Matematyka ubezpieczeń maj atkowych i osobowych (MUMIO)

Transkrypt

1 Matematyka ubezpieczeń maj atkowych i osobowych (MUMIO) Ryszard Szekli WYKŁAD (Uniwersytet Wrocławski -2012/2013)

2 2

3 Rozdział 1 Rozkłady wielkości portfela Portfel: X = {X 1,..., X N } zmienne niezależne o jednakowych rozkładach S N = X X N zawartość portfela Portfel prosty, gdy N jest ustaloną liczbą naturalną Portfel złożonym, gdy N jest zmienna losowa całkowitoliczbowa. Zakładamy: N jest niezależne od (X i ) i Rozkład wielkości portfela w modelu prostym Przypadek rozkładów dyskretnych: X, Y przyjmuja jedynie wartości ze zbioru liczb naturalnych N = {0, 1,...} z prawdopodobieństwami P (X = i) = f X (i), P (Y = i) = f Y (i), i N. Przyjmujemy f X (s) = f Y (s) = 0 dla s / N. S := X + Y. 3

4 4 ROZDZIAŁ 1. ROZKŁADY WIELKOŚCI PORTFELA F S (s) = F X (s i)f Y (i) (1.1.1) i=0 oraz f S (s) = f X (s i)f Y (i). (1.1.2) i=1 Analogicznie, gdy zmienne losowe przyjmują wartości w dowolnym przeliczalnym zbiorze kratowym { i : i Z}, gdzie > 0 (zmienne losowe o rozkładach kratowych). Ustawiając dopuszczalne wartości zmiennych w ciąg, załóżmy, że X, Y przyjmują przeliczalna ilość wartości y i = i ze zbioru { i : i Z} z dodatnimi prawdopodobieństwami f X (y i ) i f Y (y i ), odpowiednio. Otrzymujemy wtedy dla s R F S (s) = F X (s y i )f Y (y i ) (1.1.3) i= oraz f S (s) = f X (s y i )f Y (y i ). (1.1.4) i= Mówimy, że dystrybuanta F S jest splotem F X i F Y (1.1.3). i oznaczamy F S (s) = F X F Y (s),jeśli zachodzi Podobnie dla funkcji prawdopodobieństwa oznaczamy f S (s) = f X f Y (s) jeśli zachodzi (1.1.4). Oznaczenia na potęgi splotowe. f 2 X = f X f X oraz f n X = f (n 1) X f X dla n 1. Dla n = 0, f 0 X (s) := I {0}(s), F 0 X (s) := I [0, )(s).

5 1.1. ROZKŁAD WIELKOŚCI PORTFELA W MODELU PROSTYM 5 Dla zmiennych X, Y typu absolutnie cia głego, czyli dla dystrybuant postaci F X (s) = s f X(x)dx, F Y (s) = s f Y (x)dx, dla s R można zastosować analogiczne rozumowania. F S (s) = F X (s y)f Y (y)dy = F X F Y (s) (1.1.5) oraz różniczkując f S (s) = f X (s y)f Y (y)dy = f X f Y (s). (1.1.6) Podstawowy lemat przy liczeniu wartości oczekiwanych:

6 6 ROZDZIAŁ 1. ROZKŁADY WIELKOŚCI PORTFELA Lemat Niech X, Y będą zmiennymi losowymi o łącznej dystrybuancie F (X,Y ) (x, y) = P (X x, Y y) = x y f (X,Y ) (u, v)dudv, wtedy E(ψ(X, Y )) = ψ(u, v)f (X,Y ) (u, v)dudv, gdzie ψ : R 2 R jest dowolną mierzalną funkcją. ψ(u, v) := I {u+v s} (u, v)... Przykład Niech X ma gȩstość f X (x) = 1 2 I (0,2)(x) oraz niezależnie, Y ma gȩstość f Y (x) = 1 3 I (0,3)(x). Wtedy ze wzoru (1.1.5) 1 dla s 5 F S (s) = 1 (5 s)2 12 dla 3 s < 5 s 1 3 dla 2 s < 3 s 2 12 dla 0 s < 2 0 dla s < 0. Wyliczenia prosto ze wzoru znajdują się w skrypcie. My wykorzystamy metodę opartą o analizę rozkładu masy probabilistycznej na płaszczyźnie. Niech teraz S = S n = X 1 + +X n, gdzie (X i ) i 1 sa niezależnymi zmiennymi losowymi. W przypadku, gdy wartości X i sa naturalne, maja c P (S 1 = k) = P (X 1 = k), liczymy P (S n = k) w sposób rekurencyjny: k P (S n = k) = P (S n 1 = k m)p (S 1 = m) m=0 Aby obliczyć rozkład np. sumy trzech zmiennych losowych niezależnych X 1 +X 2 +X 3 najpierw obliczamy rozkład f S2 sumy S 2 = X 1 + X 2, a nastȩpnie zastosujemy powyższy wzór do obliczenia rozkładu

7 1.1. ROZKŁAD WIELKOŚCI PORTFELA W MODELU PROSTYM 7 S 3 = S 2 + X 3. W przypadku dowolnego n w celu obliczenia rozkładu S n bȩdziemy musieli zastosować takie postȩpowanie rekurencyjne n 1 razy. Przykład Trzy niezależne ryzyka maja rozmiary szkód jak w tabeli: i P (X 1 = i) P (X 2 = i) P (X 3 = i) Policz rozkład zmiennej S = S 3 = X 1 + X 2 + X 3. Najpierw obliczymy rozkład f S2 dla S 2 = X 1 + X 2. Ze wzoru na splot (1.1.4) otrzymujemy f S2 (0) = f X1 (0)f X2 (0) = 0.18, f S2 (1) = f X1 (0)f X2 (1) + f X1 (1)f X2 (0) = 0.15, f S2 (2) = f X1 (0)f X2 (2) + f X1 (1)f X2 (1) + f X1 (2)f X2 (0) = 0.35,... f S2 (5) = f X1 (3)f X2 (2) = Nastȩpnie w ten sam sposób obliczymy rozkład S 3 f S3 (0) = f S2 (0)f X3 (0) = 0.072, f S3 (1) = f S2 (0)f X3 (1) + f S2 (1)f X3 (0) = 0.096,.... Wyniki te przedstawimy w tabeli.

8 8 ROZDZIAŁ 1. ROZKŁADY WIELKOŚCI PORTFELA x f X1 (x) f X2 (x) f X3 (x) f S2 (x) f S (x) Przykład X i Y są niezależne o rozkładzie N(0, 1) o gęstości f(x) = 1 (2π) e x2 2, x R, wtedy f f(x) = 1 f(x u)f(u)du = 2 (π) e x 2 4, tzn. X +Y = d N(0, 2) = d (2)N(0, 1), suma 2 niezleżnych zmiennych losowych o rozkładzie standardowym normalnym ma rozkład przeskalowanej zmiennej losowej o standardowym rozkładzie normalnym. Maple Przykład X i Y są niezależne o rozkładzie Cauchy ego C(0, 1) o gęstości f(x) = 1 π x 2, x R,

9 1.1. ROZKŁAD WIELKOŚCI PORTFELA W MODELU PROSTYM 9 wtedy f f(x) = f(x u)f(u)du = 2 π x 2. Jest to znowu rozkład Cauchy ego C(a, b) o gęstości 1 πb(1 + (u a)2 b ), 2 dla a = 0, b = 2, tzn. X + Y = d 2C(0, 1) i podobnie jak w przykładzie poprzednim suma 2 niezleżnych zmiennych losowych o rozkładzie standardowym Cauchy ego ma rozkład przeskalowanej zmiennej losowej o standardowym rozkładzie Cauchy ego. Maple Przykład X i Y są niezależne o rozkładzie stabilnym Levy ego z α = 1/2 o gęstości f(x) = 1 (2πx3 ) e 1 2x, x > 0, wtedy f f(x) = f(x u)f(u)du = 2 (πx3 ) e 2 x Suma 2 niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie Levy ego z α = 1/2 ma rozkład przeskalowanej zmiennej losowej o tym samym rozkładzie. Maple

10 10 ROZDZIAŁ 1. ROZKŁADY WIELKOŚCI PORTFELA Rysunek 1.1.1: Splot jednakowych rozkładów jednostajnych, na (0, 2).

11 1.1. ROZKŁAD WIELKOŚCI PORTFELA W MODELU PROSTYM 11 Rysunek 1.1.2: Splot różnych rozkładów jednostajnych: na (0, 2) i (0, 3). Rysunek 1.1.3: Porównanie gęstości normalnej N(0,1) i Cauchy ego-czerwony

12 12 ROZDZIAŁ 1. ROZKŁADY WIELKOŚCI PORTFELA ROZKŁADY STABILNE Zmienna losowa X ma rozkład stabilny (w węższym sensie), gdy dla pary zmiennych losowych X 1, X 2 niezależnych od siebie i od X, ale tym samym rozkładzie co X zachodzi własność zachowania typu rozkładu dla sum, dla danych stałych skalujących a, b > 0 istnieje zależna od nich stała skalująca c > 0, taka, że ax 1 + bx 2 = d cx. Ta własność jednoznacznie wyznacza postać c = (a 1/α + b 1/α ) 1/α dla α (0, 2]. Dla rozkładu normalnego α = 2, dla rozkładu Cauchy ego α = 1. Wzór na gęstość dla rozkładów stabilnych jest znany w prostej postaci dla α {1/2, 1, 2}. Ważna rola stabilnych rozkładów polega na tym, że są one jedynymi możliwymi rozkładami granicznymi dla sum, tzn., jeśli ciąg sum przy pewnym normowaniu X1+ +Xn an b n jest zbieżny względem rozkładu przy n dla a n R i b n > 0, to graniczny rozkład jest stabilny. CTG stwierdza, że ciąg X1+ +Xn nex1 n 1/2 jest zbieżny do rozkładu normalnego, co jest jednym z możliwych schematów zbieżności do rozkładu stabilnego, w tym przypadku z α = 2. Typowym schematem jest przyjęcie b n = n 1/α.

13 1.1. ROZKŁAD WIELKOŚCI PORTFELA W MODELU PROSTYM 13 ROZKŁADY MIESZANE Niech Y będzie zmienną o rozkładzie, który dopuszcza dodatnie prawdopodobieństwa P (Y = y i ) > 0 dla skończonej lub nieskończonej przeliczalnej ilości y i zawartych w pewnym zbiorze kratowym { i : i Z}. Wtedy rozkład zmiennej Y jest rozkładem mieszanym, tzn. F Y (s) = βf d Y (s) + (1 β)f c Y (s) dla pewnego β (0, 1), wtedy F d Y (s) = i P (Y = y i)i [yi, )(s) i P (Y = y i) jest tak zwaną składową dyskretną dystrybuanty F Y z β = i P (Y = y i ) oraz F c Y (s) = s f c Y (y)dy jest składową absolutnie ciagłą dystrybuanty F Y. Wygodnie jest wprowadzić ogólne oznaczenia na splot dystrybuant mieszanych następująco, przyjmując F X F Y (s) = F X (s y)df Y (y), h(y)df d Y (y) := i h(y i )(F d Y (y i ) F d Y (y i /2) = i h(y i )P (Y = y i )/β h(y)df c Y (y) = h(y)f c Y (y)dy i łącznie h(y)df Y (y) = β i h(y i )P (Y = y i )/β + (1 β) h(y)fy c (y)dy

14 14 ROZDZIAŁ 1. ROZKŁADY WIELKOŚCI PORTFELA czyli h(y)df Y (y) = β h(y)dfy d (y) + (1 β) h(y)dfy c (y) dla dowolnej funkcji całkowalnej h(y). Wstawiajac h(y) := F X (s y) otrzymujemy F S (s) = F X F Y (s) = β F X (s y)dfy d (y) + (1 β) F X (s y)dfy c (y) F S (s) = F X F Y (s) = i F X (s y i )P (Y = y i ) + (1 β) F X (s y)f c Y (y)dy, gdzie β = i P (Y = y i). Przykład Niech X ma rozkład z atomami P (X = 0) = 0.2, P (X = 1) = 0.7 i gȩstościa f X (x) = 0.1 dla x (0, 1). Zmienna losowa Y ma rozkład z atomami P (Y = 0) = 0.3, P (Y = 1) = 0.2 i gȩstościa f Y (x) = 0.5, x (0, 1). Zakładaja c, że X i Y sa niezależne obliczymy P (X + Y [1, 1.5)). Metoda I (wyliczenie bezpośrednie poprzez analizę zdarzeń sprzyjających): skrypt, wynik = Metoda II (graficzna analiza rozkładu masy): dokładne wyliczenia na ćwiczeniach Metoda III (wzory na sploty dla rozkładów mieszanych): skrypt

15 1.1. ROZKŁAD WIELKOŚCI PORTFELA W MODELU PROSTYM 15 LICZENIE ROZKŁADÓW PRZY POMOCY TRANSFORMAT idea liczenia transformat Definicja Dla dowolnego ciągu liczb rzeczywistych (a n ) n 0 funkcję A(t) = a n t n, n=0 nazywamy funkcją tworzącą tego ciągu. Jeśli (a n ) n 0 jest ograniczony, to funkcja tworząca przyjmuje wartości skończone dla t < 1. Dla zmiennej losowej X przyjmującej wartości ze zbioru liczb naturalnych definiujemy funkcję P X (t) = E [ t X] = p n t n, dla p n := P (X = n). Jest to funkcja tworz aca prawdopodobieństwa. Zauważmy, że P X (t) przyjmuje wartości skończone przynajmniej dla t 1. Funkcję ogona dyskretnego rozkładu określamy przez q n := p n+1 + p n+2 +. Funkcja tworząca ciągu n=0 (q n ) n 0, Q X (t) = q n t n n=0 jest skończona przynajmniej dla t < 1. Zachodzi ( k 1 i=0 ti = (1 t n )/(1 t)) Q X (t) = 1 P X(t). 1 t

16 16 ROZDZIAŁ 1. ROZKŁADY WIELKOŚCI PORTFELA Ponadto P X(t) = kp k t k 1, k=1 i funkcja ta jest skończona przynajmniej dla t < 1. Stąd, jeśli wartość oczekiwana zmiennej X jest skończona, to EX = P X(1). Zauważmy, że funkcję Q X możemy zapisać jako iloraz różnicowy Q X (t) = P X (1) P X (1 h) h, dla h := 1 t. Gdy t 1, to h 0 i mamy Q X (1) = P X (1) = EX, co daje EX = q 0 + q 1 + q 2 +. Podobnie możemy otrzymać Dla wariancji zmiennej X zachodzi więc równość P X(1) = 2Q X(1) = E(X(X 1)). V arx = P X(1) + P X(1) (P X(1)) 2. Podobne rozumowania możemy powtórzyć dla wyższych momentów zmiennej losowej X.

17 1.1. ROZKŁAD WIELKOŚCI PORTFELA W MODELU PROSTYM 17 SUMY, ZBIEŻNOŚĆ Funkcje tworzące prawdopodobieństwa, oprócz przydatnosci do liczenia momentów, przydają się do liczenia rozkładów sum zmiennych losowych. Funkcja tworząca sumy niezależnych zmiennych losowych jest równa iloczynowi funkcji tworzących składników. Lemat Niech X, Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o wartościach w zbiorze liczb naturalnych, o funkcjach tworzących prawdopodobieństwa, odpowiednio P X, P Y. Wtedy zmienna losowa X + Y ma funkcję prawdopodobieństwa daną splotem (1.1.4) oraz funkcję tworzącą prawdopodobieństwa P X+Y równą iloczynowi P X P Y. Funkcje tworzące prawdopodobieństwa są przydatne również do badania zbieżności ciągu rozkładów Lemat Niech (X n ) n 1 będzie ciagiem zmiennych losowych przyjmujących wartości naturalne, o funkcjach prawdopodobieństwa p Xn i funkcjach tworzących prawdopodobieństwa P Xn. Wtedy następujące warunki są równoważne 1. p Xn (k) n p Y (k), dla każdego naturalnego k i dla pewnej zmiennej losowej Y, 2. P Xn (t) n P Y (t), dla każdego t [0, 1) i dla pewnej zmiennej losowej Y.

18 18 ROZDZIAŁ 1. ROZKŁADY WIELKOŚCI PORTFELA Przykład Funkcja tworząca prawdopodobieństwa rozkładu dwumianowego (binomialnego). Rozkład dwumianowy jest rozkładem liczby sukcesów w próbach Bernoulliego, tzn. rozkładem sumy S n = X X n, dla n prób, gdzie {X i, i = 1,..., n} są niezależne o rozkładzie (funkcji prawdopodobieństwa) p Xi (0) = 1 p Xi (1) = 1 p = q, gdzie p (0, 1) jest prawdopodobieństwem sukcesu. Ponieważ P Xi (t) = q + pt, więc P Sn (t) = (q + pt) n. Przykład Liczba porażek przed uzyskaniem pierwszego sukcesu w kolejnych próbach Bernoulliego jest zmienną losową o rozkładzie geometrycznym P (X = k) = p X (k) = q k p, k = 0, 1, 2,.... Z definicji (szereg geometryczny) otrzymujemy P X (t) = p 1 qt. Liczba porażek przy oczekiwaniu na n-ty sukces jest więc sumą n niezależnych zmiennych losowych o rozkładach geometrycznych S n = X 1 + +X n. Zmienna ta ma funkcję tworzącą prawdopodobieństwa p P Sn (t) = ( 1 qt )n. Rozkład ten nazywamy rozkładem Pascala (szczególny przypadek ujemnego rozkładu dwumianowego - rozkład o funkcji tworzącej p P (t) = ( 1 qt )r, dla dowolnego r > 0.

19 1.1. ROZKŁAD WIELKOŚCI PORTFELA W MODELU PROSTYM 19 Odwracanie Jako ilustrację metody liczenia rozkładu przy użyciu funkcji tworzących przedstawimy jeszcze raz wyliczenia z przykładu Przykład Funkcje tworza ce prawdopodobieństwa zmiennych X 1, X 2, X 3 maja postać P X1 (t) = t + 0.4t t 3, P X2 (t) = t + 0.3t 2, P X3 (t) = t + 0.4t 3, i po wymnożeniu otrzymujemy funkcjȩ tworza ca rozkładu sumy P S (t) = t t t t t t t t 8, a sta d odczytuja c współczynniki przy t k, k = 0, 1,..., 8, odczytujemy rozkład: i P (S = i)

20 20 ROZDZIAŁ 1. ROZKŁADY WIELKOŚCI PORTFELA Przybliżenie rozkładu dwumianowego rozkładem Poissona Przykład Zbieżność ciągu rozkładów dwumianowych do rozkładu Poissona. Rozkład Poissona jest dany przez p Y (k) = e λ λk k!, dla k = 0, 1, 2,.... Z definicji mamy P Y (t) = e λ(1 t). Rozważmy ciąg zmiennych losowych o rozkładach dwumianowych p Sn (k) = P (S n = k) = ( ) n k p k n qn n k, gdzie prawdopodobieństwo sukcesu jest zależne od n, w taki sposób, że np n n λ > 0. Dla funkcji tworzących prawdopodobieństwa mamy P Sn (t) = (q n + p n t) n = (1 np n(1 t) ) n, n stąd P Sn (t) n e λ(1 t) = P Y (t). Z lematu otrzymujemy p Sn (k) p Y (k) tzn. dla dużych n prawdopodobieństwa dwumianowe możemy przybliżać rozkładem Poissona, o ile zachodzi np λ.

21 1.1. ROZKŁAD WIELKOŚCI PORTFELA W MODELU PROSTYM 21 Inne transformaty Bez dodatkowych założeń co do nośnika rozkładu zmiennej losowej X użyteczne są następujące funkcje M X (t) = E [ e tx], funkcja tworz aca momenty, C X (t) = log E [ e tx], funkcja tworz aca kumulanty. Dla niezależnych zmiennych (X i ) i 1 natychmiast z definicji otrzymujemy M Sn (t) = P Sn (t) = C Sn (t) = n M Xi (t), (1.1.7) i=1 n P Xi (t), i=1 n C Xi (t). i=1 Rzeczywiście, z niezależności M Sn (t) = E [ e tsn] = E [e t(x1+...+xn)] = E [ e tx1] E [ e txn] = M X1 (t) M Xn (t) i analogicznie dla pozostałych funkcji.

22 22 ROZDZIAŁ 1. ROZKŁADY WIELKOŚCI PORTFELA Twierdzenie Załóżmy, że X 1,..., X n sa niezależne. Wtedy 1. Jeżeli X i P oi(λ i ) to S n P oi(λ), gdzie λ = n i=1 λ i. 2. Jeżeli X i Bin (r i, q) to S n Bin (r, q), gdzie r = n i=1 r i. 3. Jeżeli X i Bin(m i, p) to S n Bin(m, p), gdzie m = n i=1 m i 4. Jeżeli X i Γ(α i, β) to S n Γ(α, β), gdzie α = n i=1 α i. 5. Jeżeli X i N(µ i, σ 2 i ) to S n N(µ, σ 2 ), gdzie µ = n i=1 µ i, σ 2 = n i=1 σ2 i. P (t) = (q + pt) n P (t) = exp(λ(t 1)) P (t) = ( ) r p 1 qt M(t) = e (tσ)2 2 +tµ, f X (y) = βα Γ(α) xα 1 e βx M(t) = βα (β t), α

23 1.1. ROZKŁAD WIELKOŚCI PORTFELA W MODELU PROSTYM 23 Momenty Korzystaja c z transformat możemy wyliczyć momenty zmiennych losowych. Oznaczmy µ k (X) = E [ X k], m k (X) = E [ (X E [X]) k], k > 0. W przypadku, gdy wiadomo o jaka zmienna losowa chodzi piszemy m k i µ k. Parametr µ k nazywany jest k-tym momentem zwykłym, m k - k-tym momentem centralnym. W szczególności µ 1 (X) =: µ X jest średnia, m 2 (X) =: σx 2 jest wariancja, a σ X jest odchyleniem standardowym. Pomijamy indeks X w powyższych oznaczeniach, jeśli z kontekstu jasno wynika jakich zmiennych losowych dotyczą rozważania. Parametr jest nazywamy skośności a, a nazywamy kurtoz a. Iloraz γ 3 := m 3 σ 3 γ 4 := m 4 σ 4 3 γ 1 := σ2 µ nazywamy indeksem dyspersji, a γ 2 = σ µ współczynnikiem zmienności.

24 24 ROZDZIAŁ 1. ROZKŁADY WIELKOŚCI PORTFELA Przy założeniu niezależności zmiennych M (1) S n (0) = C (1) S n (0) = E [S n ], C (2) S n (0) = Var [S n ] C (3) S n (0) = m 3 (S n ) a sta d na przykład µ 1 (S n ) = µ 2 (S n ) = n µ 1 (X i ), i=1 n µ 2 (X i ). i=1 Dla niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie dostajemy µ 1 (S n ) = nµ 1 (X), µ 2 (S n ) = nµ 2 (X).

25 1.1. ROZKŁAD WIELKOŚCI PORTFELA W MODELU PROSTYM 25 Kumulanty Rozwijając w szereg Taylora funkcję C X otrzymujemy C X (t) = k n (X)t n /n!, n=1 współczynniki k n (X) = C (n) X (0) nazywamy kumulantami zmiennej losowej X. k 1 (X) = µ X k 2 (X) = σ 2 X k 3 (X) = γ 3 σ 3 X = m 3(X) k 4 (X) = γ 4 (X)σ 4 X = m 4(X) 3σ 4 X Zachodzą: k n (X + c) = k n (X) dla n 2,, k n (cx) = c n k n (X) c R. Dla niezależnych zmiennych losowych X, Y, k n (X + Y ) = k n (X) + k n (Y ).

26 26 ROZDZIAŁ 1. ROZKŁADY WIELKOŚCI PORTFELA 1.2 Rozkłady w modelu złożonym Własności ogólne Model złożony: S N = N i=1 X i dla niezależnych (X i ) i 1 o jednakowych rozkładach F X i wartościach naturalnych oraz dla niezależnej od nich zmiennej licza cej N. Rozkład sumy S = S N : a sta d F S (x) = P (S x) = f S (x) = n=0 n=0 F n X (x)p (N = n), f n X (x)p (N = n). Bȩdziemy używali funkcji tworza cych. Wzór na wartość oczekiwana łacznych roszczeń w złożonym modelu, gdzie zmienne losowe X 1, X 2,..., maja wartość oczekiwana E[X] i wariancję V ar[x] : E[S] = E[X] E[N]. (1.2.1) Dowód: warunkujemy względem wartości N Wzór na wariancję łacznych roszczeń: V ar[s] = E[N] V ar[x] + (E[X]) 2 V ar[n]. (1.2.2) Z powyższego wzoru wynika, że wariancja składa się z dwóch składników; pierwszy z nich odnosi się do zmienności liczby roszczeń, drugi zaś do zmienności wysokości pojedynczego roszczenia. Dowód wprost: warunkujemy względem N wzór na drugi moment, sumę do kwadratu rozpisujemy na

27 1.2. ROZKŁADY W MODELU ZŁOŻONYM 27 sumę kwadratów i iloczyny mieszane, korzystamy z niezależności i jednakowości rozkładów oraz definicji wariancji. Używaja c funkcji tworza cych, dostajemy zwia zek pomiȩdzy rozkładem S N momentami. a N i X, a także między Fakt Zachodza nastȩpuja ce wzory M SN (t) = M N (log M X (t)), C SN (t) = C N (C X (t)), P SN (t) = P N (P X (t)) a stąd, dla momentów E [S N ] = E [N] E [X], (1.2.3) Var [S N ] = E [N] Var [X] + Var [N] (E [X]) 2, (1.2.4) E [ (S N E [S N ]) 3] = E [ (N E [N]) 3] (E [X]) 3 (1.2.5) + 3Var [N] E [X] Var [X] + E [N] E [ (X E [X]) 3]. Dowód: warunkowanie względem wartości N. Dla pochodnej C (1) S N (t) = C (1) N (C X(t))C (1) X (t) i wstawiaja c t = 0 otrzymujemy E[S N ] = C (1) S N (0) = C (1) N (0)C(1) X (0) = E [N] E [X]. Dla drugiej pochodnej mamy C (2) S N (t) = C (2) N (C X(t))[C (1) X (t)]2 + C (1) N (C X(t))C (2) X (t)

28 28 ROZDZIAŁ 1. ROZKŁADY WIELKOŚCI PORTFELA i wstawiaja c t = 0 otrzymujemy V ar[s N ] = C (2) S N (0) = C (2) N (0)[C(1) X (0)]2 + C (1) N (0)C(2) X (0), co daje tezȩ. Obliczaja c trzecia pochodna dostajemy C (3) S N (t) = C (3) N (C X(t))[C (1) X (t)]3 + 2C (2) N (C X(t))C (1) X (t)c(2) X (t) + C (2) N (C X(t))C (1) X (t)c(2) X (t) + C(1) N (C X(t))C (3) X (t) = C (3) N (C X(t))[C (1) X (t)]3 + 3C (2) N (C X(t))C (1) X (t)c(2) X (t) + C (1) N (C X(t))C (3) X (t) i biora c t = 0 otrzymujemy wynik.

29 1.2. ROZKŁADY W MODELU ZŁOŻONYM 29 Przykład Rozważmy portfel ubezpieczeń, w którym ilość pojawiaja cych siȩ roszczeń opisuje i rozkład wysokości pojedynczego roszczenia opisuja tabele poniżej. Szukamy rozkładu zmiennej losowej S N = X X N. Rozkład zmiennej N. n p n Rozkład wysokości pojedynczego roszczenia. x f X (x) Obliczymy funkcjȩ tworza ca zmiennej losowej N P N (t) = t t t t t t t t 8, wiȩc P S (t) = P X (t) (P X (t)) (P X (t)) (P X (t)) (P X (t)) (P X (t)) (P X (t)) (P X (t)) 8. Funkcja tworza ca zmiennej losowej X ma postać P X (t) = 0.15t + 0.2t t t t t t t t t 10. Łącząc oba wzory otrzymujemy P S (t) = t t t t t t t Teraz, wartości P (S = k) odczytujemy jako współczynniki przy t k, k = 0,..., 80.

30 30 ROZDZIAŁ 1. ROZKŁADY WIELKOŚCI PORTFELA

31 1.2. ROZKŁADY W MODELU ZŁOŻONYM 31 Rysunek 1.2.1: Rozkład sumy losowej Rysunek 1.2.2: Rozkład sumy losowej dla 10N Maple KIEDY MOŻLIWE SĄ APROKSYMACJE ZNANYMI ROZKŁADAMI???

32 32 ROZDZIAŁ 1. ROZKŁADY WIELKOŚCI PORTFELA Zmienne losowe liczące ilość szkód Dla zmiennej losowej N o rozkładzie dwumianowym Bin(n, p) mamy E [N] = np > Var [N] = np(1 p) indeks dyspersji: γ 1 (N) = (1 p) < 1 rozkłady dwumianowe można stosować wtedy, gdy średnia próbkowa jest dużo wiȩksza niż wariancja próbkowa. Dla zmiennej losowej N o rozkładzie Poissona P oi(λ), mamy E [N] = λ = Var [N] Założenie Poissonowskości ilości szkód jest zazwyczaj bardziej realistyczne niż założenie o dwumianowości rozkładu, lecz sytuacja równości próbkowej średniej i wariancji wystȩpuje dość rzadko. Mieszany rozkład Poissona : P (N = n) = P (N = n Θ = θ)df Θ (θ) = 0 0 e θ θ n df Θ (θ). n! Interpretacja: rozważmy portfel ubezpieczeń składaja cy siȩ z polis dla których liczba roszczeń jest zmienna losowa N o rozkładzie Poissona z parametrem Θ. Jeżeli przyjmiemy, że Θ jest zmienna losowa, to rozkład zmiennej N ma parametr, który też jest zmienna losowa Θ przyjmuja ca wartości dodatnie i posiadaja ca dystrubuantȩ F Θ. Mieszany rozkład Poissona będziemy oznaczać przez M P oi(θ).

33 1.2. ROZKŁADY W MODELU ZŁOŻONYM 33 Warunkowa wartość oczekiwana i warunkowa wariancja Wprowadzamy symbole E[X Y ] oraz V ar[x Y ] które oznaczaja zmienne losowe ( warunkowa wartość oczekiwana i warunkowa wariancję ), zdefiniowane przez równości E[X Y ] = ϕ(y ), V ar[x Y ] = ψ(y ), dla rzeczywistych funkcji ϕ, ψ danych przez E[X Y = y] = ϕ(y), V ar[x Y = y] = ψ(y).

34 34 ROZDZIAŁ 1. ROZKŁADY WIELKOŚCI PORTFELA Lemat Dla dowolnych zmiennych losowych X, Y zachodzi następujacy zwiazek E[X] = E[E[X Y ]]. (1.2.6) Dowód: wartość oczekiwaną rozpisujemy z definicji, dwa razy, dla funkcji od Y, dla rozkładu warunkowego, korzystamy z definicji warunkowego prawdopodobieństwa, zamieniamy kolejność sumowania. Korzystając z (1.2.6), dla mieszanego rozkładu Poissona: P N (t) = E [ E [ t N Θ ]] [ = E e Θ(t 1)] = M Θ (t 1). Ponadto C N (t) = log M N (t) = log P N (e t ) = log M Θ (e t 1) oraz E [N] = E [Θ] Var [N] = E [Θ] + Var [Θ] = E [N] + Var [Θ], E [ (N E [N]) 3] = E [ (Θ E [Θ]) 3] + 3Var [Θ] + E [Θ]. Z powyższych wzorów wynika, że dla N MP oi(θ): γ 1 (N) = V arn EN = 1 + γ 1(Θ) 1

35 1.2. ROZKŁADY W MODELU ZŁOŻONYM 35 Przykład Załóżmy, że zmienna losowa N ma mieszany rozkład Poissona, a Θ ma rozkład Γ(α, β). Ponieważ funkcja tworza ca momenty dla rozkładu Γ(α, β) dana jest wzorem M Θ (t) = ( ) α β dla t < β, β t wiȩc podstawiaja c r = α, p = β β + 1, q = 1 p, dostajemy ( ) α M N (t) = M Θ (e t β 1) = β (e t = 1) = ( ) r p 1 qe t. β β+1 ( 1 1 β 1+β ) e t α Jest to funkcja tworza ca rozkładu ujemnego dwumianowego Bin (r, p). Mamy więc MP oi(gamma(α, β)) = Bin (α, β β + 1 ). Funkcja prawdopodobieństwa tego rozkładu zadana jest wzorem ( ) r + n 1 P (N = n) = p r q n, n N (1.2.7) n Jeżeli r = 1, to otrzymujemy rozkład geometryczny, N Geo(p) Randomizacja rozkładem wykładniczym parametru wartości średniej w rozkładzie Poissona daje rozkład geometryczny: β MP oi(exp(β)) = Geo( β + 1 ).

36 36 ROZDZIAŁ 1. ROZKŁADY WIELKOŚCI PORTFELA Przekształcajac gęstość (1.2.7) możemy ja zapisać w postaci P (N = n) = ( 1) n( ) r n p r q n dla n = 0, 1, 2,..., 0 dla pozostałych wartości n, (1.2.8) gdzie ( ) r = n ( r)( r 1)...( r n + 1). n! Dla tego rozkładu E[N] = rq p, V ar[n] = rq p 2 (1.2.9) (1.2.10) γ 1 (N) = 1 > 1. (1.2.11) p

37 1.2. ROZKŁADY W MODELU ZŁOŻONYM 37 REKURENCJA PANJERA Oznaczmy skrótowo funkcję prawdopodobieństwa zmiennej N przez p k = f N (k) = P (N = k), k N. Załóżmy, że p k = ( a + b ) p k 1, k 1, (1.2.12) k dla pewnego doboru parametrów a i b. Zapisuja c to inaczej dostajemy k p k p k 1 = ka + b =: l(k). (1.2.13) W szczególności, dla rozkładu dwumianowego Bin(n, p): a := p p(n + 1), b := 1 p 1 p dla Poissona P oi(λ): a := 0, b := λ dla ujemnego dwumianowego Bin (r, p): a := q, b := (r 1)q

38 38 ROZDZIAŁ 1. ROZKŁADY WIELKOŚCI PORTFELA METODA PANJERA: Dla próbki N 1,..., N n, z rozkładu zmiennej N definiujemy n k := # {i : N i = k} badamy wykres funkcji ˆl : k k n k n k 1 oczekujemy, że w przybliżeniu jest liniowy, zgodnie z (1.2.13). Punkt przeciȩcia linii ˆl(k) z osia OY jest przybliżeniem parametru b z osia OX, ilorazu b a. Jeśli wykres nie jest w przybliżeniu liniowy, to rozkład nie należy do klasy rozkładów spełniających rekurencję (1.2.12).

39 1.2. ROZKŁADY W MODELU ZŁOŻONYM 39 Twierdzenie Przypuśćmy, że rozkład (p k ) k 0 spełnia rekurencjȩ p k = ( a + b ) p k 1, k 1. k Wtedy (p k ) k 0 jest rozkładem Poissona, dwumianowym lub ujemnym dwumianowym. dowod a := 0 wyliczając rekurencję otrzymujemy rozkład Poissona. a 0 gdzie = (1 + b a ). Korzystamy z (x := a, y := 1) p k = ak k! ( + k 1)( + k 2) ( + 1) p 0, k N, (x + y) r = k=0 ( ) r x k y r k, y > 0, x/y < 1 k Sumuja c obie strony względem k p 0 = (1 a) oraz ( ) p k = ( a) k (1 a) = k ( + k 1 k ) a k (1 a), k N. (1.2.14) Dla 0 < a < 1, > 0, rozkład ujemny dwumianowy z parametrem p = 1 a oraz r =. a > 1 nie daje rozkładu. a < 0, N, rozkład dwumianowy., q = 1/(1 a), p = a/(1 a), n =.

40 40 ROZDZIAŁ 1. ROZKŁADY WIELKOŚCI PORTFELA Inna metoda graficzna bȩdzie oparta na funkcji hazardowej zdefiniowanej dla n należących do nośnika rozkładu zmiennej N przyjmującej wartości ze zbioru liczb naturalnych, r N (n) = P (N = n) P (N n). W szczególności, dla rozkładu Poissona P oi(λ) jest ona rosna ca dla λ > 0, (rys ); ujemnie dwumianowego Bin (r, p) jest ona maleja ca dla r < 1, rosna ca dla r > 1 i stała dla r = 1, tzn. dla rozkładu geometrycznego (rys 1.2.3). Przybliżeniem funkcji r N (k) jest ˆr N (k) = # {i : N i = k} # {i : N i k} = n k n k + n k+1 +

41 1.2. ROZKŁADY W MODELU ZŁOŻONYM 41 Rysunek 1.2.3: Funkcje hazardowe: Poi(1), Geo(0.5).

42 42 ROZDZIAŁ 1. ROZKŁADY WIELKOŚCI PORTFELA Przykład Rozważmy portfel składaja cy siȩ z n = polis samochodowych. W tabeli, w drugiej kolumnie przedstawiono ilość polis n k, które wygenerowały k szkód. Chcemy znaleźć rozkład szkód najlepiej opisuja cy nasze dane. k Obserwowane n k P oi(0.131) r k Bin MixedP oi Wykres dla rekurencji Panjera nie jest liniowy, funkcja hazardowa nie jest monotoniczna. Sugeruje to, że rozkład ilości szkód nie bȩdzie ani Poissona, ani dwumianowy ani ujemny dwumianowy. Liczymy teraz średnia, wariancjȩ i skośność próbkową ilości szkód i dostajemy: N = 1 n knk = S 2 = 1 n (k N) 2 n k = A := 1 n (k N) 3 n k = Średnia jest wiȩc mniejsza od wariancji. Odrzuca to ponownie możliwość dopasowania rozkładu dwumianowego. Spróbujmy dopasować rozkład mieszany Poissona, gdzie zmienna mieszaja ca Θ przyjmuje dwie wartości: P (Θ = θ 1 ) = p = 1 P (Θ = θ 2 ). Średnia, wariancja i trzeci centralny moment Θ liczymy wiȩc ze wzorów: E [Θ] = pθ 1 + (1 p)θ 2 ; Var [Θ] = p(θ 1 E [Θ]) 2 + (1 p)(θ 2 E [Θ]) 2 ; m 3 (Θ) = p(θ 1 E [Θ]) 3 + (1 p)(θ 2 E [Θ]) 3.

43 1.2. ROZKŁADY W MODELU ZŁOŻONYM 43 Korzystaja c teraz ze wzorów na momenty dla rozkładu mieszanego Poissona E [N] = E [Θ] Var [N] = E [Θ] + Var [Θ] = E [N] + Var [Θ] E [ (N E [N]) 3] = E [ (Θ E [Θ]) 3] + 3Var [Θ] + E [Θ]. otrzymujemy, wstawiając E [N] := N, Var [N] := S 2, m 3 (N) := A, układ trzech równań z trzema niewiadomymi, który po rozwia zaniu daje: p = , θ 1 = , θ 2 = Można przyjąć, że nasze dane pochodza właśnie z takiego mieszanego rozkładu Poissona. Maple example-auta.mws

44 44 ROZDZIAŁ 1. ROZKŁADY WIELKOŚCI PORTFELA Złożony rozkład dwumianowy Motywacja: Portfel iid: (Y 1,..., Y n ) postaci Y i = I i X i gdzie (X i ) i 1, (I i ) i 1 samych rozkładach sa niezależnymi od siebie cia gami niezależnych zmiennych losowych o tych P (I i = 1) = p = 1 P (I i = 0) Wtedy Y Y n = d N i=1 X i = S N gdzie P (N = k) = ( n k) p k q n k, dla p (0, 1), q = 1 p, k = 0, 1,..., n (N ma rozkład dwumianowy). transformaty Mówimy, że S N ma złożony rozkład dwumianowy, S N CBin(n, p, F X ), zachodzą wzory: M N (t) = (q + pe t ) n C N (t) = n log(q + pe t ), M SN (t) = (q + pm X (t)) n, C SN (t) = n log(q + pm X (t)), a sta d E [S N ] = npe [X], Var [S N ] = npvar [X] + npq(e [X]) 2, E [ (S N E [S N ]) 3] = npe [ X 3] 3np 2 E [ X 2] E [X] + 2np 3 (E [X]) 3.

45 1.2. ROZKŁADY W MODELU ZŁOŻONYM 45 Złożone rozkłady dwumianowe mog a wiȩc służyć do modelowania portfeli o dowolnym znaku skośności. Dla X x 0 > 0 E [ (S N E [S N ]) 3] = npx 3 0(1 3p + 2p 2 ) > 0 dla p < 1 2 = 0 dla p = 1 2 < 0 dla p > 1 2. Fakt Jeśli S (1), S (2),..., S (n) sa niezależnymi zmiennymi losowymi i S (i) ma rozkład złożony CBin(m (i), p, F ) to S = n i=1 S (i) ma rozkład złożony ujemny dwumianowy CBin(m, p, F ) dla n m = m (i). i=1

46 46 ROZDZIAŁ 1. ROZKŁADY WIELKOŚCI PORTFELA Złożony rozkład Poissona P (N = n) = λn n! e λ, λ > 0, n = 0, 1,.... S N = N i=1 X i, dla ciągu iid (X i ) i 0 o dystrybuancie F X, niezależnego od N Mówimy, że S N ma złożony rozkład Poissona i zapisujemy S N CP oi(λ, F X ). Dla złożonego rozkładu Poissona: M N (t) = e λ(et 1), C N (t) = λ(e t 1), M SN (t) = e λ(m X (t) 1) C SN (t) = λ(m X (t) 1), co daje C (k) S N (0) = λm (k) X (0) i dalej E [S N ] = λe [X], Var [S N ] = λe [ X 2], E [ (S N E [S N ]) 3] = λe [ X 3].

47 1.2. ROZKŁADY W MODELU ZŁOŻONYM 47 Przykład Rozważmy portfel ubezpieczeń, w którym pojawiaja ce siȩ roszczenia maja rozkład Poissona z parametrem λ = 10, natomiast rozkład wysokości pojedyńczego roszczenia jest jak w tabeli. Policzymy rozkład zmiennej losowej S = X , X N. Rozkład wysokości pojedynczego roszczenia. i P (X = i) Znaja c funkcjȩ tworza ca zmiennej losowej N, P N (t) = e 10(t 1) dostajemy P S (t) = e 10(P X (t) 1). Funkcja tworza ca zmiennej losowej X : P X (t) = 0.1t t t t t 18. (1.2.15) Wstawiaja c (1.2.15) do wzoru na P S otrzymujemy funkcjȩ tworza ca rozkładu złożonego P S (t) = e 10(0.1t+0.35t t t t 18 1). Rozwijaja c powyższe równanie w szereg Taylora, możemy odczytać rozkład zmiennej S P S (t) = t t t 3 + Maple suma-losowa-poisson.mws

48 48 ROZDZIAŁ 1. ROZKŁADY WIELKOŚCI PORTFELA Rysunek 1.2.4: lambda =10

49 1.2. ROZKŁADY W MODELU ZŁOŻONYM 49 Rysunek 1.2.5: lambda =100

50 50 ROZDZIAŁ 1. ROZKŁADY WIELKOŚCI PORTFELA Przykład Niech S = N i=1 X i, gdzie X i P oi(β), a N P oi(λ). Funkcja tworza ca prawdopodobieństwa: P S (t) = exp (λ (exp(β(t 1)) 1)) Rozkład taki nazywamy rozkładem Neymanna typu A. W szczególnych przypadkach rozkład ten aproksymujemy: Jeżeli λ jest duże i λβ > 0, to S λβ N(0, 1); λβ(1+β) Jeżeli λ (0, 1), to S ma przesuniȩty rozkład Poissona, tzn. P (S = 0) = (1 λ) + λe β, P (S = k) = λe β β k /k!, k 1. Jeżeli β jest małe, to S przybliżamy za pomoca rozkładu P oi(λβ).

51 1.2. ROZKŁADY W MODELU ZŁOŻONYM 51 Przykład Niech S = N i=1 X i, gdzie X i Exp(α), a N P oi(λ). Stosuja c wzór na prawdopodobieństwo całkowite, F SN (x) = exp( λ) Wiemy jednak z Twierdzenia , że S n α n (n 1)! exp( αx)xn 1. Sta d, różniczkuja c F SN (x), λ n n n! P ( X i x). n=0 i=1 = n i=1 X i ma rozkład Gamma o gȩstości f Sn (x) = gdzie B 1 (x) = (x/2) 2k+1 k=0 k!(k+1)! λα f SN (x) = exp( (λ + αx))2 x B 1(2 λαx), jest zmodyfikowana funkcja Bessela.

52 52 ROZDZIAŁ 1. ROZKŁADY WIELKOŚCI PORTFELA Przykład Niech S = S N = X X N, gdzie N P oi(λ). Załóżmy, że X i maja rozkład logarytmiczny P (X = k) = p k, p (0, 1), k 1. k ln(1 p) Wtedy S N ma rozkład ujemny dwumianowy. Policzymy w tym celu najpierw funkcjȩ tworza ca dla X. Dla t < ln(1 p) mamy 1 M X (t) = exp(tk) pk ln(1 p) k k=1 1 p exp(t) = u k 1 du ln(1 p) k=1 0 1 p exp(t) = u k 1 du ln(1 p) 1 = ln(1 p) = 0 k=1 p exp(t) 0 ln(1 p exp(t)), ln(1 p) 1 1 u du a sta d (patrz wzór (1.2.4)) M S (t) ( ( )) = exp λ ln(1 p exp(t)) ln(1 p) 1 ( ( )) λ = exp ln(1 p) ln 1 pe t 1 p ( ) r = 1 p 1 pe, t λ gdzie r = ln(1 p). Jest to funkcja tworza ca dla rozkładu Bin ( ln(1 p), 1 p). λ

53 1.2. ROZKŁADY W MODELU ZŁOŻONYM 53 SUMOWANIE POISSONOWSKICH PORTFELI Twierdzenie Jeśli S (1), S (2),..., S (n) sa niezależnymi zmiennymi losowymi i S (i) ma rozkład złożony Poissona z parametrem λ (i) i dystrybuancie składników F (i) (CP oi(λ (i), F (i) ), dla i = 1,..., n), to S = n i=1 S (i) ma rozkład złożony Poissona CP oi(λ, F ) dla F (x) = λ = n i=1 n λ (i), i=1 λ (i) λ F (i) (x). Z założenia M S (i)(t) = exp(λ (i) (M X (i)(t) 1)), gdzie zmienna losowa X (i) ma rozkład F (i). Z niezależności dostajemy M S (t) = ( n n ) M S (i)(t) = exp λ (i) (M X (i)(t) 1) i=1 = exp ( λ ( n i=1 i=1 )) λ (i) λ M X (i)(t) 1 co jest funkcja tworza ca ża danego rozkładu złożonego.

54 54 ROZDZIAŁ 1. ROZKŁADY WIELKOŚCI PORTFELA Przykład Niech x 1,..., x n bȩda wartościami wypłat w K portfelach, których wielkości sa losowe, niezależne N 1,..., N K o rozkładach Poissona z parametrami λ 1,..., λ K odpowiednio. Wtedy N 1 N n S = x 1 N x K N K = x i=1 i=1 x n ma rozkład złożony Poissona CP oi(λ, F ) dla λ = λ λ K, F (x) = K i=1 λ i λ I ([x i, )(x).

55 1.2. ROZKŁADY W MODELU ZŁOŻONYM 55 Przykład Przypuśćmy, że S (1) ma złożony rozkład Poissona z parametrem λ (1) = 0.5 i wielkościami szkód 1, 2, 3, 4, 5 z prawdopodobieństwami 0.15, 0.3, 0.3, 0.05, 0.2, odpowiednio. S (2) ma rozkład złożony Poissona z λ (2) = 0.8 oraz rozkładem szkód o wielkościach 1, 2, 3 z prawdopodobieństwami 0.25, 0.5, 0.25, odpowiednio. Ponadto S (3) ma rozkład złożony Poissona z λ (3) = 1.2 oraz rozkładem szkód o wielkościach 3, 4, 5 z prawdopodobieństwami 0.15, 0.5, 0.35, odpowiednio. Jeśli S (1), S (2), S (3) sa niezależne, policzymy rozkład S = S (1) +S (2) + S (3). Z Twierdzenia mamy λ = λ (1) + λ (2) + λ (3) = = 2.5, f X (x) = λ(1) λ f λ(2) X (1)(x) + λ f λ(3) X (2)(x) + λ f X (3)(x), f X (x) = 0.2f X (1)(x) f X (2)(x) f X (3)(x). zatem f X (x) = dla x = dla x = dla x = dla x = dla x = 5. Otrzymujemy złożony rozkład Poissona z parametrem λ = 2.5 i rozmiarem szkód podanym powyżej.

56 56 ROZDZIAŁ 1. ROZKŁADY WIELKOŚCI PORTFELA ROZWARSTWIANIE POISSONOWSKICH PORTFELI Twierdzenie Jeżeli zmienna S = X X N ma złożony rozkład Poissona CP oi(λ, F ), z dyskretnym rozkładem indywidualnych roszczeń o dystrybuancie F i funkcji prawdopodobieństwa π i = P (X = x i ), i = 1,..., K, to (i) zmienne losowe N 1, N 2,..., N K, zdefiniowane przez N i = card{k : X k = x i }, i = 1,..., K sa wzajemnie niezależne, (wtedy S = x 1 N x K N K ) (ii) zmienne losowe N i mają rozkłady Poissona z parametrami λ (i) = λπ i, i = 1, 2,..., K. Rysunek

57 1.2. ROZKŁADY W MODELU ZŁOŻONYM 57 Dowód. Załóżmy, że N = K N i = k. i=1 Rozkład wektora (N 1,..., N K ) pod warunkiem N = k jest wielomianowy, tzn. P (N 1 = k 1,..., N K = k K N = k) = k! k 1!... k K! πk πk K K, a sta d [ ( K ) ] E exp t i N i N = k = [ π 1 e t π K e t ] k K i=1 Stąd [ ( K )] [ ( K ) ] E exp t i N i = E exp t i N i N = k Pr(N = k) i=1 = k=0 i=1 (π 1 e t1 + π 2 e t π K e t K ) k e λ λ k k=0 ( ) K = exp( λ) exp λ π i e ti = i=1 k! (1.2.16) K exp[λπ i (e ti 1)]. (1.2.17) i=1 W równaniu (1.2.17) otrzymaliśmy wiȩc iloczyn K funkcji, z których każda jest innej zmiennej t i. Powyższa formuła pokazuje wzajemna niezależność zmiennych losowych N i. (Zmienne są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy wielowymiarowa funkcja tworząca momenty jest iloczynem brzegowych funkcji tworzących momenty) Podstawiaja c t i = t i t j = 0 dla j i otrzymujemy E [exp(tn i )] = exp[λπ i (e t 1)]. (1.2.18) Wzór (1.2.18) jest funkcja tworza ca moementy rozkładu Poissona z parametrem λπ i.

58 58 ROZDZIAŁ 1. ROZKŁADY WIELKOŚCI PORTFELA Złożone rozkłady ujemne dwumianowe Dystrybuanta: F S (x) = Pr(S x) = ( ) r + n 1 p r q n G n (x). n n=0 Wartość oczekiwana, wariancja i skośność zmiennej losowej S w tym przypadku dane są przez E[S] = rq p E[X], V ar[s] = rq p E[X2 ] + rq2 p 2 (E[X])2 E [ (S N E [S N ]) 3] = rq p E [ X 3] + 3 rq2 p 2 E [ X 2] E [X] + 2 rq3 p 3 (E [X])3. Ponadto ( ) r p M S (t) =. 1 qm X (t)

59 1.2. ROZKŁADY W MODELU ZŁOŻONYM 59 Przykład Załóżmy, że szkoda S ma złożony rozkład ujemny dwumianowy, z parametrami r = 5 i p = 0.6 i rozkładem szkód jak w poniższej tabeli. Wyliczymy Pr(S = x). Rozkład pojedynczego roszczenia. x f X (x) Mamy więc ( ) P S (t) =, (1.2.19) 1 0.4P X (t) gdzie funkcja tworzaca zmiennej losowej X jest równa P X (t) = 0.05t + 0.1t t t t t 6. (1.2.20) Wstawiajac (1.2.20) do (1.2.19) otrzymujemy ( ) P S (t) = 1 0.4(0.05t + 0.1t t t t t 6. (1.2.21) ) Rozwijajac powyższe równanie w szereg Taylora, możemy odczytać rozkład zmiennej S P S (t) = t t t t t t t t t Maple suma-losowa-nbin.mws

60 60 ROZDZIAŁ 1. ROZKŁADY WIELKOŚCI PORTFELA Rysunek 1.2.6: r =5

61 1.2. ROZKŁADY W MODELU ZŁOŻONYM 61 Rysunek 1.2.7: r =50

62 62 ROZDZIAŁ 1. ROZKŁADY WIELKOŚCI PORTFELA Ważny przypadek szczególny W szczególności, gdy r = 1 otrzymujemy złożony rozkład geometryczny z atomem w zerze i piszemy S N CGeo(p, F ). Jeśli dla złożonego rozkładu geometrycznego X ma rozkład standardowy wykładniczy F X (x) = 1 e x, x > 0, to M X (t) = 1 1 t oraz p M SN (t) = p + q p t, co oznacza, że rozkład sumy jest mieszanka atomu w zerze wielkości p i rozkładu wykładniczego z parametrem p, tzn. F SN (x) = pi (0, ) (x) + q(1 e px ).

63 1.2. ROZKŁADY W MODELU ZŁOŻONYM 63 Przykład Rozkłady złożone ujemne dwumianowe można czasem utożsamić z rozkładami złożonymi dwumianowymi. Niech S = S N = X X N, gdzie N Bin (r, p), r N, X i maja rozkład Exp(λ), tzn. S N CBin (r, p, Exp(λ)). Porównanie funkcji tworza cych momenty daje jednak również, że S N CBin(r, 1 p, Exp(λp)) CBin (r, p, Exp(λ)). Jeżeli natomiast X i maja rozkład Geo(λ), tzn. S N CBin (r, p, Geo(λ)) to zachodzi również S N CBin(r, 1 p, Geo(λ)) CBin (r, p, Geo(λ)). Wyjściowy rozkład ujemny dwumianowy ma nośnik nieskończony, a rozkład dwumianowy ma nośnik {0,..., r}.

64 64 ROZDZIAŁ 1. ROZKŁADY WIELKOŚCI PORTFELA Fakt Jeśli S (1), S (2),..., S (n) sa niezależnymi zmiennymi losowymi i S (i) ma rozkład złożony CBin (r (i), p, F ) to S = n i=1 S (i) ma rozkład złożony ujemny dwumianowy CBin (r, p, F ) dla n r = r (i). i=1

65 1.2. ROZKŁADY W MODELU ZŁOŻONYM Wzory rekurencyjne Panjera Dla N niech p k = f N (k) = P (N = k), k N. Załóżmy, że p k = ( a + b ) p k 1, k 1, k dla pewnego doboru parametrów a i b. Zapisuja c to inaczej dostajemy k p k p k 1 = ka + b =: l(k). Twierdzenie Jeśli S = X 1 + +X N jest sumarycznym roszczeniem w portfelu, g k := P (X i = k), k N oznacza rozkład pojedynczego roszczenia, to oraz P (S = k) = E [S n ] = 1 1 a i=0 gi 0 p i dla k = 0 1 k b i 1 ag 0 i=1 (a + k )g ip (S = k i) dla k 1 n ( ) n n (a + b k k n )E [ S n k] E [ X k], n 1. k=1

66 66 ROZDZIAŁ 1. ROZKŁADY WIELKOŚCI PORTFELA Dowód: Niech f k := P (S = k). Rezultat dla k = 0 wynika bezpośrednio ze wzoru na prawdopodobieństwo całkowite. Dla pozostałych k mamy, dla S n = X X n, n ne(x 1 S n = k) = E(X m S n = k) =E(S n S n = k) =k, m=1 Stąd 1 n = E(X 1 k S n = k) oraz f k = = = P (S = k N = n)p n = n=1 n=1 n=1 p n g n k = (a + b n )p n 1g n n=1 p n 1 E[a + b X 1 k Licząc wprost z definicji, k = S n = k]g n k. dla n = 1 E[a + b X 1 1 k X i = k] = a + b. i=1 oraz dla n > 1 E[a + b X n 1 k X i = k] = (a + b 0/k) g 0g n 1 k gk n i=1 + (a + b 1/k) g 1g n 1 k 1 gk n + + (a + b k/k) g kg0 n 1 gk n = 1 g n k k (a + b i k )g ig (n 1) k i i=0

67 1.2. ROZKŁADY W MODELU ZŁOŻONYM 67 Wstawiając do pierwszej sumy mamy f k = p 0 (a + b)g k + = p 0 (a + b)g k + = p 0 (a + b)g k + k n=2 i=0 k n=1 i=0 i=0 p n 1 (a + b i k )g ig (n 1) k i = p n (a + b i k )g ig (n) k i = k (a + b i k )g i = p 0 (a + b)g k + ag o p n g n n=1 ( p n gk n = f k, f 0 = n=1 n=1 k 1 k + p n g0 n ) n=0 i=1 p n g (n) k i = k 1 = ag 0 f k + (a + b i k )g if k i + (a + b)g k f 0 = ag 0 f k + i=1 k (a + b i k )g if k i. i=1 Wyliczając f k z tego równania f k = (a + b i k )g i p n gk i n + (a + b)g k 1 (1 ag 0 ) n=1 k (a + b i k )g if k i. i=1 n=1 p n g n 0

68 68 ROZDZIAŁ 1. ROZKŁADY WIELKOŚCI PORTFELA Uwaga Przewaga rekurencji Panjera nad postȩpowaniem rekurencyjnym bezpośrednio z definicji polega na różnicy w złożoności obliczeniowej. W celu obliczenia P (S n = j) potrzebujemy w pierwszym przypadku O(j 2 ) operacji, podczas gdy w drugim przypadku algorytm wymaga O(j 3 ) obliczeń. Przykład Niech N P oi(λ) i X > 0. Wtedy exp( λ) dla k = 0 P (S = k) = λ k k i=1 ig ip (S = k i) dla k 1 Przykład Niech N Geo(p) i X > 0. Wtedy k P (S = k) = p g i P (S = k i), k 1. i=1

69 1.3. APROKSYMACJE Aproksymacje Aproksymacja rozkładem dwumianowym i Poissona. Przykład Niech X i Bin(1, p i ), i = 1,..., n, S n = X X n. Wtedy nie można użyć Twierdzenia Ponieważ E [S n ] Var [S n ], aproksymacja zmienna losowa N o rozkładzie dwumianowym (dla której E [N] Var [N]) jest dopuszczalna. Niech N Bin(n, p), gdzie p = pi n n i=1. Ponieważ E [N] = np, wiȩc E [N] = E [S n ]. Mamy jednak Var [N] Var [S n ] = n i=1 p2 i (1 1 n ). Przykład Niech X i Bin(1, p i ), i = 1,..., n. Można przybliżyć rozkład S n rozkładem Poissona tak, aby została zachowana średnia. Mamy E [S n ] = p i, Var [S n ] = p i (1 p i ). Niech N P oi(λ), λ = p i. Wtedy E [N] = E [S n ]. Nastȩpuje jednak przeszacowanie wariancji: mamy Var [N] Var [S n ] = p 2 i. Stosowanie aproksymacji Poissonowskiej ma sens w przypadku, gdy E [S n ] Var [S n ], tzn., gdy p 2 i jest małe. W przeciwnym przypadku aproksymacja ta jest gorsza niż w przypadku aproksymacji dwumianowej. Przykładowo, niech n = 19, p i = 0.05i, i = 1,..., 19, wtedy p 2 i = Przykład Jeżeli S n ma rozkład Bin(n, p n ) oraz p n jest małe, to rozkład S n przybliża siȩ w praktyce rozkładem Poissona. Sytuacja taka nasta pi np. wtedy, gdy w portfelu mamy n ryzyk, każde generuja ce szkodȩ X i, i = 1,..., n i interesuja nas te szkody, które przekrocza poziom u. Wtedy K = n i=1 I(X i > u) ma rozkład Bin(n, p), p = P (X i > u). Jeżeli u jest duże, to p jest małe i aproksymacja ma sens.

70 70 ROZDZIAŁ 1. ROZKŁADY WIELKOŚCI PORTFELA Rysunek 1.3.1: Przybliżanie sumy niejednorodnych rozkładów dwumianowych rozkładami Poissona i dwumianowym: wartości dokładne (linia ci agła), aproksymacja Poissona (krzyżyki), aproksymacja dwumianowa (kółka)

71 1.3. APROKSYMACJE Rysunek 1.3.2: Aproksymacja Poissonowska dla rozkładu dwumianowego Bin(n, p n ): Rysunek lewy - n = 20, p n = 0.1; rysunek prawy - n = 20, p n = 0.4. Linia ci agła - wartości dokładne.

72 72 ROZDZIAŁ 1. ROZKŁADY WIELKOŚCI PORTFELA Aproksymacja rozkładem normalnym. X 1, X 2,... iid µ = E [X] < σ 2 = Var [X] <, Centralne Twierdzenie Graniczne, dla S n = X X n ( ) S n E [S n ] P x n Φ(x) = Var [Sn ] x 1 2π e u2 2 du. Wartości Φ(x) sa zawarte w tablicach rozkładu normalnego Stąd: ( ) y E [S n ] P (S n y) Φ, Var [Sn ] przy czym E [S n ] = nµ oraz Var [S n ] = nσ 2. Tego rodzaju przybliżenie stosuje siȩ również w przypadku, gdy (X i ) sa niezależne, ale być może o różnych rozkładach. Wtedy kładziemy E [S] = n i=1 µ i, Var [S] = n i=1 σ2 i, gdzie µ i = E [X i ], σ 2 i = Var [X i]. Przykład Chcemy policzyć rozkład zmiennej S n = X X n, gdzie (X i ) i 1 maja ten sam rozkład i P (X = i) Funkcja tworza ca prawdopodobieństwa ma postać P X (t) = t + 0.4t t 3, a sta d P S (t) = ( t + 0.4t t 3 ) n. Stosujemy aproksymacjȩ normalna (E [S] = n 1.3, Var [S] = n 1.01) i dla n = 3 oraz n = 10 sporządzamy przybliżenia (rysunek) Widzimy, że dla n = 10 mamy lepsza zgodność z rozkładem normalnym.

73 1.3. APROKSYMACJE Rysunek 1.3.3: Przybliżenie rozkładem normalnym: wartości dokładne (kółka) i aproksymacja (linia ci agła) dla n = 3 i n = 10.

74 74 ROZDZIAŁ 1. ROZKŁADY WIELKOŚCI PORTFELA Przykład Jezeli zmienna losowa X ma rozkład Bin(n, p) oraz n, to z Twierdzenia Moivre a-laplace a mamy X np npq d n Z N(0, 1). Lepsze wyniki daje zastosowanie czynnika koryguja cego 0.5, tzn. przybliżamy ( ) x np P (X x) Φ. npq Przykład Załóżmy, że zmienna losowa N ma rozkład P oi(λ). Zauważmy, że jeśli λ jest całkowite, to N można przedstawić (co do rozkładu) jako N N λ, gdzie składniki sa niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie P oi(1). Centralne Twierdzenie Graniczne można wiȩc stosować w ogólnym przypadku i otrzymać przybliżenie (dla dużych λ) ( ) k λ P (N k) Φ. λ Przybliżenie to jest jednak niedokładne dla małych wartości λ. Intuicyjnie jest to jasne: rozkład normalny bȩda cy symetrycznym nie może dawać dobrych przybliżeń dla Poissona z małym λ, a wiȩc z duża skośnościa 1 λ.

75 1.3. APROKSYMACJE 75 Przykład Załóżmy, że X 1,..., X n sa niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie wykładniczym ze średnia 1. Wtedy zmienna losowa S n = n i=1 X i ma rozkład Γ(n, 1). Rozkład standaryzowanej zmiennej losowej S n = (S n nµ X )/(σ X n), k = 1,..., n, ma wtedy postać ( F S n (u) = P (Sn Sn nµ X u) = P σ X n = P ( ) S n σ X nu + nµx ) u = F Sn (σ X nu + nµx ), a sta d (uwzglȩdniaja c µ X = σ X = 1), f S n (u) = nf Sn ( nu + n). Ponieważ dla rozkładu Γ(n, 1) mamy f Sn (x) = xn 1 exp( x) (n 1)!, wiȩc kłada c x = nu + n dostajemy f S n (u) = n ( nu + n) n 1 exp( nu) exp( n). (n 1)! Zauważmy, że zmienne losowe Sn przyjmuja wartości w przedziale ( nµ X /σ X, ). Z Centralnego Twierdzenia Granicznego zmienna losowa Sn ma dla dużych n rozkład w przybliżeniu normalny. Na jednym rysunku przedstawimy wykresy gȩstości zmiennej Sn dla różnych wartości n oraz gȩstość rozkładu N(0, 1). Dobre dopasowanie mamy już od n = 30.

76 76 ROZDZIAŁ 1. ROZKŁADY WIELKOŚCI PORTFELA u Rysunek 1.3.4: Aproksymacja rozkładu Gamma rozkładem normalnym. Rozkład normalny (linia ci agła) i przesuniȩte rozkłady Gamma: k = 2 (kółka) i k = 30 (krzyżyki).

77 1.3. APROKSYMACJE 77 Przykład Towarzystwo ubezpieczeniowe oferuje roczne kontrakty w wysokości 1 i 2, w grupach osób, gdzie w pierwszej grupie prawdopodobieństwo śmierci równa sie 0.02, a w drugiej 0.10: k q k b k n k gdzie n k oznaczaja liczebności konkraktów. Towarzystwo to zamierza za 1800 powyżej opisanych kontraktów zebrać tyle składek, aby z prawdopodobieństwem 0.95 sumaryczna szkoda S = X X 1800 była mniejsza od zebranej sumy. Przy tym wymaga siȩ, aby składka każdego osobnika była proporcjonalna do wartości oczekiwanej jego szkody, tzn. ma być postaci (1 + θ)e[x j ], dla pewnej stałej θ > 0 (składka wartości oczekiwanej). Zmienne X i sa niezależne o rozkładach P (X i = b k ) = q k, P (X i = 0) = 1 q k, przy czym rozkłady zależa od typu kontraktu ( np. dla i = 1,..., 500, k = 1). Należy wiȩc znaleźć θ takie, że P (S (1 + θ)e [S]) = 0.95, co jest równoważne P ( ) S E [S] θe [S] = 0.95, Var [S] Var [S] i korzystaja c z przybliżenia rozkładem normalnym ( ) θe [S] Φ = Var [S] Z tablic odczytujemy θe [S] Var [S] =

78 78 ROZDZIAŁ 1. ROZKŁADY WIELKOŚCI PORTFELA Pozostaje wiȩc policzyć E [S] i Var [S]. k q k b k E[X k ] V ar[x k ] n k n k E[X k ] Sumuja c odpowiednio otrzymujemy E [S] = 160 oraz Var [S] = 256. Wstawiaja c te wartości wyżej otrzymujemy θ = (czyli narzut na skladkȩ netto powinien wynosić 16.5%, aby zapewnić 95% pewność, że składki pokryja szkody).

79 1.3. APROKSYMACJE 79 Przykład Portfel X 1,..., X n jest dwuwarstwowy, dla n = n 1 + n 2 ryzyk postaci X i = I i B i, gdzie P (I i = 1) = q i. Inaczej mówiąc, ubezpieczenia wypadkowe sa dwojakiego rodzaju (k = 1, 2) i mają taka samą strukturę. Rozkład wypłaty (pod warunkiem, że szkoda nastȩpuje) tzn. X k I k = 1 jest rozkładem obciȩtym wykładniczym. Rozkład obciȩty wykładniczy zadany jest dystrybuanta F B (x) = 0 dla x < 0 1 e λx dla 0 x < L 1 dla x L, dla pewnego L > 0. Specyfikuja c różne wartości parametrów skali i poziomu obciȩcia, zakładamy nastȩpuja ce dane k n k q k λ k L k Wyliczaja c momenty otrzymujemy E [X k I k = 1] = 1 e λ kl k λ k, E [ Xk I 2 k = 1 ] = 2 λ 2 (1 e λ kl k ) 2L k e λ kl k, k λ k Var [X k I k = 1] = 1 2λ kl k e λ kl k e 2λ kl k λ 2. k Zbieraja c wyniki dla poszczególnych typów kontraktów mamy k q k µ k σ 2 k E[X k ] V ar[x k ] n k Ostatecznie E [S] = = 95.89, Var [S] = =

80 80 ROZDZIAŁ 1. ROZKŁADY WIELKOŚCI PORTFELA i szukamy θ takiego, że P (S (1 + θ)e [S]) = 0.95 Stosuja c tablice rozkładu normalnego i przybliżenie rozkładem normalnym, znajdujemy dla S = X X n, θe [S] Var [S] = Sta d θ = , to znaczy, że należy przyja ć narzut ponad osiemnastoprocentowy na wartość średnią, aby z prawdopodobieństwem 0.95 składki (z narzutem) pobierane jako wartość średnia z narzutem pokryły wartość zgłoszonych szkód.

81 1.3. APROKSYMACJE Aproksymacja rozkładów złożonych rozkładem normalnym Centralne Twierdzenie Graniczne jest prawdziwe również dla sum losowych. Twierdzenie Jeśli S = X X N ma rozkład złożony Poissona CP oi(λ, F ), to S λe [X] λe [X2 ] d λ N(0, 1) Dowód: Niech Y = S λe [X] λe [X2 ]. (1.3.1) Pokażemy, że Mamy lim M Y (t) = exp(t 2 /2), t R. λ M Y (t) = E [ e ty ] [ ( )] ( ) S = E exp λe [X2 ] t λte [X] exp λe [X2 ] ( ) ( ) t λte [X] = M S exp. λe(x2 ) λe [X2 ] Używaja c wzoru (1.2.4) otrzymujemy ( ( ) ] ) t λte [X] M Y (t) = exp λ [M X 1. λe [X2 ] λe [X2 ] Korzystaja c z rozwiniȩcia funkcji tworza cej momenty w szereg Taylora M X (t) = 1 + te [X] 1! + t2 E [ X 2] 2! +... oraz podstawiaja c t/ λe [X 2 ] w miejsce t otrzymujemy M Y (t) = exp ( 1 2 t λ E [ X 3] ) E [ +... X 3/2]t3 λ exp(t2 /2).