Logiki wielowartościowe

Transkrypt

1 Logiki wielowartościowe Bartosz Piotrowski IV 05

2 Logika wielowartościowa logika nieklasyczna więcej niż dwie wartości logiczne podobna do klasycznego rachunku zdań

3 Rys historyczny już Arystoteles nie akceptował w pełni zasady dwuwartościowości (De Interpretatione, rozdz. IX), jednak nie stworzył systemu logicznego, który ucieleśniłby tę ideę na początku XX w. polski logik i filozof, Jan Łukasiewicz, z filozoficznych pobudek, jako pierwszy sformalizował system logiki trójwartościowej niezależnie, mniej więcej w podobnym czasie, Emil Post stworzył swój system logiki trójwartościowej odtąd logika wielowartościowa stała się niezależną dyscypliną tą dziedziną logiki zajmowali się Tarski, Godel, Kleene, Bochvar i wielu innych

4 Rys historyczny z czasem okazało się, że logiki wielowartościowe mają różne niedostatki; początkowy entuzjazm i zainteresowanie tym tematem osłabło od lat 80-tych logiki wielowartościowe znów są popularnym tematem ze względu na zastosowania w technologii komputerowej i w innych dziedzinach współcześnie ta dziedzina liczy sobie setki artykułów i kilkanaście monografii co roku IEEE organizuje konferencję poświęconą logice wielowartościowej (ISMVL)

5 Rysunek : Kolumnada filozofów, BUW.

6 Motywacje filozoficzne Łukasiewicz w swojej mowie rektorskiej inaugurującej rok akademicki 9/3 na UW wyraził swoje stanowisko w sprawie determinizmu i jego powiązań z logiką. Determinizm: zdarzenia przyszłe stanowią fragment rzeczywistości Umiarkowany indeterminizm: nie wszystkie zdarzenia przyszłe stanowią fragment rzeczywistości Zasada dwuwartościowości: każde zdanie jest prawdziwe albo fałszywe Zasada przyczynowości: każde zdarzenie zachodzące w chwili t 0 ma przyczynę istniejącą w chwili t < t 0

7 Motywacje filozoficzne Łukasiewicz przedstawił i poddał dyskusji dwa znane argumenty za determinizmem: jeden z zasady przyczynowości, drugi z zasady dwuwartościowości. Indeterministyczny pogląd na świat Łukasiewicza doprowadził go do odrzucenia zasady dwuwartościowości.

8 Motywacje filozoficzne Mogę przyjąć bez sprzeciwu, że moja obecność w Warszawie w pewnej określonej chwili przyszłego roku, np. w południe dnia grudnia, dzisiaj nie jest rozstrzygnięta, ani w sensie pozytywnym, ani wnegatywnym. Jest więc możliwe, ale nie konieczne, że w wymienionej chwili będę obecny w Warszawie. Przy tym założeniu zdanie: Będę w Warszawie w południe dnia grudnia przyszłego roku dzisiaj nie jest ani prawdziwe, ani fałszywe. Gdyby bowiem było dzisiaj prawdziwe, to moja przyszła obecność w Warszawie byłaby konieczna, co sprzeciwia się założeniu; gdyby zaś dzisiaj było fałszywe, to moja przyszła obecność w Warszawie byłaby niemożliwa, co także sprzeciwia się założeniu. Omawiane zdanie nie jest więc dzisiaj ani prawdziwe, ani fałszywe, toteż musi mieć jakąś trzecią wartość, różną od 0, czyli od fałszu i od, czyli od prawdy. Wartość tę możemy oznaczyć jako /; jest to możliwość, która występuje obok fałszu i prawdy jako trzecia wartość. Rozumowaniu temu zawdzięcza swoje powstanie trójwartościowy system rachunku zdań. (Łukasiewicz 930)

9 Tabela prawdziwościowa logiki trójwartościowej Łukasiewicza Łukasiewicz: Poszukiwane równości przyjąłem na podstawie wnikliwych rozważań, które były dla mnie mniej lub bardziej oczywiste. W ten sposób doszedłem w końcu do utworzenia trójwartościowego systemu rachunku zdań, zdefiniowanego za pomocą następującej matrycy: Czym się kierowano wypełniając powyższą tabelę?

10 Tabela prawdziwościowa logiki trójwartościowej Łukasiewicza Trzy wartości logiczne można interpretować następująco: 0 = {F }, = {T, F }, = {T } Naturalna zasada obliczania zbioru wartości dla ϕ φ: weź po jednej wartości ze zbiorów przypisanych ϕ oraz φ i oblicz wartość logiczną wg KRZ. Wyczerp tak wszystkie możliwości. Dla ϕ podobnie. W ten sposób otrzymujemy: {F } {T, F } {T } {F } {T } {T } {T } {T } {T, F } {T, F } {T, F } {T } {T, F } {T } {F } {T, F } {T } {F } Jednak ta tabela różni się od poprzedniej w miejscu {T, F } {T, F }. Dlaczego? Bo Łukasiewicz chciał, aby zgodnie z intuicją ϕ ϕ było tautologią.

11 Tabela prawdziwościowa logiki trójwartościowej Łukasiewicza Pozostałe spójniki logiczne definiujemy następująco: ϕ φ = (ϕ φ) φ ϕ φ = ( ϕ φ) ϕ φ = (ϕ φ) (φ ϕ) Tabele dla tych spójników prezentują się następująco:

12 Problemy interpretacyjne Dodatkowa wartość w logice trójwartościowej Łukasiewicza ma intuicyjnie oznaczać, że dane zdanie jest niezdeterminowane czy też nieokreślone. Jednak pojawia się problem, gdy np. weźmiemy zdania takie jak: ϕ ϕ ϕ ϕ Jeśli ϕ ma wartość logiczną, to według tabeli na poprzednim slajdzie obydwa powyższe zdania mają wartość logiczną, co jest niezgodne z intuicją.

13 Problemy interpretacyjne Ogólnie mówiąc, z logikami wielowartościowymi jest problem taki, że są one stworzone po to, by modelować pojęcia takie jak: niepewność, nieokreśloność, itp. i jednocześnie chcą zachować zasadę prawdziwościowości, czyli zasadę mówiącą, że wartość logiczna formuły zależy tylko od wartości logicznej jej podformuł. Dużo lepiej do modelowania takich pojęć nadaje się rachunek prawdopodobieństwa, w którym zasada prawdziwościowości nie obowiązuje, mianowicie jeśli zdarzenia A i B nie są niezależne, to P(A B) nie zależy w prosty sposób od wartości P(A) i P(B). Natomiast w logice, również wielowartościowej, wartość logiczna formuły ϕ φ w pełni zależy od wartości logicznych formuł ϕ oraz φ.

14 Metoda matrycowa budowania systemu logicznego Matrycą logiczną nazywamy czwórkę uporządkowaną M = [A, D, c, n], gdzie A, D to zbiory, D A, c : A A A, n : A A. Elementy zbioru A nazywamy stopniami prawdziwości, natomiast elementy zbioru D nazywamy wyróżnionymi. Wartościowaniem dla matrycy M = [A, D, c, n] nazywamy funkcję v : FORM A taką, że v(ϕ φ) = c(v(ϕ), v(φ)) oraz v( ϕ) = n(v(ϕ)). Formuła zdaniowa ϕ spełnia matrycę logiczną M jeśli dla każdego wartościowania v dla tej matrycy zachodzi v(ϕ) D. Piszemy wówczas = M. E(M) := {ϕ: = M ϕ}. Piszemy X = M ϕ gdy X FORM, ϕ FORM oraz dla każdego wartościowania v dla matrycy M zachodzi: v(x ) D v(ϕ) D. Cn(X) := {φ: X = M φ}

15 Logiki n-wartościowe i -wartościowe Łukasiewicza Łukasiewicz uogólnił swoją konstrukcję na więcej niż 3 wartości logiczne. n-wartościowy system L n rachunku zdań, (gdzie n N + lub n = ℵ 0, lub n = ℵ ) to zbiór wszystkich zdań spełniających matrycę M = [A, D, c, n], przy czym jeśli n = to A = jeśli < n < to A = 0 k<n { k n } jeśli n = ℵ 0 to A = [0, ] Q jeśli n = ℵ to A = [0, ] D = {} c(x, y) = min (, x + y) n(x) = x

16 Zauważmy, że: L = FORM L = zbiór tautologii klasycznego rachunku zdań Wiele spośród tautologii klasycznego rachunku zdań nie należy do L n dla n >. Przykładami takowych są: ϕ ϕ (ϕ ϕ) (ϕ φ) ϕ φ (ϕ φ) (φ θ) (ϕ θ) Natomiast każda formuła zdaniowa należąca do L n dla n > jest tautologią klasycznego rachunku zdań. Twierdzenie (Lindenbaum) Niech < n, m <. Wówczas n m L m L n

17 Twierdzenie L ℵ0 = n N + L n Twierdzenie Niech M = [A, D, c, n] będzie matrycą taką, że A [0, ], A =, D = {}, c(x, y) = min (, x + y), n(x) = x. Wówczas E(M) = L ℵ0 Wniosek L ℵ0 = L ℵ

18 Twierdzenie Niech n będzie liczbą pierwszą. Wówczas dla każdej formuły zdaniowej ϕ należącej do FORM \ L n zachodzi jedna z poniższych możliwości: Cn(L n {ϕ}) = FORM Cn(L n {ϕ}) = L

19 Aksjomatyzowalność logiki wielowartościowej Tarski i Łukasiewicz udowodnili następujące Twierdzenie Dla każdego n N + oraz n = ℵ 0 logika L n jest skończenie aksjomatyzowalna. Niemniej jednak znalezienie konkretnych aksjomatów dla L n jest przeważnie bardzo trudne. Udało się to zrobić m.in. dla L 3 i L ℵ0

20 Aksjomatyzowalność logiki wielowartościowej Zakładamy regułę podstawiania i modus ponens. Łukasiewicz i Tarski w pracy z 930 pokazali, że aksjomatami L 3 są:. ϕ (φ ϕ). (ϕ φ) ((φ θ) (ϕ θ) 3. ( ϕ φ) (φ ϕ) 4. ((φ φ) φ) φ Natomiast w roku 958 niezależnie od siebie Meredith i Chang udowodnili, że aksjomatami L ℵ0 są:. ϕ (φ ϕ). (ϕ φ) ((φ θ) (ϕ θ) 3. ( ϕ φ) (φ ϕ) 4. ((ϕ φ) φ) ((φ ϕ) ϕ)

21 Aksjomatyzowalność logiki wielowartościowej Widząc dwa poprzednie przykłady powstaje naturalne pytanie, czy dla każdej matrycy logicznej M = [A, D, c, n] relacja = M jest skończenie aksjomatyzowalna? Okazuje się, że nie. Kontrprzykład podał Wroński w 979. Wygląda on następująco: A = {0,, }, D = {}, funkcja c : A A A jest dana następującą macierzą: c 0 0 0

22 Funkcje definiowalne w logikach wielowartościowych Obok aksjomatyzowalności zagadnienie funkcji definiowalnych jest jednym z podstawowych w logikach wielowartościowych. Jak wiadomo, klasyczny rachunek zdań jest funkcyjnie zupełny, tzn. można w nim używając jego spójników logicznych i zdefiniować każdą funkcję boolowską. Powiemy, że matryca logiczna M = [A, D, c, n] jest funkcyjnie zupełna, jeśli każda funkcja f : A k A da się zdefiniować jako formuła ϕ( x), wyrażalna przy użyciu spójników c, n i zmiennych zdaniowych.

23 Funkcje definiowalne w logikach wielowartościowych Łatwo widać, że logiki L n, n > nie są funkcyjnie zupełne. Więc które funkcje są definiowalne w L n? Mowi o tym następujące Twierdzenie m-argumentowa funkcja f : {0, n,..., } {0, n,..., } jest definiowalna w L n wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu a długości m zachodzi NWD(a (n ), a (n ),..., a m (n ), m) (n )f ( a)

24 Funkcje definiowalne w logikach wielowartościowych Powiemy, że logika jest funkcyjnie prezupełna, jeśli wystarczy dodać do niej jedną funkcję, która nie jest w niej definiowalna, aby stał się funkcyjnie zupełna. Twierdzenie Logika L n jest funkcyjnie prezupełna wtedy i tylko wtedy, gdy n jest liczbą pierwszą.

25 Zastosowania Swego czasu logiki wielowartościowe straciły na popularności i stały się rodzajem ciekawostki, m.in. dlatego, że nie spełniły początkowych oczekiwań związanych z zastosowaniami filozoficznymi. Stały się ciekawym obszarem badań dla matematyków i takim by pozostały, nimniej jednak z czasem okazało się, że z powodzeniem można je stosować w różnych dziedzinach takich jak: sprzęt elektroniczny - gdy mamy do dyspozycji więcej niż dwa stany, np. kilka poziomów napięcia elektrycznego paradoks stosu sztuczna inteligencja - niepewność informacji, zbiory rozmyte bazy danych - reprezentowanie braku danych optymalizacja problemów binarnych lingwistyka - problem presupozycji