Materiały wykładowe (fragmenty)

Transkrypt

1 Materiały wykładowe (fragmenty) 1

2 Robert Susmaga Instytut Informatyki ul. Piotrowo 2 Poznań kontakt mail owy Robert.Susmaga@CS.PUT.Poznan.PL kontakt osobisty Centrum Wykładowe, blok informatyki, pok. 7 2

3 Wyłączenie odpowiedzialności Prezentowane materiały, będące dodatkiem pomocniczym do wykładów, z konieczności fragmentarycznym i niedopracowanym, naleŝy wykorzystywać z pełnąświadomością faktu, Ŝe mogą nie być pozbawione przypadkowych błędów, braków, wypaczeń i przeinaczeń :-) Autor 3

4 Elementy logiki i teorii mnogości 4

5 Elementy logiki i teorii mnogości #1 Potoczne rozumienie relacji (binarnych) relacja jako pewien warunek, który muszą spełniać jej operandy praktyczny podział relacji arytmetyczne ( operują na liczbach), np.:, <, >, =, itp. teoriomnogościowe ( operują na zbiorach i/lub elementach zbiorów), np.:,,,,, itp. 5

6 Elementy logiki i teorii mnogości #2 Relacje definicje przypadki relacji binarnych, trinarnych, unarnych itp. relacje wartościowane Modelowanie pewnych relacji za pomocą innych relacja w dziedzinie liczb rzeczywistych jeŝeli a b oraz b a to wtedy a = b jeŝeli a b oraz nieprawda, Ŝe b a to wtedy a > b jeŝeli b a oraz nieprawda, Ŝe a b to wtedy b > a eksploatując w ten sposób relację moŝna odkryć zachodzenie relacji = oraz > 6

7 Elementy logiki i teorii mnogości #3 Teoriomnogościowe rozumienie relacji binarnych definicja relacja binarną π definiuje się dla obiektów z dwóch zbiorów X i Y jako podzbiór iloczynu kartezjańskiego X Y, czyli jako zbiór par (x,y), gdzie x X a y Y przykład 1 (zbiory X i Y skończone) X={a,b,c}, Y={u,v} X Y={(a,u),(a,v),(b,u),(b,v),(c,u),(c,v)} przykładową relacją π jest dowolny podzbiór zbioru X Y, np.: π={(a,v),(b,u),(b,v)} interpretacja tej konkretnej relacji π nie jest oczywista, co oczywiście nie zmienia faktu, Ŝe taką relacje moŝna było zdefiniować (i się nią dalej posługiwać) 7

8 Elementy logiki i teorii mnogości #4 Teoriomnogościowe rozumienie relacji binarnych przykład 2: (zbiory X i Y skończone) X={1,2,3}, Y={1,2,3} X Y={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)} relacja π={(2,1),(1,2),(1,3),(3,2)} relacji takiej takŝe trudno nadać interpretację, istnieją jednak relacje o jasnych interpretacjach, np.:» relacja >={(2,1),(3,1),(3,2)}» relacja ={(1,1),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(3,3)}» relacja =={(1,1),(2,2),(3,3)} przykład 3: (X skończony, Y nieskończony ale policzalny) X={1,2}, Y={1,2,3...} X Y={(1,1),(1,2),(1,3),...,(2,1),(2,2),(2,3),...} relacja ={(1,1),(2,1),(2,2)} relacja ={(1,1),(1,2),(1,3),...,(2,2),(2,3),(2,4),...} 8

9 Elementy logiki i teorii mnogości #5 Teoriomnogościowe rozumienie relacji binarnych w przypadku gdy zbiory X i Y są nieskończone (policzalne lub niepoliczalne) relacje takŝe mogą być zbiorami nieskończonymi ich zdefiniowanie poprzez wymienienie wszystkich elementów nie jest wtedy moŝliwe, dokonuje się tego raczej poprzez zapisanie odpowiednich warunków przykład 4: (X i Y nieskończone ale policzalne) X={1,2,3,...}, Y={1,2,3...} X Y={(1,1),(1,2),(1,3),...,(2,1),(2,2),(2,3),...,(3,1),(3,2),(3,3),...,... } relacja zapis wyliczeniowy: ={(1,1),(1,2),...,(2,2),(2,3),...,(3,2),(3,3),...,... } zapis z uŝyciem warunku: ={ (a,b): a X, b Y, a b } 9

10 Elementy logiki i teorii mnogości #6 Relacje binarne a relacje trinarne, unarne,... z praktycznego punktu widzenia: relacje binarne posiadają dwa operandy relacje niebinarne posiadają inną liczbę operandów, np.: trzy operandy (relacje trinarne) cztery operandy ale takŝe: jeden operand (relacje unarne) itp. z teoriomnogościowego punktu widzenia cechą charakterystyczną relacji binarnej jest to, Ŝe jest to podzbiór iloczynu kartezjańskiego dwóch zbiorów relacje trinarne, unarne, itp. są naturalnymi uogólnieniami tego pojęcia na inną liczbę zbiorów 10

11 Elementy logiki i teorii mnogości #7 Relacje binarne a relacje trinarne, unarne,... przykład relacji trinarnej 1: (zbiory X, Y i Z skończone) X={1,2}, Y={a,b}, Z={0,1} X Y Z={(1,a,0),(1,a,1),(1,b,0),(1,b,1),(2,a,0),(2,a,1),(2,b,0),(2,b,1)} relacja π={(1,a,0),(1,b,0),(1,b,1),(2,a,1),(2,b,0)} relacji takiej trudno nadać interpretację przykład relacji trinarnej 2: X=Y=Z=R +, gdzie R + jest zbiorem liczb rzeczywistych dodatnich X Y Z={ (x,y,z): x X, y Y, z Z } relacja π={ (x,y,z): x X, y Y, z Z, x+y z, x+z y, y+z x } 11

12 Elementy logiki i teorii mnogości #8 Relacje binarne a relacje trinarne, unarne,... w przypadku relacji unarnej mamy iloczyn kartezjański jednego zbioru, który jest oczywiście równy temu zbiorowi stwierdzenie, Ŝe pewien obiekt x X spełnia relację unarną π (naleŝy do relacji unarnej π) jest więc równowaŝne z faktem, Ŝe element ten naleŝy do pewnego podzbioru zbioru wszystkich obiektów (czyli, Ŝe x P, gdzie P X) przykłady relacji unarnej: (zbiór X skończony) X={ 2, 1,0,+1,+2} X={ 2, 1,0,+1,+2} relacja π={ 1,0,+2} relacji takiej trudno nadać interpretację relacja π={,0,+1,+2} itp. relacja nieujemności 12

13 Elementy logiki i teorii mnogości #9 Relacje definicja teoriomnogościowa inne relacje: unarne, trinarne,... podstawowe właściwości relacji binarnych zwrotność, przeciwzwrotność, symetryczność, przeciwsymetryczność, słaba antysymetryczność, przechodniość, spójność podział relacji o złoŝonych właściwościach równowaŝności: indukują klasy abstrakcji porządkujące: indukują porządki rodzaje indukowanych porządków relacje wartościowane modelowanie relacji za pomocą innych relacji eskploatacja relacji 13

14 Elementy logiki i teorii mnogości #9.5 Proste właściwości relacji Pusta: ~(arb) dla kaŝdego a,b Pełna: arb dla kaŝdego a,b Zwrotna: ara dla kaŝdego a Przeciwzwrotna: ~(ara) dla kaŝdego a Symetryczna: arb => bra dla kaŝdego a,b (słabo) Antysymetryczna: (arb & bra)=> a=b dla kaŝdego a,b relacja naraz symetryczna i antysymetryczna jest podzbiorem rel. = Przeciwsymetryczna: arb => ~(bra) dla kaŝdego a,b relacja jest przeciwsymetryczna iff jest antysymetryczna i przeciwzwrotna Przechodnia: (arb & brc)=> arc dla kaŝdego a,b Spójna (liniowa): arb bra a=b dla kaŝdego a,b arb bra dla kaŝdego a,b (implikuje zwrotność) 14

15 Elementy logiki i teorii mnogości #9.7 ZłoŜone właściwości relacji RównowaŜności: zwrotna, symetryczna, przechodnia generuje klasy abstrakcji Częściowego porządku: Słaby porządek częściowy : zwrotna, przechodnia i antysymetryczna Ostry porządek częściowy < : przeciwzwrotna i przechodnia (implikują antysymetryczność) Wymienność: a<b iff a b & a#b a b iff a<b a=b Zupełnego (liniowego) porządku: Słaby porządek zupełny : zwrotna, przechodnia, antysymetryczna i spójna Ostry porządek zupełny < : przeciwzwrotna, przechodnia (implikują antysymetryczność) i spójna Wymienność: a<b iff a b & a#b a b iff a<b a=b 15

16 Elementy logiki i teorii mnogości #10 Modelowanie relacji za pomocą innych relacji w programowaniu liniowym ograniczenia problemu podaje się solverowi (czyli programowi słuŝącemu do rozwiązywania tego typu problemów) w postaci układu równań/nierówności przykład ograniczeń wykorzystujących trzy relacje:, oraz = 4x 1 +3x 2 0 2x 1 3x 2 3 1x 1 +9x 2 = 8 milczące załoŝenie dotyczące ograniczeń: wszystkie zmienne (wraz z odpowiadającymi im współczynnikami) muszą występować po lewej, a stałe pro prawej stronie znaku relacji czasami jednak interfejsy solverów mogą nie implementować pewnych relacji, zestawy ograniczeń muszą być wtedy dostosowywane do zaimplementowanego (dopuszczalnego) zestawu relacji 16

17 Elementy logiki i teorii mnogości #11 Modelowanie relacji za pomocą innych relacji przykład: załóŝmy, Ŝe jakiś solver dopuszcza tylko oraz powstaje pytanie: jak zapisać wtedy ograniczenie 1x 1 +9x 2 = 8 oczywiste rozwiązanie: zamodelować = za pomocą oraz, czyli zapisać: 1x 1 +9x 2 8 1x 1 +9x 2 8 łącznie mamy więc: 4x 1 +3x 2 0 2x 1 3x 2 3 1x 1 +9x 2 8 1x 1 +9x

18 Elementy logiki i teorii mnogości #12 Modelowanie relacji za pomocą innych relacji przykład: załóŝmy, Ŝe jakiś solver dopuszcza tylko powstaje pytanie: jak zapisać wtedy ograniczenie 2x 1 3x 2 3 a jak ograniczenie 1x 1 +9x 2 = 8 rozwiązanie: 2x 1 3x 2 3 2x 1 +3x 2 3 1x 1 +9x 2 = 8 1x 1 +9x 2 8 i 1x 1 9x 2 8 łącznie mamy więc: 4x 1 +3x 2 0 2x 1 +3x 2 3 1x 1 +9x 2 8 1x 1 9x

19 Elementy logiki i teorii mnogości #13 Modelowanie relacji za pomocą innych relacji okazuje się, Ŝe pewne relacje bardzo dobrze nadają się do modelowania innych relacji, o ile odpowiednio wykorzysta się pewne właściwości obiektów, które one opisują, lub właściwości samego języka zapisu (czyli języka logiki) przykład: relacja w dziedzinie liczb rzeczywistych moŝe słuŝyć do zapisywania innych relacji (tzw. eksploatacja relacji) zamodelowanie z uŝyciem 4x 1 +3x 2 0 4x 1 3x 2 0 (wykorzystano właściwości operatora arytmetycznego minus ) zamodelowanie =, > i < z uŝyciem a b i b a a = b a b i ~(b a) a > b ~(a b) i b a a < b (wykorzystano właściwości operatora logicznego negacja ~ ) 19

20 Elementy logiki i teorii mnogości #14 Relacje wartościowane w przypadku prostych dziedzin (zbiorów liczb, zbiorów potęgowych) relacje mają charakter sztywny albo pomiędzy pewnymi elementami relacja zachodzi albo nie np. dla liczb zachodzi zachodzi nie zachodzi w przypadku złoŝonych dziedzin zakłada się jednak bardziej elastyczną formę zachodzenia relacji, która moŝe: zachodzić nie zachodzić zachodzić w niewielkim stopniu 20

21 Elementy logiki i teorii mnogości #15 Relacja wartościowana moŝe wyraŝać zaleŝności nieprecyzyjne, np. fakt bycia duŝo wyŝszą osobą (oznaczenie W) jeŝeli wzrost osoby a wynosi 189cm a wzrost osoby b wynosi 160cm, to wiele osób się zgodzi, Ŝe a jest duŝo wyŝszą osobą od b, czyli zachodzi awb jeŝeli wzrost pewnej dodatkowej osoby c wynosi 180cm to raczej zachodzi cwb, jednak zachodzenie relacji awc nie jest taki pewne 21

22 Elementy logiki i teorii mnogości #16 Relacja wartościowana jak wyraŝać niepewność zachodzenia relacji? Wątpliwości w niepewności zachodzenia relacji moŝemy wyraŝać z uŝyciem wartości liczbowych: relacja zachodzi z pewnością sytuacji tej przypisujemy liczbę 1 relacja nie zachodzi z pewnością sytuacji tej przypisujemy liczbę 0 relacja zachodzi w niewielkim stopniu sytuacji tej przypisujemy liczbę z przedziału (0,1) ostatecznie więc przekonanie o zachodzeniu relacji wyraŝa się za pomocą liczb z przedziału <0,1> 22

23 Elementy logiki i teorii mnogości #17 Relacja wartościowane motywacje uŝycia w przedstawionym przykładzie przyczyną niepewności jest brak ścisłej definicji relacji bycia duŝo wyŝszą/ym w przypadku rzeczywistych danych źródeł niepewności moŝe być duŝo więcej (a przy tym niektóre z tych sytuacji mogą występować równocześnie), łącznie mamy więc: brak ścisłej definicji pewnej relacji brak konkretnych danych pomiarowych próba określania relacji duŝo wyŝszy w sytuacji, w której wzrost osób nie jest znamy (czyli w praktyce: znany tylko w jakimś przybliŝeniu) brak konkretnych miar/parametrów pozwalających na wyraŝanie pewnych cech obiektów próba określania relacji duŝo milszy w sytuacji, w której nie zdefiniowano, jak naleŝy mierzyć to, Ŝe ktoś/coś jest miły/e próba określania relacji duŝo lepszy w sytuacji, w której nie zdefiniowano,, jak naleŝy mierzyć to, Ŝe ktoś/coś jest dobry/e 23

24 ... 24

25 Elementy teorii uŝyteczności 25

26 Elementy teorii uŝyteczności #1 Pojęcie loterii L(A,p,B) pełne oznaczenie: L(A,p,B,r) A, p: zdarzenie korzystne dla gracza i jego prawdopodobieństwo B, r: zdarzenie niekorzystne dla gracza i jego prawdopodobieństwo poniewaŝ zakłada się, Ŝe A i B są zdarzeniami przeciwnymi, to zawsze r=1 p (zostaje więc pomijane w opisie loterii) ostatecznie uŝywane oznaczenie: L(A,p,B) uwaga: A jest zawsze zdarzeniem korzystnym, a B zdarzeniem niekorzystnym dla gracza 26

27 Elementy teorii uŝyteczności #2 Przykłady loterii Przykład 1 opis: gra w orła i reszkę, w której stawką jest 5zł, gra jest wygrana gdy wypadnie orzeł oznaczenie: L(5,1/2, 5) (komentarz: gra uczciwa) Przykład 2 opis: gra z uŝyciem kostki do gry, w której stawką jest 5zł, gra jest wygrana gdy wynikowa liczba oczek jest parzysta oznaczenie: L(5,1/2, 5) (komentarz: gra uczciwa) 27

28 Elementy teorii uŝyteczności #3 Przykłady loterii c.d. Przykład 3 opis: gra w orła i reszkę, w której w razie wygranej otrzymuje się 5zł a w przypadku przegranej płaci się 25zł, gra jest wygrana gdy wypadnie orzeł oznaczenie: L(5,1/2, 25) (komentarz: gra nieuczciwa) Przykład 4 opis: gra z uŝyciem kostki do gry, w której w razie wygranej otrzymuje się 5zł a w przypadku przegranej płaci się 25zł, gra jest wygrana gdy wynikowa liczba oczek jest większa od 1 oznaczenie: L(5,5/6, 25) (komentarz: gra uczciwa) 28

29 Elementy teorii uŝyteczności #4 Przykłady loterii c.d. Przykład 5 opis: gra w teleturnieju Milionerzy w sytuacji, w której ktoś gra o najwyŝszą stawkę (milion), nie zna odpowiedzi na postawione pytanie i wyczerpał wszystkie tzw. koła ratunkowe, oczywiście nadal moŝe udzielić właściwej odpowiedzi metodą na chybił trafił, w razie wygranej otrzymuje się zł, w razie przegranej 32000zł (a więc w obu przypadkach się wygrywa) oznaczenie: L( ,1/4,32000) (komentarz: gra nieuczciwa) 29

30 Elementy teorii uŝyteczności #5 Pewnik jako szczególny przypadek loterii z zapisu loterii postaci L(A,1,B) wynika, Ŝe zdarzenie A jest zdarzeniem pewnym tego rodzaju loterie są w skrócie zapisywane jako A i nazywane pewnikami 30

31 Elementy teorii uŝyteczności #6 Pojęcie uŝyteczności uŝyteczność w kontekście teorii uŝyteczności jest liczbą z przedziału <0,1>, która charakteryzuje nastawienie (wolę/preferencje) gracza/decydenta w stosunku do pojęć/obiektów z pewnego wybranego zbioru przyjęcie przedziału <0,1> do wyraŝania wszystkich uŝyteczności jest pewnym uproszczeniem, w porównaniu z uŝytecznościami stosowanymi w psychologii, które mierzy się w skali przedziałowej przedział <0,1> implikuje istnienie uŝyteczności ekstremalnych, tzn. uŝyteczności minimalnej (0) i maksymalnej (1) 31

32 Elementy teorii uŝyteczności #7 Pojęcie uŝyteczności, c.d. poniewaŝ moŝna sobie wyobrazić, Ŝe uŝyteczność jest przypisana kaŝdemu obiektowi z rozwaŝanego zbioru obiektów, zaleŝność ta jest formalnie przedstawiana w postaci funkcji definiuje się więc tzw. funkcję uŝyteczności U, która pewnym obiektom ze zbioru Z przyporządkowuje wartości z przedziału <0,1> U: Z <0,1> przy czym Z jest zbiorem pewnych obiektów/zdarzeń (np. sum wygrywanych w pewnej grze) <0,1> jest domkniętym przedziałem liczb rzeczywistych 32

33 Elementy teorii uŝyteczności #8 UŜyteczność jest uŝywana do formalnego określenia preferencji gracza/decydenta (czyli np. tego tego, co gracz/decydent woli) jeŝeli decydent woli, aby zaszło zdarzenie A raczej niŝ zdarzenie B to mówimy, to oznacza to, Ŝe U(A) > U(B), gdzie U(x) jest funkcją uŝyteczności tego gracza/decydenta funkcja uŝyteczności jest więc rzeczą indywidualną/subiektywną (inną dla kaŝdego gracza/decydenta) 33

34 Elementy teorii uŝyteczności #9 PoniewaŜ w teorii uŝyteczności do określania preferencji wykorzystuje się pojęcia loterii oraz pewnika wymagane jest określenie uŝyteczności dla obu tych pojęć uŝyteczność pewnika jeŝeli pewnik C jest elementem zbioru Z, to moŝna określić jego uŝyteczność: U(C) uŝyteczność U(C) pewnika C charakteryzuje chęć/niechęć decydenta w stosunku do zdarzenia opisanego w pewniku uŝyteczność loterii loterię składa się z dwóch zdarzeń, jej uŝyteczność daje się więc takŝe wyrazić poprzez uŝyteczności zdarzeń w niej opisanych zaleŝność ta jest następująca: U(L(A,p,B)) = p*u(a) + (1 p)*u(b) (kombinacja wypukła) 34

35 Elementy teorii uŝyteczności #10 RównowaŜność pewników i loterii Przykład Milionerów gracz stoi przed dylematem: moŝe wziąć udział w grze o milion, którą moŝna opisać loterią L( ,1/4,32000) moŝe zrezygnować z dalszej gdy, otrzymując dotychczas wygraną kwotę, czyli zł sytuację tę moŝna opisać w następujący sposób: ? L( ,1/4,32000) powstaje pytanie: na co zdecyduje się gracz? 35

36 Elementy teorii uŝyteczności #11, Przykład Milionerów c.d. załóŝmy, Ŝe gracz zdecydował się na pobranie dotychczasowej wygranej, co oznacza, Ŝe woli pewnik niŝ loterię sytuację tę moŝna opisać następująco: L( ,1/4,32000) wynika z tego, Ŝe w przypadku tego gracza uŝyteczność pewnika przewyŝsza uŝyteczność loterii U(500000) > U(L( ,1/4,32000)) 36

37 Elementy teorii uŝyteczności #12 Przykład Milionerów c.d. czy tak jest zawsze? tzn. czy gracze zawsze preferują pewniki nad loteriami? oczywiście nie, wszystko zaleŝy od konkretnych loterii i konkretnych pewników gdyby sukcesywnie zmniejszać atrakcyjność pewnika, to w pewnym momencie gracz zdecydowałby się na udział w loterii dla róŝnych graczy moment ten będzie prawdopodobnie róŝny, dlatego moŝna go wykorzystać do charakteryzowania subiektywnych uŝyteczności graczy 37

38 Elementy teorii uŝyteczności #13 Przykład Milionerów c.d. wracamy do sytuacji, w której gracz udzielił odpowiedzi, Ŝe woli pewnik od loterii L( ,1/4,32000), czyli: L( ,1/4,32000) zmniejszamy więc atrakcyjność pewnika czynimy to obniŝając jego wartość z zł do zł ? L( ,1/4,32000) jaka teraz będzie decyzja? jeŝeli gracz ponownie wybierze pewnik, to ponownie obniŝamy jego atrakcyjność (zmniejszając kwotę do ) itd. gracz jest teraz postawiony przed wyborem ? L( ,1/4,32000) jaka teraz będzie decyzja? 38

39 Elementy teorii uŝyteczności #14 Przykład Milionerów c.d. proces ten nie będzie trwał w nieskończoność, poniewaŝ po zmniejszeniu pewnika do kaŝdy rozsądny gracz wybierze loterię (choć oczywiście moment ten mógł nastąpić wcześniej) za kaŝdym razem, gdy gracz wybiera loterię, zwiększamy atrakcyjność pewnika (zwiększając jego wartość, ale nie na tyle, aby przyjął on wartość dla której znamy juŝ odpowiedź) w trakcie tego procesu następuje sukcesywne zawęŝanie przedziału, w którym znajduje się poszukiwany pewnik w pewnym momencie gracz nie będzie umiał określić, czy woli pewnik czy loterię moment ten jest punktem charakterystycznym tego procesu ustalony w ten sposób pewnik nazywa się równowaŝnikiem loterii 39

40 Elementy teorii uŝyteczności #15 Przykład pełnego procesu poszukiwania równowaŝnika ? L( ,1/4,32000) pytanie L( ,1/4,32000) odpowiedź ? L( ,1/4,32000) pytanie L( ,1/4,32000) odpowiedź ? L( ,1/4,32000) pytanie L( ,1/4,32000) odpowiedź ? L( ,1/4,32000) pytanie L( ,1/4,32000) odpowiedź ? L( ,1/4,32000) pytanie L( ,1/4,32000) odpowiedź wynik procesu: równowaŝnikiem loterii L( ,1/4,32000) jest pewnik

41 Elementy teorii uŝyteczności #16 Zastosowania przedstawionego schematu postępowania przedstawiony schemat postępowania moŝe być zastosowany do ustalania uŝyteczności pewnego zdarzenia/pewnika C przy załoŝeniu, Ŝe: znamy U(A) oraz U(B) oraz U(A)>U(C)>U(B) proces ten wydaje się trudny do zainicjowania, bo zdobycie uŝyteczności jednego pewnika wymaga posiadania informacji o uŝytecznościach dwóch innych, róŝnych od siebie (i róŝnych od tego pewnika) zdarzeń pytanie więc: jak znaleźć jakieś początkowe zdarzenia A i B tak, aby ich uŝyteczności były znane (a tym samym mogły posłuŝyć do znajdowania dalszych uŝyteczności)? 41

42 Elementy teorii uŝyteczności #17 Zastosowania przedstawionego schematu postępowania w praktyce proces rozpoczyna się od zdarzeń ekstremalnych, tzn.: zdarzenia/obiektu o maksymalnej korzystności w zbiorze Z i zdarzenia/obiektu o minimalnej korzystności w zbiorze Z dla których przyjmuje się uŝyteczności 1 i 0 na podstawie tak znalezionych dwóch uŝyteczności, tzn. U(A) i U(B) znajduje się uŝyteczność trzeciego zdarzenia, tzn. U(C), następnie na podstawie np. U(A) i U(C) znajduje się uŝyteczność czwartego zdarzenia U(D), itd. 42

43 ... 43

44 Elementy teorii grafów 44

45 Elementy teorii grafów #1 Podstawowe pojęcia teorii grafów definicja grafu grafy skierowane nieskierowane metody zapisu grafów macierz incydencji macierz sąsiedztwa lista przed lista za 45

46 Elementy teorii grafów #2 Elementy teorii grafów c.d.: podstawowe procedury grafowe badanie spójności grafu badanie cykliczności grafu poszukiwanie jądra grafu algorytmy analizujące drogi w grafach poszukiwanie ścieŝki Eulera poszukiwanie ścieŝki Hamiltona poszukiwanie najkrótszej ścieŝki 46

47 Elementy teorii grafów #3 Przykładowy graf nieskierowany

48 Elementy teorii grafów #4 Graf nieskierowany i jego macierz sąsiedztwa Pewien problem: powtórzone krawędzie: (3-4) i (3-4) 48

49 Elementy teorii grafów #5 Graf nieskierowany i jego macierz incydencji (1-2) (2-2) (2-3) (3-1) (3-4) (4-3) / Pewien problem: auto-krawędzie: (2-2) 49

50 Elementy teorii grafów #6 Przykładowy graf skierowany

51 Elementy teorii grafów #7 Graf skierowany i jego macierz sąsiedztwa

52 Elementy teorii grafów #8 Graf skierowany i jego macierz incydencji (1-2) (2-2) (2-3) (3-1) (3-4) (4-3) /

53 ... 53

54 Podstawowe pojęcia 54

55 O przedmiocie Wspomaganie decyzji dziedzina, której celem jest wspomaganie procesu podejmowania decyzji, w szczególności przez człowieka 55

56 O przedmiocie Ilościowe i jakościowe metody wspomagania decyzji decyzje ilościowe, charakteryzujące się zasadniczo większym naciskiem na metody badań operacyjnych mniejszym naciskiem na modelowanie preferencji odpowiedź na pytanie ile? decyzje jakościowe, charakteryzujące się zasadniczo większym naciskiem na modelowanie preferencji mniejszym naciskiem na metody badań operacyjnych odpowiedź na pytanie które? 56

57 O przedmiocie Przykłady problemów wspomagania decyzji wielokryterialna analiza produkcji ciągły zbiór wariantów szeregowanie zadań w systemie procesorowym przeliczalny zbiór wariantów zakup samochodu rodzinnego dyskretny zbiór wariantów Szkoły wspomagania decyzji MCDM MCDA Metody modelowania preferencji skończone i dyskretne zbiory wariantów/kryteriów 57

58 ... 58

59 Warianty i kryteria Zbiór danych obiekty definicje oznaczenia przykłady warianty definicje oznaczenia przykłady 59

60 Warianty i kryteria Zbiór danych atrybuty definicje oznaczenia przykłady kryteria definicje oznaczenia przykłady 60

61 Warianty i kryteria Typowe błędy przy definiowaniu wariantów pojedyncze warianty zbędne pominięte ekstremalne (dominujące i zdominowane) zbiory wariantów zbyt duŝe zbyt małe warianty z róŝnych klas (klasy nieuporządkowane preferencyjnie) moŝliwości stosowanych metod zbyt małe/duŝe zbiory wariantów w stosunku do wymagań/moŝliwości stosowanych metod 61

62 Warianty i kryteria Typowe błędy przy definiowaniu kryteriów pojedyncze kryteria zbędne pominięte niemonotoniczne dziedziny zbiory kryteriów (formalnie: niespójne) zbyt duŝe zbyt małe dublujące się moŝliwości stosowanych metod niedopasowanie dziedzin kryteriów do moŝliwości stosowanych metod pseudo ciągłe dziedziny 62

63 Warianty i kryteria Relacje pomiędzy wariantami opisowe / warunkowe jednoatrybutowe/jednokryterialne wieloatrybutowe/wielokryterialne identyczność (ang. indiscernibility): a Ind b dominacja (ang. dominance): a Dom b globalne / decyzyjne preferencja (ang. preference): a P b nierozróŝnialność (ang. indifference): a I b nieporównywalność (ang. incomparability): a R b 63

64 Warianty i kryteria Porządki indukowane przez relacje pomiędzy wariantami przez relacje globalne ( decyzyjne ) porządek zupełny: {P} pre-porządek zupełny: {P, I} porządek częściowy: {P, R} pre-porządek częściowy: {P, I, R} 64

65 Warianty i kryteria Graficzna reprezentacja porządków porządek zupełny: {P} 65

66 Warianty i kryteria Graficzna reprezentacja porządków pre-porządek zupełny: {P, I} 66

67 Warianty i kryteria Graficzna reprezentacja porządków porządek częściowy: {P, R} 67

68 Warianty i kryteria Graficzna reprezentacja porządków pre-porządek częściowy: {P, I, R} 68

69 Warianty i kryteria Relacja dominacji niech G = {g 1, g 2,, g N } będzie zbiorem kryteriów A = {a, b,, z}, gdzie a = [a 1, a 2,, a N ] T = [g 1 (a), g 2 (a),, g N (a)] T b = [b 1, b 2,, b N ] T = [g 1 (b), g 2 (b),, g N (b)] T z = [z 1, z 2,, z N ] T = [g 1 (z), g 2 (z),, g N (z)] T będzie zbiorem wariantów w tej notacji a i oraz g i (a) są alternatywnymi oznaczeniami wartości kryterium i-tego wariantu a 69

70 Relacja dominacji Warianty i kryteria poniewaŝ (dla kaŝdego i) g i stanowi kryterium, więc jego dziedzina jest uporządkowana pod względem preferencji w szczególności istnieje relacja f D i D i (gdzie D i jest dziedziną kryterium g i ) zdefiniowana dla wartości u D i, v D i następująco: f = { (u,v) D i D i : u jest co najmniej tak dobre jak v } 70

71 Warianty i kryteria Przykład (preferencja w zbiorze kandydatów) cel: ocenianie osób ubiegajacych się o przyjecie na informatykę kryteria: średnie oceny z: matematyki (M) fizyki (F) języka angielskiego (A) 71

72 Warianty i kryteria Przykład (preferencja w zbiorze kandydatów) dziedziny kryteriów: D M = [2.0, 5.0] D F = [2.0, 5.0] D A = [2.0, 5.0] (wszystkie uporządkowane, typu zysk) 72

73 Warianty i kryteria Przykład (preferencja w zbiorze kandydatów) elementy relacji f na dziedzinie kryterium M (analogicznie dla F i A) f {4.0,3.0}, inaczej: {2.0,5.0} f, inaczej: ~( ) f {4.5,4.5}, inaczej: f f f 73

74 Warianty i kryteria Relacja dominacji wtedy relację Dom A A gdzie A jest zbiorem wszystkich wariantów moŝna zdefiniować dla wariantów a A, b A następująco: Dom = { (a,b) A A: i=1..n : g i (a) f g i (b) } 74

75 Warianty i kryteria O relacji dominacji dla kryteriów prawdziwych zwrotna antysymetryczna przechodnia relacja Dom nie powinna być mylona z relacją preferencji P pewne zamieszanie moŝe wynikać z faktu, Ŝe relacja dominacji jest (w ogólności) relacją wielowymiarową, ale moŝe być rozpatrywana (w szczególności) w jednym wymiarze, i wtedy jest właściwie równowaŝna relacji preferencji 75

76 Warianty i kryteria Przykład (preferencja w zbiorze kandydatów) alternatywy/kryteria: M F A Nowak: Kowalski: Jones: elementy relacji Dom na zbiorze alternatyw {Kowalski,Nowak} Dom, inaczej: Kowalski Dom Nowak {Jones,Nowak} Dom, inaczej: ~(Jones Dom Nowak) {Nowak,Nowak} Dom, inaczej: Nowak Dom Nowak 76

77 Warianty i kryteria O dominacji i preferencji porównanie dominacja: relacja zdefiniowana dla par obiektów na podstawie wartości kryteriów (obiektywna) preferencja: relacja zdefiniowana dla par obiektów na podstawie informacji pochodzących od uŝytkownika (subiektywna) w szczególności: mogą istnieć takie obiekty a i b, Ŝe (a,b) Dom (b,a) Dom (a,b) P (czyli a P b) w ogólności: obiekty nie dominują się wzajemnie, ale jeden jest preferowany nad drugi powinno zachodzić: a Dom b a P b a I b dominacja powinna implikować preferencję lub nierozróŝnialność nie moŝe zachodzić: a Dom b b P a obiekt zdominowany nie powinien być preferowany 77

78 Warianty i kryteria Rodziny kryteriów poniewaŝ nie kaŝdy zbiór kryteriów nadaje się do opisywania wariantów dla celów omawianych problematyk (α, β, γ, δ), definiuje się formalne warunki, które powinny być spełniane przez tego rodzaju zbiory kryteriów podstawową definicją jest tutaj tzw. definicja rodziny spójnej 78

79 Warianty i kryteria Definicja spójnej rodziny kryteriów rodzinę nazywamy spójną, gdy spełnia następujące warunki: 1. kompletność a,b : ( i :g i (a) = g i (b) ) a I b 2. monotoniczność a,b,c : ( b P c i :g i (a) g i (b) ) a P c uwaga: definicję zapisano przy załoŝeniu, Ŝe wszystkie g i są typu zysk 3. nienadmiarowość pominięcie dowolnego kryterium prowadzi do utraty jednej (lub obu) z powyŝszych właściwości (tzn. kompletności lub monotoniczności) 79

80 ... 80

81 Główne problematyki MCDA MCDA definiuje cztery główne problematyki α wybór wybór najlepszego β sortowanie przydział do klas jakości γ ranking porządkowanie od najlepszego do najgorszego δ opis pozyskiwanie przydatnych charakterystyk Problematyki definiowane przez MCDA moŝna podzielić na dwie grupy problematyki porządkujące (α, β, γ) problematyka opisowa (δ) 81

82 Główne problematyki MCDA Problematyka α wybór wybór najlepszego wariantu wielokryterialny wybór najlepszego wariantu (lub najlepszych wariantów, w razie gdy większa liczba wariantów zasługuje na to miano) najprostsza z problematyk porządkujących 82

83 Główne problematyki MCDA Problematyka β sortowanie przydział wariantów do klas jakości wielokryterialny przydział wariantów do klas jakości, które są uporządkowane od najlepszej do najgorszej sortowania w sensie problematyki β nie naleŝy mylić z sortowaniem rozumianym jako porządkowanie elementów według wybranego klucza (którego rolę pełniłoby jakieś wybrane kryterium), sortowanie w sensie problematyki β powinno uwzględniać wszystkie kryteria jeŝeli do najlepszej klasy trafi niewiele wariantów (w szczególności: jeden wariant) to moŝna powiedzieć, Ŝe technikami z problematyki β rozwiązano problem stawiany w problematyce α 83

84 Główne problematyki MCDA Problematyka γ ranking porządkowanie od najlepszego do najgorszego tworzenie wielokryterialnego rankingu wszystkich wariantów problem znacznie ogólniejszy i bardziej wymagający niŝ problem α, poniewaŝ utworzenie rankingu odpowiada na pytanie, które warianty są najlepsze, natomiast wybranie wariantów najlepszych nie jest oczywiście równowaŝne utworzeniu rankingu wszystkich wariantów utworzenie rankingu wariantów rozwiązuje pozornie takŝe problem sortowania, poniewaŝ ranking moŝe być podzielony na klasy (co dałoby odpowiedź na pytanie stawiane w problematyce β), w praktyce są to jednak róŝne problemy i nie naleŝy rozwiązywać problemu β technikami z problematyki γ 84

85 Główne problematyki MCDA Problematyka δ opis pozyskiwanie przydatnych charakterystyk obejmuje róŝnorakie metody pozwalające na lepsze zrozumienie właściwości analizowanych obiektów i/lub zaleŝności pomiędzy tymi obiektami, np.: określanie znaczenia poszczególnych kryteriów wizualizację podobieństw pomiędzy wariantami problematyka delta nie jest problematyką porządkującą, ale pozwalając decydentowi na lepsze zrozumienie zaleŝności pomiędzy wariantami pełni rolę pomocniczą w stosunku do problematyk porządkujących 85

86 ... 86

87 Paradygmaty wspomagania decyzji Paradygmaty wspomagania decyzji model funkcyjny model relacyjny model regułowy 87

88 Paradygmaty wspomagania decyzji Metody implementujące model funkcyjny Assess UTA model relacyjny na modelu relacyjnym oparta jest rodzina metod Electre Electre I/Is, Electre II, Electre III, Electre IV, Electre TRI w metodach I/Is, III oraz TRI relacja przewyŝszania zdefiniowana jest w bardzo podobny sposób model regułowy DRSA 88

89 Paradygmaty wspomagania decyzji Model funkcyjny podstawowe pojęcie: funkcja uŝyteczności (funkcja słuŝąca do formalnego wyraŝania oceny wariantu) Funkcje uŝyteczności słuŝą do wyraŝania ocen indywidualnych wariantów (kaŝdy wariant jest oceniany niezaleŝnie od innych wariantów) zaleŝności przedstawione w postaci funkcji uŝyteczności pozwalają na rozwiązanie konkretnego problemu decyzyjnego (α, β lub γ) stawianego przed metodą implementującą model funkcyjny w praktyce definiuje się funkcje uŝyteczności dla kaŝdego kryterium osobno, a te następnie agreguje się w jedną funkcję uwzględniającą wszystkie kryteria naraz (podejście wielokryterialne) 89

90 Paradygmaty wspomagania decyzji Model relacyjny podstawowe pojęcie: relacja (zwykle binarna), słuŝąca do formalnego wyraŝania zaleŝności pomiędzy dwoma wariantami Relacje zaleŝności przedstawione w postaci relacji pozwalają na rozwiązanie konkretnego problemu decyzyjnego (α, β lub γ) stawianego przed metodą implementującą model relacyjny (proces ten nazywamy eksploatacją relacji) poniewaŝ interesujących decydenta relacji pomiędzy wariantami (czyli relacji decyzyjnych, zwanych często globalnymi) jest kilka, często wprowadza się dalsze relacje (tzw. modelujące, zdefiniowane na kryteriach warunkowych ), za pomocą których generuje się relacje interesujące decydenta w praktyce relacje modelujące definiuje się osobno dla kaŝdego kryterium, a te następnie agreguje się w relacje uwzględniające wszystkie kryteria naraz (podejście wielokryterialne) 90

91 Paradygmaty wspomagania decyzji Model regułowy podstawowe pojęcie: porządkująca reguła decyzyjna, słuŝąca do formalnego wyraŝania zaleŝności pomiędzy wartościami kryteriów warunkowych a globalnymi ocenami wariantów Reguły (porządkujące) model ten charakteryzuje się bogatymi właściwościami teoretycznymi (pozwala np. na analizę pewnych trudnych zaleŝności preferencyjnych pomiędzy wariantami, m.in. cyklicznych) konkretne reguły budowane są metodami indukcyjnymi 91

92 Funkcje uŝyteczności Funkcje uŝyteczności przeciwdziedzina: przedział [0,1] podział funkcji ze względu na dziedziny globalne: U(x), gdzie x jest wariantem, a więc dziedziną U(x) jest zbiór wariantów cząstkowe: u i (x), gdzie x i jest elementem dziedziny i-tego kryterium, a więc dziedziną u i (x) jest zbiór będący dziedziną kryterium g i w najczęstszym przypadku funkcję globalną definiuje się jako agregację funkcji cząstkowych (wtedy na całkowitą definicję funkcji globalnej skladają się oczywiście definicje wszystkich funkcji cząstkowych oraz przyjęta metoda agregacji /a nie sama metoda agregacji/) 92

93 Funkcje uŝyteczności Funkcja uŝyteczności musi być słabo monotoniczna słabo rosnąca dla kaŝdego kryterium typu zysk słabo malejąca dla kaŝdego kryterium typu strata spełniać warunki U(x * ) = 0 oraz U(x*) = 1 (funkcje globalne) u i (x * ) = 0 oraz u i (x*) = 1 (funkcje cząstkowe) 93

94 Funkcje uŝyteczności Przykładowe funkcje (dla kryterium typu zysk) 1.0 u i 0.0 min max g i + 94

95 Funkcje uŝyteczności Przykładowe funkcje (dla kryterium typu zysk) 1.0 u i 0.0 min max g i + 95

96 Funkcje uŝyteczności Przykładowe funkcje (dla kryterium typu zysk) 1.0 u i 0.0 min max g i + 96

97 Funkcje uŝyteczności Przykładowe funkcje (dla kryterium typu zysk) 1.0 u i 0.0 min max g i + 97

98 Funkcje uŝyteczności Przykładowe funkcje (dla kryterium typu zysk) 1.0 u i 0.0 min max g i + 98

99 Funkcje uŝyteczności Dwa bieguny agregacji agregacja addytywna, tzn. oparta na dodawaniu uŝyteczności cząstkowych: i=1..n u i (x) duŝe znaczenie najlepszej oceny agregacja multiplikatywna, tzn. oparta na mnoŝeniu uŝyteczności cząstkowych: Π i=1..n u i (x) duŝe znaczenie najgorszej oceny 99

100 Funkcje uŝyteczności Najbardziej podstawowe metody agregacji średnia arytmetyczna (agregacja addytywna) U([x 1,, x N ]) = (1/N) i=1..n u i (x) waŝona średnia arytmetyczna (agregacja addytywna) U([x 1,, x N ]) = i=1..n w i u i (x), gdzie koniecznie i=1..n w i = 1 średnia geometryczna (agregacja multiplikatywna) U([x 1,, x N ]) = (Π i=1..n u i (x)) 1/N waŝona średnia geometryczna (agregacja multiplikatywna) U([x 1,, x N ]) = (Π i=1..n (u i (x)) w i ) 1/N, gdzie potencjalnie Π i=1..n w i = 1 100

101 Funkcje uŝyteczności Przykładowe metody agregacji U([x 1, x 2, x 3 ]) = u(x 1 ) ((1/4) u(x 2 ) + (3/4) u(x 3 )) U([x 1, x 2, x 3 ]) = (1/4) u(x 1 ) + (3/4) u(x 2 ) u(x 3 ) U([x 1, x 2 ]) = (u(x 1 ) + u(x 2 )) U([x 1, x 2 ]) = u(x 1 ) u(x 2 ) U([x 1, x 2 ]) = u(x 1 ) 2 2 u(x 1 ) u(x 2 ) + u(x 2 ) 2 = (u(x 1 ) u(x 2 )) 2 U([x 1, x 2 ]) = (u(x 1 ) u(x 1 ) u(x 2 ) + u(x 2 ) 2 )/4 = (u(x 1 ) + u(x 2 )) 2 /4 101

102 Relacja przewyŝszania Relacja przewyŝszania (ang. outranking ) relacja słuŝąca do modelowania zaleŝności między obiektami jej definicja uwzględnia zawsze wszystkie kryteria opisujące warianty (zwane dalej często warunkowymi ) na podstawie zachodzenia/nie zachodzenia relacji przewyŝszania wnioskuje się o zachodzeniu relacji P, I oraz R na podstawie relacji zachodzących dla kryteriów warunkowych wnioskujemy o relacjach decyzyjnych Oznaczenie i interpretacja oznaczenie: odczytywane jako: asb (wariant) a przewyŝsza (wariant) b oznaczenie (dla uproszenia zapisu) a$b nieprawda, Ŝe (wariant) a przewyŝsza (wariant) b 102

103 Relacja przewyŝszania Interpretacja zapisu asb (wariant) a jest co najmniej tak dobry jak (wariant) b (wariant) a jest nie gorszy niŝ (wariant) b (wariant) a dorównuje (wariantowi) b Uwaga dotycząca interpretacji jest waŝne, aby relację przewyŝszania rozumieć słabo (dorównywanie, bycie równie dobrym, nie gorszym), a nie mocno (przewyŝszanie, bycie lepszym) w tym sensie nazwa relacja przewyŝszania jest myląca 103

104 Relacja przewyŝszania Definicja relacji P, I, R na podstawie relacji S asb i bsa aib asb i b$a apb a$b i bsa bpa a$b i b$a arb (a tym samym: bia) (a tym samym: bra) Definiowanie relacji przewyŝszania poniewaŝ na podstawie relacji przewyŝszania moŝna zdefiniować relacje decyzyjne, metody oparte na modelu relacyjnym koncentrują się na dobrym zdefiniowaniu relacji przewyŝszania (co oczywiście moŝe nie być łatwe) 104

105 Reguły porządkujące Reguły porządkujące 105

106