166 Wstȩp do statystyki matematycznej

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "166 Wstȩp do statystyki matematycznej"

Transkrypt

1 166 Wstȩp do statystyki matematycznej Etap trzeci realizacji procesu analizy danych statystycznych w zasadzie powinien rozwi azać nasz zasadniczy problem zwi azany z identyfikacj a cechy populacji generalnej w jȩzyku teorii prawdopodobieństwa. Powinniśmy wiedzieć, jakiego typu jest to rozk lad i dysponować oszacowaniem jego parametrów. Statystyka dysponuje jednak jeszcze jednym narzȩdziem, którego rola polega miȩdzy innymi na weryfikacji wiedzy, jak a pozyskaliśmy stosuj ac zaprezentowane wyżej metody 2 i 3. Narzȩdziem tym jest teoria testów statystycznych. Niech dane bȩdzie populacja generalna bȩd aca przedmiotem obserwacji z punktu widzenia cechy X. Przez hipotezȩ statystyczn a bȩdziemy rozumieli każde przypuszczenie odnosz ace siȩ do rozk ladu tej cechy formu lowane w kategoriach b adź jakościowych dotycz acych postaci tego rozk ladu, b adź ilościowych zwi azanych z jego parametrami. Bȩdziemy wtedy mówili, że mamy do czynienia odpowiednio z hipotez a nieparametryczn a albo hipotez a parametryczn a. Podstaw a do formu lowania przypuszczeń na temat cechy populacji generalnej jest próba prosta. Proces weryfikacji sformu lowanej hipotezy nazywamy testem statystycznym. St ad też procedura testowania hipotez dzieli siȩ na:testy parametryczne i nieparametryczne. U podstawkażdego testu znajduje siȩza lożenie, że obok hipotezy weryfikowanej, zwanej też hipotez a zerow a i oznaczan a przez H o,formu luje siȩ hipotezȩ bȩd ac a w swojej treści wynikiem zaprzeczenia hipotezy H o,któr a nazywamy z tego powodu hipotez a alternatywn a i oznaczamy przez H 1. Wtedy, w przypadku odrzucenia hipotezy H o w wyniku przeprowadzonego testu, za prawdziw a uznajesiȩ hipotezȩ H 1. Jak zaznaczyliśmy wyżej, podstaw a do przeprowadzenia weryfikacji hipotezy H o przeciwko hipotezie H 1 jest próba prosta. Z teoretycznego punktu widzenia istnieje wiȩc możliwość pope lnienia b lȩdu. Mog a zdarzyćsiȩconajmniejdwie sytuacje: H o jest prawdziwa albo H o jest fa lszywa. Jeśli w sytuacji pierwszej odrzucimy H o (a wiȩc przyjmiemy H 1 ), to mówimy wtedy o pope lnionym b lȩdzie I rodzaju, a jego miar a jest wtedy pewna liczba α. W sytuacji drugiej, jeśli H o przyjmujemy (a wiȩc odrzucamy H 1 ), to mówimy o b lȩdzie II rodzaju ijegomiarȩ oznaczamy przez β. Abyzrozumieć znaczenie obu zdefiniowanych b lȩdów musimy dok ladniej opisać przebieg procesu testowania hipotez. Niech (x 1,...,x n )=(X 1,...,X n )(ω o ) dla pewnego zdarzenia elementarnego ω o oznacza próbȩ prost a naszej populacji generalnej. Wtedy (x 1,...,x n ) W =(X 1,...,X n )(Ω) R n, co oznacza, że próba prosta jest jedn a z wielu realizacji procesu obserwacji populacji generalnej, któr a opisuje tutaj mnogość W. Zadaniem testu statystycznego jest skonstruowanie takiego podzbioru Q W,że jeśli (x 1,...,x n ) Q, tohipotezȩ H o odrzucimy na korzyść hipotezy H 1 oraz w przypadku gdy (x 1,...,x n )

2 6.4 Podstawowe metody statystyczne 167 W \ Q, toh o przyjmujemy. Z tego wzglȩdu zbiór Q nazywamy obszarem krytycznym (mówimy też o obszarze odrzucenia), w przeciwieństwie do zbioru W \ Q zwanego obszarem przyjȩcia hipotezy H o. Wtedy znaczenie ilościowe zdefiniowanych wyżej b lȩdów α i β jest nastȩpuj ace: α = P ((x 1,...,x n ) Q H o ),β= P ((x 1,...,x n ) W \ Q H 1 ). Z metodologicznego punktu widzenia pierwsz a zpowyższych równości traktuje siȩ jako równanie z niewiadom a Q, przyjmuj ac, że α jest ma l a liczb a równ a zazwyczaj 0, 1 albo 0, 05. Nazywamy j a wtedy poziomem istotności (wtedy 1 α nazywa siȩ poziomem ufności). Testy statystyczne, które kontroluj a tylko b l ad I rodzaju nazywamy testami istotności. Można zapytać, co dzieje siȩ z b lȩdem II rodzaju, jeśli b l ad I rodzaju zosta l zminimalizowany. Czy on również przyjmuje minimaln a wartość? Okazuje siȩ, że tak nie jest. Jest akurat na odwrót, czyli wartości β rosn a, jeśli wartości α malej a (patrz np. [19]). Wobec tego testy istotności jako metoda ignoruj aca z za lożenia kontrolȩ b lȩdu II-rodzaju z jednej strony kontroluj a na poziomie α odrzucenie hipotezy H o (gdy (x 1,x 2,...,x n ) Q), ale nie wypowiadaj a siȩna temat jej przyjȩcia. Dlatego wnioskowanie w przypadku przeprowadzenia takiego testu sprowadza siȩ do nastȩpuj acej konkluzji: 1. odrzucenia hipotezy H o iprzyjȩcia H 1 albo 2. braku podstaw do odrzucenia hipotezy H o. Zaczniemy od omówienia podstaw zwi azanych z tzw. testami parametrycznymi (patrz też [4], [19]). Przypuśćmy, że na podstawie próby prostej (x 1...x n )=(X 1...X n )(ω o ) oraz metod opartych na pojȩciu dystrybuanty empirycznej (histogramu) i teorii estymacji otrzymaliśmy nastȩpuj ace wyniki: 1. poznaliśmy typ rozk ladu cechy X, czyli jej dystrybuantȩ F, ewentualnie dysponujemy wiedz a na temat istnienia momentów tego rozk ladu i parametrów, od których rozk lad ten zależy, 2. zak ladaj ac, celem uproszczenia sytuacji, że rozk lad F zależy od jednego parametru, powiedzmy τ, określiliśmy metod a estymacji przedzia lowej jego przedzia l na zadanym poziomie ufności 1 α. Pojawia siȩ problem wyboru wartości tego parametru. Faza wstȩpna testu parametrycznego polega na zdefiniowaniu dwóch hipotez: hipotezy zerowej H o przeciwko hipotezie alternatywnej H 1,

3 168 Wstȩp do statystyki matematycznej gdzie gdzie τrτ o H o : τ = τ o, H 1 : τrτ o, na ogó l oznacza jedn a z trzech relacji: τ τ o, τ < τ o, τ > τ o. Rola testu statystycznego, jak pisaliśmy wyżej, polega na tym, aby zweryfikować hipotezȩ zerow a przeciwko hipotezie alternatywnej. Pozytywna weryfikacja kończy siȩ na ogó l stwierdzeniem, że nie ma powodów do jej odrzucenia, co nie musi oznaczać, że hipotezȩ zerow a przyjmuje siȩ. Zazwyczaj w tej sytuacji ca ly proces analizy statystycznej zaczyna siȩ od pocz atku, a wiȩc od pobrania nowej próby prostej. W przypadku negatywnej weryfikacji hipotezy zerowej albo przy aktualnych wynikach zmienia siȩ jej treść i powtarza weryfikacjȩ albo przyjmuje siȩ hipotezȩ alternatywn a. Podstaw a procesu weryfikacji jest, jak pisaliśmy wyżej, obszar krytyczny Q, który w praktyce definiuje siȩjakopodzbiór prostej rzeczywistej, a nie przestrzeni R n. Aby go wyznaczyć potrzebna jest odpowiednia statystyka Z, czyli gdzie Z = f(x 1...X n ), (x 1...x n )=(X 1...X n )(ω o ) jest prób a prost a cechy X populacji generalnej. Wtedy obszar Q wyznaczony jest przez warunek (patrz definicja b lȩdu I rodzaju) P ({ω Ω : Z(ω) Q}) =α, przy za lożeniu, że zasz la hipoteza H o. Jeśli teraz z obs = Z(ω o ) Q, gdzie z obs jest wartości a zaobserwowan a statystyki Z, to hipotezȩ H o należy odrzucić nakorzyść hipotezy H 1. W przeciwnym razie mówimy, że nie ma podstaw do jej odrzucenia. Dalej w kolejnych przyk ladach pokażemy sposoby konstruowania statystyki Z i odpowiadaj acych jej obszarów krytycznych (patrz też [10]).

4 6.4 Podstawowe metody statystyczne 169 Przyk lad Cecha X populacji generalnej ma rozk lad typu N (m, σ 2 ), gdzie parametr σ jest znany. Wtedy dla zweryfikowania hipotezy zerowej H o : m = m o pos lugujemy siȩ styatystyk a Natomiast hipoteza alternatywna H 1 1. Z = X n m n. σ i obszar krytyczny maj a wtedypostać: H 1 : m m o, Q =(, n α ) (n α, + ), gdzie n α,przyza lożeniu hipotezy H o określone jest równaniem P ({ω Ω : Z o (ω) n α })=2(1 Φ(n α )) = α, 2. bowiem statystyka Z o = X n m o n σ ma przy za lożeniu hipotezy zerowej rozk lad standardowy normalny. H 1 : m>m o, Q =(n + α, + ) gdzie n + α,przyza lożeniu hipotezy H o określone jest równaniem P ({ω Ω: Z o (ω) >n + α }) =1 Φ(n + α )=α, 3. gdzie statystyka Z o jest identyczna, jak w sytuacji poprzedniej. H 1 : m<m o, Q =(, n + α ) gdzie n + α i statystyka Z o s a jakwyżej. Przeprowadźmy teraz symulacjȩ liczbow a. W tym celu odwo lamy siȩ dowyników z przyk ladu Dostaliśmy tam Postawmy hipotezȩ zerow a m (1,838, 2,328), x 4 =2,083, σ =0,25, α =0,05. H o : m =2przeciwko H 1 : m 2.

5 170 Wstȩp do statystyki matematycznej Wtedy, przy za lożeniu hipotezy zerowej n α =1,96, i przedzia l krytyczny ma postać Q =(, 1,96) (1,96, + ). Tymczasem z obs = 2, ,25 =0,684 / Q, co oznacza, że nie ma powodu do odrzucenia hipotezy zerowej. Z drugiej strony bior ac dostalibyśmy H o : m =1,9 przeciwko H 1 : m<1,9 Φ(n + α )=1 α =0,95, sk ad Q =(, 1,65). Ponieważ terazz obs = 1,46, zatem również nie ma podstaw, aby nie przyj ać m =1,9. Okazuje siȩ, że dopiero H o : m =2,3 przeciwko H 1 : m<2,3 daje z obs = 1,736 Q = (, 1,65), co oznacza, że hipotezȩ tȩnależy odrzucić. Jeśli pobrana próba by la reprezentatywna, to oznacza to, że najprawdopodobnie wartość średnia cechy X jest mniejsza od 2,3. Przyk lad Cecha X populacji generalnej ma rozk lad typu N (m, σ 2 ), gdzie oba parametry s a nieznane. Wtedy dla zweryfikowania hipotezy zerowej H o : m = m o wykorzystamy styatystykȩ t = X n m n 1. S Natomiast hipoteza alternatywna H 1 i obszar krytyczny maj a wtedypostać: 1. H 1 : m m o, Q =(, t α ) (t α, + ), gdzie t α,przyza lożeniu hipotezy H o określone jest równaniem P ({ω Ω : t o (ω) t α })=α, bowiem statystyka t o = X n m o n 1 S ma przy za lożeniu hipotezy zerowej rozk lad t Studenta o n 1 stopniach swobody.

6 6.4 Podstawowe metody statystyczne H 1 : m>m o, Q =(t + α, + ) gdzie t + α,przyza lożeniu hipotezy H o określone jest równaniem P ({ω Ω : t o (ω) t + α }) =α, gdzie statystyka t o jest identyczna, jak w sytuacji poprzedniej. Dla przeprowadzenia symulacji odwo lamy siȩ dowyników z przyk ladu Przypomnijmy, że wtedy m (1,899, 2,267), x 4 =2,083, s =0,1. Ponieważ z tabeli rozk ladu t Studenta dla trzech stopni swobody t α =3,182, wiȩc bior ac H 1 : m =2przeciwko H 1 : m 2 obszar krytyczny bȩdzie mia l postać Q =(, 3,182) (3,182, + ). Tymczasem t obs = 2, ,73 = 1,4359 / Q, 0,1 co oznacza, że nie ma powodu, aby odrzucić hipotezȩzerow a. Sprawdźmy, czy dla tej próby prostej można przyj ać, że m =1,9. Wtymceluweźmy H o : m =1,9 przeciwko H 1 : m>1,9. Ponieważ terazt + α =2,4, to Q =(2,4, + ). Ale t obs = 2,083 1,9 0,1 1,73 = 3,1659 Q, co oznacza, że hipotezȩ zerow anależy odrzucić. Zauważmy, że wartość 1,9teżnależy do przedzia lu wartości średniej wyznaczonego metod a estymacji. Na koniec pokażemy przyk ladowy test dla wariancji. Przyk lad Cecha X populacji generalnej ma rozk lad typu N (m, σ 2 ), gdzie oba parametry s a nieznane. Wtedy dla zweryfikowania hipotezy zerowej H o : σ = σ o

7 172 Wstȩp do statystyki matematycznej wykorzystamy styatystykȩ Natomiast hipoteza alternatywna H 1 χ 2 = ns2 σ 2. i obszar krytyczny maj a wtedypostać: H 1 : σ>σ o, (ponieważ σ>0), Q =(χ 2 α, + ), gdzie przy za lożeniu hipotezy zerowej statystyka χ 2 o = ns2 σ 2 o ma rozk lad chi kwadrat o n 1 stopniach swobody, a χ 2 α równania P ({ω Ω : χ 2 o (ω) >χ2 α })=α. jest rozwi azaniem Stosown a symulacjȩ przeprowadzimy, wykorzystuj ac wyniki z Przyk ladu Dostaliśmy tam wówczas σ 2 (0,0002, 0,267), s 2 =0,1, α =0,1. Przeprowadźmy test dla środka tego przedzia lu, tzn. niech H o : σ =0,366 przeciwko H 1 : σ>0,366. Ponieważ χ 2 α =1,0636, wiȩc Q =(1,0636, + ). Ale χ 2 obs = 50,0377 =0,515 / Q, 0,366 co pokazuje, że nie ma powodów odrzucać takiegowyboru. Bardzo czȩsto spotykamy siȩ z problemem potrzeby porównania ze sob a dwóch różnych populacji generalnych. Możemy na przyk lad mieć do czynienia z populacj a ludzi chorych i zdrowych, ludzi czynnych zawodowo i emerytów itd. Chcielibyśmy takie populacje ze sob a porównaćpodk atem wyróżnionej cechy, na przyk lad w drugiej sytuacji może ni a być preferencja wyborcza, któr a oznaczymy przez X. Zbudujemy model statystyczny dla takiej sytuacji. W modelu tym zak lada siȩ, że na przestrzeni probabilistycznej (Ω, Σ,P) mamy dwie zmienne losowe X i Y,których rozk lady opisuj a cechȩ X dla populacji pierwszej i drugiej. Pobieramy materia l statystyczny z obu populacji w ten sposób, że otrzymane próby proste s a stochastycznie niezależne i maj a postać: (x 1,x 2,...,x n )=(X 1,X 2,...,X n )(ω o )

8 6.4 Podstawowe metody statystyczne 173 dla pierwszej populacji i dla populacji drugiej, gdzie (y 1,y 2,...,y m )=(Y 1,Y 2,...,Y m )(ω o ) d(x j )=d(x), d(y i )=d(y ) dla wszystkich i oraz j. Dla uproszczenia za lóżmy, że obie populacje maj a rozk lad normalny, czyli X, Y N(m k,σk 2 ), k = 1, 2. Interesuje nas kwestia czy ich średnie s a sobierówne, czyli czy m 1 = m 2? Stawiamy wiȩc hipotezȩ zerow a H o : m 1 = m 2 przeciwko hipotezie alternatywnej H 1 : m 1 m 2. Aby wyznaczyć obszar krytyczny Q ustalamy poziom istotności α i bierzemy statystykȩ testow a określon a wzorem Z = X Y, σ1 2 n + σ2 2 m o ile obie wariancje s a znane. Można pokazać, że przy za lożeniu hipotezy zerowej statystyka Z ma standardowy rozk lad normalny (patrz np. [4]). Wtedy obszar krytyczny jest obszarem dwustronnym opisanym równaniem P ({ω Ω: Z(ω) Q}) =α. W sytuacji kiedy wariancje nie s a znane i różne, oraz d lugości obu prób s a duże (co najmnie równe 30), to statystyka testowa ma postać Z = X Y, S1 2 n + S2 2 m gdzie S1 2 i S2 2 s a wariancjami teoretycznymi z próby prostej dla obu populacji generalnych. Wtedy przy za lożeniu hipotezy zerowej statystyka Z ma standardowy rozk lad normalny i na tej podstawie możemy wyznaczyć obszar krytyczny. W przypadku kiedy 2 n, m < 30 i wariancje nie s a znane oraz s a różne, to korzystamy ze statystyki bȩd acej modyfikacj a statystyki zdefiniowanej powyżej i wygl adaj acej nastȩpuj aco X Y Z =, S 2 1 n 1 + S2 2 m 1 która przy za lożeniu hipotezy zerowej ma rozk lad t Studenta o s stopniach swobody, gdzie s = ( ( ) S S2 2 n 1 m 1 ) 2 ( ) 2 S 1 2 S 2 2 n 1 m 1 + n 1 m 1.

9 174 Wstȩp do statystyki matematycznej Wreszcie możemy mieć do czynienia z sytuacj a kiedy wariancje s a jednakowe i nie s a znane. Jeśli obie próby proste s a duże (co najmnie licz a po30elementów), to dla wyznaczenia obszaru krytycznego używamy statystyki Z = X Y ns ms 2 2 nm, która przy za lożeniu hipotezy zerowej też ma standardowy rozk lad normalny albo w przypadku kiedy próby s a krótkie ( 30) bierzemy Z = X Y ns 2 1 +ms2 2 n+m 2 ( 1 n + 1 m ), która przyza lożeniu hipotezy zerowej ma rozk lad t Studenta o n+m 2 stopniach swobody. Przyk lad Wdwóch losowo wybranych firmach zbadano efektywny czas pracy jej pracowników, a wiȩc ten czas, który poświȩcaj a na wykonywanie tylko swoich czynności przewidzianych zakresem uprawnień. W obu z badanych firm rozk lad efektywnie wykorzystywanego czasu jest normalny z odchyleniem standardowym równym 1, 1 godzinȩ. Z badań wynika,że średni efektywny czas pracy w 25 elementowej próbie pracowników zatrudnionych w pierwszej firmie wyniós l 6, 5 godzin, a w 20 elementowej próbie wśród zatrudnionych w drugiej 5, 9 godzin. Na poziomie istotności α =0, 05 należy zweryfikować hipotezȩ, że średnie efektywne czasy pracy w obu firmach s a jednakowe. Zza lożenia rozk lady X i Y dla obu populacji generalnych s a normalne,o wartoścach oczekiwanych równych odpowiednio m 1 i m 2 oraz o jednakowych dyspersjach σ 1 = σ 2 =1, 1. Ponadto mamy dwie niezależne próby proste o liczebności n =25i m =20mniejsze od 30. Wykorzystamy statystykȩ testow apostaci Z = X Y ns 2 1 +ms2 2 n+m 2 ( 1 n + 1 m ), która przy za lożeniu hipotezy zerowej ma rozk lad t Studenta o n + m 2=43 stopniach swobody. Z tabeli rozk ladu t Studenta wynika, że dla przyjȩtego stopnia poziomu istotności α =0, 05 P ({ω Ω: t(ω) t α,m+n 2 })=α daje wartość krytyczn a t α,m+n 2 =2, 042 i Q =(, 2, 042) (2, 042, + ). Z drugiej strony wartość zaobserwowana przyjȩtej statystyki t obs przy za lożeniu

10 6.4 Podstawowe metody statystyczne 175 hipotezy zerowej H o : m 1 = m 2 wynosi t obs = 6, 5 5, 9 = 1, (1,1) (1,1) 2 (0, , 05) 43 Ponieważ H 1 : m 1 m 2 oraz t obs / Q, hipoteza zweryfikowana zosta la negatywnie, co oznacza, że nie mamy powodów do jej odrzucenia. Parametryczne testy istotności, jak pewnie zauważyliśmy na ogó l odnosz a siȩ do populacji normalnych. W sytuacji kiedy rozk lad cechy X populacji generalnej jest dwumianowy, to bȩdziemy mówili o testach dla frekwencji. W tym przypadku bȩdziemy weryfikowali hipotezȩ zerow a H o : p = p o przeciwko hipotezie alternatywnej H 1,która może mieć jedn a z trzech postaci: p p o, p>p o, p<p o. Oczywiście parametr p oznacza tutaj prawdopodobieństwo teoretyczne pojawienia siȩ sukcesu, zwane też frekwencj a. Ponieważ w metodzie stosuje siȩ CTG, bȩdziemy też zak ladali, że pobrana próba prosta jest dostatecznie duża, czyli że n 100. W tym przypadku statystyka testowa ma postać Z = X n p S n. Przy za lożeniu hipotezy zerowej, z CTG jest rozk lad jest asyptotycznie standardowym rozk ladem normalnym. Wtedy wartość zaobserwowan a dlapróby prostej obliczymy ze wzoru gdzie z obs = Z(ω o )= m poqo n p n o, p o + q o =1,moznacza liczbȩ sukcesów. W takim razie narzȩdzie to pozwala nam analizować zagadnienia zasygnalizowane w przyk ladzie Prześledzimy to na nastȩpuj acym przyk ladzie Przyk lad Na jednej z uczelni zrobiono badania na temat stopnia przygotowania studentów do sesji egzaminacyjnej. W tym celu wylosowano próbȩ prost a z lożon a ze 150 studentów i stwierdzono, że 45 spośród nich zda lo wszystkie egzaminy w pierwszym terminie. Na poziomie istotności 0, 05 należy zweryfikować hipotezȩ, że mniej aniżeli trzecia czȩść studentów zdaje na tej uczelni wszystkie egzaminy w pierwszym terminie. Niech X oznacza cechȩ naszej populacji generalnej określaj ac a liczbȩzdaj acych wszystkie egzaminy. Z za lożenia X B(m, p), gdzien = 150 i p jest nieznane. Z

11 176 Wstȩp do statystyki matematycznej trści wynika, że H o : p = 1 przeciwko hipotezie H 3 1: p< 1. Aby zweryfikować tȩ 3 hipotezȩ zastsujemy test dla frekwencji. Wtedy z obs = = 0, 346. Tymczasem lewostronny obszar krytyczny Q = (, n α ), gdzie n α jest rozwi azaniem równania P ({ω Ω: X (ω n α )}) =α równoważnego równaniu 2(1 Φ(n α )) = α dla α =0, 05 ma postać Q =(, 2, 23). Ponieważ z obs / Q, wiȩc wnosimy, że nie ma powodów do odrzucenia hipotesy zerowej. Należy wiȩ przyj ać, że co najmniej trzecia czȩść studentów badanej uczelni zdaje wszystkie egzaminy w pierwszym terminie. Zaprezentujemy teraz podstawowe metody nieparametrycznych testów istotności. Na ogó l testy te dotycz a trzech kwestii: 1. rozstrzygniȩcia hipotezy czy rozk lad cechy X populacji generalnej jest określonego typu F.Mówimy wtedy o tzw. teście zgodności, 2. zbadania, czy pobrany materia l statystyczny spe lnia wymogi określone przez definicjȩ próby prostej. Takie testy nazywamy testami losowości, 3. zbadanie wspó lzależności dwóch i wiȩcej cech tej samej populacji. Mówimy wtedy o testach niezależności. Test zgodności chi kwadrat (χ 2 ) Pearsona. Niech (x 1,...,x n )=(X 1,...,X n )(ω o )bȩdzie prób a prost a cechy X populacji generalnej. Stawiamy hipotezȩ na temat nieznanego rozk ladu F cechy X w postaci H o : F = F o,dlapewnegorozk ladu F o o k parametrach. Wtedy hipoteza alternatywna H 1 oznacza, że dystrybuanta F jest inna aniżeli F o, czyli H 1 : F F o. Dla celów weryfikacji hipotezy H o ustalamy poziom istotności α (na ogó l α =0, 05) oraz za statystykȩ testow a bierzemy statystykȩ χ 2 Pearsona, o której wiȩcej powiemy za chwilȩ. Najpierw musimy zwrócić uwagȩ na kilka faktów zwi azanych ze struktur a próby prostej. Przede wszystkim należy podkreślić, że test zgodności χ 2 pearsona ma zastosowanie zarówno dla rozk ladów ci ag lych jak i dyskretnych. Poniżej

166 Wstęp do statystyki matematycznej

166 Wstęp do statystyki matematycznej 166 Wstęp do statystyki matematycznej Etap trzeci realizacji procesu analizy danych statystycznych w zasadzie powinien rozwiązać nasz zasadniczy problem związany z identyfikacją cechy populacji generalnej

Bardziej szczegółowo

176 Wstȩp do statystyki matematycznej = 0, 346. uczelni zdaje wszystkie egzaminy w pierwszym terminie.

176 Wstȩp do statystyki matematycznej = 0, 346. uczelni zdaje wszystkie egzaminy w pierwszym terminie. 176 Wtȩp do tatytyki matematycznej trści wynika że H o : p 1 przeciwko hipotezie H 3 1: p< 1. Aby zweryfikować tȩ 3 hipotezȩ zatujemy tet dla frekwencji. Wtedy z ob 45 1 150 3 1 3 2 3 150 0 346. Tymczaem

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych. Wnioskowanie statystyczne

Testowanie hipotez statystycznych. Wnioskowanie statystyczne Testowanie hipotez statystycznych Wnioskowanie statystyczne Hipoteza statystyczna to dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej (jego postaci funkcyjnej lub wartości parametrów). Hipotezy

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna dla leśników

Statystyka matematyczna dla leśników Statystyka matematyczna dla leśników Wydział Leśny Kierunek leśnictwo Studia Stacjonarne I Stopnia Rok akademicki 03/04 Wykład 5 Testy statystyczne Ogólne zasady testowania hipotez statystycznych, rodzaje

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów. Wrocław, r

Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów. Wrocław, r Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów Wrocław, 18.03.2016r Plan wykładu: 1. Testowanie hipotez 2. Etapy testowania hipotez 3. Błędy 4. Testowanie wielokrotne 5. Estymacja parametrów

Bardziej szczegółowo

SIGMA KWADRAT. Weryfikacja hipotez statystycznych. Statystyka i demografia CZWARTY LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO-DEMOGRAFICZNY

SIGMA KWADRAT. Weryfikacja hipotez statystycznych. Statystyka i demografia CZWARTY LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO-DEMOGRAFICZNY SIGMA KWADRAT CZWARTY LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO-DEMOGRAFICZNY Weryfikacja hipotez statystycznych Statystyka i demografia PROJEKT DOFINANSOWANY ZE ŚRODKÓW NARODOWEGO BANKU POLSKIEGO URZĄD STATYSTYCZNY

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów stat. Hipoteza statystyczna Dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych.

Testowanie hipotez statystycznych. Bioinformatyka Wykład 4 Wrocław, 17 października 2011 Temat. Weryfikacja hipotez statystycznych dotyczących wartości oczekiwanej w dwóch populacjach o rozkładach normalnych. Model 3. Porównanie średnich

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA STATYSTYKA MATEMATYCZNA 1. Wykład wstępny. Teoria prawdopodobieństwa i elementy kombinatoryki. Zmienne losowe i ich rozkłady 3. Populacje i próby danych, estymacja parametrów 4. Testowanie hipotez statystycznych

Bardziej szczegółowo

Statystyka i opracowanie danych- W 8 Wnioskowanie statystyczne. Testy statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych.

Statystyka i opracowanie danych- W 8 Wnioskowanie statystyczne. Testy statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych. Statystyka i opracowanie danych- W 8 Wnioskowanie statystyczne. Testy statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Hipotezy i Testy statystyczne Każde

Bardziej szczegółowo

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyczna teoria korelacji i regresji (1) Jest to dział statystyki zajmujący

Bardziej szczegółowo

Spis treści 3 SPIS TREŚCI

Spis treści 3 SPIS TREŚCI Spis treści 3 SPIS TREŚCI PRZEDMOWA... 1. WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE JAKO DYSCYPLINA MATEMATYCZNA... Metody statystyczne w analizie i prognozowaniu zjawisk ekonomicznych... Badania statystyczne podstawowe

Bardziej szczegółowo

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu 19 kwietnia 2011 Testy dla dwóch grup 1 Analiza danych dla dwóch grup: test t-studenta dla dwóch grup sparowanych; test t-studenta dla dwóch grup niezależnych (jednakowe wariancje) test Z dla dwóch grup

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez. Hipoteza prosta zawiera jeden element, np. H 0 : θ = 2, hipoteza złożona zawiera więcej niż jeden element, np. H 0 : θ > 4.

Testowanie hipotez. Hipoteza prosta zawiera jeden element, np. H 0 : θ = 2, hipoteza złożona zawiera więcej niż jeden element, np. H 0 : θ > 4. Testowanie hipotez Niech X = (X 1... X n ) będzie próbą losową na przestrzeni X zaś P = {P θ θ Θ} rodziną rozkładów prawdopodobieństwa określonych na przestrzeni próby X. Definicja 1. Hipotezą zerową Θ

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych cd.

Testowanie hipotez statystycznych cd. Temat Testowanie hipotez statystycznych cd. Kody znaków: żółte wyróżnienie nowe pojęcie pomarańczowy uwaga kursywa komentarz 1 Zagadnienia omawiane na zajęciach 1. Przykłady testowania hipotez dotyczących:

Bardziej szczegółowo

Statystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski

Statystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski Statystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski Książka jest nowoczesnym podręcznikiem przeznaczonym dla studentów uczelni i wydziałów ekonomicznych. Wykład podzielono na cztery części. W pierwszej

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO. Wykład 2

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO. Wykład 2 STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład Parametry przedziałowe rozkładów ciągłych określane na podstawie próby (przedziały ufności) Przedział ufności dla średniej s X t( α;n 1),X + t( α;n 1) n s n t (α;

Bardziej szczegółowo

Wyniki badań reprezentatywnych są zawsze stwierdzeniami hipotetycznymi, o określonych granicach niepewności

Wyniki badań reprezentatywnych są zawsze stwierdzeniami hipotetycznymi, o określonych granicach niepewności Wyniki badań reprezentatywnych są zawsze stwierdzeniami hipotetycznymi, o określonych granicach niepewności Statystyka indukcyjna pozwala kontrolować i oszacować ryzyko popełnienia błędu statystycznego

Bardziej szczegółowo

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com Analiza korelacji i regresji KORELACJA zależność liniowa Obserwujemy parę cech ilościowych (X,Y). Doświadczenie jest tak pomyślane, aby obserwowane pary cech X i Y (tzn i ta para x i i y i dla różnych

Bardziej szczegółowo

TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Przez hipotezę statystyczną rozumiemy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu interesującej nas

TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Przez hipotezę statystyczną rozumiemy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu interesującej nas TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Przez hipotezę statystyczną rozumiemy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu interesującej nas cechy. Hipotezy dzielimy na parametryczne i nieparametryczne.

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2

STATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2 STATYSTYKA Rafał Kucharski Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2 Karl Popper... no matter how many instances of white swans we may have observed, this does not

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych.

Testowanie hipotez statystycznych. Bioinformatyka Wykład 9 Wrocław, 5 grudnia 2011 Temat. Test zgodności χ 2 Pearsona. Statystyka χ 2 Pearsona Rozpatrzmy ciąg niezależnych zmiennych losowych X 1,..., X n o jednakowym dyskretnym rozkładzie

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta

Bardziej szczegółowo

zbieranie porządkowanie i prezentacja (tabele, wykresy) analiza interpretacja (wnioskowanie statystyczne)

zbieranie porządkowanie i prezentacja (tabele, wykresy) analiza interpretacja (wnioskowanie statystyczne) STATYSTYKA zbieranie porządkowanie i prezentacja (tabele, wykresy) analiza interpretacja (wnioskowanie statystyczne) DANYCH STATYSTYKA MATEMATYCZNA analiza i interpretacja danych przy wykorzystaniu metod

Bardziej szczegółowo

RÓWNOWAŻNOŚĆ METOD BADAWCZYCH

RÓWNOWAŻNOŚĆ METOD BADAWCZYCH RÓWNOWAŻNOŚĆ METOD BADAWCZYCH Piotr Konieczka Katedra Chemii Analitycznej Wydział Chemiczny Politechnika Gdańska Równoważność metod??? 2 Zgodność wyników analitycznych otrzymanych z wykorzystaniem porównywanych

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji

Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji Statystyka dla jakości produktów i usług Six sigma i inne strategie Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji StatSoft Polska Wybrane zagadnienia analizy korelacji Przy analizie zjawisk i procesów stanowiących

Bardziej szczegółowo

Rozkłady statystyk z próby

Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Przypuśćmy, że wykonujemy serię doświadczeń polegających na 4 krotnym rzucie symetryczną kostką do gry, obserwując liczbę wyrzuconych oczek Nr kolejny

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych Przykład. Producent pewnych detali twierdzi, że wadliwość jego produkcji nie przekracza 2%. Odbiorca pewnej partii tego produktu chce sprawdzić, czy może wierzyć producentowi.

Bardziej szczegółowo

WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE

WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE STATYSTYKA WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE ESTYMACJA oszacowanie z pewną dokładnością wartości opisującej rozkład badanej cechy statystycznej. WERYFIKACJA HIPOTEZ sprawdzanie słuszności przypuszczeń dotyczących

Bardziej szczegółowo

Rozkłady zmiennych losowych

Rozkłady zmiennych losowych Rozkłady zmiennych losowych Wprowadzenie Badamy pewną zbiorowość czyli populację pod względem występowania jakiejś cechy. Pobieramy próbę i na podstawie tej próby wyznaczamy pewne charakterystyki. Jeśli

Bardziej szczegółowo

WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI TESTOWANIE HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH

WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI TESTOWANIE HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI TESTOWANIE HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH Co to są hipotezy statystyczne? Hipoteza statystyczna to dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej. Dzielimy je

Bardziej szczegółowo

Analiza wariancji. dr Janusz Górczyński

Analiza wariancji. dr Janusz Górczyński Analiza wariancji dr Janusz Górczyński Wprowadzenie Powiedzmy, że badamy pewną populację π, w której cecha Y ma rozkład N o średniej m i odchyleniu standardowym σ. Powiedzmy dalej, że istnieje pewien czynnik

Bardziej szczegółowo

Dokładne i graniczne rozkłady statystyk z próby

Dokładne i graniczne rozkłady statystyk z próby Dokładne i graniczne rozkłady statystyk z próby Przypomnijmy Populacja Próba Wielkość N n Średnia Wariancja Odchylenie standardowe 4.2 Rozkład statystyki Mówimy, że rozkład statystyki (1) jest dokładny,

Bardziej szczegółowo

Z poprzedniego wykładu

Z poprzedniego wykładu PODSTAWY STATYSTYKI 1. Teoria prawdopodobieństwa i elementy kombinatoryki 2. Zmienne losowe i ich rozkłady 3. Populacje i próby danych, estymacja parametrów 4. Testowanie hipotez 5. Testy parametryczne

Bardziej szczegółowo

ODRZUCANIE WYNIKÓW POJEDYNCZYCH POMIARÓW

ODRZUCANIE WYNIKÓW POJEDYNCZYCH POMIARÓW ODRZUCANIE WYNIKÓW OJEDYNCZYCH OMIARÓW W praktyce pomiarowej zdarzają się sytuacje gdy jeden z pomiarów odstaje od pozostałych. Jeżeli wykorzystamy fakt, że wyniki pomiarów są zmienną losową opisywaną

Bardziej szczegółowo

Cechy X, Y są dowolnego typu: Test Chi Kwadrat niezależności. Łączny rozkład cech X, Y jest normalny: Test współczynnika korelacji Pearsona

Cechy X, Y są dowolnego typu: Test Chi Kwadrat niezależności. Łączny rozkład cech X, Y jest normalny: Test współczynnika korelacji Pearsona Badanie zależności między cechami Obserwujemy dwie cechy: X oraz Y Obiekt (X, Y ) H 0 : Cechy X oraz Y są niezależne Próba: (X 1, Y 1 ),..., (X n, Y n ) Cechy X, Y są dowolnego typu: Test Chi Kwadrat niezależności

Bardziej szczegółowo

Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA (wykład 2) Dariusz Gozdowski

Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA (wykład 2) Dariusz Gozdowski Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA (wykład ) Dariusz Gozdowski Katedra Doświadczalnictwa i Bioinformatyki Wydział Rolnictwa i Biologii SGGW Weryfikacja (testowanie) hipotez statystycznych

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA wykład 5-6

STATYSTYKA wykład 5-6 TATYTYKA wykład 5-6 Twierdzenia graniczne Rozkłady statystyk z próby Wanda Olech Twierdzenia graniczne Jeżeli rozpatrujemy ciąg zmiennych losowych {X ; X ;...; X n }, to zdarza się, że ich rozkłady przy

Bardziej szczegółowo

Test lewostronny dla hipotezy zerowej:

Test lewostronny dla hipotezy zerowej: Poznajemy testowanie hipotez statystycznych w środowisku R Zajęcia z dnia 11 maja 2011 roku Najpierw teoria TESTY ISTOTNOŚCI WARTOŚCI ŚREDNIEJ W POPULACJI GENERALNEJ gdy znana jest wariancja!!! Test prawostronny

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna i ekonometria

Statystyka matematyczna i ekonometria Statystyka matematyczna i ekonometria prof. dr hab. inż. Jacek Mercik B4 pok. 55 jacek.mercik@pwr.wroc.pl (tylko z konta studenckiego z serwera PWr) Konsultacje, kontakt itp. Strona WWW Elementy wykładu.

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: y t. X 1 t. Tabela 1.

Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: y t. X 1 t. Tabela 1. tel. 44 683 1 55 tel. kom. 64 566 811 e-mail: biuro@wszechwiedza.pl Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: gdzie: y t X t y t = 1 X 1

Bardziej szczegółowo

Gdy n jest duże, statystyka ta (zwana statystyką chikwadrat), przy założeniu prawdziwości hipotezy H 0, ma w przybliżeniu rozkład χ 2 (k 1).

Gdy n jest duże, statystyka ta (zwana statystyką chikwadrat), przy założeniu prawdziwości hipotezy H 0, ma w przybliżeniu rozkład χ 2 (k 1). PRZYKŁADY TESTÓW NIEPARAMETRYCZNYCH. Test zgodności χ 2. Ten test służy testowaniu hipotezy, czy rozważana zmienna ma pewien ustalony rozkład, czy też jej rozkład różni się od tego ustalonego. Tym testem

Bardziej szczegółowo

Matematyka i statystyka matematyczna dla rolników w SGGW WYKŁAD 9. TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH cd.

Matematyka i statystyka matematyczna dla rolników w SGGW WYKŁAD 9. TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH cd. WYKŁAD 9 TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH cd. Było: Przykład 1. Badano krąŝek o wymiarach zbliŝonych do monety jednozłotowej ze stronami oznaczonymi: A, B. NaleŜy ustalić, czy krąŝek jest symetryczny?

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych

Testowanie hipotez statystycznych Testowanie hipotez statystycznych Hipotezą statystyczną jest dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej (jego postaci funkcyjnej lub wartości parametrów). Prawdziwość tego przypuszczenia

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez cz. I

Testowanie hipotez cz. I Wykład 11 Testowanie hipotez cz. I TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Hipoteza statystyczna jest to przypuszczenie dotyczące nieznanej własności rozkładu prawdopodobieństwa badanej cechy populacji. W zadaniach

Bardziej szczegółowo

1. szereg wyliczający (szczegółowy) - wyniki są uporządkowane wyłącznie według wartości badanej cechy, np. od najmniejszej do największej

1. szereg wyliczający (szczegółowy) - wyniki są uporządkowane wyłącznie według wartości badanej cechy, np. od najmniejszej do największej 1 Statystyka opisowa Statystyka opisowa zajmuje się porządkowaniem danych i wstępnym ich opracowaniem. Szereg statystyczny - to zbiór wyników obserwacji jednostek według pewnej cechy 1. szereg wyliczający

Bardziej szczegółowo

ALGORYTMICZNA I STATYSTYCZNA ANALIZA DANYCH

ALGORYTMICZNA I STATYSTYCZNA ANALIZA DANYCH 1 ALGORYTMICZNA I STATYSTYCZNA ANALIZA DANYCH WFAiS UJ, Informatyka Stosowana II stopień studiów 2 Wnioskowanie statystyczne dla zmiennych numerycznych Porównywanie dwóch średnich Boot-strapping Analiza

Bardziej szczegółowo

ESTYMACJA. Przedział ufności dla średniej

ESTYMACJA. Przedział ufności dla średniej ESTYMACJA Przedział ufności dla średniej W grupie 900 losowo wybranych pracowników przedsiębiorstwa średnia liczba dni nieobecności w pracy wynosiła 30, a odchylenie standardowe 3 dni. a) Przyjmując współczynnik

Bardziej szczegółowo

Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich. Wrocław, 5 grudnia 2014

Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich. Wrocław, 5 grudnia 2014 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich Wrocław, 5 grudnia 2014 Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja Przedziałem ufności dla paramertu

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Laboratorium III: Testy statystyczne. Inżynieria biomedyczna, I rok, semestr letni 2013/2014 Analiza danych pomiarowych

Spis treści. Laboratorium III: Testy statystyczne. Inżynieria biomedyczna, I rok, semestr letni 2013/2014 Analiza danych pomiarowych 1 Laboratorium III: Testy statystyczne Spis treści Laboratorium III: Testy statystyczne... 1 Wiadomości ogólne... 2 1. Krótkie przypomnienie wiadomości na temat testów statystycznych... 2 1.1. Weryfikacja

Bardziej szczegółowo

b) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań jest co najwyżej jedno o dawce 15 mg. Wówczas:

b) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań jest co najwyżej jedno o dawce 15 mg. Wówczas: ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zadanie A1. Można założyć, że przy losowaniu trzech kul jednocześnie kolejność ich wylosowania nie jest istotna. A więc: Ω = 20 3. a) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań

Bardziej szczegółowo

Kilka uwag o testowaniu istotności współczynnika korelacji

Kilka uwag o testowaniu istotności współczynnika korelacji 341 Zeszyty Naukowe Wyższej Szkoły Bankowej we Wrocławiu Nr 20/2011 Piotr Peternek Uniwersytet Ekonomiczny we Wrocławiu Marek Kośny Uniwersytet Ekonomiczny we Wrocławiu Kilka uwag o testowaniu istotności

Bardziej szczegółowo

Zadanie Punkty Ocena

Zadanie Punkty Ocena Statystyka matematyczna Test przykładowy na zaliczenie laboratorium / ćwiczeń PROSZĘ NIE ODWRACAĆ KARTKI PRZED ROZPOCZĘCIEM TESTU! Wskazówki: 1. Wybierz zadania, za które w sumie możesz otrzymać 30 punktów

Bardziej szczegółowo

Recenzenci: prof. dr hab. Henryk Domański dr hab. Jarosław Górniak

Recenzenci: prof. dr hab. Henryk Domański dr hab. Jarosław Górniak Recenzenci: prof. dr hab. Henryk Domański dr hab. Jarosław Górniak Redakcja i korekta Bogdan Baran Projekt graficzny okładki Katarzyna Juras Copyright by Wydawnictwo Naukowe Scholar, Warszawa 2011 ISBN

Bardziej szczegółowo

laboratoria 24 zaliczenie z oceną

laboratoria 24 zaliczenie z oceną Wydział: Psychologia Nazwa kierunku kształcenia: Psychologia Rodzaj przedmiotu: podstawowy Opiekun: dr Andrzej Tarłowski Poziom studiów (I lub II stopnia): Jednolite magisterskie Tryb studiów: Niestacjonarne

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 12. (ii) najstarszy wspó lczynnik wielomianu f jest elementem odwracalnym w P. Dowód. Niech st(f) = n i niech a bedzie

Wyk lad 12. (ii) najstarszy wspó lczynnik wielomianu f jest elementem odwracalnym w P. Dowód. Niech st(f) = n i niech a bedzie 1 Dzielenie wielomianów Wyk lad 12 Ważne pierścienie Definicja 12.1. Niech P bedzie pierścieniem, który może nie być dziedzina ca lkowitości. Powiemy, że w pierścieniu P [x] jest wykonalne dzielenie z

Bardziej szczegółowo

LOGIKA ALGORYTMICZNA

LOGIKA ALGORYTMICZNA LOGIKA ALGORYTMICZNA 0.0. Relacje. Iloczyn kartezjański: A B := (a, b) : a A i b B} (zak ladamy, że (x, y) i (u, v) s a równe wtedy i tylko wtedy gdy x = u i y = v); A n := (x 1,..., x n ) : x i A}; R

Bardziej szczegółowo

Elementy statystyki opisowej, podstawowe pojęcia statystyki matematycznej

Elementy statystyki opisowej, podstawowe pojęcia statystyki matematycznej Elementy statystyki opisowej, podstawowe pojęcia statystyki matematycznej Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych etc

Testowanie hipotez statystycznych etc Testowanie hipotez statystycznych etc Definicje Testy średniej Test Pearsona Test Kołmogorowa-Smirnowa Test znaków Teoria testów Analiza wariancji Krzywe regresji Definicje Parametryczny (test, hipoteza,

Bardziej szczegółowo

Dyskretne modele populacji

Dyskretne modele populacji Dyskretne modele populacji Micha l Machtel Adam Soboczyński 17 stycznia 2007 Typeset by FoilTEX Dyskretne modele populacji [1] Wst ep Dyskretny opis modelu matematycznego jest dobry dla populacji w których

Bardziej szczegółowo

Opis przedmiotu: Probabilistyka I

Opis przedmiotu: Probabilistyka I Opis : Probabilistyka I Kod Nazwa Wersja TR.SIK303 Probabilistyka I 2012/13 A. Usytuowanie w systemie studiów Poziom Kształcenia Stopień Rodzaj Kierunek studiów Profil studiów Specjalność Jednostka prowadząca

Bardziej szczegółowo

IV WYKŁAD STATYSTYKA. 26/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15

IV WYKŁAD STATYSTYKA. 26/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 IV WYKŁAD STATYSTYKA 26/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 WYKŁAD 4 Populacja generalna, próba, losowanie próby, estymatory Statystyka (populacja generalna, populacja próbna, próbka mała, próbka duża, reprezentatywność,

Bardziej szczegółowo

Narzędzia statystyczne i ekonometryczne. Wykład 1. dr Paweł Baranowski

Narzędzia statystyczne i ekonometryczne. Wykład 1. dr Paweł Baranowski Narzędzia statystyczne i ekonometryczne Wykład 1 dr Paweł Baranowski Informacje organizacyjne Wydział Ek-Soc, pok. B-109 pawel@baranowski.edu.pl Strona: baranowski.edu.pl (w tym materiały) Konsultacje:

Bardziej szczegółowo

KARTA KURSU. (do zastosowania w roku akademickim 2015/16) Kod Punktacja ECTS* 3. Dr hab. Tadeusz Sozański

KARTA KURSU. (do zastosowania w roku akademickim 2015/16) Kod Punktacja ECTS* 3. Dr hab. Tadeusz Sozański KARTA KURSU (do zastosowania w roku akademickim 2015/16) Nazwa Statystyka 2 Nazwa w j. ang. Statistics 2 Kod Punktacja ECTS* 3 Koordynator Dr hab. Tadeusz Sozański (koordynator, konwersatorium) Zespół

Bardziej szczegółowo

Wykorzystanie testu t dla pojedynczej próby we wnioskowaniu statystycznym

Wykorzystanie testu t dla pojedynczej próby we wnioskowaniu statystycznym Wiesława MALSKA Politechnika Rzeszowska, Polska Anna KOZIOROWSKA Uniwersytet Rzeszowski, Polska Wykorzystanie testu t dla pojedynczej próby we wnioskowaniu statystycznym Wstęp Wnioskowanie statystyczne

Bardziej szczegółowo

POLITECHNIKA WARSZAWSKA

POLITECHNIKA WARSZAWSKA POLITECHNIKA WARSZAWSKA WYDZIAŁ BUDOWNICTWA, MECHANIKI I PETROCHEMII INSTYTUT INŻYNIERII MECHANICZNEJ STATYSTYCZNA KONTROLA PROCESU (SPC) Ocena i weryfikacja statystyczna założeń przyjętych przy sporządzaniu

Bardziej szczegółowo

Testy nieparametryczne

Testy nieparametryczne Testy nieparametryczne Testy nieparametryczne możemy stosować, gdy nie są spełnione założenia wymagane dla testów parametrycznych. Stosujemy je również, gdy dane można uporządkować według określonych kryteriów

Bardziej szczegółowo

7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej

7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej 7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej Definicja 1 n-elementowa losowa próba prosta nazywamy ciag n niezależnych zmiennych losowych o jednakowych rozkładach

Bardziej szczegółowo

Liczba godzin Punkty ECTS Sposób zaliczenia. ćwiczenia 30 zaliczenie z oceną. laboratoria 30 zaliczenie z oceną

Liczba godzin Punkty ECTS Sposób zaliczenia. ćwiczenia 30 zaliczenie z oceną. laboratoria 30 zaliczenie z oceną Wydział: Psychologia Nazwa kierunku kształcenia: Psychologia Rodzaj przedmiotu: podstawowy Opiekun: dr Andrzej Tarłowski Poziom studiów (I lub II stopnia): Jednolite magisterskie Tryb studiów: Stacjonarne

Bardziej szczegółowo

Dyskretne modele populacji

Dyskretne modele populacji Dyskretne modele populacji Micha l Machtel Adam Soboczyński 19 stycznia 2007 Typeset by FoilTEX Dyskretne modele populacji [1] Wst ep Dyskretny opis modelu matematycznego jest dobry dla populacji w których

Bardziej szczegółowo

Wykład 4: Wnioskowanie statystyczne. Podstawowe informacje oraz implementacja przykładowego testu w programie STATISTICA

Wykład 4: Wnioskowanie statystyczne. Podstawowe informacje oraz implementacja przykładowego testu w programie STATISTICA Wykład 4: Wnioskowanie statystyczne Podstawowe informacje oraz implementacja przykładowego testu w programie STATISTICA Idea wnioskowania statystycznego Celem analizy statystycznej nie jest zwykle tylko

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez. 1 Testowanie hipotez na temat średniej

Testowanie hipotez. 1 Testowanie hipotez na temat średniej Testowanie hipotez Poziom p Poziom p jest to najmniejszy poziom istotności α, przy którym możemy odrzucić hipotezę zerową dysponując otrzymaną wartością statystyki testowej. 1 Testowanie hipotez na temat

Bardziej szczegółowo

Monte Carlo, bootstrap, jacknife

Monte Carlo, bootstrap, jacknife Monte Carlo, bootstrap, jacknife Literatura Bruce Hansen (2012 +) Econometrics, ze strony internetowej: http://www.ssc.wisc.edu/~bhansen/econometrics/ Monte Carlo: rozdział 8.8, 8.9 Bootstrap: rozdział

Bardziej szczegółowo

Statystyka. Tematyka wykładów. Przykładowe pytania. dr Tomasz Giętkowski www.krajobraz.ukw.edu.pl. wersja 20.01.2013/13:40

Statystyka. Tematyka wykładów. Przykładowe pytania. dr Tomasz Giętkowski www.krajobraz.ukw.edu.pl. wersja 20.01.2013/13:40 Statystyka dr Tomasz Giętkowski www.krajobraz.ukw.edu.pl wersja 20.01.2013/13:40 Tematyka wykładów 1. Definicja statystyki 2. Populacja, próba 3. Skale pomiarowe 4. Miary położenia (klasyczne i pozycyjne)

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA Statistics. Inżynieria Środowiska. II stopień ogólnoakademicki

STATYSTYKA Statistics. Inżynieria Środowiska. II stopień ogólnoakademicki Załącznik nr 7 do Zarządzenia Rektora nr../12 z dnia.... 2012r. KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2012/13 STATYSTYKA

Bardziej szczegółowo

Adam Kirpsza Zastosowanie regresji logistycznej w studiach nad Unią Europejska. Anna Stankiewicz Izabela Słomska

Adam Kirpsza Zastosowanie regresji logistycznej w studiach nad Unią Europejska. Anna Stankiewicz Izabela Słomska Adam Kirpsza Zastosowanie regresji logistycznej w studiach nad Unią Europejska Anna Stankiewicz Izabela Słomska Wstęp- statystyka w politologii Rzadkie stosowanie narzędzi statystycznych Pisma Karla Poppera

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej

Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem

Bardziej szczegółowo

Wykład 10 (12.05.08). Testowanie hipotez w rodzinie rozkładów normalnych przypadek nieznanego odchylenia standardowego

Wykład 10 (12.05.08). Testowanie hipotez w rodzinie rozkładów normalnych przypadek nieznanego odchylenia standardowego Wykład 10 (12.05.08). Testowanie hipotez w rodzinie rozkładów normalnych przypadek nieznanego odchylenia standardowego Przykład Cena metra kwadratowego (w tys. zł) z dla 14 losowo wybranych mieszkań w

Bardziej szczegółowo

Przykład 1 ceny mieszkań

Przykład 1 ceny mieszkań Przykład ceny mieszkań Przykład ceny mieszkań Model ekonometryczny zaleŝności ceny mieszkań od metraŝu - naleŝy do klasy modeli nieliniowych. - weryfikację empiryczną modelu przeprowadzono na przykładzie

Bardziej szczegółowo

Może faktycznie ceny na Opolszczyźnie są wyższe niż w Polsce. Ceny na Opolszczyźnie są podobne, a akurat trafiliśmy na próbę droższych piekarni.

Może faktycznie ceny na Opolszczyźnie są wyższe niż w Polsce. Ceny na Opolszczyźnie są podobne, a akurat trafiliśmy na próbę droższych piekarni. Statystyczne testowanie hipotez: procedura, która pozwala ocenić hipotezę na temat parametru populacji w oparciu o statystykę próby. Zauważyliśmy, że ceny pieczywa w Opolu są wyższe niż gdzie indziej w

Bardziej szczegółowo

Pytanie: Kiedy do testowania hipotezy stosujemy rozkład normalny?

Pytanie: Kiedy do testowania hipotezy stosujemy rozkład normalny? Pytanie: Kiedy do testowania hipotezy stosujemy rozkład normalny? Gdy: badana cecha jest mierzalna (tzn. posiada rozkład ciągły); badana cecha posiada rozkład normalny; dysponujemy pojedynczym wynikiem;

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA DYSKRETNA - wyk lad 1 dr inż Krzysztof Bryś. Wprowadzenie

MATEMATYKA DYSKRETNA - wyk lad 1 dr inż Krzysztof Bryś. Wprowadzenie 1 MATEMATYKA DYSKRETNA - wyk lad 1 dr inż Krzysztof Bryś Wprowadzenie Istniej a dwa różne kryteria mówi ace, które narzȩdzia matematyczne należy zaliczyć do matematyki dyskretnej. Pierwsze definiuje matematykȩ

Bardziej szczegółowo

Krakowska Akademia im. Andrzeja Frycza Modrzewskiego. Karta przedmiotu. obowiązuje studentów, którzy rozpoczęli studia w roku akademickim 2012/2013

Krakowska Akademia im. Andrzeja Frycza Modrzewskiego. Karta przedmiotu. obowiązuje studentów, którzy rozpoczęli studia w roku akademickim 2012/2013 Krakowska Akademia im. Andrzeja Frycza Modrzewskiego Karta przedmiotu obowiązuje studentów, którzy rozpoczęli studia w roku akademickim 0/03 WydziałZarządzania i Komunikacji Społecznej Kierunek studiów:

Bardziej szczegółowo

Przedmowa Wykaz symboli Litery alfabetu greckiego wykorzystywane w podręczniku Symbole wykorzystywane w zagadnieniach teorii

Przedmowa Wykaz symboli Litery alfabetu greckiego wykorzystywane w podręczniku Symbole wykorzystywane w zagadnieniach teorii SPIS TREŚCI Przedmowa... 11 Wykaz symboli... 15 Litery alfabetu greckiego wykorzystywane w podręczniku... 15 Symbole wykorzystywane w zagadnieniach teorii mnogości (rachunku zbiorów)... 16 Symbole stosowane

Bardziej szczegółowo

ZALICZENIA. W celu uzyskania zaliczenia należy wybrać jeden z trzech poniższych wariantów I, II lub III

ZALICZENIA. W celu uzyskania zaliczenia należy wybrać jeden z trzech poniższych wariantów I, II lub III ZALICZENIA W celu uzyskania zaliczenia należy wybrać jeden z trzech poniższych wariantów I, II lub III 1 Wariant I. PROBLEM WŁASNY Sformułować własne zadanie statystyczne związane z własną pracą badawczą

Bardziej szczegółowo

Wykład 1. Podstawowe pojęcia Metody opisowe w analizie rozkładu cechy

Wykład 1. Podstawowe pojęcia Metody opisowe w analizie rozkładu cechy Wykład Podstawowe pojęcia Metody opisowe w analizie rozkładu cechy Zbiorowość statystyczna - zbiór elementów lub wyników jakiegoś procesu powiązanych ze sobą logicznie (tzn. posiadających wspólne cechy

Bardziej szczegółowo

1) Wprowadzenie; 2) Doświadczenia jednoczynnikowe; 3) Doświadczenia dwuczynnikowe; 4) Doświadczenia trójczynnikowe; 5) Badanie współzależności cech

1) Wprowadzenie; 2) Doświadczenia jednoczynnikowe; 3) Doświadczenia dwuczynnikowe; 4) Doświadczenia trójczynnikowe; 5) Badanie współzależności cech 1) Wprowadzenie; 2) Doświadczenia jednoczynnikowe; 3) Doświadczenia dwuczynnikowe; 4) Doświadczenia trójczynnikowe; 5) Badanie współzależności cech ilościowych; 6) Badanie zależności liniowej pomiędzy

Bardziej szczegółowo

POLITECHNIKA OPOLSKA

POLITECHNIKA OPOLSKA POLITECHNIKA OPOLSKA WYDZIAŁ MECHANICZNY Katedra Technologii Maszyn i Automatyzacji Produkcji Laboratorium Podstaw Inżynierii Jakości Ćwiczenie nr 4 Temat: Analiza korelacji i regresji dwóch zmiennych

Bardziej szczegółowo

Analizy wariancji ANOVA (analysis of variance)

Analizy wariancji ANOVA (analysis of variance) ANOVA Analizy wariancji ANOVA (analysis of variance) jest to metoda równoczesnego badania istotności różnic między wieloma średnimi z prób pochodzących z wielu populacji (grup). Model jednoczynnikowy analiza

Bardziej szczegółowo

Procesy Stochastyczne - Zestaw 1

Procesy Stochastyczne - Zestaw 1 Procesy Stochastyczne - Zestaw 1 Zadanie 1 Niech ξ i η bed a niezależnymi zmiennymi losowymi o rozk ladach N (0, 1). Niech X = ξ +η i Y = ξ η. Znaleźć rozk lad (X, Y ) i rozk lad warunkowy L X ( Y ). Zadanie

Bardziej szczegółowo

a. opisać badaną cechę; cechą X jest pomiar średnicy kulki

a. opisać badaną cechę; cechą X jest pomiar średnicy kulki Maszyna ustawiona jest tak, by produkowała kulki łożyskowe o średnicy 1 cm. Pomiar dziesięciu wylosowanych z produkcji kulek dał x = 1.1 oraz s 2 = 0.009. Czy można uznać, że maszyna nie rozregulowała

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe, statystyki próbkowe. Wrocław, 2 marca 2015

Zmienne losowe, statystyki próbkowe. Wrocław, 2 marca 2015 Zmienne losowe, statystyki próbkowe Wrocław, 2 marca 2015 Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20 punktów) aktywność Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20

Bardziej szczegółowo

Problem dwóch prób: porównywanie średnich i wariancji z populacji o rozkładach normalnych. Wrocław, 23 marca 2015

Problem dwóch prób: porównywanie średnich i wariancji z populacji o rozkładach normalnych. Wrocław, 23 marca 2015 Problem dwóch prób: porównywanie średnich i wariancji z populacji o rozkładach normalnych. Wrocław, 23 marca 2015 Problem dwóch prób X = (X 1, X 2,..., X n ) - próba z rozkładu normalnego N (µ, σ 2 X ),

Bardziej szczegółowo

Analiza zrekonstruowanych śladów w danych pp 13 TeV

Analiza zrekonstruowanych śladów w danych pp 13 TeV Analiza zrekonstruowanych śladów w danych pp 13 TeV Odtwarzanie rozk ladów za pomoc a danych Monte Carlo Jakub Cholewiński, pod opiek a dr hab. Krzysztofa Woźniaka 31 lipca 2015 r. Jakub Cholewiński, pod

Bardziej szczegółowo

TEST STATYSTYCZNY. Jeżeli hipotezę zerową odrzucimy na danym poziomie istotności, to odrzucimy ją na każdym większym poziomie istotności.

TEST STATYSTYCZNY. Jeżeli hipotezę zerową odrzucimy na danym poziomie istotności, to odrzucimy ją na każdym większym poziomie istotności. TEST STATYSTYCZNY Testem statystycznym nazywamy regułę postępowania rozstrzygająca, przy jakich wynikach z próby hipotezę sprawdzaną H 0 należy odrzucić, a przy jakich nie ma podstaw do jej odrzucenia.

Bardziej szczegółowo

Sposoby prezentacji problemów w statystyce

Sposoby prezentacji problemów w statystyce S t r o n a 1 Dr Anna Rybak Instytut Informatyki Uniwersytet w Białymstoku Sposoby prezentacji problemów w statystyce Wprowadzenie W artykule zostaną zaprezentowane podstawowe zagadnienia z zakresu statystyki

Bardziej szczegółowo

Zestaw nr 7 Ekstremum funkcji jednej zmiennej. Punkty przegiȩcia wykresu. Asymptoty

Zestaw nr 7 Ekstremum funkcji jednej zmiennej. Punkty przegiȩcia wykresu. Asymptoty Zestaw nr 7 Ekstremum funkcji jednej zmiennej. Punkty przegiȩcia wykresu. Asymptoty November 20, 2009 Przyk ladowe zadania z rozwi azaniami Zadanie 1. Znajdź równanie asymptot funkcji f jeśli: a) f(x)

Bardziej szczegółowo

SCENARIUSZ LEKCJI. TEMAT LEKCJI: Zastosowanie średnich w statystyce i matematyce. Podstawowe pojęcia statystyczne. Streszczenie.

SCENARIUSZ LEKCJI. TEMAT LEKCJI: Zastosowanie średnich w statystyce i matematyce. Podstawowe pojęcia statystyczne. Streszczenie. SCENARIUSZ LEKCJI OPRACOWANY W RAMACH PROJEKTU: INFORMATYKA MÓJ SPOSÓB NA POZNANIE I OPISANIE ŚWIATA. PROGRAM NAUCZANIA INFORMATYKI Z ELEMENTAMI PRZEDMIOTÓW MATEMATYCZNO-PRZYRODNICZYCH Autorzy scenariusza:

Bardziej szczegółowo

Sterowanie wielkością zamówienia w Excelu - cz. 3

Sterowanie wielkością zamówienia w Excelu - cz. 3 Sterowanie wielkością zamówienia w Excelu - cz. 3 21.06.2005 r. 4. Planowanie eksperymentów symulacyjnych Podczas tego etapu ważne jest określenie typu rozkładu badanej charakterystyki. Dzięki tej informacji

Bardziej szczegółowo