Próbkowanie (ang. sampling) - kwantyzacja. Rastrowa reprezentacja obrazu 2D. Generowanie obrazu rastrowego 2D. Próbkowanie i integracja

Transkrypt

1 Próbkowanie (ang. sampling) - kwantyzacja Rastrowa reprezentacja obrazu 2D Próbkowanie - proces zamiany ciągłego sygnału f(x) na skończoną liczbę wartości opisujących ten sygnał. Kwantyzacja - proces zamiany ciągłej wartości na wartość dyskretną. Rekonstrukcja - zamiana dyskretnych próbek na ciągłą funkcję f(x). Radosław Mantiuk Wydział Informatyki Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie kwantyzacja próbkowanie Courtesy of MIT (Lecture Notes 6.837) Generowanie obrazu rastrowego 2D W ujęciu analitycznym obraz 2D to ciągła funkcja: kolor_piksela = F(x,y) Courtesy of MIT (Lecture Notes 6.837) Próbkowanie i integracja f(x) integracja wartość piksela to średnia wartość funkcji dla danego przedziału x Funkcja ciągła F(x,y) Funkcja próbkująca Obraz rastrowy Obraz rastrowy jest dyskretną macierzą wartości koloru. Uzyskujemy ją poprzez spróbkowanie ciągłej funkcji F(x,y). Próbkowanie ciągłej funkcji obrazu: grafika komputerowa oblicza próbki (piksele) obrazu. Cyfrowy aparat fotograficzny całkuje (integruje) obszar obrazu odpowiadający punktowi sensora. f(x) próbkowanie wartość piksela to jedna wartość funkcji z danego przedziału x x x Rekonstrukcja obrazu Rekonstrukcja obrazu: monitor komputerowy Piksel ma nieskończenie małe rozmiary, dlatego trzeba go "rozmyć", aby stał się widoczny. Filtr dolnoprzepustowy wbudowany w wyświetlacze, rozmywający piksele: Rekonstrukcja obrazu proces zamiany dyskretnego obrazu rastrowego na funkcję ciągłą. Monitor wyświetla piksel w postaci punktu o malejącej intensywności. Spadek intesywności odpowiada funkcji Gaussa. 1

2 Aliasing (ang. spatial aliasing) (1) Efekt powstająca na skutek braku możliwości zarejestrowania i/lub wyświetlenia sygnału z odpowiednią częstotliwością: pliki graficzne nie mogą być zbyt duże, monitor ma ograniczoną rozdzielczość. Czętotliwość próbkowania Z jaką częstotliwością trzeba próbkować F(x,y), aby móc później odtworzyć oryginalny przebieg funkcji? Don Mitchel Zmniejszenie rozdzielczości kątowej. Za mało próbek na dany kąt. Images from ACM SIGGRAPH education materials. Częstotliwość próbkowania Częstotliwość próbkowania musi być dwa razy większa od częstotliwości sygnału, aby była możliwość rekonstrukcji oryginalnego sygnału (prawo Nyguista). Obraz 2D a grafika komputerowa W grafice komputerowej generuje się spróbkowaną postać obrazu. Liczba próbek musi być taka, aby możliwa była rekonstrukcja sygnału obrazu. Większa liczba próbek oznacza więcej obliczeń. Idealna częstotliwość odpowiada podwójnej częstotliwości widzialnej fali elektromagnetycznej. zbyt mała częstotliwość próbkowania Graniczną maksymalną częstotliwością może być rozdzielczość ludzkiego oka. Człowiek widzi określoną liczbę cykli na stopień kątowy (percepcja). W praktyce wartością graniczną są możliwości monitorów rastrowych. From Robert L. Cook, "Stochastic Sampling and Distributed Ray Tracing", An Introduction to Ray Tracing, Andrew Glassner, ed., Academic Press Limited, 1989 Reprezentacja obrazu w dziedzinie częstotliwości Obraz jest złożeniem sygnałów okresowych (sinusoidalnych) o określonych częstotliwościach i amplitudach. Dziedzina częstotliwości: Transformata Fourier'a Każdy obraz ma swoją reprezentację w dziedzinie częstotliwości. Transformata Fourier a - konwersja pomiędzy dziedziną koloru a dziedziną częstotliwości. Każdy sygnał okresowy można wyrazić jako sumę sygnałów sinusoidalnych. Obraz jest dwuwymiarowym sygnałem okresowym. Okresowość sygnału symulowana jest poprzez powielenie obrazów do nieskończoności. Courtesy of George Wolberg, Columbia University 2

3 Reprezentacja częstotliwościowa Dziedzina częstotliwości (1) Obraz w przestrzeni częstotliwości składa się z częsci fazowej i amplitudowej (wartość piksela zamieniana jest na liczbę zespoloną). amplituda faza Cześć amplitudowa pokazuje jakie częstotliwości występują w obrazie. Dziedzina częstotliwości (2) Dziedzina częstotliwości (3) Część amplitudowa mówi o tym jakie częstotliwości występują w obrazie, część fazowa gdzie są one położone. Efekt brzegowy Brak zmiany wykresu amplitudowego pomimo zmiany fazy. Dziedzina częstotliwości (4) Niskie częstotliwości na środku obrazu. Prawy obraz rozmyty horyzontalnie - wykres amplitud sygnału częstotliwościowego wskazuje na zmniejszenie występowania wysokich częstotliwości w kierunku horyzontalnym. Położenie krawędzi decyduje o kierunku pasm na wykresie aplitudy. Dziedzina częstotliwości (5) Kierunek pasm na wykresie aplitudy. Wiele elementów o jednakowych rozmiarach 3

4 Dziedzina częstotliwości (6) Dziedzina częstotliwości (7) Lena Pasmo od kapelusza Filtr dolnoprzepustowy Filtr górnoprzepustowy Dziedzina częstotliwości (8) Aliasing (2) Artefakty wywołana zbyt małą częstotliwością próbkowania. Poszarpane brzegi (ang. jaggies) Znikanie szczegółów Filtr wyostrzający Błędy teksturowania Antyaliasing - ograniczanie efektu aliasingu Images from ACM SIGGRAPH education materials. Rekonstrukcja obrazu filtr prostokątny metoda najbliższego sąsiada (ang. nearest neighbour) Rekonstrukcja obrazu - Filtr sinc Idealny filtr dolnoprzepustowy. Filtr prostokątny (ang. box filter) aproksymuje wyświetlane wartości na podstawie wartości danego piksela. Dziedzina obrazu. Taki filtr powoduje aliasing. Rozciąga się do nieskończoności (zakłada powtarzalność obrazów) - ograniczenie prowadzi do powstania efektu Gibbs a (ringing artifacts). Nawet ograniczony do jednego obrazu wymaga zsumowania wszystkich pikseli obrazu w celu obliczenia wartości danego punktu (akumulacja). 4

5 Rekonstrukcja obrazu - Filtr trójkątny Interpolacja dwuliniowa (ang. bilinear interpolation) Filtr trójkątny (ang. triangle filter lub tent filter). Literatura Andrew S. Glassner, "Principles of Digital Image Synthesis", The Morgan Kaufmann Series in Computer Graphics, 2 Volume Set, ISBN-10: , 1st edition 1995 Materiały edukacyjne organizacji ACM SIGGRAPH Ryszard Radeusiewicz, Przemysław Korohoda, Komputerowa analiza i przetwarzanie obrazów, Wydawnictwo Fundacji Postępu Telekomunikacji, Kraków 1997 J.D. Foley, A. van Dam, S.K. Feiner, J.F. Hughes, R.L. Phillips, Wprowadzenie do grafiki komputerowej, WNT, Warszawa 1995, ISBN O wartości punktu decydują piksele z najbliższego otoczenia danego piksela. Kompromis pomiędzy dokładnością i liczbą obliczeń. 5