Probabilistyczne podstawy statystyki matematycznej. Dr inż. Małgorzata Michalcewicz-Kaniowska

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Probabilistyczne podstawy statystyki matematycznej. Dr inż. Małgorzata Michalcewicz-Kaniowska"

Transkrypt

1 Probabilistyczne podstawy statystyki matematycznej Dr inż. Małgorzata Michalcewicz-Kaniowska 1

2 Zdarzenia losowe, algebra zdarzeń Do podstawowych pojęć w rachunku prawdopodobieństwa zaliczamy: doświadczenie losowe, zdarzenie losowe, zdarzenie elementarne, przestrzeń zdarzeń elementarnych. Doświadczeniem losowym nazywamy proces przyrodniczy lub zaplanowane doświadczenie, odbywające się w określonych warunkach, którego wyniku nie jesteśmy w stanie przewidzieć. Zdarzeniem losowym nazywamy każdy możliwy wynik doświadczenia losowego, wyróżniony ze względu na pewien specyficzny warunek. 2

3 Przykład 1 Rzut kostką sześcienną do gry jest doświadczeniem losowym. Z góry nie znamy wyniku, może wypaść jedno, dwa, lub sześć oczek na górnej ściance. Każdy z sześciu możliwych wyników jest zdarzeniem losowym. Przykład 2 Urząd gminy w pewnej miejscowości Z zatrudnia osoby w wieku od 19 do 62 lat. W kartotece dokonano pogrupowania zatrudnionych osób według płci i wieku. Uwzględniono trzy grupy wiekowe: grupa I -do 30 lat, grupa II -od 30 do 50 lat, grupa III -powyżej 50 lat. Doświadczeniem losowym jest określenie płci i grupy wiekowej, w jakiej znajdzie się pracownik wybrany losowo z kartoteki. Możemy np. wylosować kobietę z III grupy wiekowej. Wyniku doświadczenia nie możemy przewidzieć. Zdarzeniem losowym jest np. wybranie osoby płci męskiej. 3

4 Zdarzenie elementarne jest to zdarzenie losowe, które nie rozkłada się na prostsze zdarzenia. Zdarzeniem elementarnym jest każdy z możliwych wyników doświadczenia losowego, np. wyrzucenie sześciu oczek przy rzucie kostką do gry, wylosowanie sprawnego komputera. Zdarzenia elementarne oznaczać będziemy ϖi. (omega) Przestrzenią zdarzeń elementarnych nazywamy zbiór wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych i oznaczamy (omega)ω = {ϖ1, ϖ2,..., ϖn}. 4

5 Wykorzystując powyższe pojęcia można określić zdarzenie losowe jako dowolny podzbiór przestrzeni zdarzeń elementarnych, zawierający zdarzenia elementarne wyróżnione ze względu na pewien specyficzny warunek. Zdarzenia losowe oznaczamy A, B, C, itd. Jeżeli ϖi A, to mówimy, że zdarzenie elementarne ϖisprzyja zdarzeniu A. Często używa się określenia zdarzenie losowe A zachodzi. Ponieważ w teorii prawdopodobieństwa interesują nas wyłącznie doświadczenia losowe i zdarzenia losowe, będziemy często opuszczali słowo losowe. 5

6 Przykład 3 W przykładzie 1 zbiór Ω składa się z sześciu zdarzeń elementarnych; ϖ1 - wyrzucenie jednego oczka, ϖ2 -wyrzucenie dwóch oczek,..., ϖ6 -wyrzucenie sześciu oczek. Niech zdarzeniem losowym A będzie wyrzucenie parzystej liczby oczek. Składa się ono z trzech zdarzeń elementarnych: A = {ϖ2, ϖ4, ϖ6}, co symbolicznie możemy zapisać: A = {2, 4, 6}. Przykład 4 W przykładzie 2 mamy następujące zdarzenia elementarne: ϖ1 -mężczyzna z I grupy wiekowej, ϖ2 -mężczyzna z II grupy wiekowej, ϖ3 -mężczyzna z III grupy wiekowej, ϖ4 -kobieta z I grupy wiekowej, ϖ5 -kobieta z II grupy wiekowej, ϖ6 -kobieta z III grupy wiekowej. Rozważmy zdarzenia: A -z kartoteki wybrano kobietę i B -z kartoteki wybrano osobę w wieku powyżej 30 lat. Zdarzeniom A i B sprzyjają zdarzenia elementarne: A = {ϖ4, ϖ5, ϖ6} i B = {ϖ2, ϖ3, ϖ5, ϖ6}. 6

7 Zdarzeniem pewnym nazywamy zdarzenie, o którym wiadomo, że w określonym doświadczeniu losowym musi zajść, np. w rzucie kostką do gry wyrzucenie 1, 2,..., 6 oczek jest zdarzeniem pewnym. Zdarzenie pewne pokrywa się więc ze zbiorem zdarzeń elementarnych Ω. 7

8 Zdarzeniem niemożliwym nazywamy zdarzenie, o którym wiemy, że w określonym doświadczeniu losowym nie zajdzie. Zdarzenie niemożliwe nie zawiera żadnych zdarzeń elementarnych. Odpowiada mu zbiór pusty. 8

9 Sumę ( alternatywę ) zdarzeń A i B oznaczamy symbolem A B. Jest to zdarzenie, które zachodzi wtedy, gdy zajdzie zdarzenie A lub zdarzenie B, albo oba te zdarzenia. Suma zdarzeń A B składa się ze wszystkich zdarzeń elementarnych wchodzących w skład A i ze wszystkich zdarzeń elementarnych wchodzących w skład B. 9

10 Sumę ( alternatywę ) zdarzeń A i B 10

11 Przykład 5 Niech A oznacza zdarzenie polegające na wyrzuceniu jednego oczka w rzucie kostką do gry, B zdarzenie polegające na wyrzuceniu sześciu oczek na kostce, Suma zdarzeń A i B (A B) oznacza zdarzenie polegające na tym, że w rzucie kostką do gry wypadnie jedno lub sześć oczek. 11

12 Iloczyn (koniunkcja) zdarzeń A i B jest to zdarzenie, które zachodzi wówczas, gdy zachodzi zdarzenie A i jednocześnie zachodzi zdarzenie B. Iloczyn A i B oznaczamy A B. 12

13 Przykład 6 Niech D będzie iloczynem zdarzeń A i B określonych w przykładzie 4. D jest zdarzeniem polegającym na tym, że wybrany z kartoteki pracownik jest kobietą w wieku powyżej 30 lat. A zatem zdarzeniu D sprzyjają zdarzenia elementarne ϖ5, ϖ6 : D = {ϖ5, ϖ6}. 13

14 Różnica zdarzeń A i B jest to zdarzenie, które zachodzi wówczas, gdy zachodzi zdarzenie A i nie zachodzi zdarzenie B. Różnicę zdarzeń A i B oznaczamy A B. 14

15 Przykład 7 Niech E będzie różnicą zdarzeń A i B określonych w przykładzie 4. E jest zdarzeniem polegającym na tym, że wybrany z kartoteki pracownik jest kobietą w wieku nie przekraczającym 30 lat. A zatem zdarzeniu E sprzyja tylko jedno zdarzenie elementarne ϖ4 : E = {ϖ4}. 15

16 Zdarzenie przeciwne do zdarzenia A (dopełnienie zdarzenia A) jest to zdarzenie, które zachodzi wtedy, gdy nie zachodzi A. Oznaczamy je A = Ω A. Wynika z tego, że: A A = Ω oraz A A =. 16

17 Przykład 8 Rzucamy kostką do gry. Niech zdarzeniem A będzie wyrzucenie nieparzystej liczby oczek, zdarzeniem B wyrzucenie trzech oczek. Wtedy zdarzenie A i B, polegające na tym, że wyrzucono nieparzystą liczbę oczek i jednocześnie trzy oczka jest po prostu rzutem trzech oczek. Natomiast zdarzeniem A, przeciwnym do A, jest wyrzucenie parzystej liczby oczek. 17

18 Definicja i własności prawdopodobieństwa 18

19 Istnieje kilka definicji prawdopodobieństwa zdarzenia losowego. Podamy dwie z nich: tzw. definicję klasyczną, sformułowaną przez francuskiego matematyka, astronoma i fizyka Pierre a Simona de Laplace'a ( ), oraz definicję aksjomatyczną, której autorem jest wybitny matematyk Andriej Nikołajewicz Kołmogorow ( ), uważany za twórcę aksjomatyki prawdopodobieństwa. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa -jeśli zbiór zdarzeń elementarnych jest zbiorem skończonym, złożonym z N jednakowo możliwych zdarzeń elementarnych, to prawdopodobieństwo zdarzenia losowego A jest liczbą określoną wzorem: P(A) = n/n gdzie n oznacza liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających zajściu zdarzenia A (składających się na A). 19

20 Przykład 9 W rzucie kostką do gry jest sześć zdarzeń elementarnych. Wypadnięciu nieparzystej liczby oczek (A) sprzyjają trzy zdarzenia elementarne {(1),(3),(5)}, stąd: P(A) = 3/6 20

21 Gdy zbiór Ω jest nieskończenie liczny lub gdy zdarzenia elementarne nie są jednakowo możliwe, korzystamy z ogólniejszej, aksjomatycznej definicji prawdopodobieństwa. A.N. Kołmogorow sformułował trzy aksjomaty zastępując formalną definicję prawdopodobieństwa zdarzenia losowego. 21

22 Definicja aksjomatyczna prawdopodobieństwa: Każdemu zdarzeniu losowemu A zawartemu w Ω przyporządkowana jest jednoznacznie liczba P(A), zwana prawdopodobieństwem realizacji tego zdarzenia, taka że: 1. 0 P(A) 1 2. P(Ω) = 1 (prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego równe jest 1) 3. gdy zdarzenia A i B wykluczają się, tzn. A B =, wówczas: P(A B) = P(A)+ P(B) 22

23 Aksjomat 3 można uogólnić: Jeśli zdarzenia A1, A2, A3,..., An, An+1,... tworzą ciąg (skończony lub nieskończony) zdarzeń losowych parami się wykluczających, to prawdopodobieństwo sumy zdarzeń jest równe sumie ich prawdopodobieństw, tzn.: P(A1 A2... An An+1...) = P(A1) + P(A2) P(An ) + P(An+1)

24 Z definicji aksjomatycznej prawdopodobieństwa wynikają następujące własności prawdopodobieństwa: 1. P( ) = 0, gdzie jest symbolem zdarzenia niemożliwego, 2. P(A ) = 1 P(A), 3. 0 P(A) 1, 4. gdy A B, to P(A) < P(B), 5. P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) dla dowolnych zdarzeń A i B. 24

25 Przykład 10 Analizujemy dzienne obroty pewnego supermarketu S. Dotychczasowe obserwacje pozwalają przyjąć, że maksymalne dzienne obroty wynoszą 50 tys. zł. Określmy zdarzenia: a) A -zdarzenie polegające na tym, że dzienne obroty przyjmą wartość z przedziału <20 tys. zł, 35 tys. zł>, przy czym P(A) = 0,5, b) B -zdarzenie polegające na tym, że dzienne obroty przyjmą wartość z przedziału <30 tys. zł, 50 tys. zł>, przy czym P(B) = 0,7, c) suma A B jest zdarzeniem polegającym na tym, że dzienne obroty przyjmą wartość z przedziału <20 tys. zł, 50 tys. zł>, przy czym P(A B) = 0,8. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że: a) obroty osiągną wartość mniejszą od 20 tys. zł lub większą od 35 tys. zł, b) obroty będą niższe niż 30 tys. zł, c) obroty przyjmą wartość z przedziału <30 tys. zł, 35 tys. zł>. 25

26 Rozwiązanie przykładu: a) interesujące nas zdarzenie jest zdarzeniem A -przeciwnym do zdarzenia A. Otrzymujemy więc: P(A ) = 1 P(A) = 1 0,5 = 0,5. A zatem prawdopodobieństwo tego, że obroty magazynu będą niższe niż 20 tys. zł lub wyższe niż 35 tys. zł wynosi 0,5. b) omawiane tu zdarzenie jest zdarzeniem przeciwnym do B, więc: P(B ) = 1 P(B) = 1 0,7 = 0,3. c) rozważane w tym punkcie zdarzenie jest iloczynem zdarzeń A i B. Najłatwiej to widać, gdy przedstawimy dane dotyczące obrotów na osi liczbowej. Przekształcając własność prawdopodobieństwa dotyczącą prawdopodobieństwa sumy dwóch zdarzeń (własność e) otrzymujemy: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B), P(A B) = 0,5 + 0,7-0,8 = 0,4. Tak więc szukane prawdopodobieństwo wynosi 0,4. 26

27 Zdarzenia niezależne, prawdopodobieństwo warunkowe 27

28 Dany jest ciąg kilku doświadczeń losowych. O doświadczeniach tych mówimy, że są próbami niezależnymi, gdy wynik każdego z nich nie zależy od wyników pozostałych doświadczeń. Zdarzenia A i B są niezależne, gdy: P(A B) = P(A) P(B). 28

29 Przykład 11 Rzucamy dwa razy kostką do gry. Zdarzenie A polega na wyrzuceniu w obu rzutach parzystej liczby oczek, a zdarzenie B polega na wyrzuceniu sześciu oczek przynajmniej na jednej kostce. Sprawdzić, czy zdarzenia A i B są niezależne. Rozwiązanie przykładu: W celu sprawdzenia niezależności zdarzeń A i B sprawdzimy, czy spełniona jest równość P(A B) = P(A) P(B). Zdarzeniom A i B sprzyjają następujące zdarzenia elementarne: A = {(2,2), (2,4), (2,6), (4,2), (4,4), (4,6), (6,2), (6,4), (6,6)}, B = {(1,6), (2,6), (3,6), (4,6), (5,6), (6,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5)}, natomiast A B = {(2,6), (4,6), (6,6), (6,2), (6,4)}. Przestrzeń zdarzeń elementarnych przy rzucie dwa razy kostką zawiera 6 2 = 36 zdarzeń elementarnych, tak więc: P(A) = 9/36 P(B) = 11/36 P(A B) = 5/36 Widzimy więc, że P(A B) P(A) P(B), a to oznacza, że zdarzenia są zależne. 29

30 Przykład 12 Zorganizowano dwie loterie fantowe. Prawdopodobieństwo wygrania na pierwszej loterii wynosi 0,6, a na drugiej 0,75. Obliczyć prawdopodobieństwo wygrania na obu loteriach, jeżeli zakupiono po jednym losie na każdej z nich. Rozwiązanie przykładu: Oznaczmy: A -zdarzenie polegające na wygraniu na pierwszej loterii, B zdarzenie polegające na wygraniu na drugiej loterii, C -zdarzenie polegające na wygraniu na obu loteriach. Zdarzenia A i B są niezależne, przy czym C = A B. Tak więc prawdopodobieństwo wygrania na obu loteriach wynosi: P (C) = P(A) P(B) = 0,6 0,75 = 0,45. 30

31 Przykład 13 Pewien sklep może podpisać umowę dostawy towarów handlowych niezależnie z dwoma dostawcami D1 i D2. Prawdopodobieństwo podpisania umowy z dostawcą D1 wynosi 0,7, natomiast z dostawcą D2 wynosi 0,3. Obliczyć prawdopodobieństwo, że pierwsza dostawa będzie pochodzić: a) tylko od dostawcy D1, b) tylko od jednego dostawcy, c) od obydwu dostawców. Rozwiązanie przykładu: Wprowadźmy oznaczenia dla zdarzeń: A -dostawa pochodzi od dostawcy D1, przy czym P(A) = 0,7, B -dostawa pochodzi od dostawcy D2, przy czym P(B) = 0,3. a) niech zdarzenie C polega na tym, że pierwsza dostawa będzie pochodzić tylko od pierwszego dostawcy D1. C jest iloczynem zdarzeń A i B (zdarzenia przeciwnego do B). Ponieważ A i B są zdarzeniami niezależnymi, więc otrzymujemy: P(A B ) = P(A) P(B ) = P(A) ( 1 P(B)) = 0,7 (1 0,3) = 0,49. 31

32 b) jeśli dostawa ma pochodzić tylko od jednego dostawcy, oznacza to, że ma pochodzić tylko od dostawcy D1 lub tylko od dostawcy D2. Oznaczmy przez E interesujące nas zdarzenie. Wówczas E = (A B ) (A B). Ponieważ zdarzenia A B oraz A B są rozłączne, więc mamy: P(E) = P(A B ) + P(A B). Zdarzenia A i B są niezależne, podobnie niezależne są zdarzeniaa i B. Tak więc poszukiwane prawdopodobieństwo wynosi: P(E) = P(A) P(B ) + P(A ) P(B) = 0,7 0,7 + 0,3 0,3 = 0,58. c) dostarczenie do sklepu dostawy od obydwu dostawców oznacza, że sklep podpisze umowę dostawy z dostawcą D1 i z dostawcą D2. Interesujące nas zdarzenie (zdarzenie F) jest równoważne iloczynowi zdarzeń A i B: F = A B. Z niezależności zdarzeń A i B mamy więc: P(F) = P(A) P(B) = 0,7 0,3 = 0,21. 32

33 Wzór P(A B) = P(A) P(B) o iloczynie prawdopodobieństw zdarzeń niezależnych można uogólnić na większą liczbę zdarzeń (n zdarzeń), wprowadzając pojęcie niezależności zespołowej (grupowej). Zdarzenia A1, A2,..., Ansą niezależne zespołowo, gdy dla dowolnej kombinacji m różnych zdarzeń spośród nich: P(Ai1 Ai2... Aim) = P(Ai1) P(Ai2)... P(Aim) (4,3) gdzie m n. Uwaga: Niezależność zespołowa zdarzeń pociąga za sobą niezależność parami (dowolnych dwóch z nich, różnych zdarzeń), np.: jeśli zdarzenia A1, A2 i A3 są niezależne zespołowo, to wówczas niezależne są zdarzenia: A1 i A2, A1 i A3 oraz A1 i A3. Należy jednak podkreślić, że nie jest na odwrót. Z niezależności zdarzeń parami nie wynika ich niezależność zespołowa. Może się zdarzyć, ze zdarzenia są niezależne parami, lecz nie są niezależne zespołowo. 33

34 Przykład 14 W firmie spożywczej pewien wyrób zapakowano w 3 paczki, po 10 sztuk wyrobu w jednej paczce. W pierwszej paczce są 2 wyroby z wadami, w drugiej 3, a w trzeciej 1. Z każdej paczki pobieramy losowo po jednej sztuce wyrobu. Obliczyć prawdopodobieństwo, że wszystkie wylosowane wyroby będą miały wady. Rozwiązanie przykładu: Niech: A -zdarzenie polegające na wylosowaniu wadliwego wyrobu z pudełka pierwszego -P(A) = 0,2 B -zdarzenie polegające na wylosowaniu wadliwego wyrobu z pudełka drugiego -P(B) = 0,3 34

35 C -zdarzenie polegające na wylosowaniu wadliwego wyrobu z pudełka trzeciego -P(C) = 0,1 Ponieważ zdarzenia A, B i C są niezależne zespołowo, więc szukane prawdopodobieństwo wynosi: P(A B C) = P(A) P(B) P(C ) = 0,2 0,3 0,1 = 0,

36 Prawdopodobieństwo P(A B) nazywamy warunkowym i czytamy prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A, przy warunku, że zaszło zdarzenie B. Dla zdarzeń niezależnych prawdziwe są wzory: P(A B) = P(A), P(B A) = P(B), co oznacza, że fakt zajścia zdarzenia B nie zmienia faktu zajścia zdarzenia A i na odwrót. 36

37 Natomiast dla dowolnych dwu zdarzeń prawdopodobieństwo warunkowe P(A B) równe jest: P(A B) =P(A B) / P(B) stąd: P(A B) = P(A B) P(B), a także: P(A B) = P(B A) P(A) 37

38 Obliczając prawdopodobieństwo iloczynu zdarzeń, musimy zawsze uwzględnić to, czy zdarzenia są niezależne, czy też są zależne. Natomiast przy obliczaniu prawdopodobieństwa sumy zdarzeń musimy uwzględnić fakt, czy zdarzenia wykluczają się wzajemnie, czy też nie. Należy rozróżniać pojęcie niezależności zdarzeń od wykluczania się zdarzeń. Są to zupełnie różne pojęcia, mimo że istnieją zdarzenia jednocześnie wykluczające się i niezależne. Przykładem takich zdarzeń (wykluczających i niezależnych jednocześnie) jest: A -dowolne zdarzenie i -zdarzenie niemożliwe. A =, a zatem: P(A ) = P( ) = 0 = P(A) 0 = P(A) P( ). 38

39 Zasadniczo jednak zdarzenia niezależne nie muszą być zdarzeniami wykluczającymi się. Łatwo zauważyć, że zdarzeniami, które są niezależne, ale nie wykluczają się są: A -zdarzenie dowolne i Ω -zdarzenie pewne. Ponieważ A Ω = A, więc: P(A Ω) = P(A). P(Ω) = 1, a to oznacza, że: P(A Ω) = P(A) = P(A) 1 = P(A) P(Ω), mimo że: A Ω. 39

40 Przykład 15 Analiza sprzedaży nowego szamponu S pozwoliła stwierdzić, że po pierwszej fali reklam szampon kupowany jest przez 55% potencjalnych klientów. Następnie spada zainteresowanie nowym produktem tak, że po drugiej fali reklam szampon S kupowany jest już tylko przez 24% z nich. Jakie jest prawdopodobieństwo, że klient, który nie kupił szamponu po pierwszej fali reklam, kupi go po drugiej fali? Rozwiązanie przykładu: Interesujące nas zdarzenia oznaczmy następująco: A - zdarzenie, że klient kupi szampon S po pierwszej fali reklam, B -zdarzenie, że klient kupi szampon S po drugiej fali reklam. P(A)=0,55 P(B A) = 0,24. A - zdarzenie, że klient nie kupi szamponu S po pierwszej fali reklam. P(A ) = 1 0,55 = 0,45, P(B A ) = 0,24. Niech C będzie zdarzeniem, którego prawdopodobieństwo mamy obliczyć, tzn., że klient nie kupi szamponu po pierwszej fali reklam i kupi go po drugiej fali reklam. C = A B. Zdarzenia A i B nie są niezależne, więc zgodnie ze wzorem mamy: P(A B) = P(B A ) P(A ). A zatem: P(C) = 0,24 0,45 = 0,108. Szukane prawdopodobieństwo wynosi 0,

41 Przykład 16 W dwóch supermarketach przeprowadzono badania ankietowe, czy klienci zadowoleni są z obsługi w tych supermarketach. Okazało się, że wśród klientów pierwszego supermarketu niezadowolonych jest 30% osób, natomiast w drugim supermarkecie 20% klientów ma zastrzeżenia do obsługi. Do badań ogólnokrajowych wybrano losowo jednego klienta z supermarketu pierwszego i jednego klienta z supermarketu drugiego. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że: a) obydwaj klienci są zadowoleni, b) wśród wybranych nie ma klienta niezadowolonego. Rozwiązanie przykładu: Rozważmy następujące zdarzenia: A -klient z pierwszego supermarketu jest zadowolony -P(A) = 0,7, B -klient z drugiego supermarketu jest zadowolony -P(B) = 0,8. 41

42 Schemat Bernoulliego 42

43 Mówimy, że ciąg (seria) doświadczeń niezależnych jest wykonywany zgodnie ze schematem Bernoulliego, jeżeli spełnione są warunki: każde pojedyncze doświadczenie może zakończyć się jednym z dwóch wyników: zdarzeniem A zwanym sukcesem lub zdarzeniem A' przeciwnym do niego, zwanym porażką, prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczym doświadczeniu jest stałe, równe p. 43

44 Wtedy prawdopodobieństwo, że w serii n niezależnych doświadczeń sukces pojawi się dokładnie k razy, (k = 0, 1,..., n), wyraża się wzorem: gdzie: k = 0, 1,..., n, p -prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczym doświadczeniu. Symbol nazywamy symbolem Newtona 44

45 Wówczas: zdarzenia A i B są niezależne, gdyż zadowolenie klienta pierwszego supermarketu nie ma wpływu na zadowolenie klienta drugiego supermarketu. a) interesuje nas zdarzenie C = A B. P(C) = P(A B) = P(A) P(B) = 0,7 0,8 = 0,56. A zatem prawdopodobieństwo zadowolenia obu klientów wynosi 0,56. b) wylosowanych wśród dwóch wylosowanych klientów nie będzie klienta niezadowolonego, jeśli przynajmniej jeden z nich będzie zadowolony. A zatem rozważane tu zdarzenie (D) jest sumą zdarzeń A i B: D = A B. Zdarzenia A i B nie wykluczają się nawzajem, więc obliczamy: P(D) = P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). P(D) = 0,7 + 0,8-0,56 = 0,94. Tak więc prawdopodobieństwo zadowolenia co najmniej jednego klienta jest wysokie i wynosi 0,94. 45

46 Symbol Newtona zaś symbol n! (n silnia) określony jest wzorem: n! = n (dla n = 1, 2, 3,...). Ponadto z definicji: 0! = 1. 46

47 47

48 48

49 49

Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo

Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Rozdział 1 Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo 1.1 Klasyfikacja zdarzeń Zdarzenie elementarne pojęcie aprioryczne, które nie może być zdefiniowane. Odpowiednik pojęcia punkt w geometrii. Zdarzenie elementarne

Bardziej szczegółowo

Biostatystyka, # 2 /Weterynaria I/

Biostatystyka, # 2 /Weterynaria I/ Biostatystyka, # 2 /Weterynaria I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a bud. Agro II, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl

Bardziej szczegółowo

Statystyka Astronomiczna

Statystyka Astronomiczna Statystyka Astronomiczna czyli zastosowania statystyki w astronomii historycznie astronomowie mieli wkład w rozwój dyscypliny Rachunek prawdopodobieństwa - gałąź matematyki Statystyka - metoda oceny właściwości

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo

Prawdopodobieństwo Prawdopodobieństwo http://www.matemaks.pl/ Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa http://www.matemaks.pl/wstep-do-rachunku-prawdopodobienstwa.html Rachunek prawdopodobieństwa pomaga obliczyć szansę zaistnienia

Bardziej szczegółowo

Metody probabilistyczne

Metody probabilistyczne Metody probabilistyczne 2. Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 10.10.2017 1 / 33 Klasyczna definicja prawdopodobieństwa

Bardziej szczegółowo

METODY PROBABILISTYCZNE I STATYSTYKA

METODY PROBABILISTYCZNE I STATYSTYKA Andrzej Marciniak METODY PROBABILISTYCZNE I STATYSTYKA Wykłady dla studentów kierunku informatyka Państwowej Wyższej Szkoły Zawodowej w Kaliszu Wykłady są przeznaczone wyłącznie do indywidualnego użytku

Bardziej szczegółowo

Moneta 1 Moneta 2 Kostka O, R O,R 1,2,3,4,5, Moneta 1 Moneta 2 Kostka O O ( )

Moneta 1 Moneta 2 Kostka O, R O,R 1,2,3,4,5, Moneta 1 Moneta 2 Kostka O O ( ) Nowa matura kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Zadania zamknięte (0 1 pkt) 1. Doświadczenie losowe polega na rzucie dwiema symetrycznymi monetami i sześcienną kostką do gry. Prawdopodobieństwo

Bardziej szczegółowo

P r a w d o p o d o b i eństwo Lekcja 1 Temat: Lekcja organizacyjna. Program. Kontrakt.

P r a w d o p o d o b i eństwo Lekcja 1 Temat: Lekcja organizacyjna. Program. Kontrakt. P r a w d o p o d o b i eństwo Lekcja 1 Temat: Lekcja organizacyjna. Program. Kontrakt. Lekcja 2 Temat: Podstawowe pojęcia związane z prawdopodobieństwem. Str. 10-21 1. Doświadczenie losowe jest to doświadczenie,

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 1. L. Kowalski, Statystyka, 2005

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 1. L. Kowalski, Statystyka, 2005 RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 1. Literatura: Marek Cieciura, Janusz Zacharski, Metody probabilistyczne w ujęciu praktycznym, L. Kowalski, Statystyka, 2005 R.Leitner, J.Zacharski, "Zarys matematyki

Bardziej szczegółowo

p k (1 p) n k. k c. dokładnie 10 razy została wylosowana kula amarantowa, ale nie za pierwszym ani drugim razem;

p k (1 p) n k. k c. dokładnie 10 razy została wylosowana kula amarantowa, ale nie za pierwszym ani drugim razem; 05DRAP - Niezależność zdarzeń, schemat Bernoulliego Definicja.. Zdarzenia A i B nazywamy niezależnymi, jeżeli zachodzi równość P(A B) = P(A) P(B). Definicja. 2. Zdarzenia A,..., A n nazywamy niezależnymi

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo warunkowe Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym

Prawdopodobieństwo warunkowe Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym Edward Stachowski Prawdopodobieństwo warunkowe Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym W podstawie programowej obowiązującej na egzaminie maturalnym od 05r pojawiły się nowe treści programowe Wśród

Bardziej szczegółowo

Rzucamy dwa razy sprawiedliwą, sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania:

Rzucamy dwa razy sprawiedliwą, sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania: Statystyka Ubezpieczeniowa Część 1. Rachunek prawdopodobieństwa: - prawdopodobieństwo klasyczne - zdarzenia niezależne - prawdopodobieństwo warunkowe - prawdopodobieństwo całkowite - wzór Bayesa Schemat

Bardziej szczegółowo

LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW

LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW Logika Logika jest nauką zajmującą się zdaniami Z punktu widzenia logiki istotne jest, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy nie Nie jest natomiast istotne o czym to zdanie mówi Definicja

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2

STATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2 STATYSTYKA Rafał Kucharski Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2 Wybrane litery alfabetu greckiego α alfa β beta Γ γ gamma δ delta ɛ, ε epsilon η eta Θ θ theta

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo. jest ilościową miarą niepewności

Prawdopodobieństwo. jest ilościową miarą niepewności Prawdopodobieństwo jest ilościową miarą niepewności Eksperyment - zdarzenie elementarne Eksperymentem nazywamy proces, który prowadzi do jednego z możliwych wyników. Nazywamy je wynikami obserwacji, zdarzeniami

Bardziej szczegółowo

Elementy rachunku prawdopodobieństwa (M. Skośkiewicz, A. Siejka, K. Walczak, A. Szpakowska)

Elementy rachunku prawdopodobieństwa (M. Skośkiewicz, A. Siejka, K. Walczak, A. Szpakowska) Elementy rachunku prawdopodobieństwa (M. Skośkiewicz, A. Siejka, K. Walczak, A. Szpakowska) Twierdzenie (o mnożeniu) Podstawowe pojęcia i wzory kombinatoryczne. Niech,, będą zbiorami mającymi odpowiednio,,

Bardziej szczegółowo

Wykład 2. Prawdopodobieństwo i elementy kombinatoryki

Wykład 2. Prawdopodobieństwo i elementy kombinatoryki Wstęp do probabilistyki i statystyki Wykład 2. Prawdopodobieństwo i elementy kombinatoryki dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska, prof.agh Katedra Elektroniki, AGH e-mail: zak@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~zak

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa 2.1. σ ciało (algebra) zdarzeń Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska losowe Zdarzenie losowe to pewien podzbiór przestrzeni zdarzeń

Bardziej szczegółowo

L.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 1 ZADANIA - ZESTAW 1. (odp. a) B A C, b) A, c) A B, d) Ω)

L.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 1 ZADANIA - ZESTAW 1. (odp. a) B A C, b) A, c) A B, d) Ω) ZADANIA - ZESTAW 1 Zadanie 1.1 Rzucamy trzy razy monetą. A i - zdarzenie polegające na tym, że otrzymamy orła w i - tym rzucie. Określić zbiór zdarzeń elementarnych. Wypisać zdarzenia elementarne sprzyjające

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 1

Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 1 Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 1 Przygotowując wykład korzystam głównie z książki Jakubowski, Sztencel Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Jakubowski, Sztencel:

Bardziej szczegółowo

Zdarzenie losowe (zdarzenie)

Zdarzenie losowe (zdarzenie) Zdarzenie losowe (zdarzenie) Ćw. 1. Ze zbioru cyfr (l, 2,3,..., 9} losowo wybieramy jedną. a) Wypisz zdarzenia elementarne, sprzyjające: zdarzeniu A, że wybrano liczbę parzystą zdarzeniu B, że wybrano

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń.

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń. Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń. 3.2. Niezależność zdarzeń Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Niezależność dwóch zdarzeń Intuicja Zdarzenia losowe

Bardziej szczegółowo

Wykład 11: Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa

Wykład 11: Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa Wykład : Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa dr Mariusz Grządziel 3 maja 203 Doświadczenie losowe Doświadczenie nazywamy losowym, jeśli: może być powtarzane (w zasadzie) w tych samych warunkach;

Bardziej szczegółowo

Podstawy Teorii Prawdopodobieństwa

Podstawy Teorii Prawdopodobieństwa Statystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka Podstawy Teorii Prawdopodobieństwa Aleksander Denisiuk denisjuk@euh-e.edu.pl Elblaska Uczelnia Humanistyczno-Ekonomiczna ul. Lotnicza 2 82-300 Elblag

Bardziej szczegółowo

Wstęp. Kurs w skrócie

Wstęp. Kurs w skrócie Mariola Zalewska Zakład Metod Matematycznych i Statystycznych Zarządzania Wydział Zarządzania Uniwersystet Warszawski I rok DSM Rachunek Prawdopodobieństwa Wstęp Kombinatoryka Niezależność zdarzeń, Twierdzenie

Bardziej szczegółowo

{( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( RRR)

{( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( RRR) .. KLASYCZNA DEFINICJA PRAWDOPODOBIEŃSTWA Klasyczna definicja prawdopodobieństwa JeŜeli jest skończonym zbiorem zdarzeń elementarnych jednakowo prawdopodobnych i A, to liczbę A nazywamy prawdopodobieństwem

Bardziej szczegółowo

KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO

KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO Lekcja 3 Definicja prawdopodobieństwa Kołmogorowa. Prawdopodobieństwa warunkowe i niezależne. ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko

Bardziej szczegółowo

(C. Gauss, P. Laplace, Bernoulli, R. Fisher, J. Spława-Neyman) Wikipedia 2008

(C. Gauss, P. Laplace, Bernoulli, R. Fisher, J. Spława-Neyman) Wikipedia 2008 STATYSTYKA MATEMATYCZNA - dział matematyki stosowanej oparty na rachunku prawdopodobieństwa; zajmuje się badaniem zbiorów na podstawie analizy ich części. Nauka, której przedmiotem zainteresowania są metody

Bardziej szczegółowo

Wstęp do probabilistyki i statystyki Wykład 3. Prawdopodobieństwo i algebra zdarzeń

Wstęp do probabilistyki i statystyki Wykład 3. Prawdopodobieństwo i algebra zdarzeń Wstęp do probabilistyki i statystyki Wykład 3. Prawdopodobieństwo i algebra zdarzeń dr inż. Krystyna Schneider, Katedra Elektroniki, AGH e-mail: kryschna@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~kryschna 1 Plan:

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA ZADANIA Z ROZWIĄZANIAMI. Uwaga! Dla określenia liczebności zbioru (mocy zbioru) użyto zamiennie symboli: Ω lub

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA ZADANIA Z ROZWIĄZANIAMI. Uwaga! Dla określenia liczebności zbioru (mocy zbioru) użyto zamiennie symboli: Ω lub RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA ZADANIA Z ROZWIĄZANIAMI Uwaga! Dla określenia liczebności zbioru (mocy zbioru) użyto zamiennie symboli: Ω lub 1. W grupie jest 15 kobiet i 18 mężczyzn. Losujemy jedną osobę

Bardziej szczegółowo

51. Wykorzystywanie sumy, iloczynu i różnicy zdarzeń do obliczania prawdopodobieństw zdarzeń.

51. Wykorzystywanie sumy, iloczynu i różnicy zdarzeń do obliczania prawdopodobieństw zdarzeń. Matematyka lekcja 5 5. Wykorzystywanie sumy, iloczynu i różnicy zdarzeń do obliczania prawdopodobieństw zdarzeń. I. rzypomnij sobie:. Jak rysujemy drzewo stochastyczne i przy jego pomocy obliczamy prawdopodobieństwo

Bardziej szczegółowo

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta

Bardziej szczegółowo

Matematyka podstawowa X. Rachunek prawdopodobieństwa

Matematyka podstawowa X. Rachunek prawdopodobieństwa Matematyka podstawowa X Rachunek prawdopodobieństwa Zadania wprowadzające: 1. Rzucasz trzy razy monetą a) Napisz zbiór wszystkich wyników tego doświadczenia losowego. Ile ich jest? Wyrzuciłeś większą liczbę

Bardziej szczegółowo

Doświadczenie i zdarzenie losowe

Doświadczenie i zdarzenie losowe Doświadczenie i zdarzenie losowe Doświadczenie losowe jest to takie doświadczenie, które jest powtarzalne w takich samych warunkach lub zbliżonych, a którego wyniku nie można przewidzieć jednoznacznie.

Bardziej szczegółowo

Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa

Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Jerzy Rutkowski Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa 2. Elementy kombinatoryki 2.1. Permutacje Definicja 1. Niech n N. Permutacją n-elementowego zbioru

Bardziej szczegółowo

3. Podstawowe pojęcia statystyki matematycznej i rachunku prawdopodobieństwa wykład z Populacja i próba

3. Podstawowe pojęcia statystyki matematycznej i rachunku prawdopodobieństwa wykład z Populacja i próba 3. Podstawowe pojęcia statystyki matematycznej i rachunku prawdopodobieństwa wykład z 12.03.2007 Populacja i próba Populacja- zbiorowość skończona lub nieskończona, w stosunku do której mają być formułowane

Bardziej szczegółowo

zdarzenie losowe - zdarzenie którego przebiegu czy wyniku nie da się przewidzieć na pewno.

zdarzenie losowe - zdarzenie którego przebiegu czy wyniku nie da się przewidzieć na pewno. Rachunek prawdopodobieństwa Podstawowym celem rachunku prawdopodobieństwa jest określanie szans zajścia pewnych zdarzeń. Pojęcie podstawowe rachunku prawdopodobieństwa to: zdarzenie losowe - zdarzenie

Bardziej szczegółowo

c) Zaszły oba zdarzenia A i B; d) Zaszło zdarzenie A i nie zaszło zdarzenie B;

c) Zaszły oba zdarzenia A i B; d) Zaszło zdarzenie A i nie zaszło zdarzenie B; Rachunek prawdopodobieństwa rozwiązywanie zadań 1. Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Zapisujemy liczbę oczek, jakie wypadły w obu rzutach. Wypisz zdarzenia elementarne tego doświadczenia.

Bardziej szczegółowo

Wykład 13. Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa

Wykład 13. Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa Wykład 13. Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu semestr zimowy, rok akademicki 2015 2016 Doświadczenie losowe Doświadczenie

Bardziej szczegółowo

Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna

Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna Rachunek rawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna rowadzący: prof. dr hab. inż. Ireneusz Jóźwiak Zestaw nr. Opracowanie: Grzegorz Drzymała 4996 Grzegorz Dziemidowicz 49965 drian Gawor 49985 Zadanie..

Bardziej szczegółowo

Metody probabilistyczne

Metody probabilistyczne Metody probabilistyczne 1. Prawdopodobieństwo klasyczne Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 03.10.2017 1 / 19 Rys historyczny Francja, XVII w.: gry hazardowe

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA - POJĘCIA WSTĘPNE MATERIAŁY POMOCNICZE - TEORIA

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA - POJĘCIA WSTĘPNE MATERIAŁY POMOCNICZE - TEORIA Wydział: WiLiŚ, Transport, sem.2 dr Jolanta Dymkowska RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA - POJĘCIA WSTĘPNE MATERIAŁY POMOCNICZE - TEORIA Przestrzeń probabilistyczna Modelem matematycznym (tj. teoretycznym, wyidealizowanym,

Bardziej szczegółowo

Elementy Rachunek prawdopodobieństwa

Elementy Rachunek prawdopodobieństwa Elementy rachunku prawdopodobieństwa Rachunek prawdopodobieństwa zajmuje się analizą praw rządzących zdarzeniami losowymi Pojęciami pierwotnymi są: zdarzenie elementarne ω oraz zbiór zdarzeń elementarnych

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1. Oblicz prawdopodobieństwo, że rzucając dwiema kostkami do gry otrzymamy:

Zadanie 1. Oblicz prawdopodobieństwo, że rzucając dwiema kostkami do gry otrzymamy: Zadanie 1. Oblicz prawdopodobieństwo, że rzucając dwiema kostkami do gry otrzymamy: a) sumę oczek równą 6, b) iloczyn oczek równy 6, c) sumę oczek mniejszą niż 11, d) iloczyn oczek będący liczbą parzystą,

Bardziej szczegółowo

Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa

Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Jerzy Rutkowski 2. Elementy kombinatoryki 2.. Permutacje Teoria Definicja. Niech n N. Permutacją n-elementowego zbioru

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 2. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady

WYKŁAD 2. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady WYKŁAD 2 Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady Metody statystyczne metody opisu metody wnioskowania statystycznego syntetyczny liczbowy opis właściwości zbioru danych ocena

Bardziej szczegółowo

Po co nam statystyka matematyczna? Żeby na podstawie próby wnioskować o całej populacji

Po co nam statystyka matematyczna? Żeby na podstawie próby wnioskować o całej populacji ODSTWY STTYSTYKI 1. Teoria prawdopodobieństwa i elementy kombinatoryki 2. Zmienne losowe i ich rozkłady 3. opulacje i próby danych, estymacja parametrów 4. Testowanie hipotez 5. Testy parametryczne 6.

Bardziej szczegółowo

Zdarzenia losowe Zmienne losowe Prawdopodobieństwo Niezależność

Zdarzenia losowe Zmienne losowe Prawdopodobieństwo Niezależność Zdarzenia losowe Zmienne losowe Prawdopodobieństwo Niezależność przypomnienie pojęć ĆWICZENIA Piotr Ciskowski zdarzenie losowe ćwiczenie 1. zbiory Stanisz zilustruj następujące pojęcia: o A B o A B o A

Bardziej szczegółowo

Prawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne

Prawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne , centralne twierdzenia graniczne Katedra matematyki i ekonomii matematycznej 17 maja 2012, centralne twierdzenia graniczne Rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych, centralne twierdzenia graniczne

Bardziej szczegółowo

Statystyka i eksploracja danych

Statystyka i eksploracja danych Wykład I: Formalizm statystyki matematycznej 17 lutego 2014 Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura Zagadnienia omawiane na wykładach Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura

Bardziej szczegółowo

Jest to zasadniczo powtórka ze szkoły średniej, być może z niektórymi rzeczami nowymi.

Jest to zasadniczo powtórka ze szkoły średniej, być może z niektórymi rzeczami nowymi. Logika Jest to zasadniczo powtórka ze szkoły średniej, być może z niektórymi rzeczami nowymi. Często słowu "logika" nadaje się szersze znaczenie niż temu o czym będzie poniżej: np. mówi się "logiczne myślenie"

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna. Leszek Adamczyk Wykłady dla kierunku Fizyka Medyczna w semestrze letnim 2016/2017

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna. Leszek Adamczyk Wykłady dla kierunku Fizyka Medyczna w semestrze letnim 2016/2017 Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna Leszek Adamczyk Wykłady dla kierunku Fizyka Medyczna w semestrze letnim 2016/2017 1 1 Wstęp Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka to: działy matematyki

Bardziej szczegółowo

II WYKŁAD STATYSTYKA. 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15

II WYKŁAD STATYSTYKA. 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 II WYKŁAD STATYSTYKA 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 WYKŁAD 2 Rachunek prawdopodobieństwa zdarzenia elementarne zdarzenia losowe zmienna losowa skokowa i ciągła prawdopodobieństwo i gęstość prawdopodobieństwa

Bardziej szczegółowo

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu 5 marca 2011 Zasady 10 wyk ladów; egzamin pisemny; Literatura 1 A. Lomnicki Wprowadzenie do statystyki dla przyrodników PWN 1999. 2 W. Krysicki, J. Bartos, W. Dyczka, K. Królikowska, M. Wasilewski Rachunek

Bardziej szczegółowo

Skrypt 30. Prawdopodobieństwo

Skrypt 30. Prawdopodobieństwo Projekt Innowacyjny program nauczania matematyki dla liceów ogólnokształcących współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Skrypt 30 Prawdopodobieństwo 5.

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa 2.0. Wstęp Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Wstęp Dlaczego prawdopodobieństwo klasyczne nie wystarcza? Jak opisać grę w ruletkę,

Bardziej szczegółowo

Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy. Rozkład ciągły. Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga. Anna Rajfura, Matematyka

Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy. Rozkład ciągły. Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga. Anna Rajfura, Matematyka Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy. Rozkład ciągły Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga 1 Zagadnienia 1. Przypomnienie wybranych pojęć rachunku prawdopodobieństwa. Zmienna losowa. Rozkład

Bardziej szczegółowo

KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO

KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO Lekcja 4 Prawdopodobieństwo całkowite i twierdzenie Bayesa. Drzewko stochastyczne. Schemat Bernoulliego. ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź

Bardziej szczegółowo

Obliczanie prawdopodobieństwa za pomocą metody drzew metoda drzew. Drzewem Reguła iloczynów. Reguła sum.

Obliczanie prawdopodobieństwa za pomocą metody drzew metoda drzew. Drzewem Reguła iloczynów. Reguła sum. Obliczanie prawdopodobieństwa za pomocą metody drzew Jeżeli doświadczenie losowe składa się z więcej niż jednego etapu, takich jak serie rzutów kostką lub monetą, zastosowanie klasycznej definicji prawdopodobieństwa

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń.

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń. Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń. 3.1 Prawdopodobieństwo warunkowe Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska semestr zimowy 2016/2017 Przykład 1 Alicja

Bardziej szczegółowo

Liczby rzeczywiste, wyrażenia algebraiczne, równania i nierówności, statystyka, prawdopodobieństwo.

Liczby rzeczywiste, wyrażenia algebraiczne, równania i nierówności, statystyka, prawdopodobieństwo. Liczby rzeczywiste, wyrażenia algebraiczne, równania i nierówności, statystyka, prawdopodobieństwo. Zagadnienia szczegółowe: obliczanie wartości wyrażeń arytmetycznych; działania na pierwiastkach i potęgach;

Bardziej szczegółowo

Jak odróżnić wariację z powtórzeniami od wariacji bez powtórzeń, kombinacji?

Jak odróżnić wariację z powtórzeniami od wariacji bez powtórzeń, kombinacji? Jak odróżnić wariację z powtórzeniami od wariacji bez powtórzeń, kombinacji? Porada niniejsza traktuje o tzw. elementach kombinatoryki. Często zdarza się, że rozwiązujący zadania z tej dziedziny mają problemy

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 1. Witold Bednorz, Paweł Wolff. Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski

WYKŁAD 1. Witold Bednorz, Paweł Wolff. Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski WYKŁAD 1 Witold Bednorz, Paweł Wolff Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, 2010-2011 Wprowadzenie Gry hazardowe Wprowadzenie Gry hazardowe Klasyczna definicja prawdopodobieństwa.

Bardziej szczegółowo

Przestrzeń probabilistyczna

Przestrzeń probabilistyczna Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty zbiór Σ rodzina podzbiorów tego zbioru P funkcja określona na Σ, zwana prawdopodobieństwem. Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty

Bardziej szczegółowo

I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych.

I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych. I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych. 1. Elementy logiki matematycznej. 1.1. Rachunek zdań. Definicja 1.1. Zdaniem logicznym nazywamy zdanie gramatyczne

Bardziej szczegółowo

dr Jarosław Kotowicz 14 października Zadania z wykładu 1

dr Jarosław Kotowicz 14 października Zadania z wykładu 1 Rachunek prawdopodobieństwa - ćwiczenia drugie Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Wzór Bayesa. Zdarzenia niezależne. kierunek: informatyka i ekonometria I dr Jarosław Kotowicz 14 października 2011

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład I: Formalizm teorii prawdopodonieństwa 6 października 2014 Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura Dostępność treści wykładów 1 Zaliczenie ćwiczeń rachunkowych. 2 Egzamin dwuczęściowy:

Bardziej szczegółowo

KOMBINATORYKA. Problem przydziału prac

KOMBINATORYKA. Problem przydziału prac KOMBINATORYKA Dział matematyki zajmujący się badaniem różnych możliwych zestawień i ugrupowań, jakie można tworzyć z dowolnego zbioru skończonego. Zbiory skończone, najczęściej wraz z pewną relacją obiekty

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa dla informatyków

Rachunek prawdopodobieństwa dla informatyków Rachunek prawdopodobieństwa dla informatyków Adam Roman Instytut Informatyki UJ Wykład 1 rys historyczny zdarzenia i ich prawdopodobieństwa aksjomaty i reguły prawdopodobieństwa prawdopodobieństwo warunkowe

Bardziej szczegółowo

1 Działania na zbiorach

1 Działania na zbiorach M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 1 1 1 Działania na zbiorach W rozdziale tym przypomnimy podstawowe działania na zbiorach koncentrując się na własnościach tych działań, które będą przydatne w dalszej

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 2

Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 2 Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 2 Przygotowując wykład korzystam głównie z książki Jakubowski, Sztencel Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwo geometryczne

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera

Bardziej szczegółowo

4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03)

4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03) 4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03) Definicja 1 Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór jej wartości x 1, x 2,..., można ustawić w ciag. Zmienna losowa X, która przyjmuje wszystkie

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo geometryczne

Prawdopodobieństwo geometryczne Prawdopodobieństwo geometryczne Bartosz Ziemkiewicz Wydział Matematyki i Informatyki UMK, Toruń Uniwersyteckie Koło Matematyczne 23 kwietnia 2009 r. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne

Bardziej szczegółowo

Wymagania egzaminacyjne z matematyki. Klasa 3C. MATeMATyka. Nowa Era. Klasa 3

Wymagania egzaminacyjne z matematyki. Klasa 3C. MATeMATyka. Nowa Era. Klasa 3 Wymagania egzaminacyjne z matematyki. lasa 3C. MATeMATyka. Nowa Era. y są ze sobą ściśle powiązane ( + P + R + D + W), stanowiąc ocenę szkolną, i tak: ocenę dopuszczającą (2) otrzymuje uczeń, który spełnił

Bardziej szczegółowo

Teoretyczne podstawy informatyki

Teoretyczne podstawy informatyki Teoretyczne podstawy informatyki Wykład 12a: Prawdopodobieństwo i algorytmy probabilistyczne http://hibiscus.if.uj.edu.pl/~erichter/dydaktyka2010/tpi-2010 Prof. dr hab. Elżbieta Richter-Wąs 1 Teoria prawdopodobieństwa

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo zadania na sprawdzian

Prawdopodobieństwo zadania na sprawdzian Prawdopodobieństwo zadania na sprawdzian Zad. 1. Zdarzenia A, B, C oznaczają, że wzięto co najmniej po jednej książce odpowiednio z pierwszych, drugich i trzecich dzieł zebranych. Każde z dzieł zebranych

Bardziej szczegółowo

Lista 1. Prawdopodobieństwo klasyczne i geometryczne

Lista 1. Prawdopodobieństwo klasyczne i geometryczne Metody statystyczne. Lista 1. 1 Lista 1. Prawdopodobieństwo klasyczne i geometryczne 1. Jakie jest prawdopodobieństwo, że (a) z talii zawierającej 52 karty wybierzemy losowo asa? (b) z talii zawierającej

Bardziej szczegółowo

Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa

Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa Marek Kubiak Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Plan wykładu Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa Rozkład

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA. rachunek prawdopodobieństwa

STATYSTYKA MATEMATYCZNA. rachunek prawdopodobieństwa STATYSTYKA MATEMATYCZNA rachunek prawdopodobieństwa treść Zdarzenia losowe pojęcie prawdopodobieństwa prawo wielkich liczb zmienne losowe rozkłady teoretyczne zmiennych losowych Zanim zajmiemy się wnioskowaniem

Bardziej szczegółowo

( ) ( ) Przykład: Z trzech danych elementów: a, b, c, można utworzyć trzy następujące 2-elementowe kombinacje: ( ) ( ) ( ).

( ) ( ) Przykład: Z trzech danych elementów: a, b, c, można utworzyć trzy następujące 2-elementowe kombinacje: ( ) ( ) ( ). KOMBINATORYKA Kombinatoryka zajmuje się wyznaczaniem liczby elementów zbiorów skończonych utworzonych zgodnie z określonymi zasadami. Do podstawowych pojęć kombinatorycznych należą: PERMUTACJE Silnia.

Bardziej szczegółowo

Przykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych

Przykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Niech Ω będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych. Definicja 1 Rodzinę S zdarzeń losowych (zbiór S podzbiorów zbioru

Bardziej szczegółowo

Elementy statystyki opisowej, teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka

Elementy statystyki opisowej, teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka Wymagania egzaminacyjne: a) oblicza średnią arytmetyczną, średnią ważoną, medianę i odchylenie standardowe danych; interpretuje te parametry dla danych empirycznych, b) zlicza obiekty w prostych sytuacjach

Bardziej szczegółowo

KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO

KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO Lekcja 2 Klasyczna definicja prawdopodobieństwa ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie 1 Według klasycznej

Bardziej szczegółowo

Zbiory, relacje i funkcje

Zbiory, relacje i funkcje Zbiory, relacje i funkcje Zbiory będziemy zazwyczaj oznaczać dużymi literami A, B, C, X, Y, Z, natomiast elementy zbiorów zazwyczaj małymi. Podstawą zależność między elementem zbioru a zbiorem, czyli relację

Bardziej szczegółowo

Statystyka i opracowanie danych

Statystyka i opracowanie danych Statystyka i opracowanie danych Podstawowe definicje i twierdzenia Rachunku Prawdopodobieństwa Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adan@agh.edu.pl Konsultacje pół godziny przed zajęciami Plan Sprawy organizacyjne:

Bardziej szczegółowo

Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe

Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Nierówność Czebyszewa Niech X będzie zmienną losową o skończonej wariancji V ar(x). Wtedy wartość oczekiwana E(X) też jest skończona i

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1 STATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Pojȩcia wstȩpne. Doświadczeniem losowym nazywamy doświadczenie, którego wynik nie jest znany.

Bardziej szczegółowo

Wykład 1: Przestrzeń probabilistyczna. Prawdopodobieństwo klasyczne. Prawdopodobieństwo geometryczne.

Wykład 1: Przestrzeń probabilistyczna. Prawdopodobieństwo klasyczne. Prawdopodobieństwo geometryczne. Rachunek prawdopodobieństwa MAP1151 Wydział Elektroniki, rok akad. 2011/12, sem. letni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz Wykład 1: Przestrzeń probabilistyczna. Prawdopodobieństwo klasyczne. Prawdopodobieństwo

Bardziej szczegółowo

+ r arcsin. M. Przybycień Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka π r x

+ r arcsin. M. Przybycień Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka π r x Prawdopodobieństwo geometryczne Przykład: Przestrzeń zdarzeń elementarnych określona jest przez zestaw punktów (x, y) na płaszczyźnie i wypełnia wnętrze kwadratu [0 x 1; 0 y 1]. Znajdź p-stwo, że dowolny

Bardziej szczegółowo

Wykład 2. Prawdopodobieństwo i elementy kombinatoryki

Wykład 2. Prawdopodobieństwo i elementy kombinatoryki Wstęp do probabilistyki i statystyki Wykład 2. Prawdopodobieństwo i elementy kombinatoryki dr inż. Krystyna Schneider, Katedra Elektroniki, AGH e-mail: kryschna@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~kryschna

Bardziej szczegółowo

Wybrane treści z rachunku prawdopodobieństwa w kontekście medycznym. M.Zalewska

Wybrane treści z rachunku prawdopodobieństwa w kontekście medycznym. M.Zalewska Wybrane treści z rachunku prawdopodobieństwa w kontekście medycznym M.Zalewska Podstawowe pojęcia Doświadczenie losowe obserwacja zjawiska, którego przebiegu nie umiemy w pełni przewidzieć. Możemy oceniać

Bardziej szczegółowo

Wykład 4, 5 i 6. Elementy rachunku prawdopodobieństwa i kombinatoryki w fizyce statystycznej

Wykład 4, 5 i 6. Elementy rachunku prawdopodobieństwa i kombinatoryki w fizyce statystycznej Wykład 4, 5 i 6 Elementy rachunku prawdopodobieństwa i kombinatoryki w fizyce statystycznej dr hab. Agata Fronczak, prof. PW Wydział Fizyki, Politechnika Warszawska 1 stycznia 2017 dr hab. A. Fronczak

Bardziej szczegółowo

P (A B) = P (A), P (B) = P (A), skąd P (A B) = P (A) P (B). P (A)

P (A B) = P (A), P (B) = P (A), skąd P (A B) = P (A) P (B). P (A) Wykład 3 Niezależność zdarzeń, schemat Bernoulliego Kiedy dwa zdarzenia są niezależne? Gdy wiedza o tym, czy B zaszło, czy nie, NIE MA WPŁYWU na oszacowanie prawdopodobieństwa zdarzenia A: P (A B) = P

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania z teorii liczb

Przykładowe zadania z teorii liczb Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę

Bardziej szczegółowo

a. zbiór wszystkich potasowań talii kart (w którym S dostaje 13 pierwszych kart, W - 13 kolejnych itd.);

a. zbiór wszystkich potasowań talii kart (w którym S dostaje 13 pierwszych kart, W - 13 kolejnych itd.); 03DRAP - Przykłady przestrzeni probabilistycznych Definicja 1 Przestrzeń probabilistyczna to trójka (Ω, F, P), gdzie Ω zbiór zdarzeń elementarnych, F σ ciało zdarzeń (podzbiorów Ω), P funkcja prawdopodobieństwa/miara

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa i kombinatoryka. Rachunek prawdopodobieństwa. Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa

Rachunek prawdopodobieństwa i kombinatoryka. Rachunek prawdopodobieństwa. Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa Rachunek prawdopodobieństwa i kombinatoryka Spis treści Rachunek prawdopodobieństwa Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa Liczba wyników doświadczenia losowego. Reguła mnożenia i reguła dodawania

Bardziej szczegółowo

Plan wynikowy. Klasa III Technik pojazdów samochodowych/ Technik urządzeń i systemów energetyki odnawialnej. Kształcenie ogólne w zakresie podstawowym

Plan wynikowy. Klasa III Technik pojazdów samochodowych/ Technik urządzeń i systemów energetyki odnawialnej. Kształcenie ogólne w zakresie podstawowym Oznaczenia: wymagania konieczne, P wymagania podstawowe, R wymagania rozszerzające, D wymagania dopełniające, W wymagania wykraczające. Plan wynikowy lasa III Technik pojazdów samochodowych/ Technik urządzeń

Bardziej szczegółowo

Zadania zestaw 1: Zadania zestaw 2

Zadania zestaw 1: Zadania zestaw 2 Zadania zestaw 1: Zadania zestaw 2 Zadania zestaw 3. 1 Rozkład zmiennej losowej skokowej X przedstawia tabela. x i m 0 n p i 0,4 0,3 0,3 a) Wyznacz m i n jeśli: są całkowite, m

Bardziej szczegółowo