Własności oddzielania zbiorów drzew definiowalnych przez automaty
|
|
- Lech Filipiak
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Uniwersytet Warszawski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Szczepan Hummel Nr albumu: Własności oddzielania zbiorów drzew definiowalnych przez automaty Praca magisterska na kierunku MATEMATYKA Praca wykonana pod kierunkiem dra hab. Damiana Niwińskiego Instytut Informatyki Sierpień 2008
2 Oświadczenie kierującego pracą Potwierdzam, że niniejsza praca została przygotowana pod moim kierunkiem i kwalifikuje się do przedstawienia jej w postępowaniu o nadanie tytułu zawodowego. Data Podpis kierującego pracą Oświadczenie autora (autorów) pracy Świadom odpowiedzialności prawnej oświadczam, że niniejsza praca dyplomowa została napisana przeze mnie samodzielnie i nie zawiera treści uzyskanych w sposób niezgodny z obowiązującymi przepisami. Oświadczam również, że przedstawiona praca nie była wcześniej przedmiotem procedur związanych z uzyskaniem tytułu zawodowego w wyższej uczelni. Oświadczam ponadto, że niniejsza wersja pracy jest identyczna z załączoną wersją elektroniczną. Data Podpis autora (autorów) pracy
3 Streszczenie W pracy przedstawiony jest dowód borelowskiej nieoddzielalności pary zbiorów koanalitycznych. Rozważane zbiory pochodzą z teorii języków formalnych pojawiają się między innymi w dowodzie ścisłości hierarchii indeksów dla automatów alternujących na drzewach nieskończonych. Praca uzupełnia wynik A. Arnolda i L. Santocanale przedstawiony w [SA] dotyczący nieoddzielalności w hierarchii termów µ-rachunku. Słowa kluczowe borelowska oddzielalność, nieskończone drzewa etykietowane, automaty na drzewach, zbiory koanalityczne zupełne, języki formalne 11.1 Matematyka Dziedzina pracy (kody wg programu Socrates-Erasmus) 03 Mathematical logic and foundations 03E Set theory 03E15 Descriptive set theory Klasyfikacja tematyczna Tytuł pracy w języku angielskim Separation Properties of Tree Languages Definable by Automata
4
5 Spis treści Wprowadzenie Podstawowe pojęcia Oznaczenia Drzewa Gry i strategie Definicja problemu - kontekst Kontekst topologiczny Sformułowanie problemu Determinacja gier rozważanego typu Złożoność topologiczna zbiorów A 0 i A A 0 Π A 0 jest Π 1 1-trudny Borelowska nieoddzielalność Przeformułowanie problemu Kodowanie zbiorów borelowskich za pomocą gier Uwagi dodatkowe Próba uproszczenia przykładu Pytanie otwarte
6
7 Wprowadzenie Podstawowym wynikiem zawartym w tej pracy jest dowód borelowskiej nieoddzielalności pewnej pary zbiorów koanalitycznych. Jednak nie jest to po prostu jeszcze jeden przykład nieoddzialalnej pary. Istnieje kilka powodów, które czynią go ciekawym albo wręcz unikalnym. Pierwszym z nich jest jego pochodzenie. Nie wyrasta on wprost z deskryptywnej teorii mnogości. Zbiory składające się na naszą parę w naturalny sposób pojawiają się w teorii języków formalnych. Rozważany przez nas zbiór A 0 to jeden z klasy języków użytych do wykazania ścisłości hierarchii indeksów dla automatów alternujących na drzewach nieskończonych [Br, Ar]. Drugi zbiór z naszej nieoddzielalnej pary jest lustrzanym odbiciem pierwszego powstaje przez zamianę miejscami etykiet 0 z 1 oraz z. Ta symetria również wydaje się ważną cechą. Zgodnie z naszą wiedzą wszystkie dotychczas znane przykłady nieoddzielalnych par przypominały strukturą klasyczną parę zbiorów drzew W F (well founded) i UB (unique branch). Wszystkie były postaci: brak osobliwości dokładnie jedna osobliwość (patrz [Be]), a wszystkie dowody nieoddzielalności opierały się (pośrednio bądź bezpośrednio) na twierdzeniu o prezentacji dowolnego zbioru borelowskiego jako funkcji różnowartościowej (zob. np. [Ke], tw. 13.7). Nasz dowód używa niezależnej (choć podobnej) techniki patrz lemat Wynik przedstawiony w pracy (twierdzenie 4.1.2) rozstrzyga przypadek pozostawiony bez odpowiedzi w pracy Arnolda i Santocanale [SA], którzy opisują wyniki dotyczące oddzielania termów µ-rachunku za pomocą złożenia termów niższego poziomu. Problem ma równoważne sformułowanie w języku automatów. Autorzy ci pokazali, że własność oddzielania nie zachodzi dla niedeterministycznych automatów typu Σ (µ ν µ...), począwszy od poziomu 3. Nasz wynik uzupełnia twierdzenie o przypadek dla poziomu 2. W pierwszym rozdziale pracy wprowadzone są podstawowe używane później oznaczenia i definicje. Drugi rozdział zawiera dokładny opis postawionego problemu wraz z jego osadzeniem w realiach topologicznych. Udowodniona jest również wykorzystywana później determinacja używanych przez nas gier. Trzeci rozdział rozwija wątek topologiczny dotyczący rozważanych zbiorów. Udowadniamy, że ich dokładna złożoność topologiczna jest Π 1 1, co potwierdza zasadność zadanego pytania o borelowską nieoddzielalność. Rozdział czwarty jest centralnym punktem pracy zawiera dowód nieoddzielalności. W rozdziale piątym przedstawione są pewne oboczne zagadnienia oraz są wyjaśnione pytania, które mogą pojawić się podczas lektury pracy oraz które pojawiły się w trakcie rozwiązywania problemu. W pracy nie są przywołane definicje związane z teorią automatów, ponieważ nie są one potrzebne do zrozumienia zawartych w niej dowodów, a jedynie do pełnego zrozumienia kontekstu i wniosków wynikających z pracy. W tej materii odwołujemy się do definicji zawartych w [Th], sekcje 3.2 i 6.1. Jeżeli nie będzie wyraźnie zaznaczone inaczej, automat na drzewach nieskończonych będzie zawsze automatem z warunkiem parzystości. 5
8
9 Rozdział 1 Podstawowe pojęcia 1.1. Oznaczenia Zbiór liczb naturalnych będziemy oznaczać przez ω. Zakładamy, że 0 ω. Tradycyjnie, tego samego symbolu będziemy również używać na oznaczenie najmniejszej nieskończonej liczby porządkowej. Niech Σ będzie dowolnym zbiorem (alfabetem). Zbiór wszystkich słów skończonych nad alfabetem Σ (czyli skończonych ciągów elementów z Σ) będziemy oznaczać przez Σ <ω. Pusty ciąg przez ε. Dla s Σ <ω przez s oznaczymy długość słowa s (liczbę symboli). Konkatenację słów będziemy oznaczać używając notacji multiplikatywnej, czyli s t lub st oznacza konkatenację słów s, t Σ <ω. Przez A ω będziemy oznaczać zbiór wszystkich ciągów nieskończonych (o długości ω) elementów z A Drzewa Definicja Drzewem (nieetykietowanym) nad alfabetem A (inaczej o rozgałęzieniu A ) nazywamy dowolny podzbiór t zbioru A <ω zamknięty na prefiksy. Elementy tego podzbioru nazywamy wierzchołkami drzewa. Wierzchołek ε nazywamy korzeniem drzewa. Dla a A oraz v, va t wierzchołek va nazywamy następnikiem (synem) wierzchołka v, a wierzchołek v poprzednikiem (ojcem) wierzchołka va. Ilekroć będziemy mówili o porządku na wierzchołkach drzewa, będzie chodziło o porządek prefiksowy. Czyli: dla v, w t v w s A <ω w = v s Przez T r (A) będziemy oznaczać zbiór wszystkich drzew o rozgałęzieniu A. Definicja Powiemy, że drzewo t jest dobrze przycięte jeżeli: v t w t v < w Definicja Gałęzią drzewa t o rozgałęzieniu A nazywamy dowolne x A ω takie, że n ω x n t Przez [t] oznaczamy zbiór wszystkich gałęzi drzewa. 7
10 Definicja Drzewem etykietowanym alfabetem Σ będziemy nazywać funkcję: t : dom(t) Σ gdzie dom(t) jest drzewem nieetykietowanym. Drzewa etykietowane dziedziczą więc z drzew etykietowanych pojęcia takie jak: wierzchołek, korzeń, porządek na wierzchołkach. Wartość t(v) nazywamy etykietą wierzchołka v (jeżeli v dom(t)) Gry i strategie W tej pracy będziemy zajmowali się specyficznym rodzajem gier. Będą to gry na drzewach (czyli podklasa klasy gier na grafach). Standardowo będziemy rozważać gry, w których uczestniczy dwóch graczy, egzystencjalny ( ) i uniwersalny ( ). Tak więc będziemy używać następującej definicji: Definicja Niech T będzie drzewem (nieskończonym, dobrze przyciętym) etykietowanym alfabetem {, } Σ. Grą na drzewie T nazwiemy parę: gdzie : T nazywamy planszą gry G, G = (T, W ) W Σ ω jest warunkiem wygrywającym dla gracza. Wprowadzimy od razu dodatkowe oznaczenia, które ułatwią nam dalsze opisy: Przez P os T będziemy oznaczać zbiór wierzchołków v dom(t ) takich, że T (v) ma na pierwszej współrzędnej. Będą to pozycje gracza egzystencjalnego w grze G. Analogicznie przez P os T będziemy oznaczać zbiór pozycji gracza, czyli zbiór wierzchołków v dom(t ) takich, że T (v) ma na pierwszej współrzędnej. Łatwo zauważyć, że zbiory P os T, P ost dom(t ) tworzą podział zbioru wszystkich wierzchołków drzewa T. Przez t T będziemy oznaczać złożenie funkcji T z rzutowaniem na drugą współrzędną. Czyli t T będzie drzewem etykietowanym alfabetem Σ. Oczywiście dom(t T ) = dom(t ). Etykiety ze zbioru Σ będziemy nazywali etykietami priorytetów, a i etykietami graczy. Czyli t T jest drzewem T, w którym wymazano etykiety graczy. Rozgrywką ρ w grze G nazwiemy dowolną gałąź drzewa t T. Rozgrywka jest wygrana przez gracza jeżeli ciąg złożony z etykiet kolejnych wierzchołków gałęzi ρ należy do W. W przeciwnym wypadku rozgrywka jest wygrana przez gracza (w grze nie ma remisów). Intuicyjnie rozgrywka w grze G wygląda następująco: Pozycją startową jest ε (korzeń drzewa T ), Jeżeli gra jest w pozycji v dom(t ) to gracz, którego pozycją jest v (zależy to od tego czy v P os T czy v P ost ) wybiera syna wierzchołka v. Następną pozycją w grze jest wybrany syn. 8
11 To, który gracz wygrywa rozgrywkę, zależy wyłącznie od etykiet priorytetów pojawiających się w rozgrywce (etykiet wierzchołków na gałęzi). Gracz p {, } podejmuje decyzje jedynie w wierzchołkach należących do P os T p. Dlatego: Definicja Drzewo σ T nazwiemy strategią dla gracza p {, } w grze na planszy T jeżeli: ε dom(σ), jeżeli v dom(σ) i v P os T p to!a va dom(σ), jeżeli v dom(σ) i v / P os T p to a va dom(t ) va dom(σ). Powiemy, że strategia σ dla gracza p, w grze G = (T, W ), jest wygrywająca jeżeli każda rozgrywka zgodna z tą strategią (każda gałąź w drzewie σ) jest wygrana przez gracza p. 9
12
13 Rozdział 2 Definicja problemu - kontekst 2.1. Kontekst topologiczny Niech X będzie zbiorem nieskończonych, pełnych drzew binarnych etykietowanych alfabetem {, } {0, 1}, czyli zbiorem plansz gier z etykietami priorytetów 0 i 1. Będziemy traktowali X jako przestrzeń topologiczną. Zauważmy, że: X = ({, } {0, 1}) 2<ω Użyjemy więc, naturalnej dla tej przestrzeni, topologii Tichonowa (gdzie {, } {0, 1} traktujemy oczywiście jako przestrzeń dyskretną). Podbazę tej topologii na X tworzą zbiory postaci: Uwaga U v,p,n = {T X : T (v) = (p, n)} gdzie v 2 <ω, (p, n) {, } {0, 1} 1. Zauważmy, że podbaza {U v,p,n } jest złożona ze zbiorów otwarto-domkniętych. Xjest więc przestrzenią zerowymiarową. 2. X jest przestrzenią metryzowalną. Standardowa metryka rozważana w przypadku przestrzeni drzew ma postać: { 2 min{ s :s 2 <ω,t 1 (s) T 2 (s)} gdy T d X (T 1, T 2 ) = 1 T 2 0 gdy T 1 = T 2 3. X jest zwarta. Dowód tutaj jest bardzo standardowy. Weźmy dowolny ciąg {T n } X. Znajdziemy jego zbieżny podciąg. Ponieważ zbiór etykiet jest skończony, istnieje taka etykieta, która występuje w korzeniach nieskończenie wielu wyrazów ciągu. Dalej rozważamy już tylko te wyrazy, poza pierwszym (o najmniejszym indeksie), który bierzemy jako pierwszy wyraz podciągu. Następnie patrzymy na drugi poziom drzewa. Ponieważ liczba wierzchołków na jednym poziomie jest skończona to jest też skończona liczba zestawów etykiet na poziomie. Istnieje więc taki zestaw, który występuje w nieskończenie wielu spośród wcześniej wybranych wyrazów. W dalszych rozważaniach uwzględniamy już tylko te wyrazy, poza pierwszym, który bierzemy jako drugi wyraz podciągu. Postępując dalej analogicznie, poziom po poziomie, wybieramy podciąg, który jest zbieżny do drzewa, które na każdym poziomie ma właśnie te zestawy etykiet, które były wybrane w czasie konstrukcji. 11
14 4. X jest przestrzenią doskonałą (niepustą, bez punktów izolowanych). Wystarczy pokazać, że wszystkie niepuste zbiory otwarte są więcej niż jednoelementowe. Jest tak dlatego, że wszystkie zbiory z podbazy {U v,p,n } mają nieskończenie wiele elementów, a ich skończone przecięcia są albo puste, albo też nieskończenie wielo elementowe. 5. Dzięki 1, 2, 3 i 4 przestrzeń X jest homeomorficzna z przestrzenią Cantora 2 ω (twierdzenie Brouwera zob. np. [Ke], twierdzenie 7.4). W szczególności X jest nieprzeliczalną przestrzenią polską. W dalszej części pracy będziemy rozważać też przestrzenie drzew nieetykietowanych. W przestrzeni drzew nieetykietowanych nad A podbazę tworzą zbiory dwóch postaci: U s = {drzewa, które zawierają wierzchołek s} dla s A <ω V s = {drzewa, które nie zawierają wierzchołka s} dla s A <ω 2.2. Sformułowanie problemu Niech T X. Będziemy rozważać dwa (dualne) warunki wygrywające w grze na planszy T : Gracz wygrywa wtw gdy w rozgrywce pojawiło się skończenie wiele etykiet 1. Formalnie: W 0 = {ρ [t T ] : prawie wszystkie pozycje z ρ są etykietowane 0} Gracz wygrywa wtw gdy w rozgrywce pojawiło się skończenie wiele etykiet 0. Czyli, inaczej mówiąc, wygrywa gdy w rozgrywce pojawiło się nieskończenie wiele 0. Tak więc formalnie: W 1 = {ρ [t T ] : istnieje nieskończenie wiele pozycji w ρ etykietowanych 0} bo warunek wygrywający zwyczajowo formułujemy z perspektywy gracza egzystencjalnego. Będziemy rozważać dwa podzbiory przestrzeni X. A 0 zbiór takich drzew T X, na których gracz ma strategię wygrywającą w grze z warunkiem W 0, A 1 zbiór takich drzew T X, na których gracz ma strategię wygrywającą w grze z warunkiem W 1. Uwaga Zauważmy, że zbiór A 1 powstaje ze zbioru A 0 poprzez zamianę etykiet 0 z etykietami 1, oraz etykiet z etykietami. Tak więc z topologicznego punktu widzenia A 0 i A 1 to dwie kopie tego samego zbioru, ale zanurzone w przestrzeń X jako rozłączne podzbiory. Rozważania w pracy koncentrują się wokół pytania: Czy istnieje zbiór borelowski oddzielający zbiory A 0 i A 1. 12
15 2.3. Determinacja gier rozważanego typu Twierdzenie Gra definiowana przez dowolne drzewo T X i dowolny z warunków W 0, W 1 jest zdeterminowana. Tzn. w każdej takiej grze albo gracz ma strategię wygrywającą, albo gracz ma strategię wygrywającą. Dowód: Udowodnimy twierdzenie przez sprowadzenie gry do równoważnej gry pasującej do definicji używanej w twierdzeniu Martina o borelowskiej determinacji [Ma]. W pracy Martina plansza gry jest dobrze przyciętym drzewem, a rozgrywka jest gałęzią tego drzewa. Natomiast gracze wykonują ruchy na zmianę. Gra na T X nie do końca pasuje do tego schematu, bo gracze nie koniecznie poruszają się na zmianę. Poradzimy sobie z tym problemem wprowadzając tam gdzie trzeba duplikaty wierzchołków. Skonstruujemy planszę T jako najmniejsze drzewo nad dom(t ) spełniające warunki: ε T (używam takiego oznaczenia na ciąg jednoelementowy złożony z ciągu pustego, czyli korzenia drzewa T ), dla każdego s 0 s 1... s 2k T jeżeli s 2k P os T to s 0s 1... s 2k s 2k T, wpp dla każdego s będącego następnikiem s 2k w dom(t ), s 0 s 1... s 2k s T, dla każdego s 0 s 1... s 2k+1 T jeżeli s 2k+1 P os T to dla każdego s będącego następnikiem s 2k+1 w dom(t ), s 0 s 1... s 2k+1 s T, wpp s 0 s 1... s 2k+1 s 2k+1 T. T jest drzewem z definicji. Łatwo też zauważyć, że T jest dobrze przycięte, ponieważ posiada dokładnie te same rozgałęzienia co T (a T jako pełne drzewo jest dobrze przycięte), jedynie w niektórych miejscach wstawione są unarne wierzchołki rozciągające drzewo w pionie. Jest więc T legalną planszą gry zgodną z definicją używaną w twierdzeniu Martina. Musimy teraz wprowadzić warunek wygrywający W0 taki, żeby gra G(T, W0 ) była równoważna grze G(T, W 0 ). To znaczy, żeby gracz I miał strategię wygrywającą w G(T, W0 ) dokładnie wtedy gdy gracz ma strategię wygrywającą w G(T, W 0 ) i analogicznie z graczami II i. Rozgrywką w grze na T jest ciąg ρ (2 <ω ) ω. Żeby skonstruować zbiór wygrywający W0 użyjemy funkcji t T, a dokładniej rozszerzenia tej funkcji na ciągi, e T : (2 <ω ) ω {0, 1} ω : e T (s 0 s 1 s 2...) = t T (s 0 )t T (s 1 )t T (s 2 )... Czyli funkcja e T rozgrywce w grze G(T, W0 ) przyporządkowuje ciąg etykiet priorytetów. Zauważmy, że rozgrywki w grze G(T, W0 ) odpowiadają rozgrywkom w grze G(T, W 0), jedyną różnicą jest to, że niektóre pozycje pojawiają się dwa razy pod rząd. Tak więc ciąg e T (ρ) zawiera skończenie wiele jedynek wtedy i tylko wtedy gdy ciąg etykiet pojawiający się w odpowiadającej ρ rozgrywce w G(T, W 0 ) zawiera skończenie wiele jedynek, czyli dokładnie wtedy gdy ta rozgrywka należy do W 0. Tak więc możemy wziąć: W 0 = {ρ ( 2 <ω) ω : e T (ρ) jest ciągiem prawie samych 0} 13
16 Czyli W 0 = (e T ) 1 ({ciągi prawie stałe równe 0}) Czyli W0 jest przeciwobrazem zbioru typu F σ przy funkcji e T. Zauważmy, że funkcja e T jest ciągła. Wynika to z faktu, że żeby rozstrzygnąć jaki jest n-ty wyraz ciągu e T (ρ) wystarczy znać n pierwszych wyrazów ρ. Czyli e T jest nawet lipschitzowska ze stałą 1. Otrzymujemy więc, że warunek W0 jest borelowski. Tak więc, na mocy twierdzenia Martina, gra G(T, W0 ) jest zdeterminowana. Ponieważ gry G(T, W 0) i G(T, W0 ) są równoważne, to gra G(T, W 0 ) jest również zdeterminowana. Oczywiście, dzięki symetrii, analogicznie dowodzimy determinacji gry G(T, W 1 ). Tym samym udowodniliśmy twierdzenie. 14
17 Rozdział 3 Złożoność topologiczna zbiorów A 0 i A A 0 Π 1 1 Nasze rozważania rozpoczniemy od przyjrzenia się złożoności topologicznej wprowadzonych zbiorów. Zaczniemy od górnego ograniczenia złożoności zbioru A 0. Oczywiście, dzięki uwadze 2.2.1, od razu dostaniemy to samo ograniczenie dla zbioru A 1. Pierwsza przychodząca do głowy definicja topologiczna zbioru A 0 wygląda następująco: Istnieje strategia σ dla gracza taka, że dla każdej rozgrywki ρ zgodnej z tą strategią w rozgrywce ρ pojawia się skończenie wiele etykiet 1. Z powodu dwóch kwantyfikatorów drugiego rzędu, taka definicja daje nam klasę Σ 1 2. Drugi z kwantyfikatorów wyraża własność typu dla każdej gałęzi.... Żeby się go pozbyć musimy przeformułować tę własność na własność wyrażalną w logice pierwszego rzędu czyli możemy użyć tylko kwantyfikacji po wierzchołkach drzewa (a nie po ścieżkach). Własność na każdej gałęzi skończenie wiele 1 nie jest wyrażalna w ten sposób (patrz rozdział 5.1). Natomiast zauważmy, że zachodzi następujący fakt: Stwierdzenie Własność: Na każdej gałęzi drzewa o skończonym rozgałęzieniu t jest nieskończenie wiele wierzchołków z etykietą 1 jest równoważna własności: Dla każdego wierzchołka v drzewa t istnieje skończony maksymalny antyłańcuch L v złożony z wierzchołków większych (położonych niżej w drzewie t) niż v, z których każdy ma etykietę 1. Nazwijmy ten antyłańcuch fastrygą dla wierzchołka v. Zauważmy, że fastryga przecina wszystkie gałęzie przechodzące przez wierzchołek v (dzięki maksymalności i skończoności). Dowód: ( ) Udowodnimy, że jeżeli dla drzewa t zachodzi drugi warunek to na każdej gałęzi t jest nieskończenie wiele etykiet 1. Niech w 2 ω będzie dowolną gałęzią drzewa t. Z założenia 15
18 implikacji dla v=ε, istnieje fastryga L ε, która, w szczególności, zawiera wierzchołek w 0 na gałęzi w taki, że t(w 0 )=1. Teraz zastosujmy założenie dla v=w 0. W ten sposób otrzymamy wierzchołek w 1 o etykiecie 1 położony na gałęzi w poniżej wierzchołka w 0. Postępując tak dalej otrzymamy nieskończony ciąg w 0, w 1, w 2,... różnych wierzchołków o etykiecie 1 położonych na gałęzi w, co kończy dowód tej implikacji. ( ) Przypuśćmy, że istnieje drzewo t z nieskończoną liczbą 1 na każdej gałęzi, które nie spełnia drugiego warunku. To znaczy, że istnieje wierzchołek v dla którego nie ma fastrygi. Rozważmy poddrzewo t v drzewa t złożone tylko z wierzchołków porównywalnych z v, a spośród wierzchołków większych od v zawierające tylko takie wierzchołki w, że pomiędzy v i w nie ma etykiet 1. Formalnie: dom(t v ) = { w dom(t) : t v (w) = t(w) w dom(tv) ( ) ( )} w v w>v u v<u<w t(u)=1 Zachodzi jeden z dwóch przypadków: Rysunek 3.1: Poddrzewo t v. Drzewo t v jest nieskończone. Wtedy, z lematu Königa, zawiera nieskończoną gałąź. Z konstrukcji t v widać, że na tej gałęzi od pewnego miejsca nie ma etykiet 1. No ale ta gałąź jest też gałęzią drzewa t. Sprzeczność z założeniem o t. Drzewo t v jest skończone. Wtedy liście tego drzewa tworzą fastrygę dla v. Sprzeczność z założeniem o v. Tym samym udowodniliśmy drugą implikację. Spróbujemy wykorzystać równoważność ze stwierdzenia Rozważmy A 0, dopełnienie zbioru A 0. Z twierdzenia dostajemy: A 0 = {Drzewa plansz, na których gracz ma strategię wygrywającą w grze z warunkiem W 0 } Czyli: A 0 = {T X : Istnieje strategia σ na planszy T, dla gracza taka, że (3.1) dla każdego wierzchołka v σ (3.2) istnieje fastryga L v dla wierzchołka v w σ (3.3) 16
19 Zauważmy, że kwantyfikator w linii 3.1 jest kwantyfikatorem drugiego rzędu. Reszta tworzy formułę borelowską. Czyli powyższa definicja daje nam złożoność Σ 1 1. Poniżej wyjaśnimy to bardziej formalnie. Musimy przede wszystkim oszacować złożoność topologiczną zbioru: S = {(σ, T ) : σ jest strategią dla gracza na planszy T } Taka zależność między σ a T jest określona przez formułę: ( ) x dom(σ) x dom(t ) σ(x) = T (x) (ε dom(σ)) ) ( x dom(σ) x P os T (x0 dom(σ) x1 / dom(σ)) ) ( x dom(σ) x P os T (x0 dom(σ) x1 dom(σ)) Powyższa formuła daje nam zbiór domknięty, gdyż jeżeli weźmiemy (σ, T ) takie, że σ nie jest strategią na T to niezgodność występuje na pewnym poziomie w tych drzewach. Czyli jeżeli ustalę do tej głębokości strategię i drzewo-planszę to dostanę zbiór otwarty zawierający (σ, T ) ale rozłączny z S. Zajmijmy się teraz resztą formuły (linie 3.2 i 3.3). Niech L v oznacza zbiór wszystkich potencjalnych fastryg czyli wszystkich skończonych maksymalnych antyłańcuchów złożonych z wierzchołków położonych w drzewie poniżej v. Zauważmy, że ten zbiór jest przeliczalny (skończone podzbiory zbioru przeliczalnego). Szukany zbiór można opisać następująco: F = { [ (σ, T ) : v 2 <ω } {{ } przel. Lv L } {{ v } przel { }} { { }} { ( w L } {{ v t T (w) = 1 ) L } v dom(σ) sk. ] 0 1 { }} { v / dom(σ) Ta formuła daje klasę Π 0 2. Zauważmy, że zbiór A 0 powstaje w wyniku następującego rzutowania na drugą współrzędną: A 0 = π 2 (S F ) Czyli zbiór A 0 jest analityczny, ponieważ S F jest borelowski. Tym samym udowodniliśmy twierdzenie: Twierdzenie Zbiory A 0 i A 1 są koanalityczne A 0 jest Π 1 1-trudny Twierdzenie Zbiór A 0 jest trudny w klasie zbiorów koanalitycznych. Dowód: Pokażemy, że zbiór W F drzew dobrze ufundowanych redukuje się w sensie Wadge a do zbioru A 0. Przypomnijmy, że W F jest zbiorem wszystkich drzew (nieetykietowanych) nad ω, które nie mają gałęzi nieskończonych. Zbiór W F rozpatrujemy jako podzbiór przestrzeni wszystkich drzew nad ω. Dowód Π 1 1-trudności zbioru W F można znaleźć na przykład w [Ke, sekcja 32.B]. Musimy więc pokazać funkcję F : T r (ω) X taką, że: W F = F 1 (A 0 ) (3.4) } 17
20 Żeby to zrealizować musimy przede wszystkim zakodować drzewo o rozgałęzieniu ω w drzewie binarnym. Zastosujemy tutaj jedno ze standardowych kodowań, mianowicie wierzchołkowi n 0 n 1 n 2... n k (3.5) będzie odpowiadał wierzchołek 1 n 0 01 n 1 01 n n k0 Użyjemy teraz etykietowania drzewa binarnego, żeby zapewnić warunek 3.4. Jeżeli chodzi o etykiety graczy to w konstruowanym kodowaniu będziemy używać tylko 1. Jeżeli chodzi o etykiety priorytetów to stosujemy następujące zasady. Niech t T r (ω): dla każdego n 1 n 2 n 3... n k t wierzchołek 1 n 1 01 n 2 01 n n k0 otrzymuje etykietę 1 w F (t), pozostałe wierzchołki w F (t) otrzymują etykietę 0. Rysunek 3.2 obrazuje przykład kodowania za pomocą funkcji F. Rysunek 3.2: Kodowanie prostego drzewa za pomocą funkcji F. Nie narysowane odnogi drzewa zawierają etykiety 0. W wynikowym drzewie nie narysowano etykiet gracza wszystkie te etykiety to. Zauważmy, że gałąź z nieskończoną liczbą jedynek pojawia się w drzewie F (t) dokładnie wtedy gdy w drzewie t jest nieskończona gałąź. Dzieje się tak dzięki temu, że opisana w 3.5 odpowiedniość pomiędzy wierzchołkami zachowuje porządek w drzewie oraz dzięki temu, że etykiety 1 pojawiają się w F (t) tylko w wierzchołkach odpowiadających pewnym wierzchołkom z t. Oczywiście udowodniliśmy jednocześnie, że zbiór A 1 jest koanalityczny-trudny. Ponieważ przestrzeń X jest nieprzeliczalną przestrzenią polską to z twierdzenia wynika: Wniosek Zbiory A 0 i A 1 nie są borelowskie. 1 Powrócimy do tego faktu w rozdziale
21 Rozdział 4 Borelowska nieoddzielalność 4.1. Przeformułowanie problemu Żeby udowodnić, że zbiory A 0 i A 1 są nieoddzielalne zbiorem borelowskim skorzystamy z pewnej własności uniwersalności jaką ma ta para zbiorów. Koncepcja ta jest wzorowana na zadaniu 35.2 z książki [Ke], a raczej na zaproponowanym przez autora, w rozdziale Notes and Hints książki, rozwiązaniu tego zadania. Skorzystamy mianowicie z następującego lematu: Lemat Niech B 2 ω będzie dowolnym zbiorem borelowskim. Istnieje funkcja ciągła F B : 2 ω X taka, że: F 1 B (A 0 ) = B F 1 B (A 1 ) = 2 ω \ B Udowodnimy główne twierdzenie tej pracy korzystając z powyższego lematu (lemat zostanie udowodniony w następnej sekcji). Twierdzenie Nie istnieje zbiór borelowski oddzielający zbiory A 0 i A 1. Tzn. nie istnieje zbiór B Bor(X) taki, że A 0 B X \ A 1. Dowód twierdzenia 4.1.2: Przypuśćmy, że istnieje zbiór borelowski B X taki, że A 0 B X \A 1. Doprowadzimy do sprzeczności. Skorzystamy w tym celu z faktu, że dla nieprzeliczalnych przestrzeni polskich hierarchia borelowska jest ścisła. B jest zbiorem borelowskim, więc jest na jakimś poziomie hierarchii borelowskiej. Weźmy więc takie α, że B Π 0 α(x). Ponieważ 2 ω jest nieprzeliczalną przestrzenią polską to wiemy (z [Sr, wn ]), że istnieje zbiór C Σ 0 α(2 ω ), który nie należy do Π 0 α(2 ω ). Ponieważ zbiór C jest borelowski to istnieje funkcja ciągła F C, która koduje ten zbiór w sensie lematu Czyli, w szczególności, F C 1 (B) = C (patrz rys. 4.1). Ale F C 1 (B) Π 0 α(2 ω ) ponieważ F C jest funkcją ciągłą, a B Π 0 α(x). Czyli C Π 0 α(2 ω ) i dochodzimy do sprzeczności Kodowanie zbiorów borelowskich za pomocą gier Pozostaje jeszcze tylko udowodnić lemat będący rdzeniem dowodu twierdzenia
22 Rysunek 4.1: C jest przeciwobrazem B przy funkcji F C. Dowód lematu 4.1.1: Niech K będzie klasą tych podzbiorów B przestrzeni Cantora, dla których istnieje funkcja F B opisana w tezie lematu Aby udowodnić, że klasa K zawiera wszystkie zbiory borelowskie pokażemy, że zawiera zbiory otwarto-domknięte oraz że jest zamknięta ze względu na dopełnienia i przeliczalne sumy 1. Zbiory otwarto-domknięte: Niech U 0 1 (2ω ). Weźmy dwa dowolne drzewa T, T X takie, że gracz ma strategię wygrywającą w grze na T z warunkiem W 0, a gracz ma strategię wygrywającą w grze na T z warunkiem W 2 1. Na przykład możemy wziąć T zawierające same etykiety (, 0) i T zawierające same etykiety (, 1). Definiujemy F U następująco: { T jeżeli x U F U (x) = T jeżeli x / U Oczywiście, ponieważ T A 0 i T A 1, to F U 1 (A 0 )=U oraz F U 1 (A 1 )=2 ω \U. Wystarczy jeszcze tylko pokazać, że funkcja F U jest ciągła. Przeciwobraz dowolnego zbioru przy funkcji F U jest albo pusty, albo równy U, albo równy 2 ω \U, albo równy całemu 2 ω. Wszystkie 4 z wymienionych zbiorów są otwarte więc funkcja F U jest ciągła. Czyli U K. Z dowolności wyboru U wynika, że klasa K zawiera wszystkie zbiory otwarto- -domknięte. Przeliczalne sumy: Teraz niech B= k ω B k, gdzie B k K. Dla każdego zbioru B k mamy odpowiednie funkcje F Bk. Wskażemy funkcję F B spełniającą tezę lematu. Konstrukcja drzewa F B (x) będzie realizacją następującej meta-gry. Celem gracza egzystencjalnego jest udowodnić, że x B. Na początku gracz egzystencjalny wybiera k takie, dla którego twierdzi, że x B k. Następnie, musi udowodnić to należenie, a gracz uniwersalny obalić je. Przejdźmy do konstrukcji F B (x), dla x 2 ω. Początkowa część drzewa F B (x) nie będzie w ogóle zależała od x. Wierzchołkom na najbardziej prawej gałęzi tego drzewa (wierzchołkom postaci 1 n ) dajemy etykiety (, 1) ta gałąź odpowiada wyborowi k przez gracza egzystencjalnego w meta-grze. Natomiast w każdej pozycji postaci 1 k 0 wstawiamy drzewo F Bk (x) (patrz rysunek 4.2). 1 Wystarczy wziąć zbiory otwarto-domknięte zamiast wszystkich zbiorów otwartych, ponieważ przestrzeń Cantora ma przeliczalną bazę złożoną ze zbiorów otwarto-domkniętych (jest ośrodkową przestrzenią zarowymiarową). 2 Pamiętajmy, że warunek wygrywający zdefiniowany jest z perspektywy gracza. 20
23 Rysunek 4.2: Konstrukcja planszy gry dla zbioru B= k B k i punktu x 2 ω. Udowodnimy teraz, że F B jest ciągła. Wystarczy pokazać, że dla każdego wierzchołka v wynikowego drzewa F B (x), wartość F B (x)(v) zależy tylko od prefiksu argumentu x. W naszym przypadku właśnie tak będzie ponieważ: etykiety wierzchołków na najbardziej prawej gałęzi nie zależą w ogóle od x, a etykiety wszystkich pozostałych wierzchołków drzewa pochodzą od funkcji F Bk, które są ciągłe z założenia, więc mają pożądaną własność. Weźmy teraz dowolny x B. Pokażemy strategię gracza w grze na F B (x) z warunkiem W 0. Jeżeli x B to x B k dla pewnego k. Tak więc strategia gracza polega na wybraniu k razy drogi w prawo (wierzchołki na najbardziej prawej gałęzi należą do ), a w k+1-szym ruchu wybraniu drogi w lewo. Potem (na poddrzewie zakorzenionym w wierzchołku 1 k 0) strategia gracza wygląda jak na drzewie F Bk (x). Z założenia wiemy, że na F Bk (x) gracz egzystencjalny ma strategię wygrywającą. Jeżeli x/ B to, dla każdego k, x/ B k. Czyli na każdym z drzew F Bk (x) gracz ma strategię wygrywającą w grze z warunkiem W 1. Więc jeżeli będzie stosował te strategie na odpowiednich poddrzewach drzewa F B (x) to wygra niezależnie od postępowania przeciwnika. Jeżeli gracz skręci w lewo z najbardziej prawej gałęzi to gracz wygra dzięki stosowanej strategii pasującej do odpowiedniego poddrzewa. Jeżeli natomiast gracz nie skręci z najbardziej prawej gałęzi to przegra ponieważ gałąź ta posiada same etykiety 1. Czyli B K. Tym samym skończyliśmy dowód zamkniętości klasy K na przeliczalne sumy. Dopełnienia: Dowód zamkniętości klasy K na dopełnienia dostajemy od razu dzięki symetrii jaka występuje między zbiorami A 0 i A 1. Żeby otrzymać funkcję dla dopełnienia zbioru B wystarczy w funkcji dla B zamienić etykiety z oraz 0 z 1. 21
24
25 Rozdział 5 Uwagi dodatkowe 5.1. Próba uproszczenia przykładu W niniejszej pracy pokazaliśmy naturalną parę regularnych zbiorów drzew nieoddzielalną zbiorem borelowskim. Można jednak zadać sobie pytanie czy nie da się tego przykładu trochę uprościć. Jeżeli przyjrzymy się dowodowi twierdzenia zobaczymy, że tak naprawdę dowodzimy tam Π 1 1-trudność zbioru: A 0 = {na każdej gałęzi skończenie wiele 1}, ponieważ użyliśmy tylko etykiet gracza. Zbiór A 0 jest deterministyczny (definiowany przez automat deterministyczny). Można więc wysnuć hipotezę, że podobna do oryginalnej pary nieoddzielalnej, para języków deterministycznych też jest borelowsko nieoddzielalna. Mianowicie chodzi o parę: A 0 A 1 = {na każdej gałęzi skończenie wiele 0} Niestety jednak powyższa para okazuje się być oddzielana zbiorem borelowskim. Stwierdzenie Istnieje zbiór borelowski B oddzielający A 0 i A 1. Dowód: Wybierzmy gałąź drzewa binarnego γ (na przykład najbardziej lewą gałąź). Rozważmy rodzinę zbiorów: B i = {Na gałęzi γ od poziomu i pojawiają się tylko etykiety 0} Zauważmy, że wszystkie zbiory B i są domknięte. Zbiór B = B i i ω zawiera A 0, ale oczywiście jest też rozłączny z A 1. Jest więc zbiorem borelowskim (dokładnie F σ ) spełniającym tezę stwierdzenia. 23
26 5.2. Pytanie otwarte Nie znany jest więc nam przykład dwóch rozłącznych zbiorów deterministycznych borelowsko nieoddzielalnych. Otwartym więc zostaje pytanie o prawdziwość hipotezy: Hipoteza 1 Każde dwa rozłączne deterministyczne zbiory nieskończonych drzew binarnych etykietowanych są oddzielane pewnym zbiorem borelowskim. 24
27 Bibliografia [Ar] Arnold, André, The µ-calculus alternation-depth hierarchy is strict on binary trees. RAIRO Theoretical Informatics and Applications, 33 (1999), [Be] Becker, Howard, Some Examples of Borel-Inseparable Pairs of Coanalytic Sets. Mathematika, 33 (1986), [Br] Bradfield, Julian C., Fixpoint alternation: Arithmetic, transition systems, and the binary tree. RAIRO Theoretical Informatics and Applications, 33 (1999), [Ke] Kechris, Aleksander S., Classical Descriptive Set Theory. Graduate Texts in Mathematics, Vol. 156, Springer-Verlag [Ma] Martin, Donald A., Borel Determinacy. Annals of Mathematics, 102 (1975), [SA] Santocanale, Luigi and Arnold, André, Ambiguous Classes in µ-calculi Hierarchies. Theoretical Computer Science, 333 (2005), [Sr] Srivastava, Sashi M., A Course on Borel Sets. Graduate Texts in Mathematics, Vol. 180, Springer-Verlag [Th] Thomas, Wolfgang, Languages, Automata, and Logic. Handbook of Formal Languages, Vol. 3, Springer-Verlag 1997,
ZALICZENIE WYKŁADU: 30.I.2019
MATEMATYCZNE PODSTAWY KOGNITYWISTYKI ZALICZENIE WYKŁADU: 30.I.2019 KOGNITYWISTYKA UAM, 2018 2019 Imię i nazwisko:.......... POGROMCY PTAKÓW STYMFALIJSKICH 1. [2 punkty] Podaj definicję warunku łączności
Bardziej szczegółowodomykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów
1 of 8 2012-03-28 17:45 Logika i teoria mnogości/wykład 5: Para uporządkowana iloczyn kartezjański relacje domykanie relacji relacja równoważności rozkłady zbiorów From Studia Informatyczne < Logika i
Bardziej szczegółowoAlgebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i
Algebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i A (symbol F i oznacza ilość argumentów funkcji F i ). W rozważanych przez nas algebrach
Bardziej szczegółowoProblemy Decyzyjne dla Systemów Nieskończonych
Problemy Decyzyjne dla Systemów Nieskończonych Ćwiczenia 1 17 lutego 2012 Na tych ćwiczeniach zajmiemy się pojęciem well quasi-ordering (WQO) bardzo przydatnym do analizy nieskończonych ciągów. Definicja
Bardziej szczegółowoLOGIKA I TEORIA ZBIORÓW
LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW Logika Logika jest nauką zajmującą się zdaniami Z punktu widzenia logiki istotne jest, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy nie Nie jest natomiast istotne o czym to zdanie mówi Definicja
Bardziej szczegółowoWykład 10. Stwierdzenie 1. X spełnia warunek Borela wtedy i tylko wtedy, gdy każda scentrowana rodzina zbiorów domkniętych ma niepusty przekrój.
Wykład 10 Twierdzenie 1 (Borel-Lebesgue) Niech X będzie przestrzenią zwartą Z każdego pokrycia X zbiorami otwartymi można wybrać podpokrycie skończone Dowód Lemat 1 Dla każdego pokrycia U przestrzeni ośrodkowej
Bardziej szczegółowoZBIORY BORELOWSKIE I ANALITYCZNE ORAZ ICH ZASTOSOWANIA.
ZBIORY BORELOWSKIE I ANALITYCZNE ORAZ ICH ZASTOSOWANIA. PIOTR ZAKRZEWSKI 1. Wykłady 1/2 Definicja 1.1. Przestrzeń polska to przestrzeń topologiczna ośrodkowa, metryzowalna w sposób zupełny. Przykład 1.2.
Bardziej szczegółowoTopologia zbioru Cantora a obwody logiczne
Adam Radziwończyk-Syta Michał Skrzypczak Uniwersytet Warszawski 1 lipca 2009 http://students.mimuw.edu.pl/~mskrzypczak/dokumenty/ obwody.pdf Zbiór Cantora Topologia Definicja Przez zbiór Cantora K oznaczamy
Bardziej szczegółowo1 Działania na zbiorach
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 1 1 1 Działania na zbiorach W rozdziale tym przypomnimy podstawowe działania na zbiorach koncentrując się na własnościach tych działań, które będą przydatne w dalszej
Bardziej szczegółowozbiorów domkniętych i tak otrzymane zbiory domknięte ustawiamy w ciąg. Oznaczamy
5. Funkcje 1 klasy Baire a. Pod koniec XIX i początkiem XX wieku kilku matematyków zajmowało się problemami dotyczącymi klasyfikacji funkcji borelowskich: między innymi R. Baire, E. Borel, H. Lebesgue
Bardziej szczegółowoKorzystając z własności metryki łatwo wykazać, że dla dowolnych x, y, z X zachodzi
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, Dodatek 158 10 Dodatek 10.1 Przestrzenie metryczne Niech X będzie niepustym zbiorem. Funkcję d : X X [0, ) spełniającą dla x, y, z X warunki (i) d(x, y) = 0 x = y, (ii)
Bardziej szczegółowoKombinowanie o nieskończoności. 3. Jak policzyć nieskończone materiały do ćwiczeń
Kombinowanie o nieskończoności. 3. Jak policzyć nieskończone materiały do ćwiczeń Projekt Matematyka dla ciekawych świata spisał: Michał Korch 22 marzec 2018 Szybkie przypomnienie z wykładu Prezentacja
Bardziej szczegółowoZasada indukcji matematycznej
Zasada indukcji matematycznej Twierdzenie 1 (Zasada indukcji matematycznej). Niech ϕ(n) będzie formą zdaniową zmiennej n N 0. Załóżmy, że istnieje n 0 N 0 takie, że 1. ϕ(n 0 ) jest zdaniem prawdziwym,.
Bardziej szczegółowoRozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji
Rozdział 6 Ciągłość 6.1 Granica funkcji Podamy najpierw dwie definicje granicy funkcji w punkcie i pokażemy ich równoważność. Definicja Cauchy ego granicy funkcji w punkcie. Niech f : X R, gdzie X R oraz
Bardziej szczegółowo2 Rodziny zbiorów. 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11 2 Rodziny zbiorów 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów Niech X będzie niepustym zbiorem. Rodzinę indeksowaną zbiorów {A i } i I 2 X nazywamy rozbiciem zbioru X
Bardziej szczegółowoDefinicja odwzorowania ciągłego i niektóre przykłady
Odwzorowania Pojęcie odwzorowania pomiędzy dwoma zbiorami było już definiowane, ale dawno, więc nie od rzeczy będzie przypomnieć, że odwzorowaniem nazywamy sposób przyporządkowania (niekoniecznie każdemu)
Bardziej szczegółowoMetody teorii gier. ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.2
Metody teorii gier ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.2 Metody teorii gier Cel: Wyprowadzenie oszacowania dolnego na oczekiwany czas działania dowolnego algorytmu losowego dla danego problemu.
Bardziej szczegółowoRozwiązania około dwustu łatwych zadań z języków formalnych i złożoności obliczeniowej i być może jednego chyba trudnego (w trakcie tworzenia)
Rozwiązania około dwustu łatwych zadań z języków formalnych i złożoności obliczeniowej i być może jednego chyba trudnego (w trakcie tworzenia) Kamil Matuszewski 20 lutego 2017 22 lutego 2017 Zadania, które
Bardziej szczegółowoKrzywa uniwersalna Sierpińskiego
Krzywa uniwersalna Sierpińskiego Małgorzata Blaszke Karol Grzyb Streszczenie W niniejszej pracy omówimy krzywą uniwersalną Sierpińskiego, zwaną również dywanem Sierpińskiego. Pokażemy klasyczną metodę
Bardziej szczegółowoUzupełnienia dotyczące zbiorów uporządkowanych (3 lutego 2011).
Uzupełnienia dotyczące zbiorów uporządkowanych (3 lutego 2011). Poprzedniczka tej notatki zawierała błędy! Ta pewnie zresztą też ; ). Ćwiczenie 3 zostało zmienione, bo żądałem, byście dowodzili czegoś,
Bardziej szczegółowoLogika Stosowana. Wykład 1 - Logika zdaniowa. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017
Logika Stosowana Wykład 1 - Logika zdaniowa Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 1 / 30 Plan wykładu 1 Język
Bardziej szczegółowoParadygmaty dowodzenia
Paradygmaty dowodzenia Sprawdzenie, czy dana formuła rachunku zdań jest tautologią polega zwykle na obliczeniu jej wartości dla 2 n różnych wartościowań, gdzie n jest liczbą zmiennych zdaniowych tej formuły.
Bardziej szczegółowon=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = :
4. Zbiory borelowskie. Zbiór wszystkich podzbiorów liczb naturalnych będziemy oznaczali przez ω. Najmniejszą topologię na zbiorze ω, w której zbiory {A ω : x A ω \ y}, gdzie x oraz y są zbiorami skończonymi,
Bardziej szczegółowo1 Zbiory. 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =.
1 Zbiory 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =. 1.3 Pokazać, że jeśli A, B oraz (A B) (B A) = C C, to A = B = C. 1.4 Niech {X t } będzie rodziną niepustych
Bardziej szczegółowoIndukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Indukcja Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Charakteryzacja zbioru liczb naturalnych Arytmetyka liczb naturalnych Jedną z najważniejszych teorii matematycznych jest arytmetyka
Bardziej szczegółowoRodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki.
3. Funkcje borelowskie. Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki. (1): Jeśli zbiór Y należy do rodziny F, to jego dopełnienie X
Bardziej szczegółowoDowód pierwszego twierdzenia Gödela o. Kołmogorowa
Dowód pierwszego twierdzenia Gödela o niezupełności arytmetyki oparty o złożoność Kołmogorowa Grzegorz Gutowski SMP II rok opiekun: dr inż. Jerzy Martyna II UJ 1 1 Wstęp Pierwsze twierdzenie o niezupełności
Bardziej szczegółowoAndrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ 1 Tezy KRZ Pewien system aksjomatyczny KRZ został przedstawiony
Bardziej szczegółowoJęzyki, automaty i obliczenia
Języki, automaty i obliczenia Wykład 9: Własności języków bezkontekstowych Sławomir Lasota Uniwersytet Warszawski 27 kwietnia 2016 Plan 1 Pompowanie języków bezkontekstowych 2 Własności domknięcia 3 Obrazy
Bardziej szczegółowoBisymulacja. Niezawodność systemów współbieżnych i obiektowych. Grzegorz Maj Grzegorz Maj Bisymulacja
Niezawodność systemów współbieżnych i obiektowych 18.03.2009 Plan prezentacji Przypomnienie: Plan prezentacji Przypomnienie: Gra bisymulacyjna Plan prezentacji Przypomnienie: Gra bisymulacyjna Definicje
Bardziej szczegółowoTemperatura w atmosferze (czy innym ośrodku) jako funkcja dł. i szer. geogr. oraz wysokości.
Własności Odległości i normy w Będziemy się teraz zajmować funkcjami od zmiennych, tzn. określonymi na (iloczyn kartezja/nski egzemplarzy ). Punkt należący do będziemy oznaczać jako Przykł. Wysokość terenu
Bardziej szczegółowoRozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone
Rozdział 4 Ciągi nieskończone W rozdziale tym wprowadzimy pojęcie granicy ciągu. Dalej rozszerzymy to pojęcie na przypadek dowolnych funkcji. Jak zauważyliśmy we wstępie jest to najważniejsze pojęcie analizy
Bardziej szczegółowoF t+ := s>t. F s = F t.
M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 1 1 Wiadomości wstępne 1.1 Przestrzeń probabilistyczna z filtracją Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech F = {F t } t 0 będzie rodziną
Bardziej szczegółowoPrzykładami ciągów, które Czytelnik dobrze zna (a jeśli nie, to niniejszym poznaje), jest ciąg arytmetyczny:
Podstawowe definicje Definicja ciągu Ciągiem nazywamy funkcję na zbiorze liczb naturalnych, tzn. przyporządkowanie każdej liczbie naturalnej jakiejś liczby rzeczywistej. (Mówimy wtedy o ciągu o wyrazach
Bardziej szczegółowoMonoidy wolne. alfabetem. słowem długością słowa monoidem wolnym z alfabetem Twierdzenie 1.
3. Wykłady 3 i 4: Języki i systemy dedukcyjne. Klasyczny rachunek zdań. 3.1. Monoidy wolne. Niech X będzie zbiorem niepustym. Zbiór ten będziemy nazywać alfabetem. Skończony ciąg elementów alfabetu X będziemy
Bardziej szczegółowoZdzisław Dzedzej. Politechnika Gdańska. Gdańsk, 2013
Zdzisław Dzedzej Politechnika Gdańska Gdańsk, 2013 1 PODSTAWY 2 3 Definicja. Przestrzeń metryczna (X, d) jest zwarta, jeśli z każdego ciągu {x n } w X można wybrać podciąg zbieżny {x nk } w X. Ogólniej
Bardziej szczegółowoZadania do Rozdziału X
Zadania do Rozdziału X 1. 2. Znajdź wszystkie σ-ciała podzbiorów X, gdy X = (i) {1, 2}, (ii){1, 2, 3}. (b) Znajdź wszystkie elementy σ-ciała generowanego przez {{1, 2}, {2, 3}} dla X = {1, 2, 3, 4}. Wykaż,
Bardziej szczegółowo0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0.
5 Kody liniowe Jak już wiemy, w celu przesłania zakodowanego tekstu dzielimy go na bloki i do każdego z bloków dodajemy tak zwane bity sprawdzające. Bity te są w ścisłej zależności z bitami informacyjnymi,
Bardziej szczegółowoO pewnych związkach teorii modeli z teorią reprezentacji
O pewnych związkach teorii modeli z teorią reprezentacji na podstawie referatu Stanisława Kasjana 5 i 12 grudnia 2000 roku 1. Elementy teorii modeli Będziemy rozważać język L składający się z przeliczalnej
Bardziej szczegółowoA i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami.
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3 25 3 Miara 3.1 Definicja miary i jej podstawowe własności Niech X będzie niepustym zbiorem, a A 2 X niepustą rodziną podzbiorów. Wtedy dowolne odwzorowanie : A
Bardziej szczegółowo1 Automaty niedeterministyczne
Szymon Toruńczyk 1 Automaty niedeterministyczne Automat niedeterministyczny A jest wyznaczony przez następujące składniki: Alfabet skończony A Zbiór stanów Q Zbiór stanów początkowych Q I Zbiór stanów
Bardziej szczegółowoAndrzej Wiśniewski Logika II. Wykłady 10b i 11. Semantyka relacyjna dla normalnych modalnych rachunków zdań
Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykłady 10b i 11. Semantyka relacyjna dla normalnych modalnych rachunków zdań 1 Struktury modelowe Przedstawimy teraz pewien
Bardziej szczegółowozłożony ze słów zerojedynkowych o długości co najmniej 3, w których druga i trzecia litera od końca sa
Zadanie 1. Rozważmy jezyk złożony ze słów zerojedynkowych o długości co najmniej 3, w których druga i trzecia litera od końca sa równe. Narysować diagram minimalnego automatu deterministycznego akceptujacego
Bardziej szczegółowoMaszyna Turinga języki
Maszyna Turinga języki Teoria automatów i języków formalnych Dr inż. Janusz Majewski Katedra Informatyki Maszyna Turinga (1) b b b A B C B D A B C b b Q Zależnie od symbolu obserwowanego przez głowicę
Bardziej szczegółowoTeoria miary. Matematyka, rok II. Wykład 1
Teoria miary Matematyka, rok II Wykład 1 NAJBLIŻSZY CEL: Nauczyć się mierzyć wielkość zbiorów. Pierwsze przymiarki: - liczność (moc) zbioru - słabo działa dla zbiorów nieskończonych: czy [0, 1] powinien
Bardziej szczegółowoAndrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki
Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 5. Wprowadzenie do semantyki teoriomodelowej cz.5. Wynikanie logiczne 1 Na poprzednim wykładzie udowodniliśmy m.in.:
Bardziej szczegółowoZbiory, relacje i funkcje
Zbiory, relacje i funkcje Zbiory będziemy zazwyczaj oznaczać dużymi literami A, B, C, X, Y, Z, natomiast elementy zbiorów zazwyczaj małymi. Podstawą zależność między elementem zbioru a zbiorem, czyli relację
Bardziej szczegółowoRównoliczność zbiorów
Logika i Teoria Mnogości Wykład 11 12 Teoria mocy 1 Równoliczność zbiorów Def. 1. Zbiory X i Y nazywamy równolicznymi, jeśli istnieje bijekcja f : X Y. O funkcji f mówimy wtedy,że ustala równoliczność
Bardziej szczegółowoDlaczego nie wystarczają liczby wymierne
Dlaczego nie wystarczają liczby wymierne Analiza zajmuje się problemami, w których pojawia się przejście graniczne. Przykładami takich problemów w matematyce bądź fizyce mogą być: 1. Pojęcie prędkości
Bardziej szczegółowoPrzykład: Σ = {0, 1} Σ - zbiór wszystkich skończonych ciagów binarnych. L 1 = {0, 00, 000,...,1, 11, 111,... } L 2 = {01, 1010, 001, 11}
Języki Ustalmy pewien skończony zbiór symboli Σ zwany alfabetem. Zbiór Σ zawiera wszystkie skończone ciagi symboli z Σ. Podzbiór L Σ nazywamy językiem a x L nazywamy słowem. Specjalne słowo puste oznaczamy
Bardziej szczegółowoTEST A. A-1. Podaj aksjomaty przestrzeni topologicznej według W. Sierpińskiego: aksjomaty
TEST A A-1. Podaj aksjomaty przestrzeni topologicznej według W. Sierpińskiego: aksjomaty T 1 przestrzeni. Czym ta aksjomatyka różni się od aksjomatyki zbiorów otwartych? A-2. Ile różnych zbiorów otwartych
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2015 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 3/15 Indukcja matematyczna Poprawność indukcji matematycznej wynika z dobrego uporządkowania liczb naturalnych, czyli z następującej
Bardziej szczegółowoTopologia - Zadanie do opracowania. Wioletta Osuch, Magdalena Żelazna, Piotr Kopyrski
Topologia - Zadanie do opracowania Wioletta Osuch, Magdalena Żelazna, Piotr Kopyrski 5 grudnia 2013 Zadanie 1. (Topologie na płaszczyźnie) Na płaszczyźnie R 2 rozważmy następujące topologie: a) Euklidesową
Bardziej szczegółowo10110 =
1. (6 punktów) Niedeterministyczny automat skończony nazwiemy jednoznacznym, jeśli dla każdego akceptowanego słowa istnieje dokładnie jeden bieg akceptujący. Napisać algorytm sprawdzający, czy niedeterministyczny
Bardziej szczegółowoRelacje. opracował Maciej Grzesiak. 17 października 2011
Relacje opracował Maciej Grzesiak 17 października 2011 1 Podstawowe definicje Niech dany będzie zbiór X. X n oznacza n-tą potęgę kartezjańską zbioru X, tzn zbiór X X X = {(x 1, x 2,..., x n ) : x k X dla
Bardziej szczegółowoZbiory liczbowe widziane oczami topologa
Zbiory liczbowe widziane oczami topologa Aleksander Błaszczyk Instytut Matematyki Uniwersytetu Ślaskiego Brenna, 25 wrzesień 2018 Aleksander Błaszczyk (UŚ) Zbiory liczbowe widziane oczami topologa Brenna,
Bardziej szczegółowoWstęp do Matematyki (4)
Wstęp do Matematyki (4) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Liczby kardynalne Jerzy Pogonowski (MEG) Wstęp do Matematyki (4) Liczby kardynalne 1 / 33 Wprowadzenie
Bardziej szczegółowoA-1. Podaj aksjomaty przestrzeni topologicznej według W. Sierpińskiego: aksjomaty
A-1. Podaj aksjomaty przestrzeni topologicznej według W. Sierpińskiego: aksjomaty T 1 przestrzeni. Czym ta aksjomatyka różni się od aksjomatyki zbiorów otwartych? A-2. Wyprowadź z aksjomatów topologii
Bardziej szczegółowo3 Abstrakcyjne kompleksy symplicjalne.
3 Abstrakcyjne kompleksy symplicjalne. Uwaga 3.1. Niech J będzie dowolnym zbiorem indeksów, niech R J = {(x α ) α J J α x α R} będzie produktem kartezjańskim J kopii R, niech E J = {(x α ) α J R J x α
Bardziej szczegółowoUwaga 1. Zbiory skończone są równoliczne wtedy i tylko wtedy, gdy mają tyle samo elementów.
Logika i teoria mnogości Wykład 11 i 12 1 Moce zbiorów Równoliczność zbiorów Def. 1. Zbiory X i Y są równoliczne (X ~ Y), jeśli istnieje bijekcja f : X Y. O funkcji f mówimy wtedy, że ustala równoliczność
Bardziej szczegółowoJAO - lematy o pompowaniu dla jezykow bezkontekstowy
JAO - lematy o pompowaniu dla jezykow bezkontekstowych Postać normalna Chomsky ego Gramatyka G ze zbiorem nieterminali N i zbiorem terminali T jest w postaci normalnej Chomsky ego wtw gdy każda produkcja
Bardziej szczegółowoUkłady równań i nierówności liniowych
Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +
Bardziej szczegółowoAlgorytmiczne aspekty teorii gier: Wykład 5
Algorytmiczne aspekty teorii gier: Wykład 5 Wykład prowadził dr hab. Igor Walukiewicz Notatki przygotował Dymitr Pszenicyn 02-04-2003 1 Spis treści 1 Przypomnienie 3 1.1
Bardziej szczegółowoMetoda tabel semantycznych. Dedukcja drogi Watsonie, dedukcja... Definicja logicznej konsekwencji. Logika obliczeniowa.
Plan Procedura decyzyjna Reguły α i β - algorytm Plan Procedura decyzyjna Reguły α i β - algorytm Logika obliczeniowa Instytut Informatyki 1 Procedura decyzyjna Logiczna konsekwencja Teoria aksjomatyzowalna
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2018 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 10/10 Podziały i liczby Stirlinga Liczba Stirlinga dla cykli (często nazywana liczbą Stirlinga pierwszego rodzaju) to liczba permutacji
Bardziej szczegółowoStruktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli
Struktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli Szymon Wróbel, notatki z wykładu dra Szymona Żeberskiego semestr zimowy 2016/17 1 Język 1.1 Sygnatura językowa Sygnatura językowa: L = ({f i } i I, {P j
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna dla informatyków
Matematyka dyskretna dla informatyków Część I: Elementy kombinatoryki Jerzy Jaworski Zbigniew Palka Jerzy Szymański Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Poznań 2007 4 Zależności rekurencyjne Wiele zależności
Bardziej szczegółowoDrzewa BST i AVL. Drzewa poszukiwań binarnych (BST)
Drzewa ST i VL Drzewa poszukiwań binarnych (ST) Drzewo ST to dynamiczna struktura danych (w formie drzewa binarnego), która ma tą właściwość, że dla każdego elementu wszystkie elementy w jego prawym poddrzewie
Bardziej szczegółowoAndrzej Wiśniewski Logika II. Wykład 6. Wprowadzenie do semantyki teoriomodelowej cz.6. Modele i pełność
Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 6. Wprowadzenie do semantyki teoriomodelowej cz.6. Modele i pełność 1 Modele Jak zwykle zakładam, że pojęcia wprowadzone
Bardziej szczegółowoMetoda Tablic Semantycznych
Procedura Plan Reguły Algorytm Logika obliczeniowa Instytut Informatyki Plan Procedura Reguły 1 Procedura decyzyjna Logiczna równoważność formuł Logiczna konsekwencja Procedura decyzyjna 2 Reguły α, β,
Bardziej szczegółowoG. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28
G. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28 1.9 Zadania 1.9.1 Niech R będzie pierścieniem zbiorów. Zauważyć, że jeśli A, B R to A B R i A B R. Sprawdzić, że (R,, ) jest także pierścieniem w sensie
Bardziej szczegółowoFinanse i Rachunkowość studia niestacjonarne Wprowadzenie do teorii ciągów liczbowych (treść wykładu z 21 grudnia 2014)
dr inż. Ryszard Rębowski DEFINICJA CIĄGU LICZBOWEGO Finanse i Rachunkowość studia niestacjonarne Wprowadzenie do teorii ciągów liczbowych (treść wykładu z grudnia 04) Definicja ciągu liczbowego Spośród
Bardziej szczegółowoKonstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych
Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych Marcin Michalski 14.11.014 1 Wprowadzenie Jedną z intuicji na temat liczb rzeczywistych jest myślenie o nich jako liczbach,
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa- wykład 2
Rachunek prawdopodobieństwa- wykład 2 Pojęcie dyskretnej przestrzeni probabilistycznej i określenie prawdopodobieństwa w tej przestrzeni dr Marcin Ziółkowski Instytut Matematyki i Informatyki Uniwersytet
Bardziej szczegółowo(4) x (y z) = (x y) (x z), x (y z) = (x y) (x z), (3) x (x y) = x, x (x y) = x, (2) x 0 = x, x 1 = x
2. Wykład 2: algebry Boole a, kraty i drzewa. 2.1. Algebra Boole a. 1 Ważnym dla nas przykładem algebr są algebry Boole a, czyli algebry B = (B,,,, 0, 1) typu (2, 2, 1, 0, 0) spełniające własności: (1)
Bardziej szczegółowo- Dla danego zbioru S zbiór wszystkich jego podzbiorów oznaczany symbolem 2 S.
1 Zbiór potęgowy - Dla danego zbioru S zbiór wszystkich jego podzbiorów oznaczany symbolem 2 S. - Dowolny podzbiór R zbioru 2 S nazywa się rodziną zbiorów względem S. - Jeśli S jest n-elementowym zbiorem,
Bardziej szczegółowoEgzamin z logiki i teorii mnogości, rozwiązania zadań
Egzamin z logiki i teorii mnogości, 08.02.2016 - rozwiązania zadań 1. Niech φ oraz ψ będą formami zdaniowymi. Czy formuła [( x : φ(x)) ( x : ψ(x))] [ x : (φ(x) ψ(x))] jest prawem rachunku kwantyfikatorów?
Bardziej szczegółowoRodzinę spełniającą trzeci warunek tylko dla sumy skończonej nazywamy ciałem (algebrą) w zbiorze X.
1 σ-ciała Definicja 1.1 (σ - ciało) σ - ciałem (σ - algebrą) w danym zbiorze X (zwanym przestrzenią) nazywamy rodzinę M pewnych podzbiorów zbioru X, spełniającą trzy warunki: 1 o M; 2 o jeśli A M, to X
Bardziej szczegółowoGrafy (3): drzewa. Wykłady z matematyki dyskretnej dla informatyków i teleinformatyków. UTP Bydgoszcz
Grafy (3): drzewa Wykłady z matematyki dyskretnej dla informatyków i teleinformatyków UTP Bydgoszcz 13 (Wykłady z matematyki dyskretnej) Grafy (3): drzewa 13 1 / 107 Drzewo Definicja. Drzewo to graf acykliczny
Bardziej szczegółowo1 Podstawowe oznaczenia
Poniżej mogą Państwo znaleźć skondensowane wiadomości z wykładu. Należy je traktować jako przegląd pojęć, które pojawiły się na wykładzie. Materiały te nie są w pełni tożsame z tym co pojawia się na wykładzie.
Bardziej szczegółowo5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów.
5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów. Algebra jest jednym z najstarszych działów matematyki dotyczącym początkowo tworzenia metod rozwiązywania równań
Bardziej szczegółowoHierarchia Chomsky ego Maszyna Turinga
Hierarchia Chomsky ego Maszyna Turinga Języki formalne i automaty Dr inż. Janusz Majewski Katedra Informatyki Gramatyka Gramatyką G nazywamy czwórkę uporządkowaną gdzie: G = V skończony zbiór
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna - 7.Drzewa
Matematyka dyskretna - 7.Drzewa W tym rozdziale zajmiemy się drzewami: specjalnym przypadkiem grafów. Są one szczególnie przydatne do przechowywania informacji, umożliwiającego szybki dostęp do nich. Definicja
Bardziej szczegółowoTrzy razy o indukcji
Trzy razy o indukcji Antoni Kościelski 18 października 01 1 Co to są liczby naturalne? Indukcja matematyczna wiąże się bardzo z pojęciem liczby naturalnej. W szkole zwykle najpierw uczymy się posługiwać
Bardziej szczegółowoObliczenia inspirowane Naturą
Obliczenia inspirowane Naturą Wykład 01 Modele obliczeń Jarosław Miszczak IITiS PAN Gliwice 05/10/2016 1 / 33 1 2 3 4 5 6 2 / 33 Co to znaczy obliczać? Co to znaczy obliczać? Deterministyczna maszyna Turinga
Bardziej szczegółowoAlgebry skończonego typu i formy kwadratowe
Algebry skończonego typu i formy kwadratowe na podstawie referatu Justyny Kosakowskiej 26 kwietnia oraz 10 i 17 maja 2001 Referat został opracowany w oparciu o prace Klausa Bongartza Criterion for finite
Bardziej szczegółowoAndrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 9. Koniunkcyjne postacie normalne i rezolucja w KRZ
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 9. Koniunkcyjne postacie normalne i rezolucja w KRZ 1 Inferencyjna równoważność formuł Definicja 9.1. Formuła A jest
Bardziej szczegółowoNotatki z Analizy Matematycznej 1. Jacek M. Jędrzejewski
Notatki z Analizy Matematycznej 1 Jacek M. Jędrzejewski Wstęp W naszym konspekcie będziemy stosowali następujące oznaczenia: N zbiór liczb naturalnych dodatnich, N 0 zbiór liczb naturalnych (z zerem),
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2019 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 4/14 Indukcja matematyczna Poprawność indukcji matematycznej wynika z dobrego uporządkowania liczb naturalnych, czyli z następującej
Bardziej szczegółowo(b) Suma skończonej ilości oraz przekrój przeliczalnej ilości zbiorów typu G α
FUNKCJE BORELOWSKIE Rodzinę F podzbiorów zbioru X (tzn. F X) będziemy nazywali ciałem gdy spełnione są warunki: (1) Jeśli zbiór Y F, to dopełnienie X \ Y też należy do rodziny F. (2) Jeśli S F jest skończoną
Bardziej szczegółowoWysokość drzewa Głębokość węzła
Drzewa Drzewa Drzewo (ang. tree) zbiór węzłów powiązanych wskaźnikami, spójny i bez cykli. Drzewo posiada wyróżniony węzeł początkowy nazywany korzeniem (ang. root). Drzewo ukorzenione jest strukturą hierarchiczną.
Bardziej szczegółowoTeoria miary i całki
Teoria miary i całki Spis treści 1 Wstęp 3 2 lgebra zbiorów 5 3 Pierścienie, ciała, σ ciała zbiorów. 7 3.1 Definicja pierścienia ciała i σ ciała............... 7 3.2 Pierścień, ciało i σ ciało generowane
Bardziej szczegółowoZadanie 2. Obliczyć rangę dowolnego elementu zbioru uporządkowanego N 0 N 0, gdy porządek jest zdefiniowany następująco: (a, b) (c, d) (a c b d)
Matemaryka dyskretna - zadania Zadanie 1. Opisać zbiór wszystkich elementów rangi k zbioru uporządkowanego X dla każdej liczby naturalnej k, gdy X jest rodziną podzbiorów zbioru skończonego Y. Elementem
Bardziej szczegółowoMinimalizacja automatów niedeterministycznych na słowach skończonych i nieskończonych
Szczepan Hummel Minimalizacja automatów niedeterministycznych na słowach skończonych i nieskończonych 24.11.2005 1. Minimalizacja automatów deterministycznych na słowach skończonych (DFA) [HU] relacja
Bardziej szczegółowoSemantyka rachunku predykatów
Relacje Interpretacja Wartość Spełnialność Logika obliczeniowa Instytut Informatyki Relacje Interpretacja Wartość Plan Plan Relacje O co chodzi? Znaczenie w logice Relacje 3 Interpretacja i wartościowanie
Bardziej szczegółowoRozkład figury symetrycznej na dwie przystające
Rozkład figury symetrycznej na dwie przystające Tomasz Tkocz 10 X 2010 Streszczenie Tekst zawiera notatki do referatu z seminarium monograficznego Wybrane zagadnienia geometrii. Całość jest oparta na artykule
Bardziej szczegółowoZadanie 1. Czy prawdziwa jest następująca implikacja? Jeśli L A jest językiem regularnym, to regularnym językiem jest też. A = (A, Q, q I, F, δ)
Zadanie 1. Czy prawdziwa jest następująca implikacja? Jeśli L A jest językiem regularnym, to regularnym językiem jest też L = {vw : vuw L dla pewnego u A takiego, że u = v + w } Rozwiązanie. Niech A =
Bardziej szczegółowoPorządek symetryczny: right(x)
Porządek symetryczny: x lef t(x) right(x) Własność drzewa BST: W drzewach BST mamy porządek symetryczny. Dla każdego węzła x spełniony jest warunek: jeżeli węzeł y leży w lewym poddrzewie x, to key(y)
Bardziej szczegółowoZALICZENIE WYKŁADU: 26.I.2017
MATEMATYCZNE PODSTAWY KOGNITYWISTYKI ZALICZENIE WYKŁADU: 6.I.017 KOGNITYWISTYKA UAM, 016 017 Imię i nazwisko:............. POGROMCY HYDR LERNEJSKICH 1. Pokaż, że nie jest prawem rachunku zbiorów: (A C)
Bardziej szczegółowo