WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI TESTOWANIE HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI TESTOWANIE HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH"

Transkrypt

1 WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI TESTOWANIE HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH

2 Co to są hipotezy statystyczne? Hipoteza statystyczna to dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej. Dzielimy je na: hipotezy parametryczne gdy nasze przypuszczenie dotyczy wartości parametrów rozkładu (np. średniej, wariancji lub frakcji); hipotezy nieparametryczne są to pozostałe hipotezy, np. dotyczące postaci funkcyjnej rozkładu.

3 Ogólny schemat postępowania 1. Wypisanie danych zawartych w poleceniu zadania. 2. Sformułowanie dwóch hipotez: zerowej (H 0 ) i alternatywnej (H 1 ) odnośnie parametrów w populacji generalnej: H 0 ma zazwyczaj postać parametr=liczba; H 1 może mieć postać parametr liczba, parametr>liczba lub parametr<liczba; należy pamiętać o krótkim słownym opisie danej hipotezy! 3. Obliczenie odpowiedniej statystyki na podstawie wzoru.

4 Ogólny schemat postępowania 4. Stworzenie poglądowego wykresu, na którym zaznaczamy obszar krytyczny i sprawdzenie, czy mieści się w nim wartość obliczonej wcześniej statystyki: Jeśli tak, odrzucamy H 0 na rzecz H 1 ; Jeśli nie, nie mamy podstaw do odrzucenia H 0 ; Obszar krytyczny zaznaczamy na podstawie sformułowanej przez nas wcześniej H 1 (dwustronny, lewostronny lub prawostronny) oraz odpowiedniej wartości odczytanej z tablic statystycznych. 5. Udzielenie wyczerpującej odpowiedzi.

5 A co to jest poziom istotności? Prawdopodobieństwo błędu I rodzaju (α) prawdopodobieństwo odrzucenia H 0, gdy jest ona prawdziwa. Prawdopodobieństwo błędu II rodzaju (β) prawdopodobieństwo przyjęcia H 0, gdy jest ona fałszywa. HIPOTEZA Prawdziwa Fałszywa Przyjęta OK Błąd II rodzaju (β) Odrzucona Błąd I rodzaju (α) OK Poziom istotności α = prawdopodobieństwo błędu I rodzaju! Krytyczny poziom istotności najniższy poziom istotności, przy którym odrzucamy hipotezę zerową. Moc testu = 1 - β

6 TESTY ISTOTNOŚCI DLA ŚREDNIEJ

7 Test istotności dla jednej średniej w populacji generalnej z rozkładem normalnym przy znanym odchyleniu standardowym 1. Wypisanie danych z właściwymi oznaczeniami 2. H 0 : m = m 0 H 1 : m m 0 lub m > m 0 lub m < m 0 3. Statystyka testowa Z = X m 0 σ n 4. Konstrukcja i rysunek obszaru krytycznego, w zależności od hipotezy alternatywnej obszar krytyczny może przyjmować postaci: (- ; -u α > <u α ; ) czyli obustronny dla m m 0 <u 2α ; ) czyli prawostronny dla m > m 0 (- ; -u 2α > czyli lewostronny dla m < m 0 Wartości u α odczytujemy z tablic rozkładu normalnego (albo z ostatniego wiersza tablic t-studenta dla stopni swobody ) 5. Udzielenie odpowiedzi

8 Test istotności dla jednej średniej w populacji generalnej z rozkładem normalnym przy nieznanym odchyleniu standardowym w populacji i dużej próbie (n > 30) 1. Wypisanie danych z właściwymi oznaczeniami 2. H 0 : m = m 0 H 1 : m m 0 lub m > m 0 lub m < m 0 3. Statystyka testowa Z = X m 0 n S 4. Konstrukcja i rysunek obszaru krytycznego, w zależności od hipotezy alternatywnej obszar krytyczny może przyjmować postaci: (- ; -u α > <u α ; ) czyli obustronny dla m m 0 <u 2α ; ) czyli prawostronny dla m > m 0 (- ; -u 2α > czyli lewostronny dla m < m 0 Wartości u α odczytujemy z tablic rozkładu normalnego (albo z ostatniego wiersza tablic t-studenta dla stopni swobody ) 5. Udzielenie odpowiedzi

9 Test istotności dla jednej średniej w populacji generalnej z rozkładem normalnym przy nieznanym odchyleniu standardowym w populacji i małej próbie (n 30) 1. Wypisanie danych z właściwymi oznaczeniami 2. H 0 : m = m 0 H 1 : m m 0 lub m > m 0 lub m < m 0 3. Statystyka testowa t = X m 0 n 1 S 4. Konstrukcja i rysunek obszaru krytycznego, w zależności od hipotezy alternatywnej obszar krytyczny może przyjmować postaci: (- ; -t α;(n-1) > <t α;(n-1) ; ) czyli obustronny dla m m 0 <t 2α;(n-1) ; ) czyli prawostronny dla m > m 0 (- ; -t 2α;(n-1) > czyli lewostronny dla m < m 0 Wartości t α;(n-1) odczytujemy z tablic rozkładu t-studenta 5. Udzielenie odpowiedzi

10 Porównywanie średnich z dwóch populacji o rozkładzie normalnym przy znanych odchyleniach standardowych w populacjach 1. Wypisanie danych z właściwymi oznaczeniami 2. H 0 : m 1 = m 2 H 1 : m 1 m 2 lub m 1 > m 2 lub m 1 < m 2 3. Statystyka testowa Z = X 1 X 2 σ 1 2 n 1 + σ 2 2 n 2 4. Konstrukcja i rysunek obszaru krytycznego, w zależności od hipotezy alternatywnej obszar krytyczny może przyjmować postaci: (- ; -u α > <u α ; ) czyli obustronny dla m 1 m 2 <u 2α ; ) czyli prawostronny dla m 1 > m 2 (- ; -u 2α > czyli lewostronny dla m 1 < m 2 Wartości u α odczytujemy z tablic rozkładu normalnego (albo z ostatniego wiersza tablic t-studenta dla stopni swobody ) 5. Udzielenie odpowiedzi

11 Porównywanie średnich z dwóch populacji o rozkładzie normalnym przy nieznanych odchyleniach standardowych w populacjach i dużych próbach (n > 30) 1. Wypisanie danych z właściwymi oznaczeniami 2. H 0 : m 1 = m 2 H 1 : m 1 m 2 lub m 1 > m 2 lub m 1 < m 2 3. Statystyka testowa Z = X 1 X 2 S 1 2 n 1 + S 2 2 n 2 4. Konstrukcja i rysunek obszaru krytycznego, w zależności od hipotezy alternatywnej obszar krytyczny może przyjmować postaci: (- ; -u α > <u α ; ) czyli obustronny dla m 1 m 2 <u 2α ; ) czyli prawostronny dla m 1 > m 2 (- ; -u 2α > czyli lewostronny dla m 1 < m 2 Wartości u α odczytujemy z tablic rozkładu normalnego (albo z ostatniego wiersza tablic t-studenta dla stopni swobody ) 5. Udzielenie odpowiedzi

12 Porównywanie średnich z dwóch populacji o rozkładzie normalnym przy nieznanych odchyleniach standardowych w populacjach i małych próbach (n 30) 1. Wypisanie danych z właściwymi oznaczeniami 2. H 0 : m 1 = m 2 H 1 : m 1 m 2 lub m 1 > m 2 lub m 1 < m 2 3. Statystyka testowa t = X1 X2 n1s 1 2 +n 2S 2 2 n1+n2 2 1 n1 + 1 n2 4. Konstrukcja i rysunek obszaru krytycznego, w zależności od hipotezy alternatywnej obszar krytyczny może przyjmować postaci: (- ; -t α;(n1+n2-2) > <t α;(n1+n2-2) ; ) czyli obustronny dla m 1 m 2 <t 2α;(n1+n2-2) ; ) czyli prawostronny dla m 1 > m 2 (- ; -t 2α;(n1+n2-2) > czyli lewostronny dla m 1 < m 2 Wartości t α;(n-1) odczytujemy z tablic rozkładu t-studenta 5. Udzielenie odpowiedzi

13 Zadanie 4.1/54

14 Test istotności dla jednej średniej w populacji generalnej z rozkładem normalnym przy znanym odchyleniu standardowym 1. Dane 4. Konstrukcja i rysunek obszaru krytycznego 2. H 0 : m = m 0 H 1 : m m 0 3. Statystyka testowa Z = X m 0 σ n Obszar krytyczny to w tym przypadku: (- ; -u α > <u α ; ) 5. Odpowiedź

15 Zadanie 4.1/54

16 1. m 0 = 200 g x = 199,95 g σ = 0,2 g α = 0,1 n = 16 Zadanie 4.1/54 2. H 0 : m = 200 g (średnia waga tabliczki czekolady jest równa 200 g) H 1 : m 200 g (średnia waga tabliczki czekolady jest różna od wartości 200 g) 3. Z = X m 0 σ n Z = 199,95 g 200 g 0,2 g 16 = 1

17 Zadanie 4.1/54 4. Rysunek α = 0,1 u 0,1 = 1,645 Z = Odpowiedź: na poziome istotności 0,1 nie mamy podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej, a więc przyjmujemy, że średnia waga tabliczki czekolady produkowanej przez automat wynosi 200 g. Tak, konsument twierdząc że waga tabliczki nie odpowiada normie popełnia błąd pierwszego rodzaju.

18 Zadanie 4.9/56

19 Porównywanie średnich z dwóch populacji o rozkładzie normalnym przy nieznanych odchyleniach standardowych i dużych próbach 1. Dane 4. Konstrukcja i rysunek obszaru krytycznego 2. H 0 : m 1 = m 2 H 1 : m 1 > m 2 3. Statystyka testowa Z = X 1 X 2 S 1 2 n 1 + S 2 2 n 2 Obszar krytyczny to w tym przypadku: <u 2α ; ) 5. Odpowiedź

20 Zadanie 4.9/56

21 Zadanie 4.9/56 1. x 1 = 129 cm x 2 = 109 cm S 1 = 12 cm S 2 = 10 cm n 1 = 300 n 2 = H 0 : m 1 = m 2 (zarówno w 1979 jak i w letni chłopcy skakali średnio na taką samą odległość) H 1 : m 1 > m 2 (w 1979 jak 7-letni chłopcy skakali średnio dalej niż w 2009) 3. Z = X 1 X2 S 1 2 n1 +S 2 2 n2 Z = 129 cm 109 cm 12 cm cm =22,177

22 Zadanie 4.9/56 4. Rysunek α =??? u 0,01 = 2,576 Z = 22, Odpowiedź: Tak, te wyniki potwierdzają postawioną przez naukowców AWF tezę o tym, że spada przeciętna sprawność dzieci i młodzieży. Poziom istotności musiałby być skrajnie mały (bliski zera), aby zmienił decyzję weryfikacyjną.

23 TESTY ISTOTNOŚCI DLA WARIANCJI

24 Testy istotności dla jednej wariancji w populacji generalnej z rozkładem normalnym 1. Dane 2. H 0 : σ = σ 0 lub H 0 : σ 2 = σ 0 2 H 1 : σ > σ 0 H 1 : σ 2 > σ 0 2 (Uwaga: w tym teście jako H 1 wybieramy zawsze parametr>liczba!) 3. Statystyka testowa 4. Konstrukcja i rysunek obszaru krytycznego (dla H 1 : σ > σ 0 lub H 1 : σ 2 > σ 02 ) Obszar krytyczny: <χ α;n 1 2 ; ) 5. Odpowiedź

25 Zadanie 4.21/59

26 Testy istotności dla jednej wariancji w populacji generalnej z rozkładem normalnym 1. Dane 2. H 0 : σ = σ 0 lub H 0 : σ 2 = σ 0 2 H 1 : σ > σ 0 H 1 : σ 2 > σ 0 2 (Uwaga: w tym teście jako H 1 wybieramy zawsze parametr>liczba!) 3. Statystyka testowa 4. Konstrukcja i rysunek obszaru krytycznego (dla H 1 : σ > σ 0 lub H 1 : σ 2 > σ 02 ) Obszar krytyczny: <χ α;n 1 2 ; ) 5. Odpowiedź

27 Zadanie 4.21/59

28 1. σ 0 = 3 x = 9 Poziom istotności: σ 0 2 = 9 S = 2,9 α = 0,1 n = H 0 : σ = 3 lub H 0 : σ 2 = 9 (odchylenie standardowe wielkości sprzedaży jest równe 3 tys. sztuk butelek) H 1 : σ > 3 Zadanie 4.21/59 H 1 : σ 2 > 9 (odchylenie standardowe wielkości sprzedaży jest większe niż 3 tys. butelek) 3. χ 2 = ,9 2 9 = 27,1

29 Zadanie 4.21/59 4. Rysunek χ 2 = 27, 1 = 39, 087 α = 0,1 v = 30 1 = 29 2 χ 0,1;29 = 39,087 χ 2 = 27,1 = 0,1 5. Odpowiedź: na poziome istotności 0,1 nie mamy podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej, a zatem wnioskujemy, że odchylenie standardowe wielkości sprzedaży jest równe 3 tys. sztuk butelek wina.

30 Porównywanie wariancji z dwóch populacji o rozkładzie normalnym. 1. Dane (nadajemy takie indeksy, aby S 1 >S 2 ) 2. H 0 : σ 1 = σ 2 lub H 0 : σ 12 = σ 2 2 H 1 : σ 1 > σ 2 H 1 : σ 12 > σ Statystyka testowa Uwaga: F musi być większe od 1! 4. Konstrukcja i rysunek obszaru krytycznego, w zależności od hipotezy alternatywnej obszar krytyczny może przyjmować postaci: < F α;n1 1;n 2 1; ), czyli prawostronny dla H 1 : σ 1 > σ 2 lub H 1 : σ 12 > σ Odpowiedź

31 Zadanie 4.22/59

32 Porównywanie wariancji z dwóch populacji o rozkładzie normalnym. 1. Dane (nadajemy takie indeksy, aby S 1 >S 2 ) 4. Konstrukcja i rysunek obszaru krytycznego 2. H 0 : σ 1 = σ 2 lub H 0 : σ 12 = σ 2 2 H 1 : σ 1 > σ 2 H 1 : σ 12 > σ 2 3. Statystyka Uwaga: F musi być większe od 1! Obszar krytyczny: < F α;n1 1;n 2 1; ) 5. Odpowiedź

33 Zadanie 4.22/59 1. n 1 = 11 S 1 = 20 Poziom istotności: n 2 = 11 S 2 = 15 α = 0,1 2. H 0 : σ 1 = σ 2 lub H 0 : σ 12 = σ 2 2 (odchylenia standardowe/wariancje punktualności dostaw są równe) H 1 : σ 1 > σ 2 H 1 : σ 12 > σ 2 2 (odchylenie standardowe/wariancja punktualności dostaw jest większe u pierwszego dostawcy) 3. F = = 1,778

34 Zadanie 4.22/59 4. Rysunek F = 1, 778 α = 0,1 v 1 = 11 1 = 10 v 2 = 11 1 = 10 = 2, 32 F = 1,778 F 0,1;10;10 = 2,32 (z tablic F-Snedecora) = 0,1 5. Odpowiedź: na poziomie istotności 0,1 nie mamy podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej, a zatem wnioskujemy, że nie ma podstaw do preferowania jednego z dostawców ryb.

35 TESTY ISTOTNOŚCI DLA FRAKCJI

36 Testy istotności dla jednego prawdopodobieństwa (odsetka, frakcji) w populacji generalnej 1. Wypisanie danych z właściwymi oznaczeniami 2. H 0 : p = p 0 H 1 : p p 0 lub p > p 0 lub p < p 0 3. Statystyka testowa Z = m n p 0 p 0 1 p 0 n 4. Konstrukcja i rysunek obszaru krytycznego, w zależności od hipotezy alternatywnej obszar krytyczny może przyjmować postaci: (- ; -u α > <u α ; ) czyli obustronny dla p p 0 <u 2α ; ) czyli prawostronny dla p > p 0 (- ; -u 2α > czyli lewostronny dla p < p 0 Wartości u α odczytujemy z tablic rozkładu normalnego (albo z ostatniego wiersza tablic t-studenta dla stopni swobody ) 5. Udzielenie odpowiedzi

37 Testy istotności dla dwóch prawdopodobieństw (odsetków, frakcji) w populacjach generalnych 1. Wypisanie danych z właściwymi oznaczeniami 2. H 0 : p 1 = p 2 H 1 : p 1 p 2 lub p 1 > p 2 lub p 1 < p 2 3. Statystyka testowa Z = m 1 n 1 m 2 n 2 m 1 +m 2 1 m 1+m 2 n 1 +n 2 n 1 +n 2 n 1 n 2 n 1 +n 2 4. Konstrukcja i rysunek obszaru krytycznego, w zależności od hipotezy alternatywnej obszar krytyczny może przyjmować postaci: (- ; -u α > <u α ; ) czyli obustronny dla p 1 p 2 <u 2α ; ) czyli prawostronny dla p 1 > p 2 (- ; -u 2α >czyli lewostronny dla p 1 < p 2 Wartości u α odczytujemy z tablic rozkładu normalnego (albo z ostatniego wiersza tablic t-studenta dla stopni swobody ) 5. Udzielenie odpowiedzi

38 Zadanie 4.12/57

39 Testy istotności dla jednego prawdopodobieństwa (odsetka, frakcji) w populacji generalnej 1. Dane 4. Konstrukcja i rysunek obszaru krytycznego 2. H 0 : p = p 0 H 1 : p > p 0 3. Statystyka testowa Z = m n p 0 p 0 1 p 0 n Obszar krytyczny to w tym przypadku: <u 2α ; ) 5. Odpowiedź

40 Zadanie 4.12/57

41 Zadanie 4.12/57 1. m = 63 n = 120 p 0 = 0,5 2. H 0 : p = 0,5 (terapia jest skuteczna w przypadku połowy pacjentów, czyli tak jak dotychczasowa) H 1 : 0,5 < p (terapia jest skuteczna w przypadku ponad połowy pacjentów) 3. Z = m n p 0 p0 1 p0 n Z = ,5 0,5 1 0,5 120 =0,548

42 Zadanie 4.12/57 4. Rysunek α = 0,01 u 0,02 = 2,326 Z = 0, Odpowiedź: Nie jest prawdą że nowa terapia jest skuteczna w przypadku ponad połowy pacjentów. Tak, twórca leku może popełnić błąd I rodzaju twierdząc, że jego produkt jest skuteczniejszy niż dotychczasowa terapia. A więc brak podstaw do odrzucenia H 0

43 Zadanie 4.18/58

44 Porównywanie dwóch prawdopodobieństw (odsetków, frakcji) w dwóch populacjach generalnych 1. Dane 4. Konstrukcja i rysunek obszaru krytycznego 2. H 0 : p 1 = p 2 H 1 : p 1 p 2 3. Statystyka testowa Z = m 1 n 1 m 2 n 2 m 1 +m 2 1 m 1+m 2 n 1 +n 2 n 1 +n 2 n 1 n 2 n 1 +n 2 Obszar krytyczny to w tym przypadku: (- ; -u α > <u α ; ) 5. Odpowiedź

45 Zadanie 4.18/58

46 Zadanie 4.18/58 1. m 1 = 147 m 2 = 138 n 1 = 300 n 2 = H 0 : p 1 = p 2 (CITEAM jest jednakowo rozpoznawalny wśród internautów obojga płci) H 1 : p 1 p 2 (CITEAM nie jest jednakowo rozpoznawalny wśród internautów obojga płci) 3. Z = m1+m2 n1+n2 m1 n1 m 2 n2 1 m 1+m2 n1+n2 n1 n2 n1+n2 Z = =0,736

47 Zadanie 4.18/58 4. Rysunek α = 0,1 u 0,1 = 1,645 Z = 0, Odpowiedź: na poziome istotności 0,1 nie mamy podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej, a więc przyjmujemy, że CITEAM jest jednakowo rozpoznawalny wśród internautów obu płci. Zatem brak podstaw do odrzucenia H 0

48 DZIĘKUJEMY ZA UWAGĘ! Adam Wiechowski Piotr Zioło

SIGMA KWADRAT. Weryfikacja hipotez statystycznych. Statystyka i demografia CZWARTY LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO-DEMOGRAFICZNY

SIGMA KWADRAT. Weryfikacja hipotez statystycznych. Statystyka i demografia CZWARTY LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO-DEMOGRAFICZNY SIGMA KWADRAT CZWARTY LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO-DEMOGRAFICZNY Weryfikacja hipotez statystycznych Statystyka i demografia PROJEKT DOFINANSOWANY ZE ŚRODKÓW NARODOWEGO BANKU POLSKIEGO URZĄD STATYSTYCZNY

Bardziej szczegółowo

Błędy przy testowaniu hipotez statystycznych. Decyzja H 0 jest prawdziwa H 0 jest faszywa

Błędy przy testowaniu hipotez statystycznych. Decyzja H 0 jest prawdziwa H 0 jest faszywa Weryfikacja hipotez statystycznych Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy populacji, o prawdziwości lub fałszywości którego wnioskuje się na podstawie

Bardziej szczegółowo

Statystyka. #5 Testowanie hipotez statystycznych. Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik. rok akademicki 2016/ / 28

Statystyka. #5 Testowanie hipotez statystycznych. Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik. rok akademicki 2016/ / 28 Statystyka #5 Testowanie hipotez statystycznych Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik rok akademicki 2016/2017 1 / 28 Testowanie hipotez statystycznych 2 / 28 Testowanie hipotez statystycznych

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych. Wnioskowanie statystyczne

Testowanie hipotez statystycznych. Wnioskowanie statystyczne Testowanie hipotez statystycznych Wnioskowanie statystyczne Hipoteza statystyczna to dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej (jego postaci funkcyjnej lub wartości parametrów). Hipotezy

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna dla leśników

Statystyka matematyczna dla leśników Statystyka matematyczna dla leśników Wydział Leśny Kierunek leśnictwo Studia Stacjonarne I Stopnia Rok akademicki 03/04 Wykład 5 Testy statystyczne Ogólne zasady testowania hipotez statystycznych, rodzaje

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI

LABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI LABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI WERYFIKACJA HIPOTEZ Hipoteza statystyczna jakiekolwiek przypuszczenie dotyczące populacji generalnej- jej poszczególnych

Bardziej szczegółowo

TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Przez hipotezę statystyczną rozumiemy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu interesującej nas

TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Przez hipotezę statystyczną rozumiemy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu interesującej nas TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Przez hipotezę statystyczną rozumiemy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu interesującej nas cechy. Hipotezy dzielimy na parametryczne i nieparametryczne.

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów. Wrocław, r

Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów. Wrocław, r Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów Wrocław, 18.03.2016r Plan wykładu: 1. Testowanie hipotez 2. Etapy testowania hipotez 3. Błędy 4. Testowanie wielokrotne 5. Estymacja parametrów

Bardziej szczegółowo

Wykład 3 Hipotezy statystyczne

Wykład 3 Hipotezy statystyczne Wykład 3 Hipotezy statystyczne Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu obserwowanej zmiennej losowej (cechy populacji generalnej) Hipoteza zerowa (H 0 ) jest hipoteza

Bardziej szczegółowo

Matematyka i statystyka matematyczna dla rolników w SGGW WYKŁAD 9. TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH cd.

Matematyka i statystyka matematyczna dla rolników w SGGW WYKŁAD 9. TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH cd. WYKŁAD 9 TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH cd. Było: Przykład 1. Badano krąŝek o wymiarach zbliŝonych do monety jednozłotowej ze stronami oznaczonymi: A, B. NaleŜy ustalić, czy krąŝek jest symetryczny?

Bardziej szczegółowo

RÓWNOWAŻNOŚĆ METOD BADAWCZYCH

RÓWNOWAŻNOŚĆ METOD BADAWCZYCH RÓWNOWAŻNOŚĆ METOD BADAWCZYCH Piotr Konieczka Katedra Chemii Analitycznej Wydział Chemiczny Politechnika Gdańska Równoważność metod??? 2 Zgodność wyników analitycznych otrzymanych z wykorzystaniem porównywanych

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2

STATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2 STATYSTYKA Rafał Kucharski Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2 Karl Popper... no matter how many instances of white swans we may have observed, this does not

Bardziej szczegółowo

Statystyka i opracowanie danych- W 8 Wnioskowanie statystyczne. Testy statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych.

Statystyka i opracowanie danych- W 8 Wnioskowanie statystyczne. Testy statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych. Statystyka i opracowanie danych- W 8 Wnioskowanie statystyczne. Testy statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Hipotezy i Testy statystyczne Każde

Bardziej szczegółowo

), którą będziemy uważać za prawdziwą jeżeli okaże się, że hipoteza H 0

), którą będziemy uważać za prawdziwą jeżeli okaże się, że hipoteza H 0 Testowanie hipotez Każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy nazywamy hipotezą statystyczną. Hipoteza określająca jedynie wartości nieznanych parametrów liczbowych badanej cechy

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów stat. Hipoteza statystyczna Dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych cd.

Testowanie hipotez statystycznych cd. Temat Testowanie hipotez statystycznych cd. Kody znaków: żółte wyróżnienie nowe pojęcie pomarańczowy uwaga kursywa komentarz 1 Zagadnienia omawiane na zajęciach 1. Przykłady testowania hipotez dotyczących:

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO. Wykład 2

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO. Wykład 2 STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład Parametry przedziałowe rozkładów ciągłych określane na podstawie próby (przedziały ufności) Przedział ufności dla średniej s X t( α;n 1),X + t( α;n 1) n s n t (α;

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez. Hipoteza prosta zawiera jeden element, np. H 0 : θ = 2, hipoteza złożona zawiera więcej niż jeden element, np. H 0 : θ > 4.

Testowanie hipotez. Hipoteza prosta zawiera jeden element, np. H 0 : θ = 2, hipoteza złożona zawiera więcej niż jeden element, np. H 0 : θ > 4. Testowanie hipotez Niech X = (X 1... X n ) będzie próbą losową na przestrzeni X zaś P = {P θ θ Θ} rodziną rozkładów prawdopodobieństwa określonych na przestrzeni próby X. Definicja 1. Hipotezą zerową Θ

Bardziej szczegółowo

Test lewostronny dla hipotezy zerowej:

Test lewostronny dla hipotezy zerowej: Poznajemy testowanie hipotez statystycznych w środowisku R Zajęcia z dnia 11 maja 2011 roku Najpierw teoria TESTY ISTOTNOŚCI WARTOŚCI ŚREDNIEJ W POPULACJI GENERALNEJ gdy znana jest wariancja!!! Test prawostronny

Bardziej szczegółowo

TEST STATYSTYCZNY. Jeżeli hipotezę zerową odrzucimy na danym poziomie istotności, to odrzucimy ją na każdym większym poziomie istotności.

TEST STATYSTYCZNY. Jeżeli hipotezę zerową odrzucimy na danym poziomie istotności, to odrzucimy ją na każdym większym poziomie istotności. TEST STATYSTYCZNY Testem statystycznym nazywamy regułę postępowania rozstrzygająca, przy jakich wynikach z próby hipotezę sprawdzaną H 0 należy odrzucić, a przy jakich nie ma podstaw do jej odrzucenia.

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez cz. I

Testowanie hipotez cz. I Wykład 11 Testowanie hipotez cz. I TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Hipoteza statystyczna jest to przypuszczenie dotyczące nieznanej własności rozkładu prawdopodobieństwa badanej cechy populacji. W zadaniach

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych.

Testowanie hipotez statystycznych. Bioinformatyka Wykład 4 Wrocław, 17 października 2011 Temat. Weryfikacja hipotez statystycznych dotyczących wartości oczekiwanej w dwóch populacjach o rozkładach normalnych. Model 3. Porównanie średnich

Bardziej szczegółowo

WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI REGRESJA LINIOWA

WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI REGRESJA LINIOWA WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI REGRESJA LINIOWA Powtórka Powtórki Kowiariancja cov xy lub c xy - kierunek zależności Współczynnik korelacji liniowej Pearsona r siła liniowej zależności Istotność

Bardziej szczegółowo

WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE

WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE STATYSTYKA WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE ESTYMACJA oszacowanie z pewną dokładnością wartości opisującej rozkład badanej cechy statystycznej. WERYFIKACJA HIPOTEZ sprawdzanie słuszności przypuszczeń dotyczących

Bardziej szczegółowo

166 Wstęp do statystyki matematycznej

166 Wstęp do statystyki matematycznej 166 Wstęp do statystyki matematycznej Etap trzeci realizacji procesu analizy danych statystycznych w zasadzie powinien rozwiązać nasz zasadniczy problem związany z identyfikacją cechy populacji generalnej

Bardziej szczegółowo

ZMIENNE LOSOWE. Zmienna losowa (ZL) X( ) jest funkcją przekształcającą przestrzeń zdarzeń elementarnych w zbiór liczb rzeczywistych R 1 tzn. X: R 1.

ZMIENNE LOSOWE. Zmienna losowa (ZL) X( ) jest funkcją przekształcającą przestrzeń zdarzeń elementarnych w zbiór liczb rzeczywistych R 1 tzn. X: R 1. Opracowała: Joanna Kisielińska ZMIENNE LOSOWE Zmienna losowa (ZL) X( ) jest funkcją przekształcającą przestrzeń zdarzeń elementarnych w zbiór liczb rzeczywistych R tzn. X: R. Realizacją zmiennej losowej

Bardziej szczegółowo

Wykorzystanie testu t dla pojedynczej próby we wnioskowaniu statystycznym

Wykorzystanie testu t dla pojedynczej próby we wnioskowaniu statystycznym Wiesława MALSKA Politechnika Rzeszowska, Polska Anna KOZIOROWSKA Uniwersytet Rzeszowski, Polska Wykorzystanie testu t dla pojedynczej próby we wnioskowaniu statystycznym Wstęp Wnioskowanie statystyczne

Bardziej szczegółowo

Wydział Matematyki. Testy zgodności. Wykład 03

Wydział Matematyki. Testy zgodności. Wykład 03 Wydział Matematyki Testy zgodności Wykład 03 Testy zgodności W testach zgodności badamy postać rozkładu teoretycznego zmiennej losowej skokowej lub ciągłej. Weryfikują one stawiane przez badaczy hipotezy

Bardziej szczegółowo

Wyniki badań reprezentatywnych są zawsze stwierdzeniami hipotetycznymi, o określonych granicach niepewności

Wyniki badań reprezentatywnych są zawsze stwierdzeniami hipotetycznymi, o określonych granicach niepewności Wyniki badań reprezentatywnych są zawsze stwierdzeniami hipotetycznymi, o określonych granicach niepewności Statystyka indukcyjna pozwala kontrolować i oszacować ryzyko popełnienia błędu statystycznego

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA STATYSTYKA MATEMATYCZNA 1. Wykład wstępny. Teoria prawdopodobieństwa i elementy kombinatoryki. Zmienne losowe i ich rozkłady 3. Populacje i próby danych, estymacja parametrów 4. Testowanie hipotez statystycznych

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych związanych ą z szacowaniem i oceną ą modelu ekonometrycznego

Testowanie hipotez statystycznych związanych ą z szacowaniem i oceną ą modelu ekonometrycznego Testowanie hipotez statystycznych związanych ą z szacowaniem i oceną ą modelu ekonometrycznego Ze względu na jakość uzyskiwanych ocen parametrów strukturalnych modelu oraz weryfikację modelu, metoda najmniejszych

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych

Testowanie hipotez statystycznych Testowanie hipotez statystycznych Hipotezą statystyczną jest dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej (jego postaci funkcyjnej lub wartości parametrów). Prawdziwość tego przypuszczenia

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych JERZY STEFANOWSKI Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Plan wykładu 1. Metody wnioskowania statystycznego vs. metody opisu 2. Testowanie hipotez statystycznych

Bardziej szczegółowo

ODRZUCANIE WYNIKÓW POJEDYNCZYCH POMIARÓW

ODRZUCANIE WYNIKÓW POJEDYNCZYCH POMIARÓW ODRZUCANIE WYNIKÓW OJEDYNCZYCH OMIARÓW W praktyce pomiarowej zdarzają się sytuacje gdy jeden z pomiarów odstaje od pozostałych. Jeżeli wykorzystamy fakt, że wyniki pomiarów są zmienną losową opisywaną

Bardziej szczegółowo

Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA (wykład 2) Dariusz Gozdowski

Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA (wykład 2) Dariusz Gozdowski Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA (wykład ) Dariusz Gozdowski Katedra Doświadczalnictwa i Bioinformatyki Wydział Rolnictwa i Biologii SGGW Weryfikacja (testowanie) hipotez statystycznych

Bardziej szczegółowo

1. szereg wyliczający (szczegółowy) - wyniki są uporządkowane wyłącznie według wartości badanej cechy, np. od najmniejszej do największej

1. szereg wyliczający (szczegółowy) - wyniki są uporządkowane wyłącznie według wartości badanej cechy, np. od najmniejszej do największej 1 Statystyka opisowa Statystyka opisowa zajmuje się porządkowaniem danych i wstępnym ich opracowaniem. Szereg statystyczny - to zbiór wyników obserwacji jednostek według pewnej cechy 1. szereg wyliczający

Bardziej szczegółowo

Rozkłady statystyk z próby

Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Przypuśćmy, że wykonujemy serię doświadczeń polegających na 4 krotnym rzucie symetryczną kostką do gry, obserwując liczbę wyrzuconych oczek Nr kolejny

Bardziej szczegółowo

Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średn

Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średn Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średniej Wrocław, 21 grudnia 2016r Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja 10.1 Przedziałem

Bardziej szczegółowo

a. opisać badaną cechę; cechą X jest pomiar średnicy kulki

a. opisać badaną cechę; cechą X jest pomiar średnicy kulki Maszyna ustawiona jest tak, by produkowała kulki łożyskowe o średnicy 1 cm. Pomiar dziesięciu wylosowanych z produkcji kulek dał x = 1.1 oraz s 2 = 0.009. Czy można uznać, że maszyna nie rozregulowała

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie: Weryfikacja hipotez statystycznych dla jednej i dwóch średnich.

Ćwiczenie: Weryfikacja hipotez statystycznych dla jednej i dwóch średnich. Ćwiczenie: Weryfikacja hipotez statystycznych dla jednej i dwóch średnich. EXCEL Do weryfikacji różnic między dwiema grupami jednostek doświadczalnych w Excelu wykorzystujemy funkcję o nazwie T.TEST. Zastosowana

Bardziej szczegółowo

Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich. Wrocław, 5 grudnia 2014

Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich. Wrocław, 5 grudnia 2014 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich Wrocław, 5 grudnia 2014 Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja Przedziałem ufności dla paramertu

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych JERZY STEFANOWSKI Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Plan wykładu 1. Metody wnioskowania statystycznego vs. metody opisu 2. Testowanie hipotez statystycznych

Bardziej szczegółowo

Wykład 10 (12.05.08). Testowanie hipotez w rodzinie rozkładów normalnych przypadek nieznanego odchylenia standardowego

Wykład 10 (12.05.08). Testowanie hipotez w rodzinie rozkładów normalnych przypadek nieznanego odchylenia standardowego Wykład 10 (12.05.08). Testowanie hipotez w rodzinie rozkładów normalnych przypadek nieznanego odchylenia standardowego Przykład Cena metra kwadratowego (w tys. zł) z dla 14 losowo wybranych mieszkań w

Bardziej szczegółowo

Kilka uwag o testowaniu istotności współczynnika korelacji

Kilka uwag o testowaniu istotności współczynnika korelacji 341 Zeszyty Naukowe Wyższej Szkoły Bankowej we Wrocławiu Nr 20/2011 Piotr Peternek Uniwersytet Ekonomiczny we Wrocławiu Marek Kośny Uniwersytet Ekonomiczny we Wrocławiu Kilka uwag o testowaniu istotności

Bardziej szczegółowo

Problem dwóch prób: porównywanie średnich i wariancji z populacji o rozkładach normalnych. Wrocław, 23 marca 2015

Problem dwóch prób: porównywanie średnich i wariancji z populacji o rozkładach normalnych. Wrocław, 23 marca 2015 Problem dwóch prób: porównywanie średnich i wariancji z populacji o rozkładach normalnych. Wrocław, 23 marca 2015 Problem dwóch prób X = (X 1, X 2,..., X n ) - próba z rozkładu normalnego N (µ, σ 2 X ),

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych Przykład. Producent pewnych detali twierdzi, że wadliwość jego produkcji nie przekracza 2%. Odbiorca pewnej partii tego produktu chce sprawdzić, czy może wierzyć producentowi.

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Laboratorium III: Testy statystyczne. Inżynieria biomedyczna, I rok, semestr letni 2013/2014 Analiza danych pomiarowych

Spis treści. Laboratorium III: Testy statystyczne. Inżynieria biomedyczna, I rok, semestr letni 2013/2014 Analiza danych pomiarowych 1 Laboratorium III: Testy statystyczne Spis treści Laboratorium III: Testy statystyczne... 1 Wiadomości ogólne... 2 1. Krótkie przypomnienie wiadomości na temat testów statystycznych... 2 1.1. Weryfikacja

Bardziej szczegółowo

Spis treści 3 SPIS TREŚCI

Spis treści 3 SPIS TREŚCI Spis treści 3 SPIS TREŚCI PRZEDMOWA... 1. WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE JAKO DYSCYPLINA MATEMATYCZNA... Metody statystyczne w analizie i prognozowaniu zjawisk ekonomicznych... Badania statystyczne podstawowe

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład XI: Testowanie hipotez statystycznych 12 stycznia 2015 Przykład Motywacja X 1, X 2,..., X N N (µ, σ 2 ), Y 1, Y 2,..., Y M N (ν, δ 2 ). Chcemy sprawdzić, czy µ = ν i σ 2 = δ 2, czyli że w obu populacjach

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych.

Testowanie hipotez statystycznych. Bioinformatyka Wykład 9 Wrocław, 5 grudnia 2011 Temat. Test zgodności χ 2 Pearsona. Statystyka χ 2 Pearsona Rozpatrzmy ciąg niezależnych zmiennych losowych X 1,..., X n o jednakowym dyskretnym rozkładzie

Bardziej szczegółowo

Gdy n jest duże, statystyka ta (zwana statystyką chikwadrat), przy założeniu prawdziwości hipotezy H 0, ma w przybliżeniu rozkład χ 2 (k 1).

Gdy n jest duże, statystyka ta (zwana statystyką chikwadrat), przy założeniu prawdziwości hipotezy H 0, ma w przybliżeniu rozkład χ 2 (k 1). PRZYKŁADY TESTÓW NIEPARAMETRYCZNYCH. Test zgodności χ 2. Ten test służy testowaniu hipotezy, czy rozważana zmienna ma pewien ustalony rozkład, czy też jej rozkład różni się od tego ustalonego. Tym testem

Bardziej szczegółowo

Testy dotyczące wartości oczekiwanej (1 próbka).

Testy dotyczące wartości oczekiwanej (1 próbka). ZASADY TESTOWANIA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH. TESTY DOTYCZĄCE WARTOŚCI OCZEKIWANEJ Przez hipotezę tatytyczną rozumiemy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu intereującej na cechy. Hipotezy

Bardziej szczegółowo

Estymacja parametrów rozkładu cechy

Estymacja parametrów rozkładu cechy Estymacja parametrów rozkładu cechy Estymujemy parametr θ rozkładu cechy X Próba: X 1, X 2,..., X n Estymator punktowy jest funkcją próby ˆθ = ˆθX 1, X 2,..., X n przybliżającą wartość parametru θ Przedział

Bardziej szczegółowo

Testy t-studenta są testami różnic pomiędzy średnimi czyli służą do porównania ze sobą dwóch średnich

Testy t-studenta są testami różnic pomiędzy średnimi czyli służą do porównania ze sobą dwóch średnich Testy t-studenta są testami różnic pomiędzy średnimi czyli służą do porównania ze sobą dwóch średnich Zmienne muszą być zmiennymi ilościowym (liczymy i porównujemy średnie!) Są to testy parametryczne Nazwa

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA narzędzie do opracowywania i interpretacji wyników pomiarów

STATYSTYKA MATEMATYCZNA narzędzie do opracowywania i interpretacji wyników pomiarów STATYSTYKA MATEMATYCZNA narzędzie do opracowywania i interpretacji wyników pomiarów Piotr Konieczka Katedra Chemii Analitycznej Wydział Chemiczny Politechnika Gdańska Statystyka matematyczna - część matematyki

Bardziej szczegółowo

ALGORYTMICZNA I STATYSTYCZNA ANALIZA DANYCH

ALGORYTMICZNA I STATYSTYCZNA ANALIZA DANYCH 1 ALGORYTMICZNA I STATYSTYCZNA ANALIZA DANYCH WFAiS UJ, Informatyka Stosowana II stopień studiów 2 Wnioskowanie statystyczne dla zmiennych numerycznych Porównywanie dwóch średnich Boot-strapping Analiza

Bardziej szczegółowo

b) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań jest co najwyżej jedno o dawce 15 mg. Wówczas:

b) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań jest co najwyżej jedno o dawce 15 mg. Wówczas: ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zadanie A1. Można założyć, że przy losowaniu trzech kul jednocześnie kolejność ich wylosowania nie jest istotna. A więc: Ω = 20 3. a) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań

Bardziej szczegółowo

Dokładne i graniczne rozkłady statystyk z próby

Dokładne i graniczne rozkłady statystyk z próby Dokładne i graniczne rozkłady statystyk z próby Przypomnijmy Populacja Próba Wielkość N n Średnia Wariancja Odchylenie standardowe 4.2 Rozkład statystyki Mówimy, że rozkład statystyki (1) jest dokładny,

Bardziej szczegółowo

Może faktycznie ceny na Opolszczyźnie są wyższe niż w Polsce. Ceny na Opolszczyźnie są podobne, a akurat trafiliśmy na próbę droższych piekarni.

Może faktycznie ceny na Opolszczyźnie są wyższe niż w Polsce. Ceny na Opolszczyźnie są podobne, a akurat trafiliśmy na próbę droższych piekarni. Statystyczne testowanie hipotez: procedura, która pozwala ocenić hipotezę na temat parametru populacji w oparciu o statystykę próby. Zauważyliśmy, że ceny pieczywa w Opolu są wyższe niż gdzie indziej w

Bardziej szczegółowo

Statystyki: miary opisujące rozkład! np. : średnia, frakcja (procent), odchylenie standardowe, wariancja, mediana itd.

Statystyki: miary opisujące rozkład! np. : średnia, frakcja (procent), odchylenie standardowe, wariancja, mediana itd. Wnioskowanie statystyczne obejmujące metody pozwalające na uogólnianie wyników z próby na nieznane wartości parametrów oraz szacowanie błędów tego uogólnienia. Przewidujemy nieznaną wartości parametru

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez. 1 Testowanie hipotez na temat średniej

Testowanie hipotez. 1 Testowanie hipotez na temat średniej Testowanie hipotez Poziom p Poziom p jest to najmniejszy poziom istotności α, przy którym możemy odrzucić hipotezę zerową dysponując otrzymaną wartością statystyki testowej. 1 Testowanie hipotez na temat

Bardziej szczegółowo

Analiza wariancji. dr Janusz Górczyński

Analiza wariancji. dr Janusz Górczyński Analiza wariancji dr Janusz Górczyński Wprowadzenie Powiedzmy, że badamy pewną populację π, w której cecha Y ma rozkład N o średniej m i odchyleniu standardowym σ. Powiedzmy dalej, że istnieje pewien czynnik

Bardziej szczegółowo

Badania eksperymentalne

Badania eksperymentalne Badania eksperymentalne Pomiar na skali porządkowej mgr Agnieszka Zięba Zakład Badań Marketingowych Instytut Statystyki i Demografii Szkoła Główna Handlowa Najpopularniejsze sposoby oceny wyników eksperymentu

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA zadania do ćwiczeń. Weryfikacja hipotez część I.

STATYSTYKA zadania do ćwiczeń. Weryfikacja hipotez część I. STATYSTYKA zadania do ćwiczeń Weryfikacja hipotez część I Zad 1 W pewnej firmie postanowiono zbadać staż pracy pracowników W tym celu wylosowano prostą próbę losową z populacji pracowników i otrzymano,

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA

STATYSTYKA Wykład 1 20.02.2008r. 1. ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1.1 Rozkład dwumianowy Rozkład dwumianowy, 0 1 Uwaga: 1, rozkład zero jedynkowy. 1 ; 1,2,, Fakt: Niech,, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym

Bardziej szczegółowo

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adrian@tempus.metal.agh.edu.pl

Bardziej szczegółowo

Elementy statystyki STA - Wykład 5

Elementy statystyki STA - Wykład 5 STA - Wykład 5 Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza 1 ANOVA 2 Model jednoczynnikowej analizy wariancji Na model jednoczynnikowej analizy wariancji możemy traktować jako uogólnienie

Bardziej szczegółowo

Porównanie wyników grupy w odniesieniu do norm Test t dla jednej próby

Porównanie wyników grupy w odniesieniu do norm Test t dla jednej próby Porównanie wyników grupy w odniesieniu do norm Test t dla jednej próby 1. Wstęp teoretyczny Prezentowane badanie dotyczy analizy wyników uzyskanych podczas badania grupy rodziców pod kątem wpływu ich przekonań

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: y t. X 1 t. Tabela 1.

Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: y t. X 1 t. Tabela 1. tel. 44 683 1 55 tel. kom. 64 566 811 e-mail: biuro@wszechwiedza.pl Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: gdzie: y t X t y t = 1 X 1

Bardziej szczegółowo

Zadanie Punkty Ocena

Zadanie Punkty Ocena Statystyka matematyczna Test przykładowy na zaliczenie laboratorium / ćwiczeń PROSZĘ NIE ODWRACAĆ KARTKI PRZED ROZPOCZĘCIEM TESTU! Wskazówki: 1. Wybierz zadania, za które w sumie możesz otrzymać 30 punktów

Bardziej szczegółowo

Statystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski

Statystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski Statystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski Książka jest nowoczesnym podręcznikiem przeznaczonym dla studentów uczelni i wydziałów ekonomicznych. Wykład podzielono na cztery części. W pierwszej

Bardziej szczegółowo

Porównanie wielu rozkładów normalnych

Porównanie wielu rozkładów normalnych Porównanie wielu rozkładów normalnych Założenia:. X i N(µ i, σi 2 ), i =,..., k 2. X,..., X k są niezależne Czy µ = = µ k? Czy σ 2 = = σ 2 k? Próby: X i,..., X ini, i =,..., k X i, varx i, s 2 i = varx

Bardziej szczegółowo

POLITECHNIKA OPOLSKA

POLITECHNIKA OPOLSKA POLITECHNIKA OPOLSKA WYDZIAŁ MECHANICZNY Katedra Technologii Maszyn i Automatyzacji Produkcji Laboratorium Podstaw Inżynierii Jakości Ćwiczenie nr 4 Temat: Analiza korelacji i regresji dwóch zmiennych

Bardziej szczegółowo

Test t-studenta dla jednej średniej

Test t-studenta dla jednej średniej Test t-studenta dla jednej średniej Hipoteza zerowa: Średnia wartość zmiennej w populacji jest równa określonej wartości a 0 (a = a 0 ). Hipoteza alternatywna 1.: Średnia wartość zmiennej w populacji jest

Bardziej szczegółowo

ESTYMACJA. Przedział ufności dla średniej

ESTYMACJA. Przedział ufności dla średniej ESTYMACJA Przedział ufności dla średniej W grupie 900 losowo wybranych pracowników przedsiębiorstwa średnia liczba dni nieobecności w pracy wynosiła 30, a odchylenie standardowe 3 dni. a) Przyjmując współczynnik

Bardziej szczegółowo

Statystyczna analiza danych

Statystyczna analiza danych Statystyczna analiza danych Marek Ptak 21 października 2013 Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 1 / 70 Część I Wstęp Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 2 / 70 LITERATURA A. Łomnicki, Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI ROZKŁAD STATYSTYK Z PRÓBY

WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI ROZKŁAD STATYSTYK Z PRÓBY WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI ROZKŁAD STATYSTYK Z PRÓBY Próba losowa prosta To taki dobór elementów z populacji, że każdy element miał takie samo prawdopodobieństwo znalezienia się w próbie Niezależne

Bardziej szczegółowo

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyczna teoria korelacji i regresji (1) Jest to dział statystyki zajmujący

Bardziej szczegółowo

KURS STATYSTYKA. Lekcja 2 Przedziały ufności i estymacja przedziałowa ZADANIE DOMOWE. www.etrapez.pl Strona 1

KURS STATYSTYKA. Lekcja 2 Przedziały ufności i estymacja przedziałowa ZADANIE DOMOWE. www.etrapez.pl Strona 1 KUR TATYTYKA Lekcja Przedziały ufności i estymacja przedziałowa ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl trona 1 Część 1: TET Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie 1 We wnioskowaniu statystycznym

Bardziej szczegółowo

Satysfakcja z życia rodziców dzieci niepełnosprawnych intelektualnie

Satysfakcja z życia rodziców dzieci niepełnosprawnych intelektualnie Satysfakcja z życia rodziców dzieci niepełnosprawnych intelektualnie Zadanie Zbadano satysfakcję z życia w skali 1 do 10 w dwóch grupach rodziców: a) Rodzice dzieci zdrowych oraz b) Rodzice dzieci z niepełnosprawnością

Bardziej szczegółowo

4.Zmienne losowe X 1, X 2,..., X 100 są niezależne i mają rozkład wykładniczy z α = 0.25 Jakie jest prawdopodobieństwo, że 1

4.Zmienne losowe X 1, X 2,..., X 100 są niezależne i mają rozkład wykładniczy z α = 0.25 Jakie jest prawdopodobieństwo, że 1 LISTA 7 W rozwiązaniu zadań 1-4 wykorzystać centralne twierdzenie graniczne. 1.Prawdopodobieństwo, że aparat zepsuje się w czasie jego konserwacji wynosi 0.02. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w trakcie

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji

Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji Statystyka dla jakości produktów i usług Six sigma i inne strategie Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji StatSoft Polska Wybrane zagadnienia analizy korelacji Przy analizie zjawisk i procesów stanowiących

Bardziej szczegółowo

Estymacja parametrów modeli liniowych oraz ocena jakości dopasowania modeli do danych empirycznych

Estymacja parametrów modeli liniowych oraz ocena jakości dopasowania modeli do danych empirycznych Estymacja parametrów modeli liniowych oraz ocena jakości dopasowania modeli do danych empirycznych 3.1. Estymacja parametrów i ocena dopasowania modeli z jedną zmienną 23. Właściciel komisu w celu zbadania

Bardziej szczegółowo

Analiza wariancji - ANOVA

Analiza wariancji - ANOVA Analiza wariancji - ANOVA Analiza wariancji jest metodą pozwalającą na podział zmienności zaobserwowanej wśród wyników eksperymentalnych na oddzielne części. Każdą z tych części możemy przypisać oddzielnemu

Bardziej szczegółowo

Powtórzenie wiadomości z rachunku prawdopodobieństwa i statystyki.

Powtórzenie wiadomości z rachunku prawdopodobieństwa i statystyki. Powtórzenie wiadomości z rachunku prawdopodobieństwa i statystyki. Zaj ecia 5 Natalia Nehrebeceka 04 maja, 2010 Plan zaj eć 1 Rachunek prawdopodobieństwa Wektor losowy Wartość oczekiwana Wariancja Odchylenie

Bardziej szczegółowo

Test dwustronny: H 0 : p= 1 2

Test dwustronny: H 0 : p= 1 2 Test dwustronny: H 0 : p= 1 2 H A : p 1 2 0,300 0,250 0,200 P(r) 0,150 0,100 0,050 0,000 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 r α/2 Przedział ufności α/2 Obszar krytyczny dla α = 0,05 Prawo Murphy'ego: kanapka zazwyczaj

Bardziej szczegółowo

Testy nieparametryczne

Testy nieparametryczne Testy nieparametryczne 1 Wybrane testy nieparametryczne 1. Test chi-kwadrat zgodności z rozkładem oczekiwanym 2. Test chi-kwadrat niezależności dwóch zmiennych kategoryzujących 3. Test U Manna-Whitney

Bardziej szczegółowo

Pobieranie prób i rozkład z próby

Pobieranie prób i rozkład z próby Pobieranie prób i rozkład z próby Marcin Zajenkowski Marcin Zajenkowski () Pobieranie prób i rozkład z próby 1 / 15 Populacja i próba Populacja dowolnie określony zespół przedmiotów, obserwacji, osób itp.

Bardziej szczegółowo

KORELACJE I REGRESJA LINIOWA

KORELACJE I REGRESJA LINIOWA KORELACJE I REGRESJA LINIOWA Korelacje i regresja liniowa Analiza korelacji: Badanie, czy pomiędzy dwoma zmiennymi istnieje zależność Obie analizy się wzajemnie przeplatają Analiza regresji: Opisanie modelem

Bardziej szczegółowo

parametrów strukturalnych modelu = Y zmienna objaśniana, X 1,X 2,,X k zmienne objaśniające, k zmiennych objaśniających,

parametrów strukturalnych modelu = Y zmienna objaśniana, X 1,X 2,,X k zmienne objaśniające, k zmiennych objaśniających, 诲 瞴瞶 瞶 ƭ0 ƭ 瞰 parametrów strukturalnych modelu Y zmienna objaśniana, = + + + + + X 1,X 2,,X k zmienne objaśniające, k zmiennych objaśniających, α 0, α 1, α 2,,α k parametry strukturalne modelu, k+1 parametrów

Bardziej szczegółowo

Narzędzia statystyczne i ekonometryczne. Wykład 1. dr Paweł Baranowski

Narzędzia statystyczne i ekonometryczne. Wykład 1. dr Paweł Baranowski Narzędzia statystyczne i ekonometryczne Wykład 1 dr Paweł Baranowski Informacje organizacyjne Wydział Ek-Soc, pok. B-109 pawel@baranowski.edu.pl Strona: baranowski.edu.pl (w tym materiały) Konsultacje:

Bardziej szczegółowo

Cechy X, Y są dowolnego typu: Test Chi Kwadrat niezależności. Łączny rozkład cech X, Y jest normalny: Test współczynnika korelacji Pearsona

Cechy X, Y są dowolnego typu: Test Chi Kwadrat niezależności. Łączny rozkład cech X, Y jest normalny: Test współczynnika korelacji Pearsona Badanie zależności między cechami Obserwujemy dwie cechy: X oraz Y Obiekt (X, Y ) H 0 : Cechy X oraz Y są niezależne Próba: (X 1, Y 1 ),..., (X n, Y n ) Cechy X, Y są dowolnego typu: Test Chi Kwadrat niezależności

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie: Badanie normalności rozkładu. Wyznaczanie przedziałów ufności

Ćwiczenie: Badanie normalności rozkładu. Wyznaczanie przedziałów ufności Ćwiczenie: Badanie normalności rozkładu. Wyznaczanie przedziałów ufności Badanie normalności rozkładu Shapiro-Wilka: jest on najbardziej zalecanym testem normalności rozkładu. Jednak wskazane jest, aby

Bardziej szczegółowo

JEDNOCZYNNIKOWA ANALIZA WARIANCJI, ANOVA

JEDNOCZYNNIKOWA ANALIZA WARIANCJI, ANOVA JEDNOCZYNNIKOWA ANALIZA WARIANCJI, ANOVA 1 Obserwowana (badana) cecha Y Czynnik wpływający na Y (badany) A A i i ty poziom czynnika A a liczba poziomów (j=1..a), n i liczba powtórzeń w i tej populacji

Bardziej szczegółowo

Przykład 2. Stopa bezrobocia

Przykład 2. Stopa bezrobocia Przykład 2 Stopa bezrobocia Stopa bezrobocia. Komentarz: model ekonometryczny stopy bezrobocia w Polsce jest modelem nieliniowym autoregresyjnym. Podobnie jak model podaŝy pieniądza zbudowany został w

Bardziej szczegółowo

IV WYKŁAD STATYSTYKA. 26/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15

IV WYKŁAD STATYSTYKA. 26/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 IV WYKŁAD STATYSTYKA 26/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 WYKŁAD 4 Populacja generalna, próba, losowanie próby, estymatory Statystyka (populacja generalna, populacja próbna, próbka mała, próbka duża, reprezentatywność,

Bardziej szczegółowo

hipotez statystycznych

hipotez statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych Przykład. Producent pewnych detali twierdzi, że wadliwość jego produkcji nie przekracza 2%. Odbiorca pewnej partii tego produktu chce sprawdzić, czy może wierzyć producentowi.

Bardziej szczegółowo

Oszacowanie i rozkład t

Oszacowanie i rozkład t Oszacowanie i rozkład t Marcin Zajenkowski Marcin Zajenkowski () Oszacowanie i rozkład t 1 / 31 Oszacowanie 1 Na podstawie danych z próby szacuje się wiele wartości w populacji, np.: jakie jest poparcie

Bardziej szczegółowo