Metoda siatek zadania

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Metoda siatek zadania"

Transkrypt

1 Metoda siatek zadania 1. (Leningrad 1984) Wykazać, że jeżeli suma kątów płaskich przy wierzchołku S ostrosłupa SA 1 A 2... A n (n 3) jest większa niż 180, to każda z krawędzi bocznych jest mniejsza od połowy obwodu podstawy. 2. (OM 51-III-4) W ostrosłupie prawidłowym o wierzchołku S i podstawie A 1 A 2...A n każda krawędź boczna tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 60. Dla każdej liczby n 3 rozstrzygnąć, czy można wybrać takie punkty B 2, B 3,..., B n leżące odpowienio na krawędziach A 2 S, A 3 S,..., A n S, że A 1 B 2 + B 2 B 3 + B 3 B B n 1 B n + B n A 1 < 2A 1 S. 3. (IMO 1971) Dla czworościanu ABCD, którego wszystkie ściany są trójkątami ostrokątnymi, określamy σ = DAB + BCD ABC CDA. Rozważamy wszystkie łamane XY ZT X, której wierzchołki X, Y, Z, T leżą odpowiednio wewnątrz krawędzi AB, BC, CD, DA. Wykazać, że a) jeśli σ 0, to nie istnieje łamana XY ZT X minimalnej długości; b) jeśli σ = 0, to istnieje nieskończenie wiele takich łamanych o minimalnej długości oraz długość ta jest równa 2ACsin( α 2 ), gdzie α = BAC + CAD + DAB. 4. (YUG 1983) W czworościanie SABC wszystkie kąty płaskie przy wierzchołku S są proste, a ponadto SA = SB + SC. Wykazać, że suma kątów płaskich przy wierzchołku A jest równa (OM 26-III-2) Na powierzchni czworościanu foremnego o krawędzi długości 1 danych jest skończenie wiele odcinków, przy czym każde dwa wierzchołki czworościanu mogą być połączone łamaną składającą się z tych odcinków. Czy suma długości tych odcinków może być mniejsza niż 1 + 3? 6. (OM 27-I-8) Udowodnić, że na powierzchni czworościanu foremnego o krawędzi długości 1 istnieją takie punkty P i Q, że dowolny punkt powierzchni tego czworościanu można połaczyć z jednym z punktów P, Q łamaną o długości nie większej niż 1 3 leżącą na powierzchni czworościanu. 7. Wykazać, że w czworościanie przeciwległe krawędzie są równe wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi co najmniej jeden z warunków a) sumy kątów płaskich w pewnych trzech wierzchołkach są równe 180 b) sumy kątów płaskich w pewnych dwóch wierzchołkach są równe 180 i pewne dwie przeciwległe krawędzie są równe c) suma katów płaskich w pewnym wierzchołku czworościanu jest równa 180 oraz są dwie pary przeciwległych krawędzi równych. 8. (UKR 1996) W czworościanie SABC zachodzą równości SAC + CAB = SBA, SAB + CAB = SCA, SB + SC = SA. Wyznaczyć miarę kąta między dwusiecznymi kątów płaskich ASB i ASC tego czworościanu. 9. (OM 58-III-5) W czworościanie ABCD spełnione są zależności BAC + BDC = ABD + ACD, BAD + BCD = ABC + ADC. Udowodnić, że środek sfery opisanej na tym czworościanie leży na prostej przechodzącej przez środki krawędzi AB i CD. 1

2 Rozwiązania 1. (Leningrad 1984) Wykazać, że jeżeli suma kątów płaskich przy wierzchołku S ostrosłupa SA 1 A 2... A n (n 3) jest większa niż 180, to każda z krawędzi bocznych jest mniejsza od połowy obwodu podstawy. Rozwiązanie. Rozetnijmy powierzchnię boczna ostrosłupa SA 1...A n wzdłuż krawędzi SA 1 i rozłóżmy ją na płaszczyźnie. Z warunków zadania wynika, że punkt S leży wewnątrz wielokąta A 1...A n A 1. Niech B będzie punktem przecięcia prostej A 1 S z wielokątem A 1...A n A 1 (różnym od A 1 ). Niech a i b będą długościami łamanych A 1 A 2...B i B...A n A 1. Wówczas A 1 S + SB < a i A 1S < SB + b. Dodając te nierówności stronami dostajemy tezę. 2. (OM 51-III-4) W ostrosłupie prawidłowym o wierzchołku S i podstawie A 1 A 2...A n każda krawędź boczna tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 60. Dla każdej liczby n 3 rozstrzygnąć, czy można wybrać takie punkty B 2, B 3,..., B n leżące odpowienio na krawędziach A 2 S, A 3 S,..., A n S, że A 1 B 2 + B 2 B 3 + B 3 B B n 1 B n + B n A 1 < 2A 1 S. Rozwiązanie. Odp.: Takie punkty istnieją dla dowolnego n 3. Niech O będzie spodkiem wysokości ostrosłupa, zaś α miarą kąta ściany bocznej przy wierzchołku S. Z równości A 1 S = 2A 1 O otrzymujemy skąd sin α 2 = A 1A 2 2A 1 S = 1 2 A1A 2 2A 1 O = 1 2 sin180 n = sin90 n cos90 n < sin90 n, (1) nα < 180. Rozetnijmy powierzchnię boczną ostrosłupa wzdłuż krawędzi A 1 S i rozłóżmy ją na płaszczyźnie. Otrzymamy w wyniku tego wielokąt SA 1...A n A 1. Z nierówności (1) otrzymamy, że A 1 SA 1 = nα < 180. Niech B 2, B 3,..., B n będą punktami przecięcia odcinka A 1 A 1 odpowiednio z odcinkami A 2 S, A 3 S,..., A n S. Korzystając z nierówności trójkąta dostaniemy A 1 B 2 + B 2 B 3 + B 3 B B n 1 B n + B n A 1 < 2A 1 S, zatem punkty B i są tymi, o które chodzilo. Uwaga. Nierówność (1) można też uzyskać nieco inaczej. Niech P będzie takim punktem leżącym na okręgu opisanym na wielokącie A 1 A 2... A n na dłuższym łuku A 1 A 2, że P A 1 = P A 2. Wobec równości OP = OA 1 = 1 dostajemy A 1 P < 2. Stąd α < A 1 P A 2 = 2 A 1 OA 2 = n = 180 n. 3. (IMO 1971) Dla czworościanu ABCD, którego wszystkie ściany są trójkątami ostrokątnymi, określamy σ = DAB + BCD ABC CDA. Rozważamy wszystkie łamane XY ZT X, której wierzchołki X, Y, Z, T leżą odpowiednio wewnątrz krawędzi AB, BC, CD, DA. Wykazać, że a) jeśli σ 0, to nie istnieje łamana XY ZT X minimalnej długości; b) jeśli σ = 0, to istnieje nieskończenie wiele takich łamanych o minimalnej długości oraz długość ta jest równa 2ACsin( α 2 ), gdzie α = BAC + CAD + DAB. Rozwiązanie. a) Przyjmijmy, że punkty X, Y, Z są ustalonymi punktami leżącymi wewnątrz odcinków AB, BC, CD. Jeśli AT X ZT D, to sumę ZT + T X można zmniejszyć. Wystarczy bowiem rozłożyć trójkąty ABD i ACD na płaszczyźnie (B i C po przeciwnych stronach AD) i zauważyć, że wobec ostrokątności tych trójkątów odcinki XZ i AD przecinają się w punkcie T. Wtedy oczywiście ZT + T X < ZT + T X. To samo możemy wykonać dla innych punktów. Zatem jeśli istnieje łamana XY ZT X o minimalnej długości, to skąd natychmiast wynika, że σ = 0. DAB = 180 AT X AXT, ABC = 180 BXY BY X = 180 AXT CY Z, BCD = 180 CY Z CZY, CDA = 180 DT Z DZT = 180 AT X CZY, 2

3 Uwaga. Jeśli dopuścimy, że punkty X, Y, Z, T mogą również leżeć w wierzchołkach (nie tylko wewnątrz krawędzi), to łamana o najmniejszej długości oczywiście będzie istniała (choć będzie mocno uzależniona od danego czworościanu). b) Przyjmijmy teraz, że σ = 0. Rozetnijmy powierzchnię czworościanu wzdłuż krawędzi AC, CD, DB i rozłóżmy ją na płaszczyźnie. Otrzymamy sześciokąt ACDBD C (odcinki BC i AD powstały z krawędzi czworościanu). Punkty X, Y, Z, T, Z leżą odpowiednio na odcinkach AB, BC, CD, AD, C D. Przepisując równość z treści zadania, jako DAB + BCD ABC CDA = 0 stwierdzamy, że proste CD i C D są równoległe, co wraz z równością odcinków CD i C D dowodzi, że czworokąt CC D D jest równoległobokiem. Łamana XY ZT X ma minimalną długość wtedy i tylko wtedy, gdy X, Y, Z, T, Z są współliniowe. W takim razie wobec CZ = C Z oznacza to, że ZZ CC. Zatem ZZ = CC = 2ACsin( α 2 ). Takich linii jest oczywiście nieskończenie wiele (każda równoległa do CC i przecinająca odcinki BC, BA i AD jest to możliwe wobec ostrokątności wszystkich trójkątów). 4. (YUG 1983) W czworościanie SABC wszystkie kąty płaskie przy wierzchołku S są proste, a ponadto SA = SB + SC. Wykazać, że suma katów płaskich przy wierzchołku A jest równa 90. Rozwiązanie. Niech P i Q będą punktami leżącymi na przedłużeniach krawędzi SB i SC, tak aby SP = SQ = SA. Rozważmy kwadrat SP RQ, a w nim trójkąty RCB, RCQ, RBP. Trójkąty RCQ i RBP są przystające odpowiednio do trójkątów ABS i ACS, a więc trójkąt RBC jest przystający do trójkąta ACB. Stąd CAS + CAB + BAS = P RB + BRC + CRQ = (OM 26-III-2) Na powierzchni czworościanu foremnego o krawędzi długości 1 danych jest skończenie wiele odcinków, przy czym każde dwa wierzchołki czworościanu mogą być połączone łamaną składającą się z tych odcinków. Czy suma długości tych odcinków może być mniejsza niż 1 + 3? Rozwiązanie. Rozważmy czworościan ABCD. Przyjmując, że S jest środkiem krawędzi BD stwierdzamy, że odcinki AS, BS, CS, DS spełniają warunki zadania, a suma ich długości jest właśnie równa Okazuje się jednak, że można uzyskać mniejszą sumę długości. Weźmy tylko ściany ABD i BCD i rozłóżmy je na płaszczyźnie tak, by punkty A i C leżały po przeciwnych stronach prostej BD. Wystarczy, że znajdziemy najkrótszą sieć dróg łączącą punkty A, B, C, D znajdującą się wewnątrz czworokąta ABCD. Niech B i D będą punktami symetrycznymi do B i D odpowiednio względem prostych CD i AB. Przyjmijmy, że odcinek B D przecina okręgi opisane na trójkątach B CD i ABD odpowiednio w punktach Q i P (różnych od B i D ). Z twierdzenia Ptolemeusza wynika teraz, że AP + BP + P Q + CQ + DQ = P D + P Q + QB = B D = cos120 = 7. Pozostaje zauważyć, że 7 < Uwaga. Można udowodnić, że 7 jest najmniejszą szukaną wartością. W tym celu wystarczy sprowadzić dane zadanie do znalezienia najkrótszej sieci dróg łączącej punkty A, B, C, D zawartej w ścianach ABD i BCD. 6. (OM 27-I-8) Udowodnić, że na powierzchni czworościanu foremnego o krawędzi długości 1 istnieją takie punkty P i Q, że dowolny punkt powierzchni tego czworościanu można połączyć z jednym z punktów P, Q łamaną o długości nie większej niż 1 3 leżącą na powierzchni czworościanu. Rozwiązanie. Nie zaskocze chyba nikogo, jeśli powiem, że punkty P i Q mają być środkami przeciwległych krawędzi AB i CD czworościanu foremnego ABCD (powinny być one jak najdalej od siebie, a ich role symetryczne). Zauważmy również, że długość dana w zadaniu jest równa 2 3 długości wysokości trójkąta równobocznego. Oznaczmy przez K, L, M, N środki odpowiednio krawędzi AC, BC, BD, AD. Niech ponadto X, Y, Z, T będą punktami symetrycznymi do środków ciężkości trójkątów ABC, BCD, ABD, ACD odpowiednio względem KL, LM, M N, KN. Wykażemy, że każdy punkt obszaru ograniczonego łamaną KXLY M ZN T K zawierającego krawędź AB można połączyć łamaną z punktem P leżącą na powierzchni czworościanu. Podobnie zrobimy z drugą częścią łącząc ją z punktem Q, co zakończy rozwiązanie zadania. Rozetnijmy w takim razie powierzchnię czworościanu, ale tym razem dosyć nietypowo - wzdłuż odcinków AQ, BQ i krawędzi CD. Otrzymamy w wyniku prostokąt Q 1 Q 2 Q 3 Q 4, przy czym punkty A, B, C, D są odpowiednio środkami boków Q 1 Q 4, Q 2 Q 3, Q 3 Q 4, Q 1 Q 2. Niech jeszcze Y 1 BQ 3 i Y 2 BQ 2 będą takimi punktami, że BY 1 = BY 2 = BY oraz T 1 AQ 1 i T 2 AQ 4 będą takimi punktami, że AT 1 = AT 2 = AT. Pozostaje teraz zauważyć, że punkty X, Y 1, Y 2, Z, T 1, T 2 leżą na okręgu o środku P i promieniu 1 3, a obszar, który nas interesuje, jest zawarty wewnątrz sześciokąta XY 1 Y 2 ZT 1 T 2. 3

4 7. Wykazać, że w czworościanie przeciwległe krawędzie są równe wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi co najmniej jeden z warunków a) sumy kątów płaskich w pewnych trzech wierzchołkach są równe 180 b) sumy kątów płaskich w pewnych dwóch wierzchołkach są równe 180 i pewne dwie przeciwległe krawędzie są równe c) suma kątów płaskich w pewnym wierzchołku czworościanu jest równa 180 oraz są dwie pary przeciwległych krawędzi równych. Rozwiązanie. Nietrudno zauważyć, że jeśli przeciwległe krawędzie czworościanu są równe, to każdy z warunków a), b), c) jest spełniony (ściany czworoscianu są wtedy trójkątami przystającymi i przy każdym wierzchołku występują wszystkie trzy kąty spośród kątów danego trójkąta suma kątów przy każdym wierzchołku jest więc równa 180 ). Teraz udowodnimy, że z każdego z warunków a), b), c) wynika równość przeciwległych krawędzi. Rozetnijmy powierzchnię danego czworościanu ABCD wzdłuż krawędzi AD, BD, CD otrzymująć, jako jego siatkę, sześciokąt D 1 AD 2 BD 3 C. a) Możemy założyć, że sumy kątów płaskich przy wierzchołkach A, B, C są równe 180. W takim razie dany sześciokąt jest po prostu trójkątem D 1 D 2 D 3. Oczywiście zachodzą równości AD 1 = AD 2, BD 2 = BD 3, CD 3 = CD 1, a więc punkty A, B, C są środkami boków trójkąta D 1 D 2 D 3. To zaś oznacza, że AB = 1 2 D 1D 3 = CD i analogicznie BC = AD oraz AC = BD. b) Przyjmijmy bez straty dla ogólności, że sumy kątów płaskich przy wierzchołkach A i B są równe 180. Punkty A i B są wtedy środkami odcinków D 1 D 2 i D 2 D 3. W szczególności dostajemy stąd, że D 1 D 3 = 2AB. Załóżmy najpierw, że AB = CD. Wówczas korzystając z nierówności trójkąta D 1 CD 3 otrzymujemy 2AB = CD 1 + CD 3 D 1 D 3 = 2AB, skąd wynika, że punkt C jest środkiem odcinka D 1 D 3. Dalej konkluzja jak w a). Załóżmy teraz, że mamy do czynienia z inną parą przeciwległych krawędzi równych, bez straty dla ogólności BC = AD. Punkt C z jednej strony musi leżeć na symetralnej odcinka D 1 D 3, a z drugiej na okręgu o środku B i promieniu równym AD. Nie może leżeć również po tej samej stronie prostej AB, co punkt D 2, a więc istnieje tylko jedno możliwe położenie punktu C. Z drugiej strony własność tę ma środek odcinka D 1 D 3, skąd wniosek, że punkt C musi się z nim pokrywać. Dalej tak samo jak w a). c) Możemy przyjąć, że suma kątów płaskich przy wierzchołku A jest równa 180, skąd wniosek, że punkt A jest środkiem odcinka D 1 D 2. Załóżmy najpierw, że AB = CD i AC = BD. Przyjmijmy, że P jest środkiem D 2 D 3 i Q jest środkiem D 1 D 3. Z przystawania trójkątów BAC i CD 3 B wynika, że środek odcinka BC pokrywa się ze środkiem odcinka AD 3. Punkt A jest środkiem odcinka D 1 D 2, więc środki odcinków P Q i AD 3 rownież się pokrywają. Czworokąt BP CQ musi być więc prostokątem (być może zdegenerowanym). Gdyby był niezdegenerowany, to BP CQ, co jest niemożliwe. Sprzeczność dowodzi, że B = P i C = Q, dalej rozumujemy, jak w a). Przyjmijmy teraz AD = BC i bez straty dla ogólności AB = CD. Czworokąt ABCD 1 jest równoległobokiem, skąd BC AD 1 AD 2. To wraz z BC = AD 2 oznacza, że czworokąt ACBD 2 też jest równoległobokiem, a więc BD = BD 2 = AC. 8. (UKR 1996) W czworościanie SABC zachodzą równości SAC + CAB = SBA, SAB + CAB = SCA, SB + SC = SA. Wyznaczyć miarę kąta między dwusiecznymi kątów płaskich ASB i ASC tego czworościanu. Rozwiązanie. Niech SP i SQ będą dwusiecznymi kątów płaskich ASB i ASC oraz niech SP = a, SQ = b, P Q = c. Rozetnijmy powierzchnię boczną czworościanu wzdłuż krawędzi SA, SB, SC. Otrzymamy sześciokąt AS 2 BS 3 CS 1 będący siatką tego czworościanu. Niech D będzie punktem przecięcia prostych S 2 B i S 1 C. Zachodzą równości AS 1 = AS 2, S 1 AB = S 1 AC + CAB = S 2 BA oraz S 2 AC = S 2 AB + BAC = S 1 CA, z których wynika, że czworokąt AS 2 DS 1 jest rombem. Punkty S 1, Q, P, S 2 leżą na przekątnej tego rombu. Niech S 2 B = x, zaś S 1 C = y. Wówczas z warunków zadania wynika, że AS 1 = AS 2 = x + y. 4

5 Korzystając z podobieństwa trójkątów AP S 1 i BP S 2 otrzymujemy a z podobieństwa trójkątów AQS 2 i CQS 1 Łącząc te dwie równości dostajemy a b + c = x x + y, b a + c = y x + y. a 2 + b 2 c 2 = ab, co na mocy twierdzenia cosinusów dla trójkąta SP Q oznacza, że P SQ = (OM 58-III-5) W czworościanie ABCD spełnione są zależności BAC + BDC = ABD + ACD, BAD + BCD = ABC + ADC. Udowodnić, że środek sfery opisanej na tym czworościanie leży na prostej przechodzącej przez środki krawędzi AB i CD. Rozwiązanie. Wykażemy najpierw na trzy sposoby, ze AC = BD i AD = BC. Sposób I Rozcinając powierzchnię czworościanu wzdłuż krawędzi AB, AC, AD otrzymamy sześciokąt A 1 BA 2 CA 3 D będący siatką czworościanu ABCD. Przepisując pierwszą z danych w treści zadania równości jako A 1 BD + A 3 CD = BDC + BA 2 C widzimy, że suma miar kątów A 1 BA 2 i A 2 CA 3 (traktowanych jako kąty wewnętrzne sześciokąta A 1 BA 2 CA 3 D, a zatem niekoniecznie wypukłych) jest równa sumie miar kątów wewnętrznych trójkątów BDC i BA 2 C, co daje (1) A 1 BA 2 + A 2 CA 3 = 360. Ponieważ BA 1 = BA 2 oraz CA 2 = CA 3 (gdyż odpowiednie odcinki pochodzą z rozklejenia jednej krawędzi czworościanu), więc na mocy równości (1) trójkąty równoramienne A 1 BA 2 i A 2 CA 3 są podobne (przy czym mogą być zdegenerowane do odcinka). Wobec tego (2) A 2 A 1 A 2 B = A 2A 3 A 2 C. Ponadto BA 2 A 1 = CA 2 A 3, przy czym oba kąty są jednakowo zorientowane, skąd otrzymujemy (3) BA 2 C = A 1 A 2 A 3. Z zależności (2) i (3) wynika, że trójkąty BA 2 C oraz A 1 A 2 A 3 są podobne. Analogicznie korzystając z drugiej równości danej w treści zadania dowodzimy, iż trójkąty A 1 BD i A 1 A 2 A 3 są podobne. Wobec tego podobne są trójkąty BA 2 C i A 1 BD; ze względu na równość A 1 B = BA 2 są one przystające. Zatem A 2 C = BD oraz BC = A 1 D. Sposób II Tym razem rozetnijmy powierzchnię czworościanu wzdłuż krawędzi AC, AD, BC. W wyniku tego otrzymamy sześciokąt A 1 C 1 BCAD będący siatką czworościanu ABCD (odcinki AB i C 1 D powstały z krawędzi czworościanu ABCD). Z pierwszej równości danej w założeniach zadania wynika, że BAC ABD = A 1 C 1 D BDC 1, co oznacza, że proste AC i A 1 C 1 są równoległe. Ponadto AC = A 1 C 1, więc czworokąt ACC 1 A 1 jest równoległobokiem. Korzystając teraz z drugiej równości danej w założeniach dostajemy BAD + BCD = ABC + ADC, lub ABC + ABD + C 1 BD + ADB + BDC 1 + A 1 DC 1 = 360. To oznacza, że trójkąty A 1 DA i C 1 BC (być może zdegenerowane) mają równe kąty przy wierzchołkach D i B i są jednakowo zorientowane. Ponadto są to trójkąty równoramienne o równych podstawach A 1 A i C 1 C, więc są 5

6 przystające. Teraz z równoległości C 1 C i A 1 A wynika, że czworokąt BCAD jest równoległobokiem, skąd BC = AD i AC = BD. Sposób III Rozpoczynamy tak samo, jak w sposobie II, czyli rozważamy sześciokąt A 1 C 1 BCAD będący siatką czworościanu ABCD. Analogicznie jak wyżej stwierdzamy, że czworokąt ACC 1 A 1 jest równoległobokiem. Obróćmy teraz czworokąt A 1 DBC 1 wokół punktu D tak, żeby punkt A 1 przeszedł na punkt A. Niech B 2 i C 2 będą obrazami punktów B i C 1. Korzystając teraz z drugiej zależności danej w treści zadania stwierdzimy, że proste BC i B 2 C 2 są równoległe. To wraz z równością długości odcinków BC i B 2 C 2 daje, że czworokąt BCC 2 B 2 jest równoległobokiem. Zauważmy, że punkt D jest punktem przecięcia symetralnych odcinków AA 1 i BB 2. Mamy wykazać, że BC = AD i AC = BD. Niech D będzie więc takim punktem na symetralnej odcinka AA 1, że czworokąt A 1 C 1 BD jest równoległobokiem (punkt D jest po prostu obrazem B w przesunięciu o wektor C 1 A 1 ). Wtedy D A = D A 1 = BC 1 = BC oraz BD = A 1 C 1 = AC i czworokąt BCAD też jest równoległobokiem. To w połaczeniu z tym, że BCC 2 B 2 również jest równoległobokiem oznacza, że AD = B 2 C 2 i AD B 2 C 2. W takim razie czworokąt D AC 2 B 2 jest równoległobokiem, skąd D B 2 = AC 2 = A 1 C 1 = BD. Punkt D jest więc punktem przecięcia się symetralnych odcinków AA 1 i BB 2, a wobec wcześniejszej obserwacji D = D. Stąd i z określenia punktu D wnioskujemy, że BC = AD i AC = BD. Niech teraz punkty M, N będą odpowiednio środkami krawędzi AB, CD w czworościanie ABCD. Wobec równości AC = BD i AD = BC trójkąty BDC i ACD są przystające. Wobec tego odcinki BN i AN, będące odpowiednio środkowymi w tych trójkątach, mają równe długości. Innymi słowy, AN = BN, zatem w trójkącie równoramiennym ANB środkowa NM jest prostopadła do boku AB. Analogicznie rozpatrując trójkąt CMD dowodzimy, że M N CD. Prosta M N jest więc krawędzią przecięcia płaszczyzn symetralnych krawędzi AB i CD czworościanu ABCD. Środek sfery opisanej na czworościanie leży na każdej z tych płaszczyzn, zatem leży na prostej MN, co dowodzi tezy zadania. 6

Czworościany ortocentryczne zadania

Czworościany ortocentryczne zadania Czworościany ortocentryczne zadania 1. Wykazać, że nastepujące warunki są równoważne: a) istnieje przecięcie wysokości czworościanu, b) przeciwległe krawędzie są prostopadłe, c) sumy kwadratów długości

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia z Geometrii I, czerwiec 2006 r.

Ćwiczenia z Geometrii I, czerwiec 2006 r. Waldemar ompe echy przystawania trójkątów 1. unkt leży na przekątnej kwadratu (rys. 1). unkty i R są rzutami prostokątnymi punktu odpowiednio na proste i. Wykazać, że = R. R 2. any jest trójkąt ostrokątny,

Bardziej szczegółowo

Zbiór zadań z geometrii przestrzennej. Michał Kieza

Zbiór zadań z geometrii przestrzennej. Michał Kieza Zbiór zadań z geometrii przestrzennej Michał Kieza Zbiór zadań z geometrii przestrzennej Michał Kieza Wydawca: Netina Sp. z o.o. ISN 978-83-7521-522-9 c 2015, Wszelkie Prawa Zastrzeżone Zabrania się modyfikowania

Bardziej szczegółowo

VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa, test próbny www.omg.edu.pl (wrzesień 2011 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Liczba krawędzi pewnego ostrosłupa jest o

Bardziej szczegółowo

Trójkąty Zad. 0 W trójkącie ABC, AB=40, BC=23, wyznacz AC wiedząc że jest ono sześcianem liczby naturalnej.

Trójkąty Zad. 0 W trójkącie ABC, AB=40, BC=23, wyznacz AC wiedząc że jest ono sześcianem liczby naturalnej. C Trójkąty Zad. 0 W trójkącie ABC, AB=40, BC=23, wyznacz AC wiedząc że jest ono sześcianem liczby naturalnej. Zad. 1 Oblicz pole trójkąta o bokach 13 cm, 14 cm, 15cm. Zad. 2 W trójkącie ABC rys. 1 kąty

Bardziej szczegółowo

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1 PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1 Planimetria to dział geometrii, w którym przedmiotem badań są własności figur geometrycznych leżących na płaszczyźnie (patrz określenie płaszczyzny). Pojęcia

Bardziej szczegółowo

Zadania, które zaproponowałem na różne konkursy Olimpiada Matematyczna. bc(b 3 + c 3 ) + c4 + a 4. ca(c 3 + a 3 ) 1. c + ca + cab 1 ( 1

Zadania, które zaproponowałem na różne konkursy Olimpiada Matematyczna. bc(b 3 + c 3 ) + c4 + a 4. ca(c 3 + a 3 ) 1. c + ca + cab 1 ( 1 Zadania, które zaproponowałem na różne konkursy Olimpiada Matematyczna. (57-II-3) Liczby dodatnie a, b, c spełniają warunek ab + bc + ca = abc. Dowieść, że a 4 + b 4 ab(a 3 + b 3 ) + b4 + c 4 bc(b 3 +

Bardziej szczegółowo

Pytania do spr / Własności figur (płaskich i przestrzennych) (waga: 0,5 lub 0,3)

Pytania do spr / Własności figur (płaskich i przestrzennych) (waga: 0,5 lub 0,3) Pytania zamknięte / TEST : Wybierz 1 odp prawidłową. 1. Punkt: A) jest aksjomatem in. pewnikiem; B) nie jest aksjomatem, bo można go zdefiniować. 2. Prosta: A) to zbiór punktów; B) to zbiór punktów współliniowych.

Bardziej szczegółowo

2. Wykaż, że dla dowolnej wartości zmiennej x wartość liczbowa wyrażenia (x 6)(x + 8) 2(x 25) jest dodatnia.

2. Wykaż, że dla dowolnej wartości zmiennej x wartość liczbowa wyrażenia (x 6)(x + 8) 2(x 25) jest dodatnia. 1. Wykaż, że liczba 2 2 jest odwrotnością liczby 1 2. 2. Wykaż, że dla dowolnej wartości zmiennej x wartość liczbowa wyrażenia (x 6)(x + 8) 2(x 25) jest dodatnia. 3. Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej

Bardziej szczegółowo

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 3

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 3 DEFINICJE PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 3 Czworokąt to wielokąt o 4 bokach i 4 kątach. Przekątną czworokąta nazywamy odcinek łączący przeciwległe wierzchołki. Wysokością czworokąta nazywamy

Bardziej szczegółowo

Wielokąty na płaszczyźnie obliczenia z zastosowaniem trygonometrii

Wielokąty na płaszczyźnie obliczenia z zastosowaniem trygonometrii Wielokąty na płaszczyźnie obliczenia z zastosowaniem trygonometrii Obliczenia geometryczne z zastosowaniem własności funkcji trygonometrycznych w wielokątach wypukłych Wielokąt - figura płaską będąca sumą

Bardziej szczegółowo

X Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

X Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów www.omg.edu.pl X Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna (10 listopada 01 r. 15 grudnia 01 r.) Szkice rozwiązań zadań konkursowych 1. nia rozmieniła banknot

Bardziej szczegółowo

Podstawowe pojęcia geometryczne

Podstawowe pojęcia geometryczne PLANIMETRIA Podstawowe pojęcia geometryczne Geometria (słowo to pochodzi z języka greckiego i oznacza mierzenie ziemi) jest jednym z działów matematyki, którego przedmiotem jest badanie figur geometrycznych

Bardziej szczegółowo

Matematyka podstawowa VII Planimetria Teoria

Matematyka podstawowa VII Planimetria Teoria Matematyka podstawowa VII Planimetria Teoria 1. Rodzaje kątów: a) Kąty wierzchołkowe; tworzą je dwie przecinające się proste, mają takie same miary. b) Kąty przyległe; mają wspólne jedno ramię, ich suma

Bardziej szczegółowo

Elżbieta Świda Elżbieta Kurczab Marcin Kurczab. Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi na dowodzenie na obowiązkowej maturze z matematyki

Elżbieta Świda Elżbieta Kurczab Marcin Kurczab. Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi na dowodzenie na obowiązkowej maturze z matematyki Elżbieta Świda Elżbieta Kurczab Marcin Kurczab Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi na dowodzenie na obowiązkowej maturze z matematyki Zadanie Trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym. Z punktu M, należącego

Bardziej szczegółowo

LXIII Olimpiada Matematyczna

LXIII Olimpiada Matematyczna 1 Zadanie 1. LXIII Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 17 lutego 2012 r. (pierwszy dzień zawodów) Rozwiązać w liczbach rzeczywistych a, b, c, d układ równań a

Bardziej szczegółowo

Odległośc w układzie współrzędnych. Środek odcinka.

Odległośc w układzie współrzędnych. Środek odcinka. GEOMETRIA ANALITYCZNA ZADANIA. Odległośc w układzie współrzędnych. Środek odcinka. Zad. 1 Wyznacz odległość między punktami A i B (długość odcinka AB) jeżeli: d = Zad. 2 a) A=(5,-3) B=(-2,3) b) A=(-2,2)

Bardziej szczegółowo

Cztery punkty na okręgu

Cztery punkty na okręgu Tomasz Szymczyk V LO w ielsku-iałej ztery punkty na okręgu Przydatne fakty: (1) kąty wpisane w okrąg oparte na łukach przystających są równe, (2) czworokąt jest wpisany w okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy

Bardziej szczegółowo

Zadania na dowodzenie Opracowała: Ewa Ślubowska

Zadania na dowodzenie Opracowała: Ewa Ślubowska Egzamin Gimnazjalny Zadania na dowodzenie Opracowała: Ewa Ślubowska W nauczaniu matematyki ważne jest rozwijanie różnych aktywności umysłu. Ma temu służyć min. rozwiązywanie jednego zadania czy dowodzenie

Bardziej szczegółowo

Mini tablice matematyczne. Figury geometryczne

Mini tablice matematyczne. Figury geometryczne Mini tablice matematyczne Figury geometryczne Spis treści Własności kwadratu Ciekawostka:Kwadrat magiczny Prostokąt Własności prostokąta Trapez Własności trapezu Równoległobok Własności równoległoboku

Bardziej szczegółowo

Geometria. Rodzaje i własności figur geometrycznych:

Geometria. Rodzaje i własności figur geometrycznych: Geometria Jest jednym z działów matematyki, którego przedmiotem jest badanie figur geometrycznych i zależności między nimi. Figury geometryczne na płaszczyźnie noszą nazwę figur płaskich, w przestrzeni

Bardziej szczegółowo

10. Elementy kombinatoryki geometrycznej: suma kątów wielokąta,

10. Elementy kombinatoryki geometrycznej: suma kątów wielokąta, 10. Elementy kombinatoryki geometrycznej: suma kątów wielokąta, liczba przekątnych wielokąta, porównywanie pól wielokątów w oparciu o proste zależności geometryczne jak np. przystawanie i zawieranie, rozpoznawanie

Bardziej szczegółowo

V Konkurs Matematyczny Politechniki Białostockiej

V Konkurs Matematyczny Politechniki Białostockiej V Konkurs Matematyczny Politechniki iałostockiej Rozwiązania - klasy pierwsze 27 kwietnia 2013 r. 1. ane są cztery liczby dodatnie a b c d. Wykazać że przynajmniej jedna z liczb a + b + c d b + c + d a

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA DLA CIEKAWSKICH. Dowodzenie twierdzeń przy pomocy kartki. Część I

MATEMATYKA DLA CIEKAWSKICH. Dowodzenie twierdzeń przy pomocy kartki. Część I MATEMATYKA DLA CIEKAWSKICH Dowodzenie twierdzeń przy pomocy kartki. Część I Z trójkątem, jako figurą geometryczną, uczeń spotyka się już na etapie nauczania początkowego. W czasie dalszego procesu kształcenia

Bardziej szczegółowo

ZADANIA NA DOWODZENIE GEOMETRIA, cz. II Wojciech Guzicki

ZADANIA NA DOWODZENIE GEOMETRIA, cz. II Wojciech Guzicki ZNI N OWOZNI GOMTRI, cz. II Wojciech Guzicki W arkuszach maturalnych w ostatnich dwóch latach znalazły się zadania geometryczne na dowodzenie. Za poprawne rozwiązanie takiego zadania w arkuszu podstawowymzdającymógłotrzymać2pkt,warkuszurozszerzonym4pktlub3pkt.przy

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA WYDZIAŁ MATEMATYKI - TEST 1

MATEMATYKA WYDZIAŁ MATEMATYKI - TEST 1 Wszelkie prawa zastrzeżone. Rozpowszechnianie, wypożyczanie i powielanie niniejszych testów w jakiejkolwiek formie surowo zabronione. W przypadku złamania zakazu mają zastosowanie przepisy dotyczące naruszenia

Bardziej szczegółowo

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Zadania rozwiązali: Przykładowe rozwiązania zadań Próbnej Matury 014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Małgorzata Zygora-nauczyciel matematyki w II Liceum Ogólnokształcącym w Inowrocławiu Mariusz Walkowiak-nauczyciel

Bardziej szczegółowo

a) Wykaż, że przekształcenie P jest izometrią b) W prostokątnym układzie współrzędnych narysuj trójkąt o wierzchołkach A ( 1;2)

a) Wykaż, że przekształcenie P jest izometrią b) W prostokątnym układzie współrzędnych narysuj trójkąt o wierzchołkach A ( 1;2) ZESTAW I R Zad (3 pkt) Suma pierwiastków trójmianu a, c R R trójmianu jest równa 8 y ax bx c jest równa log c log a, gdzie Uzasadnij, że odcięta wierzchołka paraboli będącej wykresem tego a c Zad (7 pkt)

Bardziej szczegółowo

ZADANIA NA DOWODZENIE GEOMETRIA CZ. 1

ZADANIA NA DOWODZENIE GEOMETRIA CZ. 1 Projekt współfinansowany ze środków Unii uropejskiej w ramach uropejskiego Funduszu Społecznego. ZNI N OWOZNI GOMTRI Z. 1 utor: Wojciech Guzicki Materiały konferencyjne Wrzesień 010 entralna Komisja gzaminacyjna

Bardziej szczegółowo

ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY ZADANIA ZAMKNIĘTE

ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY ZADANIA ZAMKNIĘTE ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY ZADANIA ZAMKNIĘTE Zad.1. (1p) Liczba 3 30 9 90 jest równa: A. 3 210 B. 3 300 C. 9 120 D. 27 2700 Zad.2. (1p) Liczba 3 8 3 3 9 2 jest równa: A. 3

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i przykładowe rozwiązania zadań otwartych

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i przykładowe rozwiązania zadań otwartych Centralna Komisja Egzaminacyjna Materiał współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Próbny egzamin maturalny z matematyki listopad 009 Klucz odpowiedzi do

Bardziej szczegółowo

Test kwalifikacyjny na I Warsztaty Matematyczne

Test kwalifikacyjny na I Warsztaty Matematyczne Test kwalifikacyjny na I Warsztaty Matematyczne Na pytania odpowiada się tak lub nie poprzez wpisanie odpowiednio T bądź N w pole obok pytania. W danym trzypytaniowym zestawie możliwa jest dowolna kombinacja

Bardziej szczegółowo

Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy

Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych zad 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 odp A C C C A A B B C B D A 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 C C A B A D C B

Bardziej szczegółowo

Odkrywanie twierdzeń geometrycznych przy pomocy komputera

Odkrywanie twierdzeń geometrycznych przy pomocy komputera Odkrywanie twierdzeń geometrycznych przy pomocy komputera Andrzej Sendlewski WMiI UMK Koło Matematyczne 15 maja 2010 DGS programy komputerowe CINDERELLA ver. 1.4, ver. 2.0 (komercyjna) Circle & Ruler (R.

Bardziej szczegółowo

LVII Olimpiada Matematyczna

LVII Olimpiada Matematyczna LVII Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia pierwszego (12 września 2005 r 5 grudnia 2005 r) Zadanie 1 Wyznaczyć wszystkie nieujemne liczby całkowite n, dla których liczba

Bardziej szczegółowo

Konkurs matematyczny im. Samuela Chróścikowskiego

Konkurs matematyczny im. Samuela Chróścikowskiego Konkurs matematyczny im. Samuela Chróścikowskiego Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa w Chełmie 13 marzec 2008 Imię i nazwisko:... Szkoła:... Wyrażam zgodę na przetwarzanie moich danych osobowych w zakresie

Bardziej szczegółowo

II Warsztaty Matematyczne w I LO

II Warsztaty Matematyczne w I LO II Warsztaty Matematyczne w I LO Geometria Zadania konkursowe + niektóre rozwiązania 22 24września2008r. Dzień 1, Grupa młodsza Czas: 100 minut Zadanie1.(5p.)WtrójkątKLMwpisujemyokrągośrodkuS,stycznydobokówKLiKModpowiedniowpunktachPiQ.PunktKjestśrodkiemodcinkaPR(jesttodefinicjapunktuR).Wykazać,

Bardziej szczegółowo

Test, dzień pierwszy, grupa młodsza

Test, dzień pierwszy, grupa młodsza Test, dzień pierwszy, grupa młodsza 1. Na połowinkach 60 procent wszystkich uczniów to dziewczyny. Impreza jest kiepska, bo tylko 40 procent wszystkich uczniów chce się tańczyć. Sytuacja poprawia sie odrobinę,

Bardziej szczegółowo

Internetowe Kółko Matematyczne

Internetowe Kółko Matematyczne Internetowe Kółko Matematyczne http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/ Zadania dla szkoły średniej Zestaw I ( X 2002) Zadanie. Niech n będzie dowolną liczbą naturalną. Udowodnij, że suma + 4 + 4 2 + 4 3 +...

Bardziej szczegółowo

ZADANIA MATURALNE STEREOMETRIA POZIOM PODSTAWOWY Opracowała mgr Danuta Brzezińska

ZADANIA MATURALNE STEREOMETRIA POZIOM PODSTAWOWY Opracowała mgr Danuta Brzezińska ZADANIA MATURALNE STEREOMETRIA POZIOM PODSTAWOWY Opracowała mgr Danuta Brzezińska Zad.1. ( 5 pkt) Objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego, o długości krawędzi podstawy 6 cm, jest równa cm 3. Oblicz

Bardziej szczegółowo

2.Piszemy równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty P i S

2.Piszemy równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty P i S Zadanie 1. Napisz równanie prostej przechodzącej przez punkt odcinka o koocach M N. Rozwiązanie - 1 sposób 1.Znajdujemy współrzędne punktu S będącego środkiem odcinka MN: oraz środek 2.Piszemy równanie

Bardziej szczegółowo

Międzyszkolne Zawody Matematyczne Klasa I LO i I Technikum - zakres podstawowy Etap wojewódzki 02.04.2005 rok Czas rozwiązywania zadań 150 minut

Międzyszkolne Zawody Matematyczne Klasa I LO i I Technikum - zakres podstawowy Etap wojewódzki 02.04.2005 rok Czas rozwiązywania zadań 150 minut Klasa I - zakres podstawowy Etap wojewódzki 17.04.004 rok Zad 1 ( 6 pkt) Znajdź wszystkie liczby czterocyfrowe podzielne przez 15, w których cyfrą tysięcy jest jeden, a cyfrą dziesiątek dwa. Odpowiedź

Bardziej szczegółowo

PODSTAWOWE KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE

PODSTAWOWE KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE PODSTAWOWE KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE Dane będę rysował na czarno. Różne etapy konstrukcji kolorami: (w kolejności) niebieskim, zielonym, czerwonym i ewentualnie pomarańczowym i jasnozielonym. 1. Prosta

Bardziej szczegółowo

3 zawartości szklanki obliczył, że w pozostałej

3 zawartości szklanki obliczył, że w pozostałej Klasa I - zakres podstawowy Etap rejonowy 07.0.004 rok Zadanie 1 ( pkt ) Uzasadnij, że 7 50 : 81 37 jest liczbą większą od 8. Zadanie ( pkt ) Spośród 40 uczniów pewnej klasy 17 gra w szachy, 1 w brydża,

Bardziej szczegółowo

Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e

Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej Zestaw 3 szkice rozwiązań zadań 1. Plansza do gry składa się z 15 ustawionych w rzędzie kwadratów. Pierwszy z graczy

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA DLA CIEKAWSKICH

MATEMATYKA DLA CIEKAWSKICH MATEMATYKA DLA CIEKAWSKICH Dowodzenie twierdzeń przy pomocy kartki. Część II Na rysunku przedstawiony jest obszar pewnego miasta wraz z zaznaczonymi szkołami podstawowymi. Wyobraźmy sobie, że mamy przydzielić

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IIA I IID WRAZ Z PRZYKŁADOWYMI ZADANIAMI ROK SZKOLNY 2013/2014

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IIA I IID WRAZ Z PRZYKŁADOWYMI ZADANIAMI ROK SZKOLNY 2013/2014 ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IIA I IID WRAZ Z PRZYKŁADOWYMI ZADANIAMI ROK SZKOLNY 013/014 WIELOMIANY Tematyka: Wielomiany jednej zmiennej rzeczywistej Dodawanie, odejmowanie

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Matematyka

Spis treści. Matematyka ACE aktywna, kreatywna i przedsiębiorcza młodzież innowacyjne programy kształcenia w obrębie przedsiębiorczości i ekonomii Priorytet III Działanie 3.3 Poprawa jakości kształcenia, Poddziałanie 3.3.4 Modernizacja

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć. Kształcenie w zakresie podstawowym.

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć. Kształcenie w zakresie podstawowym. Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne Matematyka. Poznać, zrozumieć Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 2 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego

Bardziej szczegółowo

3 D. Wymagania ogólne II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Zdający używa prostych, dobrze znanych obiektów matematycznych.

3 D. Wymagania ogólne II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Zdający używa prostych, dobrze znanych obiektów matematycznych. Przykładowe zadania z rozwiązaniami: poziom podstawowy. Przykładowe zadania z matematyki na poziomie podstawowym wraz z rozwiązaniami Zadanie. (0 ) Liczba 8 9 jest równa A. B. 9 C. D. 5. Zdający oblicza

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI SIERPIEŃ 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI SIERPIEŃ 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 00 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY SIERPIEŃ 2014. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY SIERPIEŃ 2014. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 03 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Instrukcja

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań. Arkusz maturalny z matematyki nr 1 POZIOM PODSTAWOWY

Rozwiązania zadań. Arkusz maturalny z matematyki nr 1 POZIOM PODSTAWOWY Rozwiązania zadań Arkusz maturalny z matematyki nr POZIOM PODSTAWOWY Zadanie (pkt) Sposób I Skoro liczba jest środkiem przedziału, więc odległość punktu x od zapisujemy przy pomocy wartości bezwzględnej.

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy II gimnazjum wg programu Matematyka z plusem

Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy II gimnazjum wg programu Matematyka z plusem Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy II gimnazjum wg programu Matematyka z plusem pojęcie potęgi o wykładniku naturalnym wzór na mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach wzór na potęgowanie

Bardziej szczegółowo

ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska. 2 3x. 2. Sformułuj odpowiedź.

ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska. 2 3x. 2. Sformułuj odpowiedź. ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska Zad.1. (5 pkt) Sprawdź, czy funkcja określona wzorem x( x 1)( x ) x 3x dla x 1 i x dla x 1 f ( x) 1 3 dla

Bardziej szczegółowo

KRZYŻÓWKA 2. 11. Może być np. równoboczny lub rozwartokątny. Jego pole to a b HASŁO:

KRZYŻÓWKA 2. 11. Może być np. równoboczny lub rozwartokątny. Jego pole to a b HASŁO: KRZYŻÓWKA.Wyznaczają ją dwa punkty.. Jego pole to π r² 3. Jego pole to a a 4.Figura przestrzenna, której podstawą jest dowolny wielokąt, a ściany boczne są trójkątami o wspólnym wierzchołku. 5.Prosta mająca

Bardziej szczegółowo

MATURA 2012. Przygotowanie do matury z matematyki

MATURA 2012. Przygotowanie do matury z matematyki MATURA 01 Przygotowanie do matury z matematyki Część IX: Stereometria ROZWIĄZANIA Powtórka jest organizowana przez redaktorów portalu MatmaNa.pl we współpracy z dziennikarzami Gazety Lubuskiej. Witaj,

Bardziej szczegółowo

Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 2013

Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 2013 Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 013 3.4.1 Inwersja względem okręgu. Inwersja względem okręgu jest przekształceniem płaszczyzny

Bardziej szczegółowo

Zad. 1 Korzystając z rysunku oblicz długość odcinka OA, jeśli CD=4, AB=5, OC=8

Zad. 1 Korzystając z rysunku oblicz długość odcinka OA, jeśli CD=4, AB=5, OC=8 Testy do gimnazjum Jednokładność, podobieństwo, twierdzenie Talesa. Test dla klasy III Przekształcenia geometryczne. Grupa I Zad. Korzystając z rysunku oblicz długość odcinka OA, jeśli CD=4, AB=5, OC=

Bardziej szczegółowo

Planimetria 1 12 godz.

Planimetria 1 12 godz. Planimetria 1 1 godz. Funkcje trygonometryczne kąta ostrego 1 definicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego wartości funkcji trygonometrycznych kątów 30º, 45º, 60º Trygonometria zastosowania Rozwiązywanie

Bardziej szczegółowo

Zadania przygotowawcze do Regionalnego Konkursu Matematycznego dla klas pierwszych szkół ponadgimnazjalnych maj 2015. Zestaw I.

Zadania przygotowawcze do Regionalnego Konkursu Matematycznego dla klas pierwszych szkół ponadgimnazjalnych maj 2015. Zestaw I. dla klas pierwszych szkół ponadgimnazjalnych maj 05 Zestaw I Zad.. Dla jakich całkowitych liczb n, liczba postaci całkowitych? n n n również należy do zbioru liczb Zad.. Wyznacz wszystkie liczby całkowite

Bardziej szczegółowo

5 n jest podzielna przez 2 2 1010 1. n=0

5 n jest podzielna przez 2 2 1010 1. n=0 TEKSTY ZADAŃ Zawody stopnia pierwszego 1. Rozwiązać w liczbach rzeczywistych równanie x x+2 + x+4 x+6 +... x+998 = = x+1 x+3 + x+5 x+7 +... x+999. 2. Na bokach AB i AC trójkąta ABC zbudowano, po jego zewnętrznej

Bardziej szczegółowo

DZIAŁ I: LICZBY I DZIAŁANIA Ocena dostateczna. Ocena dobra. Ocena bardzo dobra (1+2) (1+2+3+4) Uczeń: (1+2+3) Uczeń: określone warunki

DZIAŁ I: LICZBY I DZIAŁANIA Ocena dostateczna. Ocena dobra. Ocena bardzo dobra (1+2) (1+2+3+4) Uczeń: (1+2+3) Uczeń: określone warunki MATEMATYKA KLASA I I PÓŁROCZE -wyróżnia liczby naturalne, całkowite, wymierne -zna kolejność wykonywania działań -rozumie poszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne -porównuje liczby wymierne -zaznacza

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2013 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2013 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 010 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN

Bardziej szczegółowo

Arkusz 1. I Ty możesz zostać Pitagorasem. Próbny arkusz egzaminacyjny z matematyki dla gimnazjalistów. Styczeń 2014

Arkusz 1. I Ty możesz zostać Pitagorasem. Próbny arkusz egzaminacyjny z matematyki dla gimnazjalistów. Styczeń 2014 I Ty możesz zostać itagorasem róbny arkusz egzaminacyjny z matematyki dla gimnazjalistów Arkusz 1 Styczeń 2014 Liczba punktów 29, czas pracy 90min mgr Iwona Tlałka I Ty możesz zostać itagorasem próbny

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 010 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI poziom rozszerzony

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI poziom rozszerzony Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony 1 PRÓNY EGZMIN MTURLNY Z MTEMTYKI poziom rozszerzony ZNI ZMKNIĘTE W każdym z zadań 1.. wybierz i zaznacz jedną poprawną odpowiedź. Zadanie 1. (0

Bardziej szczegółowo

Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... Rozwiązania zadań. Matematyka dla liceum ogólnokształcącego i technikum w zakresie podstawowym i rozszerzonym

Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... Rozwiązania zadań. Matematyka dla liceum ogólnokształcącego i technikum w zakresie podstawowym i rozszerzonym Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE Rozwiązania zadań Matematyka dla liceum ogólnokształcącego i technikum w zakresie podstawowym i rozszerzonym Miejski Ośrodek Doskonalenia Nauczycieli w Opolu Publiczne Liceum

Bardziej szczegółowo

MAJ 2014. Czas pracy: 170 minut. do uzyskania: Miejsce na naklejkę z kodem PESEL KOD. punktów. pióra z czarnym tuszem. liczby. cyrkla.

MAJ 2014. Czas pracy: 170 minut. do uzyskania: Miejsce na naklejkę z kodem PESEL KOD. punktów. pióra z czarnym tuszem. liczby. cyrkla. Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 03 WPISUJE ZDAJĄCY KOD PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM

Bardziej szczegółowo

Tydzień I Liczby naturalne w dziesiątkowym systemie pozycyjnym... Tydzień II Działania na liczbach naturalnych... Tydzień III Powtórzenie...

Tydzień I Liczby naturalne w dziesiątkowym systemie pozycyjnym... Tydzień II Działania na liczbach naturalnych... Tydzień III Powtórzenie... Spis treści Liczby naturalne i działania Tydzień I Liczby naturalne w dziesiątkowym systemie pozycyjnym... Tydzień II Działania na liczbach naturalnych... Tydzień III Powtórzenie... Geometria Tydzień IV

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 2015 WPISUJE ZDAJĄCY KOD PESEL miejsce na naklejkę dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY PRZYKŁADOWY

Bardziej szczegółowo

Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON.

Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Zadanie 6. Dane są punkty A=(5; 2); B=(1; -3); C=(-2; -8). Oblicz odległość punktu A od prostej l przechodzącej

Bardziej szczegółowo

MATERIAŁ ĆWICZENIOWY Z MATEMATYKI

MATERIAŁ ĆWICZENIOWY Z MATEMATYKI Materiał ćwiczeniowy zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia diagnozy. Materiał ćwiczeniowy chroniony jest prawem autorskim. Materiału nie należy powielać ani udostępniać w żadnej innej

Bardziej szczegółowo

Kryteria oceniania z matematyki w klasie pierwszej w roku szkolnym 2015/2016

Kryteria oceniania z matematyki w klasie pierwszej w roku szkolnym 2015/2016 Kryteria oceniania z matematyki w klasie pierwszej w roku szkolnym 2015/2016 1) Liczby - zamienia liczby dziesiętne skończone na ułamki zwykłe i liczby mieszane, - zapisuje ułamek zwykły w postaci ułamka

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2010 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2010 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 200 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem EGZAMIN MATURALNY

Bardziej szczegółowo

Zadanie 2. (0 1) Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F jeśli jest fałszywe.

Zadanie 2. (0 1) Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F jeśli jest fałszywe. Strona 1 z 12 liczba osób Informacje do zadań 1. i 2. W dwóch dziesięcioosobowych grupach uczniów przeprowadzono test sprawności notując czas (w sekundach) wykonywania ćwiczenia. Wyniki przedstawia poniższy

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne klasa 1

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne klasa 1 Matematyka Liczy się matematyka Klasa klasa Rozdział. Liczby zamienia liczby dziesiętne skończone na ułamki zwykłe i liczby mieszane zapisuje ułamek zwykły w postaci ułamka dziesiętnego skończonego porównuje

Bardziej szczegółowo

LXV Olimpiada Matematyczna

LXV Olimpiada Matematyczna Zadanie 1. LXV Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia pierwszego (1 września 2013 r. 4 grudnia 2013 r.) Wykazać, że jeśli liczby całkowite a, b, c spełniają równanie (a+3)

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera

Bardziej szczegółowo

Tablice matematyczne dla gimnazjum

Tablice matematyczne dla gimnazjum 1 3. Wyrażenia algebraiczne Wyrażenie algebraiczne kilka zmiennych (liter) i/lub stałych (liczb )połączonych ze sobą znakami działań i nawiasami Może to być także pojedyncza liczba lub litera. Przyjmuje

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY 1. FUNKCJA KWADRATOWA rysuje wykres funkcji i podaje jej własności sprawdza algebraicznie, czy dany punkt należy

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 014/015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY PRZYKŁADOWY ZESTAW ZADAŃ DLA OSÓB SŁABOSŁYSZĄCYCH (A3) W czasie trwania egzaminu zdający może korzystać z zestawu wzorów matematycznych,

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY I GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY I GIMNAZJUM WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY I GIMNAZJUM LICZBY I DZIAŁANIA zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne umie zaznaczać liczbę

Bardziej szczegółowo

KONKURS MATEMATYCZNY DLA UCZNIÓW GIMNAZJUM ETAP SZKOLNY

KONKURS MATEMATYCZNY DLA UCZNIÓW GIMNAZJUM ETAP SZKOLNY ...................................... pieczątka nagłówkowa szkoły kod pracy ucznia KONKURS MATEMATYCZNY DLA UCZNIÓW GIMNAZJUM ETAP SZKOLNY Drogi Uczniu Witaj na I etapie konkursu matematycznego. Przeczytaj

Bardziej szczegółowo

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy

Bardziej szczegółowo

PAPIEROWE ZABAWY GEOMETRYCZNE

PAPIEROWE ZABAWY GEOMETRYCZNE ZUZANNA CYUNEL MAREK ŁOBAZIEWICZ z klasy 4a PAPIEROWE ZABAWY GEOMETRYCZNE ODWZOROWANIE FIGUR GEOMETRYCZNYCH BEZ UŻYCIA PRZYRZĄDÓW praca wykonana pod kierunkiem mgr Piotra Dylewskiego Szkoła Podstawowa

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych ocen śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z matematyki klasa 1 gimnazjum

Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych ocen śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z matematyki klasa 1 gimnazjum edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych ocen śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z matematyki klasa 1 gimnazjum Semestr I Stopień Rozdział 1. Liczby Zamienia liczby dziesiętne na ułamki

Bardziej szczegółowo

Szkoła Podstawowa. Uczymy się dowodzić. Opracowała: Ewa Ślubowska. ewa.slubowska@wp.pl

Szkoła Podstawowa. Uczymy się dowodzić. Opracowała: Ewa Ślubowska. ewa.slubowska@wp.pl Szkoła Podstawowa Uczymy się dowodzić Opracowała: Ewa Ślubowska ewa.slubowska@wp.pl PODSTAWA PROGRAMOWA PRZEDMIOTU MATEMATYKA II etap edukacyjny: klasy IV VI I. Sprawność rachunkowa. Uczeń wykonuje proste

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJN KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJN KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM Na ocenę dopuszczającą uczeń umie : WYMAGANIA EDUKACYJN KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM stosować cztery podstawowe działania na liczbach wymiernych, zna kolejność wykonywania działań

Bardziej szczegółowo

Bukiety matematyczne dla szkoły podstawowej http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/

Bukiety matematyczne dla szkoły podstawowej http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/ Bukiety matematyczne dla szkoły podstawowej http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/ 12 IX rok 2003/2004 Bukiet 1 O pewnych liczbach A, B i C wiadomo, że: A + B = 32, B + C = 40, C + A = 26. 1. Ile wynosi A

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE - MATEMATYKA KLASA I GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJNE - MATEMATYKA KLASA I GIMNAZJUM WYMAGANIA EDUKACYJNE - MATEMATYKA KLASA I GIMNAZJUM na rok szkolny 2014/2015 Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny: (na każdą wyższą ocenę obowiązują również wiadomości na oceny niższe oraz wiadomości

Bardziej szczegółowo

Szczegółowe wymagania edukacyjne na poszczególne oceny dla klasy I gimnazjum

Szczegółowe wymagania edukacyjne na poszczególne oceny dla klasy I gimnazjum Szczegółowe wymagania edukacyjne na poszczególne oceny dla klasy I gimnazjum POZIOMY WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH: K konieczny ocena dopuszczająca DZIAŁ 1. LICZBY I DZIAŁANIA pojęcie liczby naturalnej, całkowitej,

Bardziej szczegółowo

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy

Bardziej szczegółowo

Dopuszczający Dostateczny Dobry Bardzo dobry Celujący

Dopuszczający Dostateczny Dobry Bardzo dobry Celujący Liczby i wyrażenia zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej zna pojęcie liczby niewymiernej, rzeczywistej zna sposób zaokrąglania liczb umie zapisać i odczytać liczby naturalne dodatnie w systemie

Bardziej szczegółowo

GRANIASTOSŁUPY. Graniastosłupy dzielimy na proste i pochyłe. W graniastosłupach prostych krawędzie są prostopadłe do podstaw, w pochyłych nie są.

GRANIASTOSŁUPY. Graniastosłupy dzielimy na proste i pochyłe. W graniastosłupach prostych krawędzie są prostopadłe do podstaw, w pochyłych nie są. GRANIASTOSŁUPY Euklides (365-300 p.n.e.) słynny grecki matematyk i fizyk. Jego najwybitniejsze dzieło Elementy składało się z trzynastu ksiąg, z czego trzy ostatnie księgi dotyczą geometrii przestrzennej:

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie Cevy. Na drugim z rysunków będących ilustracjami twierdzenia widać, iż punkt przecięcia się prostych O może leżeć poza trójkątem.

Twierdzenie Cevy. Na drugim z rysunków będących ilustracjami twierdzenia widać, iż punkt przecięcia się prostych O może leżeć poza trójkątem. Gimnazjum nr 17 im. Artura Grottgera w Krakowie ul. Litewska 34, 30-014 Kraków, tel. (12) 633-59-12 Twierdzenie Cevy, odwrotne do niego i ich zastosowania Ewelina Wszołek, Marcin Kowalski opiekun pracy:

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne Matematyka. Poznać, zrozumieć Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 3 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2013 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2013 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 2010 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN

Bardziej szczegółowo

Scenariusz lekcji matematyki w kl. V.

Scenariusz lekcji matematyki w kl. V. Scenariusz lekcji matematyki w kl. V. T em a t : Powtórzenie wiadomości o czworokątach. C z a s z a jęć: 1 jednostka lekcyjna (45 minut). C e l e o g ó l n e : utrwalenie wiadomości o figurach geometrycznych

Bardziej szczegółowo