Materiały wykładowe (fragmenty)

Transkrypt

1 Materiały wykładowe (fragmenty) 1

2 Robert Susmaga Instytut Informatyki ul. Piotrowo 2 Poznań kontakt mail owy Robert.Susmaga@CS.PUT.Poznan.PL kontakt osobisty Centrum Wykładowe, blok informatyki, pok. 7 2

3 Wyłączenie odpowiedzialności Prezentowane materiały, będące dodatkiem pomocniczym do wykładów, z konieczności fragmentarycznym i niedopracowanym, naleŝy wykorzystywać z pełnąświadomością faktu, Ŝe mogą nie być pozbawione przypadkowych błędów, braków, wypaczeń i przeinaczeń :-) Autor 3

4 4

5 Charakterystyka metody Electre TRI rozwiązuje problematykę β realizuje model relacyjny implementowane relacje pomiędzy wariantami: P, I, R działa w trybie wsadowym wymagane dane tabela decyzyjna wagi kryteriów parametry charakteryzujące kryteria profile (słuŝące do definiowania klas) aparat matematyczny przekształcenia algebraiczne 5

6 Zadaniem metody Electre TRI jest posortowanie wariantów (czyli przydzielenie ich do ustalonych z góry klas jakości) problematyka β klasy te są zdefiniowane niezaleŝnie od wariantów Problemy typu β powinny być formalnie odróŝniane od problemów typu γ; wprawdzie elementem wspólnym obu problematyk jest wprowadzenie pewnego zróŝnicowania do zbioru wariantów, ale w problematyce γ zróŝnicowanie to wynika z porównania wariantów pomiędzy sobą (względy wewnętrzne) w problematyce β zróŝnicowanie to wynika z porównania wariantów z definicjami klas (względy zewnętrzne) 6

7 Idea podziału na klasy historycznie: podział na 3 klasy jakości, np. warianty dobre, niedobre i pośrednie (po uporządkowaniu klas wg jakości: niedobre, pośrednie, dobre) w obecnej wersji liczba klas jest dowolna interpretacja jakości klas w stosunku do klas istnieje zawsze jasno określona preferencja decydenta: im wyŝsza klasa tym lepiej (decydent preferuje warianty z wyŝszych klas nad warianty z niŝszych klas) O klasach zakłada się, Ŝe są od siebie oddzielone moŝliwymi do zdefiniowania wartościami granicznymi definiowanie wartości granicznych jest zadaniem decydenta wartości graniczne definiuje się dla kaŝdego kryterium z osobna są one definiowane niezaleŝnie od wariantów decyzyjnych 7

8 Przykłady sortowania wariantów (podziału na klasy) wstępna ewaluacja kandydatów trzy klasy: C 1 : odrzuceni, C 2 : do rozstrzygnięcia, C 3 : przyjęci 8

9 Przykłady sortowania wariantów (podziału na klasy), c.d. wystawianie ocen końcowych sześć klas (stary system szkolny): C 1 : ndst, C 2 : dst, C 3 : dst+, C 4 : db, C 5 : db+, C 6 : bdb sześć klas (na Politechnice Poznańskiej) C 1 : 2.0, C 2 : 3.0, C 3 : 3.5, C 4 : 4.0, C 5 : 4.5, C 6 : 5.0 9

10 Sortowanie kandydatów na przykładzie rekrutacji wariantami są kandydaci kaŝdy wariant ma być przydzielony do jednej z klas C 1 : odrzuceni, C 2 : do rozstrzygnięcia, C 3 : przyjęci rolę kryteriów pełnią np. oceny uzyskane w szkole średniej matematyka, fizyka i angielski klasy definiuje się ustalając ich dolne granice klasa najwyŝsza C 3 : aby znaleźć się w klasie przyjęci kandydat musi wykazać się przynajmniej następującymi ocenami: db+ z matematyki, db z fizyki, db z angielskiego klasa pośrednia C 2 : aby znaleźć się w klasie do rozstrzygnięcia kandydat musi wykazać się się przynajmniej nast. ocenami: db z matematyki, dst+ z fizyki, dst z angielskiego klasa najniŝsza C 1 : zawiera warianty, które nie zostały przydzielone do Ŝadnej z powyŝszych klas 10

11 Powstałe w powyŝszy sposób granice pomiędzy klasami nazywane są profilami w poprzednim przykładzie wystąpiły dwa profile: b 2 : (db+, db, db) oddziela klasę C 2 od C 3 b 1 : (db, dst+, dst) oddziela klasę C 1 od C 2 specyfikacja profilu bardzo przypomina specyfikację wariantu aby zdefiniować wariant trzeba podać wartości opisujące go na kaŝdym kryterium z osobna i podobnie: aby zdefiniować profil trzeba podać wartości opisujące go na kaŝdym kryterium z osobna oznacza to, Ŝe profil moŝna traktować jak sztucznie utworzony wariant waŝne: profile powinny być od siebie wyraźnie oddzielone (na kaŝdym kryterium!) 11

12 W ogólności stosuje się oznaczenia n+1 klas: C 1, C 2,..., C n+1 C 1 : klasa najgorsza C n+1 : klasa najlepsza n profili: b 1, b 2,..., b n b 1 : oddziela klasę C 1 od C 2 b 2 : oddziela klasę C 2 od C 3 itd., ogólnie: b i : oddziela klasę C i od C i+1 (jest istotne, Ŝe liczba klas jest większa o jeden od liczby profili) konsekwencją takiego oznaczenia jest to, Ŝe: klasa C 1 jest ograniczona wartościami najgorszymi i profilem b 1 kaŝda z klas C 2, C 3,..., C n jest ograniczona dwoma profilami klasa C n+1 jest ograniczona profilem b n i wartościami najlepszymi 12

13 Schemat demonstrujący klasy i profile załóŝmy istnienie czterech klas: C 1, C 2, C 3 i C 4 oddzielonych od siebie trzema profilami b 1, b 2 i b 3 na pięciu kryteriach g 1, g 2, g 3, g 4 i g 5 g * C 1 b 1 C 2 b 2 C 3 b 3 C 4 g * kryterium g 1 kryterium g 2 kryterium g 3 kryterium g 4 kryterium g 5 Schemat ten abstrahuje od typu kryterium dzięki temu, Ŝe najmniej korzystne wartości (oznaczenie: g * ) danego kryterium przedstawiono z lewej a najbardziej korzystne (oznaczenie: g * ) z prawej strony 13

14 Działanie metody Electre TRI działanie to polega na porównywaniu ze sobą profili i wariantów zadanie: przydziel wariant a g * C 1 b 1 C 2 b 2 C 3 b 3 C 4 g * kryterium g 1 kryterium g 2 kryterium g 3 kryterium g 4 a kryterium g 5 rozwiązanie: wariant a powinien zostać przydzielony do klasy C 3, na co wyraźnie wskazuje jego połoŝenie pomiędzy profilami b 2 a b 3 14

15 Działanie metody Electre TRI, c.d. sytuacja analogiczna do poprzedniej: zadanie: przydziel wariant b g * C 1 b 1 C 2 b 2 C 3 b 3 C 4 g * kryterium g 1 kryterium g 2 kryterium g 3 kryterium g 4 b kryterium g 5 rozwiązanie: wariant b powinien zostać przydzielony do klasy C 1, na co wyraźnie wskazuje jego połoŝenie na lewo od profilu b 1 15

16 Działanie metody Electre TRI, c.d. sytuacja trudniejsza: zadanie: przydziel wariant c g * C 1 b 1 C 2 b 2 C 3 b 3 C 4 g * kryterium g 1 kryterium g 2 kryterium g 3 kryterium g 4 c kryterium g 5 wariant c charakteryzuje się takimi wartościami jak profil b 2 ; powstaje pytanie: do której klasy powinien być przydzielony? 16

17 Działanie metody Electre TRI, c.d. sytuacja jeszcze trudniejsza: zadanie: przydziel wariant d g * C 1 b 1 C 2 b 2 C 3 b 3 C 4 g * kryterium g 1 kryterium g 2 kryterium g 3 kryterium g 4 d kryterium g 5 wariant d charakteryzuje się wartościami przynaleŝącymi do róŝnych klas; pytanie: do której powinien być przydzielony? 17

18 Formalny schemat postępowania implementowany w metodzie Electre TRI porównywanie wariantów z profilami przyjmuje formę poszukiwania relacji pomiędzy wariantami a profilami (stwierdzenie zachodzenia pewnej relacji pomiędzy jakimiś obiektami jest bowiem formą porównywania tych obiektów) poszukiwanymi relacjami są rozwaŝane wcześniej: preferencja (P) nierozróŝnialność (I) nieporównywaność (R) 18

19 Wzajemne połoŝenia wariantów i profili na schemacie oraz występowanie pomiędzy nimi konkretnych relacji jest ze sobą w pewien sposób powiązane stwierdzenie, Ŝe pomiędzy wariantem x a profilem b i zachodzi relacja P w postaci xpb i oznacza, Ŝe wariant jest preferowany od profilu (wariant leŝy na prawo od profilu) stwierdzenie, Ŝe pomiędzy wariantem x a profilem b i zachodzi relacja P w postaci b i Px oznacza, Ŝe profil jest preferowany od wariantu (wariant leŝy na lewo od profilu) stwierdzenie, Ŝe pomiędzy wariantem x a profilem b i zachodzi relacja I (tzn. xib i, równowaŝne z b i Ix) oznacza, Ŝe wariant jest nierozróŝnialny z profilem (wariant leŝy blisko lub na profilu) stwierdzenie, Ŝe pomiędzy wariantem x a profilem b i zachodzi relacja R (tzn. xrb i, równowaŝne z b i Rx) oznacza, Ŝe wariant jest nieporównywalny z profilem (wariant przecina profil) 19

20 Modelowanie relacji pomiędzy wariantami i profilami do ustalenia relacji {P, I, R} pomiędzy wariantami a profilami moŝna by wykorzystać relację przewyŝszania S z Electre Is najpierw ustala się wartości współczynników C(a,b) i D(a,b) następnie ustala się wartości współczynników S(a,b) itd. Uwaga: W praktyce metoda Electre TRI wprowadza nieco inną definicję relacji przewyŝszania, ale idea jej wykorzystania jest taka sama jak w Electre Is po ustaleniu faktycznych relacji pomiędzy wariantami a profilami informacja o tych relacjach jest wykorzystywana do przydzielenia wariantów do klas (obrazowanie połoŝeń wariantów i profili na przedstawionych wcześniej schematach ma jedynie znaczenie ilustracyjne) 20

21 Relacje pomiędzy wariantami i profilami podstawową róŝnicą pomiędzy metodami Electre Is i Electre TRI jest jednak to, Ŝe: w Electre Is określa się relacje dla kaŝdej pary wariant-wariant wynikowe relacje moŝna więc zamieścić w macierzy kwadratowej o rozmiarach mxm, gdzie m jest liczbą wariantów w Electre TRI określa się relacje dla kaŝdej pary wariant-profil wynikowe relacje moŝna więc zamieścić w macierzy prostokątnej o rozmiarach mxn, gdzie m jest liczbą wariantów, a n liczbą profili dalsze róŝnice dotyczą samej definicji relacji przewyŝszania, która w metodzie Electre TRI jest ogólniejsza zasadniczo w Electre TRI moŝna by wykorzystać dowolną definicję relacji przewyŝszania, takŝe tę zdefiniowaną w Electre Is (tzn. bez uwzględniania wprowadzonych w Electre TRI uogólnień tej definicji) 21

22 Specyfika zapisywania relacji w metodzie Electre TRI macierze przechowujące relacje są prostokątne (a tym samym niesymetryczne), przy czym wiersze tych macierzy reprezentują warianty, a kolumny profile przykładowa poniŝsza macierz przedstawia relacje pomiędzy wariantami x i y a profilami b 1, b 2 i b 3 b 1 b 2 b 3 x P R R y P I??? relacje dla wariantu x xpb 1, xrb 2, xrb 3 relacje dla wariantu y ypb 1, yib 2, b 3 Py powstaje pytanie, jak w tej macierzy zapisać informację, Ŝe profil jest preferowany nad wariant (a nie wariant nad profil) przykładowo relacja ta zachodzi pomiędzy profilem b 3 a wariantem y uwaga: wpisanie P oznaczałoby zachodzenie relacji ypb 3 a nie b 3 Py! 22

23 Rozwiązanie: wprowadza się następujące oznaczenia: kaŝdy z trzech poniŝszych (równowaŝnych sobie) zapisów apb a b b a oznacza, Ŝe a jest preferowane nad b oznaczenia te pozwalają na jednoznaczne wypełnienie macierzy b 1 b 2 b 3 x R R y I relacje dla wariantu x xpb 1, xrb 2, xrb 3, inaczej: x b 1, xrb 2, xrb 3 relacje dla wariantu y ypb 1, yib 2, b 3 Py, inaczej: y b 1, yib 2, y b 3 23

24 Sortowanie wariantów podejście intuicyjne po ustaleniu relacji wariant- profil przydział wariantów do klas jest w wielu przypadkach (ale nie wszystkich) intuicyjnie jasny b 1 b 2 b 3 a b c d I e R f R R klasa C 3 (a leŝy pomiędzy b 2 i b 3 ) klasa C 4 (b leŝy na prawo od b 3 ) klasa C 1 (c leŝy na lewo od b 1 ) klasa C 3 (d leŝy na profilu b 2 ) klasa C 3 albo C 4 (e przecina profil b 3 ) klasa C 1, C 2 albo C 3 (f przecina profile b 1 i b 2 ) g R R R klasa C 1, C 2, C 3 albo C 4 (g przecina wszystkie profile) 24

25 Sortowanie wariantów podejście formalne formalny system przydzielania wariantów do klas jednoznacznie rozwiązuje (moŝliwe do rozwiązania) sytuacje konfliktowe wynikające z wnoszonych przez zachodzące relacje niejasności relacja preferencji nie wnosi Ŝadnych niejasności relacja nierozróŝnialności wnosi łatwe do wyjaśnienia niejasności istota niejasności: co robić z wariantem, który jest nierozróŝnialny z b i? rozwiązanie: wariant nierozróŝnialny z b i moŝna traktować jak identyczny z b i (dzięki tolerancji implikowanej na etapie definiowania relacji S przez progi nierozróŝnialności q i ), a wariant identyczny z b i naleŝy przydzielić do klasy C i+1 (co wynika z definicji klasy/profilu)» przypomnienie: np. klasę C 4 definiuje się tak, aby przydzielone do niej zostały warianty charakteryzujące się wartościami co najmniej następującymi: (i tu wymienia się wartości stanowiące definicję profilu b 3 ) relacja nieporównywalności wnosi pewne niejasności, których nie rozwiązuje się jednoznacznie w metodzie Electre TRI 25

26 Sortowanie wariantów podejście formalne c.d. występowanie nieporównywalności pomiędzy wariantem a profilem b i oznacza, Ŝe istniejące dane nie pozwalają na jednoznaczne zadecydowanie, czy wariant ten powinien być przydzielony do klasy C i czy do C i+1 im więcej nieporównywalności tym większa niepewność przydziału aby dać temu wyraz, metoda implementuje dwie róŝne procedury procedurę pesymistyczną przydziału procedurę optymistyczną przydziału obowiązuje zasada: procedura optymistyczna nigdy nie przydziela do klas niŝszych niŝ procedura pesymistyczna jeŝeli tak jest, to prawdopodobnie błędnie zdefiniowano klasy/profile gdy wynikowe przydziały się róŝnią, ostatecznego przydziału dokonuje decydent (niezgodność ta sygnalizuje występowanie pewnych niejednoznaczności) 26

27 Definicje procedur przydziału Procedura pesymistyczna Aby przydzielić wariant x do jednej z n+1 klas wykonuj: Dla i równego kolejno n, n 1,..., 1 określ relację pomiędzy x a b i jeŝeli relacją tą jest lub I, to przydziel wariant x do klasy C i+1 JeŜeli nigdzie nie wystąpiła relacja ani I to przydziel x do C 1 Procedura optymistyczna Aby przydzielić wariant x do jednej z n+1 klas wykonuj: Dla i równego kolejno 1, 2,..., n określ relację pomiędzy x a b i jeŝeli relacją tą jest to przydziel wariant x do klasy C i JeŜeli nigdzie nie wystąpiła relacja to przydziel x do C n+1 27

28 Przykładowe przydziały dokonane przez procedury pesymistyczną i optymistyczną b 1 b 2 b 3 Pes Opt a C 3 C 3 b C 4 C 4 c C 1 C 1 d I C 3 C 3 e R C 3 C 4 klasa C 3 (a leŝy pomiędzy b 2 i b 3 ) klasa C 4 (b leŝy na prawo od b 3 ) klasa C 1 (c leŝy na lewo od b 1 ) klasa C 3 (d leŝy na profilu b 2 ) klasa C 3 albo C 4 (e przecina profil b 3 ) f R R C 1 C 3 g R R R C 1 C 4 klasa C 1, C 2 albo C 3 (f przecina profile b 1 i b 2 ) klasa C 1, C 2, C 3 albo C 4 (g przecina wszystkie profile) 28

29 Uogólnienie definicji relacji przewyŝszania w Electre TRI uogólniono metodę ustalania relacji przewyŝszania w ten sposób, Ŝe składające się na definicję tej relacji współczynniki d i (a,b) mogą przyjmować wartości z przedziału 0,1 w Electre Is przyjmowały one wartości ze zbioru {0,1} 29

30 Uogólnienie definicji relacji przewyŝszania, c.d. c i (a,b) <0,1> jest zdefiniowane z wykorzystaniem q i p analogicznie do Electre Is (gdzie takŝe d i (a,b) <0,1>) d i (a,b) <0,1> jest zdefiniowany z wykorzystaniem p i v rozszerzenie w stosunku do Electre Is (gdzie d i (a,b) {0,1}) c i (a,b) i d i (a,b) 1.0 q p v 0.0 g i (a) g i + warunki q p < v wykluczają sytuację, w której c i (a,b) > 0 d i (a,b) > 0 30

31 Uogólnienie definicji relacji przewyŝszania, c.d. wprowadzone uogólnienie wymaga innej formy agregowania współczynników d i (a,b) (a tym samym określania relacji asb) w Electre Is odbywało się to z wykorzystaniem zagregowanego współczynnika C(a,b) i zagregowanego współczynnika D(a,b) w Electre TRI zagregowany współczynnik C(a,b) nie ulega zmianie zagregowanego współczynnika D(a,b) się nie stosuje współczynniki d i (a,b) nie podlegają pośredniej agregacji do D(a,b) zamiast współczynnika S(a,b) stosuje się (odpowiadający mu) współczynnik σ(a,b) współczynnik σ(a,b) zaleŝy (bezpośrednio) od C(a,b) oraz (takŝe bezpośrednio) od współczynników d i (a,b) 31

32 Uogólnienie definicji relacji przewyŝszania, c.d. wzór definiujący współczynnik C(a,b): C(a, b) = (identycznie jak w Electre Is) N i = 1 k i N c i = 1 i k (a, b) i 32

33 Uogólnienie definicji relacji przewyŝszania, c.d. wzór definiujący współczynnik σ(a,b): σ(a, b) 1 d i(a, b) = C(a, b) i: d (a,b) > C(a, b) 1 C(a, b) i (rozszerzenie metody Electre Is) zapis i: d i (a,b)>c(a,b) oznacza, Ŝe iloczyn w powyŝszym wzorze powinien być budowany tylko z ilorazów budowanych dla takich współczynników d i (a,b), które mają wartość większą niŝ C(a,b) czyli spełniają warunek d i (a,b) > C(a,b) 33

34 Uogólnienie definicji relacji przewyŝszania, c.d. cechy definicji współczynnika σ(a,b): 1 d i(a, b) σ(a, b) = C(a, b) i: d (a,b) > C(a, b) 1 C(a, b) i dzięki faktowi, Ŝe d i (a,b) <0,1> warunek d i (a,b) > C(a,b) nie moŝe być spełniony dla C(a,b) = 1 w rezultacie nie tworzy sięŝadnego ilorazu przy C(a,b) = 1, a tym samym unika się kłopotliwej sytuacji, w której do mianownika tego ilorazu trafiłaby wartość 1 C(a,b) = 0 34

35 Uogólnienie definicji relacji przewyŝszania, c.d. cechy definicji współczynnika σ(a,b), c.d.: 1 d i(a, b) σ(a, b) = C(a, b) i: d (a,b) > C(a, b) 1 C(a, b) i dzięki faktom, Ŝe d i (a,b) <0,1> i C(a,b) <0,1> oraz postawionemu warunkowi d i (a,b) > C(a,b) zawsze zachodzi 1 d i (a,b) < 1 C(a,b) 1 di(a,b) w rezultacie ilorazy postaci 1 C(a, b) spełniają 1 di (a,b) < 1 1 C(a, b) a więc przemnoŝenie wartości C(a,b) przez jeden taki iloraz powoduje zmniejszenie się wynikowej wartości σ(a,b) kolejne mnoŝenie wartości C(a,b) przez kolejne takie ilorazy powoduje stopniowe zmniejszanie się wartości wynikowej wartości σ(a,b) 35

36 Uogólnienie definicji relacji przewyŝszania, c.d. cechy definicji współczynnika σ(a,b): 1 d i(a, b) σ(a, b) = C(a, b) i: d (a,b) > C(a, b) 1 C(a, b) i dzięki implikacji C(a,b) = 1 i :d i (a,b) = 0 wykluczona jest sytuacja C(a,b) = 1 i :d i (a,b) = 1 w tej kłopotliwej sytuacji nie powstałby Ŝaden iloraz, a tym samym zachodziłoby σ(a,b) = C(a,b) = 1, choć istnienie d i (a,b) = 1 wymagałoby, aby σ(a,b) = 0 36

37 Uogólnienie definicji relacji przewyŝszania, c.d. podsumowując: 1 d i(a, b) σ(a, b) = C(a, b) i: d (a,b) > C(a, b) 1 C(a, b) i jeŝeli wszystkie d i (a,b) = 0, to nie powstająŝadne ilorazy, i wtedy σ(a,b) = C(a,b) im więcej współczynników d i (a,b) spełnia warunek d i (a,b) > C(a,b), tym więcej ilorazów powstaje, co prowadzi do zmniejszenia wynikowej wartości współczynnika σ(a,b) jeŝeli przynajmniej jeden d i (a,b) = 1 (co jest moŝliwe tylko wtedy, gdy C(a,b) < 1), to powstaje przynajmniej jeden iloraz o wartości zerowej, i wtedy σ(a,b) = 0 37

38 Samodzielna wersja wzoru na σ(a,b) k ici(a, b) i 1 d = i(a, b) σ(a, b) k i i: d (a,b) > C(a, b) 1 C(a, b) i i część addytywna część multiplikatywna 38

39 Przykład obliczania σ(a,b) dla trzech kryteriów wagi k i kryteriów: k 1 = 2, k 2 = 5, k 3 = 1 współczynniki c i (a,b) na kryteriach: c 1 (a,b) = 0.5, c 2 (a,b) = 0.0, c 3 (a,b) = 1.0 współczynniki d i (a,b) na kryteriach: d 1 (a,b) = 0.0, d 2 (a,b) = 0.5, d 3 (a,b) =

40 Przykład obliczania σ(a,b) dla trzech kryteriów wzór na C(a,b): wynik: C(a, b) = N i = 1 k i N i = 1 C(a,b) = ( ) / ( ) = = ( ) / 8 = 2/8 = 1/4 = 0.25 c i k (a, i b) 40

41 Przykład obliczania σ(a,b) dla trzech kryteriów wzór na σ(a,b): 1 di (a, b) σ(a, b) = C(a, b) i: d (a,b) > C(a, b) 1 C(a, b) i tworzone ilorazy: i=1: d 1 (a,b) = 0.0, C(a,b) = 0.25, warunek d 1 (a,b) > C(a,b) nie jest spełniony, iloraz nie powstaje i=2: d 2 (a,b) = 0.5, C(a,b) = 0.25, warunek d 2 (a,b) > C(a,b) jest spełniony, powstaje iloraz 1 d2 (a,b) = = = 1 C(a, b) i=3: d 3 (a,b) = 0.0, C(a,b) = 0.25, 2 3 warunek d 3 (a,b) > C(a,b) nie jest spełniony, iloraz nie powstaje 41

42 Przykład obliczania σ(a,b) dla trzech kryteriów ostateczny wynik: 1 d 2 (a, b) 2 1 σ(a, b) = C(a, b) = 0.25 = = 0.1(6) 1 C(a, b)

43 Uogólnienie definicji relacji przewyŝszania, c.d. na podstawie obliczonego współczynnika σ(a,b) oraz zadanego z góry progu odcięcia λ > 0 zachodzenie relacji przewyŝszania S określa się w tej sytuacji następująco: asb wtedy i tylko wtedy gdy σ(a,b) λ ~asb wtedy i tylko wtedy gdy σ(a,b) < λ 43

44 Uogólnienie definicji relacji przewyŝszania, c.d. w praktyce mamy więc 4 róŝne moŝliwe sytuacje (prowadzące do ustalenia 4 róŝnych moŝliwych relacji pomiędzy porównywanymi parami wariant-profil) σ(a,b) λ σ(b,a) λ asb bsa aib (a tym samym bia) σ(a,b) λ σ(b,a) < λ asb ~bsa apb σ(a,b) < λ σ(b,a) λ ~asb bsa bpa σ(a,b) < λ σ(b,a) < λ ~asb ~bsa arb (a tym samym bra) 44

45 ... 45