Ćwiczenia z matematyki. Zeszyt 1 Funkcje i ciągi liczbowe

Transkrypt

1 Ćwiczenia z matematyki Janusz Górczyński Zeszyt Funkcje i ciągi liczbowe

2 Zeszyt ten jest pierwszą pozycją w serii materiałów dydaktycznych Ćwiczenia z matematyki W najbliższym czasie ukażą się kolejne pozycje: Zeszyt Macierze i rozwiązywanie układów równań liniowych Zeszyt Granice ciągów i funkcji Pochodna i jej zastosowanie Zeszyt Całki i ich zastosowanie Zeszyt 5 Równania różniczkowe i ich zastosowania Wydanie I Materiały do druku zostały w całości przygotowane przez Autora ISBN Wydawca: Wyższa Szkoła Zarządzania i Marketingu w Sochaczewie Arkuszy wydawniczych,75 Arkuszy drukarskich,75

3 Spis treści OD AUTORA FUNKCJE 5 INFORMACJE WSTĘPNE5 PRZEGLĄD FUNKCJI ELEMENTARNYCH FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE 6 CIĄGI 6 CIĄG ARYTMETYCZNY 8 CIĄG GEOMETRYCZNY SZEREG GEOMETRYCZNY LITERATURA

4 U podstaw decyzji o wydaniu serii zeszytów pod wspólnym tytułem Ćwiczenia z matematyki są moje wieloletnie doświadczenia nauczyciela akademickiego w zakresie nauczania przedmiotów ilościowych (matematyka, statystyka matematyczna, doświadczalnictwo, ekonometria) jak i informatycznych (arkusze kalkulacyjne, relacyjne bazy danych) Od szeregu lat obserwujemy narastające problemy znacznej grupy studiujących ze zrozumieniem tych przedmiotów, przy czym jest to szczególnie niekorzystne w przypadku osób studiujących w trybie zaocznym Seria Ćwiczenia z matematyki została pomyślana z jednej strony jako materiał ułatwiający przypomnienie programu matematyki z zakresu szkoły średniej Z drugiej strony materiał zawarty w tej serii jest już pewnym przygotowaniem pod nauczanie takich przedmiotów jak właśnie statystyka, ekonometria, arkusze kalkulacyjne, bazy danych czy badania operacyjne Seria Ćwiczenia z matematyki powinna być traktowana raczej jako literatura uzupełniająca klasyczną literaturę przedmiotu (podawaną przez prowadzących poszczególne przedmioty) niż jako jedyny i wystarczający do zrozumienia matematyki skrypt Mam jednak nadzieję, że przedstawiony materiał z szeregiem szczegółowych przykładów ułatwi zrozumienie tych wybranych działów matematyki W serii Ćwiczenia z matematyki ukażą się następujące pozycje: Zeszyt Funkcje i ciągi liczbowe Zeszyt Granice ciągów i funkcji Pochodna i jej zastosowanie Zeszyt Całki i ich zastosowania Zeszyt Macierze i rozwiązywanie układów równań liniowych Zeszyt 5 Równania różniczkowe i ich zastosowania Zeszyty pierwszy i czwarty ukażą się w roku, a pozostałe trzy w roku

5 5 Funkcje Informacje wstępne Rozpatrzmy dwa zbiory liczbowe oznaczone odpowiednio symbolami tych zbiorów odpowiednio symbolami i i, a elementy Określenie: Jeżeli każdemu elementowi ze zbioru przyporządkujemy jeden i tylko jeden element ze zbioru, to w zbiorze określiliśmy funkcję ( ) o wartościach w zbiorze Zgodnie z powyższym określeniem funkcja jest relacją wiążącą jednoznacznie każdy element zbioru z odpowiednim, jednym elementem ze zbioru Zbiór nazywamy dziedziną funkcji, a zbiór Y przeciwdziedziną lub zbiorem wartości funkcji ( ) Element nazywamy argumentem funkcji, a ( ) jest wartością funkcji dla argumentu Poniżej pokazane są trzy możliwe przyporządkowania elementom zbioru odpowiednich elementów ze zbioru Każdemu elementowi ze zbioru przyporządkowany jest jeden i tylko jeden element ze zbioru Także: każdemu przyporządkowany jest jeden i tylko jeden Każdemu elementowi ze zbioru przyporządkowany jest jeden i tylko jeden element ze zbioru Ale nie jest prawdą przyporządkowanie odwrotne (ponieważ pewne elementy mają przyporządkowany więcej niż jeden element ) Każdemu elementowi ze zbioru przyporządkowany jest więcej niż jeden element ze zbioru Ale prawdziwe jest przyporządkowanie odwrotne: każdemu przyporządkowany jest jeden i tylko jeden element

6 6 Zgodnie z podanym wyżej określeniem sytuacja pierwsza i druga opisuje funkcję ( ) zdefiniowaną w zbiorze X (każdemu odpowiada dokładnie jeden ) Sytuacja trzecia nie przedstawia funkcji, ponieważ pewnym odpowiadają więcej niż jedna wartość Proszę także o zwrócenie uwagi na fakt, że wyłącznie w sytuacji pierwszej funkcja może być zdefiniowana w obie strony ; powiemy wtedy, że istnieje funkcja ( ) Funkcję tę będziemy nazywać funkcją odwrotną do ( ) Określenie: Funkcję ( ) będziemy nazywać różnowartościową, jeżeli dla dowolnych dwóch różnych argumentów będzie przyjmować różne wartości: ( ) jest różnowartościowa ( ) ( ), Określenie: Funkcję ( ) będziemy nazywać stałą, jeżeli dla dowolnych dwóch różnych argumentów będzie przyjmować takie same wartości: ( ) jest stała ) ( ), ( Określenie: Funkcję ( ) będziemy nazywać rosnącą, jeżeli dla dowolnych dwóch argumentów, takich, że <, wartość funkcji w punkcie jest mniejsza od wartości funkcji w punkcie : ( ) jest rosnąca < ) < ( ), ( Określenie: Funkcję ( ) będziemy nazywać malejącą, jeżeli dla dowolnych dwóch argumentów, takich, że <, wartość funkcji w punkcie jest większa od wartości funkcji w punkcie : ( ) jest rosnąca < ) > ( ), ( Określenie: Funkcję ( ) będziemy nazywać niemalejącą, jeżeli dla dowolnych dwóch argumentów, takich, że <, wartość funkcji w punkcie jest niemniejsza od wartości funkcji w punkcie : ( ) jest niemalejąca < ) ( ), ( Określenie: Funkcję ( ) będziemy nazywać nierosnącą, jeżeli dla dowolnych dwóch argumentów, takich, że <, wartość funkcji w punkcie jest niewiększa od wartości funkcji w punkcie : ( ) jest rosnąca < ) ( ), (

7 7 Z powyższych określeń wynika, że funkcje rosnąca i malejąca są jednocześnie funkcjami różnowartościowymi O takich funkcjach mówimy, że są monotoniczne Określenie: Wykresem funkcji ( ) określonej w zbiorze nazywamy zbiór punktów o współrzędnych (, Poniżej przedstawione są przykładowe wykresy funkcji o własnościach przedstawionych wyżej (w określeniach) Rys Funkcja rosnąca Rys Funkcja malejąca Rys Funkcja stała Rys Funkcja niemalejąca Rys 6 Funkcja nierosnąca

8 8 Określenie: Wykres funkcji ( ) będziemy nazywać odpowiednio wklęsłym, jeżeli styczne do wykresu położone są pod wykresem lub wypukłym, jeżeli styczne położone są nad wykresem wklęsły wypukły Określenie Jeżeli funkcja ( ) istnieje w pewnym przedziale i jej wykres w tym przedziale przechodzi w pewnym punkcie z wklęsłego w wypukły lub odwrotnie, to punkt ten nazywamy punktem przegięcia tej funkcji Określenie: Miejscem zerowym (pierwiastkiem) funkcji ( ) nazywamy taką wartość argumentu, dla którego wartość funkcji jest równa zero: jest miejscem zerowym ( ) ( ) Określenie: Funkcja ( ) jest symetryczna z osią symetrii w punkcie, jeżeli wartości funkcji w punktach ( ) ( + ) i + są sobie równe dla każdego

9 9 ( ) Wyznaczmy dziedzinę, przeciwdziedzinę i miejsce zerowe funkcji Dziedziną tej funkcji będzie zbiór tych wszystkich liczb, dla których wyrażenie jest określone (ma sens liczbowy) Wyrażenie powyższe ma postać ułamka, a jak wiemy mianownik ułamka musi być różny od zera, jeżeli chcemy, aby cały ułamek był określony (miał sens) Tym samym dziedziną naszej funkcji będzie zbiór liczb rzeczywistych (czyli wszystkich) z wyłączeniem tych liczb, dla których mianownik jest równy zero Mianownik naszego ułamka jest równy zero dla: ( )(+ ) + Ostatecznie dziedziną naszej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych z wyłączeniem liczb i, co możemy zapisać następująco: { ; } Ustalenie zbioru wartości jest trochę trudniejsze, musimy bowiem uruchomić wyobraźnię i prześledzić możliwe wartości naszej funkcji dla Po pierwsze zauważmy, że zero należy do zbioru wartości analizowanej funkcji: ( ) Licznik rozpatrywanej funkcji może przyjąć wartości z całego zbioru, mianownik zaś może przyjąć wszystkie liczby ze zbioru z wyłączeniem zera Będziemy mieli więc taką sytuację, gdy (bez względu na znak wyrażeń) w liczniku będzie dość duża liczba, a w mianowniku prawie zero (tak będzie, gdy m ) Wartość takiego ułamka będzie bardzo duża, matematycznie będzie to nieskończoność (ze znakiem plus lub minus) Praktycznie ta informacja już nam wystarcza do stwierdzenia, że zbiorem wartości tej funkcji będzie zbiór wszystkich liczb rzeczywistych: ( ) Miejsce zerowe rozpatrywanej funkcji ustaliliśmy przed chwilą, jest nim oczywiście W trzecim zeszycie tej serii będziemy dość szczegółowo badać przebiegi zmienności wielu funkcji, wrócimy wtedy także do tego przykładu Wyznaczmy dziedzinę, przeciwdziedzinę i miejsce zerowe funkcji Jak wiemy pierwiastek kwadratowy istnieje tylko z liczb nieujemnych, stąd dziedziną tej funkcji będą liczby niemniejsze od : < ; + ) Wartość pierwiastka kwadratowego jest zawsze liczbą nieujemną, stąd przeciwdziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych dodatnich plus zero: + Pozostało ustalenie miejsca zerowego:

10 Przegląd funkcji elementarnych Funkcja liniowa Funkcja liniowa określona jest wzorem +,dziedziną tej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych, przeciwdziedziną (zbiorem wartości) jest również zbiór liczb rzeczywistych, a jej wykresem jest linia prosta Parametr nazywamy współczynnikiem kierunkowym prostej, a parametr wyrazem wolnym lub stałą funkcji liniowej Wykres tej funkcji, w sensie kierunku położenia prostej, zależy od wartości współczynnika kierunkowego Poniżej przedstawione są trzy możliwe wykresy tej funkcji a> a a< Funkcja liniowa + jest funkcją: rosnącą dla >, a jej wartości rosną od do +, stałą dla, a jej wartość jest równa, malejącą dla <, a jej wartości maleją od + do Dla wykres funkcji liniowej przecina oś punkt ten jest miejscem zerowym tej funkcji w punkcje, tym samym Dla jakich wartości funkcja 8 przyjmuje wartości większe od zera? 8> 8> > 8 > Dla ( ; + ) funkcja 8 Funkcja kwadratowa Funkcja kwadratowa (trójmian kwadratowy) określona jest wzorem + +, gdzie Dziedziną tej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych, przeciwdziedzina zaś zależy od wartości jej parametrów,, Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola, a jej kształt (kierunek gałęzi) uzależniony jest od znaku parametru Dla dodatnich wartości parametru gałęzie paraboli skierowane są do góry (wykres wklęsły), a dla wartości ujemnych do dołu (wykres wypukły)

11 Funkcja kwadratowa może występować w czterech postaciach: + +,, (postać ogólna),, + +,,,, Istnienie miejsc zerowych funkcji kwadratowej uzależnione jest od wartości parametru, który nazywamy wyróżnikiem trójmianu kwadratowego lub po prostu deltą Funkcja + + ma: Dwa miejsca zerowe, jeżeli > :, Jedno (podwójne) miejsce zerowe, jeżeli : Nie ma miejsc zerowych, jeżeli < Funkcja + + może być zapisana w tzw postaci kanonicznej ( + ) która jednoznacznie wskazuje położenie wierzchołka paraboli ( ), + Jeżeli wyróżnik trójmianu jest nieujemny ( ), to + + można zapisać w tzw postaci iloczynowej ( )( ) która jednoznacznie określa miejsca zerowe tej funkcji Poniżej pokazane są wykresy funkcji + + w zależności od znaku parametru i wartości delty a>, > a>, a>, < a<, > a<, a<, <

12 Jak powiedziałem wcześniej zbiór wartości funkcji kwadratowej (przeciwdziedzina) zależy od jej parametrów: > ( ) ; + ) zbiór wartości funkcji jest ograniczony od dołu, ( ) ; ( < zbiór wartości funkcji jest ograniczony od góry Wykres funkcji kwadratowej jest symetryczny, a osią symetrii jest prosta poprowadzona przez wierzchołek paraboli, czyli prosta o równaniu Chcemy wyznaczyć miejsca zerowe, zbadać monotoniczność oraz znak wartości funkcji 5 + Parametrami podanej funkcji są odpowiednio: ; 5; Obliczamy deltę: ( 5) Delta jest większa od zera, istnieją więc dwa różne miejsca zerowe: ( 5) ( 5) Wyznaczymy teraz współrzędne wierzchołka paraboli: ( 5) 5,5 9 9 Dla zbadania monotoniczności tej funkcji jak i określenia znaku jej wartości warto naszkicować jej wykres 9 x,5 Z przeprowadzonych obliczeń i wykresu mamy, ze funkcja 5 + jest malejąca dla ( ;,5), a rosnąca dla (,5; + ) Funkcja 5 + wartości dodatnie dla { ( ; ) (; + ) }, a wartości ujemne dla (; ) przyjmuje

13 Proszę zbadać, dla jakiej wartości parametru funkcja + + ma dwa różne miejsca zerowe, jedno podwójne miejsce zerowe i brak miejsc zerowych Parametrami trójmianu kwadratowego są odpowiednio liczby ; ; O istnieniu miejsc zerowych decyduje, jak wiemy, delta Mamy 6 6 ( + 6)( 6) Delta jest funkcją kwadratową, mamy już postać iloczynową tej funkcji, sporządzimy jeszcze schematyczny wykres 6 ( + 6)( 6) -6 6 Z przeprowadzonych obliczeń i wykresu mamy rozwiązania Funkcja + + ma: dwa różne miejsca zerowe dla ( + 6)( 6) >, stąd < 6 lub > 6 ; jedno podwójne miejsce zerowe dla ( + 6)( 6), stąd 6 lub 6 brak miejsc zerowych dla ( + 6)( 6) <, stąd 6 < < 6 Funkcja wielomianowa Funkcja wielomianowa określona jest wzorem ; ; ; ;,,, + + gdzie { } ; Parametr nazywamy stopniem wielomianu, a parametry (,,,, ) współczynnikami wielomianu Zauważmy, że omówiona wcześniej funkcja liniowa jest funkcją wielomianową stopnia pierwszego, a funkcja kwadratowa funkcją wielomianową stopnia drugiego

14 Przeciwdziedzina konkretnej funkcji wielomianowej, liczba miejsc zerowych, postać wykresu, przedziały monotoniczności i typ wartości (dodatnie, ujemne) zależą od jej parametrów i praktycznie nie ma możliwości podania jakiegoś ogólnego rozwiązania Poniżej pokazany jest fragment wykresu funkcji + naszkicowany dla (,5;,5) Przybliżone miejsce zerowe funkcji + w przedziale (,5;,5) można ustalić na podstawie wykresu Widzimy, że miejsce zerowe znajduje się w otoczeniu punktu, co wynika z faktu, że funkcja zmienia znak z plus na minus Określenie: Jeżeli liczby,,, są miejscami zerowymi funkcji wielomianowej ( )( )(, to funkcję tę można zapisać w postaci iloczynowej ) Wyznaczmy ogólną postać funkcji wielomianowej o miejscach zerowych równych odpowiednio,, i, jeżeli wiadomo, że wykres tej funkcji przecina oś -ek w punkcie Zgodnie z podanym wyżej określeniem mamy: ( )( )( )( ) ( ( ( ( 7 + )( ) + + ) )( + ) + ) Pozostaje jeszcze ustalenie wartości parametru ; z warunków zadania wiemy, że funkcja przecina oś y-ek w punkcie Mamy stąd następującą zależność: ( ) Ostatecznie funkcja ma postać:

15 5 Zbadajmy znak funkcji ( + )( )( ) Znak rozpatrywanej funkcji wielomianowej stopnia 6-tego jest iloczynem znaków wielomianów stojących po prawej stronie znaku równości Zauważmy jednak, że wyrażenie + jest zawsze dodatnie, a wyrażenie jest zawsze ujemne (parabola o gałęziach skierowanych w dół i położona poniżej osi x-ów ponieważ ) Tym samym iloczyn wielomianów ( + )( ) jest ujemny dla każdej wartości Iloczyn pozostałych wielomianów ( ) jest gotową postacią iloczynową trójmianu kwadratowego, jego wykresem jest parabola o miejscach zerowych w punktach i, a jej gałęzie skierowane są do góry (co wynika z faktu, że współczynnik przy jest równy ) Z przedstawionego wykresu wynika, że trójmian ( ) przyjmuje wartości dodatnie dla < lub >, a wartości ujemne dla < < Dla ustalenia znaku wielomianu ( + )( )( ) musimy jednak pamiętać, że iloczyn wielomianów ( + )( ) jest zawsze ujemny, tym samym znak wyjściowego wielomianu będzie odwrotny niż znak ( ) Ostatecznie mamy: ( ( + )( + )( )( )( Funkcje wymierne Funkcję + + ) > ) < (; ) + {( ; ) (; + ) } +, gdzie w liczniku i mianowniku mamy dwa wielomiany dowolnych stopni i, przy czym wielomian w mianowniku nie jest wielomianem zerowym nazywamy funkcją wymierną Dziedziną funkcji wymiernej jest zbiór liczb rzeczywistych z wyłączeniem tych punktów, które są miejscami zerowymi wielomianu w mianowniku: (gdzie oznacza zbiór miejsc zerowych wielomianu )

16 6 Przykłady funkcji wymiernych ; ; ; +, dziedziną są {( ) ( ) ( )} 7, dziedziną są { ( ; ) ( ; + ) } + Proszę zauważyć, że każda funkcja wielomianowa jest funkcją wymierną, mamy bowiem: Funkcja homograficzna + Funkcję wymierną, gdzie + oraz + są wielomianami pierwszego + stopnia oraz nazywamy funkcją homograficzną Wykresem funkcji homograficznej jest linia prosta, jeżeli lub hiperbola, jeżeli Dziedziną funkcji homograficznej jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych w przypadku, gdy i lub zbiór liczb rzeczywistych z wyłączeniem punktu, dla którego + : { } Poniższe funkcje są funkcjami homograficznymi 5 + { } + 5 { 5 } 7 { } wykres: hiperbola wykres: hiperbola wykres: prosta wykres: hiperbola Przykład funkcji, która nie jest funkcją homograficzną 6 ponieważ Funkcja homograficzna opisuje tzw zależność odwrotnie proporcjonalną ze współczynnikiem proporcjonalności (w miarę jak rosną wartości, to wartości maleją) Podobnie funkcja liniowa opisuje tzw zależność wprost proporcjonalną ze współczynnikiem proporcjonalności (w miarę jak rosną wartości, to wartości także rosną)

17 7 6 Funkcja potęgowa Funkcję, gdzie nazywamy funkcją potęgową o wykładniku Kilka przykładów funkcji potęgowych: Dziedzina funkcji potęgowej uzależniona jest od wykładnika potęgi Jeżeli jest liczbą całkowitą, to dziedziną są: np { } < np Jeżeli wykładnik potęgi nie jest liczbą całkowitą, to dziedziną są: { } np + < np + Funkcja potęgowa w przedziale < ; + ) jest odpowiednio: rosnąca dla > malejąca dla < Dla funkcja jest stała w całym zbiorze liczb rzeczywistych (przyjmujemy, że ) Poniżej pokazano fragmenty wykresów dwóch funkcji potęgowych: i,,5,,5,

18 8 7 Funkcja wykładnicza Funkcję, gdzie > funkcji wykładniczej ( ) ( ) nazywamy funkcją wykładniczą Kilka przykładów 5 Dziedziną funkcji wykładniczej jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych:, a jej zbiorem wartości (przeciwdziedziną) jest zbiór liczb rzeczywistych dodatnich: + Funkcja wykładnicza jest: rosnąca dla >, malejąca dla < <, stała dla Poniżej pokazano schematyczne wykresy rosnącej i malejącej funkcji wykładniczej ( ) Na specjalną uwagę zasługuje funkcja wykładnicza o potędze naturalnej postaci + i jest, gdzie podstawą potęgi jest tzw liczba Liczba ta jest granicą ciągu ( ) w przybliżeniu równa,7 Wynika z tego, że funkcja jest funkcją rosnącą (co wynika z faktu, że > ) W miejsce zapisu stosuje się często zapis exp( ) Funkcja wykładnicza ma dwie ważne własności: Przyjmuje tylko wartości dodatnie: > dla każdego, Wartość funkcji wykładniczej w punkcie + równa jest iloczynowi wartości tej funkcji w tych punktach: +

19 9 Sporządźmy wykres funkcji wykładniczej postaci + Potrzebny wykres otrzymamy z wykresu funkcji poprzez kolejne dwie operacje: wykreślimy wykres funkcji poprzez symetryczne odbicie wykresu względem osi x-ów; wykres funkcji przesuniemy do góry o wartość jeden wzdłuż osi y-ek + Dla jakich wartości spełnione jest równanie Technika rozwiązywania równań wykładniczych polega generalnie na tym, aby doprowadzić niewiadome do jednakowych podstaw W naszym przypadku widzimy, że z wyrażeniem 7 praktycznie nic nie możemy zrobić, ale wyrażenie 9 może być zapisane jako potęga siedmiu właśnie Mamy kolejno: ( 7 ) (7 ) Podstawimy nową zmienną w miejsce 7 Mamy dalej: 6 + 5, gdzie 7 Otrzymaliśmy standardowe równanie kwadratowe z uwagi na zmienną wyróżnik trójmianu: ( 6) Obliczamy Delta jest większa od zera, a więc równanie ma dwa różne pierwiastki: ( 6) + ( 6) + 5

20 Wracamy do naszego podstawienia i mamy kolejno: Mamy jednakowe podstawy potęgi, możemy więc porównać wykładniki potęg: 7 7 Dla 5 mamy: Rozwiązanie ostatniej równości wymaga użycia logarytmów Logarytmując obustronnie przy podstawie 7 mamy: log7 (7 ) log7 5 log7 7 log7 5 log7 5 (skorzystaliśmy z log ) Dla mamy: Dla log 7 5 mamy: log 5 log 5 7 log 7 5 log 5 ( 7 ) Skorzystaliśmy tu z własności logarytmów: Wyznaczmy miejsca zerowe funkcji 7 Wyznaczenie miejsc zerowych tej funkcji wymaga rozwiązania równania + wykładniczego postaci 7 Rozwiązanie tego równania zaczniemy od elementarnych przekształceń Kolejno mamy: ( ) log Ostatnią postać równania możemy pomnożyć obustronnie przez 9 i podzielić przez (na mocy własności funkcji potęgowej jest to liczba różna od zera) Otrzymamy: : ( 7) Mamy te same podstawy potęgi, możemy więc porównać wykładniki potęg Stąd:! " # $ "

21 8 Funkcja logarytmiczna Jak wiemy z poprzedniego podrozdziału funkcja wykładnicza jest funkcją różnowartościową dla, tym samym istnieje funkcja odwrotna do niej Określenie Logarytmem z danej, dodatniej liczby przy dodatniej i różnej od jedności podstawie logarytmu nazywamy taką liczbę, która jest wykładnikiem potęgi, do jakiej należy podnieść, aby otrzymać liczbę logarytmowaną log, gdzie Kilka przykładów log 8, ponieważ 8 ; log, ponieważ ; log 9, ponieważ 9 Określenie: Funkcję log nazywamy funkcją logarytmiczną, jej dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych dodatnich ( + ), a przeciwdziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych ( ) Funkcja logarytmiczna funkcją rosnącą dla > log ma jedno miejsce zerowe w punkcie, jest, a funkcją malejącą dla < < Poniżej pokazano schematyczne wykresy dwóch funkcji logarytmicznych, funkcja log jest funkcją rosnącą (ponieważ podstawa logarytmu jest większa od ), a funkcja jest malejąca (ponieważ podstawa logarytmu jest z przedziału ; ) log,5 5 log log,5

22 Z funkcją logarytmiczną związanych jest kilka ważnych własności Określenie: Jeżeli > i >, to: log ( ) log + log (twierdzenie o logarytmie iloczynu), log log log (twierdzenie o logarytmie ilorazu), log log log log ( ) (twierdzenie o logarytmie potęgi) log ( log log ) ( > ) Proszę obliczyć wartość wyrażenia log log6 Korzystając z podanych wyżej wzorów mamy: log log6 log log6 log log log log log Dla jakich wartości określona jest funkcja log 5 ( ), + Aby podana funkcja miała sens liczbowy, to wyrażenie podpierwiastkowe musi być nieujemne Z kolei wiemy, że funkcja logarytmiczna istnieje tylko z liczb dodatnich Stąd musi być spełniony układ nierówności: log, 5 ( + ) + > Kolejno rozwiązujemy obie nierówności: log,5( + ) log,5 ( + ) log, > > Obie nierówności są więc spełnione dla ( ; >, tym samym dziedziną naszej funkcji są wszystkie liczby z tego przedziału Proszę zwrócić uwagę, że przy rozwiązywaniu pierwszej nierówności w momencie, gdy sprowadziliśmy obie strony do logarytmów przy tej samej podstawie: log,5 ( + ) log, 5 to mogliśmy porównać liczby logarytmowane (czyli + z lewej strony znaku większości i z prawej strony) Opuszczając znak logarytmu musimy pamiętać o zmianie kierunku nierówności, co wynika z faktu, że nasza funkcja logarytmiczna przy podstawie,5 jest funkcją malejącą Stąd log,5 ( + ) log, 5 +

23 Wyznaczmy dziedzinę funkcji log [ log ( 5 6) ],5 + Jak wiemy logarytmy istnieją tylko z liczb dodatnich, tym samym w celu wyznaczenia dziedziny naszej funkcji musimy rozwiązać układ dwóch nierówności: log,5( 5 + 6) > 5 + 6> Rozwiązujemy kolejno obie nierówności, dla pierwszej z nich mamy: log > log log,5,5,5 ( ( 5 5,5> log,5 + 6) > + 6) ( 5 + 6),5< 5 + 6>, ,5> 5 + 5,5> Ostatnia nierówność jest nierównością kwadratową, sprowadzamy więc lewą stronę do postaci iloczynowej 5 5 5,5 5 ( 5) ,5 + > Rozwiązujemy drugą nierówność: > ( 5) + 5 < 5+ 5 > > ( 5) 5 ( 5) > ( )( ) > ( ; ) (; + ) { } Wyznaczamy wspólne rozwiązanie obu nierówności (najlepiej na osi liczbowej) 5,6 5+,7 Jak widzimy z przedstawionego wyżej rysunku obie nierówności spełnione są dla 5 z przedziału ( ; ) 5+ lub dla -ów z przedziału ( ; + ) 5 5+ badanej funkcji jest suma przedziałów: { ( ) ( ; + ) } ; -ów Tym samym dziedziną

24 Na specjalną uwagę zasługują dwie funkcje logarytmiczne, mianowicie logarytm dziesiętny oraz logarytm naturalny Określenie: Logarytm przy podstawie nazywamy logarytmem dziesiętnym Przy zapisywaniu logarytmu dziesiętnego w miejsce log stosujemy zapis log lub lg (opuszczamy podstawę logarytmu) Przykładowo: log lg lg, lg log Określenie: Logarytm przy podstawie nazywamy logarytmem naturalnym Przy zapisywaniu logarytmu naturalnego w miejsce log stosujemy zapis ln Proszę pamiętać, że funkcje lg oraz ln są funkcjami rosnącymi, co wynika z faktu, że podstawy logarytmów są większe od jedności Powiedzmy, że chcemy rozwiązać następujące równanie: lg( ) lg( ) lg( ) Technika rozwiązywania równań logarytmicznych jest podobna do techniki rozwiązywania równań wykładniczych i sprowadza się do dwóch kierunków działań: Doprowadzenia do równości dwóch logarytmów przy tych samych podstawach logarytmu, co pozwala na porównaniu liczb logarytmowanych; Wprowadzeniu pomocniczej niewiadomej, rozwiązania tak otrzymanego równania, a następnie z podstawienia wyznaczenie rozwiązania dla właściwej niewiadomej W naszym przykładzie skorzystamy z pierwszego kierunku Kolejno mamy (drukiem komentarze): lg( ) lg( ) lg lg( ) ( lg ) lg lg ( ) ( ( )( ) ( ) ( ( )( ) ) 6+ ( ) ( ) ( ) Rozwiązując powyższe równanie otrzymujemy: ( 5) 9 6 ( 5) + 9 )

25 5 Powinniśmy jeszcze sprawdzić rozwiązania Dla lg( ) lg( ) lg( ) lg( ) lg( ) lg( ) lg lg lg Jak widzimy jest pierwiastkiem naszego równania Dla mamy zaś: lg( ) lg( ) lg( lg lg( 8) lg( 9)!!!!! Widzimy więc, że ) mamy: jest wprawdzie pierwiastkiem równania , ale NIE JEST pierwiastkiem równania lg( ) lg( ) lg( ) Ostatecznie równanie lg( ) lg( ) lg( ) ma jeden pierwiastek Dla jakich x-ów funkcja lg ( ) lg( ) przyjmuje wartości dodatnie? Aby odpowiedzieć na postawione pytanie musimy rozwiązać nierówność lg ( ) lg( ) > Po wprowadzeniu pomocniczej niewiadomej lg( ) otrzymujemy nierówność kwadratową postaci >, którą rozwiązujemy w sposób tradycyjny: > ( ) > < > Wracamy do podstawienia: lg( ) < lg( ) > lg( ) < lg lg( ) > lg ( lg i lg ) < > ( ) < > ( ) Proszę zauważyć, że dziedziną naszej wyjściowej funkcji lg ( ) lg( ) jest zbiór liczb rzeczywistych większych od (co wynika z warunku > ), stąd ostatecznym rozwiązaniem nierówności lg ( ) lg( ) > jest suma przedziałów: {( ;) (; + ) }

26 6 Funkcje trygonometryczne Rozpatrzmy trójkąt prostokątny o bokach odpowiednio, i oraz kącie ostrym α α Określenie: Sinusem kąta ostrego α nazywamy stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw tego kąta do przeciwprostokątnej: sin α Cosinusem kąta ostrego α nazywamy stosunek przyprostokątnej leżącej przy tym kącie do przeciwprostokątnej: cos α Tangensem kąta ostrego α nazywamy stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw tego kąta do przyprostokątnej leżącej przy tym kącie: α Cotangensem kąta ostrego α nazywamy stosunek przyprostokątnej leżącej przy tym kącie do przyprostokątnej leżącej naprzeciw tego kąta: α Z podanych wyżej określeń wynikają następujące związki: sinα α sinα (cosα ) cosα cosα α cosα (sinα) sinα α α α α

27 7 Jak wiemy w trójkącie prostokątnym spełniona jest równość (tw Pitagorasa): + Po podzieleniu obu stron przez sinusa i cosinusa kąta ostrego: otrzymujemy +, a dalej z definicji sin α + cos α (jest to tzw jedynka trygonometryczna) Z ostatniej równości mamy związki: sin α cos α oraz cos α sin α Wartości funkcji sin α, cos α, α i α dla wybranych wartości kąta α Funkcja α sin α cos α α α α 5 α 6 Funkcje trygonometryczne kąta skierowanego Rozpatrzmy układ współrzędnych i kąt skierowany α, którego jedno ramię jest stałe (jest nim dodatnia oś x-ów), a drugie ramię może się zmieniać Ustalmy, że na ruchomym ramieniu w odległości od środka układu zaznaczono punkt Punkt ten rzutujemy na oś x-ów (odcięta punktu) i oś y-ków (rzędna punktu) ( ; ) α

28 8 Powiedzmy dalej, że kąt α będziemy powiększać w kierunku wskazanym strzałką Zbudujemy teraz tabelkę zmian wartości tego kąta oraz odpowiadającym im współrzędnym -owym (odcięta) i -kowym (rzędna) punktu, który będzie się poruszał po okręgu o promieniu α (odcięta) - (rzędna) - Poniżej pokazane są zmiany kąta α i wartości obu współrzędnych w poszczególnych ćwiartkach układu współrzędnych I II III IV Proszę zwrócić uwagę na znak odciętej i rzędnej punktu w poszczególnych ćwiartkach układu współrzędnych Łatwo zauważyć, że odcięta jest dodatnia w ćwiartkach I i IV, a ujemna w II i III Z kolei rzędna jest dodatnia w ćwiartce I i II, a ujemna w III i IV

29 9 Określenie: Funkcją sinus dowolnego kąta skierowanego będziemy nazywać rzędną punktu poruszającego się po okręgu o promieniu jednostkowym: sin Dziedziną funkcji sinus są wszystkie liczby rzeczywiste (dowolny kąt), a zbiór wartości ograniczony jest do przedziału domkniętego < ; > Określenie: Funkcją cosinus dowolnego kąta skierowanego będziemy nazywać odciętą punktu poruszającego się po okręgu o promieniu jednostkowym: cos Dziedziną funkcji cosinus są wszystkie liczby rzeczywiste (dowolny kąt), a zbiór wartości ograniczony jest do przedziału domkniętego < ; > Określenie: Funkcją tanges dowolnego kąta skierowanego będziemy nazywać stosunek rzędnej punktu poruszającego się po okręgu o promieniu jednostkowym do jego odciętej, czyli stosunek sinusa do cosinusa tego kąta: sin cos Dziedziną funkcji tangens są wszystkie liczby rzeczywiste (dowolny kąt) z wyłączeniem tych punktów, dla których odcięta (cosinus) staje się zerem Zbiór wartości funkcji tangens jest zbiorem liczb rzeczywistych Określenie: Funkcją cotanges dowolnego kąta skierowanego będziemy nazywać stosunek odciętej punktu poruszającego się po okręgu o promieniu jednostkowym do jego rzędnej, czyli stosunek cosinusa do sinusa tego kąta: cos sin Dziedziną funkcji cotangens są wszystkie liczby rzeczywiste (dowolny kąt) z wyłączeniem tych punktów, dla których rzędna (sinus) staje się zerem Zbiór wartości funkcji cotangens jest zbiorem liczb rzeczywistych Poniżej podana jest tabelka zmienności tych funkcji w zakresie kątów od do sin cos ni ni ni ni + ni

30 Jak łatwo zauważyć funkcje trygonometryczne co pewien kąt powtarzają swoje wartości, mówimy, że są to funkcje okresowe Określenie: Funkcja ( ) jest funkcją okresową, jeżeli istnieje taka liczba, dla której spełniony jest warunek: ( ) ( + ), gdzie Liczbę spełniającą powyższą równość nazywamy okresem funkcji i sin i cos powtarzają swoje wartości co Funkcje powtarzają swoje wartości co 8 6, a funkcje Z reguły przy omawianiu funkcji trygonometrycznych miarę kąta skierowanego wyraża się w radianach zamiast w stopniach Przeliczenie niektórych stopni na radiany podane jest niżej Stopnie Radiany π π π π π π 5 π Dowolny kąt α wyrażony w stopniach możemy przeliczyć na radiany wg znanej reguły trzech: 6 π a stąd α α π 6 Dla jakiego kąta spełniona jest równość sin, 5? Jak wiemy sin, 5, mamy więc równość sin sin, a stąd + π (po uwzględnieniu okresowości funkcji sinus) Dla jakich kątów funkcja cos przyjmuje wartości ujemne? Rozwiązywanie nierówności cos < zaczniemy od naszkicowania wykresu tej funkcji w zakresie kątów od do π π π π -

31 Jak widzimy z wykresu funkcja cosinus przyjmuje wartości ujemne w zakresie kątów od do π dla ( ) π ; π Po uwzględnieniu okresowości funkcji cosinus nierówność cos < spełniona jest dla ( π ; π) + π Powiedzmy, że interesują nas miejsca zerowe funkcji sin cos W celu wyznaczenia miejsc zerowych tej funkcji przyrównujemy prawą stronę do zera (drukiem komentarze): cos sin cos sin cos sin sin sin sin ( cos sin sin ( ( ), gdzie sin ( ( ) ( ( ) ( ) ( )( ) + ( ) ) ) Z postaci iloczynowej mamy rozwiązania z uwagi na pomocniczą niewiadomą: lub lub Wracamy do podstawienia i wyznaczamy rozwiązania ogólne (z uwzględnieniem okresowości funkcji sinus) z uwagi na niewiadomą : sin + π 8 + π sin sin 5 + π π 5 π π ) )

32 Powiedzmy, że chcemy znaleźć rozwiązania równania trygonometrycznego postaci sin + sin Rozwiązanie (drukiem komentarze): sin cos + sin ( sin sin cos ) sin (cos + ) ( Równanie powyższe jest równoważne alternatywie dwóch równań: sin lub cos + ) Rozwiązując kolejno te równania znajdujemy pierwiastki wyjściowego równania: sin + π 8 + π cos + + cos + π π Poniżej pokazano wykresy funkcji sin oraz cos w przedziale π ; π Wykresy te ilustrują podane wyżej rozwiązania równania sin + sin sin , cos,5 -, ,5 -, 7

33 Funkcje cyklometryczne Jak wiemy funkcja odwrotna do danej funkcji istnieje tylko wtedy, gdy funkcja podstawowa jest rosnąca lub malejąca Funkcje sinus i cosinus są jednocześnie funkcjami zarówno rosnącymi jak i malejącymi Jeżeli jednak ograniczymy się do x-ów z zakresu π ; π w przypadku funkcji sinus oraz zakresu ; π w przypadku funkcji cosinus, to warunek ten będzie spełniony (zobacz wykresy na poprzedniej stronie) Określenie: Funkcja sin rozpatrywana dla ( π; π) jest funkcją rosnącą, istnieje tym samym funkcja arcsin odwrotna do niej Funkcja arcsin oznacza, że sin niżej Wykresy funkcji sin sin dla ( π; π) oraz funkcji ( ; ) π π arcsin pokazane są π π arcsin π y x π

34 Wyznaczmy wartość funkcji arcsin Z definicji funkcji arcsin mamy, że sin Mamy więc standardowe równanie trygonometryczne z uwagi na zmienną Równanie to w zakresie kątów π ; π ma jedno rozwiązanie: sin sin 6 arcsin π 6 Określenie: Funkcja cos tym samym funkcja oznacza, że cos rozpatrywana dla ( ;π) π Ostatecznie więc jest funkcją rosnącą, istnieje arccos odwrotna do niej Funkcja arccos y π arccos x Obliczmy wartość arccos Zgodnie z definicją funkcji arcus cosinus mamy: cos cos Ostatecznie arccos Określenie: Funkcja rozpatrywana dla ( π; π) jest funkcją różnowartościową (rosnąca jest zawsze), istnieje tym samym funkcja odwrotna do niej Funkcja oznacza, że Obliczmy wartość Zgodnie z definicją mamy: 5 5 π Ostatecznie π

35 5 Wykres funkcji przedstawiony jest poniżej y π π x rozpatrywana dla ( ;π) Określenie: Funkcja jest funkcją różnowartościową (malejącą jest zawsze), istnieje tym samym funkcja odwrotna do niej Funkcja oznacza, że Wykres funkcji przedstawiony jest poniżej y π x Obliczmy wartość Zgodnie z definicją mamy: 6 π Ostatecznie 6 π

36 6 Ciągi Określenie: Ciąg nieskończony (krótko: ciąg), jest to funkcja odwzorowująca zbiór liczb naturalnych w pewien niepusty zbiór Wartość funkcji ( ) dla argumentu nazywamy -tym wyrazem ciągu i oznaczamy przez, a sam ciąg oznaczamy przez ( ) lub,,, ) ( Przykłady ciągów Ciąg ( ) odwzorowuje zbiór liczb naturalnych na zbiór liczb naturalnych Ciąg ( ) dodatnich + odwzorowuje zbiór liczb naturalnych na zbiór liczb rzeczywistych Określenie: Ciąg skończony -wyrazowy jest funkcją odwzorowująca zbiór (,,, ) w pewien niepusty zbiór W pojęciu ciągu istotne są nie tylko jego wyrazy, ale także ich kolejność Każdy ciąg skończony ma wyraz pierwszy i wyraz ostatni Każdy ciąg nieskończony ma tylko wyraz pierwszy (nie ma wyrazu ostatniego) Ciąg, którego wyrazy są liczbami nazywamy ciągiem liczbowym Przykładowo ciąg podający numery dni tygodnia jest ciągiem liczbowym skończonym Z kolei ciąg, którego wyrazami są nazwy dni tygodnia jest ciągiem skończonym, ale nie jest ciągiem liczbowym Ciąg liczbowy może być określony wzorem wyrażającym zależność jego wyrazów od określa ciąg liczbowy nieskończony o wyrazach: argumentu Przykładowo wzór ( ) ( ; ; ; ) ; + + Ciąg liczbowy możne być także określony poprzez wzór wyrażający wyraz -ty w zależności od jednego lub więcej wyrazów o numerach mniejszych od Mówimy wtedy, że ciąg jest określony wzorem rekurencyjnym Przykładowo wzór ) dla i oraz 5 określa rekurencyjnie ciąg o wyrazach: ( ; 5; ; ;,5; ) Zgodnie z wzorem rekurencyjnym mamy bowiem: + 5+ ( ) ( ) ( + ) (5+ ) ( + ) (+ ), 5 5 Określenie: Ciąg ( ) itd ( + nazywamy ciągiem rosnącym, jeżeli każdy następny wyraz jest większy od poprzedniego: jest rosnący + > ( )

37 7 Wykażemy, że ciąg ( ) + jest ciągiem rosnącym Aby ten ciąg był ciągiem rosnącym, to nierówność + > musi być prawdziwa dla każdego Mamy więc (drukiem komentarze):: + + > ( +, a ) > ( ) + + ( + ) ( + ) > ( + )( + ) ( + + > ( ) ( + )( + ) > ( ) ( + )( + ) Ostatnia nierówność jest większa od zera wtedy i tylko wtedy, gdy ( + )( + ) >, a ta nierówność jest prawdziwa dla każdego Tym samym wykazaliśmy, że jest to ciąg rosnący Określenie: Ciąg ( ) nazywamy ciągiem malejącym, jeżeli każdy następny wyraz jest mniejszy od poprzedniego: jest malejący < ( ) + Wykażemy, że ciąg () jest ciągiem malejącym Aby ten ciąg był ciągiem malejącym, to nierówność + < musi być prawdziwa dla każdego Mamy więc (drukiem komentarze): < ( + + +, a ) ( + ) < ( ) ( + ) < ( ) ( + ) < ( ) ( + ) Ostatnia nierówność jest spełniona dla każdego, tym samym wykazaliśmy, że rozpatrywany ciąg jest ciągiem malejącym )

38 8 Ciąg arytmetyczny Określenie: Ciąg liczbowy ( ) nazywamy ciągiem arytmetycznym, jeżeli istnieje taka liczba, że dla każdego (gdy ciąg jest nieskończony) lub dla każdego (gdy ciąg jest skończony) spełniony jest warunek: + Liczbę nazywamy różnicą ciągu arytmetycznego Ciąg arytmetyczny jest rosnący dla >, a malejący dla < Kilka przykładów ciągów arytmetycznych ( ; ; 5; ), ( ; 9;; ) ( ; ; 6; ), 5, Kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego mogą być wyznaczone z wzoru na -ty wyraz ciągu: + ( ) Wiemy, że pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 5, a różnica ciągu jest równa Wyznaczmy na tej podstawie i 5 wyraz tego ciągu Korzystając z wzoru na -ty wyraz ciągu arytmetycznego mamy kolejno: + ( ) (5 ) Każdy wyraz ciągu arytmetycznego z wyjątkiem pierwszego (i ostatniego, jeżeli jest to ciąg skończony) jest średnią arytmetyczną wyrazów poprzedniego i następnego: + + Suma początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego dana jest wzorem: + lub po uwzględnieniu wzoru na -ty wyraz ciągu: + + ( ) + ( ) Powiedzmy, że chcemy wyznaczyć sumę wszystkich liczb naturalnych od do Zgodnie z podanym wyżej wzorem mamy: + 5,5 55

39 9 Obliczmy sumę wszystkich liczb całkowitych parzystych z przedziału < ; > Liczby całkowite parzyste z tego przedziału tworzą ciąg arytmetyczny z elementami:, i 5 Z wzoru na sumę -pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego mamy: + (5 ) Między liczby 8 i 5 chcemy wstawić takie dwie liczby i, aby ciąg (8; ; ; 5) był ciągiem arytmetycznym Jeżeli ciąg (8; ; ; 5) ma być ciągiem arytmetycznym, to muszą być spełnione dwa warunki: 8 5 Rozwiązując powyższy układ równań liniowych mamy kolejno (drukiem komentarze) : 8 ) ( ) + ( ) ( ) ( 8 ) 8+ 6 ( ) Ostatecznie otrzymujemy następujący ciąg arytmetyczny: ( 8; 6; ; 5) Obliczmy długości boków trójkątna prostokątnego, jeżeli wiadomo, że przeciwprostokątna jest równa cm, a jego boki tworzą ciąg arytmetyczny Oznaczmy najkrótszą przyprostokątną przez, wtedy druga przyprostokątna jest równa +, a przeciwprostokątna odpowiednio + (z zadania wiemy, że boki tego trójkąta tworzą ciąg arytmetyczny) Z warunków zadania mamy zaś równość + Z kolei z twierdzenia Pitagorasa mamy zależność między sumą kwadratów przyprostokątnych a kwadratem przeciwprostokątnej: + ( + ) ( + )

40 Ostatecznie mamy do rozwiązania układ dwóch równań: + + ( + ) ( + ) Rozwiązując powyższy układ równań mamy kolejno (drukiem komentarze): ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 5) Ostatnie równanie jest już klasycznym równaniem kwadratowym z uwagi na niewiadomą : ( 6) 6 ( 6) Znajdujemy rozwiązania dla z zależności : Ostatecznie, po uwzględnieniu warunków zadania mamy jedno rozwiązanie: jest to trójkąt o bokach odpowiednio równych 8, i cm Druga para rozwiązań ( ; ) nie spełnia, jak powiedziałem, warunków zadania Ciąg geometryczny Określenie: Ciąg liczbowy ( ) nazywamy ciągiem geometrycznym, jeżeli istnieje taka liczba, że dla każdego (gdy ciąg jest nieskończony) lub dla każdego Liczbę (gdy ciąg jest skończony) spełniony jest warunek: + nazywamy ilorazem ciągu geometrycznego

41 Kilka przykładów ciągów geometrycznych: ( ; ; ; 8; ) ( ;;;; ) ( ; ; 8;6; ) Z definicji ciągu geometrycznego wynika, że żaden jego wyraz nie może być równy zero Kolejne wyrazy ciągu geometrycznego mogą być wyznaczane z wzoru na -ty wyraz ciągu: Wiadomo, że pierwszy wyraz ciągu geometrycznego równy jest dwa, a iloraz trzy Obliczmy piąty i ósmy wyraz tego ciągu Z warunków zadania mamy, że i Korzystając z wzoru na -ty wyraz ciągu geometrycznego mamy: Wiemy, że trzeci i piąty wyraz ciągu geometrycznego są odpowiednio równe 9 i 8 8 Wyznaczmy wyraz pierwszy i iloraz tego ciągu Z warunków zadania mamy układ równań: Po podzieleniu drugiego z tych równań przez pierwsze eliminujemy wyraz pierwszy: Mamy już równanie kwadratowe z uwagi na, a jego rozwiązaniami jest odpowiednio: lub Znając iloraz ciągu obliczamy wyraz pierwszy: dla mamy ( ) dla mamy ( ) Ostatecznie otrzymujemy dwa ciągi geometryczne spełniające warunki zadania, a zdefiniowane odpowiednio przez: 5 lub 5,,

42 Sumę -pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego możemy wyznaczyć z wzoru:, gdy lub z wzoru:, gdy Powiedzmy, że interesuje nas suma pierwszych dziesięciu wyrazów ciągu geometrycznego, którego pierwszy wyraz jest równy, a iloraz także jest równy Z warunków zadania mamy, i Ponieważ iloraz naszego ciągu jest różny od jeden, to sumę pierwszych dziesięciu wyrazów znajdujemy z wzoru: 6 Każdy wyraz ciągu geometrycznego z wyłączeniem pierwszego (i ostatniego, gdy ciąg jest skończony) spełnia warunek: + Jeżeli wszystkie wyrazy ciągu geometrycznego są dodatnie, to z ostatniego warunku wynika równość: + Wynika z niej, że każdy wyraz ciągu geometrycznego z wyłączeniem pierwszego (i ostatniego, gdy ciąg jest skończony) o dodatnich wyrazach jest średnią geometryczną wyrazu poprzedniego i następnego Wiemy, że suma trzech liczb tworzących ciąg arytmetyczny jest równa Jeżeli liczby te powiększymy odpowiednio o, i 9, to utworzą ciąg geometryczny Jakie są to liczby? Oznaczmy liczby tworzące ciąg arytmetyczny przez, + i + zadania mamy dwie równości: ( + + ) ( + ) ( + + 9) Ostatnie równanie można zapisać w postaci: ( + ) (6+ ) Z pierwszego równania mamy 7, a po podstawieniu do równania drugiego otrzymujemy równanie kwadratowe z uwagi na niewiadomą : (7 + )(6+ ) (9 )(6+ ) Po uporządkowaniu mamy następujące równanie do rozwiązania: 7 + lub + 7

43 Rozwiązując ostatnie z nich mamy: 7 ( ) Z pierwszego równania wyznaczamy wyraz pierwszy ciągu arytmetycznego dla obu wartości parametru : 7 7 ( ) 7+ 8 dla, dla Ostatecznie szukany ciąg arytmetyczny tworzą liczby ( 8; 7; ) lub ( ; 7; ) Szereg geometryczny Powiedzmy, że mamy odcinek AB o długości jednostkowej Z odcinka tego w kolejnych krokach odcinamy odcinek o długości, następnie połowę z pozostałego odcinka (czyli z pozostałej z pierwszego odcięcia całości) itd Odcinane w ten sposób odcinki tworzą ciąg geometryczny nieskończony o wyrazach: ; ; ( ) ; 8 Poniżej pokazany jest schemat takiego podziału odcinka o ustalonej długości Dodając kolejne wyrazy tego ciągu, czyli obliczając sumy: ( ) ( ) 7 8 możemy zauważyć, że kolejne sumy coraz mniej różnią się od długości całego odcinka (założyliśmy, że jest to odcinek jednostkowy) Sumy,,, tworzą ciąg sum częściowych ciągu geometrycznego nieskończonego Ciąg ten nazywamy także szeregiem geometrycznym, a jego symbolem jest:

44 Szereg geometryczny może być zbieżny, mówimy wtedy, że istnieje suma szeregu geometrycznego Szereg geometryczny jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy jego iloraz jest co do wartości bezwzględnej mniejszy od, a suma szeregu dana jest wzorem: dla < W rozpatrywanym przykładzie podziału odcinka warunek zbieżności jest spełniony, stąd suma szeregu jest równa: Na zakończenie tego zeszytu jeszcze jeden przykład wykorzystania szeregu geometrycznego Powiedzmy, że chcemy zamienić liczbę,(7) na ułamek zwykły Liczbę tę można zapisać w postaci: +,7+,7+,7+, a więc poza liczbą mamy ciąg geometryczny nieskończony o, 7 i, Warunek zbieżności jest spełniony, mamy więc:,7, ,(7) + + +,, Literatura E Bańkowska i in Wydawnictwo Podkowa, Gdańsk 99 B Gdowski, E Pluciński Zbiór zadań z matematyki dla kandydatów na wyższe uczelnie Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, Warszawa 98 J Kłopotowski i in (pod red I Nykowskiego) Oficyna Wydawnicza SGH, Warszawa 995 J Laszuk Oficyna Wydawnicza SGH, Warszawa J Laszuk Oficyna Wydawnicza SGH, Warszawa R Leitner, W Żakowski Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, Warszawa 98 7 R Leitner, W Żakowski Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, Warszawa 98 8 A Zieliński Fundacja Rozwój SGGW, Warszawa 997

45 5