Wkażdym doświadczeniu losowym można wyróżnić

Transkrypt

1 geometryczne Przestrzeń zdarzeń elementarnych Algebra zdarzeń Zdarzenia probabilizowalne Wkażdym doświadczeniu losowym można wyróżnić pewne najprostsze, elementarne wyniki(zdarzenia), charakteryzujące się tym, że każde powtórzenie doświadczenia kończy się jednym i tylko jednym z nich. Oprócz zdarzeń elementarnych można rozpatrywać również inne zdarzenia złożone. Niech Ω będzie dowolną przestrzenią lub zbiorem punktów ω. Przestrzeń Ω nosi nazwę przestrzeni zdarzeń elementarnych, a jej elementy ω nazywają się zdarzeniami elementarnymi. Są to pojęcia pierwotne. Zdarzeniem losowym(zdarzeniem) nazywamy każdy podzbiór przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω.

2 geometryczne Przestrzeń zdarzeń elementarnych Algebra zdarzeń Zdarzenia probabilizowalne Będziemy mówili, że zaszło zdarzenie A, gdy w wyniku doświadczenia losowego wybrano w przestrzeni Ω element ω A. oznaczamy zawsze wielkimi literami, najczęściej z początkualfabetu: A,B,C,... Przykład(rzut monetą symetryczną) Możliwesądwazdarzeniaelementarne:O(ω 1 )ir(ω 2 ).Zatem Ω ={ω 1,ω 2 }. Przykład(rzut kością symetryczną) Wtymdoświadczeniu Ω ={ω 1,ω 2...,ω 6 }.Zdarzeniewypadła parzystaliczbaoczek(zdarzeniezłożone)to, A ={ω 2,ω 4,ω 6 }.

3 geometryczne Przestrzeń zdarzeń elementarnych Algebra zdarzeń Zdarzenia probabilizowalne Przykład(n-krotny rzut monetą symetryczną) Każdemu wynikowi odpowiada n-elementowy ciąg np. OOORROO. Zatem zbiór Ω składa się ze wszystkich możliwych n-elementowych ciągówtejpostaci.oczywiścietakichciągówjest2 n. Przykład(praca centrali telefonicznej) Obserwujemy pracę centrali telefonicznej w pewnym ustalonym odcinku czasu i notujemy liczbę zgłoszeń. Oczywiście ta liczba jest skończona, ale nie wiemy jaka jest jej górna granica. W takiej sytuacji prościej jest przyjąć, że wynikami obserwacji mogą być wszystkieliczbynaturalne.zatem Ω ={0,1,2,...}.

4 geometryczne Przestrzeń zdarzeń elementarnych Algebra zdarzeń Zdarzenia probabilizowalne Przykład(strzelanie do tarczy) Strzelamy do tarczy prostokątnej w układzie współrzędnych i każdemu strzałowi przyporządkowujemy współrzędne na tarczy. Wówczas zbiór zdarzeń elementarnych stanowi cała płaszczyzna Ω ={(x,y) : <x<, <y< }, gdzie x, y są liczbami rzeczywistymi.

5 geometryczne Przestrzeń zdarzeń elementarnych Algebra zdarzeń Zdarzenia probabilizowalne Zgodnie z definicją zdarzenia utożsamiamy ze zbiorami, zatem wszelkie wiadomości dotyczące zbiorów można przenieść na zdarzenia. W szczególności na zdarzeniach można wykonywać takie same działania jak na zbiorach. Zdarzeniem pewnym nazywamy całą przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω. Zdarzeniem niemożliwym nazywamy podzbiór pusty przestrzeni Ω. Zdarzenie A jest zatem pewne jeśli zachodzi przy każdej realizacji rozpatrywanego doświadczenia. Natomiast jest niemożliwe, jeżeli nie zachodzi przy żadnej realizacji doświadczenia.

6 geometryczne Przestrzeń zdarzeń elementarnych Algebra zdarzeń Zdarzenia probabilizowalne Różnicę zdarzeń Ω\A nazywamy zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia A(dopełnieniemzdarzenia A)ioznaczamy A (A C lub Ā).

7 geometryczne Przestrzeń zdarzeń elementarnych Algebra zdarzeń Zdarzenia probabilizowalne Mówimy, że zdarzenia A i B się wykluczają(wyłączają), jeżeli nie mają żadnego wspólnego elementu przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω,tzn.jeżeli A B = Mówimy,żezdarzenia A 1,A 2,...,A n tworząukładzupełny zdarzeń, jeżeli wykluczają się parami i ich suma jest zdarzeniem pewnym tj. n A i = Ω, i=1 A i A j =,dla i j, i,j =1,2,...,n.

8 geometryczne Przestrzeń zdarzeń elementarnych Algebra zdarzeń Zdarzenia probabilizowalne Rysunek: Zupełny układ zdarzeń.

9 geometryczne Przestrzeń zdarzeń elementarnych Algebra zdarzeń Zdarzenia probabilizowalne Do tej pory nadaliśmy zdarzeniom losowym postać abstrakcyjnych zbiorów. Jest to pierwszy etap budowy rachunku prawdopodobieństwa jako teorii aksjomatycznej. Teraz należy tym zdarzeniom przypisać prawdopodobieństwo, które byłoby teoretycznym odpowiednikiem obserwowalnej częstości zachodzenia tego zdarzenia przy dużej liczbie powtórzeń doświadczenia losowego. Niestety nie zawsze da się to zrobić. Z taką sytuacją mamy do czynienia w przypadku zbiorów niemierzalnych. Z tego powodu w każdej przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω będziemy wyróżniać pewną klasę F zdarzeń, dla których określimy prawdopodobieństwo. Zdarzenia te będziemy nazywali zdarzeniami probabilizowalnymi. Zdarzenia nie należące do tej klasy nazwiemy natomiast zdarzaniami nieprobabilizowalnymi.

10 geometryczne Przestrzeń zdarzeń elementarnych Algebra zdarzeń Zdarzenia probabilizowalne JakiezatemwarunkimusispełniaćklasaF,abybyłsensuznaćją za klasę zdarzeń probabilizowalnych. Oczywiście jeśli chcemy mówić o prawdopodobieństwie jakiegoś zdarzenia A(tzn. A F), to musi mieć sens również mówienie o prawdopodobieństwie zdarzeniaprzeciwnego(a F).Podobniejeślichcemymówićo prawdopodobieństwiezdarzeń AiB(tzn. A,B F),tomusimy móc również mówić o prawdopodobieństwie ich alternatywy, koniunkcjiiróżnicy(a B F, A B F, A\B F).Niestety jak się już przekonaliśmy w pewnych sytuacjach mamy do czynienia z nieskończonymi ciągami zdarzeń, zatem dla nich też musimy móc określać prawdopodobieństwa alternatywy i koniunkcji.

11 geometryczne Przestrzeń zdarzeń elementarnych Algebra zdarzeń Zdarzenia probabilizowalne Niepusta klasa F podzbiorów zbioru Ω nazywa się σ-algebrą (σ-ciałem) zbiorów, jeżeli spełnia następujące warunki: 1 o Ω F, 2 o jeżeli A i F,dla n =1,2,...,to 3 o jeżeli A F,to A F. i=1 A i F, Dowolne co najwyżej przeliczalne działania mnogościowe wykonywane na zbiorach σ-algebry F dają w wyniku zbiór również należący do σ-algebry F. Przestrzeń Ω wraz z σ-algebrą F jej podzbiorów nazywamy przestrzenią mierzalną i oznaczmy (Ω, F).

12 geometryczne Przestrzeń zdarzeń elementarnych Algebra zdarzeń Zdarzenia probabilizowalne Kolejne pytanie jakie powstaje, to jaką σ-algebrę wybrać. Należy rozróżnić dwa przypadki: przestrzeń zdarzeń Ω jest co najwyżej przeliczalna, przestrzeń zdarzeń Ω jest nieprzeliczalna.

13 geometryczne Przestrzeń zdarzeń elementarnych Algebra zdarzeń Zdarzenia probabilizowalne W tej pierwszej sytuacji jako σ-algebrę przyjmuje się klasę wszystkichzdarzeń,oznaczaną2 Ω.Wconajwyżejprzeliczalnych przestrzeniach nie ma zatem zdarzeń nieprobabilizowalnych, każde zdarzenie ma prawdopodobieństwo. Zdarzenia takie pojawiają się dopiero nieprzeliczalnych przestrzeniach Ω. Z takich przestrzeni nieprzeliczalnych rozpatrywać będziemy jedynie podzbiory przestrzenieuklidesowych R k.wtakiejsytuacjizaσ-algebrę przyjmiemy klasę podzbiorów borelowskich przestrzeni Ω, oznaczanąb(r k ).

14 geometryczne Przestrzeń zdarzeń elementarnych Algebra zdarzeń Zdarzenia probabilizowalne Klasę B(R) zbiorów borelowskich na prostej rzeczywistej można zdefiniować jako klasę wszystkich zbiorów, które można otrzymać z przedziałów otwartych(domkniętych, półotwartych) za pomocą co najwyżej przeliczalnej liczby operacji mnogościowych. W szczególności zbiorami borelowskimi są wszystkie przedziały postaci (a,b), [a,b], (a,b], [a,b), (,b), (,b], (a, ), [a, ), wszystkie zbiory jednopunktowe, wszystkie zbiory przeliczalne, wszystkie zbiory otwarte, wszystkie zbiory domknięte, cała prosta oraz zbiór pusty. Podobnie możemy zdefiniować klasę zbiorów borelowskichb(r 2 )napłaszczyźnie.jesttozatemklasa wszystkich zbiorów płaskich, które można otrzymać z prostokątów za pomocą co najwyżej przeliczalnej liczby operacji mnogościowych. Analogicznie postępujemy dla wyższych wymiarów. określa się tylko na zbiorach należących do σ-algebry. Dla pozostałych się go nie wyznacza.

15 geometryczne Własności prawdopodobieństwa Dyskretna przestrzeń probabilistyczna Klasyczna definicja prawdopodobieństwa Weźmy pod uwagę ustaloną przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω wraz σ-algebrą F. Prawdopodobieństwem(miarą probabilistyczną, rozkładem prawdopodobieństwa) na przestrzeni mierzalnej (Ω, F) nazywamy funkcję rzeczywistą określoną na zbiorach z F i spełniającą następujące aksjomaty: A1. P(A) 0,dlakażdego A F, A2. P(Ω) =1, A3.jeżeli (A n )jestciągiemtakichzdarzeńnależącychdof,że A i A j =,dla i j,to P( A n ) = P(A n )(przeliczalnaaddytywność). n=1 n=1 Trójka (Ω, F, P) nazywa się przestrzenią probabilistyczną.

16 geometryczne Własności prawdopodobieństwa Dyskretna przestrzeń probabilistyczna Klasyczna definicja prawdopodobieństwa Wprowadzony układ aksjomatów jest niesprzeczny i niezupełny, tzn. nie wyznacza konkretnych wartości liczbowych funkcji P. Nie mówi zatem jak liczyć prawdopodobieństwo. ta jest bardzo ogólna, pozwala dla konkretnego eksperymentu rozpatrywać wiele różnych przestrzeni probabilistycznych. Przykład(rzut monetą symetryczną) Przeanalizujmy ponownie rzut monetą symetryczną. Przykład(rzut dwoma kośćmi) Przeanalizujmy doświadczenie polegające na dwukrotnym rzucie symetryczną kostką.

17 geometryczne Własności prawdopodobieństwa Dyskretna przestrzeń probabilistyczna Klasyczna definicja prawdopodobieństwa Widzimy, że zbiór Ω pełni rolę pomocniczą, natomiast główna informacja o eksperymencie zawarta jest w F oraz P. Oczywiście powstaje pytanie jakie wartości przyjąć za prawdopodobieństwa zdarzeń elementarnych. Należy je tak wybrać, aby w długich seriach n powtórzeń równały się one częstości pojawiania się konkretnych wyników. Powinniśmy kierować się zdrowym rozsądkiem, a nie ścisłością matematyczną. Z tego powodu niezupełność układu aksjomatów jest korzystna, pozwala tym samym zdarzeniom przyporządkować różne prawdopodobieństwa w zależności od konkretnej sytuacji. Podobnie ta sama przestrzeń probabilistyczna nadaje się do opisu różnych zjawisk, trzeba tylko odpowiednio interpretować zdarzenia elementarne i przypisać im prawdopodobieństwa.

18 geometryczne Własności prawdopodobieństwa Dyskretna przestrzeń probabilistyczna Klasyczna definicja prawdopodobieństwa Zauważmy, że cały czas była mowa o przyporządkowywaniu prawdopodobieństw, a nie o ich obliczaniu. W oparciu o przyjęte aksjomaty można pokazać szereg twierdzeń, które pozwolą na obliczanie prawdopodobieństw pewnych zdarzeń, gdy znane są prawdopodobieństwa innych zdarzeń. Oznacza to, że pewne prawdopodobieństwa mierzymy doświadczalnie, a pozostałe wyliczamy w oparciu o odpowiednie twierdzenia. Przestrzeń probabilistyczna stanowi formalny odpowiednik powszechnie stosowanego terminu doświadczenie losowe. Można powiedzieć, że stanowi ona model probabilistyczny doświadczenia losowego. Badaniem takich modeli zajmuje się rachunek prawdopodobieństwa. Wszystkie pokazywane twierdzenia dotyczą właśnie takich modeli, a nie rzeczywistych doświadczeń. Użyteczność modeli polega na tym, że jeśli znajdziemy prawdopodobieństwo pewnego zdarzenia w modelu, to wiemy, że w długiej serii doświadczeń częstość zdarzenia będzie w przybliżeniu taka sama.

19 geometryczne Własności prawdopodobieństwa Dyskretna przestrzeń probabilistyczna Klasyczna definicja prawdopodobieństwa Możemy zatem wyróżnić następujące etapy rozwiązywania zadania dotyczącego doświadczenia losowego: 1 Konstrukcja modelu probabilistycznego doświadczenia losowego, czyli przestrzeni probabilistycznej. 2 Rozwiązanie zadania w tym modelu(odpowiada on doświadczeniu). 3 Interpretacja rozwiązania otrzymanego z modelu do doświadczenia losowego. Tylko w etapie drugim potrzebna jest nam cała teoria prawdopodobieństwa. Najczęściej najtrudniejszy jest etap pierwszy, jest on zarazem najważniejszy.

20 geometryczne Własności prawdopodobieństwa Dyskretna przestrzeń probabilistyczna Klasyczna definicja prawdopodobieństwa Theorem Niech A,B,A n F.manastępujące własności: 1 jeśli A B,to P(A) P(B), 2 P(A) 1, 3 P(A ) =1 P(A), 4 P( ) =0, 5 P(B\A) = P(B) P(A B), 6 jeśli A B,to P(B\A) = P(B) P(A), 7 P(A B) = P(A)+P(B) P(A B).

21 geometryczne Własności prawdopodobieństwa Dyskretna przestrzeń probabilistyczna Klasyczna definicja prawdopodobieństwa Jeśli zbiór zdarzeń jest co najwyżej przeliczalny, można podać prosty i intuicyjny opis wszystkich możliwych prawdopodobieństw. Theorem Jeśli Ω ={ω 1,ω 2,...}jestzbioremprzeliczalnym,aF =2 Ω oraz P({ω i }) = p i, i =1,2,... p n =1, n=1 todladowolnego A Ωmamy P(A) = {n:ω n A} p n.

22 geometryczne Własności prawdopodobieństwa Dyskretna przestrzeń probabilistyczna Klasyczna definicja prawdopodobieństwa Twierdzenie to mówi, że w tym przypadku prawdopodobieństwo jest jednoznacznie wyznaczone przez prawdopodobieństwa zdarzeń elementarnych.dlategokażdyciąg (p i )spełniającypowyższe warunki wyznacza prawdopodobieństwo na Ω. Układliczb p 1,p 2,...,gdzie p n 0oraz n=1 p n =1nazywasię dyskretnym rozkładem prawdopodobieństwa. Przykład(rzut monetą do pierwszego sukcesu) Rzucamy symetryczną monetą do chwili wyrzucenia orła. Skonstruować zbiór zdarzeń elementarnych i wybrać odpowiednie prawdopodobieństwo.

23 geometryczne Własności prawdopodobieństwa Dyskretna przestrzeń probabilistyczna Klasyczna definicja prawdopodobieństwa (Klasyczna definicja prawdopodobieństwa) Niech Ωbędziezbioremskończonymiskładasięzn równoprawnych elementów. dowolnego zdarzenia losowego A Ω określa się wzorem P(A) = n(a) n(ω), gdzie n(a) oznacza liczbę wyników sprzyjających zdarzeniu A.

24 geometryczne Własności prawdopodobieństwa Dyskretna przestrzeń probabilistyczna Klasyczna definicja prawdopodobieństwa ta została podana przez Laplace a w 1812 roku. Jak widać określa ona prawdopodobieństwo za pomocą zdarzeń równoprawdopodobnych. Powstaje w ten sposób błędne koło. Nie należy więc używać tej definicji jako definicji prawdopodobieństwa, a jedynie jako metodę obliczania aksjomatycznie zdefiniowanego prawdopodobieństwa w pewnych sytuacjach. Klasyczna definicja może być stosowana jedynie do zbiorów skończonych. Ponadto jedynie do takich, których wyniki są jednakowo prawdopodobne.

25 geometryczne Własności prawdopodobieństwa Dyskretna przestrzeń probabilistyczna Klasyczna definicja prawdopodobieństwa Przykład(1) Skreślamy siedem spośród czterdziestu dziewięciu liczb. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że maszyna losująca(bez zwracania) sześćz49kulekznumeramiod1do49,wylosujedokładniecztery nasze liczby? Przykład(2) Zpudła,wktórymjestpięćparbutów,dzieckowyciągadwabuty. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że są one z jednej pary. Przykład(3) Spośród 5 kul niebieskich, 3 kul czerwonych oraz 2 kul zielonych, wybrano bez zwracania 6 kul. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że wśród wylosowanych kul:(a) są dokładnie 3 kule niebieskie;(b) są3kuleniebieskiei2kuleczerwone?

26 geometryczne Własności prawdopodobieństwa Dyskretna przestrzeń probabilistyczna Klasyczna definicja prawdopodobieństwa Przykład(4) Ze zbioru liczb naturalnych dwucyfrowych wybieramy losowo jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania liczby podzielnej przez 15. Przykład(5) Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania iloczynu oczek równego 5. Przykład(6) Rzucamy 3 razy symetryczną, sześcienną kostką do gry. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w każdym rzucie wypadnie mniej niż pięć oczek?

27 geometryczne Przykład(punkt na odcinku) Dany jest przedział [0,1]. Wybieramy z tego przedziału w sposób losowy punkt x. Zakładamy, że prawdopodobieństwa wylosowania dowolnego punktu są równe. Jakie jest prawdopodobieństwo, że x [0,1/3]? Dośćczęsto Ωjestpodzbiorem R n,naktórymistniejenaturalna miara(np. miara Lebesgue a), przy czym Ω ma miarę skończoną. Mówimy wtedy o prawdopodobieństwie geometrycznym, a rozwiązanie sprowadza się do znalezienia miary(pola, objętości) podzbioru R n.wiadomo,żejedynąmiarąbędącąuogólnieniem długości jest miara Lebesgue a(uogólnia znaną ze szkoły miarę Jordana długość, pole, objętość), zatem w dalszym rozważaniach taką właśnie miarę wybierzemy. Miarę Lebesgue a zbioru A R n będziemyoznaczaćλ n (A).

28 geometryczne Niech Ω B(R n ),takim,że0<λ n (Ω)< orazf=b(ω). dowolnego zdarzenia losowego A F definiujemy P(A) = λ n(a) λ n (Ω). Tak określone prawdopodobieństwo nazywamy geometrycznym.

29 geometryczne Przykład(spotkanie) Dwóch przyjaciół, którzy razem jeżdżą tramwajem do pracy z tej samej stacji przychodzą na stację losowo pomiędzy godziną 7.00 a 7.20 rano. Osoba, która przyjdzie pierwsza, czeka na drugą maksymalnie 5 minut. Jaka jest szansa, że pojadą do pracy razem?