ZAPRASZAM DO LEKTURY! 1

Transkrypt

1

2 ZAPRASZAM DO LEKTURY! 1 Jaktużyćbezcotangensa? Mój znajomy uczeń z klasy maturalnej z zaangażowaniem i niemałym trudem zgłębia właśnie tajniki rachunku różniczkowego. Jego nauczyciel nie przejął się tym, że pochodnych i granic nie ma już w programie i nie będzie ich na maturze. Wolę myśleć, że nauczyciel chce po prostu lepiej przygotować uczniów do studiów, niż że nie zna nowych wymagań egzaminacyjnych. A swoją drogą wcale niełatwo się w tych zmianach połapać. Czy wiedzieli Państwo na przykład, że nie trzeba już uczniom nic mówić o cotangensie? I co teraz będzie ze słynnym trygonometrycznym wierszykiem? Przecież grozi nam, że stracimy rytm już po trzeciej ćwiartce. Na szczęście jesteście Państwo prenumeratorami Matematyki w Szkole i dzięki artykułowi Marcina Brauna (s. 5 6 mogą Państwo skorzystać ze wsparcia po stracie cotangensa, a nawet z nowej wersji wierszyka. Tym razem cały Temat numeru jest poświęcony nowym treściom wprowadzonym przez reformę podstawy. Można tam znaleźć wracające po latach do szkoły twierdzenie o odcinkach siecznej i stycznej (w artykule Wojciecha Tomalczyka na s , kilka propozycji metodycznych wprowadzenia wzoru na a n 1 (w artykule Grażyny Miłosz na s. 7 8 oraz wiele innych informacji i pomysłów. Podstawy podstawami, ale największe wyzwanie dla nas to przygotowanie wszystkich uczniów, nawet tych najbardziej opornych, do matury z matematyki. Na razie wydaje się to odległą przyszłością, ale przecież nasi pierwszoklasiści będą już tę maturę zdawać. Małgorzata Dobrowolska przedstawia w swoim artykule na s. 3 4 pomysł na taką reformę samego egzaminu, która pozwoliłaby lepiej przygotować uczniów do matury w zakresie podstawowym. Pomysł jest prosty: niech zdają w drugiej klasie, ale za to po intensywniejszym kursie matematyki (choć w sumie z tą samą liczbą godzin. Co Państwo o tym sadzą? Opinie na ten temat można wyrazić w specjalnej ankiecie na stronie internetowej Gdańskiego Wydawnictwa Oświatowego. Życzę Państwu przyjemnej lektury i nie mniej przyjemnego Nowego Roku.

3 Matematyka wszkole Czasopismo dla nauczycieli szkół średnich Adres redakcji: Gdańsk al. Grunwaldzka 413 tel fax Dział sprzedaży: tel Adres do korespondencji: Matematyka w Szkole Czasopismo dla nauczycieli szkół średnich skr. poczt Gdańsk 52 gazetamws@gwo.pl Wydawca: Gdańskie Wydawnictwo Oświatowe, Sp. z o.o Gdańsk, al. Grunwaldzka 413 KRS przy Sądzie Rejonowym w Gdańsku Redaktor naczelny: Marcin Karpiński Redaguje kolegium: Marcin Braun Małgorzata Domian Aleksandra Golecka-Mazur Joanna Kniter Jacek Lech Agnieszka Szulc Projekt graficzny: Rafał Szczawiński / Pracownia Ilustracje: Sławomir Kilian Skład: Maria Chojnicka Łukasz Sitko Joanna Szyller SPIS TREŚCI EDUKACJA 3 Małgorzata Dobrowolska Matura w drugiej klasie TEMAT NUMERU NOWE TREŚCI NAUCZANIA 5 Marcin Braun Czy ktoś tęskni za secansem? 7 Grażyna Miłosz Nowy wzór 9 Marcin Karpiński Diabeł tkwi w szczegółach 11 Grażyna Miłosz Wektory w układzie współrzędnych 13 Wojciech Tomalczyk Potęga punktu względem okręgu 16 Marcin Braun Pierwiastek w podstawie NAUCZANIE MATEMATYKI 19 Mariusz Dynek Funkcja liniowa w programie Excel 22 Zofia Dam Zamiast zasady indukcji 26 Adrian Pająk Logarytmy z komputera 28 Izabela Stolf Nietypowe zadania z funkcji liniowej 31 Michał Kremzer Wyrazy wymierne i niewymierne 32 Agnieszka Piecewska-Łoś Zyski i straty z genialnych odkryć 34 Piotr Tomczak Jak święty Walenty grał w kosza 36 Mirosława Goljasz, Edward Zych Śladami Euklidesa. Figury równoważne, czyli o równych polach 39 Wyniki badań statystycznych 41 Aneta Góra Sikaku 43 Sprawdzamy czas MATERIAŁY 43 Klasówki semestralne ZOSTATNIEJŁAWKI 46 Matematyka dla opornych Zdjęcie na okładce: Leszek Jakubowski Druk i oprawa: Normex, Gdańsk Nakład: 1200 egz.

4 TEMAT NUMERU 13 Wojciech Tomalczyk POTĘGA PUNKTU WZGLĘDEM OKRĘGU Od najdawniejszych lat okrąg był uważany za figurę idealną. Jego doskonały kształt zachwycał nie tylko matematyków, ale i filozofów, fizyków czy astronomów. Myśl, że orbity planet mogłyby nie być okręgami, nie miała racji bytu aż do odkrycia Keplera. Ciekawe własności okręgu są treścią wielu interesujących zadań geometrycznych. Tutaj omówimy jedną z nich, będącą jednocześnie nowym zagadnieniem w podstawie programowej dla zakresu rozszerzonego. 2. Odległości punktów styczności od punktu P są równe. 3. Okrąg, którego średnicą jest odcinek łączący punkt P ze środkiem danego okręgu, przecina dany okrąg w punktach styczności. Podstawowe pojęcia i twierdzenia Prostą, która ma dokładnie jeden punkt wspólny z okręgiem, nazywamy styczną do okręgu. Twierdzenie 1 Podstawowe własności stycznej do okręgu: 1. Z każdego punktu P leżącego na zewnątrz okręgu można poprowadzić dokładnie dwie styczne do niego. Twierdzenie 2 (Euklides 1. Jeśli prosta przechodząca przez punkt P leżący na zewnątrz okręgu o środku w punkcie O ipromieniur przecina go w punktach A i B, to PA PB = PO 2 r 2

5 14 TEMAT NUMERU 2. Jeśli prosta przechodząca przez punkt P leżący wewnątrz okręgu o środku w punkcie O i promieniu r przecina go w punktach A i B, to PA PB = r 2 PO 2 2. Dowód w tym wypadku jest analogiczny do poprzedniego, należy tylko zauważyć, że teraz PX PY =(r + PO (r PO = = r 2 PO 2 Dowód 1. Oznaczmy przez X i Y punkty przecięcia prostej PO z okręgiem o środku w punkcie O ipromieniur. Wnioski 1. Jeśli prosta przechodząca przez punkt P jest styczna w punkcie X do okręgu o środku w punkcie O ipromieniur, to PX 2 = PO 2 r 2 Zauważmy, że trójkąty BXP i YAP są podobne. Rzeczywiście kąty przy wierzchołkach B i Y są równe, ponieważ są wpisane w okrąg i oparte na tym samym łuku, a kąt przy wierzchołku P jest wspólnym kątem tych trójkątów. Stąd mamy równości PX : PB = PA : PY PA PB = PX PY 2. Jeżeli punkt P leży wewnątrz okręgu i poprowadzimy dowolne dwie cięciwy przechodzące przez ten punkt, to iloczyn długości odcinków, na które są podzielone cięciwy, jest wielkością stałą: PA PB = PX PY Z drugiej strony wiemy, że PX PY =( PO + r( PO r = = PO 2 r 2, więc PA PB = PO 2 r 2

6 TEMAT NUMERU Iloczyn odległości punktu P leżącego na zewnątrz okręgu od punktów przecięcia z okręgiem przechodzących przezeń siecznych jest wielkością stałą: PA PB = PX PY 3. W okręgu o promieniu 8 poprowadzono cięciwę o długości 4. Punkt P dzieli cięciwę w stosunku 1 : 3. Oblicz odległość punktu P od środka okręgu. 4. Dany jest prostokąt ABCD, wktórymbok AB ma długość 12 cm, a przekątna AC ma 18 cm. Punkt E dzieli bok AB w stosunku 2 : 1. Znajdź długość odcinka łączącego punkt E z punktem przecięcia się przekątnych prostokąta. Dowód Ad. 1 Ponieważ promień poprowadzony do punktu styczności jest prostopadły do stycznej, to z twierdzenia Pitagorasa wynika, że PO 2 = r 2 + PX 2. Wnioski 2 i 3 wynikają bezpośrednio z dowodu twierdzenia. Potęgą (stopniem punktu P względem okręgu o środku w punkcie O ipromieniur nazywamy liczbę PO 2. r 2 5. Dane są dwa różne okręgi współśrodkowe opromieniachr i R (r <R. Wykaż, że stopień dowolnego punktu jednego z tych okręgów względem drugiego jest równy R 2 r Dane są dwa okręgi styczne zewnętrznie w punkcie A. Prosta p jest styczna do obu tych okręgów i przechodzi przez punkt A. Wykaż, że dowolny punkt tej prostej ma ten sam stopień względem każdego z tych okręgów. Czy istnieje punkt poza tą prostą, mający tę własność? 7. Znajdź stopnie wierzchołków trójkąta równobocznego o boku a względem okręgu wpisanego w ten trójkąt. Zadania 1. Wykaż, że jeśli dwa okręgi przecinają się w punktach A i B, a punkt X należy do prostej AB i nie należy do odcinka AB, to długości odcinków stycznych poprowadzonych z punktu X do tych okręgów są równe. 2. Dany jest okrąg o promieniu 5 i punkt P odległy o 3 od środka okręgu. Przez punkt P poprowadzono cięciwę okręgu. Oblicz, ile wynosi iloczyn długości odcinków, na które dzieli cięciwę punkt P. 8. Na płaszczyźnie dana jest prosta p i punkt P należący do tej prostej. Mając dany odcinek AB skonstruuj okrąg o środku leżącym na prostej p ipromieniuab tak, aby stopień punktu P względem tego okręgu był równy 4 AB 2. Literatura W. W. Prasołow, Zadania z geometrii, cz. 1 i 2, H. Coxeter, S. Greitzer, Nowe spotkania zgeometrią, 1988.

7 NAUCZANIE MATEMATYKI 19 Mariusz Dynek FUNKCJA LINIOWA W PROGRAMIE EXCEL Chciałbym się z Państwem podzielić pomysłem na wykorzystanie programu Excel na lekcji matematyki. Aby go zrealizować, będziecie Państwo musieli zbudować odpowiednie arkusze kalkulacyjne i zaprezentować je uczniom, wykorzystując rzutnik multimedialny lub program VNC, który umożliwia wyświetlenie tej samej treści na wszystkich monitorach klasowej sieci komputerowej. Można też pozwolić uczniom samodzielnie pracować z arkuszami, ale wtedy lepiej odpowiednio je zabezpieczyć (wchodzimy w menu Narzędzia, Ochrona, Chroń arkusz i zaznaczamy: Chroń skoroszyt..., Pozwól wszystkim użytkownikom tego skoroszytu na zaznaczanie...,poczymwpisu- jemy hasło i zatwierdzamy zmiany przyciskiem OK. Poniżej przedstawiam przykład realizacji tematu O czym mówią współczynniki funkcji liniowej?. Możemy oczywiście tworzyć arkusze dotyczące własności różnych funkcji, nie tylko liniowych. Gotowe narzędzia do badania niektórych funkcji są zamieszczone na stronie Pierwszy z prezentowanych arkuszy umożliwia badanie funkcji liniowej. Dzięki pokrętłom (widocznym w lewym górnym rogu ekranu możemy zmieniać wartości współczynników funkcji. Efekt tych zmian widać w tabeli wartości funkcji, na wykresie oraz w opisie własności funkcji. Drugi arkusz służy do badania wzajemnego położenia prostych na płaszczyźnie w zależności od wartości współczynników funkcji liniowych. Aby usprawnić przebieg lekcji, warto przygotować dla uczniów karty pracy (zob. załącznik. O atrakcyjności i skuteczności opracowanego narzędzia mogłem się przekonać w trakcie pracy z uczniami. Ta forma przekazu znacząco skraca czas pracy, zwiększa zainteresowanie i zaangażowanie uczniów. Jeżeli i Państwu spodoba się opisana lekcja, zachęcam do tworzenia arkuszy kalkulacyjnych dotyczących innych funkcji.

8 20 NAUCZANIE MATEMATYKI Zadanie 1 KARTA PRACY Współczynniki funkcji liniowej a wykres tej funkcji Na podstawie wykresu danej funkcji podaj współrzędne punktu przecięcia tego wykresu zosiąy: a y = 3 x (... e y = 9 x (... b y =2 (... c y =7,5x (... f y =15 (... g y = x 1,5 (... d y = x +4 (... h y =2x +3 (... Wniosek I. Punkt przecięcia wykresu funkcji liniowej y = ax + b zosiąy ma współrzędne (.... Zadanie 2 Napisz, który współczynnik zmienia się w poniższych wzorach, a następnie narysuj wykresy funkcji. Czy zmieniający się współczynnik wpływa na nachylenie wykresów tych funkcji do osi x? a y =1 x b y =1+x c y =1+7,5x d y =0x +1 Wniosek II. Współczynnik kierunkowy a decyduje o... wykresu funkcji liniowej y = ax + b do osi x. Zadanie 3 Na podstawie wykresu funkcji ustal, czy podana funkcja jest rosnąca, malejąca, czy stała (odczytaj to z odpowiedniej komórki arkusza: a y =2x f y = 9 0,5x... b y = 3 x... c y =2... d y =7,5x... e y = x g y =15... h y = x(x 1 x 2... i y = 2x Jakie są współczynniki kierunkowe funkcji rosnących, jakie funkcji malejących, a jakie stałych? Wniosek III. Jeżeli funkcja liniowa y = ax + b jest rosnąca, to współczynnik kierunkowy a jest... Wniosek IV. Jeżeli funkcja liniowa y=ax+bjest malejąca, to współczynnik kierunkowy a jest... Wniosek V. Jeżeli funkcja liniowa y=ax+bjest stała, to współczynnik kierunkowy a jest... Wzór funkcji stałej ma postać:...

9 NAUCZANIE MATEMATYKI 21 Zadanie 4 Co możesz powiedzieć o wykresach następujących par funkcji? a y = 3 2x; y = 2x 9 c y =2; y = 7 b y =2x +3; y = 8x 12 d y =0,75x; y = x(x x2 Wniosek VI. Jeżeli współczynniki kierunkowe funkcji y = a 1 x + b 1, y = a 2 x + b 2 to ich wykresami są proste.... są równe, Na podstawie sformułowanych wcześniej wniosków i wykresów rozwiąż poniższe zadania. Zadanie 5 Napisz wzory funkcji liniowych, których wykresy zaznaczono na rysunkach pogrubioną linią. Zadanie 6 Narysuj wykres i zapisz równanie prostej, która jest równoległa do wykresu funkcji liniowej y = 3x +2oraz: a przechodzi przez punkt (1, 2... b ma miejsce zerowe równe 1... c przecina oś y w punkcie (0, 4... Jak możesz obliczyć współczynniki znalezionych funkcji, gdy nie masz do dyspozycji komputera? Sprawdź swoje przypuszczenia i porównaj wynik z wzorami znalezionymi za pomocą komputera.

10