Działania na przekształceniach liniowych i macierzach

Transkrypt

1 Działania na przekształceniach liniowych i macierzach Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 5 wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2013 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad / 15

2 Twierdzenie Niech V, W będa przestrzeniami liniowymi. Niech f, g : V W będa przekształceniami liniowymi i niech α R. Wtedy przekształcenie f + g : V W zadane wzorem (f + g)(v) = f (v) + g(v) dla v V oraz αf : V W zadane wzorem (αf )(v) = αf (v) dla v V sa przekształceniami liniowymi. f + g nazywamy suma f i g, zaś αf iloczynem f przez skalar α Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad / 15

3 Twierdzenie Niech V, W będa przestrzeniami liniowymi. Niech f, g : V W będa przekształceniami liniowymi i niech α R. Wtedy przekształcenie f + g : V W zadane wzorem (f + g)(v) = f (v) + g(v) dla v V oraz αf : V W zadane wzorem (αf )(v) = αf (v) dla v V sa przekształceniami liniowymi. f + g nazywamy suma f i g, zaś αf iloczynem f przez skalar α Przykład Niech f, g : R 3 R 2 zadane wzorami f ((x 1, x 2, x 3 )) = (2x 1 + 3x 2 3x 3, x 1 + 2x 2 x 3 ) oraz g((x 1, x 2, x 3 )) = (7x 1 2x 2 8x 3, x 1 + 2x 2 + 3x 3 ) i niech α = 2. Wtedy (f + g)((x 1, x 2, x 3 )) = (9x 1 + x 2 11x 3, 4x 2 + 2x 3 ), zaś αf ((x 1, x 2, x 3 )) = (4x 1 + 6x 2 6x 3, 2x 1 + 4x 2 2x 3 ) Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad / 15

4 Twierdzenie Niech V, W, Z będa przestrzeniami liniowymi. Niech f : V W oraz g : W Z będa przekształceniami liniowymi. Wówczas przekształcenie g f : V Z zadane wzorem (g f )(v) = g(f (v)) jest przekształceniem liniowym, nazywanym złożeniem f i g. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad / 15

5 Twierdzenie Niech V, W, Z będa przestrzeniami liniowymi. Niech f : V W oraz g : W Z będa przekształceniami liniowymi. Wówczas przekształcenie g f : V Z zadane wzorem (g f )(v) = g(f (v)) jest przekształceniem liniowym, nazywanym złożeniem f i g. Przykład Niech f : R 3 R 2 zadane przez f ((x 1, x 2, x 3 )) = (x 1 + 2x 2 x 3, 2x 1 + 4x 2 x 3 ) zaś g : R 2 R 2 przez g((y 1, y 2 )) = (y 1 + y 2, 2y 1 y 2 ). Wtedy g f ((x 1, x 2, x 3 )) = g(f ((x 1, x 2, x 3 ))) = g((x 1 +2x 2 x 3, 2x 1 +4x 2 x 3 )) = ((x 1 + 2x 2 x 3 ) + (2x 1 + 4x 2 x 3 ), 2(x 1 + 2x 2 x 3 ) (2x 1 + 4x 2 x 3 )) = (3x 1 + 6x 2 2x 3, x 3 ) Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad / 15

6 Definicja Działania na macierzach Niech A, B M m n (R), c R, A = [a ij, B = [b ij. Suma macierzy A i B nazywamy macierz A + B = [a ij + b ij M m n (R). Iloczynem macierzy A przez skalar c nazywamy macierz ca = [ca ij M m n (R) Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad / 15

7 Definicja Działania na macierzach Niech A, B M m n (R), c R, A = [a ij, B = [b ij. Suma macierzy A i B nazywamy macierz A + B = [a ij + b ij M m n (R). Iloczynem macierzy A przez skalar c nazywamy macierz ca = [ca ij M m n (R) Przykład Niech A, B M 3 2 (R), A = , B = Wtedy A + B = , ca =, c = Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad / 15

8 Definicja Niech A M m n (R), B M n l (R): A = [a ij, B = [b ij (tzn. kolumny B maja tyle elementów, ile wiersze A). Iloczynem macierzy A przez macierz B nazywamy macierz A B = [c ij M m l (R), gdzie c ij = n s=1 a isb sj = a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a in b nj dla 1 i m, 1 j l. W szczególności, jeśli w = [ a 1... a n oraz k = wierszem i kolumna o tej samej liczbie elementów n, to w k = [a 1 b a n b n. Np. [ b 1. b n sa = ( 1) 0 = [14. Jeśli teraz przez w 1,..., w m oznaczymy wiersze A, zaś k 1,... k l kolumny B, to w macierzy A B w i-tym wierszu i j-tej kolumnie stoi liczba w i k j (pozwoliliśmy sobie na nieścisłość, utożsamiajac macierz [x z liczba x). Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad / 15

9 Przykład Niech A M 3 2 (R), B M 2 2 (R), A = , B = [ Oznaczmy przez w 1, w 2, w 3 wiersze A zaś przez k 1, k 2 kolumny B. 2 1 [ w Wówczas A B = = w [ k 1 k 2 = 5 2 w 3 w 1 k 1 w 1 k w 2 k 1 w 2 k 2 = w 3 k 1 w 3 k Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad / 15

10 Przykład Niech A M 3 2 (R), B M 2 2 (R), A = , B = [ Oznaczmy przez w 1, w 2, w 3 wiersze A zaś przez k 1, k 2 kolumny B. 2 1 [ w Wówczas A B = = w [ k 1 k 2 = 5 2 w 3 w 1 k 1 w 1 k w 2 k 1 w 2 k 2 = w 3 k 1 w 3 k Uwaga W iloczynach macierzy możemy pominać nawiasy, gdyż mnożenie macierzy jest łaczne, [ tzn. [ (A B) C = [ A (B C). [ Nie jest ono na ogół przemienne np Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad / 15

11 Zwiazki działań na macierzach z działaniami na przekształceniach Twierdzenie (1) Niech V, W będa przestrzeniami liniowymi, f, g : V W przekształceniami liniowymi. Niech A = (v 1,..., v n ) będzie baza V, zaś B = (w 1,..., w m ) baza W. Wówczas M(f + g) B A = M(f )B A + M(g)B A. Ponadto M(αf )B A = αm(f )B A Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad / 15

12 Zwiazki działań na macierzach z działaniami na przekształceniach Twierdzenie (1) Niech V, W będa przestrzeniami liniowymi, f, g : V W przekształceniami liniowymi. Niech A = (v 1,..., v n ) będzie baza V, zaś B = (w 1,..., w m ) baza W. Wówczas M(f + g) B A = M(f )B A + M(g)B A. Ponadto M(αf )B A = αm(f )B A Twierdzenie (2) Niech V, W, Z będa przestrzeniami liniowymi zaś f : V W oraz g : W Z przekształceniami liniowymi. Niech A = (v 1,..., v k ) baza V, B = (w 1,..., w n ) baza W, C = (z 1,..., z m ) baza Z. Wówczas M(g f ) C A = M(g)C B M(f )B A Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad / 15

13 Przykład Odwołamy się do omówionego* przykładu. Przyjmijmy za A bazę standardowa w R 3, za B = C bazę standardowa w R 2. Przypomnijmy: Niech f : R 3 R 2 zadane przez f ((x 1, x 2, x 3 )) = (x 1 + 2x 2 x 3, 2x 1 + 4x 2 x 3 ) zaś g((y 1, y 2 )) = (y 1 + y 2, 2y 1 y 2 ). Wtedy g f ((x 1, x 2, x 3 )) = g(f ((x 1, x 2, x 3 ))) = g((x 1 +2x 2 x 3, 2x 1 +4x 2 x 3 )) = ((x 1 + 2x 2 x 3 ) + (2x 1 + 4x 2 x 3 ), 2(x 1 + 2x 2 x 3 ) (2x 1 + 4x 2 x 3 )) = (3x 1 + 6x 2 2x 3, x 3 ). Mamy [ [ M(f ) B A =, M(g) C 1 1 B = skad M(g f ) C A = M(g) C B M(f ) B A = [ [ co zgadza się z obliczonym wzorem na g f = [ Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad / 15

14 Zastosowania Twierdzenie Niech f : V W będzie przekształceniem liniowym, gdzie V, W sa przestrzeniami liniowymi. Niech A = (v 1,..., v n ) oznacza bazę V, zaś B = (w 1,..., w m ) bazę W. Niech v V, i niech α 1,..., α n będa współrzędnymi wektora v w bazie A, zaś β 1,..., β m współrzędnymi wektora f (v) w bazie B (tzn. v = α 1 v α n v n, f (v) = β 1 w β m w m ). Oznaczmy M = M(f ) B A. Wówczas: M α 1. α n = Uwaga Jeśli będziemy oznaczać przez v A kolumnę, której kolejnych współrzędnych wektora v V w bazie A przrestrzeni V, zaś kolumnę współrzędnych wektora w W w bazie B przez w B to powyższe twierdzenie można zapisać (f (v)) B = M(f ) B A v A β 1. β m Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad / 15

15 Przykład Zdefiniujmy liniowe przekształcenie f : R 2 R 2 wzorem f ((x 1, x 2 )) = (2x 1 + x 2, x 1 x 2 ). Mamy M(f ) B A = [ gdzie A = B, oznacza bazę standardowa w R 2. Niech v = (2, 3) czyli f (v) = (7, 1). Zachodzi [ [ [ = Ogólnie, dla v = (x 1, x 2 ) R 2 zachodzi [ [ [ 2 1 x1 2x1 + x = x 2 x 1 x 2 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad / 15

16 Wniosek Niech A = (v 1,..., v n ) oraz B = (w 1,..., w n ) będa bazami przestrzeni V. Niech v V, i niech α 1,..., α n będa współrzędnymi wektora v w bazie A, zaś β 1,..., β m współrzędnymi wektora v w bazie B (tzn. v = α 1 v α n v n, v = β 1 w β n w n ). Niech C = M(id) B A, gdzie id : V V oznacza przekształcenie identycznościowe (tzn. id(v) = v, dla v V ). Wówczas C α 1. α n = β 1. β n. Zdefiniowana powyżej macierz C nazywamy macierza zamiany współrzędnych od bazy A do bazy B. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad / 15

17 Przykład Oznaczmy A = ((2, 1), (1, 1)), B = ((1, 2), (0, 1)) bazy w R 2. Mamy id((2, 1)) = (2, 1) = 2(1, 2) 3(0, 1) oraz id((1, 1)) = (1, 1) = 1(1, 2) 1(0, 1). Zatem [ M(id) B 2 1 A = 3 1 Niech v = (3, 2) = 1(2, 1) + 1(1, 1). Mamy [ [ [ = Istotnie 3(1, 2) 4(0, 1) = (3, 2).. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad / 15

18 Obliczanie macierzy zamiany współrzędnych Niech A = {v 1,..., v n }, B = {w 1,..., w n } będa bazami przestrzeni R n. Niech A będzie macierza n n, której kolumny to wektory bazy A zapisane "pionowo", podobnie zapiszmy wektory bazy B w macierzy B. Niech M = [B A oznacza macierz n 2n powstała przez wypisanie najpierw macierzy B, a następnie macierzy A. Niech M = [B A będzie macierza w postaci schodkowej zredukowanej powstała z M przez zastosowanie elementarnych operacji wierszowych 3 typów. Wtedy A = M(id) B A (A "prawa połówka"m ) Przykład Niech A = ((2, 1), (1, 1)), B = ((1, [ 2), (0, 1)) bazy w R 2 takie jak poprzednio. Wtedy M = [B A =. Po zastosowaniu [ w 2 2w 1 otrzymamy M = [B A =. Zatem [ 2 1 M(id) B A = A = 3 1 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad / 15

19 Zastosowanie macierzy zamiany współrzędnych do obliczania macierzy przekształceń liniowych. Twierdzenie Niech V, W będa przestrzeniami liniowymi. Niech A, A będa bazami V zaś B, B bazami W. Rozważmy przekształcenie liniowe f : V W. Wtedy M(f ) B A = M(id) B B M(f )B A M(id)A A Wynika to z zastosowania twierdzenia o macierzy złożenia przekształceń do złożenia id W f id V. Użyteczny jest poniższy diagram (subskrypty oznaczaja bazy, którymi sa opatrzone przestrzenie) id W W f id B W B V V A VA Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad / 15

20 Przykład Tak jak w poprzednim przykładzie mamy w R 2 bazy A = ((2, 1), (1, 1)), B = ((1, 2), (0, 1)). Natomiast w R 3 mamy bazę C = ((1, 1, 0), (1, 1, 1), (0, 1, 1)). Przekształcenie liniowe f : R 2 R 3 jest zdefiniowane macierza M(f ) C B = diagramu R 3 st id R 3 C f R 2 B id R 2 A. Szukamy M(f ) st A. Z odczytujemy: M(f ) st A = M(id f id)st A = M(id)st C M(f )C B M(id)B A. Korzystajac z poprzedniego przykładu mamy: [ 4 1 M(f ) st A = = Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad / 15