METODYKA USTALANIA KOLEJNO CI MONTA U Z U YCIEM HIPERGRAFU, GRAFU SKIEROWANEGO I MACIERZY STANÓW

Transkrypt

1 K O M I S J A B U D O W Y M A S Z Y N P A N O D D Z I A W P O Z N A N I U Vol. 29 nr 4 Archiwum Technologii Maszyn i Automatyzacji 2009 MARCIN SUSZY SKI, OLAF CISZAK, JAN UREK METODYKA USTALANIA KOLEJNO CI MONTA U Z U YCIEM HIPERGRAFU, GRAFU SKIEROWANEGO I MACIERZY STANÓW W artykule przedstawiono metod wyznaczania kolejno ci monta u wyrobu z wykorzystaniem hipergrafu i grafu skierowanego. Matematyczn reprezentacj digrafu struktury wyrobu opisano za pomoc macierzy stanów oraz macierzy grafu. Do wyszukiwania najlepszej kolejno ci monta u jednostek monta owych wykorzystano algorytm Dijkstry. Artyku ko cz wnioski z przeprowadzonych bada. S owa kluczowe: technologia monta u, ustalanie kolejno ci, graf, hipergraf 1. WPROWADZENIE Proces technologiczny monta u (PTM) jest jednym z najistotniejszych etapów procesu produkcyjnego, gdy wp ywa na parametry finalne wyrobu. Jego projektowanie jest dzia aniem wieloetapowym, a w a ciwe opracowanie go nale y do najodpowiedzialniejszych zada zespo ów projektuj cych procesy technologiczne. Proces technologiczny monta u tego samego zespo u lub wyrobu mo e by prowadzony wed ug wariantów ró ni cych si mi dzy innymi kolejno ci czenia cz ci i zespo ów, kosztem, pracoch onno ci, skomplikowaniem ruchów roboczych lub stabilno ci procesu technologicznego. Nale y wi c sprawdzi, czy wyrób lub podzespó mo e by efektywnie zmontowany z wykorzystaniem posiadanego parku maszynowego oraz serwisu przewidywanego w trakcie jego eksploatacji. Projektowanie monta u wyrobu w du ym stopniu zale y od modelu dobrze odwzorowuj cego rzeczywisto. Du a liczba mo liwych wariantów procesu wymaga opracowania procedur i algorytmów pozwalaj cych sformalizowa wybór najkorzystniejszego w okre lonych warunkach produkcyjnych wariantu monta u. Mgr in. Dr in. Prof. dr hab. in. Instytut Technologii Mechanicznej Politechniki Pozna skiej.

2 104 M. Suszy ski, O. Ciszak, J. urek 2. ZASTOSOWANIE HIPERGRAFU I GRAFU SKIEROWANEGO ORAZ ZAPIS MODELU JEDNOSTKI MONTA OWEJ ZA POMOC MACIERZY STANÓW I GRAFU Punktem wyj cia do racjonalizacji PTM jest okre lenie zbioru mo liwych jego wariantów ze wzgl du na kolejno monta u. Niezb dny jest wi c taki opis wyrobu czy zespo u, by za jego pomoc mo na by o przedstawi struktur konstrukcyjn zawieraj c relacje pomi dzy czonymi cz ciami, opracowan na podstawie dokumentacji konstrukcyjnej. Tak struktur mog opisywa hipergrafy i grafy skierowane. Za o enia teoretyczne dotycz ce modelowania PTM za pomoc hipergrafu i grafu skierowanego przyj to z pracy [7] i nie b d one tutaj omawiane. Ze wzgl du na ma u yteczno graficznej reprezentacji digrafu do komputerowego przeszukiwania i znajdowania mo liwych rozwi za do jego opisu konieczna jest odpowiednia struktura danych. Zdaniem autorów tak struktur mo e stanowi zarówno macierz stanów, jak i macierz grafu. Zastosowanie macierzy grafu do modelowania procesów monta u zosta o omówione w publikacji [7]. Proponowana metodyka ustalania kolejno ci monta u b dzie przedstawiona na przyk adzie zespo u zacisku hamulcowego (rys. 1a). Na pierwszym jej etapie na podstawie danych wej ciowych (dokumentacji konstrukcyjnej) jest wybierana cz bazowa monta u g ównego, nast puje podzia wyrobu na jednostki monta- owe (zespo y monta owe) ni szych rz dów oraz s wyznaczane cz ci bazowe tych jednostek. Analiza konstrukcyjno-technologiczna przyk adowego zacisku hamulcowego pozwoli a na agregacj cz ci w grupy. Dokonany podzia pozwoli na wydzielenie dwóch jednostek monta owych oraz cz ci niezale nych ( ruby mocuj ce wspornik z korpusem zacisku): ZM1 {1,2,3,4,5,6} zespó korpusu zacisku (rys. 1b), ZM2 {1,2,3,4,5,6,7} zespó wspornika zacisku (rys. 1c), CN {8,9} cz ci niezale ne (rys. 1d). Za g ówn jednostk bazow przyj to korpus zacisku hamulca, który jednocze nie jest jednostk bazow ZM1 (rys. 1b), natomiast jako jednostk bazow ZM2 wybrano wspornik zacisku hamulcowego (rys. 1c). Drugim etapem proponowanej metodyki jest opracowanie dla wyodr bnionych jednostek monta owych ZM1 i ZM2 (rys. 2a, 2b) skierowanych hipergrafów ogranicze konstrukcyjnych. Za o ono, e monta kolejnych elementów nast puje przez do czenie do stanu monta owego n-tego stopnia pojedynczej cz ci. Przyj to ponadto, e cz ci w hipergrafie lub stany monta u oznaczane s jako hiperwierzcho ki, natomiast hiper uki przedstawiaj mo liw kolejno (drogi) ich czenia. Hipergraf mo na zdefiniowa jako par : H = (X, U),

3 Metodyka ustalania kolejno ci monta u 105 gdzie: X={x 1, x 2, x 3,, x n } zbiór wierzcho ków hipergrafu, czyli dowolny niepusty zbiór (cz ci lub stanów monta u), U={u 1, u 2, u 3,, u m } zbiór hiperga zi, czyli podzbiór zbioru wszystkich mo liwych zbiorów, których elementy nale do X, czyli: U i X dla i=1,..., m (mo liwe przej cia pomi dzy stanami monta u). a) b) c) d) Rys. 1. Podzespó zacisku hamulca: a) kompletny zmontowany zacisk hamulca; b) rysunek wyodr bnionej jednostki monta owej (ZM1) korpusu zacisku: 1 korpus zacisku, 2 pier cie uszczelniaj cy, 3 t ok zacisku, 4 uszczelka, 5 ruba odpowietrzaj ca, 6 za lepka; c) rysunek wyodr bnionej jednostki monta owej (ZM2) wspornika zacisku hamulcowego: 1 wspornik zacisku, 2, 3 spr yny prowadz ce i dociskaj ce, 4, 5 os ony prowadnic, 6, 7 sworze prowadz cy; d) cz ci niezale ne (CN): 8, 9 ruby mocuj ce Fig. 1. Break clamp sub assembly: a) fully assembled break clamp; b) clamp body within an assembly unit (ZM1): 1 clamp body, 2 insulating ring, 3 clamp piston, 4 seal, 5 deaerating screw, 6 cover; c) break clamp truss unit (ZM2): 1 clamp truss, 2, 3 tightening and directing springs, 4, 5 guide covers, 6, 7 directing pivot; d) independent parts, 8, 9 fixing screws Po usuni ciu z przedstawionego hipergrafu skierowanego struktury konstrukcyjnej wyrobu po jednym z wej do ka dego hiper uku staje si on klasycznym grafem skierowanym (digrafem) bez p tli, w którym ka da ga czy tylko dwa wierzcho ki. Taka reprezentacja zachowuje wszystkie informacje, które zawiera

4 106 M. Suszy ski, O. Ciszak, J. urek hipergraf, i umo liwia prostszy jej zapis w macierzy. Przej cie od hipergrafów skierowanych jednostek monta owych do digrafów przedstawiono na rys. 2c i 2d. a) b) c) d) Rys. 2. Hipergraf skierowany struktury konstrukcyjnej jednostek monta owych: a) ZM1, b) ZM2 oraz digraf struktury konstrukcyjnej (po przej ciu od struktury hipergrafu) jednostek monta owych: c) ZM1, d) ZM2 Fig. 2. Directed hypergraph of the construction structure fot the assembly units: a) ZM1, b) ZM2; Construction structure digraph (after conversion from hypergraph) for the assembly units: c) ZM1, d) ZM2 Do przedstawienia grafu zaproponowano macierz stanów H = [h ij ] n n oraz macierz grafu H = [h ij ] n (n+4) [7]. Macierz stanów ma wymiar n n (tzw. macierz kwadratowa), gdzie n jest liczb wierzcho ków stanów monta u, co umo liwia jej zastosowanie do wyrobów, podzespo ów o ograniczonej liczbie stanów monta u (liczb stanów monta u mo na zmniejsza przez podzia wyrobu na mniej liczne jednostki monta owe, a tak e przez stosowanie heurystyki). Macierz wype nia si warto ciami liczbowymi x ij >0 x ij <0, je li dwa wierzcho ki s po czone kraw dzi (stosowana konwencja zapisu po cze informuje o mo liwo ci do czenia cz ci do danego stanu), i 0 (lub brakiem warto ci) w przypadku braku po czenia mi dzy nimi. Macierz symetryczna w rozwa anej metodyce ustalania kolejno ci

5 Metodyka ustalania kolejno ci monta u 107 monta u pozwala na przechowywanie wi kszej liczby informacji ni w macierz niesymetryczna (informacje o jednym po czeniu mo na zapisa zarówno w dolnym, jak i górnym trójk cie macierzy). Macierz zawiera dodatkowo informacje o poprzednikach i nast pnikach w procesie monta u. Opracowane macierze stanów i macierze grafu ZM1 oraz ZM2 przedstawiono na rys. 3 i 5. a) b) Rys. 3. Macierze stanów jednostek monta owych: a) ZM1, b) ZM2 Fig. 3. State matrix for assmbly units: a) ZM1 and b) ZM2 W rozwa anym przyk adzie warto ci dodatnie w górnym trójk cie macierzy (rys. 3) oznaczaj istnienie po czenia (natomiast brak warto ci lub 0 wiadczy o braku po czenia) i okre laj jednocze nie kierunek czenia cz ci, który przyj to zgodnie z rys. 4. Dolny trójk t macierzy stanów z rys. 3 przedstawia ocen mo liwych przej pomi dzy stanami monta u pod wzgl dem ich wp ywu na stabilno i mas do czanych cz ci. Definicj stabilno ci przyj to na podstawie ksi ki [8]; dany stan monta u uznawany jest tam za stabilny, je li nie mo e doj do samoistnego demonta u cz ci w wyniku zabiegów monta owych, czynno ci monta owych, operacji monta owych lub przeorientowania jednostki monta owej. W przedstawionym przyk adzie poszczególne warto ci x ij macierzy dla trójk ta dolnego ustala si nast puj co: Rys. 4. Kierunki do czania cz ci w rozwa anym przyk adzie Fig. 4. Direction of joining parts for the given example

6 108 M. Suszy ski, O. Ciszak, J. urek x ij = 1, gdy przej cie zwi ksza stabilno powstaj cego stanu monta u w stosunku do stanu poprzedniego (stabilizuje lub utwierdza inn cz lub zespó cz ci); x ij = 2, gdy poprzedni warunek nie zachodzi; gdy dla wszystkich ga zi wychodz cych z danego stanu x ij = 2 proponuje si przyporz dkowa warto x ij = 1 ga zi przy czaj cej cz o najwi kszej masie. a) b) Rys. 5. Macierz grafu: a) ZM1, b) ZM2 Fig. 5. Graph matrix for: a) ZM1 and b) ZM2 Powy szy wybór ma charakter przyk adowy i nie stanowi istoty prezentowanej metody. Jego celem jest zobrazowanie dzia ania proponowanej metodyki, mo e by on zast piony innym wska nikiem (-ami). Warto ci macierzy grafu x ij (rys. 5) nale do przedzia u { (n+1), 2(n+1)} i zale od rodzaju relacji zachodz cej mi dzy opisywanymi wierzcho kami (stanami monta u). Z tego wzgl du do macierzy kwadratowej wpisuje si warto- ci z nast puj cych przedzia ów: gdy wierzcho ki x i, x j nie s bezpo rednio po czone (n+1)<g ij 0 (x i, x j ) U (x j, x i ) U, gdy wierzcho ek x j jest nast pnikiem wierzcho ka x i (istnieje kraw d skierowana od wierzcho ka x i do wierzcho ka x j ) 0<g ij <(n+1) (x i, x j ) U (x j, x i ) U,

7 Metodyka ustalania kolejno ci monta u 109 gdy wierzcho ek x j jest poprzednikiem wierzcho ka x i (istnieje kraw d skierowana od wierzcho ka x j do wierzcho ka x i ) (n+1)<g ij <2(n+1) (x i, x j ) U (x j, x i ) U. Dodatkowe kolumny zawieraj informacje o: pierwszym nast pniku (S), poprzedniku (P) oraz braku po czenia (U). Ze wzgl du na problem, jaki niesie za sob wpisanie do macierzy grafu oznacze wierzcho ków wprowadzonych w artykule, a wynikaj cych z liczby cz ci poszczególnych jednostek monta owych, najprostszym rozwi zaniem jest przyporz dkowanie im odpowiednich warto ci naturalnych (oznacze ) z przedzia u od 1 do n (oznaczenia zaimplementowano w macierzy). 3. WYZNACZANIE NAJKORZYSTNIEJSZEJ KOLEJNO CI MONTA U Zapis matematyczny jednostek monta owych w macierzach grafu i stanów umo liwia wyznaczenie z zastosowaniem odpowiedniego algorytmu wszystkich wariantów kolejno ci czenia zespo ów lub jednostek monta owych (procedura ta nie jest tutaj omawiana, a sprowadza si do znalezienia wszystkich dróg w digrafie prowadz cych od wierzcho ka pocz tkowego x p, stanowi cego cz bazow, do wierzcho ka x k, czyli ko cowego stanu zmontowanej ju jednostki monta owej b d wyrobu x p,..., x k ). Najkorzystniejsz kolejno monta u mo na wyznaczy ze wzgl du na przyj te kryteria oceny relacji zachodz cych pomi dzy cz ciami oraz cz ciami i jednostk monta ow. Problem ten sprowadza si do znalezienia najkrótszej cie ki w digrafie, czyli drogi ekstremalnej w sieci (w digrafie z warto ciami przyporz dkowanymi do ga zi) pomi dzy dwoma wyró nionymi wierzcho kami x p X i x k X przy za o eniu, e gdzie F( extr ) = extr F( ), = (x p,x k ) = {x p,u 1, u n.,x k,}. Najkrótsz cie k z ustalonego wierzcho ka pocz tkowego x p do x k w sieci, w której wszystkie wagi s nieujemne, pozwalaj znale mi dzy innymi algorytmy Dijkstry lub Forda-Bellmana. Najkorzystniejsz kolejno monta u otrzymuje si przez okre lenie drogi o najmniejszej sumie wag uków (ze wzgl du na przyj te kryterium). Do znalezienia najkrótszej cie ki w rozwa anym przyk adzie zastosowano algorytm Dijkstry. Pozwoli on na wyznaczenie najkrótszych cie ek dla ZM1, dla którego sumaryczna warto wag (najkrótszej cie ki) wynosi 6, oraz dla ZM2, dla którego otrzymano warto równ 8. Algorytm ten pozwala wyznacza jedynie najkrótsze cie ki, ale nie zapami tuje ich postaci. Nale y wi c go tak uzupe ni, aby zawiera informacje o wierzcho kach,

8 110 M. Suszy ski, O. Ciszak, J. urek przez które wiod cie ki (procedura ta nie jest omawiana w pracy). Dla ZM1 najlepszym rozwi zaniem cie ki (kolejno ci czenia) o d ugo ci 6 jest kolejno : Dla ZM2 uzyskano znaczn liczb cie ek o d ugo ci równej 8. Mo na zmniejszy ich liczb, stosuj c dodatkowo kryterium preferowanego kierunku do czania cz ci (kierunki do czanych cz ci s zapisane w górnym trójk cie macierzy stanów na rys. 3). Wybiera si t sekwencj, w której cz ci do- czane w jednym kierunku s montowane po sobie. Takie dodatkowe kryterium spe niaj sekwencje: , oraz , W taki sposób znajduje si najlepsz kolejno pod wzgl dem przyj tych wcze niej kryteriów, uwzgl dniaj cych struktur konstrukcyjn oraz dodatkowo dla ZM2 kierunek do czania cz ci. Podzia wyrobu (czy zespo u) na jednostki monta owe umo liwia, co wa ne, prowadzenie monta u równoleg ego. 4. WNIOSKI W artykule przedstawiono modelowanie struktury wyrobu z wykorzystaniem teorii hipergrafów i grafów w celu opracowania procesu technologicznego monta u. Istot przedstawionej metodyki jest znajdowanie kolejno ci czenia cz ci zapewniaj cej najwi ksz w danych warunkach efektywno procesu monta u. Modelowanie wyrobu za pomoc hipergrafu skierowanego i digrafu umo liwia stosowanie efektywnych algorytmów i procedur s u cych do ustalenia dopuszczalnej kolejno ci czenia jednostek monta owych oraz przeszukiwania sekwencji z uwzgl dnieniem kolejnych kryteriów. Przeprowadzone badania potwierdzaj efektywno proponowanej metodyki w zakresie ustalania kolejno ci monta u. Powinna si ona przyczyni do poprawy procesów technologicznych monta u. LITERATURA [1] Berge C., Graphs and Hypergraphs, Netherlands, North-Holland [2] B a ewicz J., Pesch E., Sterna M., A novel representation of graph structures in web mining and data analysis, Kraków, Omega [3] Ciszak O., urek J., Wyznaczanie kolejno ci monta u cz ci z wykorzystaniem teorii grafów, Archiwum Technologii Maszyn i Automatyzacji, 1996, vol. 16, nr 2, s [4] Ciszak O., urek J., Wyznaczanie kolejno ci monta u cz ci i zespo ów maszyn, Archiwum Technologii Maszyn i Automatyzacji, 1998, vol. 18, nr 2, s [5] Korzan B., Elementy teorii grafów i sieci, Warszawa, WNT [6] ebkowski P., Metody komputerowego wspomagania monta u mechanicznego w elastycznych systemach produkcyjnych, Kraków, Uczelniane Wydawnictwa Naukowo-Dydaktyczne AGH [7] Suszy ski M., Ciszak O., urek J., Modelowanie monta owej struktury wyrobu za pomoc hipergrafu i grafu skierowanego oraz ustalanie dopuszczalnej kolejno ci monta u, Archiwum Technologii Maszyn i Automatyzacji, 2008, vol. 28, nr 4, s

9 Metodyka ustalania kolejno ci monta u 111 [8] Whitney D., Mechanical assemblies: their design, manufacture, and role in product development, New York, Oxford University Press [9] urek J,. Ciszak O., Modelowanie oraz symulacja kolejno ci monta u cz ci i zespo ów maszyn za pomoc teorii grafów, Pozna, Wydawnictwa Politechniki Pozna skiej Praca wp yn a do Redakcji Recenzent: prof. dr hab. in. Jerzy unarski METHODOLOGY FOR ASSEMBLY SEQUENCE PLANNING WITH APPLICATION OF HYPERGRAPH, DIRECTED GRAPH AND STATE MATRIX S u m m a r y The paper presents a method of product assembly sequence with the use of digraph and directed graph. The mathematic representation of product structure digraph has been displayed with employment of state matrix and graph matrix. Searching for the best solutions within the order of assembly units was conducted with Dijkstry algorythm application. The final part of the analysis presents the results of the study. Key words: sassembly technology, sequence planning, graph, hypergraph