa długość. Wyznacz tangensy katów nachylenia przekatnych graniastosłupa do płaszczyzny podstawy. ZADANIE 3 W ostrosłupie prawidłowym czworokatnym o krawędzi podstawy 18 cm, kat między wysokościami przeciwległych ścian bocznych ma miarę α = 60. Oblicz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa. Wykonaj odpowiedni rysunek i zaznacz kat α. ZADANIE 4 Oblicz wysokość prostopadłościanu, którego podstawa jest prostokatem o wymiarach 3 i 4, a pole powierzchni całkowitej wynosi 94. ZADANIE 5 Dany jest zbiór wszystkich graniastosłupów prawidłowych sześciokatnych, których suma długości wszystkich krawędzi jest równa 16. Oblicz długość krawędzi podstawy i wysokość tego z danych graniastosłupów, który ma największe pole powierzchni bocznej. ZADANIE 6 Przekatna przekroju osiowego walca ma długość 5 cm i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod katem 60. Jaka długość ma promień podstawy tego walca? Jaka jest jego wysokość? ZADANIE 7 Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokatny o krawędzi bocznej dwa razy dłuższej od krawędzi podstawy. a) Wyznacz cosinus kata nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy ostrosłupa. b) Wyznacz długość krawędzi ostrosłupa, tak aby pole jego powierzchni bocznej wynosiło ZADANIE 8 Pole powierzchni bocznej stożka jest czterokrotnie większe od pola podstawy stożka. Oblicz wysokość stożka, wiedzac, że promień jego podstawy jest równy r. ZADANIE 9 Pole powierzchni bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokatnego jest równe 80 cm, a pole jego powierzchni całkowitej wynosi 144 cm. Oblicz długość krawędzi podstawy i długość krawędzi bocznej tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia. 33

37 ZADANIE 10 W ostrosłupie prawidłowym sześciokatnym dany jest kat nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy α. Oblicz stosunek pola podstawy do pola powierzchni bocznej ostrosłupa. ZADANIE 11 Podstawa graniastosłupa prostego jest trójkat prostokatny o przyprostokatnych majacych długości 1 i 3. Podaj miary katów między sasiednimi ścianami bocznymi tego graniastosłupa. ZADANIE 1 Pole powierzchni całkowitej stożka jest trzy razy większe od pola jego podstawy. Oblicz miarę kata rozwarcia tego stożka. ZADANIE 13 Oblicz pole powierzchni i objętość sześcianu, którego przekatna ma długość 4 3 cm. ZADANIE 14 Stożek ma wysokość 10 cm. Pole przekroju osiowego tego stożka jest równe 30 cm. Jaka długość ma tworzaca tego stożka? ZADANIE 15 Graniastosłup prawidłowy trójkatny o krawędzi podstawy 4 cm i wysokości 10 cm przecięto płaszczyzna zawierajac a wysokość podstawy i jedna z krawędzi bocznych. Jakie pole ma ten przekrój? ZADANIE 16 Kwadrat o boku długości cm obraca się wokół swojej przekatnej. Oblicz objętość i pole powierzchni otrzymanej bryły. ZADANIE 17 Promień i wysokość walca maja jednakowa długość. Pole powierzchni bocznej wynosi 00π. Oblicz pole podstawy walca. ZADANIE 18 Podstawa graniastosłupa jest trójkat prostokatny równoramienny o ramieniu długości 9. Kat między przekatn a największej ściany bocznej i wysokościa graniastosłupa jest równy 60. Oblicz pole powierzchni bocznej i objętość tego graniastosłupa. ZADANIE 19 Objętość graniastosłupa prawidłowego trójkatnego jest równa 36 3, a pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa jest równe 7. Oblicz długość krawędzi podstawy oraz długość wysokości tego graniastosłupa. 34

38 ZADANIE 0 Podstawa ostrosłupa jest prostokat o bokach 6cm i 8cm. Każda krawędź boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod katem 60. Oblicz pole powierzchni ostrosłupa. ZADANIE 1 Przekatna sześcianu jest o 3 dłuższa od krawędzi sześcianu. Oblicz objętość tego sześcianu. ZADANIE Punkty K i M sa środkami krawędzi BC i AE sześcianu ABCDEFGH o krawędzi długości 1. Punkt L jest środkiem ściany EFGH (zobacz rysunek). Oblicz obwód trójkata KLM. H L G E F M A D B K C ZADANIE 3 Podstawa ostrosłupa ABCS jest trójkat równoboczny ABC o boku długości 8. Punkt D jest środkiem krawędzi AB, odcinek DS jest wysokościa ostrosłupa. Krawędzie AS i BS maja długość 7. Oblicz długość krawędzi CS tego ostrosłupa. ZADANIE 4 Podstawa ostrosłupa ABCDS jest romb ABCD o boku długości 4. Kat ABC rombu ma miarę 10 oraz AS = CS = 10 i BS = DS. Oblicz sinus kata nachylenia krawędzi BS do płaszczyzny podstawy ostrosłupa. ZADANIE 5 Oblicz objętość graniastosłupa prawidłowego trójkatnego, w którym krawędź podstawy ma długość 1, a przekatna ściany bocznej tworzy z sasiedni a ściana kat o mierze 30. ZADANIE 6 Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkatny ABCDEF o podstawach ABC i DEF i krawędziach bocznych AD, BE i CF. Oblicz pole trójkata ABF wiedzac, że AB = 10 i CF = 11. Narysuj ten graniastosłup i zaznacz na nim trójkat ABF. ZADANIE 7 Pole powierzchni całkowitej P c stożka oraz jego pole podstawy P p spełniaja równanie 3P c = 3P p ( + 3). Oblicz miarę kata rozwarcia stożka. 35

39 ZADANIE 8 Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego trójkatnego o krawędzi podstawy 6 cm i krawędzi bocznej 1 cm. ZADANIE 9 Metalowa kulę o promieniu R = 3 cm przetopiono na stożek. Tworzaca stożek jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod katem α, takim, że sin α = 5 5. Wyznacz promień podstawy tego stożka. ZADANIE 30 Środek P tworzacej stożka połaczono z końcami A i B średnicy koła w podstawie stożka tak, że AP = BP. Wiedzac, że kat rozwarcia stożka jest równy 60, oblicz katy trójkata ABP. B P A ZADANIE 31 Tangens kata nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokatnego jest równy 3. Oblicz tangens nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy tego ostrosłupa. ZADANIE 3 Powierzchnia boczna stożka po rozwinięciu na płaszczyznę jest wycinkiem koła o promieniu 3 i kacie środkowym 10 (zobacz rysunek). Oblicz objętość tego stożka o ZADANIE 33 W graniastosłupie czworokatnym prawidłowym przekatna o długości m jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod katem α. Wiadomo, że sin α = 0,. Wyznacz objętość tego graniastosłupa. ZADANIE 34 Objętość stożka jest równa 1π dm 3, a cosinus kata α między wysokościa, a tworzac a wynosi 0,8. Oblicz: a) pole powierzchni bocznej stożka; b) miarę kata środkowego powierzchni bocznej stożka po rozwinięciu na płaszczyźnie. 36

40 ZADANIE 35 Krawędź podstawy graniastosłupa prawidłowego sześciokatnego ma długość a. Przekatne sasiednich ścian bocznych poprowadzone z tego samego wierzchołka sa prostopadłe. Oblicz objętość tego graniastosłupa. ZADANIE 36 Wysokość czworościanu foremnego ma długość 6 3. Oblicz jego objętość i pole powierzchni całkowitej. ZADANIE 37 Przekatna prostopadłościanu ma długość 5 i tworzy z dwoma ścianami prostopadłościanu katy α i β takie, że cos α = 3 5 i cos β = 4 5. Oblicz objętość tego prostopadłościanu. ZADANIE 38 W graniastosłupie prawidłowym czworokatnym ABCDEFGH przekatna AC podstawy ma długość 4. Kat ACE jest równy 60. Oblicz objętość ostrosłupa ABCDE przedstawionego na poniższym rysunku. H G E F D C A B 37

41 X Trygonometria. ZADANIE 1 Oblicz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kata ostrego α jeżeli sin α = 0, 6. ZADANIE ( ) Uzasadnij, że jeżeli cos α = 0 to prawda jest, że (1 + sin α) 1 cos α tg α = cos α. ZADANIE 3 Oblicz wartość wyrażenia tg α 3 cos α, jeżeli sin α = 3 i α jest k atem ostrym. ZADANIE 4 Wiedzac, że α jest katem ostrym i tg α + tg 1 α = 4 oblicz sin α cos α. ZADANIE 5 Porównaj liczby: a = ctg α cos α i b = ctg α cos α, jeżeli α = 60. ZADANIE 6 Posługujac się wzorem tg(α β) = tg α tg β 1+tg α tg β oblicz tg 15. ZADANIE 7 Sprawdź tożsamość: (cos α + sin α) + (cos α sin α) =. ZADANIE 8 Kat α jest ostry i cos sin α α + cos sin α α =. Oblicz wartość wyrażenia sin α cos α. ZADANIE 9 Oblicz wartość wyrażenia tg α+tg 5 α jeżeli α = 30. tg 3 α+1 ZADANIE 10 ( ) Oblicz wartość wyrażenia W = tg α + tg 1 α sin α cos α. ZADANIE 11 Kat α jest ostry i sin α = 1 4. Oblicz 3 + tg α. ZADANIE 1 Oblicz a b, gdy a = sin 4 α cos 4 α, b = 1 4 sin α cos α dla α =

42 ZADANIE 13 Kat α jest katem ostrym i tg α = 4. Wyznacz sinus i cosinus tego kata. ZADANIE 14 Wykaż, że nie istnieje kat α, taki, że cos α = 5 3 i tg α = 3 4. ZADANIE 15 Kat α jest katem ostrym. Wiedzac, że sin α cos α = 1 tg α 3, oblicz wartość wyrażenia sin α. ZADANIE 16 ( ) Wiedzac, że α jest katem ostrym i tg α + tg 1 α = 4, oblicz tg α + 1. tg α ZADANIE 17 Wiedzac, że sin α + cos α = 5 4, oblicz sin α cos α. ZADANIE 18 Kat α jest ostry oraz tg α = 4 3. Oblicz sin α + cos α. ZADANIE 19 sin α cos α sin α cos α Kat α jest ostry i cos α = sin α. Oblicz wartość wyrażenia sin α cos α. 39

43 XI Rachunek prawdopodobieństwa. ZADANIE 1 Rzucono dwiema sześciennymi kostkami do gry i określono zdarzenia A - na każdej kostce wypadła nieparzysta liczba oczek, B - suma wyrzuconych oczek jest nie mniejsza niż 8. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A B. ZADANIE W pudełku zmieszano 30 ziaren fasoli, 0 ziaren ciecierzycy i 50 ziaren grochu. a) Losujemy jedno ziarenko. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania ziarenka ciecierzycy? b) Jako pierwsze wylosowano ziarenko fasoli. Jakie jest prawdopodobieństwo, że drugim wylosowanym ziarenkiem nie będzie ziarenko fasoli? c) Z pudełka usunięto po 10% ziarenek każdego rodzaju. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania ziarenka fasoli? ZADANIE 3 Oblicz prawdopodobieństwo, że losowo wybrana liczba trzycyfrowa ma wszystkie cyfry różne. ZADANIE 4 Dane sa zbiory liczb całkowitych: {1,, 3, 4, 5} i {1,, 3, 4, 5, 6, 7}. Z każdego z tych zbiorów wybieramy losowo po jednej liczbie. Oblicz prawdopodobieństwo, że suma wylosowanych liczb będzie podzielna przez 5. ZADANIE 5 Każdej karcie bankomatowej jest przypisany numer identyfikacyjny zwany kodem PIN. Kod ten składa się z czterech cyfr (cyfry moga się powtarzać, ale kodem PIN nie może być 0000). Oblicz prawdopodobieństwo, że w losowo utworzonym kodzie PIN żadna cyfra się nie powtórzy. Wynik podaj w postaci ułamka nieskracalnego. ZADANIE 6 O zdarzeniach losowych A i B wiemy, że: P(A) = 1, P(B) = 3, P(A B) = 4 5. Oblicz: a) P(A B) b) P(A \ B) ZADANIE 7 Co jest bardziej prawdopodobne: wyrzucić dwa orły w trzech rzutach moneta, czy trzy orły w czterech rzutach? ZADANIE 8 W garderobie pani Joanny wisza 3 żakiety: biały, zielony i granatowy oraz 4 spódnice: czarna, biała, granatowa i szara. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że wybierajac losowo jeden żakiet i jedna spódnicę, pani Joanna skompletuje strój w jednym kolorze. 40

44 ZADANIE 9 Rzucamy trzy razy symetryczna sześcienna kostka do gry. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania iloczynu oczek równego 1. ZADANIE 10 Ze zbioru liczb {1,, 3, 4, 7, 9, 10} losujemy dwie liczby (moga się powtarzać). Oblicz prawdopodobieństwo, że suma wylosowanych liczb jest parzysta. ZADANIE 11 W dwóch pudełkach sa cukierki. W pierwszym pudełku jest 15 cukierków czekoladowych i 5 owocowych, a w drugim pudełku jest 0 cukierków czekoladowych i 30 cukierków owocowych. Losujemy cukierek najpierw z pierwszego, a potem z drugiego pudełka. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w wyniku losowania otrzymamy dwa cukierki czekoladowe? ZADANIE 1 W jednej urnie sa 3 kule: czerwona, biała i zielona, a w drugiej urnie sa kule: czerwona i biała. Losujemy po jednej kuli z każdej urny. Jakie jest prawdopodobieństwo wyciagnięcia dwóch kul w tym samym kolorze? ZADANIE 13 Dla zdarzeń A, B Ω spełnione sa warunki P(A ) = 3, P(B ) = 9, P(A B) = 4 5. Oblicz P(A B). ZADANIE 14 Rzucamy dwiema sześciennymi kostkami. a) Jakie jest prawdopodobieństwo, że różnica między liczbami oczek wyrzuconych na kostkach (od większej odejmujemy mniejsza) będzie równa? b) Jaka jest najbardziej prawdopodobna różnica między wynikami na kostkach (od większego odejmujemy mniejszy)? ZADANIE 15 Wiadomo, że P(A B) = 3 4, P(A B) = 1, P(A ) = 1 3. Oblicz prawdopodobieństwa zdarzeń A i B. ZADANIE 16 1 Rzucamy trzema kostkami. Prawdopodobieństwo otrzymania sumy oczek równej 3 wynosi 16, a prawdopodobieństwo otrzymania sumy oczek równej 4 wynosi 7 1. jakie jest prawdopodobieństwo tego, że suma otrzymanych oczek będzie mniejsza od 5? ZADANIE 17 W każdym z dwóch koszyków znajduje się 5 klocków czerwonych, 10 zielonych i 6 białych. Wyjmujemy losowo po jednym klocku z każdego koszyka. Oblicz prawdopodobieństwo, że: a) wylosujemy dwa klocki białe; b) wylosujemy klocki tego samego koloru. 41

45 ZADANIE 18 Z talii 5 kart losujemy jedna kartę. a) Oblicz prawdopodobieństwo zdarzeń: A losowo wybrana karta jest pikiem. B losowo wybrana karta jest asem. b) Oblicz prawdopodobieństwo zdarzeń A B oraz A B. ZADANIE 19 W urnie jest 16 kul ponumerowanych liczbami od 1 do 16. Kule z numerami od 1 do 3 sa białe, z numerami od 4 do 7 czerwone, a pozostałe sa zielone. Losujemy jedna kulę. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że wylosowana kula jest czerwona lub zielona. ZADANIE 0 Losujemy jedna z 5 kart. Jakie jest prawdopodobieństwo wyciagnięcia asa lub króla? ZADANIE 1 Rzucamy dwiema sześciennymi kostkami. Jakie jest prawdopodobieństwo, że na pierwszej kostce wypadło dwa razy mniej oczek niż na drugiej? ZADANIE Ze zbioru liczb naturalnych dwucyfrowych wybieramy losowo jedna liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania liczby podzielnej przez 15. ZADANIE 3 Ze zbioru A = {x C : x + x 6 0} losujemy liczby a i b bez zwracania i tworzymy funkcję f (x) = ax + b. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania funkcji malejacej. ZADANIE 4 Ze zbioru liczb naturalnych spełniajacych nierówność x 3 x 1 3 < 0 losujemy dwie różne liczby (a, b). Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia: punkt o współrzędnych (a, b) należy do wykresu funkcji y = x + 4. ZADANIE 5 Wiadomo że P(A \ B) = 1, P(B \ A) = 5 1, P(A B) = 7 8. Oblicz P(A B). ZADANIE 6 Spośród cyfr 1,, 3, 4, 5, 6 losujemy kolejno dwa razy po jednej cyfrze ze zwracaniem. Tworzymy liczbę dwucyfrowa w ten sposób, że pierwsza z wylosowanych cyfr jest cyfra dziesiatek, a druga cyfra jedności tej liczby. Oblicz prawdopodobieństwo utworzenia liczby większej od 5. 4

46 ZADANIE 7 A i B sa takimi zdarzeniami losowymi zawartymi w Ω, że A B oraz P(A) = 0, 3 i P(B) = 0, 4. Oblicz prawdopodobieństwo P(A B). ZADANIE 8 Rzucono dwiema sześciennymi kostkami do gry i określono zdarzenia A - na każdej kostce wypadła nieparzysta liczba oczek, B - suma wyrzuconych oczek jest nie mniejsza niż 8. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A B. ZADANIE 9 Z urny, w której jest 6 kul czarnych i 4 żółte, wyjęto dwa razy po jednej kuli ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo, że wyjęto kule jednakowych kolorów. ZADANIE 30 Spośród liczb naturalnych trzycyfrowych wybieramy jedna liczbę. Jakie jest prawdopodobieństwo wybrania liczby, która przy dzieleniu przez 11 daje resztę 3. ZADANIE 31 Rzucamy dwa razy symetryczna sześcienna kostka do gry. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że w każdym rzucie otrzymamy inna liczbę oczek. ZADANIE 3 Z cyfr 0, 1,, 3, 5, 6 tworzymy liczbę czterocyfrowa, przy czym cyfry nie moga się powtarzać. Jakie jest prawdopodobieństwo otrzymania liczby podzielnej przez 5? ZADANIE 33 Ze zbioru liczb {1,, 3,..., 10} losujemy bez zwracania dwie i od pierwszej odejmujemy druga. Oblicz prawdopodobieństwo, że otrzymana różnica jest większa od. ZADANIE 34 Rzucamy trzy razy kostka do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegajacego na tym, że w trzecim rzucie otrzymamy dwa razy więcej oczek niż w pierwszym rzucie. ZADANIE 35 Listonosz losowo rozmieszcza 4 listy w 6 skrzynkach na listy. Jakie jest prawdopodobieństwo, że przynajmniej dwa listy znajda się w tej samej skrzynce? ZADANIE 36 Ze zbioru liczb trzycyfrowych, które nie maja dwóch takich samych cyfr losujemy jedna liczbę. Jakie jest prawdopodobieństwo otrzymania liczby, której iloczyn cyfr jest liczba niezerowa podzielna przez 7? 43

47 ZADANIE 37 Oblicz prawdopodobieństwo P(A B ), jeśli P(A ) = 1 3, P(B ) = 1 4 i P(A B) = 1. ZADANIE 38 Rzucono 3 razy moneta i określono zdarzenia: A wypadły dokładnie dwa orły, B wypadł orzeł za pierwszym razem. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia P(A \ B). ZADANIE 39 W urnie znajduja się kule białe, zielone i czerwone. Kul zielonych jest dwa razy więcej niż kul białych, a kul czerwonych jest 3 razy więcej niż białych. Wyjęto dwa razy po jednej kuli bez zwracania. Oblicz liczbę kul białych w urnie, jeśli prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul zielonych jest równe ZADANIE 40 Ze zbioru {1,, 3, 4, 5, 6, 7} losujemy dwa razy po jednej liczbie bez zwracania. Z wylosowanych liczb tworzymy liczbę dwucyfrowa w następujacy sposób: mniejsza z wylosowanych liczb jest cyfra jedności, a większa cyfra dziesiatek utworzonej liczby. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania liczby podzielnej przez 7. 44

48 XII Statystyka ZADANIE 1 Średnia wieku w pewnej grupie studentów jest równa 3 lata. Średnia wieku tych studentów i ich opiekuna jest równa 4 lata. Opiekun ma 39 lat. Oblicz, ilu studentów jest w tej grupie. ZADANIE Tabela przedstawia pewne dane i ich liczebność a) Oblicz średnia arytmetyczna tych danych. b) Podaj medianę. c) Oblicz odchylenie standardowe. Wartość danej Liczebność ZADANIE 3 Zważono 150 losowo wybranych kostek masła produkowanego przez pewien zakład mleczarski. Wyniki badań przedstawiono w tabeli. Masa kostki masła [dag] Liczba kostek masła Na podstawie danych przedstawionych w tabeli oblicz średnia arytmetyczna oraz odchylenie standardowe masy kostki masła. ZADANIE 4 Uczniowie napisali pracę kontrolna. 30% uczniów otrzymało piatkę, 40% otrzymało czwórkę, 8 uczniów otrzymało trójkę, a pozostali ocenę dopuszczajac a. Średnia ocen wynosiła 3,9. Ilu uczniów otrzymało piatkę? ZADANIE 5 Oblicz z dokładnościa do 0,1 odchylenie standardowe następujacych danych: a) -; 0; 1; 4; 7; 14. b) Wartość Liczebność ZADANIE 6 Uczeń otrzymał pięć ocen: 5, 3, 6, x, 3. Średnia arytmetyczna tych ocen jest równa 4. Oblicz x i medianę tych pięciu ocen. 45

49 ZADANIE 7 Tabela przedstawia wyniki uzyskane na sprawdzianie przez uczniów klasy III. Oceny Liczba uczniów Oblicz średnia arytmetyczna i kwadrat odchylenia standardowego uzyskanych ocen. ZADANIE 8 Tabela przedstawia wyniki części teoretycznej egzaminu na prawo jazdy. Zdajacy uzyskał wynik pozytywny, jeżeli popełnił co najwyżej dwa błędy. Liczba błędów Liczba zdajacych a) Oblicz średnia arytmetyczna liczby błędów popełnionych przez zdajacych ten egzamin. Wynik podaj w zaokragleniu do całości. b) Oblicz prawdopodobieństwo, że wśród dwóch losowo wybranych zdajacych tylko jeden uzyskał wynik pozytywny. Wynik zapisz w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego. ZADANIE 9 Pewna maszyna wykonuje śruby o średnicy 14 mm. Dokonano kontroli jakości wykonywanych śrub i jej wyniki zebrano w tabeli. Opierajac się na podanych danych. a) Oblicz średnia średnicę śruby. Średnica w mm 13,8 13, ,1 14, Liczba śrub b) Oblicz prawdopodobieństwo wyprodukowania śruby o średnicy z przedziału 13, 9; 14, 1. c) Oblicz odchylenie standardowe średnicy śruby. Wynik podaj z dokładnościa do 0,01. ZADANIE 10 Średnia arytmetyczna liczb a, b, c jest równa 15. Oblicz średnia arytmetyczna liczb a + 7, b + 3, c + 8. ZADANIE 11 W pewnym zakładzie pracy obliczono ile dni urlopu wykorzystali pracownicy w lutym. Wynik przedstawiono w następujacym diagramie słupkowym procent pracowników 60% 50% 40% 30% 0% 10% liczba dni urlopu 46

50 a) Jaka była średnia liczba dni urlopu przypadajacych na jednego pracownika? b) Ilu pracowników liczy zakład pracy, jeśli 119 pracowników miało mniejsza liczbę dni urlopu niż wynosi średnia przypadajaca na jednego pracownika? ZADANIE 1 Oblicz medianę następujacych danych: 13,; 15; 1,5; 14; 16,8; 4,7;,1; 31,4; 0,6; 18,4. ZADANIE 13 Oblicz medianę danych przedstawionych w postaci tabeli liczebności Wartość Liczebność ZADANIE 14 Na poniższym diagramie przedstawiono zbiorcze wyniki z egzaminu maturalnego z matematyki na poziomie rozszerzonym w 008 roku. Diagram przedstawia rozkład wyników pogrupowanych w zależności od procentowego wyniku egzaminu. 0%-14% 11% 15%-30% 1% 3% 79%-100% 31%-46% 0% 65%-78% 47%-64% a) Wiedzac, że egzamin na poziomie rozszerzonym zdawało maturzystów oblicz, ilu maturzystów uzyskało wynik w przedziale 0% 30%. b) Wiedzac, że 60% maturzystów uzyskało z egzaminu co najmniej 47% punktów oblicz, jaki procent maturzystów uzyskał wynik w przedziale 31% 46%. c) Oblicz jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrany maturzysta uzyskał wynik poniżej 47%. 47