Temat: Algorytmy aproksymacyjne (przyblione) cz. I. Majc do rozwizania trudny obliczeniowo problem, moemy wybra jedno z dwóch nastpujcych podej:
|
|
- Magdalena Kasprzak
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Temat: Algorytmy aproksymacyjne (przyblione) cz. I. 1. Algorytmy aproksymacyjne Majc do rozwizania trudny obliczeniowo problem, moemy wybra jedno z dwóch nastpujcych podej: Zastosowa technik algorytmów z powrotami, która znacznie redukuje nieefektywno pełnego przegldu. Taka ulepszona technika przeszukiwania przestrzeni rozwiza gwarantuj, i otrzymujemy rozwizanie dokładne (optymalne), ale w najmniej korzystnym przypadku danych algorytmy takie mog wykonywa liczb operacji elementarnych rosnc wykładniczo. Staj si wówczas nieuyteczne dla rzeczywistych danych. Zastosowa przyblion, ale szybk (czyli działajc w czasie wielomianowym) metod, która nie we wszystkich przypadkach generuje rozwizanie optymalne, jednake dla wikszoci danych dostarcza rozwizania przyblione, które le do blisko rozwiza optymalnych. Algorytm umoliwiajcy otrzymanie prawie optymalnego rozwizania jest nazywany algorytmem aproksymacyjnym (przyblionym). 2. Oszacowanie jakoci algorytmów aproksymacyjnych a) Ograniczenie wzgldne Załómy, e mamy do czynienia z problemem optymalizacyjnym, w którym kade potencjalne rozwizanie ma dodatni koszt i chcemy znale rozwizanie prawie 1
2 optymalne. Zalenie od problemu rozwizanie optymalne moe by zdefiniowane jako to o maksymalnym moliwym koszcie lub o minimalnym. Zadanie polega wic na maksymalizacji albo na minimalizacji. Mówimy, e algorytm aproksymacyjny dla danego problemu ma ograniczenie wzgldne ρ ( n), jeli dla dowolnych danych wejciowych rozmiaru n koszt C otrzymany jako rozwizanie konstruowane przez ów algorytm, ρ n przez koszt szacuje si z dokładnoci do czynnika ( ) C rozwizania optymalnego: max C C, ρ( n) C C Dla problemu maksymalizacji 0 < C C, a współczynnik C /C okrela, ile razy koszt rozwizania optymalnego jest wikszy od kosztu rozwizania przyblionego. Dla problemu minimalizacji 0 < C C, a współczynnik C /C okrela, ile razy koszt rozwizania przyblionego jest wikszy od kosztu rozwizania optymalnego. Ograniczenie wzgldne algorytmu aproksymacyjnego nigdy nie jest mniejsze ni 1, poniewa nierówno C / C < 1 implikuje C / C > 1. Ograniczeniem wzgldnym algorytmu optymalnego jest 1, a algorytm o duym ograniczeniu wzgldnym moe da rozwizanie znacznie gorsze ni optymalne. 2
3 b) Ograniczenie błdu wzgldnego Czasami wygodniej jest operowa pojciem błdu wzgldnego. Dla dowolnych danych wejciowych błd wzgldny definiuje si jako C C C Błd wzgldny jest zawsze nieujemny. Dla algorytmu aproksymacyjnego ε ( n) jest ograniczeniem błdu wzgldnego, jeli C C ε( n) C Dla problemu minimalizacyjnego prawdziwa jest równo: ( n) = ( ρ( n) 1) ρ( n) ε / Dla problemu maksymalizacyjnego prawdziwa jest nierówno: ε ( n) ρ( n) 1 (poniewa ( n) 1 ρ ) Dla wielu problemów skonstruowano algorytmy aproksymacyjne o stałym, niezalenym od n ograniczeniu wzgldnym. Dla innych problemów informatykom nie udało si zaprojektowa adnego wielomianowego algorytmu aproksymacyjnego o stałym ograniczeniu wzgldnym. Ograniczenie wzgldne jest wówczas funkcj rosnc wraz z rozmiarem danych wejciowych n. c) Schemat aproksymacji Dla niektórych problemów NP-zupełnych istniej algorytmy aproksymacyjne, za pomoc których mona uzyskiwa coraz mniejsze ograniczenie wzgldne kosztem duego czasu 3
4 oblicze. Schemat aproksymacji dla problemu optymalizacyjnego to algorytm aproksymacyjny, który pobiera na wejciu nie tylko dane opisujce problem, ale take warto ε>0 tak, e dla kadego ustalonego ε schemat ten jest algorytmem aproksymacji o ograniczeniu błdu wzgldnego równym ε. 3. Algorytm aproksymacyjny dla problemu komiwojaera oparty na technice włczania WP: Graf G = V, E, w - pełny, zorientowany z dodatnimi wagami; V - zbiór wierzchołków, E - zbiór krawdzi, w - funkcja wag grafu. WK: Najtaszy w sensie łcznej sumy wag cykl Hamiltona w grafie. Idea Wybieramy wierzchołek pocztkowy cyklu s. Nastpny wierzchołek cyklu wybieramy sporód n-1 pozostałych wierzchołków, zgodnie z nastpujcym kryterium: () Wybieramy wierzchołek nie odwiedzony, połoony najdalej od cyklu (tzn. od wszystkich wierzchołków, które ju s w cyklu). Oznaczmy wybrany wierzchołek przez p. Otrzymujemy w ten sposób cykl złoony z dwóch wierzchołków: (s, p, s). Nastpnie jest wybierany kolejny wierzchołek, spełniajcy kryterium (). Do biecego rozwizania włczamy albo cykl (s, p, q, s) albo (s, q, p, s) w zalenoci od tego, który jest taszy. Kontynuujemy krok wybierania wierzchołka i włczania go do cyklu czciowego a do momentu uzyskania pełnego cyklu. 4
5 Oznaczmy przez VT zbiór wierzchołków nalecych do biecego cyklu, a E T zbiór krawdzi tego cyklu. I krok: Wybieranie wierzchołka Aby efektywnie wyznaczy wierzchołek nie odwiedzony, lecy najdalej od wierzchołków biecego cyklu, zastosujemy tablic jednowymiarow odległoci dist, tak, e dist[v] zapamituje najmniejsz odległo wierzchołków cyklu od v. Jeeli wierzchołek f jest włczany do cyklu jako nastpny, to ma najwiksz warto w tablicy dist. Po włczeniu f do cyklu tablica dist jest uaktualniana i kady jej element staje si równy minimum sporód biecej wartoci w tablicy dist i odpowiedniej wartoci w wierszu f macierzy wag W. II krok: Włczanie wierzchołka do cyklu Załómy, e biecy cykl zawiera k wierzchołków i nastpnym do włczenia wierzchołkiem jest f. Badamy kady łuk (i, j) cyklu i okrelamy koszt włczenia f midzy i oraz j, który jest równy: c = w + w w ij if Wród k łuków cyklu wybieramy łuk (t, h) o najmniejszym koszcie c th. Wierzchołek f włczamy do cyklu midzy t i h, uaktualniamy długo cyklu i wartoci elementów w tablicy dist. fj ij 5
6 Pseudokod algorytmu włczania // Inicjalizacja V T ={s}; E T ={(s, s)}; w ss =0; koszt =0; for u V \ {s} dist[u]=w su ; // Iteracja while ( V T < n) { f= wierzchołek ze zbioru V \ V T o najwikszej wartoci dist; for (i, j) E T cij = wif + wfj wij ; (t, h)=łuk z E T o najmniejszym koszcie c th ; E = E { ( t, f ), ( f, h) } {( t, h) }; } V T T = V T T { f }; koszt=koszt + c th ; for x V \ V T dist[x]=min{dist[x], w fx }; Wierzchołki V T i łuki E T, tworzce biecy cykl, s reprezentowane w tablicy cycle, w której element cycle[i] przyjmuje warto j, gdy krawd (i, j) naley do biecego cyklu i 0 w przeciwnym przypadku. 6
7 Przykład 4 W = Inicjalizacja: s = 1 dist: -, 3, 93, 13, 33, 9, cycle : 1, 0, 0, 0, 0, 0 koszt: 0 Iteracja: I krok f = 3 - wierzchołek o maksymalnej wartoci dist koszt:= koszt + c 11 =koszt + w 13 +w 31 = =138 dist: -, 3, -, 13, 16, 9, cycle: 3, 0, 1, 0, 0, 0, cykl: II krok f = 5 koszt:= koszt + min{c 13, c 31 }= = koszt +min{w 15 +w 53 - w 13, w 35 +w 51 - w 31 }= = min{ , }= = min{28, -1}=137 dist: -, 3, -, 13, -, 9, cycle: 3, 0, 5, 0, 1,0, cykl:
8 W = III krok f = 4 koszt:= koszt +min{c 13, c 35, c 51 }= = koszt + min{w 14 +w 43 - w 13, w 34 +w 45 - w 35, w 54 +w 41 - w 51 }= = min{0, 76, 44}= =137 dist: -, 3, -, -, -, 7 cycle: 4, 0, 5, 3, 1, 0, cykl: IV krok f = 6 koszt:= koszt + min{c 14, c 43, c 35, c 51 }= =137+ min{42, -55, 104, 0 }= = 82 dist: -, 3, -, -, -, - cycle: 4, 0, 5, 6, 1, 3, cykl: V krok f = 2 koszt:= koszt + min{c 14, c 46, c 63, c 35, c 51 }= = 82+ min{32, 99, 147, 22, 22}= = 104 Mamy tym razem dwie moliwoci włczenia z najmniejszym kosztem. Wybieramy c 35 i otrzymujemy ostatecznie rozwizanie cycle: 1, 4, 6, 3, 2, 5, 1 o całkowitym koszcie 104. Otrzymane rozwizanie jest jedn z dwóch optymalnych tras komiwojaera dla tego przykładu. W ogólnym przypadku nie mona jednak oczekiwa, e zawsze bdziemy mieli tyle 8
9 szczcia, aby algorytm przybliony generował rozwizanie optymalne. Zaleca si, aby algorytm przybliony zastosowa n razy dla danego przypadku danych i wybra rozwizanie o najniszym koszcie całkowitym. Złoono czasowa algorytmu przyblionego Przy jednym uruchomieniu : O(n 2 ). Przy n uruchomieniach: O(n 3 ) Twierdzenie Algorytm aproksymacyjny dla problemu komiwojaera zrealizowany metod przez włczanie jest algorytmem aproksymacyjnym z ograniczeniem wzgldnym równym 2. C Czyli 2 C, gdzie C jest optymalnym cyklem dla danego grafu, a C jest cyklem wyznaczonym przez algorytm przybliony. 9
10 5. Algorytmy aproksymacyjne dla problemu kolorowania grafu Pojcia: Przypisanie kolorów wierzchołkom grafu G, po jednym kolorze dla kadego wierzchołka, tak, aby ssiednie wierzchołki otrzymały róne kolory nazywamy pokolorowaniem grafu G. Pokolorowanie k kolorami nazywamy k- pokolorowaniem. Graf jest k - barwny, jeli istnieje l- pokolorowanie grafu G, gdzie l k. Najmniejsz warto k, dla której graf G jest k - barwny nazywamy liczb chromatyczn grafu G. Zbiór wierzchołków tego samego koloru nazywamy klas barwliwoci. Takie dwa podzbiory, w których adne dwa wierzchołki nie ssiaduj ze sob nazywamy podzbiorami niezalenymi. Podzbiór W nazywamy maksymalnym zbiorem niezalenym, jeli nie istnieje zbiór zawierajcy W i róny od W, który jest niezaleny. Najwikszy zbiór niezaleny to taki maksymalny zbiór niezaleny, który ma najwicej wierzchołków sporód wszystkich zbiorów maksymalnych. Oznaczenia: G /W - podgraf grafu G indukowany przez zbiór W V, tzn. G /W = <W, E'>, gdzie E' zawiera te krawdzie grafu G, których oba koce nale do W. 10
11 Przykład 5 1[1] 6[1] 2[2] 5[3] 3[3] 4[2] Liczby w nawiasach kwadratowych oznaczaj numer koloru przyporzdkowanego wierzchołkowi w procesie kolorowania. Graf jest 3-barwny. Na rysunku wyej przykład 3-pokolorowania. Liczb chromatyczn grafu 3. {1, 6}, {2, 4}, {3, 5} - klasy barwliwoci Przykłady podzbiorów niezalenych: {1, 6}, {2, 4}. S to jednoczenie przykłady maksymalnych zbiorów niezalenych i najwikszych zbiorów niezalenych 11
12 Problem kolorowaniu grafu WP: G - graf nieskierowany, bez wag. WK: Liczba chromatyczna grafu. Problem kolorowania grafu jest równowany problemowi podziału zbioru wierzchołków grafu na minimaln liczb podzbiorów niezalenych: WP: Graf nieskierowany, bez wag WK: Wyznaczenie takiej minimalnej liczby k, dla której istnieje podział zbioru V wierzchołków grafu na k zbiorów niezalenych V 1, V 2,..., V k takich, e : V V = dla i j, i, j = 1,2,..., k oraz k V i i V i j =1 =. a) Algorytm najwikszych zbiorów niezalenych Idea Tworzony jest cig klas barwliwoci, które s najwikszymi zbiorami niezalenymi w podgrafach wyznaczonymi przez wierzchołki niepokolorowane. 12
13 Algorytm najwikszych zbiorów niezalenych U =V; k=0; while (U ) { k=k +1; ()MAXIND(U, W);// znale najliczniejszy zbiór niezaleny // W w pografie G /U for u W f[u]=k; // f - funkcja kolorujca graf U=U \ W; } () Znajdowanie przyblionego najliczniejszego podzbioru niezalenego w grafie G MAXIND(U, W) U 1 =U; W = ; while (U 1 ) { znale wierzchołek u o minimalnym stopniu w G /U1 ; W =W {u}; U 1 =U 1 \ {u}\{v U 1 : (v, u) E}; } Poczynajc od W=, zbiór W jest powikszany w kadym kroku o wierzchołek majcy najmniejszy stopie w podgrafie utworzonym przez wierzchołki nie ssiadujce z elementami zbioru W. 13
14 Przykład 6 1(2)[1] 6(2)[1] 2(3)[2] 5(4)[3] Algorytm dokładny daje wynik k = 3. Podział:{1, 6}, {2, 4}, {3, 5} (pokolorowanie zaznaczone w[]) Algorytm przybliony daje wynik k = 4. Podział:{3, 4}, {1, 6}, {2}, {5} (pokolorowanie zaznaczone w ( )) Złoono czasowa algorytmu najwikszych zbiorów niezalenych, wykorzystujcego przyblione generowanie najliczniejszego podzbioru niezalenego. Mona pokaza, e algorytm ten ma złoono O(n 3 ). Twierdzenie Algorytm aproksymacyjny najwikszych zbiorów niezalenych dla problemu kolorowaniu grafu jest algorytmem aproksymacyjnym z ograniczeniem wzgldnym O(n/logn). C C 4(1)[2] ( / logn) O n 3(1)[3] 14
15 b) Prosty algorytm sekwencyjny dla problemu kolorowania grafu (algorytm Welsha-Powella) W algorytmie tym bdziemy zakładali, e wierzchołki zostały ponumerowane w kolejnoci nierosncych stopni. Idea Wierzchołek v i jest dodawany do podgrafu indukowanego przez ju pomalowane wierzchołki v 1, v 2,..., v i-1, po czym okrela si nowe pokolorowanie wierzchołków v 1, v 2,..., v i-1, v i. Krok ten jest powtarzany dla i=1, 2,..., n, przy czym dla i=1 podgraf jest pusty. W kadym kroku staramy si uy moliwie najmniej kolorów. W algorytmie tym wierzchołek v i otrzymuje kolor o najniszym numerze. Algorytm f[v 1 ]=1; for (i= 2; i<=n; i++) f[v i ]=min{k: k 1 i f[v j ] k dla kadego v j (1 j i) ssiadujcego z v i }; Zauwamy, e w prostym algorytmie sekwencyjnym, w momencie kolorowania wierzchołka v i, wierzchołki poprzedzajce v i zachowuj swoje kolory. 15
16 Przykład 7 3[3] 4[3] 1[1] 2[2] 5[2] Wierzchołki grafu s ponumerowane w kolejnoci nierosncych stopni. Prosty algorytm sekwencyjny daje 3-pokolorowanie (zaznaczone w []): Złoono czasowa prostego algorytmu sekwencyjnego O(n 2 ). Twierdzenie Prosty algorytm sekwencyjny z załoenie uporzdkowania wierzchołków w kolejnoci nierosncych stopni jest algorytmem aproksymacyjnym z ograniczeniem wzgldnym nie przekraczajcym wartoci 1+ max{ deg( vi )}. C Czyli + max{ deg( v i )} C 1 i n 6[1] 1 i n 1 (deg(v i ) - stopie wierzchołka v i ) 16
Temat: Algorytmy aproksymacyjne dla wybranych NP-trudnych problemów grafowych
Temat: Algorytmy aproksymacyjne dla wybranych NP-trudnych problemów grafowych 1. Problem komiwojaera Wejcie: Graf G = pełny, zorientowany z dodatnimi wagami; w - funkcja wag grafu Wyjcie: Najtaszy
Bardziej szczegółowoTemat: Problem minimalnego drzewa Steinera. Definicja problemu. Zastosowania. Algorytm dokładny Hakimi. Algorytmy aproksymacyjne.
Temat: Problem minimalnego drzewa Steinera. Definicja problemu. Zastosowania. Algorytm dokładny Hakimi. Algorytmy aproksymacyjne. 1. Definicja problemu Wejcie: Graf spójny niezorientowany G =
Bardziej szczegółowoTemat: Problem najkrótszych cieek w grafach waonych, cz. I: Algorytmy typu label - setting.
Temat: Problem najkrótszych cieek w grafach waonych, cz. I: Algorytmy typu label - setting.. Oznaczenia i załoenia Oznaczenia G = - graf skierowany z funkcj wagi s wierzchołek ródłowy t wierzchołek
Bardziej szczegółowo1) Grafy eulerowskie własnoci algorytmy. 2) Problem chiskiego listonosza
165 1) Grafy eulerowskie własnoci algorytmy 2) Problem chiskiego listonosza 166 Grafy eulerowskie Def. Graf (multigraf, niekoniecznie spójny) jest grafem eulerowskim, jeli zawiera cykl zawierajcy wszystkie
Bardziej szczegółowoProblem decyzyjny naley do klasy NP. (Polynomial), jeeli moe by rozwizany w czasie conajwyej wielomianowym przez algorytm A dla DTM.
WYKŁAD : Teoria NP-zupełnoci. Problem decyzyjny naley do klasy P (Polynomial), jeeli moe by rozwizany w czasie conajwyej wielomianowym przez algorytm A dla DTM. (przynaleno ta jest zachowana równie dla
Bardziej szczegółowoTemat: Technika zachłanna. Przykłady zastosowania. Własno wyboru zachłannego i optymalnej podstruktury.
Temat: Technika zachłanna. Przykłady zastosowania. Własno wyboru zachłannego i optymalnej podstruktury. Algorytm zachłanny ( ang. greedy algorithm) wykonuje zawsze działanie, które wydaje si w danej chwili
Bardziej szczegółowoWstp. Warto przepływu to
177 Maksymalny przepływ Załoenia: sie przepływow (np. przepływ cieczy, prdu, danych w sieci itp.) bdziemy modelowa za pomoc grafów skierowanych łuki grafu odpowiadaj kanałom wierzchołki to miejsca połcze
Bardziej szczegółowoSkojarzenia. Najliczniejsze skojarzenia: Dokładne skojarzenia o maksymalnej sumie wag w obcionych pełnych grafach dwudzielnych.
206 Skojarzenia Najliczniejsze skojarzenia: grafy proste dwudzielne, dowolne grafy proste. Dokładne skojarzenia o maksymalnej sumie wag w obcionych pełnych grafach dwudzielnych. 207 Definicje Def Zbiór
Bardziej szczegółowoKolorowanie wierzchołków
240 Kolorowanie wierzchołków Def. Niech G bdzie grafem prostym. Przez kolorowanie wierzchołków rozumiemy takie etykietowanie elementów V(G) liczbami naturalnymi, e ssiednie wierzchołki otrzymuj róne liczby
Bardziej szczegółowoZad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA. W obu podpunktach zakªadamy,»e kolejno± ta«ców jest wa»na.
Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA Zadanko 1 (12p.) Na imprezie w Noc Kupaªy s 44 dziewczyny. Nosz one 11 ró»nych imion, a dla ka»dego imienia s dokªadnie 4 dziewczyny o tym imieniu przy czym ka»da
Bardziej szczegółowooraz spełnia warunki: (*) dla wszystkich wierzchołków
Temat: Problem najtaszego przepływu. Definicja problemu, przykład zastosowania. Algorytm Kleina. Algorytm Busackera Gowena. 1. Definicja problemu najtaszego przepływu Wejcie: Graf zorientowany G =
Bardziej szczegółowoTemat: Struktury danych do reprezentacji grafów. Wybrane algorytmy grafowe.
Temat: Struktury danych do reprezentacji grafów. Wybrane algorytmy grafowe. Oznaczenia G = V, E - graf bez wag, gdzie V - zbiór wierzchołków, E- zbiór krawdzi V = n - liczba wierzchołków grafu G E = m
Bardziej szczegółowoSzukanie najkrótszych dróg z jednym ródłem
Szukanie najkrótszych dróg z jednym ródłem Algorytm Dijkstry Załoenia: dany jest spójny graf prosty G z wagami na krawdziach waga w(e) dla kadej krawdzi e jest nieujemna dany jest wyróniony wierzchołek
Bardziej szczegółowoWektor o pocztku i kocu odpowiednio w punktach. Prosta zawierajca punkty p i q: pq Półprosta zaczynajca si w punkcie p i zawierajca punkt q:.
Temat: Geometria obliczeniowa, cz I. Podstawowe algorytmy geometryczne. Problem sprawdzania przynalenoci punktu do wielokta. Problem otoczki wypukłej algorytmy Grahama, i Jarvisa. 1. Oznaczenia Punkty
Bardziej szczegółowoProblemy optymalizacyjne - zastosowania
Problemy optymalizacyjne - zastosowania www.qed.pl/ai/nai2003 PLAN WYKŁADU Zło ono obliczeniowa - przypomnienie Problemy NP-zupełne klika jest NP-trudna inne problemy NP-trudne Inne zadania optymalizacyjne
Bardziej szczegółowoStruktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 7. Prof. dr hab. inż. Jan Magott
Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 7 Prof. dr hab. inż. Jan Magott Problemy NP-zupełne Transformacją wielomianową problemu π 2 do problemu π 1 (π 2 π 1 ) jest funkcja f: D π2 D π1 spełniająca
Bardziej szczegółowoTemat: Geometria obliczeniowa cz II. Para najmniej odległych punktów. Sprawdzenie, czy istnieje para przecinajcych si odcinków.
Temat: Geometria obliczeniowa cz II. Para najmniej odległych punktów. Sprawdzenie, czy istnieje para przecinajcych si odcinków. 1. Para najmniej odległych punktów WP: Dany jest n - elementowy zbiór punktów
Bardziej szczegółowoKolorowanie wierzchołków grafu
Kolorowanie wierzchołków grafu Niech G będzie grafem prostym. Przez k-kolorowanie właściwe wierzchołków grafu G rozumiemy takie przyporządkowanie wierzchołkom grafu liczb naturalnych ze zbioru {1,...,
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, B/14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2019 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 1B/14 Drogi w grafach Marszruta (trasa) w grafie G z wierzchołka w do wierzchołka u to skończony ciąg krawędzi w postaci. W skrócie
Bardziej szczegółowoTemat: Algorytmy zachłanne
Temat: Algorytmy zachłanne Algorytm zachłanny ( ang. greedy algorithm) wykonuje zawsze działanie, które wydaje si w danej chwili najkorzystniejsze. Wybiera zatem lokalnie optymaln moliwo w nadziei, e doprowadzi
Bardziej szczegółowoAlgorytmika Problemów Trudnych
Algorytmika Problemów Trudnych Wykład 9 Tomasz Krawczyk krawczyk@tcs.uj.edu.pl Kraków, semestr letni 2016/17 plan wykładu Algorytmy aproksymacyjne: Pojęcie algorytmu aproksymacyjnego i współczynnika aproksymowalności.
Bardziej szczegółowoTemat: Liniowe uporzdkowane struktury danych: stos, kolejka. Specyfikacja, przykładowe implementacje i zastosowania. Struktura słownika.
Temat: Liniowe uporzdkowane struktury danych: stos, kolejka. Specyfikacja, przykładowe implementacje i zastosowania. Struktura słownika. 1. Pojcie struktury danych Nieformalnie Struktura danych (ang. data
Bardziej szczegółowoDrzewa spinające MST dla grafów ważonych Maksymalne drzewo spinające Drzewo Steinera. Wykład 6. Drzewa cz. II
Wykład 6. Drzewa cz. II 1 / 65 drzewa spinające Drzewa spinające Zliczanie drzew spinających Drzewo T nazywamy drzewem rozpinającym (spinającym) (lub dendrytem) spójnego grafu G, jeżeli jest podgrafem
Bardziej szczegółowoProjektowanie i analiza zadaniowa interfejsu na przykładzie okna dialogowego.
Projektowanie i analiza zadaniowa interfejsu na przykładzie okna dialogowego. Jerzy Grobelny Politechnika Wrocławska Projektowanie zadaniowe jest jednym z podstawowych podej do racjonalnego kształtowania
Bardziej szczegółowoa) 7 b) 19 c) 21 d) 34
Zadanie 1. Pytania testowe dotyczące podstawowych własności grafów. Zadanie 2. Przy każdym z zadań może się pojawić polecenie krótkiej charakterystyki algorytmu. Zadanie 3. W zadanym grafie sprawdzenie
Bardziej szczegółowoBazy danych. Plan wykładu. Zalenoci funkcyjne. Wykład 4: Relacyjny model danych - zalenoci funkcyjne. SQL - podzapytania A B
Plan wykładu Bazy danych Wykład 4: Relacyjny model danych - zalenoci funkcyjne. SQL - podzapytania Definicja zalenoci funkcyjnych Klucze relacji Reguły dotyczce zalenoci funkcyjnych Domknicie zbioru atrybutów
Bardziej szczegółowoGramatyki regularne i automaty skoczone
Gramatyki regularne i automaty skoczone Alfabet, jzyk, gramatyka - podstawowe pojcia Co to jest gramatyka regularna, co to jest automat skoczony? Gramatyka regularna Gramatyka bezkontekstowa Translacja
Bardziej szczegółowoI Powiatowy Konkurs Matematyka, Fizyka i Informatyka w Technice Etap finałowy 10 kwietnia 2013 grupa elektryczno-elektroniczna
I Powiatowy Konkurs Matematyka, Fizyka i Informatyka w Technice Etap finałowy 10 kwietnia 2013 grupa elektryczno-elektroniczna (imi i nazwisko uczestnika) (nazwa szkoły) Arkusz zawiera 6 zada. Zadania
Bardziej szczegółowoSposoby przekazywania parametrów w metodach.
Temat: Definiowanie i wywoływanie metod. Zmienne lokalne w metodach. Sposoby przekazywania parametrów w metodach. Pojcia klasy i obiektu wprowadzenie. 1. Definiowanie i wywoływanie metod W dotychczas omawianych
Bardziej szczegółowoPrzykłady grafów. Graf prosty, to graf bez pętli i bez krawędzi wielokrotnych.
Grafy Graf Graf (ang. graph) to zbiór wierzchołków (ang. vertices), które mogą być połączone krawędziami (ang. edges) w taki sposób, że każda krawędź kończy się i zaczyna w którymś z wierzchołków. Graf
Bardziej szczegółowoOptymalizacja. Przeszukiwanie lokalne
dr hab. inż. Instytut Informatyki Politechnika Poznańska www.cs.put.poznan.pl/mkomosinski, Maciej Hapke Idea sąsiedztwa Definicja sąsiedztwa x S zbiór N(x) S rozwiązań, które leżą blisko rozwiązania x
Bardziej szczegółowoPlan wykładu. Przykład. Przykład 3/19/2011. Przykład zagadnienia transportowego. Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład 2 DECYZJA?
/9/ Zagadnienie transportowe Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład --9 Plan wykładu Przykład zagadnienia transportowego Sformułowanie problemu Własności zagadnienia transportowego Metoda potencjałów
Bardziej szczegółowoMetody Informatyczne w Budownictwie Metoda Elementów Skoczonych ZADANIE NR 1
Metody Informatyczne w Budownictwie Metoda Elementów Skoczonych ZADANIE NR 1 Wyznaczy wektor sił i przemieszcze wzłowych dla układu elementów przedstawionego na rysunku poniej (rysunek nie jest w skali!).
Bardziej szczegółowoKolorowanie wierzchołków Kolorowanie krawędzi Kolorowanie regionów i map. Wykład 8. Kolorowanie
Wykład 8. Kolorowanie 1 / 62 Kolorowanie wierzchołków - definicja Zbiory niezależne Niech G będzie grafem bez pętli. Definicja Mówimy, że G jest grafem k kolorowalnym, jeśli każdemu wierzchołkowi możemy
Bardziej szczegółowoTeoria obliczeń i złożoność obliczeniowa
Teoria obliczeń i złożoność obliczeniowa Kontakt: dr hab. inż. Adam Kasperski, prof. PWr. pokój 509 B4 adam.kasperski@pwr.wroc.pl materiały + informacje na stronie www. Zaliczenie: Egzamin Literatura Problemy
Bardziej szczegółowoTeoria grafów i jej zastosowania. 1 / 126
Teoria grafów i jej zastosowania. 1 / 126 Mosty królewieckie W Królewcu, na rzece Pregole znajduj si dwie wyspy poª czone ze sob, a tak»e z brzegami za pomoc siedmiu mostów, tak jak pokazuje rysunek 2
Bardziej szczegółowoEGZAMIN - Wersja A. ALGORYTMY I STRUKTURY DANYCH Lisek89 opracowanie kartki od Pani dr E. Koszelew
1. ( pkt) Dany jest algorytm, który dla dowolnej liczby naturalnej n, powinien wyznaczyd sumę kolejnych liczb naturalnych mniejszych od n. Wynik algorytmu jest zapisany w zmiennej suma. Algorytm i=1; suma=0;
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA DYSKRETNA - MATERIAŁY DO WYKŁADU GRAFY
ERIAŁY DO WYKŁADU GRAFY Graf nieskierowany Grafem nieskierowanym nazywamy parę G = (V, E), gdzie V jest pewnym zbiorem skończonym (zwanym zbiorem wierzchołków grafu G), natomiast E jest zbiorem nieuporządkowanych
Bardziej szczegółowoKombinatoryczne problemy optymalizacyjne to problemy wyboru najlepszego rozwiązania z pewnego zbioru rozwiązań
Kombinatoryczne problemy optymalizacyjne to problemy wyboru najlepszego rozwiązania z pewnego zbioru rozwiązań dopuszczalnych. NP-optymalizacyjny problem Π składa się: zbioru instancji D Π rozpoznawalnego
Bardziej szczegółowoPojcie grafu. { {v 1, v 2 }, {v 2, v 3 }, {v 3, v 4 }, {v 4, v 1 },{v 2, v 4 } } )
1 Pojcie grafu Def. Graf prosty G=(V,E) jest uporzdkowan par dwóch elementów: zbioru wierzchołków V oraz zbioru krawdzi E V V. Krawd pomidzy wierzchołkami u oraz v oznaczamy {u,v}. Graf prosty nie zawiera
Bardziej szczegółowoAlgorytmiczna teoria grafów Przepływy w sieciach.
Algorytmiczna teoria grafów Sieć przepływowa Siecią przepływową S = (V, E, c) nazywamy graf zorientowany G = (V,E), w którym każdy łuk (u, v) E ma określoną przepustowość c(u, v) 0. Wyróżniamy dwa wierzchołki:
Bardziej szczegółowoPRAWIDŁOWE ODPOWIEDZI DO ZADA ZAMKNITYCH
%!%*+,-.*+,/ 0103 6'7 PRAWIDŁOWE ODPOWIEDZI DO ZADA ZAMKNITYCH zadanie odpowied punkty 1 A D 3 D 4 E 5 C 6 A 7 A 8 B 9 6 10 zadania 6 11 otwarte 6 1 maksymalna moliwa łczna liczba punktów 6 40 strona 1
Bardziej szczegółowoPrzykªady problemów optymalizacji kombinatorycznej
Przykªady problemów optymalizacji kombinatorycznej Problem Komiwoja»era (PK) Dane: n liczba miast, n Z +, c ji, i, j {1,..., n}, i j odlegªo± mi dzy miastem i a miastem j, c ji = c ij, c ji R +. Zadanie:
Bardziej szczegółowoSzeregowanie zada« Wykªad nr 6. dr Hanna Furma«czyk. 11 kwietnia 2013
Wykªad nr 6 11 kwietnia 2013 System otwarty - open shop O3 C max Problem O3 C max jest NP-trudny. System otwarty - open shop O3 C max Problem O3 C max jest NP-trudny. Dowód Redukcja PP O3 C max : bierzemy
Bardziej szczegółowoGrafem nazywamy strukturę G = (V, E): V zbiór węzłów lub wierzchołków, Grafy dzielimy na grafy skierowane i nieskierowane:
Wykład 4 grafy Grafem nazywamy strukturę G = (V, E): V zbiór węzłów lub wierzchołków, E zbiór krawędzi, Grafy dzielimy na grafy skierowane i nieskierowane: Formalnie, w grafach skierowanych E jest podzbiorem
Bardziej szczegółowoUstalenie optymalnego układu lokalizacyjnodystrybucyjnego
10.02.2005 r. Optymalizacja lokalizacji i rejonizacji w sieciach dystrybucji. cz. 2. Ustalenie optymalnego układu lokalizacyjnodystrybucyjnego dla wielu uczestników Przyczyn rozwizywania problemu wielu
Bardziej szczegółowoAlgorytmy Równoległe i Rozproszone Część V - Model PRAM II
Algorytmy Równoległe i Rozproszone Część V - Model PRAM II Łukasz Kuszner pokój 209, WETI http://www.sphere.pl/ kuszner/ kuszner@sphere.pl Oficjalna strona wykładu http://www.sphere.pl/ kuszner/arir/ 2005/06
Bardziej szczegółowoGranular Computing 9999 pages 15 METODY SZTUCZNEJ INTELIGENCJI - PROJEKTY
Granular Computing 9999 pages 15 METODY SZTUCZNEJ INTELIGENCJI - PROJEKTY PB 2 PB 1 Projekt z grupowania danych - Rough k-medoids Liczba osób realizuj cych projekt: 1 osoba 1. Wczytanie danych w formatach
Bardziej szczegółowoMatematyczne Podstawy Informatyki
Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Twierdzenie 2.1 Niech G będzie grafem prostym
Bardziej szczegółowoZnajdowanie skojarzeń na maszynie równoległej
11 grudnia 2008 Spis treści 1 Skojarzenia w różnych klasach grafów Drzewa Grafy gęste Grafy regularne dwudzielne Claw-free graphs 2 Drzewa Skojarzenia w drzewach Fakt Wybierajac krawędź do skojarzenia
Bardziej szczegółowo9. Schematy aproksymacyjne
9. Schematy aproksymacyjne T.H. Cormen, C.E. Leiserson, R.L. Rivest, C. Stein Wprowadzenie do algorytmów, WNT (2004) O.H. Ibarra, C.E. Kim Fast approximation algorithms for the knapsack and sum of subset
Bardziej szczegółowoAlgorytmiczna teoria grafów
Przedmiot fakultatywny 20h wykładu + 20h ćwiczeń 21 lutego 2014 Zasady zaliczenia 1 ćwiczenia (ocena): kolokwium, zadania programistyczne (implementacje algorytmów), praca na ćwiczeniach. 2 Wykład (egzamin)
Bardziej szczegółowoStruktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 5. Prof. dr hab. inż. Jan Magott
Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład. Prof. dr hab. inż. Jan Magott Algorytmy grafowe: podstawowe pojęcia, reprezentacja grafów, metody przeszukiwania, minimalne drzewa rozpinające, problemy
Bardziej szczegółowoAlgorytmy kodowania predykcyjnego
Algorytmy kodowania predykcyjnego 1. Zasada kodowania 2. Algorytm JPEG-LS 3. Algorytmy CALIC, LOCO-I 4. Algorytmy z wielokrotn rozdzielczoci. Progresywna transmisja obrazów Kompresja obrazów - zestawienie
Bardziej szczegółowoListy Inne przykªady Rozwi zywanie problemów. Listy w Mathematice. Marcin Karcz. Wydziaª Matematyki, Fizyki i Informatyki.
Wydziaª Matematyki, Fizyki i Informatyki 10 marca 2008 Spis tre±ci Listy 1 Listy 2 3 Co to jest lista? Listy List w Mathematice jest wyra»enie oddzielone przecinkami i zamkni te w { klamrach }. Elementy
Bardziej szczegółowo6.2. Baza i wymiar. V nazywamy baz-
62 Baza i wymiar V nazywamy baz- Definicja 66 Niech V bdzie przestrzeni, liniow, nad cia/em F Podzbiór B przestrzeni V, je2eli: () B jest liniowo niezale2ny, (2) B jest generuj,cy, tzn lin(b) =V Przyk/ady:
Bardziej szczegółowoANALIZA NUMERYCZNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ANALIZA NUMERYCZNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Metoda Eulera 3 1.1 zagadnienia brzegowe....................... 3 1.2 Zastosowanie ró»niczki...................... 4 1.3 Output do pliku
Bardziej szczegółowoMinimalne drzewa rozpinaj ce
y i y i drzewa Spis zagadnie«y i drzewa i lasy cykle fundamentalne i rozci cia fundamentalne wªasno±ci cykli i rozci minimalne drzewa algorytm algorytm Drzewo y i spójnego, nieskierowanego grafu prostego
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 4 PLAN WYKŁADU. Sieci neuronowe: Algorytmy uczenia & Dalsze zastosowania. Metody uczenia sieci: Zastosowania
WYKŁAD 4 Sieci neuronowe: Algorytmy uczenia & Dalsze zastosowania PLAN WYKŁADU Metody uczenia sieci: Uczenie perceptronu Propagacja wsteczna Zastosowania Sterowanie (powtórzenie) Kompresja obrazu Rozpoznawanie
Bardziej szczegółowoWybrane podstawowe rodzaje algorytmów
Wybrane podstawowe rodzaje algorytmów Tomasz Głowacki tglowacki@cs.put.poznan.pl Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych
Bardziej szczegółowoPlanowanie adresacji IP dla przedsibiorstwa.
Planowanie adresacji IP dla przedsibiorstwa. Wstp Przy podejciu do planowania adresacji IP moemy spotka si z 2 głównymi przypadkami: planowanie za pomoc adresów sieci prywatnej przypadek, w którym jeeli
Bardziej szczegółowoPREZENTACJA DZIAŁANIA KLASYCZNEGO ALGORYTMU GENETYCZNEGO
Piotr Borowiec PREZENTACJA DZIAŁANIA KLASYCZNEGO ALGORYTMU GENETYCZNEGO Sporód wielu metod sztucznej inteligencji obliczeniowej algorytmy genetyczne doczekały si wielu implementacji. Mona je wykorzystywa
Bardziej szczegółowoEkonometria - wykªad 8
Ekonometria - wykªad 8 3.1 Specykacja i werykacja modelu liniowego dobór zmiennych obja±niaj cych - cz ± 1 Barbara Jasiulis-Goªdyn 11.04.2014, 25.04.2014 2013/2014 Wprowadzenie Ideologia Y zmienna obja±niana
Bardziej szczegółowoTEORIA GRAFÓW I SIECI
TEORIA GRAFÓW I SIECI Temat nr 7: Przydziały w grafach i sieciach dr hab. inż. Zbigniew TARAPATA, prof. WAT e-mail: zbigniew.tarapata@wat.edu.pl http://tarapata.edu.pl tel.: 26-83-95-04, p.225/00 Zakład
Bardziej szczegółowoFunkcje, wielomiany. Informacje pomocnicze
Funkcje, wielomiany Informacje pomocnicze Przydatne wzory: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (a b) 3 = a 3 3a 2 b + 3ab 2 b 3 a 2 b 2 = (a + b)(a
Bardziej szczegółowoMetodydowodzenia twierdzeń
1 Metodydowodzenia twierdzeń Przez zdanie rozumiemy dowolne stwierdzenie, które jest albo prawdziwe, albo faªszywe (nie mo»e by ono jednocze±nie prawdziwe i faªszywe). Tradycyjnie b dziemy u»ywali maªych
Bardziej szczegółowoPodstawowe własności grafów. Wykład 3. Własności grafów
Wykład 3. Własności grafów 1 / 87 Suma grafów Niech będą dane grafy proste G 1 = (V 1, E 1) oraz G 2 = (V 2, E 2). 2 / 87 Suma grafów Niech będą dane grafy proste G 1 = (V 1, E 1) oraz G 2 = (V 2, E 2).
Bardziej szczegółowoTEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI
1 TEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI WFAiS UJ, Informatyka Stosowana I rok studiów, I stopień Wykład 14c 2 Definicje indukcyjne Twierdzenia dowodzone przez indukcje Definicje indukcyjne Definicja drzewa
Bardziej szczegółowoLab. 02: Algorytm Schrage
Lab. 02: Algorytm Schrage Andrzej Gnatowski 5 kwietnia 2015 1 Opis zadania Celem zadania laboratoryjnego jest zapoznanie si z jednym z przybli»onych algorytmów sªu» cych do szukania rozwi za«znanego z
Bardziej szczegółowoWykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.
Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Denicja Mówimy,»e funkcja
Bardziej szczegółowoZłożoność obliczeniowa klasycznych problemów grafowych
Złożoność obliczeniowa klasycznych problemów grafowych Oznaczenia: G graf, V liczba wierzchołków, E liczba krawędzi 1. Spójność grafu Graf jest spójny jeżeli istnieje ścieżka łącząca każdą parę jego wierzchołków.
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 13: Teoria Grafów Gniewomir Sarbicki Literatura R.J. Wilson Wprowadzenie do teorii grafów Definicja: Grafem (skończonym, nieskierowanym) G nazywamy parę zbiorów (V (G), E(G)),
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIE TRANSPORTOWE
ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZT jest specyficznym problemem z zakresu zastosowań programowania liniowego. ZT wykorzystuje się najczęściej do: optymalnego planowania transportu towarów, przy minimalizacji kosztów,
Bardziej szczegółowoZagadnienie transportowe
9//9 Zagadnienie transportowe Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład Plan wykładu Przykład zagadnienia transportowego Sformułowanie problemu Własności zagadnienia transportowego Metoda potencjałów
Bardziej szczegółowoWYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA
DROGI i CYKLE w grafach Dla grafu (nieskierowanego) G = ( V, E ) drogą z wierzchołka v 0 V do v t V nazywamy ciąg (naprzemienny) wierzchołków i krawędzi grafu: ( v 0, e, v, e,..., v t, e t, v t ), spełniający
Bardziej szczegółowoZofia Kruczkiewicz, Algorytmu i struktury danych, Wykład 14, 1
Wykład Algorytmy grafowe metoda zachłanna. Właściwości algorytmu zachłannego:. W przeciwieństwie do metody programowania dynamicznego nie występuje etap dzielenia na mniejsze realizacje z wykorzystaniem
Bardziej szczegółowoWYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA
DRZEWA i LASY Drzewem nazywamy graf spójny nie zawierający cykli elementarnych. Lasem nazywamy graf nie zawierający cykli elementarnych. Przykłady drzew i lasów takie krawędzie są wykluczone drzewo las
Bardziej szczegółowostopie szaro ci piksela ( x, y)
I. Wstp. Jednym z podstawowych zada analizy obrazu jest segmentacja. Jest to podział obrazu na obszary spełniajce pewne kryterium jednorodnoci. Jedn z najprostszych metod segmentacji obrazu jest progowanie.
Bardziej szczegółowoc Marcin Sydow Wst p Grafy i Zastosowania Wierzchoªki 8: Kolorowanie Grafów Mapy Kraw dzie Zliczanie Podsumowanie
8: Kolorowanie Grafów Spis zagadnie«kolorowanie wierzchoªków Kolorowanie map Kolorowanie kraw dzi Wielomian chromatyczny Zastosowania Problem kolorowania grafów ma wiele odmian (np. kolorowanie wierzchoªków,
Bardziej szczegółowoZastosowanie programu Microsoft Excel do analizy wyników nauczania
Grayna Napieralska Zastosowanie programu Microsoft Excel do analizy wyników nauczania Koniecznym i bardzo wanym elementem pracy dydaktycznej nauczyciela jest badanie wyników nauczania. Prawidłow analiz
Bardziej szczegółowoE ' E G nazywamy krawędziowym zbiorem
Niech G będzie grafem spójnym. Wierzchołek x nazywamy rozcinającym, jeśli G\{x} jest niespójny. Niech G będzie grafem spójnym. V ' V G nazywamy zbiorem rozcinającym jeśli G\V' jest niespójny Niech G będzie
Bardziej szczegółowoPoprawa efektywnoci metody wstecznej propagacji bdu. Jacek Bartman
Poprawa efektywnoci metody wstecznej propagac bdu Algorytm wstecznej propagac bdu. Wygeneruj losowo wektory wag. 2. Podaj wybrany wzorzec na wejcie sieci. 3. Wyznacz odpowiedzi wszystkich neuronów wyjciowych
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIE TRANSPORTOWE(ZT)
A. Kasperski, M. Kulej BO Zagadnienie transportowe 1 ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE(ZT) Danychjest pdostawców,którychpodażwynosi a 1, a 2,...,a p i q odbiorców,którychpopytwynosi b 1, b 2,...,b q.zakładamy,że
Bardziej szczegółowoSortowanie topologiczne skierowanych grafów acyklicznych
Sortowanie topologiczne skierowanych grafów acyklicznych Metody boolowskie w informatyce Robert Sulkowski http://robert.brainusers.net 23 stycznia 2010 1 Definicja 1 (Cykl skierowany). Niech C = (V, A)
Bardziej szczegółowoUkªady równa«liniowych
dr Krzysztof yjewski Mechatronika; S-I 0 in» 7 listopada 206 Ukªady równa«liniowych Informacje pomocnicze Denicja Ogólna posta ukªadu m równa«liniowych z n niewiadomymi x, x, x n, gdzie m, n N jest nast
Bardziej szczegółowoIV Powiatowy Konkurs Matematyka, Fizyka i Informatyka w Technice Etap finałowy 1 kwietnia 2016
IV Powiatowy Konkurs Matematyka, Fizyka i Informatyka w Technice Etap finałowy 1 kwietnia 2016 (imi i nazwisko uczestnika) (nazwa szkoły) Arkusz zawiera 8 zada. Zadania 1 i 2 bd oceniane dla kadego uczestnika,
Bardziej szczegółowoTEORIA GRAFÓW I SIECI
TEORIA GRAFÓW I SIECI Temat nr : Grafy Berge a dr hab. inż. Zbigniew TARAPATA, prof. WAT e-mail: zbigniew.tarapata@wat.edu.pl http://tarapata.edu.pl tel.: 6-83-95-0, p.5/00 Zakład Badań Operacyjnych i
Bardziej szczegółowoMetody komputerowe i obliczeniowe Metoda Elementów Skoczonych. Element dwuwymiarowy liniowy : belka
etody komputerowe i obliczeniowe etoda Elementów Skoczonych Element dwuwymiarowy liniowy : belka Jest to element bardzo podobny do prta: współrzdne lokalne i globalne jego wzłów s takie same nie potrzeba
Bardziej szczegółowoGrafy i Zastosowania. 5: Drzewa Rozpinające. c Marcin Sydow. Drzewa rozpinające. Cykle i rozcięcia fundamentalne. Zastosowania
Grafy i Grafy i 5: Rozpinające Spis zagadnień Grafy i i lasy cykle fundamentalne i własności cykli i rozcięć przestrzenie cykli i rozcięć* : zastosowanie w sieciach elektrycznych minimalne * algorytm Kruskala*
Bardziej szczegółowoKONKURS PRZEDMIOTOWY MATEMATYCZNY DLA UCZNIÓW GIMNAZJUM
Konkursy w województwie podkarpackim w roku szkolnym 006/007 fdsrterdgdf Kod ucznia Kod szkoły... piecztka WKK Dzie Miesic Rok D A T A U R O D Z E N I A U C Z N I A KONKURS PRZEDMIOTOWY MATEMATYCZNY DLA
Bardziej szczegółowoPodejście zachłanne, a programowanie dynamiczne
Podejście zachłanne, a programowanie dynamiczne Algorytm zachłanny pobiera po kolei elementy danych, za każdym razem wybierając taki, który wydaje się najlepszy w zakresie spełniania pewnych kryteriów
Bardziej szczegółowoSKOJARZENIA i ZBIORY WEWN. STABILNE WIERZCH. Skojarzeniem w grafie G nazywamy dowolny podzbiór krawędzi parami niezależnych.
SKOJARZENIA i ZBIORY WEWN. STABILNE WIERZCH. Rozważamy graf G = (V, E) Dwie krawędzie e, e E nazywamy niezależnymi, jeśli nie są incydentne ze wspólnym wierzchołkiem. Skojarzeniem w grafie G nazywamy dowolny
Bardziej szczegółowoWykład 8. Drzewo rozpinające (minimum spanning tree)
Wykład 8 Drzewo rozpinające (minimum spanning tree) 1 Minimalne drzewo rozpinające - przegląd Definicja problemu Własności minimalnych drzew rozpinających Algorytm Kruskala Algorytm Prima Literatura Cormen,
Bardziej szczegółowoInterpolacja funkcjami sklejanymi
Interpolacja funkcjami sklejanymi Funkcje sklejane: Zaªó»my,»e mamy n + 1 w zªów t 0, t 1,, t n takich,»e t 0 < t 1 < < t n Dla danej liczby caªkowitej, nieujemnej k funkcj sklejan stopnia k nazywamy tak
Bardziej szczegółowo1 Bª dy i arytmetyka zmiennopozycyjna
1 Bª dy i arytmetyka zmiennopozycyjna Liczby w pami ci komputera przedstawiamy w ukªadzie dwójkowym w postaci zmiennopozycyjnej Oznacza to,»e s one postaci ±m c, 01 m < 1, c min c c max, (1) gdzie m nazywamy
Bardziej szczegółowoKLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI
Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie. a) Wiadomoci i rozumienie Matematyka poziom rozszerzony Wykorzystanie pojcia wartoci argumentu i wartoci funkcji.
Bardziej szczegółowo10. Kolorowanie wierzchołków grafu
p. 10. Kolorowanie wierzchołków grafu 10.1 Definicje i twierdzenia Przez k-kolorowanie wierzchołków grafu G rozumiemy przyporzadkowanie każdemu wierzchołkowi grafu G jednego z k kolorów 1, 2,...,k. p.
Bardziej szczegółowoStruktury danych i złozoność obliczeniowa. Prof. dr hab. inż. Jan Magott
Struktury danych i złozoność obliczeniowa Prof. dr hab. inż. Jan Magott Formy zajęć: Wykład 1 godz., Ćwiczenia 1 godz., Projekt 2 godz.. Adres strony z materiałami do wykładu: http://www.zio.iiar.pwr.wroc.pl/sdizo.html
Bardziej szczegółowoBazy danych Podstawy teoretyczne
Pojcia podstawowe Baza Danych jest to zbiór danych o okrelonej strukturze zapisany w nieulotnej pamici, mogcy zaspokoi potrzeby wielu u!ytkowników korzystajcych z niego w sposóbs selektywny w dogodnym
Bardziej szczegółowoBash i algorytmy. Elwira Wachowicz. 20 lutego
Bash i algorytmy Elwira Wachowicz elwira@ifd.uni.wroc.pl 20 lutego 2012 Elwira Wachowicz (elwira@ifd.uni.wroc.pl) Bash i algorytmy 20 lutego 2012 1 / 16 Inne przydatne polecenia Polecenie Dziaªanie Przykªad
Bardziej szczegółowo