Elementy geometrii klasycznej
|
|
- Filip Włodarczyk
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Elementy geometrii klasycznej Maciej Czarnecki Katedra Geometrii Uniwersytetu Łódzkiego Spis treści 1 Geometria euklidesowa 1.1 Przestrzeń liniowa, afiniczna i euklidesowa Norma, odległość, kąt Podprzestrzenie afiniczne Figury wypukłe Przekształcenia afiniczne Symetralna odcinka i dwusieczna kąta płaskiego Wielokąty 8.1 Definicja i podstawowe własności wielokąta Własności miarowe w trójkącie Twierdzenia Cevy i Menelausa Czworokąty Wielokąty foremne Wielościany Definicja i podstawowe własności wielościanu Wielościany foremne Izometrie płaszczyzny Rozkład izometrii na symetrie osiowe Izometrie parzyste Izometrie nieparzyste Klasyfikacja izometrii płaszczyzny
2 1 Geometria euklidesowa 1.1 Przestrzeń liniowa, afiniczna i euklidesowa Rozważamy przestrzeń liniową R n, n, czyli zbiór {x = (x 1,..., x n ) ; x 1 R,..., x n R} z działaniami: dodawania wektorów x + y = (x 1 + y 1,..., y 1 + y n ) dla x, y R n oraz mnożenia wektora przez skalar a x = (ax 1,..., ax n ) dla x R n, a R. Działanie dodawania wektorów jest więc łączne i przemienne oraz ma element neutralny θ = (0,..., 0) oraz każdy wektor x ma wektor przeciwny x = ( x 1,..., x n ). Ponadto mnożenie wektora przez skalar jest rozdzielne względem dodawania wektorach i względem dodawania skalarów, ma własność mieszanej łączności (czyli a (b x) = (ab) x) oraz 1 x = x dla x R n. W przestrzeni R n określony jest (standardowy) iloczyn skalarny x, y = x 1 y x n y n. Rozważamy także strukturę punktów i wektorów zwaną przestrzenią afiniczną E n, w której zbiorem punktów jest zbiór n tek liczb rzeczywistych, funkcję przestrzeni liniowej pełni R n, a operacja przypisana dwóm punktom wektora jest dana wzorem pq = q p = (q1 p 1,..., q n p n ). Wówczas dla każdego punktu p E n oraz każdego wektora v R n istnieje dokładnie jeden taki punkt q E n, że pq = v oraz spełniona jest dla dowolnych punktów równość trójkąta pq + qr = pr. Definicja (Standardową) n wymiarową przestrzenią euklidesową nazywamy przestrzeń afiniczną E n wraz z określonym w przestrzeni jej wektorów R n standardowym iloczynem skalarnym. 1. Norma, odległość, kąt Definicja Normą (lub długością) wektora v nazywamy liczbę (nieujemną) v = v, v. Kątem pomiędzy niezerowymi wektorami v, w nazywamy liczbę (v, w) = arc cos v, w v w. Mówimy także, że dwa wektory są prostopadłe, gdy mają zerowy iloczyn skalarny (o ile są niezerowe tworzą wtedy kąt π ). Definicja 1... Odległością punktów p, q nazywamy liczbę (nieujemną) pq = pq = q p.
3 Twierdzenie 1..3 (nierówność Schwarza). Dla dowolnych wektorów v, w spełniony jest warunek v, w v w, a równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy wektory są równoległe (czyli jeden jest iloczynem drugiego przez skalar). Wniosek 1..4 (nierówność trójkąta). Dla dowolnych punktów p, q, r: pr pq + qr, przy czym równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy punkt q leży na odcinku pr (czyli gdy dla pewnej liczby a [0, 1] zachodzi równość pq = a pr). Twierdzenie 1..5 (twierdzenie cosinusów). Dla dowolnych niezerowych wektorów v, w: v + w = v + w + v w cos (v, w). Wniosek 1..6 (twierdzenie Pitagorasa). Równość v + w = v + w spełniona jest wtedy i tylko wtedy, gdy wektory v, w są prostopadłe. 1.3 Podprzestrzenie afiniczne Definicja Podprzestrzenią afiniczną przestrzeni afinicznej E n nazywamy zbiór postaci p + U = {p + u ; u U}, gdzie p jest punktem, a U podprzestrzenią liniową przestrzeni liniowej R n. Prosta (odpowiednio płaszczyzna, hiperpłaszczyzna) jest podprzestrzenią afiniczną wymiaru 1 (odpowiednio, n 1). Przykład Podprzestrzeń afiniczna 0 wymiarowa jest pojedynczym punktem, prostą można zapisać jako p, p+v = p+lin (v), gdzie v θ, zaś płaszczyznę w postaci p, p+v, p+w = p+lin (v, w), gdzie v, w są wektorami liniowo niezależnymi. Hiperpłaszczyznę można określić przez jej dopełnienie ortogonalne pisząc p + u, gdzie u jest niezerowym (często po prostu jednostkowym) wektorem prostopadłym do wszystkich wektorów tej hiperpłaszczyzny. Definicja Podprzestrzenie afiniczne H 1 = p 1 + U 1, H = p + U są równoległe, co zapisujemy H 1 H, gdy U 1 U lub U U 1. Definicja Załóżmy, że podprzestrzenie afiniczne H 1 = p 1 +U 1, H = p +U mają co najwyżej jeden punkt wspólny. Wówczas kątem pomiędzy podprzestrzeniami H 1, H nazywamy liczbę (H 1, H ) = min{ (u 1, u ) ; u 1 U 1, u U }. Uwaga Określa się także w nieco inny sposób kąt pomiędzy dwiema hiperpłaszczyznami jako kąt pomiędzy ich wektorami normalnymi (czyli prostopadłymi do tych hiperpłaszczyzn). 3
4 1.4 Figury wypukłe Definicja Odcinkiem o końcach p, q E n, gdzie p q, nazywamy zbiór pq = {p + a pq ; a [0, 1]} = {αp + βq ; α, β 0, α + β = 1}. Trójkątem o wierzchołkach p, q, r E n, gdzie punkty p, q, r są niewspółliniowe, nazywamy zbiór pqr = {p + a pq + b pr ; a, b 0, a + b 1} = {αp + βq + γr ; α, β, γ 0, α + β + γ = 1}. Analogicznie czworościan (odpowiednio sympleks k wymiarowy) jest zbiorem wszystkich środków ciężkości o nieujemnych wagach swoich czterech niewspółpłaszczyznowych (odpowiednio k + 1 nie leżących na żadnej k wymiarowej podprzestrzeni afinicznej) wierzchołków. Definicja Dla danej prostej L oraz punktów p, q L, p q. Półprostą o początku p wyznaczoną na L przez punkt q nazywamy zbiór pq = {p + a pq ; a 0}. Półpłaszczyznę na płaszczyźnie P o krawędzi L = p + lin (v) wyznaczoną przez punkt q P \ L określamy jako Lq = {p + a pq + bv ; a 0, b R} = {p + a pq + w ; a 0, w L}. Analogicznie określamy półprzestrzeń wyznaczoną przez płaszczyznę w E 3 i punkt nie należący do tej płaszczyzny. Definicja Kąt płaski o wierzchołku p i ramionach wyznaczonych przez wektory nierównoległe u, v jest zbiorem p + u, p, p + v = upv = {p + au + bv ; a, b 0}. Jeżeli dane są trzy (odpowiednio n 4) wektory niewspółpłaszczyznowe można określić kąt trójścienny (odpowiednio kąt n ścienny) o wierzchołku p i wyznaczonych przez te wektory krawędziach jako (p; u, v, w) = {p + au + bv + cw ; a, b, c 0} (odpowiednio przez nieujemne kombinacje liniowe danych wektorów). Uwaga Można określić kąt dwuścienny pomiędzy płaszczyznami P 1, P przecinającymi się wzdłuż prostej L wskazując wybranym punktem jeden z czterech obszarów ograniczonych tymi dwiema płaszczyznami. Definicja Kulą (odpowiednio sferą) o środku w punkcie p i promieniu R > 0 nazywamy zbiór B(p, R) (odpowiednio S(p, r)) wszystkich punktów przestrzeni odległych od p o co najwyżej R (odpowiednio: o R). Koło (odpowiednio okrąg) jest kulą (odpowiednio sferą) na płaszczyźnie E. Definicja Mówimy, że podzbiór A E n jest wypukły, jeżeli dla dowolnych punktów p, q A zbiór A zawiera odcinek pq. Przykład Wszystkie sympleksy, kąty n ścienne i kule są wypukłe, a żadna ze sfer nie jest wypukła. Aby określić niewypukły kąt płaski (odpowiednio n ścienny) należy rozważyć dopełnienie kąta wraz z jego ramionami (ścianami). 4
5 1.5 Przekształcenia afiniczne Definicja Przekształcenie f przestrzeni E n na siebie spełniające warunek f(x) f(y) = xy dla x, y E n nazywamy izometrią. Podobieństwem o skali k > 0 jest przekształcenie E n na siebie takie, że f(x) f(y) = k xy dla x, y E n. Definicja Niech H = p + U oraz K = q + W będą podprzestrzenia mi afinicznymi przestrzeni E n takimi, że U W = R n. Dla dowolnego punktu x E n jego rzutem równoległym na podprzestrzeń H w kierunku podprzestrzeni K nazywamy jedyny punkt π K H (x) H (x + W ). Rzut prostopadły na podprzestrzeń H jest rzutem równoległym na H w kierunku U ; oznaczamy go przez π H. Definicja Translacją o wektor v R n nazywamy przekształcenie T v : E n E n dane wzorem T v (x) = x + v dla x E n. Definicja Symetrią względem podprzestrzeni afinicznej H E n nazywamy przekształcenie s H : E n E n dane wzorem s H (x) = x + x π H (x) dla x E n. Gdy H = {p} mówimy o symetrii środkowej względem punktu p, wtedy s p (x) = p x, natomiast gdy H = p + u jest hiperpłaszczyzną i u = 1, to symetria hiperpłaszczyznowa wyraża się wzorem s H (x) = x x p, u u. Twierdzenie Niech H E n będzie przestrzenią afiniczną. Wówczas 1. s H s H = id E n,. s H jest izometrią, 3. s H (x) = x wtedy i tylko wtedy, gdy x H. Definicja Obrotem [ płaszczyzny] E dookoła początku układu o kąt α nazywamy przekształcenie R α dane macierzą. Obrót Rp sin α cos α α dookoła punktu p E określamy przez złożenie cos α sin α T p R α T p. Przekształcenie ortogonalne jest dane macierzą ortogonalną, czyli należącą do zbioru O(n) = {A M nn ; AA T = A T A = I}. Definicja Jednokładnością o środku p i skali s 0 nazywamy przekształcenie J s p : E n E n dane wzorem J s p(x) = p + s px = (1 s)p + sx dla x E n. 5
6 Twierdzenie (Mazura Ulama). Każda izometria przestrzeni E n jest złożeniem przekształcenia ortogonalnego z translacją. Wniosek Każde podobieństwo przestrzeni E n jest złożeniem jednokładności, przekształcenia ortogonalnego i translacji. Przykład Każda izometria płaszczyzny E jest złożeniem symetrii osiowej lub tozsamości z obrotem i translacją, a każde podobieństwo płaszczyzny jest złożeniem symetrii osiowej lub tozsamości z obrotem, jednokładnością i translacją. 1.6 Symetralna odcinka i dwusieczna kąta płaskiego Definicja Symetralną odcinka pq, gdzie p q, nazywamy hiperpłaszczyznę sym pq = 1 p + 1 q + ( pq) Stwierdzenie Symetralna odcinka jest jego hiperpłaszczyną symetrii, tzn. jeżeli H = sym pq, to s H (pq) = pq. Dowód. Z nierówności trójkąta i inwolutywności symetrii wynika, że wystarczy wykazać równość s H (p) = q. Zauważmy, że hieprpłaszczyzna H przechodzi przez punkt 1p + 1 q i jej jednostkowym wektorem normalnym jest u = q p. Ze wzoru na symetrię hiperpłaszczyznową mamy więc q p s H (p) =p p 1 p 1 q, q p q p q p q p = p p q, q p q p q p = p + q p = q. Stwierdzenie Symetralna odcinka jest zbiorem wszystkich punktów równo odległych od końców tego odcinka. Dowód. Niech H będzie symetralną odcinka pq, zaś E = {x E n ; xp = xq }. Aby pokazać zawieranie H E zauważmy, że punkt x H można przedstawić w postaci x = 1 p + 1 q + v, gdzie v q p. Stąd i z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy xp 1 = (p q) v 1 = (p q) + v 1 = (q p) + v 1 == (q p) v = xq, czyli x E. Niech teraz x E. Wówczas p x = q x, co pociąga za sobą p q = p q, x. Stąd rzutem prostopadłym punktu x na prostą pq jest punkt 1 x p, q p π pq (x) = p+ (q p) = p+ q 1 p p, q + p (q p) = p+ 1 q p q p (q p) = 1 p+ 1 q. Tym samym x 1 p + 1 q + ( pq) = H. Definicja Dwusieczną kąta płaskiego upv nazywamy półprostą pw, gdzie w = u u + v v. Stwierdzenie Na płaszczyźnie E dwusieczna kąta płaskiego jest zawarta w jego osi symetrii. 6
7 Dowód. Przyjmijmy od razu, że wektory u i v wyznaczajace kąt płaski upv są jednostkowe; wtedy wektorem wyznaczajacym dwusieczną tego kąta jest jest wektor w = u + v, zaś wektorem normalnym do prostej L = p+lin (w) jest v u. Z założeń i nierówności Schwarza wynika także dodatniość liczby t = v u = (1 u, v ). Dowolny punkt kąta jest postaci x = p + au + bv, gdzie a, b 0. Ze wzoru na symetrię hiperpłaszczyznową (dim L = 1 = dim E 1) otrzymujemy skąd s L (x) upv. s L (x) =p + au + bv au + bv, v u v u v u v u =p + au + bv ( a + b + a u, v b u, v ) (v u) t =p + au + bv t (b a) t (v u) = p + bu + av, Stwierdzenie Na płaszczyźnie E dwusieczna kąta płaskiego jest zbiorem wszystkich punktów tego kąta równo odległych od ramion tego kąta. Dowód. Załóżmy, że wektory u i v wyznaczajace kąt płaski upv są jednostkowe; wiemy wtedy, że v+w wyznacza dwusieczną, zatem punkt kąta postaci x = p+au+bv, a, b 0, nalezy do dwusiecznej wtedy i tylko wtedy, gdy a = b. Obliczymy odległość punktu kąta od ramienia pu. Dla x = p + au + bv, a, b 0, jest to długość składowej wektora px prostopadłej do wektora u. Ponieważ kierunek prostopadły do u w E wyznacza wektor u = v u, v u o długości u = 1 u, v > 0, więc d (x, pu ) = x p, u u = au + bv, v u, v u 1 u, v = b b u, v 1 u, v = b. Podobnie d (x, pv ) = a. Zatem x jest równo odległy od ramion kąta wtedy i tylko wtedy, gdy a = b, czyli gdy należy do dwusiecznej. 7
8 Wielokąty.1 Definicja i podstawowe własności wielokąta Definicja.1.1. Wielokątem nazywamy spójny podzbiór płaszczyzny, który jest sumą mnogościową takiej rodziny trójkątów, że część wspólna dowolnych dwóch spośród nich jest ich wspólnym bokiem lub wspólnym wierzchołkiem lub zbiorem pustym. Każdy taki podział wielokąta nazywamy triangulacją. Definicja.1.. Punkt danego wielokąta, który przy dowolnej triangulacji jest wierzchołkiem trójkąta triangulacji nazywamy wierzchołkiem wielokąta. Bok wielokąta to odcinek łączący jego wierzchołki, który przy dowolnej triangulacji zawiera bok pewnego trójkąta tej triangulacji. Definicja.1.3. Wielokąt o spójnym wnętrzu i n bokach (lub, co na jedno wychodzi, n wierzchołkach), n 3, nazywamy n kątem. Kątem wewnętrznym n kąta nazywamy miarę kąta płaskiego, o wierzchołku w wierzchołku wielokąta, wyznaczonego przez jedyne dwa boki, których wspólnym końcem jest ten wierzchołek. Definicja.1.4. Okrąg zawierający wszystkie wierzchołki danego wielokąta nazywamy okręgiem opisanym na tym wielokącie, zaś okrąg zawarty w wielokącie i styczny do wszystkich prostych zawierających boki tego wielokąta nosi nazwę okręgu wpisanego w tenże wielokąt. Uwaga.1.5. Istnienie okręgu opisanego na n kącie lub wpisanego w n kąt zależy od rozważanego wielokąta i jest pewnego tylko dla n = 3. Definicja.1.6. Polem wielokąta P nazywamy liczbę P (P) równą sumie pól trójkątów pewnej triangulacji wielokąta P. Uwaga.1.7. Pole trójkąta rozpiętego na wektorach v, w określamy jako P ( (p, p + v, p + w)) = 1 a pole wielokąta nie zależy od wyboru triangulacji. det G(v, w) = 1 v w v, w,. Własności miarowe w trójkącie Definicja..1. W trójkącie ABC oznaczamy standardowo: długości boków: a = BC, b = CA, c = AB, miary kątów wewnętrzmnych: α = ( AB, AC ), β = ( BA, BC ), γ = ( CA, CB ), obwód: p = a + b + c, pole: P, promień okręgu opisanego: R, promień okręgu wpisanego: r. Twierdzenie.. (cosinusów). Przy oznaczeniach standardowych w ABC: c = a + b ab cos γ. 8
9 Twierdzenie..3 (sinusów). Przy oznaczeniach standardowych w ABC: a sin α = b sin β = c sin γ = R. Twierdzenie..4 (suma kątów w trójkącie). Przy oznaczeniach standardowych w ABC: Definicja..5. W danym trójkącie określamy: α + β + γ = π. symetralną boku jako symetralna odcinka będącego bokiem trójkąta, dwusieczną kąta wewnętrznego jako dwusieczną kąta płaskiego wyznaczonego przez wektory prowadzące od ustalonego wierzchołka trójkąta do pozostałych wierzchołków, środkową odcinek łączący wierzchołek ze środkiem przeciwległego boku, wysokość odcinek łączący wierzchołek z jego rzutem prostopadłym na prostą zawierającą przeciwległy bok. Twierdzenie..6 (wzory na pole trójkąta). Przy oznaczeniach standardowych w ABC: 1. P = 1 ah a, gdzie h a = d(a, BC),. P = 1 ab sin γ, 3. P = p(p a)(p b)(p c), 4. P = pr, 5. P = abc 4R, 6. P = R sin α sin β sin γ. Stwierdzenie..7 (długość środkowej). Przy oznaczeniach standardowych w ABC środkowa boku a ma długość: b + c m a = a Dowód. Niech A 1 będzie środkiem boku BC, wtedy BA 1 = CA 1 = a. Oznaczmy ϕ = AA 1B, wówczas AA 1 C = π ϕ. Oznaczając m a = AA 1 i stosując twierdzenie cosinusów do trójkątów ADB i ADC otrzymujemy: ( ) a c = + m a am a cos ϕ, ( ) a b = + m a am a cos(π ϕ). Dodając stronami i pamiętając, że cos(π ϕ) = cos ϕ dostajemy równość równoważną tezie. b + c = 1 a + m a 9
10 Twierdzenie..8 (o dwusiecznej kąta wewnętrznego w trójkącie). Dwusieczna kąta wewnętrznego w trójkącie dzieli bok przeciwległy na odcinki proporcjonalne do boków odpowiednio przyległych do tego kąta. Przy oznaczeniach standardowych w ABC, jeżeli D jest punktem przecięcia boku BC dwusieczną kąta płaskiego BAC oraz BD = a 1, CD = a, to a 1 = c a b, skąd także a 1 = ac b + c, a = ab b + c. Dowód. Oznaczmy ϕ = ADB, wówczas ADC = π ϕ. Stosując twierdzenie sinusów do trójkątów ADB i ADC otrzymujemy: a 1 sin α = c sin ϕ, a sin α = b sin(π ϕ), skąd a 1 a = c b, bo sin(π ϕ) = sin ϕ. Druga cześć tezy wynika z pierwszej i równości a 1 + a = a..3 Twierdzenia Cevy i Menelausa Twierdzenie.3.1 (Cevy). Dla danego trójkąta ABC niech punkty D, E, F / {A, B, C} leżą na prostych odpowiednio BC, CA, AB w taki sposób, że BD = k DC, CE = l EA, AF = m F B. Wówczas proste AD, BE, CF przecinają się w dokładnie jednym punkcie lub są parami równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy klm = 1. Dowód. Z założenia wynika, że k, l, m 1 (bo wtedy B = C lub C = A lub A = B) oraz D = 1 k + 1 B + k k + 1 C, E = 1 l + 1 C + l l + 1 A, F = 1 m + 1 A + m m + 1 B. ) Załóżmy najpierw, że proste AD, BE, CF przecinają się w punkcie O. Wówczas istnieją liczby rzeczywiste d, e, f takie, że Podstawiając za D, E, F widzimy, że O = (1 d)a + d k + 1 B + O = (1 d)a + dd = (1 e)b + ee = (1 f)c + ff. dk k + 1 C = el A + (1 e)b + e l + 1 l + 1 C = f m + 1 A + fm B + (1 f)c. m + 1 Przedstawienie punktu O jako środka ciężkości trzech niewspółliniowych punktów A, B, C jest jednoznaczne, otrzymujemy więc mnożąc współczynniki przy A, B, C w różnych postaciach, że def (k + 1)(l + 1)(m + 1) = def klm (k + 1)(l + 1)(m + 1), skąd klm = 1 (bo gdyby np. d = 0, mielibyśmy O = A, a więc także e = f = 1 i A = O = E = F sprzecznie z założeniem). 10
11 Gdy proste AD, BE, CF są parami równoległe, to podobnie parami równoległe są wyznaczające je wektory: AD = 1 BE = 1 CF = 1 AB + k AC k + 1 k + 1 BC + l BA = AB + 1 AC l + 1 l + 1 l + 1 CA + m CB = m AB AC m + 1 m + 1 m + 1 Pary wektorów równoległych mają zerowe wyznaczniki złożone z ich współrzędnych w bazie ( AB, AC ) : 1 k+1 k k l+1 1 = 0, 1 l+1 m 1 = 0, m+1 skąd k = 1 ) l+1 oraz m = l+1 l. Tym samym klm = 1. Twierdzenie.3. (Menelausa). Przy oznaczeniach i założeniach jak w twierdzeniu Cevy punkty D, E, F są współliniowe wtedy i tylko wtedy, gdy klm = 1. Dowód. ) Z założenia więc, że D E F D oraz klm = 1, czyli m = 1 kl. Wówczas D = 1 k + 1 B + Wyrażając za pomocą k, l wektory k k + 1 C, E = 1 l + 1 C + DE = l l + 1 A 1 ( 1 k + 1 B + l + 1 k ) C = k + 1 DF = kl ( kl 1 A + 1 kl 1 1 ) B k + 1 k k + 1 C = l kl A, F = l + 1 kl 1 A 1 kl 1 B. l l + 1 A 1 k + 1 B kl 1 (k + 1)(l + 1) C kl kl 1 A k(l + 1) (kl 1)(k + 1) B k k + 1 C widzimy, że przyjmując α = k(l+1) otrzymujemy kl 1 DF = αde, co oznacza współliniowość punktów D, E, F. ) Jeżeli punkty D, E, F są współliniowe i parami różne, to istnieje liczba α taka, że DF = αde. Zatem αl l + 1 A α α(kl 1) B k + 1 (k + 1)(l + 1) C = 1 m + 1 A + km 1 (k + 1)(m + 1) B k k + 1 C i α = l+1 = k(l+1) l(m+1) kl 1, co upraszcza się do klm = 1. Wniosek.3.3. Przy oznaczeniach i założeniach jak w twierdzeniu Cevy oraz dodatkowym założeniu, że punkty D, E, F leżą odpowiednio na bokach BC, CA, AB proste AD, BE, CF przecinają się w dokładnie jednym punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy klm = 1. Dowód. Dodatkowe założenie oznacza dodatniość liczb k, l, m, co powoduje, że proste AD, BE, CF nie mogą być równoległe. Wniosek.3.4. Środkowe w trójkącie przecinają się w dokładnie jednym punkcie, który jest środkiem ciężkości tego trójkąta. 11
12 Dowód. Ponieważ D, E, F są środkami odcinków, więc k = l = m = 1. Wniosek.3.5. Dwusieczne kątów wewnętrznych trójkąta przecinają się w dokładnie jednym punkcie, który jest środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt. Dowód. Z twierdzenia o dwusiecznej wynika (oznaczenia standardowe), że skąd klm = 1. k = c b, l = a c, m = b a, Wniosek.3.6. Proste zawierające wysokości trójkąta przecinają się w dokładnie jednym punkcie, który jest ortocentrum tego trójkąta. Dowód. Dla trójkąta prostokątnego teza jest oczywista, ponieważ przyprostokatne są wysokościami, a trzecia z wysokości zawiera także wierzchołek kąta prostego. Możemy więc dalej założyć, że trójkąt nie jest prostokątny. Jeżeli D jest spodkiem wysokości opuszczonej z punktu A oraz dodatkowo D BC, to BD = c cos β oraz DC = b cos γ (oznaczenia standardowe), skąd k = c cos β. Równość ta pozostaje w mocy, gdy b cos γ punkt D leży poza odcinkiem BC, wtedy jeden z kątów β, γ jest rozwarty. Analogicznie l = a cos γ, m = b cos α, co daje klm = 1. c cos α a cos β Symetralne boków trójkąta na ogół nie przechodzą przez przeciwległy wierzchołek, ale mają własność analogiczną do powyższych. Wniosek.3.7. Symetralne boków trójkąta przecinają się w dokładnie jednym punkcie, który jest środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie. Dowód. Zauważmy, że z nierównoległości boków trójkąta wynika nierównoległość ich symetralnych, bo są do boków prostopadłe. Niech O bedzie punktem przecięcia symetralnym boków BC i CA. Wówczas z mamy, że OB = OC i OC = OA, co razem daje OA = OB. Korzystając ponownie z widzimy, że punkt O należy także do symetralnej boku AB..4 Czworokąty Definicja.4.1. Równoległobokiem o wierzchołku p rozpiętym na nierównoległych wektorach u, v nazywamy zbiór P(p; u, v) = {p + au + bv ; a, b [0, 1]}. Równoległoobok P(p; u, v) jest rombem, gdy u = v, a kwadratem, gdy ponadto u v; sam ostatni warunek określa prostokąt. Definicja.4.. Trapezem nazywamy czworokąt, w którym pewną parę boków opisują wektory równoległe. Trapez równoramienny to trapez nie będący równoległobokiem, w którym boki nierównoległe mają równe długości. Twierdzenie.4.3 (warunek opisania okręgu na czworokącie). Na czworokącie można opisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy jego przeciwległych kątów wewnętrznych są równe. Dowód. Twierdzenie.4.4 (warunek wpisania okręgu w czworokąt). W czworokąt można wpisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości jego przeciwległych boków wewnętrznych są równe. 1
13 Dowód. Przykład.4.5. Dla równoległoboku warunkiem równoważnym opisania na nim okręgu jest bycie prostokątem, wpisania w ten równoległobok okręgu bycie rombem. Na każdym trapezie równoramiennym można opisać okrąg..5 Wielokąty foremne Definicja.5.1. Wielokątem foremnym nazywamy wielokąt wypukły o wszystkich bokach równej długości i wszystkich kątach wewnętrznych równych. Twierdzenie.5.. Dla dowolnego n 3 i dowolnego a > 0 istnieje (z dokładnością do izometrii) dokładnie jeden n kąt foremny o boku długości a. Dowód. Stwierdzenie.5.3. n kąt foremny o boku długości a ma wszystkie kąty wewnętrzne równe n n π, a promień R okręgu opisanego i promień r okręgu wpisanego w ten wielokąt wyrażają się przez Dowód. R = a sin π n, r = a tg π. n Przykład.5.4. Trójkątem foremnym jest trójkąt równoboczny o kątach równych π 3, czworokątem foremnym kwadrat o wszystkich kątach prostych, zaś pięciokąt foremny ma kąty wewnętrzne 3π 5. 13
14 3 Wielościany 3.1 Definicja i podstawowe własności wielościanu Definicja Wielościanem nazywamy spójny podzbiór przestrzeni trójwymiarowej, który jest sumą mnogościową takiej rodziny czworościanów, że część wspólna dowolnych dwóch spośród nich jest ich wspólną ścianą, wspólną krawędzią lub wspólnym wierzchołkiem lub zbiorem pustym. Każdy taki podział wielościanu nazywamy triangulacją. Definicja Punkt danego wielościanu, który przy dowolnej triangulacji jest wierzchołkiem czworościanu triangulacji nazywamy wierzchołkiem wielościanu. Krawędź wielościanu to odcinek łączący jego wierzchołki, który przy dowolnej triangulacji zawiera krawędź pewnego czworościanu tej triangulacji, zaś ścianą wielościanu jest wielokąt, którego wszystkimi bokami są krawędzie wielościanu, a wielokąt ten w dowolnej triangulacji zawiera ścianę czworościanu tejże triangulacji. Definicja Charakterystyką Eulera wielościanu P nazywamy liczbę χ(p) = F E + V, gdzie F oznacza liczbę ścian, E liczbę krawędzi, a V liczbę wierzchołków wielościanu P. Twierdzenie Charakterystyka Eulera wielościanu wypukłego wynosi. Uwaga Charakterystykę Eulera równą mają wszystkie wielościany, których suma mnogościowa ścian (z topologią indukowaną) jest homeomorficzna ze sferą S. Inną charakterystykę mają np. wielościany, których suma ścian jest homeomorficzna z torusem T = S 1 S 1 (prostopadłościan z wydrążoną na wylot prostopadłościenną dziurą itp.); wówczas χ = 0. Stwierdzenie Dla dowolnego wierzchołka wielościanu wypukłego suma miar kątów wewnętrznych ścian, dla których ten wierzchołek jest wierzchołkiem ściany, jest mniejsza niż π. 3. Wielościany foremne Definicja Wielościanem foremnym nazywamy wielościan wypukły, którego ściany są przystającycmi wielokątami foremnymi, każdy wierzchołek należy do tej samej liczby ścian. Przez K n,k oznaczamy wielościan foremny o ścianach będących n kątami foremnymi stykającymi się po k w każdym wierzchołku. Twierdzenie 3... Istnieje (z dokładnością do podobieństwa) co najwyżej pięć wielościanów foremnych: K 3,3, K 3,4, K 3,5, K 4,3, K 5,3. Dowód. Przypuśćmy, że wielościan foremny ma ściany będące n kątami foremnymi i w każdym wierzchełek tego wielościanu należy do dokładnie k ścian. Wówczas k 3, a suma kątów płaskich przy każdym wierzchołku wynosi k n π i jest mniejsza od π na mocy stwierdzenia 3.1.6, bo wielościan n foremny jest wypukły. Stąd 3 ( 1 n) < lub inaczej n < 6. Ponadto w takim wielościanie E = nf, V = nf k. 14
15 Charakterystyka Eulera wielościanu foremnego, jako wypukłego jest więc równa F nf + nf k =. Rozważmy przypadki: n = 3) F + 3F 4k =, czyli F =, skąd k < 6. Dla k = 3 otrzymujemy F = 4, dla k = 4 wielościan k 6 k ma 8 ścian, a dla k = 5 0 ścian. n = 4) F + 4F k =, czyli F =, co jest możliwe tylko dla k = 3 i wówczas F = 6. k 4 k n = 5) 3F + 5F 4k =, czyli F =, co jest możliwe tylko dla k = 3 i wówczas F = 1. k 10 3k Twierdzenie Istnieje (z dokładnością do podobieństwa) dokładnie pięć wielościanów foremnych. Każdy z nich można określić podając wierzchołki w trójwymiarowym prostokątnym układzie współrzędnych: K 3,3 : (1, 0, 0), ( 1, 3, 0), ( 1, 3, 0), (0, 0, ) K 3,4 : (±1, 0, 0), (0, ±1, 0), (0, 0, ±1); K 3,5 : (0, ±1, ±ϕ), (±1, 0, ±ϕ), (±1, ±ϕ, 0); K 4,3 : (±1, ±1, ±1); K 5,3 : (±1, ±1, ±1), (0, ± 1, ±ϕ), (± 1, 0, ±ϕ), (± 1, ±ϕ, 0). ϕ ϕ ϕ gdzie ϕ = 5+1 i tym samym 1 ϕ = 5 1. Dowód. Dla K 3,3 krawędź ma długość 3, a każda z 4 ścian powstaje przez wybór dowolnych trzech wierzchołków. Określony w tezie wielościan K 3,4 ma krawędź długości, a trójkątne ściany mają po jednym wierzchołku z każdej serii. Podany przykład wielościanu K 4,3 ma krawędź długości, a każda z 6 kwadratowych ścian ma wierzchołki o ustalonej jednej współrzędnej. Obliczenia dla K 3,5 i K 5,3 są nieco bardziej skomplikowane. Przykład Wielościany foremne mają następujace nazwy oraz liczby ścian, krawędzi i wierzchołków: K 3,3 : czworościan foremny, F = 4, E = 6, V = 4, K 3,4 : ośmiościan foremny, F = 8, E = 1, V = 6, K 3,5 : dwudziestościan foremny, F = 0, E = 30, V = 1, K 4,3 : sześcian, F = 6, E = 1, V = 8, K 5,3 : dwunastościan foremny, F = 1, E = 30, V = 0. 15
16 4 Izometrie płaszczyzny 4.1 Rozkład izometrii na symetrie osiowe Stwierdzenie Jeżeli izometria f płaszczyzny E spełnia dla pewnych trzech niewspółliniowych punktów A, B, C E warunki: f(a) = A, f(b) = B, f(c) = C, to f jest tożsamością na E. Dowód. Jeżeli punkty A, B, C są niewspółliniowe i są punktami stałymi izometrii f, to dla dowolnego punktu X E mamy f(x)a = f(x)f(a) = XA. Przypuśćmy, że f(x) X. Wtedy zgodnie z własnością symetralnej A sym Xf(X) i podobnie B sym Xf(X), C sym Xf(X), co jest sprzeczne z niewspółliniowością punktów A, B, C. Zatem dowolny punkt X E jest punktem stałym izometrii f, która tym samym jest tożsamością. Wniosek Jeżeli dwie izometrie f, g płaszczyzny E spełniają dla pewnych trzech niewspółliniowych punktów A, B, C E warunki: f(a) = g(a), f(b) = g(b), f(c) = g(c), to f = g. Dowód. Wystarczy zauważyć, że przy powyższych założeniach izometria h = g f 1 spełnia założenia poprzedniego stwierdzenia, jest więc tożsamością. Twierdzenie Każda różna od tożsamości izometria płaszczyny jest symetrią osiową lub złożeniem dwóch symetrii osiowych lub złożeniem trzech symetrii osiowych. Dowód. Niech f będzie nietożsamościową izometrią płaszczyzny, a A, B, C punktami niewspółliniowymi. Oznaczmy A = f(a), B = f(b), C = f(c). Ze stwierdzenia co najmniej jeden z nich nie przechodzi na siebie, np. A A. Oznaczmy przez k symetralną odcinka AA, zaś B 1 = s k (B), C 1 = s k (C). Jeżeli B 1 = B i C 1 = C, to na mocy wniosku 4.1. f = s k. Załóżmy teraz, że punkty B, C nie przechodzą w symetrii s k odpowiednio na B, C, np. B 1 B. Oznaczmy przez l symetralną odcinka B 1 B, zaś C = s l (C 1 ). Zauważmy, że z izometryczności s k mamy AB = A B 1, a izometryczności f również AB = A B. Stąd A B 1 = A B, co wraz z własnością symetralnej daje A l, a więc także s l (A ) = A. Tym samym złożenie symetrii osiowych s l s k przekształca A na A oraz B na B. Jeżeli dodatkowo C = C, to na mocy 4.1. f = s l s k. Załóżmy wreszcie, że C C i niech m oznacza symetralną odcinka C C. Z izometryczności f, s k, s l otrzymujemy kolejno AC = A C, BC = B C, AC = A C 1, BC = B 1 C 1, A C 1 = A C, B 1 C 1 = B C, skąd A C = A C oraz B C = B C. Z własności symetralnej mamy więc, że A, B m, tak więc złożenie symetrii osiowych s m s l s k przekształca punkty A, B, C na punkty odpowiednio A, B, C i na mocy stwierdzenia 4.1. f = s m s l s k. 4. Izometrie parzyste Stwierdzenie Złożenie dwóch symetrii osiowych płaszczyzny o osiach równoległych jest translacją. Dokładniej, jeżeli l 1 l oraz A 1 l 1, A l są takie, że l 1 w = A 1 A l, to s l s l1 = T w. Dowód. Wektor u = w jest jednostkowym wektorem normalnym do prostych l w 1, l. Rozważane symetrie można opisać więc wzorami s li (x) = x x A i, u u, i = 1,. 16
17 Zatem dla x E s l s l1 (x) =s l (x x A 1, u u) = x x A 1, u u x x A 1, u u A, u u =x x A 1, u u x A, u u + 4 x A 1, u u w w =x + A A 1, u u = x + w, w w = x + w = T w(x). Stwierdzenie 4... Złożenie dwóch symetrii osiowych płaszczyzny o osiach przecinających się w jednym punkcie jest obrotem. Dokładniej, jeżeli l 1 l = {O} oraz dla pewnych A 1 l 1, A l A1 OA = α, to sl s l1 = RO α. Dowód. 4.3 Izometrie nieparzyste Stwierdzenie Złożenie trzech symetrii osiowych płaszczyzny o osiach: 1. parami równoległych jest symetrią osiową o osi równoległej do tych trzech osi.. przecinających się w dokładnie jednym punkcie jest symetrią osiową o osi przechodzacej przez ten punkt. Dowód. Rozważmy proste l 1, l, l 3 i złożenie symetrii osiowych s l3 s l s l1. 1. Jeżeli l 1 l l 3, to złożenie s l s l1 jest translacją o pewien wektor v l 1 (i tym samym prostopadły także do pozostałych prostych). Określmy l 3 = T v (l 3). Wtedy na mocy stwierdzenia 4..1 s l3 s l 3 = T v i dalej przy czym oczywiście l 3 l 1 l l 3. s l3 s l s l1 = s l3 T v = s l3 s l3 s l 3 = s l 3,. Jeżeli l 1 l l 3 = {O}, to złożenie s l s l1 jest obrotem o pewien kąt α dookoła punktu O. Określmy l 3 = R α O (l 3 ) O. Wtedy na mocy stwierdzenia 4.. s l3 s l 3 = RO α oraz s l3 s l s l1 = s l3 R α O = s l3 s l3 s l 3 = s l 3. Stwierdzenie Dla prostej l i równoległego do niej wektora w spełniony jest warunek s l T w = T w s l. Dowód. Definicja Symetrią osiową z poślizgiem nazywamy złożenie symetrii osiowej z translacją o wektor równoległych do osi tej symetrii. Twierdzenie Złożenie trzech dowolnych symetrii osiowych płaszczyzny jest symetrią osiową z poślizgiem. Dowód. 17
18 4.4 Klasyfikacja izometrii płaszczyzny Stwierdzenie Złożenia parzystej liczby symetrii osiowych płaszczyzny nie można przedstawić jako złożenia nieparzystej liczby symetrii osiowych płaszczyzny, i na odwrót. Dowód. Wystarczy zauważyć, że pojedyncza syemtria osiowa na płaszczyźnie odwraca orientację. Definicja Izometrię płaszczyny nazywamy izometrią parzystą (odpowiednio nieparzystą), jeżeli można ją przedstawić jako złożenie parzystej (odpowiednio nieparzystej) liczby symetrii osiowych. Stwierdzenie Spośród izometrii płaszczyzny zbiór wszystkich punktów stałych będący: 1. całą płaszczyzną posiada tylko tożsamość,. punktem posiada tylko niezerowy obrót dookoła tego punktu, 3. prostą posiada tylko symetria względem tej prostej, 4. zbiorem pustym posiadają tylko niezerowa translacja lub symetria osiowa z niezerowym poślizgiem. Twierdzenie (klasyfikacja izometrii płaszczyzny). Izometrie płaszczyzny w zależności od parzystości i zbioru punktów stałych można opisać w tabeli: parzysta nieparzysta płaszczyzna tożsamość prosta symetria osiowa punkt niezerowy obrót zbiór pusty niezerowa translacja symetria osiowa z niezerowym poślizgiem 18
19 Literatura [AF] I. Agricola, T. Friedrich, Elementary Geometry, American Mathematical Society [BEG] D. Brannan, M. Esplen, J. Gray, Geometry, Cambridge University Press [D] [MS] R. Doman, Wykłady z geometrii elementarnej, Wydawnictwo Naukowe UAM M. Moszyńska, J. Święcicka, Geometria z algebrą liniową, PWN 19
Elementy klasycznej geometrii euklidesowej
Elementy klasycznej geometrii euklidesowej Maciej Czarnecki Katedra Geometrii Uniwersytetu Łódzkiego maczar@math.uni.lodz.pl Spis treści 1 Geometria euklidesowa 1.1 Przestrzeń liniowa, afiniczna i euklidesowa........................
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa z geometrią
Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........
Bardziej szczegółowoGeometria szkolna. Maciej Czarnecki. Katedra Geometrii Uniwersytetu Łódzkiego
Geometria szkolna Maciej Czarnecki Katedra Geometrii Uniwersytetu Łódzkiego maczar@math.uni.lodz.pl 1 Spis treści 1 Geometria euklidesowa 3 1.1 Przestrzeń liniowa, afiniczna i euklidesowa........................
Bardziej szczegółowoWielokąty na płaszczyźnie obliczenia z zastosowaniem trygonometrii. Trójkąty. Trójkąt dowolny. Wielokąty trygonometria 1.
Wielokąty na płaszczyźnie obliczenia z zastosowaniem trygonometrii Wielokąt wypukły miara każdego kąt wewnętrznego jest mniejsza od 180 o. Liczba przekątnych: n*(n-2) Suma kątów wewnętrznych wielokąta
Bardziej szczegółowoStereometria bryły. Wielościany. Wielościany foremne
Stereometria bryły Stereometria - geometria przestrzeni trójwymiarowej. Przedmiotem jej badań są własności brył oraz przekształcenia izometryczne i afiniczne przestrzeni. Przyjęte oznaczenia: - Pole powierzchni
Bardziej szczegółowoPLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1
PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1 Planimetria to dział geometrii, w którym przedmiotem badań są własności figur geometrycznych leżących na płaszczyźnie (patrz określenie płaszczyzny). Pojęcia
Bardziej szczegółowoSTEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH
STEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH Stereometria jest działem geometrii, którego przedmiotem badań są bryły przestrzenne oraz ich właściwości. WZAJEMNE POŁOŻENIE PROSTYCH W PRZESTRZENI 2 proste
Bardziej szczegółowoKONKURS ZOSTAŃ PITAGORASEM MUM. Podstawowe własności figur geometrycznych na płaszczyźnie
KONKURS ZOSTAŃ PITAGORASEM MUM ETAP I TEST II Podstawowe własności figur geometrycznych na płaszczyźnie 1. A. Stosunek pola koła wpisanego w kwadrat o boku długości 6 do pola koła opisanego na tym kwadracie
Bardziej szczegółowoWielokąty na płaszczyźnie obliczenia z zastosowaniem trygonometrii
Wielokąty na płaszczyźnie obliczenia z zastosowaniem trygonometrii Obliczenia geometryczne z zastosowaniem własności funkcji trygonometrycznych w wielokątach wypukłych Wielokąt - figura płaską będąca sumą
Bardziej szczegółowoGEOMETRIA ELEMENTARNA
Bardo, 7 11 XII A. D. 2016 I Uniwersytecki Obóz Olimpiady Matematycznej GEOMETRIA ELEMENTARNA materiały przygotował Antoni Kamiński na podstawie zbiorów zadań: Przygotowanie do olimpiad matematycznych
Bardziej szczegółowoPLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 3
DEFINICJE PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 3 Czworokąt to wielokąt o 4 bokach i 4 kątach. Przekątną czworokąta nazywamy odcinek łączący przeciwległe wierzchołki. Wysokością czworokąta nazywamy
Bardziej szczegółowoGEOMETRIA PRZESTRZENNA (STEREOMETRIA)
GEOMETRIA PRZESTRZENNA (STEREOMETRIA) WZAJEMNE POŁOŻENIE PROSTYCH W PRZESTRZENI Stereometria jest działem geometrii, którego przedmiotem badań są bryły przestrzenne oraz ich właściwości. Na początek omówimy
Bardziej szczegółowoIX Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
IX Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa www.omg.edu.pl (3 października 2013 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Liczba 3 9 3 27 jest a) niewymierna; b) równa 3 27;
Bardziej szczegółowoVII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa, test próbny www.omg.edu.pl (wrzesień 2011 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Liczba krawędzi pewnego ostrosłupa jest o
Bardziej szczegółowoPytania do spr / Własności figur (płaskich i przestrzennych) (waga: 0,5 lub 0,3)
Pytania zamknięte / TEST : Wybierz 1 odp prawidłową. 1. Punkt: A) jest aksjomatem in. pewnikiem; B) nie jest aksjomatem, bo można go zdefiniować. 2. Prosta: A) to zbiór punktów; B) to zbiór punktów współliniowych.
Bardziej szczegółowoĆwiczenia z Geometrii I, czerwiec 2006 r.
Waldemar ompe echy przystawania trójkątów 1. unkt leży na przekątnej kwadratu (rys. 1). unkty i R są rzutami prostokątnymi punktu odpowiednio na proste i. Wykazać, że = R. R 2. any jest trójkąt ostrokątny,
Bardziej szczegółowo9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie
9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie Pitagorasa i twierdzenie cosinusów, twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym, okrąg wpisany i opisany na wielokącie, wielokąty foremne (c.d).
Bardziej szczegółowoXI Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
XI Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa www.omg.edu.pl (24 września 2015 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Dane są takie dodatnie liczby a i b, że 30% liczby a
Bardziej szczegółowoBukiety matematyczne dla gimnazjum
Bukiety matematyczne dla gimnazjum http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/ 5 IX rok 2003/2004 Bukiet 1 1. W trójkącie ABC prosta równoległa do boku AB przecina boki AC i BC odpowiednio w punktach D i E. Zauważ,
Bardziej szczegółowoCzworościany ortocentryczne zadania
Czworościany ortocentryczne zadania 1. Wykazać, że nastepujące warunki są równoważne: a) istnieje przecięcie wysokości czworościanu, b) przeciwległe krawędzie są prostopadłe, c) sumy kwadratów długości
Bardziej szczegółowoPodstawowe pojęcia geometryczne
PLANIMETRIA Podstawowe pojęcia geometryczne Geometria (słowo to pochodzi z języka greckiego i oznacza mierzenie ziemi) jest jednym z działów matematyki, którego przedmiotem jest badanie figur geometrycznych
Bardziej szczegółowoMetoda objętości zadania
Metoda objętości zadania Płaszczyzny i dzielą graniastosłup trójkątny na cztery bryły Znaleźć stosunki objętości tych brył 2 any jest równoległościan o objętości V Wyznaczyć objętość części wspólnej czworościanów
Bardziej szczegółowo11. Znajdż równanie prostej prostopadłej do prostej k i przechodzącej przez punkt A = (2;2).
1. Narysuj poniższe figury: a), b), c) 2. Punkty A = (0;1) oraz B = (-1;0) należą do okręgu którego środek należy do prostej o równaniu x-2 = 0. Podaj równanie okręgu. 3. Znaleźć równanie okręgu przechodzącego
Bardziej szczegółowoTreści zadań Obozu Naukowego OMG
STOWARZYSZENIE NA RZECZ EDUKACJI MATEMATYCZNEJ KOMITET GŁÓWNY OLIMPIADY MATEMATYCZNEJ GIMNAZJALISTÓW Treści zadań Obozu Naukowego OMG Poziom OM 2015 rok SZCZYRK 2015 Pierwsze zawody indywidualne Treści
Bardziej szczegółowoMini tablice matematyczne. Figury geometryczne
Mini tablice matematyczne Figury geometryczne Spis treści Własności kwadratu Ciekawostka:Kwadrat magiczny Prostokąt Własności prostokąta Trapez Własności trapezu Równoległobok Własności równoległoboku
Bardziej szczegółowoRegionalne Koło Matematyczne
Regionalne Koło Matematyczne Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Wydział Matematyki i Informatyki http://www.mat.umk.pl/rkm/ Lista rozwiązań zadań nr 2 (14-19.10.2009) nalogie i różnice miedzy trójkątem
Bardziej szczegółowoZadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 2017/2018.
Zadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 017/018 19 grudnia 017 1 1 Klasy pierwsze - poziom podstawowy 1. Dane są zbiory
Bardziej szczegółowoTrójkąty jako figury geometryczne płaskie i ich najważniejsze elementy
Artykuł pobrano ze strony eioba.pl Trójkąty jako figury geometryczne płaskie i ich najważniejsze elementy Trójkąt jest wielokątem o trzech bokach Suma miar kątów wewnętrznych trójkąta jest równa 180. +
Bardziej szczegółowo2. Wykaż, że dla dowolnej wartości zmiennej x wartość liczbowa wyrażenia (x 6)(x + 8) 2(x 25) jest dodatnia.
1. Wykaż, że liczba 2 2 jest odwrotnością liczby 1 2. 2. Wykaż, że dla dowolnej wartości zmiennej x wartość liczbowa wyrażenia (x 6)(x + 8) 2(x 25) jest dodatnia. 3. Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej
Bardziej szczegółowo19 Własności iloczynu skalarnego: norma, kąt i odległość
19 Własności iloczynu skalarnego: norma, kąt i odległość Załóżmy, że V jest przestrzenią liniową z iloczynem skalarnym.,.. Definicja 19.1 Normą (długością) wektora v V nazywamy liczbę v = v, v. Uwaga 1
Bardziej szczegółowo1. ODPOWIEDZI DO ZADAŃ TESTOWYCH
R O Z W I A Z A N I A 1. ODPOWIEDZI DO ZADAŃ TESTOWYCH 1. Dla dowolnych zbiorów A, B, C zachodzi równość (A B) (B C) (C A) = (A B C) (A B C), A (B C) = (A B) (A C), A (B C) = (A B) (A C). 2. Wyrażenie
Bardziej szczegółowoZADANIE 2 Czy istnieje taki wielokat, który ma 2 razy więcej przekatnych niż boków?
PLANIMETRIA 2 ZADANIE 1 W rombie jedna z przekatnych jest dłuższa od drugiej o 3 cm. Dla jakich długości przekatnych pole rombu jest większe od 5cm 2? 1 ZADANIE 2 Czy istnieje taki wielokat, który ma 2
Bardziej szczegółowoDział I FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE
MATEMATYKA ZAKRES PODSTAWOWY Rok szkolny 01/013 Klasa: III Nauczyciel: Mirosław Kołomyjski Dział I FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE Lp. Zagadnienie Osiągnięcia ucznia. 1. Miara kąta. Sprawnie operuje pojęciami:
Bardziej szczegółowoRównania prostych i krzywych; współrzędne punktu
Równania prostych i krzywych; współrzędne punktu Zad 1: Na paraboli o równaniu y = 1 x znajdź punkt P leŝący najbliŝej prostej o równaniu x + y = 0 Napisz równanie stycznej do tej paraboli, poprowadzonej
Bardziej szczegółowoZadania otwarte krótkiej odpowiedzi na dowodzenie
Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi na dowodzenie Zadanie 1. Na bokach trójkąta równobocznego ABC tak wybrano punkty E, F oraz D, że AE = BF = CD = 1 AB (rysunek obok). a) Udowodnij, że trójkąt EFD jest
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA KLASY III gimnazjum LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE
MATEMATYKA KLASY III gimnazjum LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE - pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej, niewymiernej, - sposób i potrzebę zaokrąglania liczb, - pojęcie wartości bezwzględnej,
Bardziej szczegółowoPYTANIA TEORETYCZNE Z MATEMATYKI
Zbiory liczbowe: 1. Wymień znane Ci zbiory liczbowe. 2. Co to są liczby rzeczywiste? 3. Co to są liczby naturalne? 4. Co to są liczby całkowite? 5. Co to są liczby wymierne? 6. Co to są liczby niewymierne?
Bardziej szczegółowoInwersja w przestrzeni i rzut stereograficzny zadania
Inwersja w przestrzeni i rzut stereograficzny zadania Rozważmy sferę S o środku O i promieniu R. Inwersją względem sfery S nazywamy przekształcenie, które przekształca punkt A na punkt A leżący na półprostej
Bardziej szczegółowoMatematyka rozszerzona matura 2017
Matematyka rozszerzona matura 017 Zadanie 1 Liczba ( 3 + 3) jest równa A. B. 4 C. 3 D. 3 ( 3 + 3) = 3 ( 3)( + 3) + + 3 = A. 3 4 3 + + 3 = 4 1 = 4 = Zadanie. Nieskończony ciąg liczbowy jest określony wzorem
Bardziej szczegółowostr 1 WYMAGANIA EDUKACYJNE ( ) - matematyka - poziom podstawowy Dariusz Drabczyk
str 1 WYMAGANIA EDUKACYJNE (2017-2018) - matematyka - poziom podstawowy Dariusz Drabczyk Klasa 3e: wpisy oznaczone jako: (T) TRYGONOMETRIA, (PII) PLANIMETRIA II, (RP) RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA, (ST)
Bardziej szczegółowoPlanimetria VII. Wymagania egzaminacyjne:
Wymagania egzaminacyjne: a) korzysta ze związków między kątem środkowym, kątem wpisanym i kątem między styczną a cięciwą okręgu, b) wykorzystuje własności figur podobnych w zadaniach, w tym umieszczonych
Bardziej szczegółowoGeometria. Rodzaje i własności figur geometrycznych:
Geometria Jest jednym z działów matematyki, którego przedmiotem jest badanie figur geometrycznych i zależności między nimi. Figury geometryczne na płaszczyźnie noszą nazwę figur płaskich, w przestrzeni
Bardziej szczegółowoV Konkurs Matematyczny Politechniki Białostockiej
V Konkurs Matematyczny Politechniki Białostockiej Rozwiązania - klasy drugie 1. Znaleźć wszystkie pary liczb całkowitych (x, y) spełniające nierówności x + 1 + y 4 x + y 4 5 x 4 + y 1 > 4. Ważne jest zauważenie,
Bardziej szczegółowoLXI Olimpiada Matematyczna
1 Zadanie 1. LXI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 21 kwietnia 2010 r. (pierwszy dzień zawodów) Dana jest liczba całkowita n > 1 i zbiór S {0,1,2,...,n 1}
Bardziej szczegółowo= [6; 2]. Wyznacz wierzchołki tego równoległoboku.
ZADANIE 1 (5 PKT) Wyznacz współrzędne wierzchołków trójkata jeżeli środki jego boków maja współrzędne: P = (1, 3), Q = ( 5, 4), R = ( 6, 7). ZADANIE 2 (5 PKT) Dla jakich wartości parametru α odległość
Bardziej szczegółowoTreści zadań Obozu Naukowego OMJ
STOWARZYSZENIE NA RZECZ EDUKACJI MATEMATYCZNEJ KOMITET GŁÓWNY OLIMPIADY MATEMATYCZNEJ JUNIORÓW Treści zadań Obozu Naukowego OMJ Poziom OM 2017 rok SZCZYRK 2017 Olimpiada Matematyczna Juniorów jest wspó³finansowana
Bardziej szczegółowoPlanimetria poziom podstawowy (opracowanie: Mirosława Gałdyś na bazie
Planimetria poziom podstawowy (opracowanie: Mirosława Gałdyś na bazie http://www.zadania.info/) 1. W trójkącie prostokątnym wysokość poprowadzona na przeciwprostokątną ma długość 10 cm, a promień okręgu
Bardziej szczegółowoKORESPONDENCYJNY KURS PRZYGOTOWAWCZY Z MATEMATYKI
KORESPONDENCYJNY KURS PRZYGOTOWAWCZY Z MATEMATYKI PRACA KONTROLNA nr 1 październik 1999 r 1. Stop składa się z 40% srebra próby 0,6, 30% srebra próby 0,7 oraz 1 kg srebra próby 0,8. Jaka jest waga i jaka
Bardziej szczegółowoPlanimetria Uczeń: a) stosuje zależności między kątem środkowym i kątem wpisanym, b) korzysta z własności stycznej do okręgu i własności okręgów
Planimetria Uczeń: a) stosuje zależności między kątem środkowym i kątem wpisanym, b) korzysta z własności stycznej do okręgu i własności okręgów stycznych, c) rozpoznaje trójkąty podobne i wykorzystuje
Bardziej szczegółowoXV Olimpiada Matematyczna Juniorów
XV Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część testowa (26 września 209 r.) Rozwiązania zadań testowych. odatnia liczba a jest mniejsza od. Wynika z tego, że a) a 2 > a; b) a > a; c)
Bardziej szczegółowoRepetytorium z geometrii dla studentów I roku matematyki i informatyki
1 Wydział Matematyki Uniwersytetu Łódzkiego Repetytorium z geometrii dla studentów I roku matematyki i informatyki Maciej Czarnecki maczar@math.uni.lodz.pl Spis treści 0 Wstęp 3 1 Płaszczyzna 4 1.1 Punkty
Bardziej szczegółowoXIII Olimpiada Matematyczna Juniorów
XIII Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część testowa (8 września 017 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. W każdym z trzech lat 018, 019 i 00 pensja pana Antoniego będzie o 5% większa
Bardziej szczegółowoTwierdzenie Talesa. Adrian Łydka Bernadeta Tomasz. Teoria
Twierdzenie Talesa. drian Łydka ernadeta Tomasz Teoria Definicja 1. Mówimy, że odcinki i CD są proporcjonalne odpowiednio do odcinków EF i GH, jeżeli CD = EF GH. Twierdzenie 1. (Twierdzenie Talesa) Jeżeli
Bardziej szczegółowoXII Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna (1 września 2016 r. 17 października 2016 r.)
XII Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna ( września 06 r. 7 października 06 r.) Szkice rozwiązań zadań konkursowych. Liczby wymierne a, b, c spełniają równanie
Bardziej szczegółowoGeometria Lista 0 Zadanie 1
Geometria Lista 0 Zadanie 1. Wyznaczyć wzór na pole równoległoboku rozpiętego na wektorach u, v: (a) nie odwołując się do współrzędnych tych wektorów; (b) odwołując się do współrzędnych względem odpowiednio
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY TRZECIEJ NA ROK SZKOLNY 2011/2012 DO PROGRAMU MATEMATYKA Z PLUSEM
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY TRZECIEJ NA ROK SZKOLNY 2011/2012 DO PROGRAMU MATEMATYKA Z PLUSEM LICZBY, WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE umie obliczyć potęgę o wykładniku naturalnym; umie obliczyć
Bardziej szczegółowoWykład 16. P 2 (x 2, y 2 ) P 1 (x 1, y 1 ) OX. Odległość tych punktów wyraża się wzorem: P 1 P 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2
Wykład 16 Geometria analityczna Przegląd wiadomości z geometrii analitycznej na płaszczyźnie rtokartezjański układ współrzędnych powstaje przez ustalenie punktu początkowego zwanego początkiem układu współrzędnych
Bardziej szczegółowoElementy geometrii analitycznej w R 3
Rozdział 12 Elementy geometrii analitycznej w R 3 Elementy trójwymiarowej przestrzeni rzeczywistej R 3 = {(x,y,z) : x,y,z R} możemy interpretować co najmniej na trzy sposoby, tzn. jako: zbiór punktów (x,
Bardziej szczegółowoLVII Olimpiada Matematyczna
Zadanie 1. LVII Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 5 kwietnia 2006 r. (pierwszy dzień zawodów) Rozwiązać w liczbach rzeczywistych a, b, c, d, e układ równań
Bardziej szczegółowo9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie
9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie Pitagorasa i twierdzenie cosinusów, twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym, okrąg wpisany i opisany na wielokącie, wielokąty foremne (c.d).
Bardziej szczegółowoInternetowe Kółko Matematyczne 2003/2004
Internetowe Kółko Matematyczne 003/004 http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/ Zadania dla szkoły średniej Zestaw I (5 IX) Zadanie 1. Które liczby całkowite można przedstawić w postaci różnicy kwadratów dwóch
Bardziej szczegółowoBRYŁY PLATOŃSKIE W CZTERECH WYMIARACH
BRYŁY PLATOŃSKIE W CZTERECH WYMIARACH Adam Doliwa doliwa@matman.uwm.edu.pl Instytut Matematyczny Polskiej Akademii Nauk (Warszawa) Uniwersytet Warmińsko-Mazurski (Olsztyn) SPOTKANIA Z MATEMATYK A Olsztyn,
Bardziej szczegółowoODLEGŁOŚĆ NA PŁASZCZYŹNIE - SPRAWDZIAN
ODLEGŁOŚĆ NA PŁASZCZYŹNIE - SPRAWDZIAN Gr. 1 Zad. 1. Dane są punkty: P = (-, 1), R = (5, -1), S = (, 3). a) Oblicz odległość między punktami R i S. b) Wyznacz współrzędne środka odcinka PR. c) Napisz równanie
Bardziej szczegółowoTrójkąty Zad. 0 W trójkącie ABC, AB=40, BC=23, wyznacz AC wiedząc że jest ono sześcianem liczby naturalnej.
C Trójkąty Zad. 0 W trójkącie ABC, AB=40, BC=23, wyznacz AC wiedząc że jest ono sześcianem liczby naturalnej. Zad. 1 Oblicz pole trójkąta o bokach 13 cm, 14 cm, 15cm. Zad. 2 W trójkącie ABC rys. 1 kąty
Bardziej szczegółowoLI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 3 kwietnia 2000 r. (pierwszy dzień zawodów)
LI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 3 kwietnia 2000 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Dana jest liczba całkowita n 2. Wyznaczyć liczbę rozwiązań (x 1,x
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA WYDZIAŁ MATEMATYKI - TEST 1
Wszelkie prawa zastrzeżone. Rozpowszechnianie, wypożyczanie i powielanie niniejszych testów w jakiejkolwiek formie surowo zabronione. W przypadku złamania zakazu mają zastosowanie przepisy dotyczące naruszenia
Bardziej szczegółowoProjekt Zobaczę-dotknę-wiem i umiem, dofinansowany przez Fundację mbanku w partnerstwie z Fundacją Dobra Sieć
Kartka papieru i własności trójkątów. Ćwiczenie 1 Uczniowie ustalają ile znają rodzajów trójkątów. Podział ze względu na miary kątów Podział ostrokątny prostokątny rozwartokątny ze względu na długości
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2011/12
168. Uporządkować podane liczby w kolejności niemalejącej. sin50, cos80, sin170, cos200, sin250, cos280. 169. Naszkicować wykres funkcji f zdefiniowanej wzorem a) f(x) = sin2x b) f(x) = cos3x c) f(x) =
Bardziej szczegółowoV Międzyszkolny Konkurs Matematyczny
V Międzyszkolny Konkurs Matematyczny im. Stefana Banacha dla uczniów szkół średnich Zespół Szkół Nr 1 im. Adama Mickiewicza w Lublińcu 42-700 Lubliniec, ul. Sobieskiego 22 18. kwiecień 2011 rok 1. W trapezie
Bardziej szczegółowoO D P O W I E D Z I D O Z A D A Ń T E S T O W Y C H
O D P O W I E D Z I D O Z A D A Ń T E S T O W Y C H 1. Niech A = {(x, y) R R : 3 x +4 x = 5 y } będzie zbiorem rozwiązań równania 3 x +4 x = 5 y w liczbach rzeczywistych. Wówczas zbiór A i zbiór N N mają
Bardziej szczegółowoTemat: PRZEKROJE PROSTOPADŁOŚCIANÓW. Cel lekcji: kształcenie wyobraźni przestrzennej
Temat: PRZEKROJE PROSTOPADŁOŚCIANÓW Cel lekcji: kształcenie wyobraźni przestrzennej Przypomnienie podstawowych wiadomości potrzebnych do rozwiązywania zadań z przekrojami prostopadłościanów. 1. Prostopadłościan
Bardziej szczegółowoZajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria
Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć
Bardziej szczegółowoXIV Olimpiada Matematyczna Juniorów
XIV Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część testowa (27 września 2018 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. W sklepie U Bronka cena spodni była równa cenie sukienki. Cenę spodni najpierw
Bardziej szczegółowoLX Olimpiada Matematyczna
LX Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 13 lutego 2009 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Liczby rzeczywiste a 1, a 2,..., a n (n 2) spełniają warunek a 1
Bardziej szczegółowoPrzestrzeń unitarna. Jacek Kłopotowski. 23 października Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 23 października 2018 Definicja iloczynu skalarnego Definicja Iloczynem skalarnym w przestrzeni liniowej R n nazywamy odwzorowanie ( ) : R n R n R spełniające
Bardziej szczegółowoPRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE
ZESPÓŁ SZKÓŁ HOTELARSKO TURYSTYCZNO GASTRONOMICZNYCH NR UL. KRASNOŁĘCKA, WARSZAWA Z A D AN I A Z A M K N I Ę T E ) Liczba, której 5% jest równe 6, to : A. 0, C. 0. D. 0 5% 6 II sposób: x nieznana liczba
Bardziej szczegółowoVIII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
VIII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa www.omg.edu.pl (18 października 01 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Miary α, β, γ kątów pewnego trójkąta spełniają warunek
Bardziej szczegółowoX Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
www.omg.edu.pl X Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna (10 listopada 01 r. 15 grudnia 01 r.) Szkice rozwiązań zadań konkursowych 1. nia rozmieniła banknot
Bardziej szczegółowoWymagania na egzamin poprawkowy z matematyki z zakresu klasy drugiej TECHNIKUM
Zespól Szkół Ogólnokształcących i Zawodowych w Ciechanowcu 23 czerwca 2017r. Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki z zakresu klasy drugiej TECHNIKUM Strona 1 z 9 1. Geometria płaska trójkąty zna
Bardziej szczegółowoKlasa 3. Trójkąty. 1. Trójkąt prostokątny ma przyprostokątne p i q oraz przeciwprostokątną r. Z twierdzenia Pitagorasa wynika równość:
Klasa 3. Trójkąty. 1. Trójkąt prostokątny ma przyprostokątne p i q oraz przeciwprostokątną r. Z twierdzenia Pitagorasa wynika równość: A. r 2 + q 2 = p 2 B. p 2 + r 2 = q 2 C. p 2 + q 2 = r 2 D. p + q
Bardziej szczegółowoLXV Olimpiada Matematyczna
LXV Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 8 kwietnia 2014 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Dane są względnie pierwsze liczby całkowite k,n 1. Na tablicy
Bardziej szczegółowoTreści zadań Obozu Naukowego OMG
STOWARZYSZENIE NA RZECZ EDUKACJI MATEMATYCZNEJ KOMITET GŁÓWNY OLIMPIADY MATEMATYCZNEJ GIMNAZJALISTÓW Treści zadań Obozu Naukowego OMG Poziom OMG 2015 rok SZCZYRK 2015 Treści zadań Pierwsze zawody indywidualne
Bardziej szczegółowoKurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 11 Zadania planimetria
1 TEST WSTĘPNY 1. (1p) Wysokość rombu o boku długości 6 i kącie ostrym 60 o jest równa: A. 6 3 B. 6 C. 3 3 D. 3 2. (1p) W trójkącie równoramiennym długość ramienia wynosi 10 a podstawa 16. Wysokość opuszczona
Bardziej szczegółowoGEOMETRIA ANALITYCZNA. Poziom podstawowy
GEOMETRIA ANALITYCZNA Poziom podstawowy Zadanie (4 pkt.) Dana jest prosta k opisana równaniem ogólnym x + y 6. a) napisz równanie prostej k w postaci kierunkowej. b) podaj współczynnik kierunkowy prostej
Bardziej szczegółowoGeometria. Planimetria. Podstawowe figury geometryczne
Geometria Geometria (słowo to pochodzi z języka greckiego i oznacza mierzenie ziemi) jest jednym z działów matematyki, którego przedmiotem jest badanie figur geometrycznych i zależności między nimi. Aksjomaty
Bardziej szczegółowoPrzykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym
Zadania rozwiązali: Przykładowe rozwiązania zadań Próbnej Matury 014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Małgorzata Zygora-nauczyciel matematyki w II Liceum Ogólnokształcącym w Inowrocławiu Mariusz Walkowiak-nauczyciel
Bardziej szczegółowoXXV Rozkosze Łamania Głowy konkurs matematyczny dla klas I i III szkół ponadgimnazjalnych. zestaw A klasa I
XXV Rozkosze Łamania Głowy konkurs matematyczny dla klas I i III szkół ponadgimnazjalnych zestaw A klasa I 1. Zbiór wszystkich środków okręgów (leżących na jednej płaszczyźnie) przechodzących przez: a)
Bardziej szczegółowoTwierdzenie Talesa. Adrian Łydka Bernadeta Tomasz. Teoria
Twierdzenie Talesa. drian Łydka ernadeta Tomasz Teoria efinicja 1. Mówimy, że odcinki i są proporcjonalne odpowiednio do odcinków EF i GH, jeżeli = EF GH. Twierdzenie 1. (Twierdzenie Talesa) Jeżeli ramiona
Bardziej szczegółowoGeometria. Zadanie 1. Liczba przekątnych pięciokąta foremnego jest równa A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
Geometria Zadanie 1. Liczba przekątnych pięciokąta foremnego jest równa A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 W tym przypadku możemy wykonać szkic pięciokąta i policzyć przekątne: Zadanie. Promień okręgu opisanego na kwadracie
Bardziej szczegółowoTechnikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu
Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z obowiązkowych
Bardziej szczegółowoInternetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e
Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej Zestaw 2 szkice rozwiązań zadań 1. Dana jest taka liczba rzeczywista, której rozwinięcie dziesiętne jest nieskończone
Bardziej szczegółowoGEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI
Wykład z Podstaw matematyki dla studentów Inżynierii Środowiska Wykład 13. Egzaminy I termin wtorek 31.01 14:00 Aula A Wydział Budownictwa II termin poprawkowy czwartek 9.02 14:00 Aula A Wydział Budownictwa
Bardziej szczegółowoKRYTERIA OCEN Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW KL. II GIMNAZJUM
KRYTERIA OCEN Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW KL. II GIMNAZJUM POTĘGI I PIERWIASTKI - pojęcie potęgi o wykładniku naturalnym; - wzór na mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach; - wzór na potęgowanie
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki
Wymagania edukacyjne z matematyki Poziom podstawowy Klasa IIIb r.szk. 2014/2015 PLANIMETRIA(1) rozróżnia trójkąty: ostrokątne, prostokątne, rozwartokątne stosuje twierdzenie o sumie miar kątów w trójkącie
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna
Indukcja matematyczna Zadanie. Zapisać, używając symboli i, następujące wyrażenia (a) n!; (b) sin() + sin() sin() +... + sin() sin()... sin(n); (c) ( + )( + /)( + / + /)... ( + / + / +... + /R). Zadanie.
Bardziej szczegółowoTreści zadań Obozu Naukowego OMG
STOWARZYSZENIE NA RZECZ EDUKACJI MATEMATYCZNEJ KOMITET GŁÓWNY OLIMPIADY MATEMATYCZNEJ GIMNAZJALISTÓW Treści zadań Obozu Naukowego OMG Poziom OMG 2016 rok SZCZYRK 2016 Pierwsze zawody indywidualne Treści
Bardziej szczegółowoVIII. ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ MATURALNYCH
VIII. ZIÓR PRZYKŁDOWYCH ZDŃ MTURLNYCH ZDNI ZMKNIĘTE Zadanie. ( pkt) 0 90 Liczba 9 jest równa 0.. 00 C. 0 9 D. 700 7 Zadanie. 8 ( pkt) Liczba 9 jest równa.. 9 C. D. 5 Zadanie. ( pkt) Liczba log jest równa.
Bardziej szczegółowoPRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE
ZESPÓŁ SZKÓŁ HOTELARSKO TURYSTYCZNO GASTRONOMICZNYCH NR UL. KRASNOŁĘCKA 3, WARSZAWA Z A D AN I A Z A M K N I Ę T E ) Liczba, której 5% jest równe 6, to : A. 0,3 C. 30. D. 0 5% 6 II sposób: x nieznana liczba
Bardziej szczegółowoFIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA GEOMETRYCZNE
Umiejętności opracowanie: Maria Lampert LISTA MOICH OSIĄGNIĘĆ FIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA GEOMETRYCZNE Co powinienem umieć Umiejętności znam podstawowe przekształcenia geometryczne: symetria osiowa i środkowa,
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II
ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II POZIOM ROZSZERZONY Równania i nierówności z wartością bezwzględną. rozwiązuje równania i nierówności
Bardziej szczegółowo