Probabilistyczne podstawy statystyki matematycznej. Dr inż. Małgorzata Michalcewicz-Kaniowska
|
|
- Tomasz Chmiel
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Probabilistyczne podstawy statystyki matematycznej Dr inż. Małgorzata Michalcewicz-Kaniowska 1
2 Zdarzenia losowe, algebra zdarzeń Do podstawowych pojęć w rachunku prawdopodobieństwa zaliczamy: doświadczenie losowe, zdarzenie losowe, zdarzenie elementarne, przestrzeń zdarzeń elementarnych. Doświadczeniem losowym nazywamy proces przyrodniczy lub zaplanowane doświadczenie, odbywające się w określonych warunkach, którego wyniku nie jesteśmy w stanie przewidzieć. Zdarzeniem losowym nazywamy każdy możliwy wynik doświadczenia losowego, wyróżniony ze względu na pewien specyficzny warunek. 2
3 Przykład 1 Rzut kostką sześcienną do gry jest doświadczeniem losowym. Z góry nie znamy wyniku, może wypaść jedno, dwa, lub sześć oczek na górnej ściance. Każdy z sześciu możliwych wyników jest zdarzeniem losowym. Przykład 2 Urząd gminy w pewnej miejscowości Z zatrudnia osoby w wieku od 19 do 62 lat. W kartotece dokonano pogrupowania zatrudnionych osób według płci i wieku. Uwzględniono trzy grupy wiekowe: grupa I -do 30 lat, grupa II -od 30 do 50 lat, grupa III -powyżej 50 lat. Doświadczeniem losowym jest określenie płci i grupy wiekowej, w jakiej znajdzie się pracownik wybrany losowo z kartoteki. Możemy np. wylosować kobietę z III grupy wiekowej. Wyniku doświadczenia nie możemy przewidzieć. Zdarzeniem losowym jest np. wybranie osoby płci męskiej. 3
4 Zdarzenie elementarne jest to zdarzenie losowe, które nie rozkłada się na prostsze zdarzenia. Zdarzeniem elementarnym jest każdy z możliwych wyników doświadczenia losowego, np. wyrzucenie sześciu oczek przy rzucie kostką do gry, wylosowanie sprawnego komputera. Zdarzenia elementarne oznaczać będziemy ϖi. (omega) Przestrzenią zdarzeń elementarnych nazywamy zbiór wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych i oznaczamy (omega)ω = {ϖ1, ϖ2,..., ϖn}. 4
5 Wykorzystując powyższe pojęcia można określić zdarzenie losowe jako dowolny podzbiór przestrzeni zdarzeń elementarnych, zawierający zdarzenia elementarne wyróżnione ze względu na pewien specyficzny warunek. Zdarzenia losowe oznaczamy A, B, C, itd. Jeżeli ϖi A, to mówimy, że zdarzenie elementarne ϖisprzyja zdarzeniu A. Często używa się określenia zdarzenie losowe A zachodzi. Ponieważ w teorii prawdopodobieństwa interesują nas wyłącznie doświadczenia losowe i zdarzenia losowe, będziemy często opuszczali słowo losowe. 5
6 Przykład 3 W przykładzie 1 zbiór Ω składa się z sześciu zdarzeń elementarnych; ϖ1 - wyrzucenie jednego oczka, ϖ2 -wyrzucenie dwóch oczek,..., ϖ6 -wyrzucenie sześciu oczek. Niech zdarzeniem losowym A będzie wyrzucenie parzystej liczby oczek. Składa się ono z trzech zdarzeń elementarnych: A = {ϖ2, ϖ4, ϖ6}, co symbolicznie możemy zapisać: A = {2, 4, 6}. Przykład 4 W przykładzie 2 mamy następujące zdarzenia elementarne: ϖ1 -mężczyzna z I grupy wiekowej, ϖ2 -mężczyzna z II grupy wiekowej, ϖ3 -mężczyzna z III grupy wiekowej, ϖ4 -kobieta z I grupy wiekowej, ϖ5 -kobieta z II grupy wiekowej, ϖ6 -kobieta z III grupy wiekowej. Rozważmy zdarzenia: A -z kartoteki wybrano kobietę i B -z kartoteki wybrano osobę w wieku powyżej 30 lat. Zdarzeniom A i B sprzyjają zdarzenia elementarne: A = {ϖ4, ϖ5, ϖ6} i B = {ϖ2, ϖ3, ϖ5, ϖ6}. 6
7 Zdarzeniem pewnym nazywamy zdarzenie, o którym wiadomo, że w określonym doświadczeniu losowym musi zajść, np. w rzucie kostką do gry wyrzucenie 1, 2,..., 6 oczek jest zdarzeniem pewnym. Zdarzenie pewne pokrywa się więc ze zbiorem zdarzeń elementarnych Ω. 7
8 Zdarzeniem niemożliwym nazywamy zdarzenie, o którym wiemy, że w określonym doświadczeniu losowym nie zajdzie. Zdarzenie niemożliwe nie zawiera żadnych zdarzeń elementarnych. Odpowiada mu zbiór pusty. 8
9 Sumę ( alternatywę ) zdarzeń A i B oznaczamy symbolem A B. Jest to zdarzenie, które zachodzi wtedy, gdy zajdzie zdarzenie A lub zdarzenie B, albo oba te zdarzenia. Suma zdarzeń A B składa się ze wszystkich zdarzeń elementarnych wchodzących w skład A i ze wszystkich zdarzeń elementarnych wchodzących w skład B. 9
10 Sumę ( alternatywę ) zdarzeń A i B 10
11 Przykład 5 Niech A oznacza zdarzenie polegające na wyrzuceniu jednego oczka w rzucie kostką do gry, B zdarzenie polegające na wyrzuceniu sześciu oczek na kostce, Suma zdarzeń A i B (A B) oznacza zdarzenie polegające na tym, że w rzucie kostką do gry wypadnie jedno lub sześć oczek. 11
12 Iloczyn (koniunkcja) zdarzeń A i B jest to zdarzenie, które zachodzi wówczas, gdy zachodzi zdarzenie A i jednocześnie zachodzi zdarzenie B. Iloczyn A i B oznaczamy A B. 12
13 Przykład 6 Niech D będzie iloczynem zdarzeń A i B określonych w przykładzie 4. D jest zdarzeniem polegającym na tym, że wybrany z kartoteki pracownik jest kobietą w wieku powyżej 30 lat. A zatem zdarzeniu D sprzyjają zdarzenia elementarne ϖ5, ϖ6 : D = {ϖ5, ϖ6}. 13
14 Różnica zdarzeń A i B jest to zdarzenie, które zachodzi wówczas, gdy zachodzi zdarzenie A i nie zachodzi zdarzenie B. Różnicę zdarzeń A i B oznaczamy A B. 14
15 Przykład 7 Niech E będzie różnicą zdarzeń A i B określonych w przykładzie 4. E jest zdarzeniem polegającym na tym, że wybrany z kartoteki pracownik jest kobietą w wieku nie przekraczającym 30 lat. A zatem zdarzeniu E sprzyja tylko jedno zdarzenie elementarne ϖ4 : E = {ϖ4}. 15
16 Zdarzenie przeciwne do zdarzenia A (dopełnienie zdarzenia A) jest to zdarzenie, które zachodzi wtedy, gdy nie zachodzi A. Oznaczamy je A = Ω A. Wynika z tego, że: A A = Ω oraz A A =. 16
17 Przykład 8 Rzucamy kostką do gry. Niech zdarzeniem A będzie wyrzucenie nieparzystej liczby oczek, zdarzeniem B wyrzucenie trzech oczek. Wtedy zdarzenie A i B, polegające na tym, że wyrzucono nieparzystą liczbę oczek i jednocześnie trzy oczka jest po prostu rzutem trzech oczek. Natomiast zdarzeniem A, przeciwnym do A, jest wyrzucenie parzystej liczby oczek. 17
18 Definicja i własności prawdopodobieństwa 18
19 Istnieje kilka definicji prawdopodobieństwa zdarzenia losowego. Podamy dwie z nich: tzw. definicję klasyczną, sformułowaną przez francuskiego matematyka, astronoma i fizyka Pierre a Simona de Laplace'a ( ), oraz definicję aksjomatyczną, której autorem jest wybitny matematyk Andriej Nikołajewicz Kołmogorow ( ), uważany za twórcę aksjomatyki prawdopodobieństwa. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa -jeśli zbiór zdarzeń elementarnych jest zbiorem skończonym, złożonym z N jednakowo możliwych zdarzeń elementarnych, to prawdopodobieństwo zdarzenia losowego A jest liczbą określoną wzorem: P(A) = n/n gdzie n oznacza liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających zajściu zdarzenia A (składających się na A). 19
20 Przykład 9 W rzucie kostką do gry jest sześć zdarzeń elementarnych. Wypadnięciu nieparzystej liczby oczek (A) sprzyjają trzy zdarzenia elementarne {(1),(3),(5)}, stąd: P(A) = 3/6 20
21 Gdy zbiór Ω jest nieskończenie liczny lub gdy zdarzenia elementarne nie są jednakowo możliwe, korzystamy z ogólniejszej, aksjomatycznej definicji prawdopodobieństwa. A.N. Kołmogorow sformułował trzy aksjomaty zastępując formalną definicję prawdopodobieństwa zdarzenia losowego. 21
22 Definicja aksjomatyczna prawdopodobieństwa: Każdemu zdarzeniu losowemu A zawartemu w Ω przyporządkowana jest jednoznacznie liczba P(A), zwana prawdopodobieństwem realizacji tego zdarzenia, taka że: 1. 0 P(A) 1 2. P(Ω) = 1 (prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego równe jest 1) 3. gdy zdarzenia A i B wykluczają się, tzn. A B =, wówczas: P(A B) = P(A)+ P(B) 22
23 Aksjomat 3 można uogólnić: Jeśli zdarzenia A1, A2, A3,..., An, An+1,... tworzą ciąg (skończony lub nieskończony) zdarzeń losowych parami się wykluczających, to prawdopodobieństwo sumy zdarzeń jest równe sumie ich prawdopodobieństw, tzn.: P(A1 A2... An An+1...) = P(A1) + P(A2) P(An ) + P(An+1)
24 Z definicji aksjomatycznej prawdopodobieństwa wynikają następujące własności prawdopodobieństwa: 1. P( ) = 0, gdzie jest symbolem zdarzenia niemożliwego, 2. P(A ) = 1 P(A), 3. 0 P(A) 1, 4. gdy A B, to P(A) < P(B), 5. P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) dla dowolnych zdarzeń A i B. 24
25 Przykład 10 Analizujemy dzienne obroty pewnego supermarketu S. Dotychczasowe obserwacje pozwalają przyjąć, że maksymalne dzienne obroty wynoszą 50 tys. zł. Określmy zdarzenia: a) A -zdarzenie polegające na tym, że dzienne obroty przyjmą wartość z przedziału <20 tys. zł, 35 tys. zł>, przy czym P(A) = 0,5, b) B -zdarzenie polegające na tym, że dzienne obroty przyjmą wartość z przedziału <30 tys. zł, 50 tys. zł>, przy czym P(B) = 0,7, c) suma A B jest zdarzeniem polegającym na tym, że dzienne obroty przyjmą wartość z przedziału <20 tys. zł, 50 tys. zł>, przy czym P(A B) = 0,8. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że: a) obroty osiągną wartość mniejszą od 20 tys. zł lub większą od 35 tys. zł, b) obroty będą niższe niż 30 tys. zł, c) obroty przyjmą wartość z przedziału <30 tys. zł, 35 tys. zł>. 25
26 Rozwiązanie przykładu: a) interesujące nas zdarzenie jest zdarzeniem A -przeciwnym do zdarzenia A. Otrzymujemy więc: P(A ) = 1 P(A) = 1 0,5 = 0,5. A zatem prawdopodobieństwo tego, że obroty magazynu będą niższe niż 20 tys. zł lub wyższe niż 35 tys. zł wynosi 0,5. b) omawiane tu zdarzenie jest zdarzeniem przeciwnym do B, więc: P(B ) = 1 P(B) = 1 0,7 = 0,3. c) rozważane w tym punkcie zdarzenie jest iloczynem zdarzeń A i B. Najłatwiej to widać, gdy przedstawimy dane dotyczące obrotów na osi liczbowej. Przekształcając własność prawdopodobieństwa dotyczącą prawdopodobieństwa sumy dwóch zdarzeń (własność e) otrzymujemy: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B), P(A B) = 0,5 + 0,7-0,8 = 0,4. Tak więc szukane prawdopodobieństwo wynosi 0,4. 26
27 Zdarzenia niezależne, prawdopodobieństwo warunkowe 27
28 Dany jest ciąg kilku doświadczeń losowych. O doświadczeniach tych mówimy, że są próbami niezależnymi, gdy wynik każdego z nich nie zależy od wyników pozostałych doświadczeń. Zdarzenia A i B są niezależne, gdy: P(A B) = P(A) P(B). 28
29 Przykład 11 Rzucamy dwa razy kostką do gry. Zdarzenie A polega na wyrzuceniu w obu rzutach parzystej liczby oczek, a zdarzenie B polega na wyrzuceniu sześciu oczek przynajmniej na jednej kostce. Sprawdzić, czy zdarzenia A i B są niezależne. Rozwiązanie przykładu: W celu sprawdzenia niezależności zdarzeń A i B sprawdzimy, czy spełniona jest równość P(A B) = P(A) P(B). Zdarzeniom A i B sprzyjają następujące zdarzenia elementarne: A = {(2,2), (2,4), (2,6), (4,2), (4,4), (4,6), (6,2), (6,4), (6,6)}, B = {(1,6), (2,6), (3,6), (4,6), (5,6), (6,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5)}, natomiast A B = {(2,6), (4,6), (6,6), (6,2), (6,4)}. Przestrzeń zdarzeń elementarnych przy rzucie dwa razy kostką zawiera 6 2 = 36 zdarzeń elementarnych, tak więc: P(A) = 9/36 P(B) = 11/36 P(A B) = 5/36 Widzimy więc, że P(A B) P(A) P(B), a to oznacza, że zdarzenia są zależne. 29
30 Przykład 12 Zorganizowano dwie loterie fantowe. Prawdopodobieństwo wygrania na pierwszej loterii wynosi 0,6, a na drugiej 0,75. Obliczyć prawdopodobieństwo wygrania na obu loteriach, jeżeli zakupiono po jednym losie na każdej z nich. Rozwiązanie przykładu: Oznaczmy: A -zdarzenie polegające na wygraniu na pierwszej loterii, B zdarzenie polegające na wygraniu na drugiej loterii, C -zdarzenie polegające na wygraniu na obu loteriach. Zdarzenia A i B są niezależne, przy czym C = A B. Tak więc prawdopodobieństwo wygrania na obu loteriach wynosi: P (C) = P(A) P(B) = 0,6 0,75 = 0,45. 30
31 Przykład 13 Pewien sklep może podpisać umowę dostawy towarów handlowych niezależnie z dwoma dostawcami D1 i D2. Prawdopodobieństwo podpisania umowy z dostawcą D1 wynosi 0,7, natomiast z dostawcą D2 wynosi 0,3. Obliczyć prawdopodobieństwo, że pierwsza dostawa będzie pochodzić: a) tylko od dostawcy D1, b) tylko od jednego dostawcy, c) od obydwu dostawców. Rozwiązanie przykładu: Wprowadźmy oznaczenia dla zdarzeń: A -dostawa pochodzi od dostawcy D1, przy czym P(A) = 0,7, B -dostawa pochodzi od dostawcy D2, przy czym P(B) = 0,3. a) niech zdarzenie C polega na tym, że pierwsza dostawa będzie pochodzić tylko od pierwszego dostawcy D1. C jest iloczynem zdarzeń A i B (zdarzenia przeciwnego do B). Ponieważ A i B są zdarzeniami niezależnymi, więc otrzymujemy: P(A B ) = P(A) P(B ) = P(A) ( 1 P(B)) = 0,7 (1 0,3) = 0,49. 31
32 b) jeśli dostawa ma pochodzić tylko od jednego dostawcy, oznacza to, że ma pochodzić tylko od dostawcy D1 lub tylko od dostawcy D2. Oznaczmy przez E interesujące nas zdarzenie. Wówczas E = (A B ) (A B). Ponieważ zdarzenia A B oraz A B są rozłączne, więc mamy: P(E) = P(A B ) + P(A B). Zdarzenia A i B są niezależne, podobnie niezależne są zdarzeniaa i B. Tak więc poszukiwane prawdopodobieństwo wynosi: P(E) = P(A) P(B ) + P(A ) P(B) = 0,7 0,7 + 0,3 0,3 = 0,58. c) dostarczenie do sklepu dostawy od obydwu dostawców oznacza, że sklep podpisze umowę dostawy z dostawcą D1 i z dostawcą D2. Interesujące nas zdarzenie (zdarzenie F) jest równoważne iloczynowi zdarzeń A i B: F = A B. Z niezależności zdarzeń A i B mamy więc: P(F) = P(A) P(B) = 0,7 0,3 = 0,21. 32
33 Wzór P(A B) = P(A) P(B) o iloczynie prawdopodobieństw zdarzeń niezależnych można uogólnić na większą liczbę zdarzeń (n zdarzeń), wprowadzając pojęcie niezależności zespołowej (grupowej). Zdarzenia A1, A2,..., Ansą niezależne zespołowo, gdy dla dowolnej kombinacji m różnych zdarzeń spośród nich: P(Ai1 Ai2... Aim) = P(Ai1) P(Ai2)... P(Aim) (4,3) gdzie m n. Uwaga: Niezależność zespołowa zdarzeń pociąga za sobą niezależność parami (dowolnych dwóch z nich, różnych zdarzeń), np.: jeśli zdarzenia A1, A2 i A3 są niezależne zespołowo, to wówczas niezależne są zdarzenia: A1 i A2, A1 i A3 oraz A1 i A3. Należy jednak podkreślić, że nie jest na odwrót. Z niezależności zdarzeń parami nie wynika ich niezależność zespołowa. Może się zdarzyć, ze zdarzenia są niezależne parami, lecz nie są niezależne zespołowo. 33
34 Przykład 14 W firmie spożywczej pewien wyrób zapakowano w 3 paczki, po 10 sztuk wyrobu w jednej paczce. W pierwszej paczce są 2 wyroby z wadami, w drugiej 3, a w trzeciej 1. Z każdej paczki pobieramy losowo po jednej sztuce wyrobu. Obliczyć prawdopodobieństwo, że wszystkie wylosowane wyroby będą miały wady. Rozwiązanie przykładu: Niech: A -zdarzenie polegające na wylosowaniu wadliwego wyrobu z pudełka pierwszego -P(A) = 0,2 B -zdarzenie polegające na wylosowaniu wadliwego wyrobu z pudełka drugiego -P(B) = 0,3 34
35 C -zdarzenie polegające na wylosowaniu wadliwego wyrobu z pudełka trzeciego -P(C) = 0,1 Ponieważ zdarzenia A, B i C są niezależne zespołowo, więc szukane prawdopodobieństwo wynosi: P(A B C) = P(A) P(B) P(C ) = 0,2 0,3 0,1 = 0,
36 Prawdopodobieństwo P(A B) nazywamy warunkowym i czytamy prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A, przy warunku, że zaszło zdarzenie B. Dla zdarzeń niezależnych prawdziwe są wzory: P(A B) = P(A), P(B A) = P(B), co oznacza, że fakt zajścia zdarzenia B nie zmienia faktu zajścia zdarzenia A i na odwrót. 36
37 Natomiast dla dowolnych dwu zdarzeń prawdopodobieństwo warunkowe P(A B) równe jest: P(A B) =P(A B) / P(B) stąd: P(A B) = P(A B) P(B), a także: P(A B) = P(B A) P(A) 37
38 Obliczając prawdopodobieństwo iloczynu zdarzeń, musimy zawsze uwzględnić to, czy zdarzenia są niezależne, czy też są zależne. Natomiast przy obliczaniu prawdopodobieństwa sumy zdarzeń musimy uwzględnić fakt, czy zdarzenia wykluczają się wzajemnie, czy też nie. Należy rozróżniać pojęcie niezależności zdarzeń od wykluczania się zdarzeń. Są to zupełnie różne pojęcia, mimo że istnieją zdarzenia jednocześnie wykluczające się i niezależne. Przykładem takich zdarzeń (wykluczających i niezależnych jednocześnie) jest: A -dowolne zdarzenie i -zdarzenie niemożliwe. A =, a zatem: P(A ) = P( ) = 0 = P(A) 0 = P(A) P( ). 38
39 Zasadniczo jednak zdarzenia niezależne nie muszą być zdarzeniami wykluczającymi się. Łatwo zauważyć, że zdarzeniami, które są niezależne, ale nie wykluczają się są: A -zdarzenie dowolne i Ω -zdarzenie pewne. Ponieważ A Ω = A, więc: P(A Ω) = P(A). P(Ω) = 1, a to oznacza, że: P(A Ω) = P(A) = P(A) 1 = P(A) P(Ω), mimo że: A Ω. 39
40 Przykład 15 Analiza sprzedaży nowego szamponu S pozwoliła stwierdzić, że po pierwszej fali reklam szampon kupowany jest przez 55% potencjalnych klientów. Następnie spada zainteresowanie nowym produktem tak, że po drugiej fali reklam szampon S kupowany jest już tylko przez 24% z nich. Jakie jest prawdopodobieństwo, że klient, który nie kupił szamponu po pierwszej fali reklam, kupi go po drugiej fali? Rozwiązanie przykładu: Interesujące nas zdarzenia oznaczmy następująco: A - zdarzenie, że klient kupi szampon S po pierwszej fali reklam, B -zdarzenie, że klient kupi szampon S po drugiej fali reklam. P(A)=0,55 P(B A) = 0,24. A - zdarzenie, że klient nie kupi szamponu S po pierwszej fali reklam. P(A ) = 1 0,55 = 0,45, P(B A ) = 0,24. Niech C będzie zdarzeniem, którego prawdopodobieństwo mamy obliczyć, tzn., że klient nie kupi szamponu po pierwszej fali reklam i kupi go po drugiej fali reklam. C = A B. Zdarzenia A i B nie są niezależne, więc zgodnie ze wzorem mamy: P(A B) = P(B A ) P(A ). A zatem: P(C) = 0,24 0,45 = 0,108. Szukane prawdopodobieństwo wynosi 0,
41 Przykład 16 W dwóch supermarketach przeprowadzono badania ankietowe, czy klienci zadowoleni są z obsługi w tych supermarketach. Okazało się, że wśród klientów pierwszego supermarketu niezadowolonych jest 30% osób, natomiast w drugim supermarkecie 20% klientów ma zastrzeżenia do obsługi. Do badań ogólnokrajowych wybrano losowo jednego klienta z supermarketu pierwszego i jednego klienta z supermarketu drugiego. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że: a) obydwaj klienci są zadowoleni, b) wśród wybranych nie ma klienta niezadowolonego. Rozwiązanie przykładu: Rozważmy następujące zdarzenia: A -klient z pierwszego supermarketu jest zadowolony -P(A) = 0,7, B -klient z drugiego supermarketu jest zadowolony -P(B) = 0,8. 41
42 Schemat Bernoulliego 42
43 Mówimy, że ciąg (seria) doświadczeń niezależnych jest wykonywany zgodnie ze schematem Bernoulliego, jeżeli spełnione są warunki: każde pojedyncze doświadczenie może zakończyć się jednym z dwóch wyników: zdarzeniem A zwanym sukcesem lub zdarzeniem A' przeciwnym do niego, zwanym porażką, prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczym doświadczeniu jest stałe, równe p. 43
44 Wtedy prawdopodobieństwo, że w serii n niezależnych doświadczeń sukces pojawi się dokładnie k razy, (k = 0, 1,..., n), wyraża się wzorem: gdzie: k = 0, 1,..., n, p -prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczym doświadczeniu. Symbol nazywamy symbolem Newtona 44
45 Wówczas: zdarzenia A i B są niezależne, gdyż zadowolenie klienta pierwszego supermarketu nie ma wpływu na zadowolenie klienta drugiego supermarketu. a) interesuje nas zdarzenie C = A B. P(C) = P(A B) = P(A) P(B) = 0,7 0,8 = 0,56. A zatem prawdopodobieństwo zadowolenia obu klientów wynosi 0,56. b) wylosowanych wśród dwóch wylosowanych klientów nie będzie klienta niezadowolonego, jeśli przynajmniej jeden z nich będzie zadowolony. A zatem rozważane tu zdarzenie (D) jest sumą zdarzeń A i B: D = A B. Zdarzenia A i B nie wykluczają się nawzajem, więc obliczamy: P(D) = P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). P(D) = 0,7 + 0,8-0,56 = 0,94. Tak więc prawdopodobieństwo zadowolenia co najmniej jednego klienta jest wysokie i wynosi 0,94. 45
46 Symbol Newtona zaś symbol n! (n silnia) określony jest wzorem: n! = n (dla n = 1, 2, 3,...). Ponadto z definicji: 0! = 1. 46
47 47
48 48
49 49
Podstawy nauk przyrodniczych Matematyka
Podstawy nauk przyrodniczych Matematyka Elementy rachunku prawdopodobieństwa dr inż. Małgorzata Szeląg Zakład Genetyki Molekularnej Człowieka tel. 61 829 59 04 malgorzata.szelag@amu.edu.pl Pokój 1.118
Bardziej szczegółowoZdarzenia losowe i prawdopodobieństwo
Rozdział 1 Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo 1.1 Klasyfikacja zdarzeń Zdarzenie elementarne pojęcie aprioryczne, które nie może być zdefiniowane. Odpowiednik pojęcia punkt w geometrii. Zdarzenie elementarne
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa
Rachunek prawdopodobieństwa Sebastian Rymarczyk srymarczyk@afm.edu.pl Tematyka zajęć 1. Elementy kombinatoryki. 2. Definicje prawdopodobieństwa. 3. Własności prawdopodobieństwa. 4. Zmienne losowe, parametry
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo. Prawdopodobieństwo. Jacek Kłopotowski. Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH. 16 października 2018
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 16 października 2018 Definicja σ-algebry Definicja Niech Ω oznacza zbiór niepusty. Rodzinę M podzbiorów zbioru Ω nazywamy σ-algebrą (lub σ-ciałem) wtedy
Bardziej szczegółowoBiostatystyka, # 2 /Weterynaria I/
Biostatystyka, # 2 /Weterynaria I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a bud. Agro II, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Bardziej szczegółowoStatystyka Astronomiczna
Statystyka Astronomiczna czyli zastosowania statystyki w astronomii historycznie astronomowie mieli wkład w rozwój dyscypliny Rachunek prawdopodobieństwa - gałąź matematyki Statystyka - metoda oceny właściwości
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo
Prawdopodobieństwo http://www.matemaks.pl/ Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa http://www.matemaks.pl/wstep-do-rachunku-prawdopodobienstwa.html Rachunek prawdopodobieństwa pomaga obliczyć szansę zaistnienia
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne
Metody probabilistyczne 2. Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 10.10.2017 1 / 33 Klasyczna definicja prawdopodobieństwa
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna
Statystyka matematyczna Wykład 2 Magdalena Alama-Bućko 5 marca 2018 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 5 marca 2018 1 / 14 Prawdopodobieństwo klasyczne Ω - zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych
Bardziej szczegółowoMatematyczne Podstawy Kognitywistyki
Matematyczne Podstawy Kognitywistyki Dorota Leszczyńska-Jasion Kombinatoryka, ci agi liczbowe, skończone przestrzenie probabilistyczne Przykłady zagadnień kombinatorycznych Rozważmy układ n miast o bardzo
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa- wykład 2
Rachunek prawdopodobieństwa- wykład 2 Pojęcie dyskretnej przestrzeni probabilistycznej i określenie prawdopodobieństwa w tej przestrzeni dr Marcin Ziółkowski Instytut Matematyki i Informatyki Uniwersytet
Bardziej szczegółowoMETODY PROBABILISTYCZNE I STATYSTYKA
Andrzej Marciniak METODY PROBABILISTYCZNE I STATYSTYKA Wykłady dla studentów kierunku informatyka Państwowej Wyższej Szkoły Zawodowej w Kaliszu Wykłady są przeznaczone wyłącznie do indywidualnego użytku
Bardziej szczegółowoMoneta 1 Moneta 2 Kostka O, R O,R 1,2,3,4,5, Moneta 1 Moneta 2 Kostka O O ( )
Nowa matura kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Zadania zamknięte (0 1 pkt) 1. Doświadczenie losowe polega na rzucie dwiema symetrycznymi monetami i sześcienną kostką do gry. Prawdopodobieństwo
Bardziej szczegółowoMatematyka z el. statystyki, # 2 /Geodezja i kartografia II/
Matematyka z el. statystyki, # 2 /Geodezja i kartografia II/ Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a bud. Agro II, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Bardziej szczegółowoP r a w d o p o d o b i eństwo Lekcja 1 Temat: Lekcja organizacyjna. Program. Kontrakt.
P r a w d o p o d o b i eństwo Lekcja 1 Temat: Lekcja organizacyjna. Program. Kontrakt. Lekcja 2 Temat: Podstawowe pojęcia związane z prawdopodobieństwem. Str. 10-21 1. Doświadczenie losowe jest to doświadczenie,
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo warunkowe Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym
Edward Stachowski Prawdopodobieństwo warunkowe Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym W podstawie programowej obowiązującej na egzaminie maturalnym od 05r pojawiły się nowe treści programowe Wśród
Bardziej szczegółowo2. Lesław Gajek, Marek Kałuszka, Wnioskowanie statystyczne. Modele i metody. Dla studentów.
Literatura:. Jerzy Greń, Statystyka matematyczna. Modele i zadania.. Lesław Gajek, Marek Kałuszka, Wnioskowanie statystyczne. Modele i metody. Dla studentów.. J. Koronacki, J. Mielniczuk, Statystyka dla
Bardziej szczegółowop k (1 p) n k. k c. dokładnie 10 razy została wylosowana kula amarantowa, ale nie za pierwszym ani drugim razem;
05DRAP - Niezależność zdarzeń, schemat Bernoulliego Definicja.. Zdarzenia A i B nazywamy niezależnymi, jeżeli zachodzi równość P(A B) = P(A) P(B). Definicja. 2. Zdarzenia A,..., A n nazywamy niezależnymi
Bardziej szczegółowoPodstawy metod probabilistycznych. dr Adam Kiersztyn
Podstawy metod probabilistycznych dr Adam Kiersztyn Przestrzeń zdarzeń elementarnych i zdarzenia losowe. Zjawiskiem lub doświadczeniem losowym nazywamy taki proces, którego przebiegu i ostatecznego wyniku
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 1. L. Kowalski, Statystyka, 2005
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 1. Literatura: Marek Cieciura, Janusz Zacharski, Metody probabilistyczne w ujęciu praktycznym, L. Kowalski, Statystyka, 2005 R.Leitner, J.Zacharski, "Zarys matematyki
Bardziej szczegółowoRzucamy dwa razy sprawiedliwą, sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania:
Statystyka Ubezpieczeniowa Część 1. Rachunek prawdopodobieństwa: - prawdopodobieństwo klasyczne - zdarzenia niezależne - prawdopodobieństwo warunkowe - prawdopodobieństwo całkowite - wzór Bayesa Schemat
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2
STATYSTYKA Rafał Kucharski Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2 Wybrane litery alfabetu greckiego α alfa β beta Γ γ gamma δ delta ɛ, ε epsilon η eta Θ θ theta
Bardziej szczegółowoLOGIKA I TEORIA ZBIORÓW
LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW Logika Logika jest nauką zajmującą się zdaniami Z punktu widzenia logiki istotne jest, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy nie Nie jest natomiast istotne o czym to zdanie mówi Definicja
Bardziej szczegółowoRachunku prawdopodobieństwa: rys historyczny, aksjomatyka, prawdopodobieństwo warunkowe,
Rachunku prawdopodobieństwa: rys historyczny, aksjomatyka, prawdopodobieństwo warunkowe, niezależność zdarzeń dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu Semestr letni
Bardziej szczegółowoElementy rachunku prawdopodobieństwa (M. Skośkiewicz, A. Siejka, K. Walczak, A. Szpakowska)
Elementy rachunku prawdopodobieństwa (M. Skośkiewicz, A. Siejka, K. Walczak, A. Szpakowska) Twierdzenie (o mnożeniu) Podstawowe pojęcia i wzory kombinatoryczne. Niech,, będą zbiorami mającymi odpowiednio,,
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna
Statystyka matematyczna Wykład 1 Magdalena Alama-Bućko 26 lutego 2018 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 26 lutego 2018 1 / 16 Wykład : 10h (przez 10 tygodni po 45 minut) zaliczenie wykładu
Bardziej szczegółowo02DRAP - Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa, zasada w-w
02DRAP - Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa, zasada w-w A Zadania na ćwiczenia Zadanie A.1. Niech Ω = R oraz F będzie σ-ciałem generowanym przez rodzinę wszystkich przedziałów otwartych typu (,
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa 2.1. σ ciało (algebra) zdarzeń Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska losowe Zdarzenie losowe to pewien podzbiór przestrzeni zdarzeń
Bardziej szczegółowoPRAWDOPODOBIEŃSTWO CZAS PRACY: 180 MIN. ZADANIE 1 (5 PKT) NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI
IMIE I NAZWISKO PRAWDOPODOBIEŃSTWO PRAWDOPODOBIEŃSTWO CZAS PRACY: 180 MIN. SUMA PUNKTÓW: 100 ZADANIE 1 (5 PKT) Rzucono dwiema sześciennymi kostkami do gry i określono zdarzenia A na każdej kostce wypadła
Bardziej szczegółowoL.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 1 ZADANIA - ZESTAW 1. (odp. a) B A C, b) A, c) A B, d) Ω)
ZADANIA - ZESTAW 1 Zadanie 1.1 Rzucamy trzy razy monetą. A i - zdarzenie polegające na tym, że otrzymamy orła w i - tym rzucie. Określić zbiór zdarzeń elementarnych. Wypisać zdarzenia elementarne sprzyjające
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo. jest ilościową miarą niepewności
Prawdopodobieństwo jest ilościową miarą niepewności Eksperyment - zdarzenie elementarne Eksperymentem nazywamy proces, który prowadzi do jednego z możliwych wyników. Nazywamy je wynikami obserwacji, zdarzeniami
Bardziej szczegółowoWykład 2. Prawdopodobieństwo i elementy kombinatoryki
Wstęp do probabilistyki i statystyki Wykład 2. Prawdopodobieństwo i elementy kombinatoryki dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska, prof.agh Katedra Elektroniki, AGH e-mail: zak@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~zak
Bardziej szczegółowoKURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO
KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO Lekcja 3 Definicja prawdopodobieństwa Kołmogorowa. Prawdopodobieństwa warunkowe i niezależne. ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko
Bardziej szczegółowoZdarzenie losowe (zdarzenie)
Zdarzenie losowe (zdarzenie) Ćw. 1. Ze zbioru cyfr (l, 2,3,..., 9} losowo wybieramy jedną. a) Wypisz zdarzenia elementarne, sprzyjające: zdarzeniu A, że wybrano liczbę parzystą zdarzeniu B, że wybrano
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 1
Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 1 Przygotowując wykład korzystam głównie z książki Jakubowski, Sztencel Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Jakubowski, Sztencel:
Bardziej szczegółowoWykład 11: Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa
Wykład : Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa dr Mariusz Grządziel 3 maja 203 Doświadczenie losowe Doświadczenie nazywamy losowym, jeśli: może być powtarzane (w zasadzie) w tych samych warunkach;
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa i statystyka
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Przestrzeń probabilistyczna Niech Ω będzie dowolnym zbiorem, zwanym przestrzenią zdarzeń elementarnych. Elementy ω tej przestrzeni nazywamy zdarzeniami elementarnymi.
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna
Statystyka matematyczna Wykład 1 Magdalena Alama-Bućko 20 lutego 2017 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 20 lutego 2017 1 / 21 Wykład : 10h (przez 10 tygodni po 45 minut) Ćwiczenia : 15h (45
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I KOMBINATORYKA
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I KOMBINATORYKA Doświadczenia losowe Rachunek prawdopodobieństwa zajmuje się zdarzeniami jakie zachodzą, gdy przeprowadzamy doświadczenia losowe. Mówimy, że doświadczenie jest
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń.
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń. 3.2. Niezależność zdarzeń Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Niezależność dwóch zdarzeń Intuicja Zdarzenia losowe
Bardziej szczegółowoPodstawy Teorii Prawdopodobieństwa
Statystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka Podstawy Teorii Prawdopodobieństwa Aleksander Denisiuk denisjuk@euh-e.edu.pl Elblaska Uczelnia Humanistyczno-Ekonomiczna ul. Lotnicza 2 82-300 Elblag
Bardziej szczegółowoStatystyka. Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego
Statystyka Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego 2017 Rachunek Prawdopodobieństwa Brian Wynne podał następującą typologię zagrożeń znanych i niewiadomych: 1. ryzyko to wiadome nam przyszłe zagrożenia,
Bardziej szczegółowo= 10 9 = Ile jest wszystkich dwucyfrowych liczb naturalnych podzielnych przez 3? A. 12 B. 24 C. 29 D. 30. Sposób I = 30.
Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Zadania zamknięte (0 1 pkt) 1. Flagę, taką jak pokazano na rysunku, należy zszyć z trzech jednakowej szerokości pasów kolorowej tkaniny. Oba pasy zewnętrzne
Bardziej szczegółowoZmienna losowa. Rozkład skokowy
Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy Kody kolorów: żółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga * - materiał nadobowiązkowy Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 1 Zagadnienia
Bardziej szczegółowoKOMBINATORYKA I P-WO CZ.1 PODSTAWA
KOMBINATORYKA I P-WO CZ.1 PODSTAWA ZADANIE 1 (1 PKT) Pan Jakub ma marynarki, 7 par różnych spodni i 10 różnych koszul. Na ile różnych sposobów może się ubrać, jeśli zawsze zakłada marynarkę, spodnie i
Bardziej szczegółowo{( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( RRR)
.. KLASYCZNA DEFINICJA PRAWDOPODOBIEŃSTWA Klasyczna definicja prawdopodobieństwa JeŜeli jest skończonym zbiorem zdarzeń elementarnych jednakowo prawdopodobnych i A, to liczbę A nazywamy prawdopodobieństwem
Bardziej szczegółowoSpis treści. Definicje prawdopodobieństwa. Częstościowa definicja prawdopodobieństwa. Wnioskowanie_Statystyczne_-_wykład
Wnioskowanie_Statystyczne_-_wykład Spis treści 1 Definicje prawdopodobieństwa 1.1 Częstościowa definicja prawdopodobieństwa 1.1.1 Przykład 1.1.2 Rozwiązanie: 1.1.3 Inne rozwiązanie: 1.1.4 Jeszcze inne
Bardziej szczegółowo(C. Gauss, P. Laplace, Bernoulli, R. Fisher, J. Spława-Neyman) Wikipedia 2008
STATYSTYKA MATEMATYCZNA - dział matematyki stosowanej oparty na rachunku prawdopodobieństwa; zajmuje się badaniem zbiorów na podstawie analizy ich części. Nauka, której przedmiotem zainteresowania są metody
Bardziej szczegółowoWstęp. Kurs w skrócie
Mariola Zalewska Zakład Metod Matematycznych i Statystycznych Zarządzania Wydział Zarządzania Uniwersystet Warszawski I rok DSM Rachunek Prawdopodobieństwa Wstęp Kombinatoryka Niezależność zdarzeń, Twierdzenie
Bardziej szczegółowoW2 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa (przypomnienie)
W2 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa (przypomnienie) Henryk Maciejewski Jacek Jarnicki Marek Woda www.zsk.iiar.pwr.edu.pl Rachunek prawdopodobieństwa - przypomnienie 1. Zdarzenia 2. Prawdopodobieństwo
Bardziej szczegółowoDoświadczenie i zdarzenie losowe
Doświadczenie i zdarzenie losowe Doświadczenie losowe jest to takie doświadczenie, które jest powtarzalne w takich samych warunkach lub zbliżonych, a którego wyniku nie można przewidzieć jednoznacznie.
Bardziej szczegółowoc. dokładnie 10 razy została wylosowana kula antracytowa, ale nie za pierwszym ani drugim razem;
05DRAP - Niezależność zdarzeń, schemat Bernoulliego A Zadania na ćwiczenia Zadanie A.. Niech Ω = {ω, ω 2, ω, ω, ω 5 } i P({ω }) = 8, P({ω 2}) = P({ω }) = P({ω }) = 6 oraz P({ω 5}) = 5 6. Niech A = {ω,
Bardziej szczegółowoWYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I (SGH)
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I (SGH) Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 1 1 / 24 Warunki zaliczenia 1 Do egzaminu dopuszczeni wszyscy, którzy uczęszczali na
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA ZADANIA Z ROZWIĄZANIAMI. Uwaga! Dla określenia liczebności zbioru (mocy zbioru) użyto zamiennie symboli: Ω lub
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA ZADANIA Z ROZWIĄZANIAMI Uwaga! Dla określenia liczebności zbioru (mocy zbioru) użyto zamiennie symboli: Ω lub 1. W grupie jest 15 kobiet i 18 mężczyzn. Losujemy jedną osobę
Bardziej szczegółowo51. Wykorzystywanie sumy, iloczynu i różnicy zdarzeń do obliczania prawdopodobieństw zdarzeń.
Matematyka lekcja 5 5. Wykorzystywanie sumy, iloczynu i różnicy zdarzeń do obliczania prawdopodobieństw zdarzeń. I. rzypomnij sobie:. Jak rysujemy drzewo stochastyczne i przy jego pomocy obliczamy prawdopodobieństwo
Bardziej szczegółowoWstęp do rachunku prawdopodobieństwa
wykład : Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa STTYSTYK OPISOW Wanda Olech Katedra Genetyki i Ochrony Zwierząt Statystyka zajmuje się Zjawiskami losowymi - które bada przez doświadczenie U podstaw współczesnej
Bardziej szczegółowoWstęp do probabilistyki i statystyki Wykład 3. Prawdopodobieństwo i algebra zdarzeń
Wstęp do probabilistyki i statystyki Wykład 3. Prawdopodobieństwo i algebra zdarzeń dr inż. Krystyna Schneider, Katedra Elektroniki, AGH e-mail: kryschna@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~kryschna 1 Plan:
Bardziej szczegółowoIII. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE
III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta
Bardziej szczegółowoMatematyka podstawowa X. Rachunek prawdopodobieństwa
Matematyka podstawowa X Rachunek prawdopodobieństwa Zadania wprowadzające: 1. Rzucasz trzy razy monetą a) Napisz zbiór wszystkich wyników tego doświadczenia losowego. Ile ich jest? Wyrzuciłeś większą liczbę
Bardziej szczegółowoR_PRACA KLASOWA 1 Statystyka i prawdopodobieństwo.
R_PRACA KLASOWA 1 Statystyka i prawdopodobieństwo. Zadanie 1. Wyznacz średnią arytmetyczną, dominantę i medianę zestawu danych: 1, 5, 3, 2, 2, 4, 4, 6, 7, 1, 1, 4, 5, 5, 3. Zadanie 2. W zestawie danych
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna
Statystyka matematyczna Wykład 1 Magdalena Alama-Bućko 25 lutego 2019 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 25 lutego 2019 1 / 18 Wykład : 10h (przez 10 tygodni po 45 minut) Ćwiczenia : 15h (45
Bardziej szczegółowoPRAWDOPODOBIEŃSTWO I KOMBINATORYKA
PRAWDOPODOBIEŃSTWO I KOMBINATORYKA ZADANIE ( PKT) Z urny zawierajacej kule w dwóch kolorach wybieramy losowo dwie. Prawdopodobieństwo wylosowania co najmniej jednej kuli białej jest równe 8, a prawdopodobieństwo
Bardziej szczegółowozdarzenie losowe - zdarzenie którego przebiegu czy wyniku nie da się przewidzieć na pewno.
Rachunek prawdopodobieństwa Podstawowym celem rachunku prawdopodobieństwa jest określanie szans zajścia pewnych zdarzeń. Pojęcie podstawowe rachunku prawdopodobieństwa to: zdarzenie losowe - zdarzenie
Bardziej szczegółowoKombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa
Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Jerzy Rutkowski Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa 2. Elementy kombinatoryki 2.1. Permutacje Definicja 1. Niech n N. Permutacją n-elementowego zbioru
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne
Metody probabilistyczne 1. Prawdopodobieństwo klasyczne Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 03.10.2017 1 / 19 Rys historyczny Francja, XVII w.: gry hazardowe
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA wykład 1. Wanda Olech. Katedra Genetyki i Ogólnej Hodowli Zwierząt
STTYSTYK wykład 1 Wanda Olech Katedra Genetyki i Ogólnej Hodowli Zwierząt Statystyka Pierwotnie oznaczała stan rzeczy (od status) i do XVIII wieku używana dla określenia zbioru wiadomości o państwie Statystyka
Bardziej szczegółowoStatystyka i Rachunek Prawdopodobieństwa dla Bioinzynierii Lista zadań 2, 2018/19z (zadania na ćwiczenia)
Statystyka i Rachunek Prawdopodobieństwa dla Bioinzynierii Lista zadań 2, 2018/19z (zadania na ćwiczenia) 1 Przestrzeń probabilistyczna Zadanie 1 Rzucamy dwiema kostkami do gry. Opisać przestrzeń zdarzeń
Bardziej szczegółowoc) Zaszły oba zdarzenia A i B; d) Zaszło zdarzenie A i nie zaszło zdarzenie B;
Rachunek prawdopodobieństwa rozwiązywanie zadań 1. Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Zapisujemy liczbę oczek, jakie wypadły w obu rzutach. Wypisz zdarzenia elementarne tego doświadczenia.
Bardziej szczegółowoWykład 13. Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa
Wykład 13. Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu semestr zimowy, rok akademicki 2015 2016 Doświadczenie losowe Doświadczenie
Bardziej szczegółowo3. Podstawowe pojęcia statystyki matematycznej i rachunku prawdopodobieństwa wykład z Populacja i próba
3. Podstawowe pojęcia statystyki matematycznej i rachunku prawdopodobieństwa wykład z 12.03.2007 Populacja i próba Populacja- zbiorowość skończona lub nieskończona, w stosunku do której mają być formułowane
Bardziej szczegółowoStatystyka podstawowe wzory i definicje
1 Statystyka podstawowe wzory i definicje Średnia arytmetyczna to suma wszystkich liczb (a 1, a 2,, a n) podzielona przez ich ilość (n) Przykład 1 Dany jest zbiór liczb {6, 8, 11, 2, 5, 3}. Oblicz średnią
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 2. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady
WYKŁAD 2 Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady Metody statystyczne metody opisu metody wnioskowania statystycznego syntetyczny liczbowy opis właściwości zbioru danych ocena
Bardziej szczegółowoKombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa
Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Jerzy Rutkowski 2. Elementy kombinatoryki 2.. Permutacje Teoria Definicja. Niech n N. Permutacją n-elementowego zbioru
Bardziej szczegółowoRachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna
Rachunek rawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna rowadzący: prof. dr hab. inż. Ireneusz Jóźwiak Zestaw nr. Opracowanie: Grzegorz Drzymała 4996 Grzegorz Dziemidowicz 49965 drian Gawor 49985 Zadanie..
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA - POJĘCIA WSTĘPNE MATERIAŁY POMOCNICZE - TEORIA
Wydział: WiLiŚ, Transport, sem.2 dr Jolanta Dymkowska RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA - POJĘCIA WSTĘPNE MATERIAŁY POMOCNICZE - TEORIA Przestrzeń probabilistyczna Modelem matematycznym (tj. teoretycznym, wyidealizowanym,
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo geometryczne
Prawdopodobieństwo geometryczne Krzysztof Jasiński Wydział Matematyki i Informatyki UMK, Toruń V Lieceum Ogólnokształące im. Jana Pawała II w Toruniu 13.03.2014 Krzysztof Jasiński (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo
Bardziej szczegółowoPo co nam statystyka matematyczna? Żeby na podstawie próby wnioskować o całej populacji
ODSTWY STTYSTYKI 1. Teoria prawdopodobieństwa i elementy kombinatoryki 2. Zmienne losowe i ich rozkłady 3. opulacje i próby danych, estymacja parametrów 4. Testowanie hipotez 5. Testy parametryczne 6.
Bardziej szczegółowoZadanie 1. Oblicz prawdopodobieństwo, że rzucając dwiema kostkami do gry otrzymamy:
Zadanie 1. Oblicz prawdopodobieństwo, że rzucając dwiema kostkami do gry otrzymamy: a) sumę oczek równą 6, b) iloczyn oczek równy 6, c) sumę oczek mniejszą niż 11, d) iloczyn oczek będący liczbą parzystą,
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA wykład 1. Wanda Olech. Katedra Genetyki i Ogólnej Hodowli Zwierząt
STTYSTYK wykład 1 Wanda Olech Katedra Genetyki i Ogólnej Hodowli Zwierząt Plan wykładów Data WYKŁDY 1.X rachunek prawdopodobieństwa; 8.X zmienna losowa jednowymiarowa, funkcja rozkładu, dystrybuanta 15.X
Bardziej szczegółowoZajęcia nr. 3 notatki
Zajęcia nr. 3 notatki 22 kwietnia 2005 1 Funkcje liczbowe wprowadzenie Istnieje nieskończenie wiele funkcji w matematyce. W dodaktu nie wszystkie są liczbowe. Rozpatruje się funkcje które pobierają argumenty
Bardziej szczegółowoZdarzenia losowe Zmienne losowe Prawdopodobieństwo Niezależność
Zdarzenia losowe Zmienne losowe Prawdopodobieństwo Niezależność przypomnienie pojęć ĆWICZENIA Piotr Ciskowski zdarzenie losowe ćwiczenie 1. zbiory Stanisz zilustruj następujące pojęcia: o A B o A B o A
Bardziej szczegółowoĆwiczenia z metodyki nauczania rachunku prawdopodobieństwa
Ćwiczenia z metodyki nauczania rachunku prawdopodobieństwa 25 marca 209 Zadanie. W urnie jest b kul białych i c kul czarnych. Losujemy n kul bez zwracania. Jakie jest prawdopodobieństwo, że pierwsza kula
Bardziej szczegółowoElementy Rachunek prawdopodobieństwa
Elementy rachunku prawdopodobieństwa Rachunek prawdopodobieństwa zajmuje się analizą praw rządzących zdarzeniami losowymi Pojęciami pierwotnymi są: zdarzenie elementarne ω oraz zbiór zdarzeń elementarnych
Bardziej szczegółowoPrawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne
, centralne twierdzenia graniczne Katedra matematyki i ekonomii matematycznej 17 maja 2012, centralne twierdzenia graniczne Rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych, centralne twierdzenia graniczne
Bardziej szczegółowoKURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO
KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO Lekcja 4 Prawdopodobieństwo całkowite i twierdzenie Bayesa. Drzewko stochastyczne. Schemat Bernoulliego. ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna. Leszek Adamczyk Wykłady dla kierunku Fizyka Medyczna w semestrze letnim 2016/2017
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna Leszek Adamczyk Wykłady dla kierunku Fizyka Medyczna w semestrze letnim 2016/2017 1 1 Wstęp Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka to: działy matematyki
Bardziej szczegółowoII WYKŁAD STATYSTYKA. 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15
II WYKŁAD STATYSTYKA 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 WYKŁAD 2 Rachunek prawdopodobieństwa zdarzenia elementarne zdarzenia losowe zmienna losowa skokowa i ciągła prawdopodobieństwo i gęstość prawdopodobieństwa
Bardziej szczegółowoMNRP r. 1 Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa (wykład) Grzegorz Kowalczyk
MNRP 18.03.2019r. Grzegorz Kowalczyk 1 Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa (wykład) Definicja (σ - ciało) Niech Ω - dowolny zbiór. Rodzinę F P (Ω), gdzie P (Ω) jest rodziną wszystkich podzbiorów
Bardziej szczegółowoStatystyka w analizie i planowaniu eksperymentu
5 marca 2011 Zasady 10 wyk ladów; egzamin pisemny; Literatura 1 A. Lomnicki Wprowadzenie do statystyki dla przyrodników PWN 1999. 2 W. Krysicki, J. Bartos, W. Dyczka, K. Królikowska, M. Wasilewski Rachunek
Bardziej szczegółowoStatystyka i eksploracja danych
Wykład I: Formalizm statystyki matematycznej 17 lutego 2014 Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura Zagadnienia omawiane na wykładach Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura
Bardziej szczegółowoSkrypt 30. Prawdopodobieństwo
Projekt Innowacyjny program nauczania matematyki dla liceów ogólnokształcących współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Skrypt 30 Prawdopodobieństwo 5.
Bardziej szczegółowoAlgebra Boole a i jej zastosowania
lgebra oole a i jej zastosowania Wprowadzenie Niech dany będzie zbiór dwuelementowy, którego elementy oznaczymy symbolami 0 oraz 1, tj. {0, 1}. W zbiorze tym określamy działania sumy :, iloczynu : _ oraz
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa 2.0. Wstęp Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Wstęp Dlaczego prawdopodobieństwo klasyczne nie wystarcza? Jak opisać grę w ruletkę,
Bardziej szczegółowoKOMBINATORYKA. Problem przydziału prac
KOMBINATORYKA Dział matematyki zajmujący się badaniem różnych możliwych zestawień i ugrupowań, jakie można tworzyć z dowolnego zbioru skończonego. Zbiory skończone, najczęściej wraz z pewną relacją obiekty
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka Wykład I: Przestrzeń probabilistyczna
9 października 2018 Zasady zaliczenia przedmiotu: Zaliczenie ćwiczeń rachunkowych. Zdanie egzaminu ustnego z treści wykładu. Literatura J. Jakubowski i R. Sztencel, Wstęp do teorii prawdopodobieństwa.
Bardziej szczegółowoPojęcie szeregu nieskończonego:zastosowania do rachunku prawdopodobieństwa wykład 1
Pojęcie szeregu nieskończonego:zastosowania do rachunku prawdopodobieństwa wykład dr Mariusz Grządziel 5 lutego 04 Paradoks Zenona z Elei wersja uwspółcześniona Zenek goni Andrzeja; prędkość Andrzeja:
Bardziej szczegółowoJest to zasadniczo powtórka ze szkoły średniej, być może z niektórymi rzeczami nowymi.
Logika Jest to zasadniczo powtórka ze szkoły średniej, być może z niektórymi rzeczami nowymi. Często słowu "logika" nadaje się szersze znaczenie niż temu o czym będzie poniżej: np. mówi się "logiczne myślenie"
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3.
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3. ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA. Zmienną losową X nazywamy funkcję (praktycznie każdą) przyporządkowującą zdarzeniom elementarnym liczby rzeczywiste. X : Ω R (dokładniej:
Bardziej szczegółowoTemat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy. Rozkład ciągły. Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga. Anna Rajfura, Matematyka
Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy. Rozkład ciągły Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga 1 Zagadnienia 1. Przypomnienie wybranych pojęć rachunku prawdopodobieństwa. Zmienna losowa. Rozkład
Bardziej szczegółowoKurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 14 Zadania statystyka, prawdopodobieństwo i kombinatoryka
1 TEST WSTĘPNY 1. (1p) Zestaw danych 3, 5, x, 7, 10, 12 jest uporządkowany niemalejąco. Mediana tego zestawu jest równa 6, więc liczba x jest równa A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 2. (2p) Średnia arytmetyczna liczb:
Bardziej szczegółowo