MODELOWANIE MONTAŻOWEJ STRUKTURY WYROBU ZA POMOCĄ HIPERGRAFU I GRAFU SKIEROWANEGO ORAZ USTALANIE DOPUSZCZALNEJ KOLEJNOŚCI MONTAŻU

Transkrypt

1 KOMISJA BUDOWY MASZYN PAN ODDZIAŁ W POZNANIU Vol. 28 nr 4 Archiwum Technologii Maszyn i Automatyzacji 2008 MARCIN SUSZYŃSKI, OLAF CISZAK, JAN ŻUREK MODELOWANIE MONTAŻOWEJ STRUKTURY WYROBU ZA POMOCĄ HIPERGRAFU I GRAFU SKIEROWANEGO ORAZ USTALANIE DOPUSZCZALNEJ KOLEJNOŚCI MONTAŻU W artykule przedstawiono próbę opracowania modelu matematycznego struktury wyrobu z wykorzystaniem hipergrafu oraz powstałego na jego podstawie grafu skierowanego. Opracowany hipergraf i digraf umożliwiają ustalenie dopuszczalnej kolejności montażu części i zespołów maszyn. Omówiono podstawowe definicje i zależności dotyczące modelowania wyrobu z wykorzystaniem hipergrafów oraz zaproponowano macierzową reprezentację digrafu. Końcowa część zawiera wnioski z przeprowadzonych badań oraz kierunki dalszych prac. Słowa kluczowe: technologia montażu, ustalanie kolejności 1. WPROWADZENE Proces technologiczny montażu jest końcowym etapem procesu produkcyjnego, wpływającym istotnie na parametry wyrobu. Stanowi przeważającą część całkowitej pracochłonności procesu produkcyjnego wyrobu. Rozwój inżynierii montażu postępuje stosunkowo wolno w porównaniu przykładowo z obróbką skrawaniem. Z tego względu zadanie opracowania optymalnej w danych warunkach technologii montażu jest niezwykle istotne, ale jednocześnie wielokryterialne i trudne do modelowania. W fazie projektowania procesu technologicznego montażu (PTM) należy zwrócić szczególną uwagę na ustalenie racjonalnej kolejności łączenia jednostek montażowych, aby zminimalizować czas trwania i stopień skomplikowania ruchów montażowych (np. długość i kształt trajektorii), koszty oraz wiele innych parametrów tego procesu. Tak więc już na etapie projektowania PTM powinny być przeprowadzone analizy dające odpowiedź na pytanie, czy modele wyrobu i procesu spełnią założone na wstępie wymagania i pozwolą na osiągnięcie ustalonych celów. Należy sprawdzić, czy wyrób może być efektywnie zmontowany i serwisowany w trakcie eksploatacji z użyciem Mgr inż. Dr inż. Prof. dr hab. inż. Instytut Technologii Mechanicznej Politechniki Poznańskiej.

2 108 M. Suszyński, O. Ciszak, J. Żurek posiadanego parku maszynowego. Projektowanie montażu wyrobów jest więc w dużym stopniu zależne od dobrze odwzorowującego rzeczywistość modelu. Próby rozwiązywania zadań dotyczących ustalania kolejności montażu części i zespołów maszyn z wykorzystaniem teorii grafów przedstawiono przykładowo w pracach [3 5, 7]. Niniejsze opracowanie stanowi próbę opracowania modelu tego zadania z zastosowaniem hipergrafu, a następnie przejście od jego reprezentacji do grafu skierowanego. 2. ISTOTA I ZASTOSOWANIE HIPERGRAFU SKIEROWANEGO Ze względu na ograniczenia występujące podczas prezentacji struktury dowolnego obiektu bądź systemu (np. montażu) za pomocą grafu niezbędny jest taki opis, by za jego pomocą można było przedstawić dowolną formę. Z przeprowadzonych wstępnych badań literaturowych [1, 6] wynika, że do tego celu można zastosować hipergrafy, które wykorzystywane są między innymi w naukach informatycznych oraz matematyce dyskretnej (mogą być skutecznym narzędziem służącym do modelowania złożonych struktur i procesów wytwórczych). Powszechnie przyjęta definicja hipergrafu jest uogólnieniem grafu, przy czym brak jednej, ogólnie przyjętej definicji hipergrafu obejmującej jego poszczególne rodzaje. W hipergrafie (podobnie jak w grafie) występują pojęcia wierzchołka oraz hipergałęzi. Podstawowym elementem odróżniającym graf od hipergrafu jest to, że jego gałęzie mogą być incydentne do dowolnej liczby wierzchołków, hiperkrawędź łączy bowiem pewien podzbiór wierzchołków (a nie jak w grafie tylko dwa jego wierzchołki). Hipergraf można więc zdefiniować jako uporządkowaną parę: H = (X, U), gdzie: X = {x 1, x 2, x 3,, x n } zbiór wierzchołków hipergrafu, czyli dowolny niepusty zbiór, U = {u 1, u 2, u 3,, u m } zbiór hipergałęzi, czyli podzbiór zbioru wszystkich możliwych zbiorów, których elementy należą do X, czyli U i X dla i=1,..., m. Gdy U i = 2 dla i = 1,..., m, hipergraf jest klasycznym grafem. Do tej pory nie ustalono jednoznacznych zasad graficznego przedstawiania hipergrafu w postaci ogólnej. Przedstawienie hipergrafu lub innego grafu za pomocą punktów i linii na płaszczyźnie jest bezużyteczne do analiz wspomaganych komputerowo, ponieważ odpowiednia struktura danych ma istotny wpływ na efektywność stosowanych do danego typu zadania algorytmów przeszukiwania. Najczęściej przyjmowanymi sposobami reprezentacji grafów są: macierz incydencji, macierz sąsiedztwa wierzchołków, lista krawędzi oraz opracowana niedawno w Instytucie Informatyki Politechniki Poznańskiej macierz

3 Modelowanie montażowej struktury wyrobu 109 grafu [2] (w literaturze [6] najczęściej opisywaną reprezentacją hipergrafu jest macierz incydencji). Do modelowania struktury wyrobu wybrano hipergraf skierowany, będący uogólnieniem digrafu, czyli grafu skierowanego, w którym pary wierzchołków połączone są łukami o określonych kierunkach. Hipergraf nazywa się skierowanym, gdy występują w nim jedynie hiperłuki i hiperpętle, analogicznie jak w grafach [1, 6], przy czym do dokładnego jego sprecyzowania konieczne jest określenie hiperłuku (hiperkrawędzi skierowanej). Hiperłuk definiuje się jako E = (A, B), gdzie E składa się z początku A oraz końca B. Odpowiednio więc początki hiperłuku E można oznaczyć jako A E ( in ), a jego końce jako B E ( out ). Na potrzeby pracy założono, że liczebność początku hiperłuku wynosi 2 (in = 2) i jest wartością stałą, podobnie Rys. 1. Hipergraf hiperkrawędź skierowana Fig. 1. Hypergraph directed hyperedge liczebność jego końca, która wynosi 1 (out = 1). Omawianą hiperkrawędź skierowaną przedstawiono na rys. 1. Na potrzeby modelowania struktury montażowej wyrobu założono, że: każdy hiperłuk może mieć tylko i wyłącznie 2 wejścia (in) oraz 1 wyjście (out), out = in+in; tak więc zmontowany podstawowy zespół składa się z dwóch części (lub innych zespołów): α = ({ A E1, A E2 } B E ) dla A E1 X, A E2 X oraz B E X, ostatnim ogniwem hipergrafu skierowanego jest out końcowe (out k ), czyli wygenerowana kolejność montażu. Przyjęto ponadto, że części w hipergrafie (lub zmontowane zespoły) oznaczane są jako hiperwierzchołki, natomiast hiperłuki przedstawiają możliwe kolejności (drogi) ich łączenia. 3. PRZYKŁAD MODELU STRUKTURY WYROBU UTWORZONEGO Z WYKORZYSTANIEM HIPERGRAFU PROCESU MONTAŻU Początkowym elementem proponowanej metodyki jest ustalenie przez eksperta części bazowej, od której rozpoczyna się łączenie następnych części lub zespołów. Funkcję taką może pełnić przykładowo korpus, kadłub lub część stanowiąca szkielet zespołu. Gdy może wystąpić większa liczba części bazowych, procedurę wyboru najkorzystniejszego wariantu można oprzeć na porównaniu najlepszych ze względu na przyjęte kryteria wariantów kolejności łączenia wyznaczonych na podstawie innych części bazowych. Zakłada się ponadto, że montaż kolejnych elementów następuje przez dołączenie do zespołu n-tego stopnia pojedynczej

4 110 M. Suszyński, O. Ciszak, J. Żurek części lub podzespołu składającego się z większej liczby części (traktowanego jak pojedyncza zmontowana część; w omawianym przykładzie taki podzespół składa się maksymalnie z 2 pojedynczych części). Znalezienie kolejności montażu części i zespołów maszyn najkorzystniejszej w danych warunkach i przy satysfakcjonującym spełneniu wymagań wynikających z przyjętych kryteriów może się sprowadzać do znalezienia funkcji celu, która ma być minimalizowana. Najczęściej w tego typu przypadkach rozważane są kryteria przyporządkowujące poszczególnym opera-cjom montażowym określony koszt, czas lub sumę kosztu i czasu (operacja powtarzana kilkakrotnie ma także odwzorowanie w końcowym sumarycznym koszcie i czasie montażu). Próbą uzyskania tego celu jest przedstawiony na rys. 2 przykładowy model wyrobu, opisany za pomocą hipergrafu skierowanego struktury konstrukcyjnej (rys. 3). Taki model wyrobu pozwala znaleźć wszystkie możliwe sekwencje łączenia części i podzespołów z uwzględnieniem ograniczeń konstrukcyjnych. Założono, że część 1 jest bazowa, tzn. do niej dołącza się kolejne części lub podzespoły wyznaczone wcześniej i funkcjonujące na zasadzie pojedynczych części. W rozważanym przypadku takimi podzespołami mogą być jednostki montażowe składające się z części 2 i 3 (podzespół 23) oraz 4 i 5 (podzespół 45). Założenie to wynika z braku analizy kolejności powstawania wyznaczonego i określonego wcześniej podzespołu mającego status pojedynczej części. Dla większej liczby części lub podzespołów, a także z powodu innych, uzasadnionych pewnymi kryteriami optymalizacyjnymi przypadków kolejność łączenia niektórych części można przyjąć za stałą i nie rozważać innych wariantów. Rys. 2. Zespół: 1 część bazowa, 2 6 przyporządkowane numery części Fig. 2. Unit: 1 base, 2 6 assigned part numbers Z modelu wyrobu wynika tzw. struktura głębokości montażu, czyli podział na jednostki montażowe I, II, III i IV stopnia oraz pojedyncze części. Stopnie zawierają informacje o liczbie części połączonych na danym etapie. Stopień I obejmuje przykładowo jednostki montażowe składające się z dwóch części. Podzespoły 23 oraz 45, mimo ich przyporządkowania do stopnia I, funkcjonują, tak jak przyjęto wcześniej, jako pojedyncze części (tzn. nie rozważa się sposobów ich powstawania). Zastosowanie hipergrafu do budowy modelu wyrobu pozwala, co ważne, automatycznie usunąć niemożliwe do wykonania warianty kolejności montażu (w rozważanym przykładzie są to np. sekwencje czy ).

5 Modelowanie montażowej struktury wyrobu 111 Rys. 3. Hipergraf skierowany struktury konstrukcyjnej zespołu z rys. 2 Fig. 3. Directed hypergraph of the unit presented in Fig REPREZENTACJA STRUKTURY MONTAŻU CZĘŚCI I ZESPOŁÓW MASZYN ZA POMOCĄ DIGRAFU SKIEROWANEGO Zastosowanie hipergrafu do modelowania struktury konstrukcyjnej wyrobu ma pewne wady, wynikające głównie z mało przejrzystego sposobu graficznej reprezentacji, a także późniejszego zapisu w postaci macierzy oraz jej przeszukiwania (graf można przykładowo zastąpić zapisem macierzowym: sąsiedztwa lub incydencji; w przypadku hipergrafu najczęściej stosowana jest macierz incydencji). Na rysunku 4 przedstawiono digraf struktury konstrukcyjnej zespołu z rys. 2. Powstał on przez usunięcie z przedstawionego hipergrafu struktury konstrukcyjnej wyrobu po jednym wejściu do każdego hiperłuku. W ten sposób hipergraf skierowany stał się klasycznym grafem skierowanym bez pętli, każda gałąź bowiem łączy tylko dwa wierzchołki. Wyjście (out) hiperłuku nadal zawiera informacje o częściach lub podzespołach, z których został zmontowany podzespół. Wierzchołek 124 przy jednej wchodzącej krawędzi skierowanej 12

6 112 M. Suszyński, O. Ciszak, J. Żurek zawiera informację, że został zmontowany z podzespołu 12 oraz części 4. Taką samą informację zawiera hiperkrawędź skierowana, czyli zgodnie z wcześniej przyjętą notacją początki i końce hiperłuku to: A E1 = 12, A E2 = 4 oraz B E = 124. Zaproponowany graf (rys. 4) łączy pewne zalety hipergrafu skierowanego oraz klasycznego grafu skierowanego, co pozwala przekazać taką samą liczbę informacji o rozważanym modelu wyrobu jak za pomocą hipergrafu skierowanego. Rys. 4. Digraf skierowany struktury konstrukcyjnej zespołu z rys. 2 Fig. 4. Digraph of the constructional structure of the unit presented in Fig MACIERZOWA REPREZENTACJA GRAFU SKIEROWANEGO Ze względu na małą użyteczność graficznej reprezentacji grafu do komputerowego przeszukiwania i znajdowania możliwych rozwiązań do jego opisu konieczna jest odpowiednia struktura danych. Do przedstawienia grafu za pomocą macierzy wykorzystano opracowaną niedawno w Instytucie Informatyki Politechniki Poznańskiej [2] macierz grafu H = [h ij ] nx(n+4). Ma ona wymiary n (n+4), ale może być również traktowana jako powiązanie macierzy kwadratowej stopnia n z czterema kolumnami zawierającymi informacje o następnikach, poprzednikach, pętlach oraz braku połączenia z wierzchołkami w odniesieniu do rozważanego wiersza. Macierz ta, w odróżnieniu od macierzy sąsiedztwa, nie zawiera tylko i wyłącznie zer i jedynek. Wartości macierzy x ij należą do przedziału { (n+1), 3(n+1)} i zależą od rodzaju relacji zachodzącej między opi-

7 Modelowanie montażowej struktury wyrobu 113 sywanymi wierzchołkami. Ponieważ w rozważanym przypadku nie występują pętle, zrezygnowano z przedstawiania dotyczącej ich kolumny. Ze względu na relacje zachodzące między poszczególnymi wierzchołkami do macierzy kwadratowej wpisuje się wartości z poszczególnych przedziałów: wierzchołki x i, x j nie są bezpośrednio połączone: (n+1)<g ij 0 (x i, x j ) U (x j, x i ) U, wierzchołek x j jest następnikiem wierzchołka x i (istnieje krawędź skierowana od wierzchołka x i do wierzchołka x j ): 0<g ij <(n+1) (x i, x j ) U (x j, x i ) U, wierzchołek x j jest poprzednikiem wierzchołka x i (istnieje krawędź skierowana od wierzchołka x j do wierzchołka x i ): 2(n+1)<g ij <3(n+1) (x i, x j ) U (x j, x i ) U, wierzchołek x j jest zarówno poprzednikiem, jak i następnikiem x i (w omawianym przypadku taka relacja nie zachodzi): (n+1)<g ij <2(n+1) (x i, x j ) U (x j, x i ) U. Trzy dodatkowe kolumny dotyczą: pierwszego następnika (S), poprzednika (P) oraz braku połączenia (U). Ze względu na problem, jaki niesie za sobą wpisanie do macierzy grafu oznaczeń wierzchołków wprowadzonych w pracy, a wynikających z liczby części w poszczególnych jednostkach montażowych, najprostszym rozwiązaniem będzie przyporządkowanie im wartości naturalnych (oznaczeń) od 1 do n, co przedstawiono poniżej. Wierzchołek Nowe oznaczenie wierzchołka

8 114 M. Suszyński, O. Ciszak, J. Żurek Kolejnym krokiem jest wypełnienie macierzy grafu. Przykładowo, wierzchołek 2 ma 4 następniki S(2) = {5, 6, 7, 11}, 1 poprzednik P(2) = {1} oraz 12 wierzchołków niełączących się z nim bezpośrednio. Tak więc dla x 2,19 (wiersz 2, kolumna 19) wpisuje się 5 (pierwszy następnik), x 2,5 = 6, ponieważ wierzchołek ten jest drugim w kolejności następnikiem, oraz x 2,6 = 7 (kolejny następnik). Element macierzy X 2,20 = 1, ponieważ wierzchołek ten jest pierwszym i zresztą jedynym poprzednikiem wierzchołka 2. Natomiast pierwszy niepołączony bezpośrednio z wierzchołkiem 2 jest wierzchołek 3, dlatego x 2,21 = 3, następne niepołączone wierzchołki przyjmują odpowiednio wartości: x 2,3 = 4, x 2,4 = 8, x 2,8 = 9 ( ). Niewystępujące dla tego wierzchołka kolejne poprzedniki uzupełnia się (gdyby istniały) wartościami z przedziału 2(n+1)<g ij <3(n+1). Przykładowo: 2(18+1) + + nowe oznaczenie wierzchołka (x 5,1 = 40, ). Wypełnioną macierz dla opisywanego grafu przedstawiono na rys. 5. Rys. 5. Macierz grafu dla wyrobu z rys. 2 Fig. 5. Matrix graph of the unit presented in Fig. 2 Nowatorstwo przedstawionej macierzy polega na tym, że w elemencie macierzy x ij zakodowano nie tylko rodzaj incydencji wierzchołków i-tego i j-tego, ale także wskaźnik kolejnego wierzchołka będącego z i-tym w takiej samej incydencji jak j-ty. Tak więc w i-tym wierszu macierzy przedstawiono trzy listy: następników i-tego wierzchołka, poprzedników oraz wierzchołków nieincydentnych. Wartość w macierzy informuje nie tylko o tym, czy istnieje krawędź łącząca wierzchołki i oraz j, ale zawiera dodatkowo adres następnego wierzchołka, który jest w takiej samej relacji z wierzchołkiem i co wierzchołek j. Macierz grafu jest uniwersalną i czasooszczędną (ze względu na działanie algorytmów komputerowych) reprezentacją grafu. Jej istota polega na połączeniu zalet kla-

9 Modelowanie montażowej struktury wyrobu 115 sycznej reprezentacji grafu z możliwie szybkim dostępem do informacji w nim zawartych, opisanych dodatkowymi kolumnami (S, P, U). Listy następników i poprzedników są dostępne natychmiast, podobnie jak w klasycznych listach (następników i poprzedników), macierz umożliwia także szybki dostęp do informacji o wierzchołkach niepołączonych bezpośrednio. 6. WNIOSKI W artykule przedstawiono próbę modelowania struktury wyrobu dla procesu technologicznego montażu z wykorzystaniem teorii hipergrafów i grafów. Istotą przedstawionej metodologii jest znajdowanie kolejności łączenia części zapewniającej odpowiednią efektywność montażu wyrobu. Zaproponowana metoda ma ułatwić znalezienie wariantu procesu technologicznego montażu najlepszego z punktu widzenia wielokryterialnej oceny wymagań technicznych oraz efektywności ekonomicznej. Modelowanie wyrobu za pomocą hipergrafu i digrafu jest możliwe dzięki stosowaniu algorytmów i procedur służących do ustalenia dopuszczalnych wariantów kolejności łączenia jednostek montażowych o różnej złożoności. Do opisu digrafu zastosowano macierz grafu jako interesującą teoretycznie i praktycznie propozycję optymalizacji kombinatorycznej. Dalsze badania będą ukierunkowane na znalezienie skutecznych sposobów reprezentacji hipergrafu i digrafu struktury konstrukcyjnej wyrobu oraz będą zmierzały do opracowania algorytmów przeszukiwania i znajdowania dla przyjętych kryteriów najlepszych w danych warunkach wariantów kolejności montażu. LITERATURA [1] Berge C., Graphs and Hypergraphs, Netherlands, North-Holland [2] Błażewicz J., Pesch E., Sterna M., A novel representation of graph structures in web mining and data analysis, Omega, 2005, no. 33, s [3] Żurek J., Ciszak O., Modelowanie oraz symulacja kolejności montażu części i zespołów maszyn za pomocą teorii grafów, Poznań, Wyd. Politechniki Poznańskiej [4] Ciszak O., Żurek J., Wyznaczanie kolejności montażu części i zespołów maszyn, Archiwum Technologii Maszyn i Automatyzacji, 1998, vol. 18, nr 2, s [5] Ciszak O., Żurek J., Wyznaczanie kolejności montażu części z wykorzystaniem teorii grafów, Archiwum Technologii Maszyn i Automatyzacji, 1996, vol. 16, nr 2, s [6] Korzan B., Elementy teorii grafów i sieci, Warszawa, WNT [7] Łebkowski P., Metody komputerowego wspomagania montażu mechanicznego w elastycznych systemach produkcyjnych, Kraków, Uczelniane Wydawnictwa Naukowo-Dydaktyczne AGH Praca wpłynęła do Redakcji Recenzent: dr hab. inż. Piotr Łebkowski

10 116 M. Suszyński, O. Ciszak, J. Żurek MODELING OF THE ASSEMBLY STRUCTURE WITH USING DIRECTED GRAPH AND HYPERGRAPH AND DEFINING OF THE POSSIBLE ASSEMBLY SEQUENCE S u m m a r y The paper contains the attempt to work out a mathematical model of the product, using a hypergraph and the digraph based on it. The proposed structures allow one to find the possible assembly sequence of machine parts and units. The study covers all the basic definitions and interrelations connected to the product modeling with the use of hypergraphs. Moreover, the matrix digraph representation has been proposed. The final part presents the results of the study and stipulates the further direction of the work. Key words: assembly technology, sequence planning