Cud grecki cz. Cud grecki cz. 2. Wrocław, 9 marca 2016

Transkrypt

1 2 Wrocław, 9 marca 2016

2 Sokrates i Platon Sokrates (Ateny, ) nauczał na ulicach Aten, zaczepiając napotkanych ludzi - często zamożnych i wpływowych - i rozmawiał z nimi o ważnych dla życia społecznego sprawach np. czym jest sprawiedliwość lub dobro. Sam twierdził Wiem, że nic nie wiem. To nie mogło się dobrze skończyć. Proces opisany jest przez Platona w Obronie Sokratesa.

3 Platon Platon urodził się w roku 427 i otrzymał imię Aristokles. Był zapaśnikiem, po serii zwycięstw w zapasach ze względu na szerokie bary nazwano go Platonem (platys = szeroki)

4 Platon Platon urodził się w roku 427 i otrzymał imię Aristokles. Był zapaśnikiem, po serii zwycięstw w zapasach ze względu na szerokie bary nazwano go Platonem (platys = szeroki) Grecki ideał wychowania: kalos - kagatos czyli piękny i dobry

5 Platon Platon urodził się w roku 427 i otrzymał imię Aristokles. Był zapaśnikiem, po serii zwycięstw w zapasach ze względu na szerokie bary nazwano go Platonem (platys = szeroki) Grecki ideał wychowania: kalos - kagatos czyli piękny i dobry W wieku 20 lat został uczniem Sokratesa, po śmierci mistrza 10 lat przebywał w Egipcie, a po powrocie do Aten założył w gaju poświęconemu Akademosowi szkołę, zwaną z tej przyczyny akademią

6 Platon Platon urodził się w roku 427 i otrzymał imię Aristokles. Był zapaśnikiem, po serii zwycięstw w zapasach ze względu na szerokie bary nazwano go Platonem (platys = szeroki) Grecki ideał wychowania: kalos - kagatos czyli piękny i dobry W wieku 20 lat został uczniem Sokratesa, po śmierci mistrza 10 lat przebywał w Egipcie, a po powrocie do Aten założył w gaju poświęconemu Akademosowi szkołę, zwaną z tej przyczyny akademią Był filozofem i zajął się jednym z najważniejszych zagadnień filozofii:

7 Platon Platon urodził się w roku 427 i otrzymał imię Aristokles. Był zapaśnikiem, po serii zwycięstw w zapasach ze względu na szerokie bary nazwano go Platonem (platys = szeroki) Grecki ideał wychowania: kalos - kagatos czyli piękny i dobry W wieku 20 lat został uczniem Sokratesa, po śmierci mistrza 10 lat przebywał w Egipcie, a po powrocie do Aten założył w gaju poświęconemu Akademosowi szkołę, zwaną z tej przyczyny akademią Był filozofem i zajął się jednym z najważniejszych zagadnień filozofii: w jaki sposób byty istnieją? Ontologia = teoria bytu

8 Platon Platon urodził się w roku 427 i otrzymał imię Aristokles. Był zapaśnikiem, po serii zwycięstw w zapasach ze względu na szerokie bary nazwano go Platonem (platys = szeroki) Grecki ideał wychowania: kalos - kagatos czyli piękny i dobry W wieku 20 lat został uczniem Sokratesa, po śmierci mistrza 10 lat przebywał w Egipcie, a po powrocie do Aten założył w gaju poświęconemu Akademosowi szkołę, zwaną z tej przyczyny akademią Był filozofem i zajął się jednym z najważniejszych zagadnień filozofii: w jaki sposób byty istnieją? Ontologia = teoria bytu Alegoria jaskini (Państwo, 7, 514a-517a), str. 246

9 Idee Platona Coś, co jest powinno być stałe, wieczne i niezmienne, bo jak ujął to Parmenides Byt jest, a niebytu nie ma. ks. Tischner: Być może stąd taki niezwykły rozkwit matematyki greckiej. Platon: prawdziwy wieczny byt to idee, natomiast rzeczy materialne to tylko odbicie idei (cienie prawdziwych przedmiotów). Stąd idealizm.

10 Idee Platona Coś, co jest powinno być stałe, wieczne i niezmienne, bo jak ujął to Parmenides Byt jest, a niebytu nie ma. ks. Tischner: Być może stąd taki niezwykły rozkwit matematyki greckiej. Platon: prawdziwy wieczny byt to idee, natomiast rzeczy materialne to tylko odbicie idei (cienie prawdziwych przedmiotów). Stąd idealizm. Platon podał też definicję człowieka:

11 Idee Platona Coś, co jest powinno być stałe, wieczne i niezmienne, bo jak ujął to Parmenides Byt jest, a niebytu nie ma. ks. Tischner: Być może stąd taki niezwykły rozkwit matematyki greckiej. Platon: prawdziwy wieczny byt to idee, natomiast rzeczy materialne to tylko odbicie idei (cienie prawdziwych przedmiotów). Stąd idealizm. Platon podał też definicję człowieka: Człowiek jest to istota żywa, dwunożna, nieopierzona.

12 Idee Platona Coś, co jest powinno być stałe, wieczne i niezmienne, bo jak ujął to Parmenides Byt jest, a niebytu nie ma. ks. Tischner: Być może stąd taki niezwykły rozkwit matematyki greckiej. Platon: prawdziwy wieczny byt to idee, natomiast rzeczy materialne to tylko odbicie idei (cienie prawdziwych przedmiotów). Stąd idealizm. Platon podał też definicję człowieka: Człowiek jest to istota żywa, dwunożna, nieopierzona. Diogenes (cynik, ten od beczki) oskubał koguta i zaniósł do szkoły Platona mówiąc: Oto jest człowiek Platona.

13 Idee Platona Coś, co jest powinno być stałe, wieczne i niezmienne, bo jak ujął to Parmenides Byt jest, a niebytu nie ma. ks. Tischner: Być może stąd taki niezwykły rozkwit matematyki greckiej. Platon: prawdziwy wieczny byt to idee, natomiast rzeczy materialne to tylko odbicie idei (cienie prawdziwych przedmiotów). Stąd idealizm. Platon podał też definicję człowieka: Człowiek jest to istota żywa, dwunożna, nieopierzona. Diogenes (cynik, ten od beczki) oskubał koguta i zaniósł do szkoły Platona mówiąc: Oto jest człowiek Platona. Odtąd do definicji dodawano słowa o szerokich pazurach. (str. 331 Laertios)

14 Wpływ Platona na matematykę Platon wprowadził definicje w matematyce, np. punkt to początek linii albo linia niepodzielna. Linia to długość bez szerokości. Aksjomaty, np. wielkości równe odjęte od równych dają w wyniku wielkości równe. Platon zainicjował rozwój stereometrii (bryły platońskie to wielościany foremne). Cztery wielościany obrazowały cztery żywioły (dialog Timaios): ziemia - sześcian, powietrze - ośmiościan, woda - dwudziestościan i ogień - czworościan. Dwunastościan foremny odpowiadał strukturze wszechświata. Dozwolone są wyłącznie konstrukcje geometryczne za pomocą cyrkla i liniału, gdyż tylko okrąg i prosta mogą się ślizgać po sobie. Dozwolona jest jedynie nieskończoność potencjalna, ale nie aktualna. Przekonania te wywarły ogromny wpływ na Euklidesa.

15 Nauczyciel - uczeń Wpływ wybitnych nauczycieli na uczniów pokazuje następujący przykład: Sokrates

16 Nauczyciel - uczeń Wpływ wybitnych nauczycieli na uczniów pokazuje następujący przykład: Sokrates Platon

17 Nauczyciel - uczeń Wpływ wybitnych nauczycieli na uczniów pokazuje następujący przykład: Sokrates Platon Arystoteles

18 Nauczyciel - uczeń Wpływ wybitnych nauczycieli na uczniów pokazuje następujący przykład: Sokrates Platon Arystoteles Aleksander Wielki

19 Nauczyciel - uczeń Wpływ wybitnych nauczycieli na uczniów pokazuje następujący przykład: Sokrates Platon Arystoteles Aleksander Wielki miasto Aleksandria

20 Arystoteles ze Stagiry ( ) Uczeń Platona, ale przeciwstawił się idealizmowi swego nauczyciela. Będąc lekarzem zauważył, że, w przeciwieństwie do poglądów Platona, małe dzieci nie mają pamięci idealnego świata. Rodzą się jako tabula rasa czyli czysta tablica, a wiedzę zdobywaja poprzez doświadczenia. Należy uporządkować sposób wyciągania wniosków z doświadczeń, aby dochodzić do prawdziwych stwierdzeń trzeba wiedzieć, które myśli są adekwatne do rzeczywistości, a które nie. W tym celu należało stworzyć naukę o myśleniu. I Arystoteles stworzył logikę, którą nazywał analityką, bo dla niego logika=dialektyka czyli sztuka prowadzenia dyskusji.

21 Arystoteles ze Stagiry ( ) Ponieważ był metojkiem (nie-ateńczykiem), więc nie mógł kupić ziemi w Atenach. Na obrzeżach Aten istniał gimnazjon przy świątyni Apollina Lykeiosa (wilczego). Przy tym gimnazjonie Arystoteles założył własną szkołę, zwaną Lykeion (stąd dzisiejsze liceum). Uczniów nazywano perypatetykami, bo w zwyczaju mieli spacerowanie w czasie dysput filozoficznych.

22 Arystoteles ze Stagiry ( ) System filozoficzny Arystotelesa: Forma i materia (albo: istota i istnienie).

23 Arystoteles ze Stagiry ( ) System filozoficzny Arystotelesa: Forma i materia (albo: istota i istnienie). Ulubiony przykład filozofów jednorożec, łatwo wyobrazić sobie formę (istotę, ideę) jednorożca, ale jednorożce nie istnieją.

24 Arystoteles ze Stagiry ( ) System filozoficzny Arystotelesa: Forma i materia (albo: istota i istnienie). Ulubiony przykład filozofów jednorożec, łatwo wyobrazić sobie formę (istotę, ideę) jednorożca, ale jednorożce nie istnieją. Tomasz z Akwinu ( , dominikanin). JHWH = ten, który JEST. Zatem istotą Boga jest istnienie.

25 Arystoteles ze Stagiry ( ) System filozoficzny Arystotelesa: Forma i materia (albo: istota i istnienie). Ulubiony przykład filozofów jednorożec, łatwo wyobrazić sobie formę (istotę, ideę) jednorożca, ale jednorożce nie istnieją. Tomasz z Akwinu ( , dominikanin). JHWH = ten, który JEST. Zatem istotą Boga jest istnienie. Tomizm i neotomizm.

26 Arystoteles ze Stagiry ( ) System filozoficzny Arystotelesa: Forma i materia (albo: istota i istnienie). Ulubiony przykład filozofów jednorożec, łatwo wyobrazić sobie formę (istotę, ideę) jednorożca, ale jednorożce nie istnieją. Tomasz z Akwinu ( , dominikanin). JHWH = ten, który JEST. Zatem istotą Boga jest istnienie. Tomizm i neotomizm. Problem uniwersaliów (powszechników): idealizm, realizm, nominalizm, reizm, solipsyzm,...

27 Arystoteles ze Stagiry ( ) System filozoficzny Arystotelesa: Forma i materia (albo: istota i istnienie). Ulubiony przykład filozofów jednorożec, łatwo wyobrazić sobie formę (istotę, ideę) jednorożca, ale jednorożce nie istnieją. Tomasz z Akwinu ( , dominikanin). JHWH = ten, który JEST. Zatem istotą Boga jest istnienie. Tomizm i neotomizm. Problem uniwersaliów (powszechników): idealizm, realizm, nominalizm, reizm, solipsyzm,... Można zaryzykować stwierdzenie, że większość matematyków to platonicy.

28 Arystoteles ze Stagiry ( ) System filozoficzny Arystotelesa: Forma i materia (albo: istota i istnienie). Ulubiony przykład filozofów jednorożec, łatwo wyobrazić sobie formę (istotę, ideę) jednorożca, ale jednorożce nie istnieją. Tomasz z Akwinu ( , dominikanin). JHWH = ten, który JEST. Zatem istotą Boga jest istnienie. Tomizm i neotomizm. Problem uniwersaliów (powszechników): idealizm, realizm, nominalizm, reizm, solipsyzm,... Można zaryzykować stwierdzenie, że większość matematyków to platonicy. Dowód: nowe fakty w matematyce odkrywamy.

29 Matematyka grecka Popatrzmy chronologicznie na greckich matematyków: Zenon z Elei (ok. -450): paradoksy: Achilles i żółw, lecąca strzała.

30 Matematyka grecka Popatrzmy chronologicznie na greckich matematyków: Zenon z Elei (ok. -450): paradoksy: Achilles i żółw, lecąca strzała. Hipokrates z Chios (-440)

31 Matematyka grecka Popatrzmy chronologicznie na greckich matematyków: Zenon z Elei (ok. -450): paradoksy: Achilles i żółw, lecąca strzała. Hipokrates z Chios (-440) Platon (Akademia, rok -387)

32 Matematyka grecka Popatrzmy chronologicznie na greckich matematyków: Zenon z Elei (ok. -450): paradoksy: Achilles i żółw, lecąca strzała. Hipokrates z Chios (-440) Platon (Akademia, rok -387) Eudoksos z Knidos (ok. -360): teoria proporcji, metoda wyczerpywania

33 Matematyka grecka Popatrzmy chronologicznie na greckich matematyków: Zenon z Elei (ok. -450): paradoksy: Achilles i żółw, lecąca strzała. Hipokrates z Chios (-440) Platon (Akademia, rok -387) Eudoksos z Knidos (ok. -360): teoria proporcji, metoda wyczerpywania Euklides z Aleksandrii (ok. -300): Στ ωιχεια czyli Elementy

34 Matematyka grecka Popatrzmy chronologicznie na greckich matematyków: Zenon z Elei (ok. -450): paradoksy: Achilles i żółw, lecąca strzała. Hipokrates z Chios (-440) Platon (Akademia, rok -387) Eudoksos z Knidos (ok. -360): teoria proporcji, metoda wyczerpywania Euklides z Aleksandrii (ok. -300): Στ ωιχεια czyli Elementy Arystarch z Samos (-270) odległość z Ziemi do Księżyca i Słońca

35 Matematyka grecka Popatrzmy chronologicznie na greckich matematyków: Zenon z Elei (ok. -450): paradoksy: Achilles i żółw, lecąca strzała. Hipokrates z Chios (-440) Platon (Akademia, rok -387) Eudoksos z Knidos (ok. -360): teoria proporcji, metoda wyczerpywania Euklides z Aleksandrii (ok. -300): Στ ωιχεια czyli Elementy Arystarch z Samos (-270) odległość z Ziemi do Księżyca i Słońca Archimedes ( -287 do -212): O walcu i kuli, najsłynniejszy palimpsest świata, Trzoda Heliosa. (Annals Probab. 1986)

36 Matematyka grecka Popatrzmy chronologicznie na greckich matematyków: Zenon z Elei (ok. -450): paradoksy: Achilles i żółw, lecąca strzała. Hipokrates z Chios (-440) Platon (Akademia, rok -387) Eudoksos z Knidos (ok. -360): teoria proporcji, metoda wyczerpywania Euklides z Aleksandrii (ok. -300): Στ ωιχεια czyli Elementy Arystarch z Samos (-270) odległość z Ziemi do Księżyca i Słońca Archimedes ( -287 do -212): O walcu i kuli, najsłynniejszy palimpsest świata, Trzoda Heliosa. (Annals Probab. 1986) Eratostenes z Cyreny (-230): obwód Ziemi, odsiewanie liczb pierwszych

37 Matematyka grecka Popatrzmy chronologicznie na greckich matematyków: Zenon z Elei (ok. -450): paradoksy: Achilles i żółw, lecąca strzała. Hipokrates z Chios (-440) Platon (Akademia, rok -387) Eudoksos z Knidos (ok. -360): teoria proporcji, metoda wyczerpywania Euklides z Aleksandrii (ok. -300): Στ ωιχεια czyli Elementy Arystarch z Samos (-270) odległość z Ziemi do Księżyca i Słońca Archimedes ( -287 do -212): O walcu i kuli, najsłynniejszy palimpsest świata, Trzoda Heliosa. (Annals Probab. 1986) Eratostenes z Cyreny (-230): obwód Ziemi, odsiewanie liczb pierwszych Apoloniusz z Pergi (-225): Stożkowe (koniki), nazwy elipsa, parabola, hiperbola

38 Matematyka grecka Hipparch (-127) precesja równonocy

39 Matematyka grecka Hipparch (-127) precesja równonocy Heron z Aleksandrii (+60) pola i objetości

40 Matematyka grecka Hipparch (-127) precesja równonocy Heron z Aleksandrii (+60) pola i objetości Klaudiusz Ptolemeusz (150) Almagest astronomia i geometria, pierwsze tablice sinusów

41 Matematyka grecka Hipparch (-127) precesja równonocy Heron z Aleksandrii (+60) pola i objetości Klaudiusz Ptolemeusz (150) Almagest astronomia i geometria, pierwsze tablice sinusów Diofantos z Aleksandrii (250?? (-150 do +300) Arytmetyka

42 Matematyka grecka Hipparch (-127) precesja równonocy Heron z Aleksandrii (+60) pola i objetości Klaudiusz Ptolemeusz (150) Almagest astronomia i geometria, pierwsze tablice sinusów Diofantos z Aleksandrii (250?? (-150 do +300) Arytmetyka Pappus z Aleksandrii (340)

43 Matematyka grecka Hipparch (-127) precesja równonocy Heron z Aleksandrii (+60) pola i objetości Klaudiusz Ptolemeusz (150) Almagest astronomia i geometria, pierwsze tablice sinusów Diofantos z Aleksandrii (250?? (-150 do +300) Arytmetyka Pappus z Aleksandrii (340) Teon z Aleksandrii (390) wydaje Elementy Euklidesa, odtąd to będzie tekst kanoniczny

44 Matematyka grecka Hipparch (-127) precesja równonocy Heron z Aleksandrii (+60) pola i objetości Klaudiusz Ptolemeusz (150) Almagest astronomia i geometria, pierwsze tablice sinusów Diofantos z Aleksandrii (250?? (-150 do +300) Arytmetyka Pappus z Aleksandrii (340) Teon z Aleksandrii (390) wydaje Elementy Euklidesa, odtąd to będzie tekst kanoniczny Hypatia (400) (córka Teona) komentarze do Diofantosa i Apoloniusza

45 Skąd Aleksandria? Aleksander Macedoński zakłada w dniu 7 kwietnia roku -332 na miejscu miejscowości Rhakotis nowe miasto, nazwane jego imieniem, zaprojektowane przez architekta Dejnokratesa, znanego z przebudowy Efezu. Od roku -311 stolica dynastii Ptolemeuszów (pierwszym był Ptolemeusz Soter). Za czasów rzymskich miasto milionowe, drugie po Rzymie w imperium. Wzniesiono: pałac królewski, Bibliotekę Aleksandryjską, Muzeion (przybytek muz), latarnię morską w Faros itd.

46 Książki czyli Zwoje W Aleksandrii działały: Muzeion = instytut naukowo-badawczy

47 Książki czyli Zwoje W Aleksandrii działały: Muzeion = instytut naukowo-badawczy biblioteka = główna Brucheion dostępna tylko dla badaczy i Serapeion dla wszystkich (przy świątyni Serapisa)

48 Książki czyli Zwoje W Aleksandrii działały: Muzeion = instytut naukowo-badawczy biblioteka = główna Brucheion dostępna tylko dla badaczy i Serapeion dla wszystkich (przy świątyni Serapisa) Każdy, kto wjeżdżał do Aleksandrii z książką, albo musiał ją odprzedać, albo zostawić do skopiowania.

49 Książki czyli Zwoje W Aleksandrii działały: Muzeion = instytut naukowo-badawczy biblioteka = główna Brucheion dostępna tylko dla badaczy i Serapeion dla wszystkich (przy świątyni Serapisa) Każdy, kto wjeżdżał do Aleksandrii z książką, albo musiał ją odprzedać, albo zostawić do skopiowania. Kopiowano szybko: Septuaginta, za czasów Ptolemeusza II Filadelfosa (syna Sotera), ok. roku -270

50 Książki czyli Zwoje W Aleksandrii działały: Muzeion = instytut naukowo-badawczy biblioteka = główna Brucheion dostępna tylko dla badaczy i Serapeion dla wszystkich (przy świątyni Serapisa) Każdy, kto wjeżdżał do Aleksandrii z książką, albo musiał ją odprzedać, albo zostawić do skopiowania. Kopiowano szybko: Septuaginta, za czasów Ptolemeusza II Filadelfosa (syna Sotera), ok. roku -270 Biblioteka płonęła co najmniej 2 razy.

51 Książki czyli Zwoje W Aleksandrii działały: Muzeion = instytut naukowo-badawczy biblioteka = główna Brucheion dostępna tylko dla badaczy i Serapeion dla wszystkich (przy świątyni Serapisa) Każdy, kto wjeżdżał do Aleksandrii z książką, albo musiał ją odprzedać, albo zostawić do skopiowania. Kopiowano szybko: Septuaginta, za czasów Ptolemeusza II Filadelfosa (syna Sotera), ok. roku -270 Biblioteka płonęła co najmniej 2 razy. Przestała istnieć w roku 642, gdy Aleksandrię zdobyli Arabowie (Omar I: Albo te księgi zawierają...)

52 Arytmetyka Diofantosa Zawierała 13 ksiąg, zachowało się 6 po grecku i 4 po arabsku. Rozwiązuje równania, nawet niektóre trzeciego stopnia. Dziś równaniem diofantycznym nazywamy równanie w liczbach całkowitych. Według legendy na grobie Diofantosa był napis: Tu jest grobowiec, w którym złożono prochy Diofantosa. Przez jedną szóstą jego życia Bóg obdarzył go młodością, przez dalszą, dwunastą część życia jego policzki były pokryte brodą. Po siódmej dalszej części życia doświadczył szczęścia małżeńskiego, w którego piątym roku został ojcem syna. Nieszczęśliwie syn żył tylko połowę lat ojca, który pozostał w smutku przez cztery ostatnie lata swego życia. Przechodniu, oblicz długość jego życia!

53 Fermat i Arytmetyka Diofantosa W roku 1621 ukazało się łacińskie wydanie Arytmetyki. Około roku 1630 czytał je Fermat i na jednej ze stron zrobił notatkę. W roku 1670 syn Fermata wydał Arytmetykę wraz z komentarzami swego ojca. Oto najsłynniejsza strona tego wydania:

54 Fermat i Arytmetyka Diofantosa... cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.

55 Archimedes Znamy kilka jego prac, m.in. O walcu i kuli, O kwadraturze paraboli czy Metoda. Ponieważ studiował w Aleksandrii, a Eratostenes był jego przyjacielem, więc w Aleksandrii znano jego prace. Nie były one jednak tak znane, jak Elementy Euklidesa. Poprzez tłumaczenia arabskie lub oryginały (z Konstantynopola), niektóre dzieła Archimedesa dotarły do Europy (np. wydane w 1544 O walcu i kuli).

56 Archimedes W roku 1773 niemiecki dramaturg Gottlob Lessing odkrył w pewnej bibliotece manuskrypt, zawierający zadanie w formie wiersza, złożonego z 22 dystychów elegijnych, przypuszczalnie napisane przez Archimedesa około roku -250 i przesłane w liście Eratostenesowi. Zaczynały się tak: Jeśliś pilny i mądry, o cudzoziemcze, określ mnogość stada Heliosa, które dawno temu pasło się na trinakijskich polach Sycylii. Archimedes Cattle Problem

57 Archimedes i najsłynniejszy palimpsest świata W roku 1906 duński językoznawca J.L. Heiberg odkrył w Konstantynopolu pewien palimpsest. Po I wojnie światowej zniknął, odnalazł się w 1998 roku na aukcji w Christies w Nowym Jorku. Od 1998 restaurowano go w muzeum w Baltimore. I odczytano:

58 Elementy Euklidesa

59 Elementy Napisane około roku -300, do roku 1900 były obowiązującym podręcznikiem niemal w całej Europie. Liczba wydań mniejsza tylko od Biblii. Materiały np. External Links na stronie s Elements

60 Trzy klasyczne konstrukcje cyrklem i liniałem są niewykonalne Wykażemy później, że mając dany odcinek jednostkowy na płaszczyźnie, za pomocą cyrkla i liniału można skonstruować TYLKO odcinki o długościach, będących albo liczbami wymiernymi albo algebraicznymi stopni 2 n (dokładniej: liczbami z ciała, powstałego przez rozszerzenie ciała Q przez kolejne dołączanie pierwiastków kwadratowych). W szczególności, nie można w ten sposób skonstruować odcinka, którego długość nie jest liczbą algebraiczną.

61 Liczby algebraiczne Liczba niewymierna α jest liczbą algebraiczną stopnia d, jeśli jest pierwiastkiem pewnego wielomianu stopnia d o wszystkich współczynnikach całkowitych i nie jest pierwiastkim żadnego wielomianu stopnia mniejszego niż d o współczynnikach całkowitych. Przykłady: Każda liczba wymierna p q jest algebraiczna stopnia 1: qx p = 0.

62 Liczby algebraiczne Liczba niewymierna α jest liczbą algebraiczną stopnia d, jeśli jest pierwiastkiem pewnego wielomianu stopnia d o wszystkich współczynnikach całkowitych i nie jest pierwiastkim żadnego wielomianu stopnia mniejszego niż d o współczynnikach całkowitych. Przykłady: Każda liczba wymierna p q jest algebraiczna stopnia 1: qx p = 0. Każdy pierwiastek kwadratowy z n jest liczbą algebraiczną stopnia 2: x 2 n = 0.

63 Liczby algebraiczne Liczba niewymierna α jest liczbą algebraiczną stopnia d, jeśli jest pierwiastkiem pewnego wielomianu stopnia d o wszystkich współczynnikach całkowitych i nie jest pierwiastkim żadnego wielomianu stopnia mniejszego niż d o współczynnikach całkowitych. Przykłady: Każda liczba wymierna p q jest algebraiczna stopnia 1: qx p = 0. Każdy pierwiastek kwadratowy z n jest liczbą algebraiczną stopnia 2: x 2 n = jest liczbą algebraiczną stopnia 3, ale nie jest liczbą stopnia 2.

64 Liczby algebraiczne Liczba niewymierna α jest liczbą algebraiczną stopnia d, jeśli jest pierwiastkiem pewnego wielomianu stopnia d o wszystkich współczynnikach całkowitych i nie jest pierwiastkim żadnego wielomianu stopnia mniejszego niż d o współczynnikach całkowitych. Przykłady: Każda liczba wymierna p q jest algebraiczna stopnia 1: qx p = 0. Każdy pierwiastek kwadratowy z n jest liczbą algebraiczną stopnia 2: x 2 n = jest liczbą algebraiczną stopnia 3, ale nie jest liczbą stopnia 2. Zadanie: Podać (wraz z dowodem) przykład liczby, która nie jest algebraiczna (czyli jest przestępna). Euler: takie liczby przestępują możliwości metod algebraicznych.

65 Twierdzenie Liouville a J. Liouville w roku 1844 udowodnił następujace twierdzenie: Twierdzenie Niech α będzie liczbą algebraiczną stopnia d > 1. Wówczas istnieje taka stała C(α) > 0, że nierówność α p q > C(α) q d zachodzi dla wszystkich liczb wymiernych p/q.

66 Wniosek Liczba jest liczbą przestępną. n= n!

67 e jest liczbą przestępną W roku 1873 Charles Hermite udowodnił, że liczba e jest przestępna. Nieznacznie modyfikując dowód Hermite a w roku 1882 F. Lindemann udowodnił, że liczba π jest przestępna, a zatem kwadratura koła nie jest możliwa.