Logika niepewnych prawdopodobieństw w rachunku opłacalności inwestycji

Transkrypt

1 Mgr Joanna Szczepańska Instytut Finansów Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa w Nysie Polska Dr hab.inż. prof.nadzw. Zofia Wiliowska Instytut Organizacji i Zarządzania Politechnika Wrocławska Polska Logika niepewnych prawdopodobieństw w rachunku opłacalności inwestycji W artykule przedstawiona została logika niepewnych prawdopodobieństw wg A. Jøsang a. Subjective logic opiera się na subiektywnych przekonaniach o świecie. Dlatego też dla podkreślenia subiektywnego charakteru wypowiedzi używa się terinu opinia. Logika subiektywna oże być postrzegana jako rozszerzenie zarówno rachunku prawdopodobieństwa jak i logiki binarnej. W artykule autorzy zwracają uwagę na ożliwość zastosowania tej teorii w rachunku opłacalności inwestycji w szczególności jako rozszerzenie analizy wartości zaktualizowanej netto NPV. inwestycje niepewność prawdopodobieństwo logika subiektywna przekonanie nieprzekonanie Inwestycje są nieodłączny eleente działalności firy. Bycie konkurencyjny na rynku oznacza dokonywanie ciągłych nakładów które w przyszłości bliższej lub dalszej przyczynią się do uzyskania lepszych wyników działalności przedsiębiorstwa poprzez zwiększenie wydajności produkcji czy też poprawę jakości produkowanych wyrobów i świadczonych usług. W związku z ty że nakłady ponoszone są w chwili obecnej a wyniki gospodarcze które inwestor planuje osiągnąć dzięki inwestycji spodziewane są dopiero w przyszłości ogroną rolę w procesie inwestycji odgrywa badanie jej opłacalności. Cała trudność polega na ty że już dzisiaj inwestor powinien przewidzieć wszystkie scenariusze rozwoju wydarzeń aby skalkulować czy w efekcie końcowy jego działalność okaże się opłacalna czy nie. Najbardziej znane w literaturze przediotu etody w których wykorzystywane są odele stochastyczne to: analiza scenariuszy drzewa decyzyjne etoda syulacyjna. Analiza scenariuszy polega na opracowaniu trzech scenariuszy: optyistycznego najbardziej prawdopodobnego i pesyistycznego. Każdeu z nich przyporządkowane jest prawdopodobieństwo wystąpienia. Końcowy wynikie jest wyznaczenie wartości oczekiwanej NPV i odchylenia standardowego NPV jako iernika ryzyka. Analiza drzew decyzyjnych stosowana jest zwłaszcza w przypadku projektów złożonych tzn. takich gdzie decyzja podjęta wcześniej a znaczący wpływ na późniejszy przebieg wydarzeń. W swoi założeniu podobna jest do analizy scenariuszy. Określa się tutaj przewidywane do osiągnięcia przepływy pieniężne z projektu w poszczególnych latach. W rezultacie otrzyuje się również wartość oczekiwaną NPV i odchylenie standardowe NPV. Metoda syulacyjna polega na skonstruowaniu odelu odwzorowującego wybrany aspekt systeu rzeczywistego i uaktywnieniu go z poocą technik inforatycznych. W przypadku oceny projektów inwestycyjnych procedura obliczania wartości NPV powtarzana będzie wielokrotnie zgodnie z odele projektu inwestycyjnego dla generowanych losowo wartości ziennych niepewnych wpływających na tę wartość. Końcowy wynikie takiej syulacji będzie szacunkowa NPV i iara ryzyka [3]. Joanna Szczepańska Zofia Wiliowska

2 Metody te opierają się na oszacowaniu przepływów pieniężnych projektu inwestycyjnego a następnie zdyskontowaniu ich odpowiednią stopą dyskontową. Inwestor oczekuje określonych korzyści z zaangażowania kapitału finansowego w projekt inwestycyjny. W przypadku przepływów pieniężnych obarczonych większy ryzykie inwestor dokonuje korekty stopy dyskontowej. Korekta ta usi uwzględniać nie tylko stopę inflacji ale również preię za wielkość ponoszonego ryzyka [5]. W etodach badania opłacalności inwestycji jedny z paraetrów odelu jest prawdopodobieństwo uzyskania określonych przepływów z projektu inwestycyjnego. Pozio prawdopodobieństwa wystąpienia danego zdarzenia oże być estyowany na wiele różnych sposobów. Może być określany przez inwestora który wyraża w ten sposób swoje subiektywne przeczucia co do sytuacji w przyszłości. Wynika stąd że również pozio prawdopodobieństwa zawiera w sobie pewną dozę niepewności którą również należałoby uwzględnić w rachunku opłacalności inwestycji. Poniżej przedstawione zostanie podejście A. Jøsang a odnośnie logiki niepewnych prawdopodobieństw które ożna by zastosować w rachunku opłacalności inwestycji. W standardowej logice przyjuje się wartość: prawda lub fałsz. Jednak tak naprawdę nikt nie jest w stanie określić z całkowitą pewnością że założenia są prawdziwe czy fałszywe. Dodatkowo jeśli szacuje się że założenie jest prawdą to będzie to zawsze subiektywny osąd i nigdy nie będzie reprezentować zdania ogółu. Wskazuje to na pewne braki w sposobie postrzegania świata jaki proponuje standardowa logika. Jest głównie przeznaczona dla świata wyidealizowanego a nie dla świata rzeczywistego - w szczególności działalności gospodarczej do szacowania opłacalności inwestycji. W artykule przedstawione zostanie podejście logiki subiektywnej którą określa się jako logikę opierającą się na subiektywnych przekonaniach zdaniach o świecie. Używać się tu będzie terinu opinia (opinion) aby zaznaczyć subiektywny charakter głoszonej wypowiedzi. Opinia oże być uważana za iarę prawdopodobieństwa zawierającą wtórną niepewność. W literaturze odróżnia się pojęcie ryzyka od pojęcia niepewności. A.H. Willet za ryzyko uważa zjawisko obiektywne skorelowane z subiektywną niepewnością wystąpienia niepożądanego zdarzenia. Natoiast wg F. Knight a ryzyko to niepewność ierzalna a niepewność sensu stricto to niepewność nieierzalna. Wg J. Pfeffer a ryzyko...jest kobinacją hazardu i jest ierzone prawdopodobieństwe; niepewność jest ierzona przez pozio wiary. Ryzyko jest stane świata; niepewność jest stane uysłu [za:3]. W artykule używać się będzie terinu niepewność (uncertainty) na określenie niepewności związanej z określenie prawdopodobieństwa. Poio że w literaturze przyjuje się że niepewność jest nieierzalna tutaj funkcja niepewności będzie przyjowała pewne wartości wynikające z subjective logic której podstawowe definicje zostały przedstawione w dalszej części artykułu. Pierwszy krokie jest zdefiniowanie zbioru ożliwych sytuacji które określa się jako raę ożliwości dobrego osądu (frae of discernent) oznaczaną jako. Zawiera ona zbiór ożliwych stanów danego systeu gdzie tylko jeden jest prawdziwy w dany czasie co oznacza że syste nie oże znajdować się w wielu stanach jednocześnie. Z definicji więc wynika że raa ożliwości dobrego osądu jest zawsze prawdziwa ponieważ z definicji zawiera prawdziwy stan (state). Podstawowe stany zawarte w raie ożliwości dobrego osądu będą nazywane atoowyi stanai (atoic states) ponieważ nie zawierają w sobie podstanów. Jeśli uważa się że jeden ze stanów lub kilka z nich znajdujących się w raie ożliwości dobrego osądu ógłby być prawdziwy ożna przypisać asę przekonania (belief ass) do tych stanów. 65

3 Rysunek 1 Przykład ray ożliwości dobrego osądu [1] Przedstawione zostaną podstawowe definicje konieczne dla zrozuienia toku rozuowania logiki subiektywnej.[1] Definicja 1. Przypisana Masa Przekonania (Belief Mass Assignent). Niech będzie raą ożliwości dobrego osądu. Jeśli z każdy podstane 2 liczba jest powiązana tak że : Ø 0 (1) to jest nazywane przypisaną asą przekonania (Belief Mass Assignent BMA) o raie ożliwości dobrego osądu. Dla każdego podstanu 2 jest zwana asą przekonania o. Definicja 2. Funkcja Przekonania (Belief Function b). Niech będzie raą ożliwości dobrego osądu i niech będzie przypisaną asą przekonania o raie liczba ożliwości dobrego osądu. Wtedy funkcja przekonania korespondując z : 2 01 b y y jest funkcją b y 2. (2) Definicja 3. Funkcja Nieprzekonania (Disbelief Function - d). Niech będzie raą ożliwości dobrego osądu i niech będzie przypisaną asą przekonania o raie ożliwości dobrego osądu. Wtedy funkcja nieprzekonania korespondując z funkcją d : 2 01 d yø y jest y 2. (3) Definicja 4. Funkcja Niepewności (Uncertainty Function u). Niech będzie raą ożliwości dobrego osądu i niech będzie przypisaną asą przekonania o raie ożliwości dobrego osądu. Wtedy funkcja niepewności korespondując z u : 2 01 u y yø y jest funkcją y 2. (4) Całkowita niepewność oże być wyrażona przez przypisanie całej asy przekonania do ray ożliwości dobrego osądu wtedy taką funkcję nazywa się pustą funkcją przekonania. Na podstawie powyższych zdefiniowanych koncepcji ożna stwierdzić że sua as przekonania nieprzekonania i niepewności jest równa 1. b d u 1 2 Ø. (5) Funkcja niepewności reprezentuje niepewność osoby co do prawdziwości danego stanu. Może być interpretowana jako swego rodzaju wypełnienie uzupełnienie luki poiędzy 66

4 stwierdzenie prawdy i fałszu w przypadku braku jednoznacznego przekonania bądź nieprzekonania o prawdziwości danego stanu. Definicja 5. Relatywna Atoowość (Relative Atoicity a ). Niech będzie raą ożliwości dobrego osądu i niech atoowość względe y jest funkcją a: 2 01 y 2. Wtedy dla każdego Ø y relatywna y (6) a / y y 2 y Ø. y Definicja 6. Funkcja Oczekiwanego Prawdopodobieństwa (Function of Probability Epectation). Niech będzie raą ożliwości dobrego osądu z przypisaną asą przekonania wtedy funkcja oczekiwanego prawdopodobieństwa korespondując z jest funkcją E : 2 01 E y a / y y y 2. () Definicja. Zogniskowana raa ożliwości dobrego osądu i relatywna atoowość. (Focused Belief Mass Assignent and Relative Atoicity). Niech będzie raą ożliwości dobrego osądu z przypisaną asą przekonania i niech u będzie b d i odpowiednio funkcją przekonania nieprzekonania i niepewności w 2. Niech ~ będzie zogniskowaną raą ożliwości dobrego osądu skupioną na. Zogniskowana przypisana asa przekonania ~ na ~ jest zdefiniowana następująco: ~ ~ b d ~ ( ) u. ~ Zogniskowana relatywna atoowość jest zdefiniowana przez następujące równanie: a ~ E b / u. (9) Definicja 8. Opinia (Opinion). Niech będzie binarną raą ożliwości dobrego osądu z dwoa stanai atoowyi i. Niech będzie przypisaną asą przekonania o gdzie b d u (8) a reprezentują odpowiednio funkcje przekonania nieprzekonania niepewności i relatywnej atoowości w oznaczona jako jest zdefiniowana jako: b d u a 2. Wtedy opinia o. (10) 5. Logika niepewnych prawdopodobieństw a rachunek opłacalności inwestycji. Logika niepewnych prawdopodobieństw ogłaby być uzupełnienie analizy NPV która polega na suowaniu oszacowanych przepływów pieniężnych projektu inwestycyjnego zdyskontowanych odpowiednią stopą dyskontową. Stopa ta powinna odzwierciedlać nie tylko wartość pieniądza w czasie ale również pozio ryzyka. Jeśli zastosowalibyśy logikę niepewnych prawdopodobieństw w rachunku opłacalności inwestycji to otrzyalibyśy dodatkową zienną obrazującą pozio ryzyka - niepewności projektu inwestycyjnego ponieważ oprócz tego że każdy przepływ zostałby zdyskontowany odpowiednią stopą dyskontową uwzględniającą ryzyko to również każdy przepływ scharakteryzowany zostałby przez prawdopodobieństwo jego wystąpienia i niepewność wystąpienia tego prawdopodobieństwa. 6

5 Prognozowane przepływy projektu inwestycyjnego Przyjęcie odpowiedniej stopy dyskontowej uwzględniającej pozio ryzyka projektu NPV oczekiwane prawdopodobieństwa wystąpienia danych przepływów Niepewność prawdopodobieństwa Rysunek 2 Zienne opisujące NPV projektu w przypadku zastosowania subjective logic Projekt przyjuje się do realizacji gdy wartość NPV jest większa od 0. W przypadku gdy ta dodatnia wartość byłaby stosunkowo niewielka a dodatkowo oczekiwane prawdopodobieństwa przepływów projektu niskie a niepewności prawdopodobieństw wysokie ożna by na tej podstawie stwierdzić że realizacja takiego projektu byłaby zbyt ryzykowna. 6. Przykład Przyjijy że inwestor określił siede pozioów przepływu pieniężnego jakie ogą wystąpić w dany roku. Przepływ jest suą przepływów 2 i 3 ( 2 3 ). Obliczy wartość funkcji przekonania nieprzekonania niepewności odnośnie przepływu. Rysunek 3 Zogniskowana raa ożliwości dobrego osądu skupiona na [1] Na rys.3 asa przekonania jest przypisana do wszystkich stanów obrysowanych ciągłą linią a który został obrysowany przerywaną linią jest zdefiniowany jako jeden z dwóch stanów atoowych w zogniskowanej raie ożliwości dobrego osądu. Bazując na następujących danych :

6 otrzyujey następujące wartości funkcji: - przekonania b 040 ; - nieprzekonania d 0 10 ; - niepewności u Zogniskowana relatywna atoowość oczekiwanego prawdopodobieństwa E 0 0. Graficzną ilustracją tego przykładu jest trójkąt. wynosi 060 a ~ a funkcja Rysunek 4 Trójkąt opinii przykład [1] Podstawą trójkąta jest oś prawdopodobieństwa. Opinie które są uiejscowione na niej wyrażają stan który nie zawiera niepewności a więc ożna powiedzieć że są to prawdopodobieństwa określane w tradycyjny sposób. W szczególności opinie uiejscowione w prawy bądź w lewy dolny rogu są zwane opiniai absolutnyi (absolute opinions) tzn. że co do ich prawdziwości czy też fałszu nie a absolutnie żadnej niepewności. Natoiast odległość poiędzy osią prawdopodobieństwa a punkte reprezentujący opinię ożna zdefiniować jako stopień niepewności. Linię łączącą górny wierzchołek trójkąta i punkt relatywnej atoowości nazwano direktore (director). Linia równoległa do direktora to projektor (projector) który przechodzi przez punkt opinii. Przecięcie projektora z osią prawdopodobieństwa wyznacza wartość oczekiwanego prawdopodobieństwa. W dzisiejszej dobie istnieją coraz większe potrzeby identyfikacji poiaru i kontroli ryzyka. Podejowanie działań inwestycyjnych jest nieodzowny czynnikie rozwoju przedsiębiorstwa i zwiększania jego konkurencyjności. Jednakże działania inwestycyjne obarczone są ryzykie ze względu na rozkład przepływów pieniężnych w czasie. Dlatego też najbardziej istotną kwestią jest aby znaleźć odpowiednią relację iędzy ryzykie a stopą zwrotu. W literaturze wyróżnić ożna trzy grupy iar ryzyka inwestycyjnego a ianowicie iary zienności (wariancja odchylenie standardowe współczynnik zienności) 69

7 wrażliwości (n.p. współczynnik beta) i zagrożenia (value at risk VaR). Ze względu na dużą liczbę współzależnych ziennych odzwierciedlających złożone warunki inwestowania istnieje potrzeba wdrażania skoplikowanych algorytów oceny projektu inwestycyjnego. Logika subiektywna która opiera się na subiektywnych przekonaniach o świecie a wiele wspólnego z inwestore który podejując określoną decyzję inwestycyjną kieruje się nie tylko wynikai ateatycznego rachunku ale również intuicją i osobisty przekonanie o potrzebie i sukcesie danego przedsięwzięcia bądź o jego porażce. Literatura 1. Jøsang A. : A logic for uncertain probabilities International Journal of Uncertainty Fuzziness and Knowledge-Based Systes Vol.9 No.3 (June 2001). 2. Kuziak K. Jajuga K. Papla D. Ryzyko rynkowe polskiego rynku akcji Value at Risk i inne etody poiaru. W: Rynek Kapitałowy Tarczyński W. (red) Wyd. Uniwersytetu Szczecińskiego Międzyzdroje Ostrowska E. : Ryzyko projektów inwestycyjnych PWE Warszawa Pluta W.: Budżetowanie kapitałów PWE Warszawa Szczepańska J. Ipleenting a real option as a way of reducing investent risk Inforation Systes Applications And Technology ISAT 2003 Seinar Oficyna Wydawnicza Politechniki Wrocławskiej Wrocław Wiliowska Z. Metodyka budowy efektywnego portfela projektów inwestycyjnych Prace Naukowe Instytutu Organizacji i Zarządzania Politechniki Wrocławskiej 192 Oficyna Wydawnicza Politechniki Wrocławskiej Wrocław 199 The paper presents assuptions of subjective logic by A.Jøsang. Subjective logic operates on subjective beliefs about the world. The basic ter is opinion that can be interpreted as a probability easure containing secondary uncertainty. As such subjective logic can be seen as an etension of both probability calculus and binary logic. Authors draw attention to subjective logic ipleentation in investent profitability calculus as a copleent to Net Present Value. 0