Szczególna teoria względości. 19 października 2015

Transkrypt

1 Szczególna teoria względości 19 października 2015

2 Układ odniesienia Prawa opisujace ruch ciał (równania ruchu) musza zostać zapisane w pewnym wybranym układzie odniesienia. Układ odniesienia nazywany jest inercyjnym jeśli obowiazuj a w nim prawa ruchu Newtona Kryterium: ciało, na które nie działa siła wypadkowa porusza się w układzie inercyjnym ruchem jednostajnym, prostoliniowym.

3 Klasyczna (Newtonowska) zasada względności: niezmienniczość Galileusza Dwa układy inercyjne K, K. K porusza się względem K ze stała prędkościa, v. Jeśli równania Newtona obowiazuj a w K, to obowiazuj a również w K. K i K - równoprawne.

4 transformacja Galileusza współrzędne punktu P w K : P = (x, y, z, t), w K : P = (x, y, z, t ), układy pokrywaja się w chwili 0. transformacja Galileusza: v = (v, 0, 0), v f (t). x = x vt (1) y = y (2) z = z (3) t = t (4) czas t jest niezmiennikiem transformacji Galileusza: identyczny dla wszystkich układów, bezwzględny, całkowicie separowalny od przestrzeni transformacja prędkości V = dx dt = dx dt v = V v transformacja przyspieszenia a = dv = dv = a dt dt a = a = F - działanie sił na czastkę wywołuję ten sam efekt w K i K m II prawo dynamiki Newtona obowiazuje w każdym układzie inercyjnym. zasada względności Newtona (Newtona-Galileusza, Galileusza)

5 transformacja Galileusza transformacja Galileusza: v = (v, 0, 0), v f (t). x = x vt (5) y = y (6) z = z (7) t = t (8) transformacja odwrotna: x x, x x, v v x = x + vt (9) y = y (10) z = z (11) t = t (12)

6 Klasyczna (Newtonowska) zasada względności: niezmienniczość Galileusza 2 statki: poruszajace się ze stała prędkościa obserwatorzy K i K : na każdym ze statków, stwierdza że to ten drugi się porusza. żaden nie jest w stanie stwierdzić własnego ruchu przeprowadzajac doświadczenia mechaniczne na własnym pokładzie (kajuta bez okien i np. pion) w ten sposób: możliwe jest tylko wykrycie przyspieszenia

7 równanie falowe z rownań Maxwella elektromagnetyzm przed Maxwellem: równanie Faradaya E = B t równanie Ampera B = µ 0 J Maxwell (1863) równanie Ampera-Maxwella B = µ 0 ( J + ɛ0 E t do równania Faradaya, ( E) = ( E) 2 E E = ρ/ɛ 0, w próżni J = 0,ρ = 0. 2 E = µ 0 ɛ 0 2 t 2 E c = 1 µ0 = tys km/s - jak światło (znana za Maxwella wartość). ɛ 0 skad znana: Bradley aberracja światła gwiazd, 1848 Fizeau-Foucault )

8 prędkość światła - aberracja gwiazd Bradley odkrycie i wyłumaczenie zjawiska aberracji światła gwiazd aberracja gwiazd - położenie gwiazd zmienia się w cyklu rocznym tg θ = v c = /1000 radiana (około 0.5 stopnia), przy v = 30 km/s, oszacowana c = km/s. v - znana z pomiaru odległości ziemia-słońce (Arystarch)

9 prędkość światła - pomiar laboratoryjny pierwszy pomiar laboratoryjny: Fizeau i Foucault, lata 40 XIXw. film fico.gif (by Kevin McFarland, University of Rochester) t = 2D c, t = θ ω lustro odbijajace światło 35 km od źródła, obrót do 100 razy na sekundę wynik zgodny z dokładnym z precyzja do 5%

10 fale elektromagnetyczne Maxwell c = 1 µ0 = tys km/s, nie ɛ 0 doczekał weryfikacji doświadczalnej istnienia fal elektromagnetycznych 1888 : Heinrich Hertz : Pole zmienne między 2 kulami metalowymi o amplitudzie powodujacej przebicie (iskry przez powietrze) pętla metalowa ze szczelina jako odbiornik : generacja iskry w odbiorniku Hertz: zmierzył prędkość, długość fali, wykrył składowe magnetyczna i elektryczna pokazał, że fale można odbić, ugiać, poddać dyfrakcji Maxwell (1863) +Hertz (1888): światło jest fala elektromagnetyczna

11 Równanie falowe a transformacje Galileusza 1864 (Maxwell) - światło to fala elektromagnetyczna równania Maxwella, nie sa niezmiennicze względem transformacji Galileusza wyprowadzone z równań Maxwella równanie falowe dla pola elektrycznego 2 E t 2 = c2 2 E x 2 rozwiazania: E(x ct), E(x + ct) oraz ich kombinacje liniowe. x = x + v 0 t, t = t x = x x = t t t x + t x t + x t t = x x = t v 0 x 2 E t + (v c2 ) 2 E x 2v E x t = 0 równanie falowe nie jest niezmiennicze względem transformacji Galileusza układy poruszajacy się i nie poruszajacy się względem wody nie sa równoważne dlatego np. można wykryć własny ruch względem ośrodka, w którym rozchodz a się fale

12 Klasyczna (Newtonowska) zasada względności: niezmienniczość Galileusza 2 statki: poruszajace się ze stała prędkościa układy wyróżnione: woda, powietrze (brak wiatru i pradów morskich, lepkości wody) który się porusza?: woda: wrzucić kamień i obserwować fale na wodzie [gify z Wikipedii, d1.gif, d2.gif]

13 Klasyczny efekt Dopplera który się porusza względem powietrza: dźwięk syreny z drugiego okrętu efekt Dopplera: ν(v r, v s) = ( c+v r c v s ) ν0, ν 0 - częstość źródła, ν - odbierana, c = 350 m/s, v r - prędkość odbiornika, v s - źródła v r oraz v s względem nieruchomego powietrza, v r > 0, v s > 0 - dla zbliżajacych się r oraz s, ν(v, 0) = ν 0 (1 + v c ) ν(0, v) = ν 1 0( ) 1 v c nie jest wszystko jedno czy v r = 0 czy v 0 = 0. (różnica (v/c) 2 układ wyróżniony - układ własny powietrza.

14 Równania Newtona - niezmiennicze względem transformacji Galileusza (widzieliśmy) Równania Maxwella - niezmiennicze względem transformacji Galileusza nie sa Z równań Maxwella : światło fala poruszajac a się w próżni z prędkościa c = 1 µ0 dana przez przenikalność elektryczna i magnetyczna próżni. ɛ 0 Wszystkie znane w 1895 fale poruszaja się w pewnym ośrodku (powietrze,woda,ciało stałe) Hipotetyczny ośrodek, w którym porusza się światło: Eter - bardzo rzadki i bardzo sztywny

15 Wszystkie znane w 1895 fale poruszaja się w pewnym ośrodku (powietrze,woda,ciało stałe) Hipotetyczny ośrodek, w którym porusza się światło: Eter - bardzo rzadki i bardzo N sztywny (prędkość pakietów falowych na strunie v =, gdzie N siła naci ρ agu, ρ gęstość liniowa masy struny). Eter: nie stawia oporu ruchowi naszemu i planet Brak niezmienniczości r. M. względem transformacji Galileusza: można wykryć nasz ruch względem eteru

16 doświadczenia Michelsona wykryć ruch Ziemi względem eteru: jak wykryć ruch łódki względem wody po wrzuceniu kamienia v = 30km/s = c/10 4, [II prędkość kosmiczna dla ciał z Ziemi km/s] niewiele w porównaniu z c Albert Michelson: interferometr wystarczajacy dla wykrycia tego ruchu nawet gdy (jak zobaczymy) przesunięcia fazowe proporcjonalne do (v/c) 2

17 doświadczenia Michelsona zobaczyć, że obrót intefrefometru: przesunięcie prażków drogi optyczne zależa od orientacji interferometru i jego (Ziemi) wektora prędkości względem eteru. obrót interferometru: powinien spowodować przesunięcie pasków interferencyjnych

18 doświadczenia Michelsona wikipedia: animacja ruchu czoła fali dla interferometru poruszajacego się i stacjonarnego względem eteru MichelsonMorleyAnimationDE.gif drogi optyczne zależa od orientacji interferometru względem prędkości Ziemi.

19 doświadczenia Michelsona czas do M 1 i z powrotem: t 1 = l 1 c v + l 1 c+v = 2l 1 1 c 1 v2 c 2 czas do M 2 i z powrotem: t 2 = 2l 2 c 2 v 2 t = t 2 t 1 = 2 c ( l 2 l 1 1 v 2 /c 2 1 v 2 /c 2 ) po obrocie o 90 stopni: t = t ( 2 ) t 1 = 2 c (l 1 + l 2 ) 1 v 2 /c v 2 /c 1 2 t t v2 c (l l 2 ), przy l 1 l 2 = 1.2m, t t = s. Dla widzialnego λ = 0.6µm jest T = λ c = s. Przesunięcie 0.04 okresu (prażka) l = 1.2 m, Następnie 1887 l = 11m - możliwa detekcja przesunięcia o a wynik - żaden. drogi optyczne zależa od orientacji interferometru względem prędkości Ziemi. obrót interferometru: powinien spowodować przesunięcie pasków interferencyjnych

20 doświadczenia Michelsona Michelson i Morley - pomiary w dzien, w nocy, w piwnicy i na szczytach gór - nic hipoteza ciagnięcia eteru przez Ziemię ale : aberracja gwiazd - położenie gwiazd zmienia się w cyklu rocznym dziś wiemy, że układ słoneczny porusza się względem środka Drogi Mlecznej z prędkościa 220 km/s.

21 doświadczenia Michelsona Pierwsza publikacja Michelsona o negatywnym wyniku doświadczenia 1881 Albert Einstein ( ) Einstein zaczyna sie zastanawiać nad wynikiem Michelsona w wieku 16 lat 1905 szczególna teoria względności (STW).

22 postulaty STW postulaty STW A. Einsteina 1. Zasada względności: we wszystkich układach inercyjnych wszystkie prawa fizyki maja tę sama formę 2. Stałość prędkości światła: w każdym układzie odniesienia prędkość światła c jest identyczna Ad. 1 nie istnieje wyróżniony inercyjny układ odniesienia względem żadnego z praw. Ad. 1 obserwator w ruchu jednostajnym nie wykryje swojego ruchu obserwujac światło tak jak nie zobaczy tego obserwujać zjawiska mechaniczne w swoim układzie. Ad. 2 (dotyczy prędkości w próżni, maksymalna prędkość, z która można przekazać informacje). uwaga: dla ośrodków materialnych : światło prędkość grupowa (paczki falowej <c) oraz prędkość fazowa (może być >c). animacja Wave-group (wikipedia). latarnia księżyc

23 postulaty STW postulaty STW A. Einsteina 1. Zasada względności: we wszystkich układach inercyjnych wszystkie prawa fizyki maja tę sama formę 2. Stałość prędkości światła: w każdym układzie odniesienia prędkość światła c jest identyczna Ad. 1 nie istnieje wyróżniony inercyjny układ odniesienia względem żadnego z praw. Ad. 1 obserwator w ruchu jednostajnym nie wykryje swojego ruchu obserwujac światło tak jak nie zobaczy tego obserwujać zjawiska mechaniczne w swoim układzie. Ad. 2 (dotyczy prędkości w próżni, maksymalna prędkość, z która można przekazać informacje). uwaga: dla ośrodków materialnych : światło prędkość grupowa (paczki falowej <c) oraz prędkość fazowa (może być >c). animacja Wave-group (wikipedia). latarnia księżyc

24 postulaty STW postulaty STW A. Einsteina 1. Zasada względności: we wszystkich układach inercyjnych wszystkie prawa fizyki maja tę sama formę 2. Stałość prędkości światła: w każdym układzie odniesienia prędkość światła c jest identyczna Ad. 1 nie istnieje wyróżniony inercyjny układ odniesienia względem żadnego z praw. Ad. 1 obserwator w ruchu jednostajnym nie wykryje swojego ruchu obserwujac światło tak jak nie zobaczy tego obserwujać zjawiska mechaniczne w swoim układzie. Ad. 2 (dotyczy prędkości w próżni, maksymalna prędkość, z która można przekazać informacje). uwaga: dla ośrodków materialnych : światło prędkość grupowa (paczki falowej <c) oraz prędkość fazowa (może być >c). animacja Wave-group (wikipedia). latarnia księżyc

25 stałość prędkości światła światło wysłane na Ziemi jego prędkość mierzona na Ziemi i w samolocie poruszajacym się z prędkościa v względem Ziemi STW: również w samolocie stwierdzona zostanie prędkość c, a nie c v jak byłoby gdyby krzyczał, lub rzucał piłkę z prękościa v

26 stałość prędkości światła równanie falowe dla fali EM jest identyczne we wszystkich inercjalnych układach odniesienia. S (r, t ) porusza się względem S(r, t) ze stała v, w t = t = 0 poczatki układów się pokrywaja i wyemitowana z nich zostaje fala świetlna. z fala ma kształt sferyczny w obydwu układach. Ponadto w obydwu układach sfera ma środek w poczatku układu współrzędnych (!). całkiem inaczej niż dla fal na wodzie (kamień w wodę)?

27 pierwsza konsekwencja postulatów STW: dylatacja czasu zegar świetlny na pokładzie samolotu t 0 czas własny jednego taktu zegara : d = ct 0 /2 t czas taktu zegara w układzie Ziemi: ( ct ) 2 ( 2 = vt ) d 2 t = t 0 = t 0 1 v2 1 β 2 c 2 wniosek: czas własny płynie wolniej 1 sekunda w układzie Ziemi (v Z /c = 30 ) to s w układzie Słońca. zegar świetlny obserwowany w układzie własnym (samolotu) zegar świetlny obserwowany z Ziemi

28 mion (ciężki elektron) µ -tzw. ciężki elektron czastka zbyt ciężka by istnieć w naszej skali energii produkowany laboratoryjnie w akceleratorach (rozpędza się protony i uderza w tarczę) produkcja pionów (mezonów π) w zderzeniach p z jadrami: π + = ud, π = du ich rozpad π µ + ν µ, średni czas życia t = s. rozpad mionów z kolei µ e + ν e + ν µ. średni czas życia mionu t = s.

29 rozpad mionów atmosferycznych prawo rozpadu Miony ulegaja rozpadowi. Liczba rozpadów mionów w populacji - proporcjonalna do liczby mionów. dn = λn(t), λ: stała rozpadu dt N(t) = N 0 exp( λt) prawdopodobieństwo tego że 1 mion dożyje czasu t: p := exp( λt) średni czas zycia t = N(t) = N 0 exp( t/ t) p(t)tdt 0 p(t)dt 0 = 1 λ.

30 rozpad mionów atmosferycznych prawdopodobieństwo że 1 mion dożyje czasu t: p := exp( t t ) µ produkowane w górnych warstwach atmosfery (wysokość 10km) przez promieniowanie kosmiczne W t = s µ z v c może średnio pokonać 600 m. w układzie poruszajacym się względem mionu (Ziemia) t = 1 β t. Prędkość 2 µ może być np. v = c, wtedy 1 10, czas życia i średnia droga 1 β 2 przebyta przez µ w układzie Ziemi 10 razy większa.

31 rozpad mionów atmosferycznych w układzie poruszajacym się względem mionu (Ziemia) t = 1 β t. 2 v = c, wtedy 1 1 β 2 10 pstwo przeżycia: p := exp( t t ) doświadczalnie można wyselekcjonować detekcję mionów o np. v c. stosunek zliczeń mionów na różnych wysokościach h: N g i na powierzchni Ziemi N z, Nz = exp( h N g v t ), < S >= v < dt >= 6km:

32 Skrócenie długości w układzie mionu Ziemia porusza się względem niego z prędkościa v = c. w układzie własnym mion żyje t 0 = s. Ziemia pokonuje w jego układzie więc odległość v t = 600 m. grubość atmosfery Ziemi z punktu widzenia mionu jest 10 razy mniejsza niż w układzie Ziemi obiekty poruszajace się ulegaja skróceniu w kierunku ruchu relatywistyczne skrócenie długości: l = l 0 1 β 2, gdzie l 0 - długość własna (w układzie własnym) do zapamiętania: czas własny najkrótszy, długość w układzie własnym - największa rysunek: obserwatorzy widza inaczej czas i długość, lecz sa zgodni co do skutków u2.lege.net

33 Skrócenie długości w układzie mionu Ziemia porusza się względem niego z prędkościa v = c. w układzie własnym mion żyje t 0 = s. Ziemia pokonuje w jego układzie więc odległość v t = 600 m. grubość atmosfery Ziemi z punktu widzenia mionu jest 10 razy mniejsza niż w układzie Ziemi obiekty poruszajace się w pewnym układzie wg obserwacji z tego układu ulegaja skróceniu w kierunku ruchu relatywistyczne skrócenie długości: l = l 0 1 β 2, gdzie l 0 - długość własna (w układzie własnym) do zapamiętania: czas własny najkrótszy, długość w układzie własnym - największa rysunek: obserwatorzy widza inaczej czas i długość, lecz sa zgodni co do skutków u2.lege.net

34 Skrócenie długości l = l 0 1 β 2, gdzie l 0 - długość własna (w układzie własnym) podróże międzygwiezdne załoga jest w stanie (w 1 pokoleniu) dolecieć dowolnie daleko, np. na odległość milion lat świetlnych od Ziemi.

35 transformacja Galileusza współrzędne punktu P w K : P = (x, y, z, t) w K : P = (x, y, z, t ) transformacja Galileusza: v = (v, 0, 0), v f (t). bez watpienia słuszna przy niskich prędkościach x = x vt (13) y = y (14) z = z (15) t = t (16)

36 Transformacja Lorentza v = (v, 0, 0), v f (t). transformacja: y = y (17) z = z (18) x = k(x vt) (19) k(v), liniowe uogólnienie tr. Galileusza (redukuje się do nich przy k = 1) transformacja odwrotna x = k(x + vt ) wstawić x z (19) do poprzedniego wzoru x = k 2 (x vt) + kvt t = kt + 1 k2 x kv dla zachowania spójności transformacji prostej i odwrotnej t t chyba że k = 1 (tr. Galileusza) zadanie: wyznaczyć k. (20)

37 transformacja Lorentza x = k(x vt) (*), oraz x = k(x + vt ) oraz t = kt + 1 k2 kv x (*) k =? - z założeń STW postulat STW: sferyczne w obydwu układach czoło fali. Ponadto w obydwu układach sfera ma środek w poczatku układu współrzędnych (!). x(t) oraz x (t ) - położenie fotonu (promień tej sfery) poruszajacego się w prawo w chwili poczatkowej x = x = 0, t = t = 0 x = ct oraz x = ct wstawiamy do ostatniego wzoru wyrażenia na x i t (*) liczymy z tego x = ct 1+ v c 1 ( 1 k 2 1) v c ułamek = musi być równy 1, z tego k = 1 1 v2 c 2

38 transformacja Lorentza x = k(x vt) (*), oraz x = k(x + vt ) oraz t = kt + 1 k2 kv x (*) k =? z fala ma kształt sferyczny w obydwu układach. Ponadto w obydwu układach sfera ma środek w poczatku układu współrzędnych (!). x(t) oraz x (t ) - promień tej sfery x = ct oraz x = ct wstawiamy do ostatniego wzoru wyrażenia na x i t (*) liczymy z tego x = ct 1+ v c 1 ( 1 k 2 1) v c ułamek = musi być równy 1, z tego k = 1 (ćwiczenia) 1 v2 c 2 transformacja Lorentza x = x vt y = y z = z t = 1 v2 c 2 t vx c2 1 v2 c 2 w druga stronę x = x +vt y = y z = z t = 1 v2 c 2 t + vx c 2 1 v2 c 2

39 skrócenie długości x = t = x vt 1 v2 c 2 t vx c2 1 v2 c 2 pręt spoczywa w układzie K, długość własna L 0 = x 2 x 1 w układzie K w chwili t obserwujemy długość pręta widziana długość L = x 2 x 1 x 1 = x 1 vt x 2 = ; 1 v2 c 2 x 2 vt L 0 = L 1 v2 c 2 1 v2 c 2 pręt najdłuższy we własnym układzie

40 dylatacja czasu x = x +vt t = 1 v2 c 2 t + vx c 2 1 v2 c 2 zegar spoczywa punkcie x w układzie K czas własny t 0 = t 2 t 1 t = t 2 t 1 = t 0 1 v2 c 2 czas własny - najkrótszy

41 relatywistyczne składanie prędkości prędkość ciała w K : u x = dx dt dy dz, uy =, uz = dt dt prędkość ciała w K u x = dx dt, u y = dy dt, u z = dz dt x = x +vt dx +vdt t = t + vx c 2 1 v2 c 2 dx = 1 v2 c 2 dt = dy = dy, dz = dz u x = dx = dx +vdt = dt dt +v dx c 2 u x = u x +v 1+ v c 2 u x 1 v2 c 2 dt + vdx c 2 1 v2 c 2 dx dt +v 1+ v dx c 2 dt oraz u y = 1 v 2 /c 2 u y 1+ v oraz u z = c 2 u x jeśli u x = c u x = c, niezależnie od v 1 v 2 /c 2 u z 1+ v c 2 u x

42 transformacja równania falowego x = γx vt, γ = 1 t = γt vx c 2 2 E t 2 = c2 2 E x 2 x = x x = t t t... (ćwiczenia) x + t x t + x t 1 v2 c 2 t = γ x v c γ 2 t x = γv x + γ t 2 E t = 2 c2 2 E - równanie falowe niezmiennicze względem tr. Lorentza x 2 Lorentz szukał transformacji, które nie zmienia formy równania falowego i znalazł je przed Einsteinem.

43 Skrócenie długości: siła Lorentza z siły Coulomba hipotetyczny przewodnik - z nośnikami różnoimiennymi l = l 0 1 β 2 jednostka pradu [Ampera] definiowana dla układu dwóch równoległych przewodów z pradem (siła na jednostkę długośći) zamiast siły Lorentza: siła Coulomba ("pole magnetyczne jako relatywistyczna konsekwencja pola elektrycznego").

44 względność jednoczesności dwa zdarzenia (x 1, t 1 ), (x 2, t 2 ) jednoczesne, jeśli t 1 = t 2 = t K - wagon długości 2L porusza się względem peronu (K ) z prędkościa v. błysk światła ze środka wagonu osiagnie jego końce (x 1 = L, x 2 = L) w chwili t 1 = t 2 = L/c = t. obserwator na peronie: t 1 = t +vx 1 /c2 1 v2 c 2 t 2 = t +vx 2 /c2 1 v2 c 2 oraz wniosek: t 1 < t 2 wniosek: zdarzenia jednoczesne w K nie musza być jednoczesne w K

45 czasoprzestrzeń czas - czwarty wymiar zdarzenie (x, y, z, t) zapisywane w czasoprzestrzeni Minkowskiego (x, y, z, ict) współrzędne (x, ct) ciała linia świata na lewym rysunku linia świata ciała przyspieszajacego od 0 do blisko c

46 czasoprzestrzeń Synchronizacja zegarów w różnych miejscach przestrzeni z x 3 sygnał świetlny do x 1 i x 2 równoodległych.

47 czasoprzestrzeń Synchronizacja zegarów w różnych miejscach przestrzeni z x 3 sygnał świetlny do x 1 i x 2 równoodległych. teraz: x 1 (= x 1 ) oraz x 2(= x 2 ) poruszaja się względem x 3: (np. 1 i 2 siedza w statku kosmicznym) mamy t 1 < t 2

48 paradoks bliźniat B1 wysłany w podróż kosmiczna z prędkościa podświetlna B2 zostaje na Ziemi, dla niego serce B1 bije wolniej w czasie lotu B1 również stwierdza, że serce B2 bije wolniej (zegary w ruchu chodza wolniej) B2 kiedyś wróci: kto okaże się starszy?

49 paradoks bliźniat B1 wysłany w podróż kosmiczna z prędkościa podświetlna B2 zostaje na Ziemi, dla niego serce B1 bije wolniej w czasie lotu B1 również stwierdza, że serce B2 bije wolniej (zegary w ruchu chodza wolniej) B2 kiedyś wróci: kto okaże się starszy?

50 paradoks bliźniat B1 wysłany w podróż kosmiczna z prędkościa podświetlna B2 zostaje na Ziemi, dla niego serce B1 bije wolniej B1 po powrocie znajduje B2 starszego od siebie Paradoks: w czasie lotu B1 widzi, że serce B2 również bije wolniej Kto jest starszy? rozwi azanie: jednak B2, sytuacja nie jest symetryczna, bo B1 musi w którymś momencie zawrócić (jego układ na pewien czas przestaje być inercyjny).

51 stożek świetlny niezmienniki relatywistyczne: wielkości identyczne we wszystkich układach inercjalnych w mechanice newtonowskiej : długość ciała niezależna od układu podobna wielkość dla relatywistyki...

52 stożek świetlny jeśli dwa zdarzenia (r 1, t 1 ), (r 2, t 2 ) połaczone sygnałem świetlnym to (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 + (z 1 z 2 ) 2 c 2 (t 1 t 2 ) 2 = 0 (x 1 x 2 )2 + (y 1 y 2 )2 + (z 1 z 2 )2 c 2 (t 1 t 2 )2 = 0 interwał (czasoprzestrzenny) między dwoma zdarzeniami: s 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 + (z 1 z 2 ) 2 (c(t 1 t 2 )) 2 z tr. Lorentza: s 2 = s 2 s 2 < 0 - interwał typu czasowego (możliwe zwiazku przyczynowo-skutkowe) s 2 > 0 - interwał typu przestrzennego (brak zwiazków przyczynowo - skutkowych) s 2 = 0 interwał typu świetlnego (sygnał świetlny między zdarzeniami) wniosek: jednoczesność względna, ale zwiazki przyczynowo-skutkowe - nie

53 stożek świetlny jeśli dwa zdarzenia (r 1, t 1 ), (r 2, t 2 ) połaczone sygnałem świetlnym to (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 + (z 1 z 2 ) 2 c 2 (t 1 t 2 ) 2 = 0 (x 1 x 2 )2 + (y 1 y 2 )2 + (z 1 z 2 )2 c 2 (t 1 t 2 )2 = 0 interwał (czasoprzestrzenny) między dwoma zdarzeniami: s 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 + (z 1 z 2 ) 2 (c(t 1 t 2 )) 2 z tr. Lorentza: s 2 = s 2 s 2 < 0 - interwał typu czasowego (możliwe zwiazku przyczynowo-skutkowe) s 2 > 0 - interwał typu przestrzennego (brak zwiazków przyczynowo - skutkowych) s 2 = 0 interwał typu świetlnego (sygnał świetlny między zdarzeniami) wniosek: jednoczesność względna, ale zwiazki przyczynowo-skutkowe - nie

54 stożek świetlny (x, y, z, ict) - dla ruchomego obserwatora "linia świata"

55 Klasyczny efekt Dopplera który się porusza względem powietrza: dźwięk syreny z drugiego okrętu efekt Dopplera: ν(v r, v s) = ( c+v r c v s ) ν0, ν 0 - częstość źródła, ν - odbierana, c = 350 m/s, v r - prędkość odbiornika, v s - źródła v r oraz v s względem nieruchomego powietrza, v r > 0, v s > 0 - dla zbliżajacych się r oraz s, ν(v, 0) = ν 0 (1 + v c ) ν(0, v) = ν 1 0( ) 1 v c nie jest wszystko jedno czy v r = 0 czy v 0 = 0. (różnica (v/c) 2 układ wyróżniony - układ własny powietrza.

56 relatywistyczny efekt Dopplera dla światła sytuacje: 1,2,3 (rysunek) 1) obserwator w kierunku prostopadłym do linii między nim a źródłem t 0 = 1 - okres źródła ν 0 wg obserwatora w ruchu czas źródła biegnie t wolniej t = 1 v 0 2 /c 2 ν = 1 1 v = 2 /c 2 = ν t t 0 1 v 2 /c 2 0 [uwaga klasycznie efekt D. dla sytuacji 1 nie występuje] 2) obserwator oddala się od nieruchomego źródła okres w jakim długość fali go mija: T = t + vt c = t 1+v/c 0 = t 1+v/c 1 v 2 /c v/c obserwowana częstość ν = 1 T = ν 1 v/c 0 1+v/c 3) obserwator zbliża się do źródła T = t vt c 1+v/c obserwowana częstość ν = ν 0 1 v/c źródło zbliżajace się do nieruchomego obserwatora: fale emitowane co okres t widziane przez O maja skrócona długość c v λ sk = λ vt = ct vt = t 1 v 2 /c 2 0 ν = c = 1+v/c ν λ 0 sk 1 v/c

57 relatywistyczny efekt Dopplera dla światła w obydwu przypadkach: poruszajace się źródło lub odbiorca: 1+v/c obserwowana częstość ν = ν 0 1 v/c częstość źródła ν 0 v - prędkość względna źródła i odbiornika > 0 jeśli się zbliżaja to samo przesunięcie niezależnie od tego czy porusza się nadawca czy odbiorca

58 Doppler: anomalny obrót Wenus Wenus: pokryta obłokami, nie widac powierzchni, jak szybko sie obraca wynik "anomalny": pozostałe planety dookoła Słon ca i własnej osi przeciwnie do ruchu wskazówek zegara

59 Doppler: anomalny obrót Wenus Wenus: pokryta obłokami, nie widac powierzchni, jak szybko sie obraca wynik "anomalny": pozostałe planety dookoła Słon ca i własnej osi przeciwnie do ruchu wskazówek zegara

60 Doppler: Prawo Hubble a obserwacja przesunięcia dopplerowskiego ku czerwieni dla odległych galaktyk v(d) = H 0 d, H 0 - stała Hubble a przesunięcie linii widmowych (dla oddalajacych się obiektów: ku czerwieni) Andromeda: 0.8 Mpc - (przesunięcie ku fioletowi, zbliża się o 100 km/s )

61 Pęd relatywistyczny Prawo Newtona dp = F - niezmiennicze dt względem tr. Galileusza, nie względem tr. Lorentza. sprawdzić zachowanie pędu dla układu zamkniętego F. W K i K zawodnicy rzucaja pionowo identyczne piłki z identycznymi prędkościami. Po odbiciu wracaja do właścicieli z odwróconymi prędkościami - nie może być inaczej (jak w relatywistycznym efekcie Dopplera). piłka 1 w K: przed zderzeniem p x = 0, p y = mu y = mu 0, po zderzeniu p x = 0, p y = mu 0 piłka 2 rzucona w K, przed p x = 0, p y = mu y = mu 0, po p x = 0, p y = mu 0, opisujemy zderzenie w K, zmiana pędu piłki 1: p(1) = 2mu 0 stosujemy wzory na relatywistyczne składanie prędkości u y = 1 v 2 /c 2 u y +v 1+ v c 2 u x piłka 2 w K przed u x = v, ; u x = u x +v 1+ v c 2 u x u y = u 0 1 v 2 /c 2, po u x = v, u y = u 0 1 v 2 /c 2 p(2) = 2mu 0 1 v 2 /c 2 p(1) + p(2) 0 - przy tej definicji pędu mv - nie jest on zachowany jeśli stosować relatywistyczne formuły na składanie prędkości.

62 Pęd relatywistyczny Prawo Newtona dp = F - niezmiennicze dt względem tr. Galileusza, nie względem tr. Lorentza. sprawdzić zachowanie pędu dla układu zamkniętego F. W K i K rzucone pionowo identyczne piłki, odbijaja się wracaja do właścicieli z odwróconymi prędkościami. piłka 1 w K: przed zderzeniem p x = 0, p y = mu y = mu 0, po zderzeniu p x = 0, p y = mu 0 piłka 2 rzucona w K, przed p x = 0, p y = mu y = mu 0, po p x = 0, p y = mu 0, opisujemy zderzenie w K, zmiana pędu piłki 1: p(1) = 2mu 0 stosujemy wzory na relatywistyczne składanie prędkości u y = 1 v 2 /c 2 u y +v 1+ v c 2 u x piłka 2 w K przed u x = v, ; u x = u x +v 1+ v c 2 u x u y = u 0 1 v 2 /c 2, po u x = v, u y = u 0 1 v 2 /c 2 p(2) = 2mu 0 1 v 2 /c 2 p(1) + p(2) 0 - przy tej definicji pędu mv - nie jest on zachowany jeśli stosować relatywistyczne formuły na składanie prędkości.

63 Pęd relatywistyczny przy prędkościach v c pęd p = m 0 u nie jest zachowany w oddziaływaniach pęd relatywistyczny p = p = (p x, p y, p z) = m 0 u 1 u 2 /c 2 m 0 1 (u 2 x +u2 y +u2 z )/c2 (ux, uy, uz) równanie znane również w formie p = m(u)u, gdzie m(u) = relatywistyczna, m 0 = m(0) - masa spoczynkowa m 1 u0 - masa 2 /c 2 przy takiej definicji pędu obowiazuje II zasada dynamiki Newtona F = dp dt F = m 0 d dt u 1 u 2 /c 2 1 uwaga: czynnik z jak w transformacji Lorentza, z tym że tutaj u - 1 u 2 /c2 prędkość ciała w układzie, w którym opisujemy oddziaływania, zamiast prędkości względnej układów odniesienia v

64 masa relatywistyczna jak zmierzyć masę równanie znane również w formie p = m(u)u, gdzie m(u) = m 0 1 u 2 /c 2 relatywistyczna, m 0 = m(0) - masa spoczynkowa przy takiej definicji pędu obowiazuje II zasada dynamiki Newtona F = dp dt - masa spektrometr masy: selektor prędkości + zakrzywienie w B, promień cyklotronowy : m = RqB2 E.

65 spektrometria masy elektrony odchylane w polu elektrycznym (B = 0): F y = ma y = qe, = qe l m v 2 0 v 0 - nieznana (bo masa nieznana), aby wyznaczyć v 0 właczyć B i tak je ustawić aby siła Lorentza zrównoważyła odchylenie w polu elektrycznym F e = F L qv 0 B = qe v 0 = E (selektor prędkości) B następnie elektron opuszcza zakres pola B, w którym E wciaż panuje, lub pole B wyłaczane kat odchylenia tg θ = vy v x q m = E tg θ B 2 l = ay t v 0

66 masa relatywistyczna m(u) = m 1 u0 - masa relatywistyczna, 2 /c 2 m 0 = m(0) - masa spoczynkowa pomiary Kaufmanna: od 1901, β = v/c, linia: wzór na masę relatywistyczna

67 Pęd relatywistyczny ponownie z pędem p(u) = mu/ 1 u 2 /c 2. piłka 1 w K: przed zderzeniem p x = 0, p y = mu 0 / 1 u 2 0 /c2, po zderzeniu p x = 0, p y = mu 0 / 1 u 2 0 /c2 zmiana pędu 1 w K p(1) = 2mu 0 / 1 u 2 0 /c2 wzory na relatywistyczne składanie prędkości u y = 1 v 2 /c 2 u y +v 1+ v c 2 u x u x = u x +v 1+ v c 2 u x piłka 2 w K przed u x = v, u y = u 0 1 v 2 /c 2, po u x = v, u y = u 0 1 v 2 /c 2 zmiana pędu tylko w y, przed mu p y = y 1 (u = y 2+v2 )/c 2 mu 0 1 v 2 /c 2 = (1 v 2 /c 2 )(1 u 2 0 /c2 ) mu 0 / 1 u 2 0 /c2 p(2) = 2mu 0 / 1 u 2 0 /c2 p(1) + p(2) = 0

68 Pęd relatywistyczny pęd klasyczny p = mu pęd relatywistyczny p = mu 1 u 2 /c 2

69 Pęd relatywistyczny pęd relatywistyczny p = mv 1 v 2 /c 2 II zasada dynamiki Newtona F = dp dt d F = m 0 v dt = d(γm 0v) 1 v 2 /c 2 dt γ 1 1 v 2 /c 2 stała siła do prędkości F = d dt (γm m dv 0v) = = γ (1 v 2 /c 2 ) 3/2 dt 3 ma a = F m 0 (1 v 2 /c 2 ) 3/2 przyspieszenie znika, gdy v daży do c

70 energia kinetyczna dp energia kinetyczna - praca przez siłę wypadkowa, T = Fds = dt vdt = vdp d(vp) = (dv)p + (dp)v v(dp) = d(vp) p(dv) T = (vp) v 0 v pdv 0 pęd klasyczny p = m 0 v T = m 0v 2 2 m pęd relatywistyczny p = 0 v? 1 v 2 /c 2

71 energia kinetyczna T = (vp) v 0 v 0 pdv pęd relatywistyczny p = m 0 v 1 v 2 /c 2 T = m 0v 2 1 v 2 /c 2 v 0 v 1 m 0 1 v 0vdv = 2 /c 2 1 m 1 v 0v 2 + [m 0 c 2 1 v 2 /c 2 ] v 2 /c 2 0 = m 0c 2 m 1 v 0c 2 2 /c 2 1 T = ( 1)m 1 v 0c 2 2 /c 2 przepisać 1 1 v 2 /c 2 m 0c 2 = m 0 c 2 + T po prawej stronie: energia spoczynkowa + kinetyczna 1 energia całkowita: E = m 1 v 0c 2 = mc 2 = m 0 c 2 + T 2 /c 2

72 Relatywistyczna energia kinetyczna relatywistycznie T = (γ 1)m 0 c 2 T = (γ 1)m 0 c 2 granica c/v 0 : T = m 0v 2 1 = 1 + x2 1 x st ad wzór klasyczny T = m 0v 2 2 2

73 Relatywistyczna relacja dyspersji energia całkowita E = γm 0 c 2 = mc 2 = m 0 c 2 + T energia całkowita dla małych prędkości E m 0 c 2 + T = m 0 c 2 + m 0v 2 pęd (jeszcze raz) p = m 0 γv p 2 c = m 2 0 v2 2 c 2 1 v 2 /c v2 2 E 2 = (1 + c 2 = c 2 p 2 m p2 c 2 γ = 1 + ( p m 0 c )2 p m 0 c )2 m 2 0 c4 E 2 = m 2 0 c4 + p 2 c 2 (relatywistyczna relacja dyspersji) konsekwencja: E 2 p 2 c 2 = E 2 p 2 c 2 = m 2 0 c4 niezmiennik relatywistyczny - energie i pędy zmieniaja się z układu do układu, lecz ta relacja zachowana w każdym. dla fotonów m 0 = 0 E = pc 2

74 czterowektor pędu - energii konsekwencja: E 2 p 2 c 2 = E 2 p 2 c 2 = m 2 0 c4 - niezmiennik relatywistyczny konsekwencja: p 2 E 2 /c 2 poprzednio: r 2 c 2 t 2 = r 2 c 2 t 2 x y - czterowektor położenia czasu z ict p x p y - czterowektor pędu - energii p z ie/c obowiazuj a transformacje Lorentza w tej samej formie dla odpowiednich składowych

75 prędkość fotonu z relacji Einsteina : E = mc 2 = m 0c 2 1 v 2 /c 2 pęd relatywistyczny p = m 0 v 1 v 2 /c 2 do niezmiennika dla fotonu E = pc (z niezmiennika) wniosek: v = c - obowiazuje dla czastek bezmasowych

76 Równoważność masy i energii dla czastki energia całkowita E = γm 0 c 2 anihilacja elektronu i pozytonu (pary): e + + e 2γ m e + c 2 = m e c 2 = MeV. proces odwrotny: generacja par γ e + + e zachowana: energia relatywistyczn (energia-masa), pęd, ładunek elektryczny, liczba leptonowa, etc. masę w fizyce czastek podaje się w przeliczeniu na energię zdjęcie z komory babelkowej masa nie jest wielkościa zachowana, zachowana jest masa-energia E = mc 2

77 tworzenie par tworzenie par: foton przekazuje cała swoja energię na stworzenie pary elektron-pozyton przy zderzeniach ciał: zachowany pęd relatywistyczny oraz masa-energia układu pojedynczy foton nie może utworzyc pary elektronów w prożni: zachowanie pędu hν f c = p e cos θ e + p p cos θ p zachowanie energii: hν f = E p + E e, E 2 p/e = m2 0 c4 + p 2 p/e c2 hν f c > p e + p p - sprzeczność (ćwiczenia) produkcja par możliwa tylko za pośrednictwem jadra atomowego, które przejmuje część pędu fotonu z zaniedbywalna absorpcja energii

78 Równoważność masy i energii (defekt masy) dla czastki energia całkowita E = γm 0 c 2 = mc 2 każda forma energii dla układu złożonego przekłada się na jego masę gorace ciało jest cięższe od chłodnego, naciagnięta sprężyna cięższa od swobodnej, zmiany masy w tej skali zbyt małe aby je wykryć eksplozja w Hiroshimie - około 1g masy przekształcone w energię

79 Równoważność masy i energii (defekt masy) dla czastki energia całkowita E = γm 0 c 2 = mc 2 = m 0 c 2 + T dla układu czastek E = m Σ c 2 = N i=1 m i c 2 N + i=1 T i + U(i, j) i>j układ jest stabilny o ile energia układu złożonego jest mniejsza od energii zdysocjowanych składowych wniosek: stabilny zwiazany układ złożony jest lżejszy niż suma składowych Jadra sa lżejsze niż suma mas nukleonów. trwałe molekuły - lżejsze niż sumy mas atomów itp. Defekt masy - mierzalny dla jader. zasada zachowania masy: nie jest ściśle spełniona (!) masa czastki alfa: m α = GeV/c 2 masa neutronu m n = GeV/c 2 masa protonu m p = GeV/c 2 2m n + 2m p = GeV/c 2 energia wiazania czastki alfa: mc 2 = (2m n + 2m p) m αc 2 = MeV ogólnie energia wi azania: E B = i m i c 2 Mc 2

80 Równoważność masy i energii (defekt masy) dla czastki energia całkowita E = γm 0 c 2 = mc 2 = m 0 c 2 + T dla układu czastek E = m Σ c 2 = N i=1 m i c 2 N + i=1 T i + U(i, j) i>j układ jest stabilny o ile energia układu złożonego jest mniejsza od energii zdysocjowanych składowych wniosek: stabilny zwiazany układ złożony jest lżejszy niż suma składowych Jadra sa lżejsze niż suma mas nukleonów. trwałe molekuły - lżejsze niż sumy mas atomów itp. Defekt masy - mierzalny dla jader. zasada zachowania masy: nie jest ściśle spełniona (!) masa czastki alfa: m α = GeV/c 2 masa neutronu m n = GeV/c 2 masa protonu m p = GeV/c 2 2m n + 2m p = GeV/c 2 energia wiazania czastki alfa: mc 2 = (2m n + 2m p) m αc 2 = MeV ogólnie energia wi azania: E B = i m i c 2 Mc 2

81 Równoważność masy i energii (defekt masy) Jadra sa lżejsze niż suma mas nukleonów. trwałe molekuły - lżejsze niż sumy mas atomów itp. Defekt masy - mierzalny dla jader. zasada zachowania masy: nie jest ściśle spełniona (!) masa czastki alfa: m α = GeV/c 2 masa neutronu m n = GeV/c 2 masa protonu m p = GeV/c 2 2m n + 2m p = GeV/c 2 energia wiazania czastki alfa: mc 2 = (2m n + 2m p) m αc 2 = MeV ogólnie energia wi azania: E B = i m i c 2 Mc 2

82 Rozpraszanie Comptona rozpraszanie Thomsona: na elektronach rdzenia atomowego, cały atom służy masa do przejęcia pędu, brak przesunięcia w częstości. foton: historia 1900 Planck, 1905 Einstein, 1913 Bohr Compton znajduje druga linię o częstości zależnej od kata Jako czastka bezmasowa - foton powinien mieć pęd E = pc Artur Compton 1923 (Nobel 1927) pokazał, że czastki światła niosa pęd. Rozpraszanie fotonów z zachowaniem ich energii na elektronach rdzenia atomowego Rozpraszanie z transferem energii: na elektronach walencyjnych (słabo zwiazanych) interpretacja piku o mniejszej energii : poczatkowo elektron w spoczynku, zderzenie z fotonem z wymiana energii i pędu

83 interpretacja piku o mniejszej energii : poczatkowo elektron w spoczynku, zderzenie z fotonem z wymiana energii i pędu zasada zachowania energii: hν + E e(0) = hν + E e(p) E(p) = p 2 c 2 + m 2 0 c4 zasada zachowania pędu: (składowe) hν c + 0 = hν c 0 = hν c cos(θ) + p cos(φ) sin(θ) + p sin(φ) wynik (ćwiczenia) λ λ = h (1 cos(θ)) m 0 c