WOJSKOWA AKADEMIA T E CHNI CZNA im. Jarosława Dą brow ski ego ZAKŁAD AWIONIKI I UZBROJENIA LOTNICZEGO

Transkrypt

1 WOJSKOWA AKADEMIA T E CHNI CZNA im. Jarosława Dą brow ski ego ZAKŁAD AWIONIKI I UZBROJENIA LOTNICZEGO Przedmiot: PODSTAWY AUTOMATYKI I AUTOMATYZACJI (studia I stopnia) ĆWICZENIE RACHUNKOWE PROJEKT PROSTEGO UKŁADU KOMBINACYJNEGO Warszawa 0

2 ĆWICZENIE RACHUNKOWE Temat: Projekt prostego układu kombinacyjnego. WIADOMOŚCI OGÓLNE.. Pojęcia podstawowe System dwójkowy (binarny) jest sposobem zapisu liczb za pomocą symboli 0 i. Ogólny zapis liczb w systemie binarnym opisuje zależność: L 0 i b i in Reprezentacja dziesiętna stanowi wygodniejszą formę zapisu liczby binarnej. Jeśli zmiennej i przypiszemy, a zmiennej i przypiszemy 0, to w prosty sposób uzyskuje się reprezentacje binarną. Układem przełączającym nazywamy urządzenie sterujące, zbudowane z elementów, które mogą znajdować się w dwóch różnych stanach, określonych jako stan spoczynkowy i stan wzbudzony. Elementy przełączające, z których zbudowany jest układ przełączający, łączą lub przerywają przepływ energii w obwodzie, np.: przekaźniki i przełączniki elektryczne załączają przepływ energii elektrycznej, rozdzielacze pneumatyczne zmieniają kierunek przepływu sprężonego powietrza, natomiast rozdzielacze hydrauliczne sterują kierunkiem przepływu płynu hydraulicznego. Funkcją przełączającą f(,,, n ) nazywamy takie odwzorowanie, które dla kombinacji argumentów,,, n przyjmujących wartości 0 lub przyporządkowuje rozwiązanie ze zbioru {0, }. Czynnik jedynki (konstytuanta zera) M i jest taką funkcją przełączającą, która przyjmuje wartość 0 tylko dla kombinacji wartości zmiennych, wyrażonej w postaci sumy. Zupełnie normalną postacią sumy (postacią kanoniczną dysjunkcyjną) funkcji przełączającej nazywamy sumę tych czynników jedynki (konstytuant jedynki), które są równe dla tych samych kombinacji wartości argumentów co zadana funkcja. Postać ogólną wyraża poniższa zależność:

3 F gdzie: f i iloczyn argumentów; n liczba argumentów. n i m i f i Zupełnie normalną postacią iloczynu (postacią kanoniczną koniunkcyjną) funkcji przełączającej nazywamy sumę tych czynników zera (konstytuant zera), które są równe 0 dla tych samych kombinacji wartości argumentów co zadana funkcja. Postać ogólną wyraża zależność: F' n M i f i i Faktoryzacja (minimalizacja) ma na celu uzyskanie najmniejszej złożoności układu. Realizuje się to poprzez rezygnację z postaci normalnej funkcji. Wykorzystuje się tutaj prawa rozdzielności lub prawa de Morgana... Algebra Boole a Algebra Boole a jest systemem umożliwiającym opis układów przełączających. W notacji formalnej algebrę Boole a zapisujemy jako uporządkowaną piątkę A=(X, 0,, +, ), gdzie: lub ; X={,,, n } zbiór argumentów przyjmujących wartości 0 0 element neutralny operacji dysjunkcji (sumy); element neutralny operacji koniunkcji (iloczynu); + symbol operacji dysjunkcji; symbol operacji koniunkcji. Po dokonaniu założeń: X i X i dla i,..., n X i dla i,..., n spełnione są następujące aksjomaty algebry Boole a:

4 gdzie: i - zanegowany argument i ; i - podwójnie zanegowany argument i... Ważniejsze funkcje przełączające Funkcją przełączającą f(,,, n ) n zmiennych nazywa się odwzorowanie: gdzie: n f : D 0, n D 0, uporządkowana piątka ({0, }, 0,,, +) jest algebrą Boole a Jeśli D n = {0, } n to funkcję przełączającą nazywamy zupełną lub w pełni określoną. W przypadku, gdy istnieją kombinacje argumentów, dla których funkcja nie jest określona, tzn. może przyjąć wartość 0 lub (oznacza się symbolem ), to nazywamy ją niezupełną. Poniżej przytoczono kilka najważniejszych funkcji przełączających nazywanych również funkcjami Boole a: f f f f f f f zmienna negacja zmiennej, koniunkcja, iloczyn zmiennych i " i", dysjunkcja, suma zmiennych i "lub", suma modulo, różóżni symetryczna " albo", operacja Pierce ' a " NOR", operacja Sheffera " NAND"

5 oraz wartości tych funkcji dla kombinacji argumentów i :.. Realizacja funkcji przełączających Ze względu na zasadę działania elementy do syntezy układów przełączających można podzielić na elektryczne elementy stykowe, elektryczne elementy bezstykowe i elementy płynowe. Układy przełączające z elektrycznymi elementami stykowymi W syntezie układów przełączających z elementami stykowymi wykorzystuje się przekaźniki, styczniki i łączniki. a) b) c) d) Rys.. Realizacja funkcji przełączających z wykorzystaniem elementów stykowych 5

6 Sposób realizacji podstawowych funkcji logicznych przedstawiono na rys.. Styk normalnie otwarty ( NO ) przedstawiony na rys.a odpowiada funkcji powtórzenia, natomiast styk normalnie zamknięty ( NZ ) z rys.b realizuje funkcję negacji. Przez połączenie szeregowe styków normalnie otwartych realizuje się funkcje iloczynu (koniunkcji), a przez ich połączenie równoległe funkcje sumy (dysjunkcji), co przedstawiono na rys.c i rys.d. Układy przełączające z elektrycznymi elementami bezstykowymi Do elektrycznych elementów bezstykowych zaliczamy elementy magnetyczne, diody, lampy elektronowe, tranzystory, elementy scalone. Obecnie wykorzystywane są wyłącznie bramki logiczne w postaci układów scalonych o różnej skali integracji: Układy przełączające z elementami płynowymi W układach przełączających z elementami płynowymi nośnikiem informacji jest sygnał pneumatyczny lub hydrauliczny. Ze względu na zasadę działania, elementy płynowe dzieli się na elementy strumieniowe i rozdzielcze. Sposób realizacji funkcji przełączającej z wykorzystaniem rozdzielacza trójdrogowego, dwupołożeniowego, przedstawiono na rys.. Wykorzystując rozdzielacz tego typu, poprzez odpowiednie połączenie wejść, można zrealizować podstawowe funkcje logiczne. Rys.. Sposób realizacji funkcji logicznych z wykorzystaniem pneumatycznego rozdzielacza /: a) postać ogólna, b) potwierdzenie, c) negacja, d) suma logiczna, e) iloczyn logiczny, f) objaśnienie symboli. 6

7 . UKŁADY KOMBINACYJNE.. Sposoby opisu układów kombinacyjnych Opis słowny jest najczęstszą formą zadawania układów przełączających, który polega na przyporządkowaniu sygnałom wejściowym X sygnałów wyjściowych Y. Tablica zależności w postaci ciągów zero- jedynkowych jest prostszą formą opisu układu. Określa ona wartości sygnałów X i odpowiadające im sygnały Y (rys.). Przebieg czasowy pokazuje zależności pomiędzy sygnałami wejściowymi i wyjściowymi, zazwyczaj w skali mierzonej taktami. Takt jest odstępem czasu między kolejnymi zmianami sygnałów. Tablica kolejności łączeń jest uproszczoną forma przebiegu czasowego. a) b) c) d) e) Rys.. Sposoby opisu funkcji przełączających: a) tablica zależności, b) przebiegi czasowe, c) tablica kolejności, d) tablica Karnaugha, e) zależność matematyczna. W tablicy Karnaugha (tablica Veitcha) wartości sygnałów wyjściowych Y umieszczane są w tablicy o współrzędnych określonych 7

8 przez sygnały wejściowe X. Tablice tego typu szczególnie przydatne są podczas upraszczania funkcji przełączających. Często wykorzystywaną forma opisu układów przełączających jest zależność matematyczna. Zależność Taja może mieć postać zupełnie normalną (postać kanoniczną) lub uproszczoną. Sposoby opisu wykorzystujące postać kanoniczną funkcji przełączającej przedstawiono poniżej: zupełnie normalna postać sumy (postać kanoniczna dysjunkcyjna) y i jej zapis skrócony y 0,,5,7 ; zupełnie normalna postać iloczynu (postać kanoniczna koniunkcyjna) y i jej zapis skrócony y,,,6... Minimalizacja funkcji przełączających Celem minimalizacji funkcji przełączających jest zmniejszenie liczby elementów, a tym samym kosztów urządzenia. Dodatkowo mniejsza liczba połączeń i elementów zwiększa trwałość i niezawodność urządzenia. Istnieje wiele sposobów minimalizacji funkcji przełączających, do których należą: metoda przekształceń formalnych; minimalizacja z wykorzystaniem tablicy Karnaugha; metoda Quine a McCluskeya; metoda współczynników nieoznaczonych; metoda harwardzka metoda tablic niezgodności metoda redukcji quasi implikantów. Metoda przekształceń formalnych Metoda przekształceń formalnych stosowana jest w przypadku, gdy funkcja dana jest w postaci wyrażenia algebraicznego. Wykorzystuje się wtedy aksjomaty i prawa algebry Boole a. W przypadku, gdy upraszczany układ kombinacyjny zadany jest w postaci schematu logicznego, realizowaną przez układ funkcję wyznacza się na drodze analizy. W celu zobrazowania tej metody dokonamy minimalizacja funkcji postaci: y 8

9 y Wyłączając uzyskujemy: W kolejnym kroku wyłączając przed nawias y wyłączamy Korzystając z prawa dopełnienia y otrzymujemy: pomijamy człon, a następnie () Ponownie korzystając z prawa dopełnienia, a następnie prawa działania na elementach neutralnych (+=), otrzymujemy: () Po podstawieniu zależności () do równania () otrzymujemy funkcję: y Przegrupowując wyrazy, otrzymujemy: y W celu wyznaczenia zminimalizowanej funkcji ponownie korzystamy z prawa dopełnienia, otrzymując końcową funkcję w postaci: y Metoda tablicy Karnaugha Metoda tablicy Karnaugha należy do grupy najszybszych metod minimalizacji funkcji przełączających małej liczby zmiennych co wynika z dużej komplikacji samego zapisu następującej wraz ze wzrostem ilości zmiennych: 9

10 Upraszczając funkcję przełączającą przy wykorzystaniu tablicy Karnaugha, należy pamiętać o następujących problemach: a. wiersze i kolumny tablicy Karnaugha opisane są w kodzie Greya, tzn. każdy kolejny wiersz i kolumna różnią się od siebie o negację jednej zmiennej; b. zakreślając jedynki (zera), tworzy się grupy liczące,, 8, 6, elementów; c. zawsze zakreśla się grupy z największą możliwą ilością jedynek (zer), przy czym należy pamiętać o możliwości sklejenia ze sobą krawędzi równoległych tablicy; d. grupy mogą posiadać części wspólne; e. liczba grup jedynek (zer) odpowiada liczbie składników sumy (iloczynu) poszukiwanej funkcji; f. w przypadku kiedy istnieje możliwość zakreślenia grup na kilka sposobów, arbitralnie wybiera się jeden z nich; g. dana grupa reprezentuje iloczyn (sumę) tych zmiennych, które nie zmieniają swojej wartości; h. w przypadku, gdy funkcja przełączająca posiada elementy o wartości nieokreślonej elementy te wpisujemy do tabeli, wprowadzając dla nich specjalne oznaczenie, np. a następnie wykorzystujemy lub pomijamy, w zależności od potrzeby przy tworzeniu grup (patrz punkt b). Dla przykładu zminimalizujemy funkcję opisaną zależnością: y Stosując zasadę a. tworzymy tablice Karnaugha, wypełniając ją jedynkami dla elementów funkcji, a pozostałe pola uzupełniamy zerami: W kolejnym kroku tworzymy dwie grupy zawierające po cztery elementy (według zasad b., c., d.): 0

11 Postępując według wytycznych e, f i g. odczytujemy zminimalizowaną postać funkcji przełączającej. W czteroelementowej grupie G wartości zmiennych i nie ulegają zmianie, ponieważ zakreślono grupę jedynek. Funkcja ta przyjmuje postać iloczynu G. Dla grupy G niezmienne wartości przyjmują parametry i, więc grupa ta przyjmuje postać G. Po zsumowaniu z grupą G otrzymamy ostatecznie poszukiwaną przez nas funkcję w postaci dysjunkcyjnej: y W celu wyznaczenia zminimalizowanej funkcji w postaci koniunkcyjnej należy zacząć od początku wypisywanie tablicy lub też skorzystać z tablicy wypisanej dla postaci dysjunkcyjnej, zakreślając w tym przypadku grupy zer: Postępując według wytycznych e., f., i g. otrzymujemy następujące grupy G (ponieważ jedynym niezmiennym parametrem w grupie jest i przyjmuje on wartość jeden) oraz G. Po pomnożeniu obu grup otrzymamy zminimalizowaną funkcję w postaci koniunkcyjnej:

12 y Metoda Quine a McCluskeya Metoda Quine a McCluskeya jest zwykle stosowana w przypadku minimalizacji funkcji wielu zmiennych, ponieważ wraz ze wzrostem ich liczby wzrasta też jej efektywność w stosunku do pozostałych metod. W celu minimalizacji funkcji przełączającej tą metodą postępujemy w następujący sposób: a. minimalizację rozpoczynamy od zapisania elementów funkcji przełączającej, dla których funkcja ta przyjmuje wartość jeden (zero); b. w kolejnym kroku uporządkowujemy elementy poprzez zapisanie ich w grupach zawierających identyczne ilości jedynek (zer), przy czym każda kolejna grupa powinna zawierać więcej jedynek (zer) od poprzedniej; c. w celu znalezienia implikantów prostych porównujemy każdy element w grupie z każdym elementem w grupie sąsiedniej zawierającej jedną jedynkę (zero) więcej; d. jeżeli elementy różnią się miedzy sobą tylko jednym indeksem, zaznaczamy je oba a w miejscu tego indeksu wstawiamy kreskę i przepisujemy nowo powstały element do następnej kolumny; e. procedurę d. powtarzamy z każdą nową kolumną aż do pozostania elementów niemożliwych do uproszczenia, gdzie elementy nieoznaczone stanowią poszukiwane implikanty proste; f. tworzymy tabelę, w której w pierwszym wierszu wpisujemy kolejne elementy funkcji przełączającej, a w kolumnie implikanty proste; g. jeżeli element funkcji spełnia implikant, to na ich przecięciu w tabeli wstawiamy ; h. zminimalizowaną funkcję przełączającą tworzymy z implikantów prostych, które pokrywają wszystkie elementy zadanej funkcji przełączającej; i. w przypadku gdy w funkcji występują elementy z wartością nieokreśloną wykorzystujemy je przy poszukiwaniu implikantów prostych, a pomijamy przy tworzeniu tabeli (patrz f). Dla przykładu zminimalizujemy wcześniejszą funkcję postaci: y,,,6,, 0

13 Zapisujemy elementy funkcji przełączającej, dla której przyjmuje ona wartość jeden w postaci binarnej (podpunkt a): b.): Wpisane elementy sortujemy i zapisujemy w grupach (podpunkt Przeszukujemy grupy w celu znalezienia implikantów prostych (podpunkt c. i d.). Na przykład elementy i różnią się sobą tylko jednym indeksem otrzymamy wtedy nowy wyraz w postaci 0-00, który następnie zapisujemy do nowej kolumny, zaznaczając jednocześnie elementy i : Procedurę d. powtarzamy z nowo otrzymaną kolumną elementów, otrzymując:

14 Ponieważ w ostatniej kolumnie znajdują się już tylko implikanty proste, wypisujemy je łącznie z pozostałymi nie oznaczonymi elementami (np. element ), otrzymując: Po wyznaczeniu implikantów wypełniamy tabelę postępując według kroków f., g. i h. Dla wybranych implikantów zminimalizowana funkcja przyjmuje postać końcową: y.. Synteza układów kombinacyjnych Wyróżniamy trzy podstawowe rodzaje syntezy układów kombinacyjnych: syntezę abstrakcyjną, która polega na ustaleniu liczby stanów wejść i wyjść oraz związków zachodzących pomiędzy nimi przy wykorzystaniu opisu słownego, wykresu czasowego, tablicy łączeń, itp.; syntezę strukturalną, której celem jest wykreślenie schematu logicznego. Realizuje się to po uprzednim zakodowaniu sygnałów wejściowych i wyjściowych oraz minimalizacji funkcji wyjściowej; syntezę techniczną, która polega na wykreśleniu schematu montażowego z wykorzystaniem wybranych elementów o odpowiednich charakterystykach statycznych i dynamicznych.. Literatura. Janusz KOWAL Podstawy automatyki T, Uczelniane Wydawnictwa Naukowo-Dydaktyczne AGH, Kraków 00, Sygnatura: Tadeusz Kaczorek Teoria sterowania. Tom I Układy liniowe ciągłe i dyskretne. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 977