INSTYTUT MATEMATYKI UNIWERSYTET HUMANISTYCZNO-PRZYRODNICZY Jana Kochanowskiego w Kielcach

Transkrypt

1 INSTYTUT MATEMATYKI UNIWERSYTET HUMANISTYCZNO-PRZYRODNICZY Jana Kochanowskiego w Kielcach Zagadnienia do egzaminu dyplomowego rok akademicki 2007/2008 Zagadnienia do egzaminu dyplomowego zostały ujęte hasłowo. Odpowiedź powinna zawierać definicje pojęć i ich własności, przykłady i kontrprzykłady. Topologia 1. Pojęcie przestrzeni topologicznej. Zbiory otwarte i domknięte. 2. Wnętrze i domknięcie zbioru w przestrzeni topologicznej. 3. Związki przestrzeni topologicznych z przestrzeniami metrycznymi. 4. RóŜne sposoby wprowadzania topologii. 5. Generowanie topologii. Baza, podbaza. 6. Przekształcenia ciągłe między przestrzeniami topologicznymi. 7. Homeomorfizmy przestrzeni topologicznych. 8. Produkt kartezjański przestrzeni topologicznych. 9. Aksjomaty oddzielania. Lemat Urysohna. 10. Zbiory gęste. Przestrzenie ośrodkowe. 11. Przestrzenie topologiczne zwarte. 12. Przestrzenie metryczne zupełne. 13. Związki między przestrzeniami metrycznymi zupełnymi oraz zwartymi. 14. RóŜne rodzaje spójności. Teoria mnogości 1. Działania na zbiorach. Własności działań. 2. Funkcje zdaniowe. WaŜniejsze prawa rachunku kwantyfikatorów. Tautologie klasycznego rachunku zdań. 3. Liczby naturalne, aksjomatyka Peano, zasada indukcji matematycznej i twierdzenia jej równowaŝne, 4. System aksjomatyczny teorii mnogości. 5. Relacje, relacje dwuczłonowe, róŝne rodzaje relacji. 6. Relacje równowaŝności i zasada abstrakcji. 7. Konstrukcje liczb całkowitych, liczb wymiernych i liczb rzeczywistych. 8. Funkcje jako relacje. Działania na funkcjach. 9. Działania na indeksowanych rodzinach zbiorów. 1

2 10.Pojęcie liczby kardynalnej, Liczby naturalne jako liczby kardynalne zbiorów skończonych. 11.Zbiory przeliczalne i zbiory mocy contiuum. 12.Arytmetyka liczb kardynalnych. 13.Zbiory uporządkowane: częściowy porządek, liniowy porządek, uporządkowanie liniowe gęste, uporządkowanie liniowe ciągłe, zbiory dobrze uporządkowane. Twierdzenie Zermelo, Lemat Kuratowskiego-Zorna. 14. Twierdzenia równowaŝne aksjomatowi wyboru. Algebra liniowa 1. Liczby zespolone. a. Konstrukcja ciała liczb zespolonych. Twierdzenie o zanurzeniu izomorficznym ciała liczb rzeczywistych w ciało liczb zespolonych. b. Własności liczb zespolonych oraz ich interpretacja geometryczna. 2. Pojęcie macierzy. Działania na macierzach. Algebra macierzy. 3. Pojęcie wyznacznika. Metody liczenia wyznaczników. 4. Macierze odwracalne. Rząd macierzy. 5. Wierszowe operacje elementarne, macierz trapezowa (schodkowa). 6. Układy równań liniowych nad danym ciałem. Postać macierzowa układów równań liniowych. 7. Układy cramerowskie. Twierdzenie Cramera. 8. Twierdzenie Kroneckera-Capellego. Rozwiązywanie dowolnych układów. 9. Pojęcie przestrzeni liniowej nad danym ciałem. Własności działań w przestrzeniach. 10. Pojęcie podprzestrzeni, własności podprzestrzeni. Podprzestrzenie generowane przez zbiór. 11. Liniowa zaleŝność i niezaleŝność układu wektorów. Baza i wymiar przestrzeni. 12. Izomorfizmy przestrzeni liniowych. Twierdzenie o istnieniu bazy. 13. Suma algebraiczna i suma prosta podprzestrzeni. 14. Pojęcie odwzorowania liniowego (homomorfizmu przestrzeni wektorowych). Własności homomorfizmów. 15. Obraz i jądro homomorfizmu. 16. Przestrzeń homomorfizmów liniowych. 17. Macierz przekształcenia liniowego w danych bazach. 18. Zmiana bazy. Macierz przejścia z bazy do bazy. 2

3 Analiza matematyczna 1. Pojęcie granicy ciągu i funkcji jednej i wielu zmiennych. ZbieŜność w przestrzeni metrycznej. Związki granicy z działaniami arytmetycznymi, relacją nierówności, ograniczonością i monotonicznością. 2. Pojęcie ciągłości funkcji jednej i wielu zmiennych, ciągłość odwzorowań przestrzeni metrycznych. Związek ciągłości i granicy. 3. Związek ciągłości funkcji z własnościami zbiorów takimi jak domkniętość, otwartość, ograniczoność, zwartość, spójność. 4. Pojęcie róŝniczkowalności funkcji jednej i wielu zmiennych. Związek z ciągłością. Warunki wystarczające róŝniczkowalności. Przykłady funkcji nieróŝniczkowalnych jednej i wielu zmiennych. 5. Pojęcie ekstremum lokalnego funkcji jednej i wielu zmiennych. Związek ekstremów z pochodnymi. Warunki konieczne i dostateczne istnienia ekstremum. 6. Związek między pochodnymi a monotonicznością i wypukłością funkcji. Warunki konieczne i dostateczne monotoniczności oraz wypukłości. 7. Wzór Taylora i jego zastosowania. Przykłady wzoru Taylora dla funkcji elementarnych (np. exp(x), sin(x), cos(x)) 8. Pojęcie szeregu liczbowego zbieŝnego, warunek konieczny zbieŝności. Podstawowe kryteria zbieŝności. Przykłady szeregów zbieŝnych i rozbieŝnych. 9. Pojęcie ciągu funkcyjnego zbieŝnego punktowo i jednostajnie. Przykład wykorzystania jednostajnej zbieŝności. Ciągłość i róŝniczkowalność granicy ciągu funkcyjnego. 10.ZbieŜność punktowa i jednostajna szeregów funkcyjnych. Wybrane kryteria zbieŝności jednostajnej szeregu. Przykłady szeregów zbieŝnych jednostajnie i niejednostajnie. 11.Szeregi potęgowe i rozwijanie funkcji w szereg potęgowy. Zagadnienie równości funkcji i sumy jej szeregu potęgowego. Przykłady rozwinięć funkcji elementarnych. 12.Pojęcie funkcji pierwotnej. Warunki dostateczne istnienia funkcji pierwotnej. Przykłady funkcji nie mających funkcji pierwotnych. Przykłady klas funkcji całkowalnych w sposób elementarny i funkcji ciągłych nie mających całek elementarnych. 13.Metody całkowania przez części i przez podstawienie - przykłady zastosowań. 14.Pojęcie całki i całkowalności w sensie Riemanna; sumy całkowe. Warunki wystarczające całkowalności. Podstawowe własności całki Riemanna. 15.Wybrane zastosowania całki Riemanna (pole powierzchni, długość łuku, objętość i pole powierzchni bryły obrotowej). 16.Pojęcie całki Riemanna dla funkcji wielu zmiennych; sumy całkowe. Warunki wystarczające całkowalności. Całka a objętość. Całki iterowane. 17.Pojęcie krzywej regularnej i całki krzywoliniowej skierowanej i nieskierowanej. Związki całki krzywoliniowej z całką oznaczoną. Całka krzywoliniowa z róŝniczki zupełnej. Zastosowania całek krzywoliniowych. 18.Pojęcie powierzchni regularnej i całki powierzchniowej skierowanej i nieskierowanej. Zastosowania całek powierzchniowych. 19.Związek całki po zbiorze z całką po brzegu tego zbioru (Tw Greena, Tw. Stokesa). Przykłady. 3

4 20.Układy ortogonalne i ortonormalne funkcji. Szereg Fouriera oraz wybrane kryteria zbieŝności szeregu Fouriera zadanej funkcji. 21. Pojęcie funkcji uwikłanej. Przykłady krzywych i powierzchni zadanych w sposób uwikłany. Twierdzenie o funkcji uwikłanej. Analiza zespolona 1. Płaszczyzna zespolona, postać algebraiczna, geometryczna i wykładnicza liczby zespolonej. 2. Działania na liczbach zespolonych: potęgowanie, pierwiastkowanie i interpretacja geometryczna tych działań. 3. Ciągi liczbowe zespolone: definicja, własności i kryteria zbieŝności tych ciągów. Porównanie tych własności z własnościami ciągów rzeczywistych. 4. Szeregi liczbowe o wyrazach zespolonych- kryteria zbieŝności i własności. Porównanie tych własności z własnościami szeregów rzeczywistych.. 5. RóŜniczkowalność funkcji zespolonej zmiennej rzeczywistej interpretacja geometryczna pochodnej funkcji zespolonej zmiennej rzeczywistej. 6. Funkcje zespolone zmiennej zespolonej: część rzeczywista i część urojona funkcji, przykłady takich funkcji, granica i ciągłość. 7. Ciągi i szeregi funkcyjne o wyrazach zespolonych- kryteria zbieŝności. Porównanie z ciągami i szeregami rzeczywistymi. 8. Szeregi potęgowe o wyrazach zespolonych i ich własności. Wzory Eulera. Funkcja wykładnicza i jej własności. Funkcje trygonometryczne i ich własności, logarytm naturalny. Jednoznaczna gałąź logarytmu. 9. Pochodna funkcji zmiennej zespolone- interpretacja geometryczna. Warunki Cauchy- Riemanna. Funkcje analityczne - definicja i przykłady. 10. Całka funkcji zespolonej: twierdzenie całkowe Cauchy`ego i jego uogólnienia. Wzór całkowy Cauchy`ego i jego uogólnienie - zastosowania. 11. Rozwijanie funkcji analitycznych w szereg potęgowy. 12. Funkcje całkowite i twierdzenie Liouville`a. Zasada maksimum. Lemat Schwarza. 13. Rozwijanie funkcji zespolonych w szeregi Laurenta. Punkty osobliwe funkcji i ich klasyfikacja. 14. Definicja residuum funkcji i sposoby ich obliczania. Twierdzenie o residuach i jego zastosowanie do obliczania całek. Algebra z teorią liczb 1. Pojęcie grupy. Podstawowe własności i przykłady grup. 2. Grupy przekształceń. Grupy permutacji. 3. Pojęcie podgrupy. Własności podgrup. Podgrupy generowane przez zbiór. 4. Grupy cykliczne. Własności grup cyklicznych oraz ich charakteryzacja. 4

5 5. Pojęcie warstwy. Własności warstw, Twierdzenie Lagrange a. 6. Pojęcie dzielnika normalnego, Własności dzielników normalnych. 7. Pojęcie grupy ilorazowej. 8. Homomorfizmy grup. Własności homomorfizmów. 9. Homomorfizm kanoniczny. Twierdzenie o izomorfiźmie dla grup oraz jego zastosowania. 10. Pojęcie pierścienia oraz pojęcie ciała. Wspólne własności oraz róŝnice między tymi strukturami. 11. Pojęcie podpierścienia i podciała. Własności. 12. Charakterystyka ciała. Automorfizmy ciał. 13. Ideały w pierścieniach. Pierścienie ilorazowe. 14. Homomorfizmy pierścieni. Homomorfizm kanoniczny. 15. Twierdzenie o izomorfiźmie dla pierścieni oraz jego zastosowanie. 16. Dziedziny z jednoznacznością rozkładu. Pojęcie największego wspólnego dzielnika oraz najmniejszej wspólnej wielokrotnej. 17. Pierścienie euklidesowe. AlgorytmEuklidesa. 18. Pierścienie wielomianów. Pierwiastki wielomianów. Funkcje wielomianowe. 19. Przywiedlność i nieprzywiedlność wielomianów. Kryteria nieprzywiedlności wielomianów. 20. Ciało algebraicznie domknięte. Zasadnicze twierdzenie algebry. Ciało liczb algebraicznych. Geometria 1. Przykłady aksjomatów geometrii elementarnej. Aksjomat Euklidesa i jego konsekwencje (twierdzenie o sumie kątów trójkąta, twierdzenie Talesa). Znaczenie aksjomatu Euklidesa geometrie nieeuklidesowe. 2. Własności najprostszych figur na płaszczyźnie (prosta, półprosta, odcinek, półpłaszczyzna). Geometria trójkąta (punkty szczególne). Własności czworokątów. 3. Twierdzenia: Menelaosa, Cevy. 4. Własności okręgów na płaszczyŝnie (połoŝenie wzajemne prostej i okręgu). Inwersja względem okręgu. 5. Miara figur geometrycznych i jej własności. 6. Przykłady niezmienników geometrycznych. 7. Przekształcenia geometryczne płaszczyzny. Grupa izometrii, grupa podobieństw. Rozkład izometrii płaszczyzny na symetrie osiowe. 8. Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie (zastosowanie inwersji). 9. Przykłady krzywych i powierzchni stopnia drugiego. 5

6 Informatyka 1. Podstawowe pojęcia teorii informacji (dane, informacja, ilość informacji), kodowanie informacji, kody binarne, redundancja kodu. 2. Arytmetyka binarna. Kodowanie liczb. Systemy uzupełnieniowe. Reprezentacja zmiennoprzecinkowa, stałoprzecinkowa. 3. Logika binarna i funkcje logiczne. Cyfrowe układy logiczne. Zasady działania maszyny cyfrowej, koncepcja von Neumana. Sterowanie za pomocą mikroprogramu. 4. Wprowadzenie do teorii automatów i języków (automaty skończone, wyraŝenia regularne, języki formalne, gramatyki). 5. Podstawowe cechy i zadania systemu operacyjnego. WspółbieŜność, proces, wątek, zarządzanie procesami, szeregowanie zadań, ochrona pamięci. Struktura systemu operacyjnego. Typy struktur. Opis struktury wybranych systemów operacyjnych rodziny Windows i Unix. 6. Sieci komputerowe (charakterystyka i cele). Typy sieci. Model warstwowy OSI. Warstwowa struktura sieci Internet. Warstwa fizyczna sieci. Protokół Ethernet. Protokół TCP/IP. Struktura adresowa w sieci Internet. DNS. 7. Algorytm, cechy algorytmu, struktury sterujące przebiegiem algorytmu, algorytmy rekurencyjne. Analiza algorytmów, złoŝoność obliczeniowa algorytmu, złoŝoność pamięciowa i czasowa, notacja O(.). Przykładowe algorytmy sortujące i analiza ich złoŝoności. 8. Języki programowania, języki wewnętrzne, assemblery, języki wyŝszego rzędu. Translacja, translatory, kompilatory, interpretatory. 9. Typy zmiennych języka Object Pascal, instrukcje proste i strukturalne, funkcje procedury, moduły. Obsługa plików w Object Pascalu i Delphi. 10. Przegląd technik programowania w kontekście historycznym. 11. Obiekty i klasy, podstawowe zasady programowania obiektowo orientowanego (OOP). Metody wirtualne. Konstruktory i Destruktory. 12. Realizacja wielozadaniowości i wielowątkowości w aplikacjach Delphi. 13. Hierarchia i typy komponentów VCL w Delphi. 14. Wybrane metody numeryczne algebry i analizy. Metody rozwiązywania układów równań liniowych, metody aproksymacji funkcji, metody rozwiązywania równań nieliniowych, metody całkowania numerycznego. 15. Typy danych języka C++, deklaracje, operatory i wyraŝenia, instrukcje, funkcje. Struktury, unie, pola bitowe. Preprocesor, linkowanie, pliki nagłówkowe. 16. Funkcje w języku C++. Przekazywanie parametrów przez wartość i przez referencję. Znaczenie funkcji main i jej argumentów. 17. Relacyjne bazy danych. Pojęcie relacyjnej bazy danych, tabeli, klucza. Rodzaje związków między tabelami i sposób ich implementacji. Pojęcie integralności danych oraz podstawowe metody nakładania więzów integralności. 18. Normalizacja tabel w relacyjnych bazach danych. Podstawowe anomalie związane z nieprawidłowym zaprojektowaniem relacyjnej bazy danych. Proces normalizacji tabel z uwzględnieniem pierwszej, drugiej i trzeciej postaci normalnej. 6

7 19. Technologie projektowania witryn internetowych związane ze stroną klienta usługi WWW. Język HTML. Języki skryptowe: VBScript i JavaScript. 20. Technologie projektowania witryn internetowych związane ze stroną serwera usługi WWW. Podstawowe cechy języka PHP. Zastosowania skryptów PHP. Dydaktyka matematyki 1. Trojaka natura matematyki szkolnej. 2. Cele nauczania: ogólne, specyficzne, wyniki nauczania; cele operacyjne. Kontrola realizacji celów lekcji. 3. Metody nauczania i uczenie się. Metody aktywizujące. 4. Zasady nauczania matematyki; załoŝenia teoretyczne i praktyczne leŝące u podstaw formułowania zasad. 5. Motywacja w procesie uczenia się nauczania matematyki. Techniki motywowania uczniów. 6. Rodzaje aktywności ucznia, specyfika aktywności matematycznej, w tym aktywności typu twórczego. 7. Czynnościowo nauczanie matematyki. Podstawy metodologiczne, specyfika etapów: analizy teoretycznej oraz organizowania zabiegów dydaktycznych. 8. Charakterystyka działań nauczyciela w poszczególnych etapach kształtowania pojęcia matematycznego: obiektu konkretnego, myślowego, abstrakcyjnego oraz obrazu pojęcia. 9. Reprezentacje J. Brunera i ich rola w kształtowaniu pojęć. 10. Rozumienie wiedzy, typy rozumienia, poziomy rozumienia; charakterystyka i przykłady. 11. Kryteria kontroli rozumienia pojęć definiowanych i niedefiniowanych. 12. Nauczanie problemowe, załoŝenia teoretyczne, specyfika pracy nauczyciela i uczniów. 13. Zadania matematyczne w nauczaniu matematyki: cele, dydaktyczne aspekty, główne etapy uczenia rozwiązywania zadań. 14. Główne etapy stosowania matematyki, badanie sytuacji, matematyzacja i interpretacja; ich charakterystyka i odzwierciedlenie w praktyce nauczania. 15. Ewaluacja i kontrola osiągnięć uczniów. 16. Tekst matematyczny w uczeniu się matematyki. 17. Planowanie nauczania, plan kierunkowy, wynikowy, metodyczny; struktura i planowanie lekcji. 18. Środki dydaktyczne, w tym sprzyjające kształtowaniu danej reprezentacji w sensie Brunera. Technologia Informacyjna w nauczaniu matematyki. 19. Podstawowe fonomeny róŝnych rodzajów liczb i ich wykorzystanie w kształtowaniu pojęcia liczb i działań. 20. Podstawowe składniki języka algebry: litery, wyraŝenia algebraiczne. 21. Poziomy myślenia P. van Hiele, ich wykorzystanie w toku uczenia się geometrii. 22. Przekształcenia geometryczne w szkole podstawowej i gimnazjum; główne koncepcje nauczania. 7

8 Rachunek prawdopodobieństwa 1. Podstawowe pojęcia kombinatoryczne (permutacje, wariacje, kombinacje z powtórzeniami i bez powtórzeń) i ich zastosowanie do obliczania prawdopodobieństw zdarzeń losowych. 2. Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa i podstawowe własności prawdopodobieństwa; przestrzeń probabilistyczna. 3. Charakteryzacja prawdopodobieństwa w przeliczalnej przestrzeni probabilistycznej, prawdopodobieństwo klasyczne, prawdopodobieństwo geometryczne. 4. Prawdopodobieństwo warunkowe, prawdopodobieństwo iloczynu zdarzeń, twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym, reguła Bayes a. 5. NiezaleŜność dwóch zdarzeń i niezaleŝność zespołowa zdarzeń. 6. Schemat Bernoulli ego, schemat wielomianowy, schemat Pascala (definicje, konstrukcja przestrzeni probabilistycznej, odpowiednie twierdzenia związane z tymi schematami; podobieństwa i róŝnice między nimi). 7. Pojęcie zmiennej losowej i jej rozkładu prawdopodobieństwa. 8. Dystrybuanta zmiennej losowej i jej własności. 9. WaŜniejsze rozkłady typu skokowego, w tym rozkład dwupunktowy, dwumianowy, geometryczny i Poissona (definicje i własności). 10. WaŜniejsze rozkłady typu ciągłego, w tym rozkład jednostajny, wykładniczy i normalny (definicje i własności). 11. Momenty zwykłe i centralne zmiennej losowej, w szczególności wartość oczekiwana i wariancja; kwantyle zmiennej losowej; nierówność Czebyszewa i jej zastosowania. 12. Funkcje od zmiennej losowej; wyznaczanie rozkładu prawdopodobieństwa i momentów. 13. Dwuwymiarowe zmienne losowe i. dystrybuanta i jej własności ii. rozkłady brzegowe iii. rozkłady warunkowe iv. momenty zmiennej losowej v. kowariancja, korelacja, macierz kowariancji vi. regresja I, II-go rodzaju 14. Twierdzenie graniczne i prawa wielkich liczb. 8