Algorytmiczne Aspekty Teorii Gier Rozwiązania zadań

Transkrypt

1 Algorytmiczne Aspekty Teorii Gier Rozwiązania zadań Bartosz Gęza 19/06/2009 Zadanie 2. (gra symetryczna o sumie zerowej) Profil prawdopodobieństwa jednorodnego nie musi być punktem równowagi Nasha. Przykładem jest gra z macierzą: (0, 0) (0, 0) ( 1, 1) 2 (0, 0) (0, 0) ( 1, 1) 3 (1, 1) (1, 1) (0, 0) Prawdopodobieństwo jednorodne nie jest strategią równowagi, ponieważ graczowi wybierającemu opłaca się wtedy grać czystą strategią 3. Zadanie 3. (kółko i krzyżyk) Plansza ma nieparzystą liczbę pól, więc opisana gra jest zdeterminowana po zakończeniu rozgrywki ilości znaczków postawionych przez każdego z graczy nie będą równe, a gra zakończy się już po n 2 2 ruchach. Dowiodę nie-wprost, że drugi gracz nie ma strategii wygrywającej, czyli musi ją mieć gracz pierwszy. Załóżmy więc, że drugi gracz ma strategię wygrywającą S. Pierwszy gracz mógłby wygrać korzystając z S, gdyby istniała. Pierwszy ruch (r 1 ) wykonuje na dowolnym z dwóch dozwolonych pól. Wszystkie dalsze ruchy wykonuje zgodnie z ruchem, który S wskazuje po ciągu ruchów r 2, r 3,... (czyli zaczynając od ruchu drugiego gracza). Jeżeli już wcześniej wykonał we wskazanym miejscu ruch, wykonuje go w dowolnym 1

2 innym dozwolonym miejscu, lub w przypadku braku takiego, wstrzymuje się od ruchu. Trzeba zauważyć, że takie zachowanie nie pogarsza możliwości wygranej przy użyciu S. Ruch w tamtym miejscu został już wykonany wcześniej, a ruch w innym miejscu nie zmniejsza ilości znaczków, których by się oczekiwało grając, S jako drugi gracz. Ponieważ pierwszy gracz mógłby wykorzystać strategię wygrywającą drugiego gracza, ta nie może istnieć, a strategię wygrywającą posiada wyłącznie pierwszy gracz. Zadania 4. (pionek i przekierowanie krawędzi) Zakładam, że drugi gracz nie może zrezygnować z ruchu. wyników dla opisanych plansz, ale trochę komplikuje opis. Nie zmienia to (a) Drzewo Jeżeli liść zawierający wierzchołek Start znajduje się na głębokości nie mniejszej niż 3, gracz 2 posiada strategię wygrywającą. Wystarczy, by w swoim pierwszym ruchu, gdy pionek znajduje się w punkcie p, zamienił jedyną wychodzącą krawędź na p Start. Od tego momentu całe poddrzewo zawierające pionek jest odcięte od korzenia i gracz 1 nie może doprowadzić pionka do Mety. W odciętym poddrzewie znajdują się przynajmniej 2 wierzchołki (p i Start). Z każdego wychodzi dokładnie jedna krawędź, więc wystarczy ją przekierowywać na któryś z tych wierzchołków. W drzewie o głębokości mniejszej, niż 3 po pierwszym ruchu pionek znajduje się w wierzchołku z krawędzią do Mety. (b) Krata 2D Jeżeli n > 2, to gracz 2 może uwięzić gracza 1 na jednej z krawędzi kraty. Jeżeli pierwszy gracz wykona ruch do (1, 2), to drugi gracz odcina drogę do (2, 2). Wystarczy przekierować krawędź do któregoś z wierzchołków (1, x). W każdym kolejnym ruchu pierwszy gracz może wykonywać ruchy tylko do wierzchołków postaci (1, i). Wierzchołków takich jest więcej niż krawędzi wychodzących z każdego wierzchołka, wiec zawsze można przekierować jakąś 2

3 krawędź na inny wierzchołek. Na początku z każdego wierzchołka dokładnie jedna krawędź prowadzi do (2, x), i gracz drugi musi odcinać tę drogę. W przypadku pierwszego ruchu do (2, 1) symetrycznie. Dla n <= 2 po pierwszym ruchu pionek jest w wierzchołku z krawędzią do Mety. (c) Krata 3D Podobnie, jak dla (b), jeżeli n > 2, to drugi gracz może uwięzić pionek na jednej ze ścian sześcianu. Algorytm rozstrzygania istnienia strategii wygrywającej Wierzchołki z krawędziami do M ety są wygrywające dla gracza 1. Zbiór wierzchołków przegrywających dla 1 (mocy k) ma następujące własności: z każdego wierzchołka wychodzi najwyżej jedna krawędź poza ten zbiór wtedy gracz 2 może zawsze odciąć ucieczkę poza tę pułapkę; każdy wierzchołek jest stopnia co najwyżej k 1. Jeżeli pionek po pierwszym ruchu znajdzie się w wierzchołku należącym do takiego zbioru, to gracz 2 może zawsze łatwo odcinać drogę poza ten zbiór i zawsze może krawędź pomiędzy dwoma wierzchołkami tego zbioru zamienić na inną. Gdyby w tym zbiorze były wierzchołki stopnia k, to gracz 2 musiałby utworzyć krawędź zwrotną, gracz 1 pozostałby w tym samym wierzchołku, a następnie gracz 2 musiałby utworzyć krawędź do wierzchołka wygrywającego dla 1. Jeżeli zrezygnować z założenia o przymusie ruchu, można spokojnie dodać wierzchołki stopnia k. W = Meta + wierzchołki z krawędziami do Mety powtarzaj dodaj do W wszystkie wierzchołki, z których wychodzą przynajmniej dwie krawędzie do wierzchołków należących do W dodaj do W wszystkie wierzchołki stopnia >= V - W aż znajdziesz punkt stały W Gracz 1 wyrał, jeżeli ze Startu wychodzi krawędź do W 3

4 Jeżeli pionek wejdzie wierzchołka z W, to gracz 1 zawsze ma przynajmniej dwie krawędzie w kierunku Mety, a gracz 2 może odciąć tylko jedną z nich. Jeżeli gracz 2 nie wpuści pionka do W, to nie ma możliwości dojścia do Mety. Problem Zauważmy, że każdy kierowca musi przejechać dwoma poziomymi krawiędziami i jedną pionową. Wszyscy kierowcy, którzy jadą jedną krawędzią, jadą nią w tym samym czasie (nie da się dojechać dwoma trasami różnej długości). β α δ γ a C b D c B d A Równowaga w strategiach czystych Istnieje taka równowaga dla N = 4 k. Jeżeli po k kierowców wybierze każdą ze strategii: ABd, CDd, aαβ, aγδ, to ich koszty przejazdu będą identyczne ( ). Zmiana trasy któregokolwiek kierowcy spowoduje, że pojedzie 4 przynajmniej jedną krawędzią o koszcie k+1, czyli pogorszy swój wynik. N Inne punkty równowagi Nasha Nazwy krawędzi używam do opisania oczekiwanego kosztu przejazdu krawędzią. γ δ 4

5 B A Jeżeli jakiemuś kierowcy opłaca się jechać krawędzią c, wtedy δ < B. Razem z powyższymi: γ δ < B A Oznacza to, że oczekiwany koszt przejazdu γ jest niższy, niż A, z czego wynika, że krawędzie b i c w każdym punkcie równowagi Nasha będą niewykorzystane. Pozostawia to kierowcom wybór strategii czystych bądź mieszanych spośród czterech wyżej wymienionych tras, a że wszyscy gracze są równouprawnieni, oczekiwany koszt przejazdu każdego kierowcy wyniesie, jak wyżej, Wariant trudniejszy Zdaje się, że główną konsekwencją wprowadzenia informacji o zagęszczeniu ruchu byłaby ewentualna decyzja gracza o zmianie trasy po przejechaniu A lub C. Jeżeli ilość kierowców na tej samej krawędzi jest mniejsza od k, to lepiej pojechać przez odpowiednio B i D. W przeciwnym przypadku warto z pewnym prawdopodobieństwem wybrać trasę przez b lub c. 5