Toruńska Letnia Szkoła Matematyki i Informatyki Topologia i geometria" oraz Technologie webowe" pod patronatem

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Toruńska Letnia Szkoła Matematyki i Informatyki Topologia i geometria" oraz Technologie webowe" pod patronatem"

Transkrypt

1

2

3 Konferencja dla młodych naukowców pt. Toruńska Letnia Szkoła Matematyki i Informatyki Topologia i geometria" oraz Technologie webowe" pod patronatem Centrum Badań Nieliniowych im. J. P. Schaudera sierpnia 2015 organizatorzy Koło Naukowe Informatyków Uniwersytetu Mikołaja Kopernika w Toruniu Koło Naukowe Matematyków Uniwersytetu Mikołaja Kopernika w Toruniu Wydziałowa Rada Samorz adu Studenckiego Wydziału Matematyki i Informatyki UMK

4 Spis treści Użyteczne informacje 1 Tytuły i streszczenia wykładów 2 Tytuły i streszczenia referatów 7 Abstrakty plakatów 11 Lista uczestników 13 Organizatorzy i kontakt 15 Mapka 16

5 Użyteczne informacje Rejestracja uczestników będzie miała miejsce w niedzielę 23 sierpnia w godzinach 17:30-20:00 w głównym holu Wydziału Matematyki i Informatyki UMK. Biuro konferencji będzie się znajdować w pokoju F204. W przypadku jakichkolwiek problemów czy pytań należy szukać osób z identyfiaktorem organizatora/wolontariusza. Uwaga: Noclegi płatne na miejscu, w dniu przyjazdu. Wszyscy studenci zakwaterowani sa w dniach od 23 sierpnia do 28 sierpnia (niedziela piatek), w Domu Studenckim nr 3, ul. Moniuszki 16/20 tel , Obiady i śniadania będa wydawane za okazaniem identyfikatora w Barze wydziałowym na Wydziale Matematyki i Informatyki UMK. Śniadania sa zaplanowane w godzinach 8:00-9:00. Jeśli do prezentacji potrzebna jest pomoc multimedialna w postaci rzutnika, wyświetlacza lub inna, prosimy o wcześniejsze zwrócenie na to uwagi organizatorom. Po dniach wypełnionych wykładami zapraszamy do wspólnego spędzania wieczorów. Organizatorzy zaplanowali grupowe wyjścia na miasto oraz inne atrakcje. Szczegółowe informacje będa codziennie przekazywane przez organizatorów. W późniejszym czasie na stronie zostana umieszczone zdjęcia z warsztatów. Zachęcamy też do przesyłania własnych. 1

6 Tytuły i streszczenia wykładów W tym roku warsztaty matematyczne odbywać się będa pod hasłem: Topologia i geometria". Swymi wykładami uświetnia je następujacy naukowcy: dr Zbigniew Błaszczyk, Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu dr hab. Marek Kordos, prof. UW, Uniwersytet Warszawski prof. dr hab. Zbigniew Szafraniec, Uniwersytet Gdański prof. dr hab. Grzegorz Zwara, Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Natomiast w części informatycznej poruszajacej zagadnienia technologii webowych swoje prelekcje wygłosza: dr Wojciech Czart, Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu dr Tomasz Piotrowski, Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu dr Błażej Zyglarski, Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Poniżej zamieszczamy streszczenia wykładów: Zaproszenie do topologicznej teorii robotów dr Zbigniew Błaszczyk, Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Kurs został zaplanowany jako łagodne wprowadzenie do topologicznej teorii robotów, której głównym zadaniem jest rozwiazanie zagadnienia planowania ruchu: uzyskanie stabilnego algorytmu, który parze (x, y) X X przyporzadkuje ścieżkę od punktu x do punktu y, gdzie X oznacza przestrzeń stanów danego układu mechanicznego. Podstawowym narzędziem służacym do badania trudności procesu planowania ruchu jest wprowadzone przez M. Farbera pojęcie złożoności topologicznej. Ze względu na swoje zastosowania w robotyce oraz bliski zwiazek z kategoria Lusternika Schnirelmanna, złożoność topologiczna cieszy się w ostatnim okresie duża popularnościa. 2

7 A B B τ A Obrót po łuku okręgu w płaszczyźnie prostopadłej do płaszczyzny kartki przeprowadzi robota z jednej pozycji do drugiej. Który z dwóch możliwych wyborów kierunku obrotu jest właściwy? Geometrie nieeuklidesowe, skad się wzięły, i co o nich dziś wiadomo dr hab. Marek Kordos, prof. UW, Uniwersytet Warszawski Geometria dorycka, pojęcia pierwotne, automorfizmy, znaczenie cywilizacyjne. Elementy jako wzór ścisłości rozumowań. Program Proklosa dowodu V postulatu. Geometria absolutna i pseudodowody V postulatu. Geometria hiperboliczna i jej twórcy. Modele geometrii hiperbolicznej i jej równoważność z euklidesowa. Gauss i geometria wewnętrzna. Theorema egregium. Krzywizna a miara. Geometria Riemanna. Helmholtz i aprzyrodniczość matematyki. Ogólna Teoria Względności. Jednorodna metryzacja rozmaitości. Markow i nieklasyfikowalność rozmaitości wysokowymiarowych. Thurston i hipoteza geometryzacyjna. Potoki i Perelman. Geometria rzutowa i jej dyscypliny pochodne dr hab. Marek Kordos, prof. UW, Uniwersytet Warszawski Struktury dwusortowe. Aksjomatyka geometrii rzutowej i przeglad modeli. Dualność syntaktyczna i semantyczna. Własności topologiczne płaszczyzny rzutowej. Rzuty, przekształcenia rzutowe, kolineacje i korelacje. Konfiguracje Desarguesa i Pappusa Pascala, nowa symetria. Podstawowe Twierdzenie Geometrii Rzutowej. Korelacje biegunowe, stożkowe. Twierdzenie Seydewitza i konstrukcja stycznej sama linijka. Twierdzenia Steinera, Braikenrigde a Maclaurina, Pascala Brianchona i ich uogólnienia. Współrzędne barycentryczne i droga do geometrii algebraicznej. Cayley i geometria czteroabsolutna. IV problem Hilberta, geometrie Minkowskiego i Hilberta. Ciała cechujace i twierdzenie Fritza Johna. 3

8 Formalizacje geometrii euklidesowej i geometrie lokalnie euklidesowe dr hab. Marek Kordos, prof. UW, Uniwersytet Warszawski Aksjomatyka Elementów. Aksjomat Pascha. Grundlagen der Geometrie Hilberta. What is elementary geometry? Tarskiego. Przeglad pojęć pierwotnych geometrii euklidesowej. Aufbau der Geometrie aus dem Spiegelungsberiff Bachmana. Twierdzenie Chaslesa. Grupy jednostajnie nieciagłe, przestrzenie ilorazowe. Pięć 2-wymiarowych i osiemnaście 3-wymiarowych geometrii lokalnie euklidesowych. Małe Wszechświaty. Efektywne metody badania punktów osobliwych odwzorowań wielomianowych prof. dr hab. Zbigniew Szafraniec, Uniwersytet Gdański Jeżeli f : R m R n jest odwzorowaniem różniczkowalnym, to punktami osobliwymi nazywamy te punkty w dziedzinie odwzorowania, w których rza d pochodnej jest mniejszy od min{m, n}. Celem wykładów bȩdzie przedstawienie efektywnych metod, wraz z implementacjami w programie SINGULAR, pozwalaja cych na badanie punktów osobliwych odwzorowań wielomianowych, gdy: f : R m R. Pokażemy jak badać stopień zdeterminowania punktu osobliwego, oraz jak znajdować jego postać normalna, f : R m R m. Pokażemy, jak obliczać lokalny stopień topologiczny w punktach osobliwych, f : R m R m 1, f(0) = 0, 0 jest punktem osobliwym. Pokażemy, jak obliczać liczbȩ gałȩzi zbioru zer f 1 (0) w pobliżu 0, f : R 2 R 2. Pokażemy, jak sprawdzać, że odwzorowanie f jest lokalnie stabilne, oraz jak znajdować liczbȩ dodatnich oraz ujemnych punktów osobliwych typu ostrze ( cusp ). [1] M. Crochemore, W. Rytter Jewels of stringology, World Scientific, 2003 [2] D. Gusfield Algorithms on Strings, Trees, and Sequences, Cambridge University Press, 1997 [3] Lothaire Applied combinatorics on words, volume 105 of Encyclopedia of Mathematics and its Applications, Cambridge University Press, 2005 [4] R. Sedgewick, K. Wayne Algorytmy, Helion

9 Od krzywych na płaszczyźnie do Geometrii Algebraicznej prof. dr hab. Grzegorz Zwara, Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Celem referatów jest przedstawienie szeregu zagadnień dotyczacych algebraicznych krzywych płaskich, czyli obiektów rozważanych już w starożytności. Wiele własności krzywych jest ukrytych w podstawowych strukturach algebraicznych z nimi zwiazanych: pierścień funkcji regularnych (wielomianowych), ciało funkcji wymiernych, pierścień lokalny punktu na krzywej. Zajmiemy się problemami wymierności krzywych, przecięć krzywych, stycznymi, punktami gładkimi i osobliwymi oraz klasyfikacjami krzywych. Teoria krzywych stanowi punkt wyjścia do rozmaitości algebraicznych, obiektów zdefiniowanych (lokalnie) przez zerowanie się funkcji wielomianowych. Pokażemy w jaki sposób pojęcia rozważane w kontekście krzywych uogólnić dla dowolnych rozmaitości. Wiele własności geometrycznych wynika z niebanalnych faktów z algebry przemiennej (np. dotycza- cych całkowitych rozszerzeń pierścieni). The importance of online presence and visibility - traffic analysis tools dr Wojciech Czart, Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu Współautorzy: Theresa B. Clarke (James Madison University, Harrisonburg, Virginia, USA) Jamie Murphy (Australian School of Management and Curtin Graduate School of Business, Perth) The landscape of online marketing opportunities develops enormously thanks to rapidly advancing information and communication technologies. Internet users no more go online but live online. They can access the Internet at most any moment, anywhere, for any reason. This presentation will show the need and importance of online presence, expansion, and measurement of online visibility. We will demonstrate how to deploy and utilise popular Google tools for traffic analysis critical for data-driven informed decision making and development of online marketing strategies. We will also discuss our experience from a global student competition, the Google Online Marketing Challenge, as a hands-on opportunity for students studying the mechanics of online marketing. 5

10 Architektura OLAP w MS SQL Server dr Tomasz Piotrowski, Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu MS SQL Server jest powszechnie wykorzystywanym serwerem bazodanowym. W bogatszych wersjach zawiera on narzędzia inteligencji biznesowej (ang. Business Intelligence): Analysis Services i Reporting Services, wzbogacone o narzędzie klasy ETL: Integration Services. Narzędzia te tworza tzw. BI Stack MS SQL Server. W trakcie zajęć zapoznamy się z możliwościami tych narzędzi, ze szczególnym naciskiem na zastosowanie kostek OLAP tworzonych w Analysis Services w celu wydajnego zarzadzania wielkimi zbiorami danych. Poznamy również narzędzia do eksploracji danych zaimplementowane w Analysis Services. Dynamiczne formularze Webowe:Javascript/PHP/HTML5 dr Błażej Zyglarski, Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu W trakcie wykładu i laboratorium poznamy podstawy tworzenia dynamicznych formularzy WWW. Zostana tu wykorzystane technologie HTML5 i Javascript (po stronie przegladarki) oraz PHP po stronie serwera. Pokazane zostana również główne możliwości ataku na strony, które takie formularze obsługuja, oraz podstawowe sposoby obrony przed tego typu atakami. 6

11 Tytuły i streszczenia referatów PODSTAWOWE POJECIA I FAKTY DYNAMIKI TOPOLOGICZNEJ Aurelia Bartnicka Podczas referatu zostana przybliżone pojęcia: topologicznego układu dynamicznego, potoku, układu proksymalnego, dystalnego, minimalnego, równociagłości, połaczenia topologicznego układów. Zilustrowane będa przede wszystkim przykładami układów B-wolnych. Zostana podane charakteryzacje pojęć układu proksymalnego, dystalnego i minimalnego. O DWÓCH TWIERDZENIACH DOTYCZACYCH TOPOLOGII I GEOMETRII SFER Bartosz Bieganowski Referat dotyczył będzie twierdzenia Jordana-Schönfliesa oraz twierdzenia Jordana-Brouwera. Pierwsze z nich mówi o istnieniu homeomorfizmu płaszczyzny, który ustalona krzywa Jordana przeprowadza ja na okrag. Okazuje się, że twierdzenie to nie jest prawdziwe w wyższych wymiarach, naszkicowany zostanie kontrprzykład zwany rogata sfera Alexandera na R 3. Drugie z twierdzeń mówi o tym, że n 1 wymiarowa sfera rozcina n wymiarowa na dwa obszary rozłaczne. Przedstawię szkicowy dowód tego twierdzenia z wykorzystaniem narzędzi topologii algebraicznej. Na zakończenie pokażę pewne zastosowania wspomnianych twierdzeń. POWIERZCHNIE RIEMANNA Jędrzej Garnek Główna motywacja do rozpatrywania jednowymiarowych rozmaitości zespolonych, czyli tzw. powierzchni Riemanna, była pierwotnie teoria wieloznacznych funkcji zespolonych, takich jak np. log z lub z. Szybko okazało się, że zwarte powierzchnie Riemanna maja wiele porzadnych"własności, zwiazanych np. z genusem oraz nakryciami rozgałęzionymi. Wiele ważnych twierdzeń z topologii i geometrii algebraicznej, takich jak np. twierdzenie Riemanna-Rocha, zostało dostrzeżonych właśnie dla zwartych powierzchni Riemanna. Mimo swej topologicznej definicji sa one bowiem również obiektami algebraicznymi za pomoca wiazek liniowych można 7

12 zanurzyć je w P 3 i zadać równaniami wielomianowymi. Duża część twierdzeń udowodnionych pierwotnie za pomoca metod topologicznych, została później udowodniona algebraicznie i jest prawdziwa również dla ciał różnych od C. Podczas referatu przedstawię kilka przykładów powierzchni Riemanna i zwiazanych z nimi faktów. Postaram się również wytłumaczyć, jak zanurzyć je w przestrzeń rzutowa. BRZEGOWA ZASADA HARNACKA Martyna Patera Celem referatu będzie przedstawienie dowodu brzegowej zasady Harnacka dla dodatnich funkcji harmonicznych na C 1,1 obszarach w R n. Powiemy kiedy obszar spełnia warunek kuli oraz jaki ma to zwiazek z byciem C 1,1 obszarem. Za pomoca narzędzi geometrii sformułujemy i udowodnimy dolne i górne oszacowanie dla dodatnich funkcji harmonicznych, co doprowadzi nas do dowodu zasady Harnacka. Kolejnym krokom dowodu towarzyszyć będa obrazujace je ilustracje. O PEWNYM CIEKAWYM TWIERDZENIU SZKOLNEJ GEOMETRII Daniel Strzelecki Każdy z nas ze szkoły pamięta twierdzenie Ptolemeusza (o czworokacie wpisanym w okrag). Okazuje się, że posiada ono bardzo ciekawe i dajace nietrywialne rezultaty uogólnienie pochodzace od Johna Casey a ( ). Celem referatu będzie przedstawienie dowodu twierdzenia Casey a oraz doń odwrotnego oraz kilku jego zastosowań w zadaniach pochodza- cych z międzynarodowych olimpiad matematycznych. Nie zabraknie również zadań do samodzielnego rozwiazania! 8

13 ELIPTYCZNE ARBELOS Marcin Szweda Kiedy po raz pierwszy przeczytaliśmy artykuł Jonathana Sondowa (opublikowany w grudniu 2013 roku w Amerykańskim Miesięczniku Matematycznym) dotyczacy pojęcia i własności parbelos, czyli parabolicznego odpowiednika arbelos powszechnie znanej, klasycznej figury geometrycznej, byliśmy zaskoczeni! Byliśmy zaskoczeni tym, że tak późno zajęto się tym uogólnieniem (ponad 2000 lat po Archimedesie) i zaczęliśmy się zastanawiać, co właściwie wiadomo o innych stożkowych analogonach arbelos? Już na poziomie eliptycznego arbelos najbardziej naturalnego uogólnienia klasycznego arbelos nie spotkaliśmy żadnych innych cytowań (poza wspomnianym wyżej artykułem Sondowa), żadnych informacji, czy wskazówek. Mimo tego, parafrazujac samego Hilberta, chcieliśmy przyjrzeć się eliptycznemu arbelos, musieliśmy przyjrzeć się eliptycznemu arbelos. Jak się teraz okazuje warto było przyjrzeć się temu pojęciu. Co prawda, jesteśmy dopiero na poczatku ścieżki badań, więc i nasze odkrycia bliskie sa fazie koncepcji i prostych obserwacji, ale już nagradzaja poświęcony przez nas czas i poniesiony trud badawczy. Naszymi skromnymi obserwacjami i odkryciami, jak również watpliwościami, pytaniami, hipotezami na temat eliptycznego arbelos, chcieliśmy wreszcie podzielić się z większym gronem matematyków, zwłaszcza z miłośnikami geometrii. PS. Historia pojęcia arbelos ginie w mrokach dziejów (R. P. Boas). Archimedes poświęcił arbelos odrębna pracę nie zachowała się jednak żadna kopia tej pracy. Archimedesowi przypisuje się odkrycie w arbelos tak zwanych bliźniaczych okręgów Archimedesa. Leon Bankoff ( XX-wieczny amerykański znawca tematyki arbelos z zamiłowania matematyk, z zawodu dentysta) w 1974 roku odkrył, że mamy trojacze okręgi Archimedesa (-Bankoffa), a w cytowanej poniżej pracy panów D. S. W. Y. wyróżniono już 29 takich specjalnych okręgów i na dokładkę nieskończenie wiele w tzw. ciagu okręgów Petera Woo. Pappus z Aleksandrii jest odkrywca (jak przyjmuje się obecnie) ciagu okręgów wpisanych w arbelos, zwanego łańcuchem Pappusa i interesujacego twierdzenia o promieniach tych okręgów. Jeszcze do niedawna arbelos nazywano zamiennie nożem szewski (ang. shoemaker s knife wyłacznie takim określeniem posługiwał się w swoich pracach Leon Bankoff), chociaż jak się wydaje nie jest to najlepsze określenie (zobacz odpowiednia argumentację w pracy R. P. Boasa), lepiej brzmi sformułowanie koci pazur?! 9

14 O ZWARTOŚCI I ZBIEŻNOŚCIACH NIEMETRYCZNYCH Mateusz Topolewski W zastosowaniach topologii (równania różniczkowe, teoria procesów stochastycznych) ważna rolę odgrywa (relatywna) zwartość zbioru. Klasyczna definicja zwartości jest mało operacyjna. W przestrzeniach metrycznych mamy charakteryzację ciagow a, która na ogół jest dużo bardziej użyteczna. Czy taka sama własność ma jakaś większa klasa przestrzeni? Celem referatu jest zdefiniowanie i charakteryzacja zbieżności topologicznej i przestrzeni submetrycznych. Opiszemy ich własności, wskażemy przykłady takich obiektów i przykłady zastosowań tej teorii. DYSKRYMINACJA STANÓW KOWARIANTNYCH Rafał Wieczorek Rozróżnianie nieortogonalnych stanów jest fundamentalnym zagadnieniem w mechanice kwatowej. Jak wiadomo nigdy nie można ich idealnie rozróżnić. Przedstawię zagadnienie dyskryminacj stanów za pomoca maksymalizacji prawdopodobieństwa detekcji (wykrycia). Pełne rozwiazanie tego zagadnienia jest trudne i dotychczas nikt tego nie dokonał. Przy pewnych założeniach o symetryczności stanów zagadnienie jest prostsze do rozwia- zania. W głównej części referatu skupię się na przypadku stanów kowariantnych. Przy tym uproszczeniu przedstawię metodę znajdowania pomiaru optymalnego m. in. dla stanów czystych. Podam także konkretne przykłady i problemy otwarte. 10

15 Abstrakty plakatów ULTRAFILTRY W DOWODACH TWIERDZEŃ O ROZBICIACH LICZB NATURALNYCH Aurelia Bartnicka Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Przy użyciu pojęcia filtru wprowadza się definicję granicy uogólnionego ciagu w dowolnej przestrzeni topologicznej. Prowadzi to do rozważania przestrzeni Frécheta. Okazuje się, że ultrafiltry, które sa szczególnymi filtrami, można wykorzystać do dowodu twierdzeń o liczbach naturalnych na przykład twierdzenia Hindmana i twierdzenia van der Waerdena. Mówia one, że zakładajac, iż mamy dowolne skończone rozbicie zbioru liczb naturalnych N = r i=1 C i, to odpowiednio istnieja 1 i r oraz ciag (x n ) n N różnych liczb naturalnych taki, że C i zawiera wszystkie skończone sumy elementów z (x n ) n N oraz istnieje 1 j r takie, że C j zawiera ciag arytmetyczny dowolnej długości. Przedstawię dowody tych twierdzeń i własności ultrafiltrów niezbędne do przeprowadzenia ich. [1] Engelking Ryszard, Topologia ogólna, Warszawa, PWN, 2007, [2] Kwietniak Dominik, Ultrafiltry, Matematyka-Społeczeństwo-Nauczanie 2012, nr 48, s , [3] Konieczny Jakub, Applications of Ultrafilters in Ergodic Theory and Combinatorial Number Theory, Department of Mathematics, Vrije Universiteit Amsterdam, Instytut Matematyki, Jagiellonian University, 2013, s. 4-48, PRZESTRZENIE NAKRYWAJACE Małgorzata Grzyb Uniwersytet Łódzki Pojęcie przestrzeni nakrywajacej wywodzi się z analizy zespolonej, a w szczególności z badania holomorficznych "funkcji wieloznacznych", powstajacych przy przedłużaniu analitycznym. Zostało ono odkryte przez B. Riemanna w czasach, gdy nie było jeszcze środków umożliwiajacych jego zrozumienie na poziomie dzisiejszych standardów ścisłości. Na plakacie zaprezentuję pojęcie przestrzeni nakrywajacej, rozwłólnienia nad dana przestrzenia topologiczna oraz przekształcenia nakrywajacego i nakrycia uniwersalnego. Zaprezentuję również przykłady zastosowania teorii nakryć. [1] G. E. Bredon, Topology and geometry, Springer-Verlag, New York, 1993, 11

16 [2] M.J. Greenberg, Wyklady z Topologii Algebraicznej, PWN, Warszawa, 1980, [3] K. Jänich, Topologia, PWN, Warszawa, CONTINUA TOPOLOGICZNIE JEDNORODNE Robert Malona Uniwersytet Opolski Continuum jest to niepusta zwarta spójna przestrzeń metryczna natomiast przestrzeń X jest jednorodna jeśli dla wszystkich x,y należacych do X istnieje homeomorfizm h: X->X spełniajacy h(x)=y. Continua topologicznie jednorodne postrzegane sa za najbardziej eleganckie oraz majace najwięcej zastosowań struktury topologiczne. Przedstawione zostana podstawowe definicje i twierdzenia a także wybrane klasy continuów m.in. nierozkładalne, drogowo spójne, aposyndetyczne, dziedzicznie nierozkładalne oraz izometrycznie jednorodne w przestrzeni rzeczywistej trójwymiarowej. Zaprezentowane zostana również wybrane przykłady continuów jak np. kostka Hilberta, krzywa dywanowa Sierpińskiego, pseudołuk, okrag warszawski oraz krzywa Menegera. [1] Wykłady dra hab. Janusza Prajsa na Uniwersytecie Opolskim. [2] Kazimierz Kuratowski, Wstęp do teorii mnogości i topologii, WN PWN POMIAR KWANTOWY Rafał Wieczorek Uniwersytet Łódzki Wiele pojęć klasycznej statystyki ma swoje odpowiedniki w tzw. statystyce kwantowej. Analogiem miar sa stany na B(H) algebrze operatorów ograniczonych na przestrzeni Hilberta a analogiem statystyk sa statystyki kwantowe (tzw. pomiary). W tym języku można mówić o rozkładzie statystyki kwantowej lub jej momentach. Do opisania tych pojęć potrzebne sa pewne topologie na B(H), słaba i mocna topologia operatorowa. Na plakacie przedstawię matematyczne idee powyższych pojęć oraz potrzebne definicje i twierdzenia takie jak np. twierdzenie spektralne. [1] A. S. Holevo, Probabilistic and Statistical Aspects of Quantum Theory, North- Holland, Amsterdam, [2] A. Łuczak, Wstęp do statystyki kwantowej, Preprint, Uniwersytet Łódzki, Wydział Matematyki i Informatyki, [3] M. Reed, B. Simon, Methods of modern mathematical physics vol. I Functional analysis, Academic Press,

17 Lista uczestników Aurelia Bartnicka, UMK Toruń, Ewelina Betlejewska, UMK Toruń, Bartosz Bieganowski, UMK Toruń, Marcin Choiński, Uniwersytet w Białymstoku, Monika Cholewa, UMK Toruń, Przemysław Cholewa, UMK Toruń, Joanna Dutka, Politechnika Ślaska, Jędrzej Garnek, UAM Poznań, Patryk Gnap, UMK Toruń, Małgorzata Grzyb, Uniwersytet Łódzki, Agnieszka Jarzębska, UAM Poznań, Sylwia Jędrzejewska, UMK Toruń, Rafał Kaczorkiewicz, UMK Toruń, Aleksandra Kaim, Politechnika Krakowska, Andrzej Kopeć, Politechnika Ślaska, Natalia Kupiec, UJ Kraków, Damian Kurpiewski, UMK Toruń, Andrzej Madej, AGH Kraków, Robert Malona, Uniwersytet Opolski, Jacek Marchwicki, Politechnika Łódzka, Grzegorz Mika, AGH Kraków, Mariusz Nakielski, UMK Toruń, Piotr Nitczyński, UMK Toruń, Łukasz Nizio, UAM Poznań, Łukasz Ogan, UMK Toruń, Renata Ościak, UMK Toruń, Krzysztof Pałucha, Politechnika Łódzka, Martyna Patera, UMK Toruń, Filip Rupniewski, Uniwersytet Warszawski, Janusz Schmude, UMK Toruń, Piotr Skonieczka, UMK Toruń, Zofia Smułkowska, UAM Poznań, Marcin Stasiak, Politechnika Poznańska, Agnieszka Stelmaszyk, UAM Poznań, Daniel Strzelecki, UMK Toruń, Marcin Szweda, Politechnika Ślaska, Tomasz Śmierzchalski, UAM Poznań, Mateusz Topolewski, UMK Toruń, Janusz Tracz, AGH Kraków, Kamil Waszewski, UMK Toruń, Rafał Wieczorek, Uniwersytet Łódzki, 13

18 Maksymilian Wojewoda, Uniwersytet Opolski, Filip Wolwowicz, UAM Poznań, Magdalena Ziomek, UMK Toruń, 14

19 Organizatorzy i sponsorzy Koło Naukowe Matematyków UMK ul. Chopina 12/18, Toruń strona internetowa: pokój: F204 Koło Naukowe Informatyków UMK ul. Chopina 12/18, Toruń strona internetowa: pokój: F204 Wydziałowa Rada Samorzadu Studenckiego Wydziału Matematyki i Informatyki UMK ul. Chopina 12/18, Toruń strona internetowa: telefon: (56) pokój: F304 W szczególności: Aurelia Bartnicka Bartosz Bieganowski Monika i Przemysław Cholewa Patryk Gnap Damian Kurpiewski Daniel Strzelecki Wspieraja nas: W sprawie konferencji prosimy o kontakt na adres 15

20 Mapka TLSMiI to ogólnopolska konferencja naukowa dla studentów i doktorantów. Jej pierwsza edycja odbyła się w 2009 roku, wtedy jeszcze jako Toruńska Letnia Szkoła Matematyki. Część informatyczna dołaczyła do konferencji w 2013 roku. TLSMiI każdego roku gromadzi młodych naukowców wokół jednej z gałęzi matematyki i informatyki, dajac możliwość przedstawiania swoich własnych wyników oraz uczenia się od czołowych polskich wykładowców. Toruńska szkoła na stałe wpisała się już w kalendarz polskich konferencji o czym świadczy rosnaca rokrocznie liczba uczestników oraz coraz wyższy poziom wykładów i referatów. Ponadto: na wielodniowej konferencji odbywajacej się w wakacje nie może zabraknać rozrywki. TLSMiI każdego roku stwarza wiele możliwości do zdobywania naukowych kontaktów oraz odprężenia ciała i ducha przed spora dawka wiedzy podczas wykładów. Jeśli jesteś głodnym wiedzy studentem, dociekliwym doktorantem lub po prostu pasjonujesz się matematyka lub informatyka zapraszamy w sierpniu do Torunia!

Wybrane zagadnienia teorii continuów

Wybrane zagadnienia teorii continuów Wybrane zagadnienia teorii continuów Mirosława Reńska, Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW Prezentacja wykładu Warszawa, maj 2011, (prezentacja dostępna na stronie http://www.mimuw.edu.pl/

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA DLA FIZYKÓW

ANALIZA MATEMATYCZNA DLA FIZYKÓW Lech Górniewicz Roman Stanisław Ingarden ANALIZA MATEMATYCZNA DLA FIZYKÓW Wydanie piąte Toruń 2012 SPIS TREŚCI WSPOMNIENIE O PROFESORZE ROMANIE STANISŁAWIE INGARDENIE (Miłosz Michalski)... ix PRZEDMOWA

Bardziej szczegółowo

1,5 1,5. WYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI 1. Analiza matematyczna M1 2. Wstęp do logiki i teorii mnogości

1,5 1,5. WYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI 1. Analiza matematyczna M1 2. Wstęp do logiki i teorii mnogości WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim TOPOLOGIA Nazwa w języku angielskim TOPOLOGY Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Matematyka Specjalność (jeśli dotyczy): Matematyka

Bardziej szczegółowo

Krzywa uniwersalna Sierpińskiego

Krzywa uniwersalna Sierpińskiego Krzywa uniwersalna Sierpińskiego Małgorzata Blaszke Karol Grzyb Streszczenie W niniejszej pracy omówimy krzywą uniwersalną Sierpińskiego, zwaną również dywanem Sierpińskiego. Pokażemy klasyczną metodę

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA DO EGZAMINU MAGISTERSKIEGO

ZAGADNIENIA DO EGZAMINU MAGISTERSKIEGO ZAGADNIENIA DO EGZAMINU MAGISTERSKIEGO Na egzaminie magisterskim student powinien: 1) omówić wyniki zawarte w pracy magisterskiej posługując się swobodnie pojęciami i twierdzeniami zamieszczonymi w pracy

Bardziej szczegółowo

Spis treści: 3. Geometrii innych niż euklidesowa.

Spis treści: 3. Geometrii innych niż euklidesowa. Matematyka Geometria Spis treści: 1. Co to jest geometria? 2. Kiedy powstała geometria? 3. Geometrii innych niż euklidesowa. 4. Geometrii różniczkowej. 5. Geometria. 6. Matematyka-konieckoniec Co to jest

Bardziej szczegółowo

Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU

Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim TOPOLOGIA OGÓLNA Nazwa w języku angielskim GENERAL TOPOLOGY Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Matematyka

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia na egzamin dyplomowy Matematyka

Zagadnienia na egzamin dyplomowy Matematyka INSTYTUT MATEMATYKI UNIWERSYTET JANA KOCHANOWSKIEGO w Kielcach Zagadnienia na egzamin dyplomowy Matematyka Pytania kierunkowe Wstęp do matematyki 1. Relacja równoważności, przykłady relacji równoważności.

Bardziej szczegółowo

Liczby Rzeczywiste. Ciągi. Szeregi. Rachunek Różniczkowy i Całkowy Funkcji Jednej Zmiennej.

Liczby Rzeczywiste. Ciągi. Szeregi. Rachunek Różniczkowy i Całkowy Funkcji Jednej Zmiennej. Pytania na egzaminie magisterskim dotyczą głównie zagadnień związanych z tematem pracy magisterskiej. Należy być przygotowanym również na pytania sprawdzające podstawową wiedzę ze wszystkich zaliczonych

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI

WYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim PODSTAWY GEOMETRII RÓŻNICZKOWEJ Nazwa w języku angielskim INTRODUCTION TO DIFFERENTIAL GEOMETRY Kierunek

Bardziej szczegółowo

RobertSkiba PatrykMiziuła ZBIÓRZADAŃ ZANALIZYIALGEBRY

RobertSkiba PatrykMiziuła ZBIÓRZADAŃ ZANALIZYIALGEBRY RobertSkiba PatrykMiziuła ZBIÓRZADAŃ ZANALIZYIALGEBRY Toruń2013 Recenzenci prof. dr hab. Grzegorz Graff prof. dr hab. Artur Michalak Redaktor Elżbieta Kossarzecka Projekt okładki Jacek Owczarz, Studio

Bardziej szczegółowo

spis treści 1 Zbiory i zdania... 5

spis treści 1 Zbiory i zdania... 5 wstęp 1 i wiadomości wstępne 5 1 Zbiory i zdania............................ 5 Pojęcia pierwotne i podstawowe zasady 5. Zbiory i zdania 6. Operacje logiczne 7. Definicje i twierdzenia 9. Algebra zbiorów

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU

WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU Zał. nr do ZW WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ANALIZA FUNKCJONALNA Nazwa w języku angielskim FUNCTIONAL ANALYSIS Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Matematyka

Bardziej szczegółowo

Filtry i nety w przestrzeniach topologicznych

Filtry i nety w przestrzeniach topologicznych Filtry i nety w przestrzeniach topologicznych Magdalena Ziębowicz Streszczenie W referacie zostaną przedstawione i scharakteryzowane pojęcia związane z filtrami i ultrafiltrami, ciągami uogólnionymi oraz

Bardziej szczegółowo

KARTA KURSU. Kod Punktacja ECTS* 7

KARTA KURSU. Kod Punktacja ECTS* 7 KARTA KURSU Nazwa Nazwa w j. ang. Wstęp do logiki i teorii mnogości Introduction to Logic and Set Theory Kod Punktacja ECTS* 7 Koordynator Dr hab. prof. UP Piotr Błaszczyk Zespół dydaktyczny: Dr hab. prof.

Bardziej szczegółowo

SPIS TREŚCI PRZEDMOWA... 13

SPIS TREŚCI PRZEDMOWA... 13 SPIS TREŚCI PRZEDMOWA... 13 CZĘŚĆ I. ALGEBRA ZBIORÓW... 15 ROZDZIAŁ 1. ZBIORY... 15 1.1. Oznaczenia i określenia... 15 1.2. Działania na zbiorach... 17 1.3. Klasa zbiorów. Iloczyn kartezjański zbiorów...

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE ZESPOLONE Lista zadań 2005/2006

FUNKCJE ZESPOLONE Lista zadań 2005/2006 FUNKJE ZESPOLONE Lista zadań 25/26 Opracowanie: dr Jolanta Długosz Liczby zespolone. Obliczyć wartości podanych wyrażeń: (2 + ) ( ) 2 4 i (5 + i); b) (3 i)( 4 + 2i); c) 4 + i ; d) ( + i) 4 ; e) ( 2 + 3i)

Bardziej szczegółowo

Zbiory, relacje i funkcje

Zbiory, relacje i funkcje Zbiory, relacje i funkcje Zbiory będziemy zazwyczaj oznaczać dużymi literami A, B, C, X, Y, Z, natomiast elementy zbiorów zazwyczaj małymi. Podstawą zależność między elementem zbioru a zbiorem, czyli relację

Bardziej szczegółowo

KARTA PRZEDMIOTU. 12. PRZEDMIOTOWE EFEKTY KSZTAŁCENIA Odniesienie do kierunkowych efektów kształcenia (symbol)

KARTA PRZEDMIOTU. 12. PRZEDMIOTOWE EFEKTY KSZTAŁCENIA Odniesienie do kierunkowych efektów kształcenia (symbol) KARTA PRZEDMIOTU 1. NAZWA PRZEDMIOTU: Geometria analityczna (GAN010) 2. KIERUNEK: MATEMATYKA 3. POZIOM STUDIÓW: I stopnia 4. ROK/ SEMESTR STUDIÓW: I/2 5. LICZBA PUNKTÓW ECTS: 8 6. LICZBA GODZIN: 30 / 30

Bardziej szczegółowo

Zajęcia fakultatywne z matematyki (Wyspa inżynierów) Dodatkowe w ramach projektu UE

Zajęcia fakultatywne z matematyki (Wyspa inżynierów) Dodatkowe w ramach projektu UE PROGRAM ZAJĘĆ FAKULTATYWNYCH Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW I ROKU SYLABUS Nazwa uczelni: Wyższa Szkoła Przedsiębiorczości i Administracji w Lublinie ul. Bursaki 12, 20-150 Lublin Kierunek Rok studiów Architektura

Bardziej szczegółowo

Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium Liczba godzin zajęć zorganizowanych w Uczelni ,5 1

Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium Liczba godzin zajęć zorganizowanych w Uczelni ,5 1 Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ ***** KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ B Nazwa w języku angielskim Algebra and Analytic Geometry B Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność

Bardziej szczegółowo

Matematyki i Nauk Informacyjnych, Zakład Procesów Stochastycznych i Matematyki Finansowej B. Ogólna charakterystyka przedmiotu

Matematyki i Nauk Informacyjnych, Zakład Procesów Stochastycznych i Matematyki Finansowej B. Ogólna charakterystyka przedmiotu Kod przedmiotu TR.SIK103 Nazwa przedmiotu Matematyka I Wersja przedmiotu 2015/16 A. Usytuowanie przedmiotu w systemie studiów Poziom kształcenia Studia I stopnia Forma i tryb prowadzenia studiów Stacjonarne

Bardziej szczegółowo

Funkcje analityczne. Wykład 1. Co to są i do czego służą funkcje analityczne? Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017)

Funkcje analityczne. Wykład 1. Co to są i do czego służą funkcje analityczne? Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017) Funkcje analityczne Wykład 1. Co to są i do czego służą funkcje analityczne? Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017) Paweł Mleczko Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu 1. Sprawy organizacyjne

Bardziej szczegółowo

KOŁO NAUKOWE MATEMATYKÓW UNIWERSYTETU MIKOŁAJA KOPERNI- KA W TORUNIU KRZYSZTOF RYKACZEWSKI. KNM Toruń

KOŁO NAUKOWE MATEMATYKÓW UNIWERSYTETU MIKOŁAJA KOPERNI- KA W TORUNIU KRZYSZTOF RYKACZEWSKI. KNM Toruń KOŁO NAUKOWE MATEMATYKÓW UNIWERSYTETU MIKOŁAJA KOPERNI- KA W TORUNIU KRZYSZTOF RYKACZEWSKI Spis treści 1 Historia 3 2 Referaty na konferencjach i warsztatach 5 3 Udział członków KNM w konferencjach i warsztatach

Bardziej szczegółowo

Zaliczenie na ocenę 1 0,5 WYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI

Zaliczenie na ocenę 1 0,5 WYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ ****** KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE I FUNKCJE ZESPOLONE Nazwa w języku angielskim Differential equations and complex functions Kierunek studiów (jeśli

Bardziej szczegółowo

Rozmaitości Calabi Yau i podwójne nakrycia P 3

Rozmaitości Calabi Yau i podwójne nakrycia P 3 Rozmaitości Calabi Yau i podwójne nakrycia P 3 Sławomir Cynk 22 listopada 2001 roku Rozprawę stanowi zestaw następujących pięciu prac: [1] (T. Szemberg, S.C.) Double covers and Calabi Yau varieties, Banach

Bardziej szczegółowo

KARTA KURSU. Wstęp do logiki i teorii mnogości Introduction to Logic and Set Theory

KARTA KURSU. Wstęp do logiki i teorii mnogości Introduction to Logic and Set Theory KARTA KURSU Nazwa Nazwa w j. ang. Wstęp do logiki i teorii mnogości Introduction to Logic and Set Theory Kod Punktacja ECTS* 6 Koordynator Dr hab. prof. UP Piotr Błaszczyk Zespół dydaktyczny dr Antoni

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI

WYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ Geoinżynierii, Górnictwa i Geologii KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim Wstęp do analizy i algebry Nazwa w języku angielskim Introduction to analysis and algebra Kierunek studiów

Bardziej szczegółowo

1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia.

1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia. 1. Elementy logiki i algebry zbiorów 1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia. Funkcje zdaniowe. Zdania z kwantyfikatorami oraz ich zaprzeczenia.

Bardziej szczegółowo

Układy dynamiczne. proseminarium dla studentów III roku matematyki. Michał Krych i Anna Zdunik. rok akad. 2014/15

Układy dynamiczne. proseminarium dla studentów III roku matematyki. Michał Krych i Anna Zdunik. rok akad. 2014/15 Układy dynamiczne proseminarium dla studentów III roku matematyki Michał Krych i Anna Zdunik rok akad. 2014/15 Układy dynamiczne Układy dynamiczne Układy dynamiczne, i związana z nimi Teoria ergodyczna

Bardziej szczegółowo

Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium Liczba godzin zajęć zorganizowanych w Uczelni 45 45

Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium Liczba godzin zajęć zorganizowanych w Uczelni 45 45 Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim: ANALIZA MATEMATYCZNA M3 Nazwa w języku angielskim: MATHEMATICAL ANALYSIS M3 Kierunek studiów (jeśli dotyczy):

Bardziej szczegółowo

Paradoksalny rozkład kuli

Paradoksalny rozkład kuli Wydział Fizyki UW Katedra Metod Matematycznych Fizyki Paradoksalny rozkład kuli Joanna Jaszuńska Centrum Studiów Zaawansowanych Politechniki Warszawskiej Warszawa, 9 grudnia 2010 Paradoksalny rozkład kuli

Bardziej szczegółowo

Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2012/13

Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2012/13 Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2012/13 (1) Nazwa Algebra liniowa z geometrią (2) Nazwa jednostki prowadzącej Instytut Matematyki przedmiot (3) Kod () Studia Kierunek

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ MECHANICZNY PWR KARTA PRZEDMIOTU

WYDZIAŁ MECHANICZNY PWR KARTA PRZEDMIOTU WYDZIAŁ MECHANICZNY PWR KARTA PRZEDMIOTU Zał. nr 4 do ZW Nazwa w języku polskim: FUNKCJE ZESPOLONE Nazwa w języku angielskim: Complex functions Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Automatyka i Robotyka Specjalność

Bardziej szczegółowo

FRAKTALE I SAMOPODOBIEŃSTWO

FRAKTALE I SAMOPODOBIEŃSTWO FRAKTALE I SAMOPODOBIEŃSTWO Mariusz Gromada marzec 2003 mariusz.gromada@wp.pl http://multifraktal.net 1 Wstęp Fraktalem nazywamy każdy zbiór, dla którego wymiar Hausdorffa-Besicovitcha (tzw. wymiar fraktalny)

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna Wykład 12: Krzywe eliptyczne Gniewomir Sarbicki Rozważać będziemy przestrzeń K n Definicja: x y λ K x = λy. Relację nazywamy różnieniem się o skalar Przykład: [4, 10, 6, 14] [6, 15,

Bardziej szczegółowo

Lista zwycięzców za okres r.

Lista zwycięzców za okres r. Lista zwycięzców za okres 4.08.2014 10.08.2014 r. MIECZYSŁAW S. PIOTR W. ANASTAZJA B. STEFAN J. IRENA K. JERZY K. HELENA R. KAZIMIERZ C. JERZY G. ZOFIA M. EDWARD B. EWA S.P. MIECZYSŁAW D. GRZEGORZ K. JOLANTA

Bardziej szczegółowo

Kryptografia - zastosowanie krzywych eliptycznych

Kryptografia - zastosowanie krzywych eliptycznych Kryptografia - zastosowanie krzywych eliptycznych 24 marca 2011 Niech F będzie ciałem doskonałym (tzn. każde rozszerzenie algebraiczne ciała F jest rozdzielcze lub równoważnie, monomorfizm Frobeniusa jest

Bardziej szczegółowo

Weronika Łabaj. Geometria Bolyaia-Łobaczewskiego

Weronika Łabaj. Geometria Bolyaia-Łobaczewskiego Weronika Łabaj Geometria Bolyaia-Łobaczewskiego Tematem mojej pracy jest geometria hiperboliczna, od nazwisk jej twórców nazywana też geometrią Bolyaia-Łobaczewskiego. Mimo, że odkryto ją dopiero w XIX

Bardziej szczegółowo

Uniwersytet Śląski w Katowicach str. 1 Wydział Matematyki, Fizyki i Chemii

Uniwersytet Śląski w Katowicach str. 1 Wydział Matematyki, Fizyki i Chemii Uniwersytet Śląski w Katowicach str. 1 Kierunek i poziom studiów: Matematyka, studia II stopnia, rok 1 Sylabus modułu: Analiza zespolona (03-MO2S-12-AZes) 1. Informacje ogólne koordynator modułu rok akademicki

Bardziej szczegółowo

TEORIA WĘZŁÓW. Natalia Grzechnik 10B2

TEORIA WĘZŁÓW. Natalia Grzechnik 10B2 TEORIA WĘZŁÓW Natalia Grzechnik 10B2 Słowem wstępu zastosowanie teorii węzłów Biologiczna rola węzłów w białkach Wyznaczanie topologii białek Kryptografia Biofizyka Opis struktur DNA, RNA, białek DNA a

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: Funkcje zespolone Complex functions Kierunek: Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy dla wszystkich specjalności Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia Matematyka Poziom kwalifikacji: I stopnia Liczba

Bardziej szczegółowo

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści 0 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 2 1 Geometria analityczna w R 2 3 3 3 2 Liczby zespolone 4 4 4 3

Bardziej szczegółowo

Kawa? Proszę! Lista zwycięzców konkursu

Kawa? Proszę! Lista zwycięzców konkursu Kawa? Proszę! Lista zwycięzców konkursu I tura - zgłoszenia z dnia 16 kwietnia 2015 r. 1 Bartosz R 2 Robert F 3 Małgorzata R 4 Michał C Zephirus Warszawa 17 Stycznia 45B 5 Marcin N Zephirus Warszawa 17

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN LICENCJACKI NA KIERUNKU MATEMATYKA ROK AKADEMICKI 2016/2017

EGZAMIN LICENCJACKI NA KIERUNKU MATEMATYKA ROK AKADEMICKI 2016/2017 EGZAMIN LICENCJACKI NA KIERUNKU MATEMATYKA ROK AKADEMICKI 2016/2017 1. Analiza matematyczna 1. Zdefiniuj pojęcia kresów podzbiorów zbioru liczb rzeczywistych. 2. Omów pojęcie granicy ciągu liczb rzeczywistych

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki (4 godz.)

Elementy logiki (4 godz.) Elementy logiki (4 godz.) Spójniki zdaniotwórcze, prawa de Morgana. Wyrażenie implikacji za pomocą alternatywy i negacji, zaprzeczenie implikacji. Prawo kontrapozycji. Podstawowe prawa rachunku zdań. Uczestnik

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: Analiza Matematyczna III Mathematical Analysis III Kierunek: Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy dla wszystkich specjalności Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia Matematyka Poziom przedmiotu: I

Bardziej szczegółowo

WYKŁADY Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW UCZELNI EKONOMICZNYCH

WYKŁADY Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW UCZELNI EKONOMICZNYCH WYKŁADY Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW UCZELNI EKONOMICZNYCH Pod redakcją Anny Piweckiej Staryszak Autorzy poszczególnych rozdziałów Anna Piwecka Staryszak: 2-13; 14.1-14.6; 15.1-15.4; 16.1-16.3; 17.1-17.6;

Bardziej szczegółowo

Uniwersyteckie Koło Matematyczne - Tajemnicza liczba e.

Uniwersyteckie Koło Matematyczne - Tajemnicza liczba e. Uniwersyteckie Koło Matematyczne - Tajemnicza liczba e. Filip Piękniewski Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytetu Mikołaja Kopernika http://www.mat.umk.pl/ philip 17 grudnia 2009 Filip Piękniewski,

Bardziej szczegółowo

KARTA KURSU. Kod Punktacja ECTS* 4

KARTA KURSU. Kod Punktacja ECTS* 4 Załącznik nr 4 do Zarządzenia Nr.. KARTA KURSU Nazwa Analiza matematyczna 3 Nazwa w j. ang. Mathematical Analysis 3 Kod Punktacja ECTS* 4 Koordynator Prof. M. C. Zdun Zespół dydaktyczny dr Z. Powązka,

Bardziej szczegółowo

Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych. Politechnika Warszawska

Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych. Politechnika Warszawska Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechnika Warszawska Historia Katedry Matematyki na wydziałach PW 1963 1966 Instytut Matematyki Studium Matematyczno-Techniczne 1971 Studium Podstawowych Problemów

Bardziej szczegółowo

III. STRUKTURA I FORMA EGZAMINU

III. STRUKTURA I FORMA EGZAMINU III. STRUKTURA I FORMA EGZAMINU Egzamin maturalny z matematyki jest egzaminem pisemnym sprawdzającym wiadomości i umiejętności określone w Standardach wymagań egzaminacyjnych i polega na rozwiązaniu zadań

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: Obliczenia symboliczne Symbolic computations Kierunek: Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy w ramach treści wspólnych z kierunkiem Informatyka Rodzaj zajęć: wykład,

Bardziej szczegółowo

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ L.p. 1. Liczby rzeczywiste 2. Wyrażenia algebraiczne bada, czy wynik obliczeń jest liczbą

Bardziej szczegółowo

Dyskretna teoria Morse a

Dyskretna teoria Morse a Dyskretna teoria Morse a Toruńska Letnia Szkoła Matematyki 2011 Michał Kukieła Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu θ R θ Klasyczna teoria Morse a M n - zwarta rozmaitość gładka bez brzegu, f : M n

Bardziej szczegółowo

RAPORT. Komputerowe wspomaganie nauczania matematyki-innowacja z matematyki z elementami informatyki. Z realizacji innowacji pedagogicznej

RAPORT. Komputerowe wspomaganie nauczania matematyki-innowacja z matematyki z elementami informatyki. Z realizacji innowacji pedagogicznej RAPORT Z realizacji innowacji pedagogicznej Komputerowe wspomaganie nauczania matematyki-innowacja z matematyki z elementami informatyki Autor: mgr Renata Ziółkowska Miejsce realizacji innowacji pedagogicznej:

Bardziej szczegółowo

V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE

V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE Standardy wymagań egzaminacyjnych Zdający posiada umiejętności w zakresie: POZIOM PODSTAWOWY POZIOM ROZSZERZONY 1. wykorzystania i tworzenia informacji: interpretuje tekst matematyczny

Bardziej szczegółowo

Grupa klas odwzorowań powierzchni

Grupa klas odwzorowań powierzchni Grupa klas odwzorowań powierzchni Błażej Szepietowski Uniwersytet Gdański Horyzonty matematyki 2014 Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki 2014 1 / 36 Grupa klas odwzorowań

Bardziej szczegółowo

Eliza Wajch, Geometria z Topologią, wykład 1, 2012/2013

Eliza Wajch, Geometria z Topologią, wykład 1, 2012/2013 Eliza Wajch Wykłady i ćwiczenia z geometrii analitycznej z elementami topologii w UPH w Siedlcach w semestrze zimowym roku akad. 2012/2013. Literatura podstawowa: 1. K. Kuratowski, A. Mostowski: Teoria

Bardziej szczegółowo

Tomasz Tobiasz PLAN WYNIKOWY (zakres podstawowy)

Tomasz Tobiasz PLAN WYNIKOWY (zakres podstawowy) Tomasz Tobiasz PLAN WYNIKOWY (zakres podstawowy) klasa 3. PAZDRO Plan jest wykazem wiadomości i umiejętności, jakie powinien mieć uczeń ubiegający się o określone oceny na poszczególnych etapach edukacji

Bardziej szczegółowo

Paweł Gładki. Algebra. http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/

Paweł Gładki. Algebra. http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/ Paweł Gładki Algebra http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/ Konsultacje: Środa, 14:00-15:00 Jeżeli chcesz spotkać się z prowadzącym podczas konsultacji, postaraj się powiadomić go o tym przed lub po zajęciach,

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie Banacha-Tarskiego z punktu widzenia algebraika

Twierdzenie Banacha-Tarskiego z punktu widzenia algebraika Instytut Matematyczny PAN Konwersatorium dla doktorantów Twierdzenie Banacha-Tarskiego z punktu widzenia algebraika Joanna Jaszuńska IM PAN Warszawa, 10 listopada 2006 Twierdzenie Banacha-Tarskiego z punktu

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do struktur o-minimalnych

Wprowadzenie do struktur o-minimalnych Wprowadzenie do struktur o-minimalnych Piotr Pokora 22.02.2009 1 Wprowadzenie do struktur o-minimalnych i pojęcia wstępne Na początku lat 80-tych Pillay i Steinhorn wprowadzili pojęcie o-minimalności bazując

Bardziej szczegółowo

KARTA PRZEDMIOTU. 1. NAZWA PRZEDMIOTU: Analiza matematyczna III (ANA023) 2. KIERUNEK: MATEMATYKA. 3. POZIOM STUDIÓW: I stopnia

KARTA PRZEDMIOTU. 1. NAZWA PRZEDMIOTU: Analiza matematyczna III (ANA023) 2. KIERUNEK: MATEMATYKA. 3. POZIOM STUDIÓW: I stopnia KARTA PRZEDMIOTU 1. NAZWA PRZEDMIOTU: Analiza matematyczna III (ANA023) 2. KIERUNEK: MATEMATYKA 3. POZIOM STUDIÓW: I stopnia 4. ROK/ SEMESTR STUDIÓW: II/3 5. LICZBA PUNKTÓW ECTS: 11 6. LICZBA GODZIN: 60

Bardziej szczegółowo

lp. imię żeńskie liczba wystapień lp. imię męskie liczba wystapień JULIA JAKUB WIKTORIA MATEUSZ 10.

lp. imię żeńskie liczba wystapień lp. imię męskie liczba wystapień JULIA JAKUB WIKTORIA MATEUSZ 10. lp. imię żeńskie liczba wystapień lp. imię męskie liczba wystapień 2002 2002 1 JULIA 11.854 1 JAKUB 18.013 2 WIKTORIA 11.356 2 MATEUSZ 10.170 3 NATALIA 9.963 3 KACPER 10.046 4 ALEKSANDRA 9.176 4 MICHAŁ

Bardziej szczegółowo

ZAKRESY NATERIAŁU Z-1:

ZAKRESY NATERIAŁU Z-1: Załącznik nr 2 do SIWZ Nr postępowania: ZP/47/055/U/13 ZAKRESY NATERIAŁU Z-1: 1) Funkcja rzeczywista jednej zmiennej: ciąg dalszy a) Definicja granicy funkcji, b) Twierdzenie o trzech funkcjach, o granicy

Bardziej szczegółowo

SCENARIUSZ LEKCJI. TEMAT LEKCJI: Zastosowanie średnich w statystyce i matematyce. Podstawowe pojęcia statystyczne. Streszczenie.

SCENARIUSZ LEKCJI. TEMAT LEKCJI: Zastosowanie średnich w statystyce i matematyce. Podstawowe pojęcia statystyczne. Streszczenie. SCENARIUSZ LEKCJI OPRACOWANY W RAMACH PROJEKTU: INFORMATYKA MÓJ SPOSÓB NA POZNANIE I OPISANIE ŚWIATA. PROGRAM NAUCZANIA INFORMATYKI Z ELEMENTAMI PRZEDMIOTÓW MATEMATYCZNO-PRZYRODNICZYCH Autorzy scenariusza:

Bardziej szczegółowo

KARTA PRZEDMIOTU. 12. PRZEDMIOTOWE EFEKTY KSZTAŁCENIA Odniesienie do kierunkowych efektów kształcenia (symbol)

KARTA PRZEDMIOTU. 12. PRZEDMIOTOWE EFEKTY KSZTAŁCENIA Odniesienie do kierunkowych efektów kształcenia (symbol) KARTA PRZEDMIOTU 1. NAZWA PRZEDMIOTU: Wstęp do logiki i teorii mnogości (LTM010) 2. KIERUNEK: MATEMATYKA 3. POZIOM STUDIÓW: I stopnia 4. ROK/ SEMESTR STUDIÓW: I/1 5. LICZBA PUNKTÓW ECTS: 8 6. LICZBA GODZIN:

Bardziej szczegółowo

Pakiet edukacyjny do nauki przedmiotów ścisłych i kształtowania postaw przedsiębiorczych

Pakiet edukacyjny do nauki przedmiotów ścisłych i kształtowania postaw przedsiębiorczych ZESPÓŁ SZKÓŁ HANDLOWO-EKONOMICZNYCH IM. MIKOŁAJA KOPERNIKA W BIAŁYMSTOKU Pakiet edukacyjny do nauki przedmiotów ścisłych i kształtowania postaw przedsiębiorczych Mój przedmiot matematyka spis scenariuszy

Bardziej szczegółowo

Egzamin gimnazjalny z matematyki 2016 analiza

Egzamin gimnazjalny z matematyki 2016 analiza Egzamin gimnazjalny z matematyki 2016 analiza Arkusz zawierał 23 zadania: 20 zamkniętych i 3 otwarte. Dominowały zadania wyboru wielokrotnego, w których uczeń wybierał jedną z podanych odpowiedzi. W pięciu

Bardziej szczegółowo

Rozdział XV CAŁKI KRZYWOLINIOWE. CAŁKA STIELTJESA

Rozdział XV CAŁKI KRZYWOLINIOWE. CAŁKA STIELTJESA Księgarnia PWN: Grigorij M. Fichtenholz Rachunek różniczkowy i całkowy. T. 3 Rozdział XV CAŁKI KRZYWOLINIOWE. CAŁKA STIELTJESA 1. Całki krzywoliniowe pierwszego rodzaju 543. Definicja całki krzywoliniowej

Bardziej szczegółowo

SYLABUS DOTYCZY CYKLU KSZTAŁCENIA (skrajne daty)

SYLABUS DOTYCZY CYKLU KSZTAŁCENIA (skrajne daty) Załącznik nr 4 do Uchwały Senatu nr 430/01/2015 SYLABUS DOTYCZY CYKLU KSZTAŁCENIA 2015-2018 (skrajne daty) 1.1. PODSTAWOWE INFORMACJE O PRZEDMIOCIE/MODULE Nazwa przedmiotu/ modułu Geometria szkolna Kod

Bardziej szczegółowo

Rachunek całkowy - całka oznaczona

Rachunek całkowy - całka oznaczona SPIS TREŚCI. 2. CAŁKA OZNACZONA: a. Związek między całką oznaczoną a nieoznaczoną. b. Definicja całki oznaczonej. c. Własności całek oznaczonych. d. Zastosowanie całek oznaczonych. e. Zamiana zmiennej

Bardziej szczegółowo

Wyniki kolejnych edycji Konkursu im. A. Z. Krygowskiej na najlepszą pracę studencką z dydaktyki matematyki

Wyniki kolejnych edycji Konkursu im. A. Z. Krygowskiej na najlepszą pracę studencką z dydaktyki matematyki Wyniki kolejnych edycji Konkursu im. A. Z. Krygowskiej na najlepszą pracę studencką z dydaktyki matematyki Edycja 2014 Wyróżnienia - ex aequo Dorota Kędroń, absolwentka Uniwersytetu Jagiellońskiego w Krakowie,

Bardziej szczegółowo

KARTA PRZEDMIOTU. w języku polskim Analiza Matematyczna 1 w języku angielskim Mathematical Analysis 1 USYTUOWANIE PRZEDMIOTU W SYSTEMIE STUDIÓW

KARTA PRZEDMIOTU. w języku polskim Analiza Matematyczna 1 w języku angielskim Mathematical Analysis 1 USYTUOWANIE PRZEDMIOTU W SYSTEMIE STUDIÓW Kod przedmiotu Nazwa przedmiotu KARTA PRZEDMIOTU AM1_M w języku polskim Analiza Matematyczna 1 w języku angielskim Mathematical Analysis 1 USYTUOWANIE PRZEDMIOTU W SYSTEMIE STUDIÓW Kierunek studiów Forma

Bardziej szczegółowo

Miary splątania kwantowego

Miary splątania kwantowego kwantowego Michał Kotowski michal.kotowski1@gmail.com K MISMaP, Uniwersystet Warszawski Studenckie Koło Fizyki UW (SKFiz UW) 24 kwietnia 2010 kwantowego Spis treści 1 2 Stany czyste i mieszane Matematyczny

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: ALGEBRA LINIOWA I GEOMETRIA ANALITYCZNA Kierunek: Mechatronika Linear algebra and analytical geometry Kod przedmiotu: A01 Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy dla wszystkich specjalności Poziom

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone Zadanie 1.1. Przedstawić w postaci a + ib, a, b R, następujące liczby zespolone (1) 1 i (2) (5)

1. Liczby zespolone Zadanie 1.1. Przedstawić w postaci a + ib, a, b R, następujące liczby zespolone (1) 1 i (2) (5) . Liczby zespolone Zadanie.. Przedstawić w postaci a + ib, a, b R, następujące liczby zespolone () i +i, () 3i, (3) ( + i 3) 6, (4) (5) ( +i ( i) 5, +i 3 i ) 4. Zadanie.. Znaleźć moduł i argument główny

Bardziej szczegółowo

Rozkład materiału z matematyki dla II klasy liceum i technikum zakres podstawowy (37 tyg. 3 godz. = 111 godz.)

Rozkład materiału z matematyki dla II klasy liceum i technikum zakres podstawowy (37 tyg. 3 godz. = 111 godz.) Rozkład materiału z matematyki dla II klasy liceum i technikum zakres podstawowy (37 tyg. 3 godz. = godz.) Ramowy rozkład materiału I. Podstawowe własności figur geometrycznych na płaszczyźnie, cz. 2...

Bardziej szczegółowo

Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2014/15

Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2014/15 Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 201/15 (1) Nazwa Rachunek różniczkowy i całkowy I (2) Nazwa jednostki prowadzącej Wydział Matematyczno - Przyrodniczy przedmiot (3)

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: Kierunek: ENERGETYKA Rodzaj przedmiotu: Kierunkowy ogólny Rodzaj zajęć: Wykład, ćwiczenia MECHANIKA Mechanics Forma studiów: studia stacjonarne Poziom kwalifikacji: I stopnia Liczba godzin/tydzień:

Bardziej szczegółowo

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a); Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy

Bardziej szczegółowo

Podstawa programowa przedmiotu MATEMATYKA. III etap edukacyjny (klasy I - III gimnazjum)

Podstawa programowa przedmiotu MATEMATYKA. III etap edukacyjny (klasy I - III gimnazjum) Podstawa programowa przedmiotu MATEMATYKA III etap edukacyjny (klasy I - III gimnazjum) Cele kształcenia wymagania ogólne: I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń interpretuje i tworzy teksty o

Bardziej szczegółowo

Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. 2 godz. = 76 godz.)

Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. 2 godz. = 76 godz.) Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. godz. = 76 godz.) I. Funkcja i jej własności.4godz. II. Przekształcenia wykresów funkcji...9 godz. III. Funkcja

Bardziej szczegółowo

Zał. nr 4 do ZW 33/2012 WYDZIAŁ MATEMATYKI WYDZIAŁ BUDOWNICTWA LĄDOWEGO I WODNEGO KARTA PRZEDMIOTU

Zał. nr 4 do ZW 33/2012 WYDZIAŁ MATEMATYKI WYDZIAŁ BUDOWNICTWA LĄDOWEGO I WODNEGO KARTA PRZEDMIOTU Zał. nr 4 do ZW 33/01 WYDZIAŁ MATEMATYKI WYDZIAŁ BUDOWNICTWA LĄDOWEGO I WODNEGO KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim: Analiza matematyczna 1.1 A Nazwa w języku angielskim: Mathematical Analysis 1.1

Bardziej szczegółowo

Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura

Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura 2011-2014 STANDARDY WYMAGAŃ BĘDĄCE PODSTAWĄ PRZEPROWADZANIA EGZAMINU MATURALNEGO Zdający posiada umiejętności w zakresie: POZIOM PODSTAWOWY 1. wykorzystania

Bardziej szczegółowo

1. Potęgi. Logarytmy. Funkcja wykładnicza

1. Potęgi. Logarytmy. Funkcja wykładnicza 1. Potęgi. Logarytmy. Funkcja wykładnicza Tematyka zajęć: WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY KL. 3 POZIOM PODSTAWOWY Potęga o wykładniku rzeczywistym powtórzenie Funkcja wykładnicza i jej własności

Bardziej szczegółowo

Zdający posiada umiejętności w zakresie: 1. wykorzystania i tworzenia informacji: interpretuje tekst matematyczny i formułuje uzyskane wyniki

Zdający posiada umiejętności w zakresie: 1. wykorzystania i tworzenia informacji: interpretuje tekst matematyczny i formułuje uzyskane wyniki Standardy wymagań na egzaminie maturalnym z matematyki mają dwie części. Pierwsza część opisuje pięć podstawowych obszarów umiejętności matematycznych. Druga część podaje listę szczegółowych umiejętności.

Bardziej szczegółowo

Plan wynikowy. Klasa III Technikum ekonomiczne. Kształcenie ogólne w zakresie rozszerzonym

Plan wynikowy. Klasa III Technikum ekonomiczne. Kształcenie ogólne w zakresie rozszerzonym Plan wynikowy lasa III Technikum ekonomiczne. ształcenie ogólne w zakresie rozszerzonym Oznaczenia: wymagania konieczne, P wymagania podstawowe, R wymagania rozszerzające, D wymagania dopełniające, W wymagania

Bardziej szczegółowo

Matematyka zajęcia fakultatywne (Wyspa inżynierów) Dodatkowe w ramach projektu UE

Matematyka zajęcia fakultatywne (Wyspa inżynierów) Dodatkowe w ramach projektu UE PROGRAM ZAJĘĆ FAKULTATYWNYCH Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW I ROKU SYLABUS Nazwa uczelni: Wyższa Szkoła Przedsiębiorczości i Administracji w Lublinie ul. Bursaki 12, 20-150 Lublin Kierunek Rok studiów Informatyka

Bardziej szczegółowo

Algebry skończonego typu i formy kwadratowe

Algebry skończonego typu i formy kwadratowe Algebry skończonego typu i formy kwadratowe na podstawie referatu Justyny Kosakowskiej 26 kwietnia oraz 10 i 17 maja 2001 Referat został opracowany w oparciu o prace Klausa Bongartza Criterion for finite

Bardziej szczegółowo

SPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI

SPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI SPIS TREŚCI WSTĘP.................................................................. 8 1. LICZBY RZECZYWISTE Teoria............................................................ 11 Rozgrzewka 1.....................................................

Bardziej szczegółowo

5. Logarytmy: definicja oraz podstawowe własności algebraiczne.

5. Logarytmy: definicja oraz podstawowe własności algebraiczne. 5. Logarytmy: definicja oraz podstawowe własności algebraiczne. 78. Uprościć wyrażenia a) 4 2+log 27 b) log 3 2 log 59 c) log 6 2+log 36 9 a) 4 2+log 27 = (2 2 ) log 27 4 = 28 2 = 784 29 listopada 2008

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MAGISTERSKI NA KIERUNKU MATEMATYKA ROK AKADEMICKI 2016/ Podaj definicję teorii formalnej i definicję dowodu formuły w takiej teorii.

EGZAMIN MAGISTERSKI NA KIERUNKU MATEMATYKA ROK AKADEMICKI 2016/ Podaj definicję teorii formalnej i definicję dowodu formuły w takiej teorii. EGZAMIN MAGISTERSKI NA KIERUNKU MATEMATYKA ROK AKADEMICKI 2016/2017 1. Logika i podstawy matematyki 1. Podaj definicję teorii formalnej i definicję dowodu formuły w takiej teorii. 2. Sformułuj twierdzenie

Bardziej szczegółowo

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014.

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. W nawiasie przy zadaniu jego występowanie w numerze zestawu Spis treści (Z1, Z22, Z43) Definicja granicy ciągu. Obliczyć granicę:... 3 Definicja granicy ciągu...

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA I GIMNAZJUM Małgorzata Janik

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA I GIMNAZJUM Małgorzata Janik WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA I GIMNAZJUM Małgorzata Janik DOPUSZCZAJĄCY DOSTATECZNY DOBRY BARDZO DOBRY LICZBY I DZIAŁANIA zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej. rozumie rozszerzenie

Bardziej szczegółowo

Spektrum pierścienia i topologia Zariskiego

Spektrum pierścienia i topologia Zariskiego Uniwersytet Warmińsko Mazurski w Olsztynie Wydział Matematyki i Informatyki Kierunek: Matematyka Anna Michałek Spektrum pierścienia i topologia Zariskiego Praca magisterska wykonana w zakładzie Algebry

Bardziej szczegółowo

Poradnik encyklopedyczny

Poradnik encyklopedyczny I.N.Bronsztejn K.A.Siemiendiajew Poradnik encyklopedyczny Tłumaczyli Stefan Czarnecki, Robert Bartoszyński Wydanie dziesiąte Wydawnictwo Naukowe PWN Warszawa 1995 SPIS RZECZY Przedmowa 5 Oznaczenia matematyczne

Bardziej szczegółowo

KIERUNEK STUDIÓW: ELEKTROTECHNIKA

KIERUNEK STUDIÓW: ELEKTROTECHNIKA 1. PROGRAM NAUCZANIA KIERUNEK STUDIÓW: ELEKTROTECHNIKA PRZEDMIOT: MATEMATYKA (Stacjonarne: 105 h wykład, 120 h ćwiczenia rachunkowe) S t u d i a I s t o p n i a semestr: W Ć L P S I 2 E 2 II 3 E 4 III

Bardziej szczegółowo

Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura 2010

Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura 2010 Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura 2010 STANDARDY WYMAGAŃ BĘDĄCE PODSTAWĄ PRZEPROWADZANIA EGZAMINU MATURALNEGO Standardy można pobrać (plik pdf) wybierając ten link: STANDARDY 2010 lub

Bardziej szczegółowo