MODELOWANIE MIKROGEOMETRII POWIERZCHNI POLEROWANEJ STOPU MAGNEZU

Transkrypt

1 MECHANIK NR 8-9/04 79 MODELOWANIE MIKROGEOMETRII POWIERZCHNI POLEROWANEJ STOPU MAGNEZU Andrzj GOŁĄBCZAK, Andrzj KONSTANTYNOWICZ, Marcn GOŁĄBCZAK W artykul przdstawono now podjśc do modlowana matmatyczngo mkrostruktury powrzchn po obróbc polrowana. Istota proponowanj mtody polga na gnrowanu powrzchn z jdnoznaczn okrślonych analtyczn brył w postac stożków kołowych lptycznych o rozwarcu zalżnym od modlowanj powrzchn. Losowość jst wprowadzona do modlu poprzz gnrowan wysokośc rozkładu stożków na powrzchn wdług odpowdnch rozkładów prawdopodobństwa. Przprowadzono rkonstrukcję morfolog polrowanj powrzchn stopu magnzu, w oparcu o przlczalny zbór próbk proflu powrzchn uzyskanych za pomocą mkroskopu AFM. Uzyskano bardzo dobrą zgodność paramtrów gomtrycznych statystycznych modlowanj rzczywstj powrzchn.. CELE MODELOWANIA MATEMATYCZNEGO POWIERZCHNI Istnj wl sposobów podjśca do modlowana matmatyczngo struktury gomtrycznj powrzchn obrabanych mchanczn. Zalżą on przd wszystkm od clów stawanych przd modlm, którym są np.: ocna jakoścowa loścowa struktury gomtrycznj powrzchn ukształtowanych w procsach tchnologcznych, możlwość opsu zjawsk powrzchnowych zachodzących w tych procsach, ocna zakrsu skal ch występowana, prognozowan wynków loścowych na podstaw zadanych paramtrów wjścowych procsu obróbk [, 5 7]. W artykul zaproponowano modl matmatyczny mający spłnć następując zadana: odzwrcdlać w sposób loścowy aspkty tchnologczn powrzchn stopów lkkch polrowanych do najwyższj klasy chropowatośc, w tym paramtry Poltchnka Łódzka, Katdra Tchnolog Maszy ul. Stfanowskgo /5, Łódź Poltchnka Łódzka, Instytut Obrabark Tchnolog Budowy Maszy Łódź

2 MECHANIK NR 8-9/04 80 statystyczn: R v, R p, R t, R a, R q, R skw, R kurt oraz morfologę powrzch włączn z możlwoścą odtworzna jj charaktrystycznj tkstury; umożlwać prcyzyjn modlowan stopna rozwnęca powrzch bz zasadnczgo wpływana na paramtry statystyczn oraz wnklwą ocnę mchanzmów procsu abrazj powrzchn w mkro- nanoskal; umożlwać dntyfkację paramtrów, wynkającą z posadanj aparatury badawczj (pomar D 3D), stosowanych mtod odwzorowana powrzch np. proflomtr lub mkroskop AFM; umożlwać wryfkację dośwadczalną przwdywań loścowych.. ZAŁOŻENIA I PROCEDURY DO MODELOWANIA POWIERZCHNI ZŁOŻONEJ Konczność odzwrcdlna (wygnrowana) przz modl konkrtnj powrzch a n tylko ujęca wskaźnków statystycznych, przy pozostawnu jdnoczśn bardzo dużgo stopna swobody co do konkrtngo kształtu, skłana do wyboru gnralngo sposobu jakm jst użyc rozmatośc cągłj, nkonczn różnczkowalnj, utworzonj z lmntów będących rozmatoścam różnczkowalnym (gładkm) [8]. Używany jst równż trmn powrzchna złożona, który jdnakż ma nco szrsz znaczn nż to, któr okrśla powrzchnę proponowaną w tj pracy. Rolę lmntu wodącgo, okrślającgo własnośc lokaln rozmatośc cągłj, z którgo zbudowana jst modlowana powrzchna, spłna stożk rgularny, o wrzchołku lżącym nad środkm symtr podstawy podstaw lptycznj (w szczgólnośc kołowj) z względu na swoj własnośc topologcz (Rys. ): jgo powrzchna jst rozmatoścą różnczkowalną (z wyjątkm wrzchołka) [8], jst bryłą prostokrślną [3], na którj można utworzyć dw rodzny ln ortogonalnych, co pozwala jdnoznaczn rozłożyć procs powrzchnowy na lmnty składow, posada możlwość dformacj bz zmany objętośc, co pozwala modlować nzalżn od sb paramtry statystyczn powrzch jj rozwnęc masową wydajność abrazj. Ta ostatna własność wynka z bardzo ważnj cchy brył krślonych pękm prostych (równż wloścanów). Objętość takj bryły okrślona zalżnoścą: V S B h () 3 n zalży od kształtu powrzchn stanowącj podstawę takj bryły, n zalży od tgo, czy wrzchołk znajduj sę nad środkm cężkośc podstawy (bryła n mus być rgularna), a nawt, czy jst położony nad podstawą co jakoścowo lustruj Rys..

3 MECHANIK NR 8-9/04 8 Rys.. Stożk rgular o wrzchołku lżącym prostopadl nad środkm symtr podstawy, dformowalnj od koła do lpsy o dowolnj mmośrodowośc, z założnm stałgo pola podstawy Zaps symbolczny dfnujący opsany modl, objmuj zarówno obkty składając sę na powrzchnę wraz z opsującym j paramtram, jak sposób oprowana nm ma postać: P : L, X, Y, N, N, C :, h : h, h,,,, U : O, F, F N S, () x y gdz: P - (pojdynczy obkt) podstawa płaska gnrowanj powrzch L - umowny pozom zrowy modlowanj powrzch X, Y - wymary lnow, N x, N y - rozmary satk dyskrtnj punktów gnracj powrzchn; m C - {zbór obktów} stożków o paramtrach: - kąt rozwarca stożka (aprtura), h - wysokość stożka, która moż być zadana jdnoznacz lub być gnrowana wdług rozkładu logarytmo- normalngo o paramtrach: - kscntryczność (mmośrodowość) podstawy stożka, - kąt obrotu podstawy stożka względm współrzędnych podstawy powrzch v x y c U - [sposób ułożna] układ stożków na powrzchn:

4 MECHANIK NR 8-9/04 8 O - orntacja położna stożków, dodatna (stożk utworzon na powrzchn) lub ujmna (stożk zagłębon w powrzchnę) od umowngo pozomu L, F x, F y - rozkład prawdopodobństwa położna współrzędnj na powrzch N c - lczba stożków. Stożk, z których utworzona jst powrzchna modlowana, mają jdnakową rozwartość. N jst to sztuczn ogranczn możlwośc modlu, al wyraz, potwrdzongo ksprymntaln (Rys. 9) przjawu jdnorodnośc przstrznnj paramtrów procsu tchnologczngo polrowana na modlowanj powrzchn. Stożk t można dformować, czyl od podstawy kołowj przchodzć do lptycznj. Przy założnu stałośc pola powrzchn podstawy, stożk t zachowają równż stałą objętość, przy znaczącj różncy w polu powrzchn bocznj. Ma to znaczn przy nzalżnym modlowanu rozwnęca powrzchn jj paramtrów statystycznych oraz dla ocny kształtowanj mkrogomtr powrzchn przy zadanych warunkach jj tworzna z stożków. Stożk położon są na powrzchn w tak sposób, ż w znacznj mrz przkrywają sę (Rys. ). Wzajmn przcnan sę pobocznc S L stożków na tworzonj powrzchn zawsz gnruj ln przcęć w postac hprbol o wlkośc nachylnu pod kątm zalżnym od wzajmnj wysokośc przcnających sę stożków. Równż pomar proflomtrm powrzchn utworzonj z stożków, daj lnę proflu składającą sę z odcnków hprbol (np. Rys. 7 Rys. 0). Sposób wzajmngo przkrywana sę stożków, czyl sposób tworzna z stożków modlowanj powrzch okrślony jst rgułą: dla stożków dodatnch nadbudowanych na powrzchn okrślanj jako umowny pozom odnsna (Rys. ), dla dango punktu P(x, y ) satk powrzchn przyjmuj sę wartość najwyżj położonj powrzchn bocznj stożka, który przkrywa sę z nnym w tym węźl: x, y MAX L Sx, y, x y P c, kn dla stożków ujmnych zagłębonych od powrzchn okrślanj jako umowny pozom odnsna, dla dango punktu satk powrzchn przyjmuj sę wartość najnżj położonj powrzchn bocznj stożka, który przkrywa sę z nnym w tym węźl: x, y MIN L Sx, y, x y P c, kn Ck Ck Ck Ck (3) (4)

5 MECHANIK NR 8-9/04 83 Surfac modlld wth cons: cntr magnfd x S S6 S S6 S S6 S3 S36 6 S4 6 6 S S Surfac modlld wth cons: cntr magnfd x3 S S6 S S6 S S6 S3 S36 6 S4 6 6 S S Surfac modlld wth cons: cntr magnfd x S S6 S S6 S S6 S3 S36 6 S4 6 6 S S Surfac modlld wth cons: cntr magnfd x3 S S6 S S6 S S6 S3 S36 6 S4 6 6 S S Rys.. Koljn tapy tworzna powrzchn poprzz przkrywając sę stożk, ulokowan na umownj płaszczyźn odnsna. Wygląd z cntrum gnrowango obszaru dla koljno: 50, 00, stożków Z rysunku wynka, ż przy 00 nałożonych stożkach znacząco zmnjszyły sę obszary npokryt, a jdn z nowych stożków przykrył uprzdno wygnrowan stożk o mnjszj wysokośc. Przy 400 stożkach powrzchna została utworzona całkowc, a zgrupowana poblskch, nwlkch stożków zaczęły tworzyć charaktrystycz spłaszczo lkko pofalowan obszary (Rys. 6. Rys. 9). Równan stożka lptyczngo, o wysokośc prostopadłj do podstawy ma postać [3]: x xc y yc z h 0 rx ry (5) h gdz: xc, yc, współrzędn środka stożka, rx, ry prom h wysokość. Równan okrślając rgularny stożk lptyczny dowoln obrócony wokół wysokośc jako os, zapsan jst w tzw. prwszj form kanoncznj: z h h A x xc B y yc C x xc y yc r (6)

6 MECHANIK NR 8-9/04 84 cos A sn sn B cos C cos sn (7) Tak zaps pozwala na bardzo fktywn oblczna, pozwalając unknąć oblczana funkcj trygonomtrycznych wwnątrz funkcj krślącj stożk, a zatm, przy posadanych możlwoścach oblcznowych, fktywn gnrowan różnych powrzch nraz złożonych z dużj lczby stożków. Współczynnk rozwnęca powrzchn Ru jst stosunkm pola powrzchn bocznj do pola powrzchn podstawy stożka dla stożka rgularngo o podstaw lptycznj ma postać: Ru r h E r h gdz: E() - zupłna całka lptyczna druggo rodzaju, n mająca postac analtycznj [9]. Kody wszystkch oblczń zapsan zostały w języku Vsual Basc będących uzupłnnm arkusza kalkulacyjngo Excl frmy Mcrosoft, w którym zostały wykonan oblczna wykrsy. 3. OBLICZANIE POLA POWIERZCHNI Z DANYCH DYSKRETNYCH Wszlk oblczna zwązan z rozwnęcm powrzch zarówno w modlu matmatycznym jak dla danych dośwadczalnych, wymagają rozwązana zadana oblczna pól powrzch których analtyczna postać jst n znana. Znan są natomast wartośc wysokośc ponad umowny pozom, okrślon w węzłach satk prostokątnj, w szczgólnośc kwadratowj. Satka taka daj naturalny podzał płaszczyzny umownj podstawy na prostokąty (kwadraty), a powrzchn na prostokąty (kwadraty) krzywolnow, któr są w ogólnośc nplanarn. Podjścm szroko stosowanym w grafc komputrowj mtodach MES (Mtody Elmntów Skończonych), jst podzał powrzchn na trójkąty, z dfncj planar których pol powrzchn jst połową wartośc loczynu wktorowgo tworzących j wktorów []. (8)

7 MECHANIK NR 8-9/04 85 Rys. 3. Schmat do oblczana pola powrzchn danj w dyskrtnych węzłach mtodą trangulacj Korzystając z przytoczonj rguły, dla satk kwadratowj (Rys. 3), jżl, powrzchn opsują równana: X Y Z Z Z Z S (9) A n n n n Z Z Z Z S (0) B n n n n Stąd współczynnk rozwnęca powrzchn dla lmntarngo dltodu (kaflka) wynos: Ru D S D Z Z Z Z Z Z Z Z n n n n n n n Kdy współrzędn z wszystkch punktów są rów czyl dla powrzchn płaskj, powrzchna kaflka wynos, a współczynnk rozwnęca powrzchn Ru wynos, węc wzory (0) () są formaln poprawn. Tak szczgółow podjśc do oblczana współczynnka rozwnęca powrzch zarówno w modlu jak uzyskanj ksprymntal ma swoj uzasadnn w tym, ż dla powrzchn modlowj ogóln rozwnęc powrzchn jst tak samo jak dla pojdynczgo stożka, z względu na prostokrślność stożka. n ()

8 MECHANIK NR 8-9/ IDENTYFIKACJA PARAMETRÓW MODELU Przdstawony w artykul przykład gnracj powrzchn modlowj został wykonany dla powrzchn zdfnowanj w oparcu o sć dzałań przdstawoną na Rys. 4, wykonanych dla rzczywstj powrzchn przdstawonj na Rys. 9. Badan rzczywstj powrzchn mkroskopm AFM Uśrdnn dla klku losowo wybranych stożków, rozłożonych możlw równomrn po badanj powrzchn Wylczn mmośrodowośc umowngo stożka Zstaw paramtrów okrślonych w równanu () Gnracja modlowj powrzchn R p R v Okrśln krótszj dłuższj półos przkroju pozomgo stożka dla wyróżnonj warstwcy Wylczn promna kołowj podstawy umowngo stożka dla wyróżnonj warstwcy r R t Okrśln przyrostu wysokośc stożka pomędzy koljnym wyróżnonym warstwcam Okrśln wysokośc wrzchołka umowngo stożka z układu warstwc Okrśln rozmarów rzczywstych gnrowanj powrzchn Okrśln rozmaru satk Okrśln lczby stożków Ustaln warunków brzgowych modlu Wylczn kąta rozwarca (aprtury) umowngo stożka Wylczn warancj do rozkladu logarytmo-normalngo wysokośc stożków Wyznaczn charaktrystyk statystycznj gomtrycznj R p R v R t R a R q R skw R kurt Okrśln skoku satk Ru Okrśln śrdnj mnmalnj odlgłośc pomędzy stożkam Okrśln sposobu rozłożna stożków na płaszczyźn h V h Wygnrowan zstawu wysokośc stożków {h} Wygnrowan zstawu cntrów stożków (xc, yc) Wylczn spodzwango rozwnęca powrzchn Ru Wylczn spodzwanj wartośc śrdnj powrzchn Wyznaczn charaktrystyk statystycznj gomtrycznj R a R q R skw R kurt Ru Porównan uzyskanych charaktrystyk statystycznych gomtrycznych z charaktrystykam dla powrzchn rzczywstj dalsz strojn modlu Rys. 4. Zasady dntyfkacj paramtrów modlu z ksprymntalnj powrzchn badanj mkroskopm AFM satka dzałań do gnracj powrzchn modlowj Tabla. Paramtry modlowanj powrzchn rozkładu stożków Modlld surfac lmts m Ara m Modlld surfac dmnsons Nomnal lattc Total X MIN X MAX Y MIN Y MAX X Y Strp x y Nods Total surfac of cons' gnraton Tls 500 Tl Dagonal x 3.30 y 3.30 Ara Auxllary 067 Paramtry w Tabla wybrano tak, aby można było otrzymaną powrzchnę porównać z powrzchnam otrzymanym ksprymntal bz skalowana, co mogłoby znkształcć zarówno paramtry statystyczn jak współczynnk rozwnęca. Stożk na Rys. 5 wygnrowano w nco wększym polu (Tabla ), objmującym pwn margns dla unknęca fktów brzgowych na obsrwowanym polu, powodujących zmnjszn sę wartośc śrdnj powrzchn na brzgu. Przyjęto zatm margns, który jst równy promnow podstawowgo stożka kołowgo. Rozpętość krzyżyków na rys. 5 jst proporcjonalna do promn stożków na umownj płaszczyź a pol jasnobłęktn

9 MECHANIK NR 8-9/04 87 jst obrysm umownj płaszczyzny gnracj powrzchn. Przykład wygnrowanj powrzchn przdstawono na Rys. 6, dla którj punktm wyjśca był stożk kołowy o zadanj aprturz, przkształcony w stożk lptyczny lżący pozomo. Paramtry pojdynczgo stożka do gnracj powrzchn przdstawono w tab.. Tabla. Paramtry pojdynczgo stożka do gnracj powrzchn z Rys. 6 Rgular (rght) con paramtrs Bas r m nm Bas ara 548 m Aprtur (opnng angl) Man 50 m nm Latral ara 608 m h/r Hght h Varanc 8 m nm Log-Normal Rugosty.5 angl Dvaton 579 m 8.58 nm dstrbuton rad Shapd con paramtrs Eccntrcty (for qual bas ara) Drcton (clockws) Bas axs a 7805 m nm Latral ara Volum b m 35. nm rad A Rugosty.459 m m 3 Drctonal 9 B Proportons b/a coffcnts C /4 9/5 459/ Y [m] Surfac sprad of cons X [m] 3.5 Rys. 5. Rozkład środków stożków, wygnrowany losowym rozkładm równomrnym dla os X Y Do badań wykonano próbk o śrdncy 0 mm grubośc mm z stopu magnzu AZ3, pozyskango z frmy TECHNO-COAT Obrflachntchnk GmbH, Zttau, Nmcy. Procs szlfowana polrowana próbk z stopu magnzu ralzowano na dwutarczowj szlfrko-polrc Phonx Bta produkcj frmy Wrtz Buhlr. Objmował on szlfowan na krążkach ścrnych SC P600 SC P00, dwutapow polrowan w zawsn damntowj Buhlr Mtad 3 m (I tap) zawsn Al O 3 Buhlr Mastrprp 0,05 m (II tap) [5]. Podstawowym wymaganm tgo procsu tchnologczngo było przygotowan próbk o możlw małj chropowatośc powrzchn oraz usunęc z ch warstwy wrzchnj (WW) produktów zanczyszczających.

10 MECHANIK NR 8-9/04 88 M odlld surfac ovrvw S5 S4 S S S S0 S9 S8 S7 S6 S5 S4 S3 S S S Rys. 6. Powrzchna wygnrowana wg danych z Tabla Tabla oraz rozkładu środków stożków (rrys. 5) Z [ m] 0.5 Roughnss profl along choosd ln Z [ m] X [ 3.0 m] 07 Roughnss profl along choosd ln Z [ m] X [ 3.0 m] 47 Roughnss profl along choosd ln X [ 3.0 m] Rys. 7. Przykładow ln proflów chropowatośc powrzchn wygnrowanj na Rys. 6 Tabla 3. Paramtry statystyczn współczynnk rozwnęca powrzchn wygnrowanj na Rys. 6 RP RV RT Ra Rq Shap Pak Rskw Rkurt Ru Roughnss hght hstogram 0 5 Hstogram class Barng curv Rys. 8. Hstogram chropowatośc krzywa nośnośc powrzchn z Rys. 6

11 MECHANIK NR 8-9/04 89 Surfac from xprmntal data [ m] m] [ [ m] S S S S3 S4 S5 S6 S7 H S8 Y x 0.0 [ m] S9 S0 3 S S 7 8 S3 9 X x 0.0 [ m] 0 S4 3 S5 4 5 Rys. 9. Wzualzacja powrzchn polrowango stopu magnzu, zbadanj mkroskopm AFM Z [ m] Z [ m] X [ 3.0 m] Roughnss profl along choosd ln Z [ m] Roughnss profl along choosd ln X [ 3.0 m].9.8 Roughnss profl along choosd ln X [ 3.0 m].9.8 Rys. 0. Przykładow, wybran ln proflów chropowatośc powrzchn pokazanj na Rys. 9 Tab. 4. Paramtry statystyczn współczynnk rozwnęca powrzchn pokazanj na Rys. 9 Rp Rv Rt Ra Rq Shap Pak Rsk Rku Ru Roughnss hght hstogram 0 5 Hstogram class Barng curv Rys.. Hstogram chropowatośc krzywa nośnośc dla powrzchn z Rys. 9

12 MECHANIK NR 8-9/04 90 Podstawą do ocny nanostruktury WW próbk z stopu magnzu AZ3 były proflogramy powrzchn w układz przstrznnym 3D, któr uzyskano przy użycu mkroskopu sł atomowych (AFM) typu VEECO Multmod 5, frmy VEECO, USA. Wykonano proflogramy polrowanj powrzchn stopu magnzu, którą podzlono satką na pola pomarow. Każd pol pomarow zawrało 5 x 5 = 644 punktów pomarowych. Z względu na możlwośc wzualzacj w arkuszu Excl, jdnorazow pol obsrwacj mało rozmary 5 x 5 = 80 punktów pomarowych, dla których wykonano oblczna na modlu matmatycznym. 5. WNIOSKI Przprowadzon badana mkrostruktury gomtrycznj powrzchn polrowango stopu magnzu AZ3 badana numryczn przdstawongo modlu potwrdzły jgo bardzo dobrą przydatność w modlowanu powrzchn o zadanym stopnu rozwnęca. Rozbżnośc dla przykładowych powrzchn (Rys. 6 Rys. 9) były nwlk wynosły 0,0073, co przy dobrj zgodnośc pozostałych paramtrów statystycznych gomtrycznych (Tabla 3. Tab. 4), nalży uznać za zadowalając. Najwększ rozbżnośc wystąpły natomast w modlowanu rozkładu (hstogramu) wysokośc chropowatośc (Rys. 8 Rys. ). Szrok możlwośc opracowango modlu, wdoczn w lczb jgo stopn swobody, uzasadnają rozwjan tj koncpcj modlowana struktury gomtrycznj powrzchn oraz ksprymntalną wryfkację modlu w nnych procsach obróbk ubytkowj. 6. BIBLIOGRAFIA [] ADAMCZAK S., Pomary gomtryczn powrzchn. Warszawa, WNT, 007. [] ANTONIEWICZ J., Tablc funkcj dla nżynrów. Warszawa, PWN, 969. [3] BORSUK K., Gomtra analtyczna wlowymarowa., Warszawa, PWN, 977. [4] GOŁĄBCZAK M., Polrowan stopów magnzu. W: Wydawnctwo Uczlnan Poltchnk Koszalńskj, Koszal 009, [5] GRIFFITHS B., Manufacturng Surfac Tchnology. Londo Pnton Prss, 00. [6] GRZESIK W., Wpływ obróbk skwncyjnj na topografę powrzchn stal utwardzonj. W: Mchank, nr 5-6, 04, [7] OCZOŚ K., LUBIMOW V., Struktura gomtryczna powrzchn. Rzszów, Ofcyna Wydawncza Poltchnk Rzszowskj, 003. [8] SCHWARTZ L., Kurs analzy matmatycznj. Warszawa, PWN, 980. [9] WHITEHOUSE D. J., Handbook of Surfac Mtrology. Insttut of Physcs, Brstol, 994.