Toruńska Letnia Szkoła Matematyki i Informatyki Topologia i geometria" oraz Technologie webowe" pod patronatem

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Toruńska Letnia Szkoła Matematyki i Informatyki Topologia i geometria" oraz Technologie webowe" pod patronatem"

Transkrypt

1

2

3 Konferencja dla młodych naukowców pt. Toruńska Letnia Szkoła Matematyki i Informatyki Topologia i geometria" oraz Technologie webowe" pod patronatem Centrum Badań Nieliniowych im. J. P. Schaudera sierpnia 2015 organizatorzy Koło Naukowe Informatyków Uniwersytetu Mikołaja Kopernika w Toruniu Koło Naukowe Matematyków Uniwersytetu Mikołaja Kopernika w Toruniu Wydziałowa Rada Samorz adu Studenckiego Wydziału Matematyki i Informatyki UMK

4 Spis treści Użyteczne informacje 1 Tytuły i streszczenia wykładów 2 Tytuły i streszczenia referatów 7 Abstrakty plakatów 11 Lista uczestników 13 Organizatorzy i kontakt 15 Mapka 16

5 Użyteczne informacje Rejestracja uczestników będzie miała miejsce w niedzielę 23 sierpnia w godzinach 17:30-20:00 w głównym holu Wydziału Matematyki i Informatyki UMK. Biuro konferencji będzie się znajdować w pokoju F204. W przypadku jakichkolwiek problemów czy pytań należy szukać osób z identyfiaktorem organizatora/wolontariusza. Uwaga: Noclegi płatne na miejscu, w dniu przyjazdu. Wszyscy studenci zakwaterowani sa w dniach od 23 sierpnia do 28 sierpnia (niedziela piatek), w Domu Studenckim nr 3, ul. Moniuszki 16/20 tel , Obiady i śniadania będa wydawane za okazaniem identyfikatora w Barze wydziałowym na Wydziale Matematyki i Informatyki UMK. Śniadania sa zaplanowane w godzinach 8:00-9:00. Jeśli do prezentacji potrzebna jest pomoc multimedialna w postaci rzutnika, wyświetlacza lub inna, prosimy o wcześniejsze zwrócenie na to uwagi organizatorom. Po dniach wypełnionych wykładami zapraszamy do wspólnego spędzania wieczorów. Organizatorzy zaplanowali grupowe wyjścia na miasto oraz inne atrakcje. Szczegółowe informacje będa codziennie przekazywane przez organizatorów. W późniejszym czasie na stronie zostana umieszczone zdjęcia z warsztatów. Zachęcamy też do przesyłania własnych. 1

6 Tytuły i streszczenia wykładów W tym roku warsztaty matematyczne odbywać się będa pod hasłem: Topologia i geometria". Swymi wykładami uświetnia je następujacy naukowcy: dr Zbigniew Błaszczyk, Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu dr hab. Marek Kordos, prof. UW, Uniwersytet Warszawski prof. dr hab. Zbigniew Szafraniec, Uniwersytet Gdański prof. dr hab. Grzegorz Zwara, Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Natomiast w części informatycznej poruszajacej zagadnienia technologii webowych swoje prelekcje wygłosza: dr Wojciech Czart, Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu dr Tomasz Piotrowski, Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu dr Błażej Zyglarski, Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Poniżej zamieszczamy streszczenia wykładów: Zaproszenie do topologicznej teorii robotów dr Zbigniew Błaszczyk, Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Kurs został zaplanowany jako łagodne wprowadzenie do topologicznej teorii robotów, której głównym zadaniem jest rozwiazanie zagadnienia planowania ruchu: uzyskanie stabilnego algorytmu, który parze (x, y) X X przyporzadkuje ścieżkę od punktu x do punktu y, gdzie X oznacza przestrzeń stanów danego układu mechanicznego. Podstawowym narzędziem służacym do badania trudności procesu planowania ruchu jest wprowadzone przez M. Farbera pojęcie złożoności topologicznej. Ze względu na swoje zastosowania w robotyce oraz bliski zwiazek z kategoria Lusternika Schnirelmanna, złożoność topologiczna cieszy się w ostatnim okresie duża popularnościa. 2

7 A B B τ A Obrót po łuku okręgu w płaszczyźnie prostopadłej do płaszczyzny kartki przeprowadzi robota z jednej pozycji do drugiej. Który z dwóch możliwych wyborów kierunku obrotu jest właściwy? Geometrie nieeuklidesowe, skad się wzięły, i co o nich dziś wiadomo dr hab. Marek Kordos, prof. UW, Uniwersytet Warszawski Geometria dorycka, pojęcia pierwotne, automorfizmy, znaczenie cywilizacyjne. Elementy jako wzór ścisłości rozumowań. Program Proklosa dowodu V postulatu. Geometria absolutna i pseudodowody V postulatu. Geometria hiperboliczna i jej twórcy. Modele geometrii hiperbolicznej i jej równoważność z euklidesowa. Gauss i geometria wewnętrzna. Theorema egregium. Krzywizna a miara. Geometria Riemanna. Helmholtz i aprzyrodniczość matematyki. Ogólna Teoria Względności. Jednorodna metryzacja rozmaitości. Markow i nieklasyfikowalność rozmaitości wysokowymiarowych. Thurston i hipoteza geometryzacyjna. Potoki i Perelman. Geometria rzutowa i jej dyscypliny pochodne dr hab. Marek Kordos, prof. UW, Uniwersytet Warszawski Struktury dwusortowe. Aksjomatyka geometrii rzutowej i przeglad modeli. Dualność syntaktyczna i semantyczna. Własności topologiczne płaszczyzny rzutowej. Rzuty, przekształcenia rzutowe, kolineacje i korelacje. Konfiguracje Desarguesa i Pappusa Pascala, nowa symetria. Podstawowe Twierdzenie Geometrii Rzutowej. Korelacje biegunowe, stożkowe. Twierdzenie Seydewitza i konstrukcja stycznej sama linijka. Twierdzenia Steinera, Braikenrigde a Maclaurina, Pascala Brianchona i ich uogólnienia. Współrzędne barycentryczne i droga do geometrii algebraicznej. Cayley i geometria czteroabsolutna. IV problem Hilberta, geometrie Minkowskiego i Hilberta. Ciała cechujace i twierdzenie Fritza Johna. 3

8 Formalizacje geometrii euklidesowej i geometrie lokalnie euklidesowe dr hab. Marek Kordos, prof. UW, Uniwersytet Warszawski Aksjomatyka Elementów. Aksjomat Pascha. Grundlagen der Geometrie Hilberta. What is elementary geometry? Tarskiego. Przeglad pojęć pierwotnych geometrii euklidesowej. Aufbau der Geometrie aus dem Spiegelungsberiff Bachmana. Twierdzenie Chaslesa. Grupy jednostajnie nieciagłe, przestrzenie ilorazowe. Pięć 2-wymiarowych i osiemnaście 3-wymiarowych geometrii lokalnie euklidesowych. Małe Wszechświaty. Efektywne metody badania punktów osobliwych odwzorowań wielomianowych prof. dr hab. Zbigniew Szafraniec, Uniwersytet Gdański Jeżeli f : R m R n jest odwzorowaniem różniczkowalnym, to punktami osobliwymi nazywamy te punkty w dziedzinie odwzorowania, w których rza d pochodnej jest mniejszy od min{m, n}. Celem wykładów bȩdzie przedstawienie efektywnych metod, wraz z implementacjami w programie SINGULAR, pozwalaja cych na badanie punktów osobliwych odwzorowań wielomianowych, gdy: f : R m R. Pokażemy jak badać stopień zdeterminowania punktu osobliwego, oraz jak znajdować jego postać normalna, f : R m R m. Pokażemy, jak obliczać lokalny stopień topologiczny w punktach osobliwych, f : R m R m 1, f(0) = 0, 0 jest punktem osobliwym. Pokażemy, jak obliczać liczbȩ gałȩzi zbioru zer f 1 (0) w pobliżu 0, f : R 2 R 2. Pokażemy, jak sprawdzać, że odwzorowanie f jest lokalnie stabilne, oraz jak znajdować liczbȩ dodatnich oraz ujemnych punktów osobliwych typu ostrze ( cusp ). [1] M. Crochemore, W. Rytter Jewels of stringology, World Scientific, 2003 [2] D. Gusfield Algorithms on Strings, Trees, and Sequences, Cambridge University Press, 1997 [3] Lothaire Applied combinatorics on words, volume 105 of Encyclopedia of Mathematics and its Applications, Cambridge University Press, 2005 [4] R. Sedgewick, K. Wayne Algorytmy, Helion

9 Od krzywych na płaszczyźnie do Geometrii Algebraicznej prof. dr hab. Grzegorz Zwara, Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Celem referatów jest przedstawienie szeregu zagadnień dotyczacych algebraicznych krzywych płaskich, czyli obiektów rozważanych już w starożytności. Wiele własności krzywych jest ukrytych w podstawowych strukturach algebraicznych z nimi zwiazanych: pierścień funkcji regularnych (wielomianowych), ciało funkcji wymiernych, pierścień lokalny punktu na krzywej. Zajmiemy się problemami wymierności krzywych, przecięć krzywych, stycznymi, punktami gładkimi i osobliwymi oraz klasyfikacjami krzywych. Teoria krzywych stanowi punkt wyjścia do rozmaitości algebraicznych, obiektów zdefiniowanych (lokalnie) przez zerowanie się funkcji wielomianowych. Pokażemy w jaki sposób pojęcia rozważane w kontekście krzywych uogólnić dla dowolnych rozmaitości. Wiele własności geometrycznych wynika z niebanalnych faktów z algebry przemiennej (np. dotycza- cych całkowitych rozszerzeń pierścieni). The importance of online presence and visibility - traffic analysis tools dr Wojciech Czart, Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu Współautorzy: Theresa B. Clarke (James Madison University, Harrisonburg, Virginia, USA) Jamie Murphy (Australian School of Management and Curtin Graduate School of Business, Perth) The landscape of online marketing opportunities develops enormously thanks to rapidly advancing information and communication technologies. Internet users no more go online but live online. They can access the Internet at most any moment, anywhere, for any reason. This presentation will show the need and importance of online presence, expansion, and measurement of online visibility. We will demonstrate how to deploy and utilise popular Google tools for traffic analysis critical for data-driven informed decision making and development of online marketing strategies. We will also discuss our experience from a global student competition, the Google Online Marketing Challenge, as a hands-on opportunity for students studying the mechanics of online marketing. 5

10 Architektura OLAP w MS SQL Server dr Tomasz Piotrowski, Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu MS SQL Server jest powszechnie wykorzystywanym serwerem bazodanowym. W bogatszych wersjach zawiera on narzędzia inteligencji biznesowej (ang. Business Intelligence): Analysis Services i Reporting Services, wzbogacone o narzędzie klasy ETL: Integration Services. Narzędzia te tworza tzw. BI Stack MS SQL Server. W trakcie zajęć zapoznamy się z możliwościami tych narzędzi, ze szczególnym naciskiem na zastosowanie kostek OLAP tworzonych w Analysis Services w celu wydajnego zarzadzania wielkimi zbiorami danych. Poznamy również narzędzia do eksploracji danych zaimplementowane w Analysis Services. Dynamiczne formularze Webowe:Javascript/PHP/HTML5 dr Błażej Zyglarski, Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu W trakcie wykładu i laboratorium poznamy podstawy tworzenia dynamicznych formularzy WWW. Zostana tu wykorzystane technologie HTML5 i Javascript (po stronie przegladarki) oraz PHP po stronie serwera. Pokazane zostana również główne możliwości ataku na strony, które takie formularze obsługuja, oraz podstawowe sposoby obrony przed tego typu atakami. 6

11 Tytuły i streszczenia referatów PODSTAWOWE POJECIA I FAKTY DYNAMIKI TOPOLOGICZNEJ Aurelia Bartnicka Podczas referatu zostana przybliżone pojęcia: topologicznego układu dynamicznego, potoku, układu proksymalnego, dystalnego, minimalnego, równociagłości, połaczenia topologicznego układów. Zilustrowane będa przede wszystkim przykładami układów B-wolnych. Zostana podane charakteryzacje pojęć układu proksymalnego, dystalnego i minimalnego. O DWÓCH TWIERDZENIACH DOTYCZACYCH TOPOLOGII I GEOMETRII SFER Bartosz Bieganowski Referat dotyczył będzie twierdzenia Jordana-Schönfliesa oraz twierdzenia Jordana-Brouwera. Pierwsze z nich mówi o istnieniu homeomorfizmu płaszczyzny, który ustalona krzywa Jordana przeprowadza ja na okrag. Okazuje się, że twierdzenie to nie jest prawdziwe w wyższych wymiarach, naszkicowany zostanie kontrprzykład zwany rogata sfera Alexandera na R 3. Drugie z twierdzeń mówi o tym, że n 1 wymiarowa sfera rozcina n wymiarowa na dwa obszary rozłaczne. Przedstawię szkicowy dowód tego twierdzenia z wykorzystaniem narzędzi topologii algebraicznej. Na zakończenie pokażę pewne zastosowania wspomnianych twierdzeń. POWIERZCHNIE RIEMANNA Jędrzej Garnek Główna motywacja do rozpatrywania jednowymiarowych rozmaitości zespolonych, czyli tzw. powierzchni Riemanna, była pierwotnie teoria wieloznacznych funkcji zespolonych, takich jak np. log z lub z. Szybko okazało się, że zwarte powierzchnie Riemanna maja wiele porzadnych"własności, zwiazanych np. z genusem oraz nakryciami rozgałęzionymi. Wiele ważnych twierdzeń z topologii i geometrii algebraicznej, takich jak np. twierdzenie Riemanna-Rocha, zostało dostrzeżonych właśnie dla zwartych powierzchni Riemanna. Mimo swej topologicznej definicji sa one bowiem również obiektami algebraicznymi za pomoca wiazek liniowych można 7

12 zanurzyć je w P 3 i zadać równaniami wielomianowymi. Duża część twierdzeń udowodnionych pierwotnie za pomoca metod topologicznych, została później udowodniona algebraicznie i jest prawdziwa również dla ciał różnych od C. Podczas referatu przedstawię kilka przykładów powierzchni Riemanna i zwiazanych z nimi faktów. Postaram się również wytłumaczyć, jak zanurzyć je w przestrzeń rzutowa. BRZEGOWA ZASADA HARNACKA Martyna Patera Celem referatu będzie przedstawienie dowodu brzegowej zasady Harnacka dla dodatnich funkcji harmonicznych na C 1,1 obszarach w R n. Powiemy kiedy obszar spełnia warunek kuli oraz jaki ma to zwiazek z byciem C 1,1 obszarem. Za pomoca narzędzi geometrii sformułujemy i udowodnimy dolne i górne oszacowanie dla dodatnich funkcji harmonicznych, co doprowadzi nas do dowodu zasady Harnacka. Kolejnym krokom dowodu towarzyszyć będa obrazujace je ilustracje. O PEWNYM CIEKAWYM TWIERDZENIU SZKOLNEJ GEOMETRII Daniel Strzelecki Każdy z nas ze szkoły pamięta twierdzenie Ptolemeusza (o czworokacie wpisanym w okrag). Okazuje się, że posiada ono bardzo ciekawe i dajace nietrywialne rezultaty uogólnienie pochodzace od Johna Casey a ( ). Celem referatu będzie przedstawienie dowodu twierdzenia Casey a oraz doń odwrotnego oraz kilku jego zastosowań w zadaniach pochodza- cych z międzynarodowych olimpiad matematycznych. Nie zabraknie również zadań do samodzielnego rozwiazania! 8

13 ELIPTYCZNE ARBELOS Marcin Szweda Kiedy po raz pierwszy przeczytaliśmy artykuł Jonathana Sondowa (opublikowany w grudniu 2013 roku w Amerykańskim Miesięczniku Matematycznym) dotyczacy pojęcia i własności parbelos, czyli parabolicznego odpowiednika arbelos powszechnie znanej, klasycznej figury geometrycznej, byliśmy zaskoczeni! Byliśmy zaskoczeni tym, że tak późno zajęto się tym uogólnieniem (ponad 2000 lat po Archimedesie) i zaczęliśmy się zastanawiać, co właściwie wiadomo o innych stożkowych analogonach arbelos? Już na poziomie eliptycznego arbelos najbardziej naturalnego uogólnienia klasycznego arbelos nie spotkaliśmy żadnych innych cytowań (poza wspomnianym wyżej artykułem Sondowa), żadnych informacji, czy wskazówek. Mimo tego, parafrazujac samego Hilberta, chcieliśmy przyjrzeć się eliptycznemu arbelos, musieliśmy przyjrzeć się eliptycznemu arbelos. Jak się teraz okazuje warto było przyjrzeć się temu pojęciu. Co prawda, jesteśmy dopiero na poczatku ścieżki badań, więc i nasze odkrycia bliskie sa fazie koncepcji i prostych obserwacji, ale już nagradzaja poświęcony przez nas czas i poniesiony trud badawczy. Naszymi skromnymi obserwacjami i odkryciami, jak również watpliwościami, pytaniami, hipotezami na temat eliptycznego arbelos, chcieliśmy wreszcie podzielić się z większym gronem matematyków, zwłaszcza z miłośnikami geometrii. PS. Historia pojęcia arbelos ginie w mrokach dziejów (R. P. Boas). Archimedes poświęcił arbelos odrębna pracę nie zachowała się jednak żadna kopia tej pracy. Archimedesowi przypisuje się odkrycie w arbelos tak zwanych bliźniaczych okręgów Archimedesa. Leon Bankoff ( XX-wieczny amerykański znawca tematyki arbelos z zamiłowania matematyk, z zawodu dentysta) w 1974 roku odkrył, że mamy trojacze okręgi Archimedesa (-Bankoffa), a w cytowanej poniżej pracy panów D. S. W. Y. wyróżniono już 29 takich specjalnych okręgów i na dokładkę nieskończenie wiele w tzw. ciagu okręgów Petera Woo. Pappus z Aleksandrii jest odkrywca (jak przyjmuje się obecnie) ciagu okręgów wpisanych w arbelos, zwanego łańcuchem Pappusa i interesujacego twierdzenia o promieniach tych okręgów. Jeszcze do niedawna arbelos nazywano zamiennie nożem szewski (ang. shoemaker s knife wyłacznie takim określeniem posługiwał się w swoich pracach Leon Bankoff), chociaż jak się wydaje nie jest to najlepsze określenie (zobacz odpowiednia argumentację w pracy R. P. Boasa), lepiej brzmi sformułowanie koci pazur?! 9

14 O ZWARTOŚCI I ZBIEŻNOŚCIACH NIEMETRYCZNYCH Mateusz Topolewski W zastosowaniach topologii (równania różniczkowe, teoria procesów stochastycznych) ważna rolę odgrywa (relatywna) zwartość zbioru. Klasyczna definicja zwartości jest mało operacyjna. W przestrzeniach metrycznych mamy charakteryzację ciagow a, która na ogół jest dużo bardziej użyteczna. Czy taka sama własność ma jakaś większa klasa przestrzeni? Celem referatu jest zdefiniowanie i charakteryzacja zbieżności topologicznej i przestrzeni submetrycznych. Opiszemy ich własności, wskażemy przykłady takich obiektów i przykłady zastosowań tej teorii. DYSKRYMINACJA STANÓW KOWARIANTNYCH Rafał Wieczorek Rozróżnianie nieortogonalnych stanów jest fundamentalnym zagadnieniem w mechanice kwatowej. Jak wiadomo nigdy nie można ich idealnie rozróżnić. Przedstawię zagadnienie dyskryminacj stanów za pomoca maksymalizacji prawdopodobieństwa detekcji (wykrycia). Pełne rozwiazanie tego zagadnienia jest trudne i dotychczas nikt tego nie dokonał. Przy pewnych założeniach o symetryczności stanów zagadnienie jest prostsze do rozwia- zania. W głównej części referatu skupię się na przypadku stanów kowariantnych. Przy tym uproszczeniu przedstawię metodę znajdowania pomiaru optymalnego m. in. dla stanów czystych. Podam także konkretne przykłady i problemy otwarte. 10

15 Abstrakty plakatów ULTRAFILTRY W DOWODACH TWIERDZEŃ O ROZBICIACH LICZB NATURALNYCH Aurelia Bartnicka Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Przy użyciu pojęcia filtru wprowadza się definicję granicy uogólnionego ciagu w dowolnej przestrzeni topologicznej. Prowadzi to do rozważania przestrzeni Frécheta. Okazuje się, że ultrafiltry, które sa szczególnymi filtrami, można wykorzystać do dowodu twierdzeń o liczbach naturalnych na przykład twierdzenia Hindmana i twierdzenia van der Waerdena. Mówia one, że zakładajac, iż mamy dowolne skończone rozbicie zbioru liczb naturalnych N = r i=1 C i, to odpowiednio istnieja 1 i r oraz ciag (x n ) n N różnych liczb naturalnych taki, że C i zawiera wszystkie skończone sumy elementów z (x n ) n N oraz istnieje 1 j r takie, że C j zawiera ciag arytmetyczny dowolnej długości. Przedstawię dowody tych twierdzeń i własności ultrafiltrów niezbędne do przeprowadzenia ich. [1] Engelking Ryszard, Topologia ogólna, Warszawa, PWN, 2007, [2] Kwietniak Dominik, Ultrafiltry, Matematyka-Społeczeństwo-Nauczanie 2012, nr 48, s , [3] Konieczny Jakub, Applications of Ultrafilters in Ergodic Theory and Combinatorial Number Theory, Department of Mathematics, Vrije Universiteit Amsterdam, Instytut Matematyki, Jagiellonian University, 2013, s. 4-48, PRZESTRZENIE NAKRYWAJACE Małgorzata Grzyb Uniwersytet Łódzki Pojęcie przestrzeni nakrywajacej wywodzi się z analizy zespolonej, a w szczególności z badania holomorficznych "funkcji wieloznacznych", powstajacych przy przedłużaniu analitycznym. Zostało ono odkryte przez B. Riemanna w czasach, gdy nie było jeszcze środków umożliwiajacych jego zrozumienie na poziomie dzisiejszych standardów ścisłości. Na plakacie zaprezentuję pojęcie przestrzeni nakrywajacej, rozwłólnienia nad dana przestrzenia topologiczna oraz przekształcenia nakrywajacego i nakrycia uniwersalnego. Zaprezentuję również przykłady zastosowania teorii nakryć. [1] G. E. Bredon, Topology and geometry, Springer-Verlag, New York, 1993, 11

16 [2] M.J. Greenberg, Wyklady z Topologii Algebraicznej, PWN, Warszawa, 1980, [3] K. Jänich, Topologia, PWN, Warszawa, CONTINUA TOPOLOGICZNIE JEDNORODNE Robert Malona Uniwersytet Opolski Continuum jest to niepusta zwarta spójna przestrzeń metryczna natomiast przestrzeń X jest jednorodna jeśli dla wszystkich x,y należacych do X istnieje homeomorfizm h: X->X spełniajacy h(x)=y. Continua topologicznie jednorodne postrzegane sa za najbardziej eleganckie oraz majace najwięcej zastosowań struktury topologiczne. Przedstawione zostana podstawowe definicje i twierdzenia a także wybrane klasy continuów m.in. nierozkładalne, drogowo spójne, aposyndetyczne, dziedzicznie nierozkładalne oraz izometrycznie jednorodne w przestrzeni rzeczywistej trójwymiarowej. Zaprezentowane zostana również wybrane przykłady continuów jak np. kostka Hilberta, krzywa dywanowa Sierpińskiego, pseudołuk, okrag warszawski oraz krzywa Menegera. [1] Wykłady dra hab. Janusza Prajsa na Uniwersytecie Opolskim. [2] Kazimierz Kuratowski, Wstęp do teorii mnogości i topologii, WN PWN POMIAR KWANTOWY Rafał Wieczorek Uniwersytet Łódzki Wiele pojęć klasycznej statystyki ma swoje odpowiedniki w tzw. statystyce kwantowej. Analogiem miar sa stany na B(H) algebrze operatorów ograniczonych na przestrzeni Hilberta a analogiem statystyk sa statystyki kwantowe (tzw. pomiary). W tym języku można mówić o rozkładzie statystyki kwantowej lub jej momentach. Do opisania tych pojęć potrzebne sa pewne topologie na B(H), słaba i mocna topologia operatorowa. Na plakacie przedstawię matematyczne idee powyższych pojęć oraz potrzebne definicje i twierdzenia takie jak np. twierdzenie spektralne. [1] A. S. Holevo, Probabilistic and Statistical Aspects of Quantum Theory, North- Holland, Amsterdam, [2] A. Łuczak, Wstęp do statystyki kwantowej, Preprint, Uniwersytet Łódzki, Wydział Matematyki i Informatyki, [3] M. Reed, B. Simon, Methods of modern mathematical physics vol. I Functional analysis, Academic Press,

17 Lista uczestników Aurelia Bartnicka, UMK Toruń, Ewelina Betlejewska, UMK Toruń, Bartosz Bieganowski, UMK Toruń, Marcin Choiński, Uniwersytet w Białymstoku, Monika Cholewa, UMK Toruń, Przemysław Cholewa, UMK Toruń, Joanna Dutka, Politechnika Ślaska, Jędrzej Garnek, UAM Poznań, Patryk Gnap, UMK Toruń, Małgorzata Grzyb, Uniwersytet Łódzki, Agnieszka Jarzębska, UAM Poznań, Sylwia Jędrzejewska, UMK Toruń, Rafał Kaczorkiewicz, UMK Toruń, Aleksandra Kaim, Politechnika Krakowska, Andrzej Kopeć, Politechnika Ślaska, Natalia Kupiec, UJ Kraków, Damian Kurpiewski, UMK Toruń, Andrzej Madej, AGH Kraków, Robert Malona, Uniwersytet Opolski, Jacek Marchwicki, Politechnika Łódzka, Grzegorz Mika, AGH Kraków, Mariusz Nakielski, UMK Toruń, Piotr Nitczyński, UMK Toruń, Łukasz Nizio, UAM Poznań, Łukasz Ogan, UMK Toruń, Renata Ościak, UMK Toruń, Krzysztof Pałucha, Politechnika Łódzka, Martyna Patera, UMK Toruń, Filip Rupniewski, Uniwersytet Warszawski, Janusz Schmude, UMK Toruń, Piotr Skonieczka, UMK Toruń, Zofia Smułkowska, UAM Poznań, Marcin Stasiak, Politechnika Poznańska, Agnieszka Stelmaszyk, UAM Poznań, Daniel Strzelecki, UMK Toruń, Marcin Szweda, Politechnika Ślaska, Tomasz Śmierzchalski, UAM Poznań, Mateusz Topolewski, UMK Toruń, Janusz Tracz, AGH Kraków, Kamil Waszewski, UMK Toruń, Rafał Wieczorek, Uniwersytet Łódzki, 13

18 Maksymilian Wojewoda, Uniwersytet Opolski, Filip Wolwowicz, UAM Poznań, Magdalena Ziomek, UMK Toruń, 14

19 Organizatorzy i sponsorzy Koło Naukowe Matematyków UMK ul. Chopina 12/18, Toruń strona internetowa: pokój: F204 Koło Naukowe Informatyków UMK ul. Chopina 12/18, Toruń strona internetowa: pokój: F204 Wydziałowa Rada Samorzadu Studenckiego Wydziału Matematyki i Informatyki UMK ul. Chopina 12/18, Toruń strona internetowa: telefon: (56) pokój: F304 W szczególności: Aurelia Bartnicka Bartosz Bieganowski Monika i Przemysław Cholewa Patryk Gnap Damian Kurpiewski Daniel Strzelecki Wspieraja nas: W sprawie konferencji prosimy o kontakt na adres 15

20 Mapka TLSMiI to ogólnopolska konferencja naukowa dla studentów i doktorantów. Jej pierwsza edycja odbyła się w 2009 roku, wtedy jeszcze jako Toruńska Letnia Szkoła Matematyki. Część informatyczna dołaczyła do konferencji w 2013 roku. TLSMiI każdego roku gromadzi młodych naukowców wokół jednej z gałęzi matematyki i informatyki, dajac możliwość przedstawiania swoich własnych wyników oraz uczenia się od czołowych polskich wykładowców. Toruńska szkoła na stałe wpisała się już w kalendarz polskich konferencji o czym świadczy rosnaca rokrocznie liczba uczestników oraz coraz wyższy poziom wykładów i referatów. Ponadto: na wielodniowej konferencji odbywajacej się w wakacje nie może zabraknać rozrywki. TLSMiI każdego roku stwarza wiele możliwości do zdobywania naukowych kontaktów oraz odprężenia ciała i ducha przed spora dawka wiedzy podczas wykładów. Jeśli jesteś głodnym wiedzy studentem, dociekliwym doktorantem lub po prostu pasjonujesz się matematyka lub informatyka zapraszamy w sierpniu do Torunia!

ANALIZA MATEMATYCZNA DLA FIZYKÓW

ANALIZA MATEMATYCZNA DLA FIZYKÓW Lech Górniewicz Roman Stanisław Ingarden ANALIZA MATEMATYCZNA DLA FIZYKÓW Wydanie piąte Toruń 2012 SPIS TREŚCI WSPOMNIENIE O PROFESORZE ROMANIE STANISŁAWIE INGARDENIE (Miłosz Michalski)... ix PRZEDMOWA

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia na egzamin dyplomowy Matematyka

Zagadnienia na egzamin dyplomowy Matematyka INSTYTUT MATEMATYKI UNIWERSYTET JANA KOCHANOWSKIEGO w Kielcach Zagadnienia na egzamin dyplomowy Matematyka Pytania kierunkowe Wstęp do matematyki 1. Relacja równoważności, przykłady relacji równoważności.

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI

WYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ Geoinżynierii, Górnictwa i Geologii KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim Wstęp do analizy i algebry Nazwa w języku angielskim Introduction to analysis and algebra Kierunek studiów

Bardziej szczegółowo

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ L.p. 1. Liczby rzeczywiste 2. Wyrażenia algebraiczne bada, czy wynik obliczeń jest liczbą

Bardziej szczegółowo

Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych. Politechnika Warszawska

Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych. Politechnika Warszawska Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechnika Warszawska Historia Katedry Matematyki na wydziałach PW 1963 1966 Instytut Matematyki Studium Matematyczno-Techniczne 1971 Studium Podstawowych Problemów

Bardziej szczegółowo

Grupa klas odwzorowań powierzchni

Grupa klas odwzorowań powierzchni Grupa klas odwzorowań powierzchni Błażej Szepietowski Uniwersytet Gdański Horyzonty matematyki 2014 Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki 2014 1 / 36 Grupa klas odwzorowań

Bardziej szczegółowo

RAPORT. Komputerowe wspomaganie nauczania matematyki-innowacja z matematyki z elementami informatyki. Z realizacji innowacji pedagogicznej

RAPORT. Komputerowe wspomaganie nauczania matematyki-innowacja z matematyki z elementami informatyki. Z realizacji innowacji pedagogicznej RAPORT Z realizacji innowacji pedagogicznej Komputerowe wspomaganie nauczania matematyki-innowacja z matematyki z elementami informatyki Autor: mgr Renata Ziółkowska Miejsce realizacji innowacji pedagogicznej:

Bardziej szczegółowo

SCENARIUSZ LEKCJI. TEMAT LEKCJI: Zastosowanie średnich w statystyce i matematyce. Podstawowe pojęcia statystyczne. Streszczenie.

SCENARIUSZ LEKCJI. TEMAT LEKCJI: Zastosowanie średnich w statystyce i matematyce. Podstawowe pojęcia statystyczne. Streszczenie. SCENARIUSZ LEKCJI OPRACOWANY W RAMACH PROJEKTU: INFORMATYKA MÓJ SPOSÓB NA POZNANIE I OPISANIE ŚWIATA. PROGRAM NAUCZANIA INFORMATYKI Z ELEMENTAMI PRZEDMIOTÓW MATEMATYCZNO-PRZYRODNICZYCH Autorzy scenariusza:

Bardziej szczegółowo

SPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI

SPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI SPIS TREŚCI WSTĘP.................................................................. 8 1. LICZBY RZECZYWISTE Teoria............................................................ 11 Rozgrzewka 1.....................................................

Bardziej szczegółowo

Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. 2 godz. = 76 godz.)

Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. 2 godz. = 76 godz.) Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. godz. = 76 godz.) I. Funkcja i jej własności.4godz. II. Przekształcenia wykresów funkcji...9 godz. III. Funkcja

Bardziej szczegółowo

Eliza Wajch, Geometria z Topologią, wykład 1, 2012/2013

Eliza Wajch, Geometria z Topologią, wykład 1, 2012/2013 Eliza Wajch Wykłady i ćwiczenia z geometrii analitycznej z elementami topologii w UPH w Siedlcach w semestrze zimowym roku akad. 2012/2013. Literatura podstawowa: 1. K. Kuratowski, A. Mostowski: Teoria

Bardziej szczegółowo

Paweł Gładki. Algebra. http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/

Paweł Gładki. Algebra. http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/ Paweł Gładki Algebra http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/ Konsultacje: Środa, 14:00-15:00 Jeżeli chcesz spotkać się z prowadzącym podczas konsultacji, postaraj się powiadomić go o tym przed lub po zajęciach,

Bardziej szczegółowo

Schemat sprawdzianu. 25 maja 2010

Schemat sprawdzianu. 25 maja 2010 Schemat sprawdzianu 25 maja 2010 5 definicji i twierdzeń z listy 12(po 10 punktów) np. 1. Proszę sformułować twierdzenie Brouwera o punkcie stałym. 2. Niech X będzie przestrzenią topologiczną. Proszę określić,

Bardziej szczegółowo

Podstawa programowa przedmiotu MATEMATYKA. III etap edukacyjny (klasy I - III gimnazjum)

Podstawa programowa przedmiotu MATEMATYKA. III etap edukacyjny (klasy I - III gimnazjum) Podstawa programowa przedmiotu MATEMATYKA III etap edukacyjny (klasy I - III gimnazjum) Cele kształcenia wymagania ogólne: I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń interpretuje i tworzy teksty o

Bardziej szczegółowo

Wyniki kolejnych edycji Konkursu im. A. Z. Krygowskiej na najlepszą pracę studencką z dydaktyki matematyki

Wyniki kolejnych edycji Konkursu im. A. Z. Krygowskiej na najlepszą pracę studencką z dydaktyki matematyki Wyniki kolejnych edycji Konkursu im. A. Z. Krygowskiej na najlepszą pracę studencką z dydaktyki matematyki Edycja 2014 Wyróżnienia - ex aequo Dorota Kędroń, absolwentka Uniwersytetu Jagiellońskiego w Krakowie,

Bardziej szczegółowo

Matematyka zajęcia fakultatywne (Wyspa inżynierów) Dodatkowe w ramach projektu UE

Matematyka zajęcia fakultatywne (Wyspa inżynierów) Dodatkowe w ramach projektu UE PROGRAM ZAJĘĆ FAKULTATYWNYCH Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW I ROKU SYLABUS Nazwa uczelni: Wyższa Szkoła Przedsiębiorczości i Administracji w Lublinie ul. Bursaki 12, 20-150 Lublin Kierunek Rok studiów Informatyka

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

Rozkład materiału z matematyki dla II klasy liceum i technikum zakres podstawowy (37 tyg. 3 godz. = 111 godz.)

Rozkład materiału z matematyki dla II klasy liceum i technikum zakres podstawowy (37 tyg. 3 godz. = 111 godz.) Rozkład materiału z matematyki dla II klasy liceum i technikum zakres podstawowy (37 tyg. 3 godz. = godz.) Ramowy rozkład materiału I. Podstawowe własności figur geometrycznych na płaszczyźnie, cz. 2...

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: Kierunek: ENERGETYKA Rodzaj przedmiotu: Kierunkowy ogólny Rodzaj zajęć: Wykład, ćwiczenia MECHANIKA Mechanics Forma studiów: studia stacjonarne Poziom kwalifikacji: I stopnia Liczba godzin/tydzień:

Bardziej szczegółowo

Model procesu dydaktycznego

Model procesu dydaktycznego Model procesu dydaktycznego w zakresie Business Intelligence Zenon Gniazdowski 1,2), Andrzej Ptasznik 1) 1) Warszawska Wyższa Szkoła Informatyki, ul. Lewartowskiego 17, Warszawa 2) Instytut Technologii

Bardziej szczegółowo

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014.

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. W nawiasie przy zadaniu jego występowanie w numerze zestawu Spis treści (Z1, Z22, Z43) Definicja granicy ciągu. Obliczyć granicę:... 3 Definicja granicy ciągu...

Bardziej szczegółowo

KRZYŻÓWKA 2. 11. Może być np. równoboczny lub rozwartokątny. Jego pole to a b HASŁO:

KRZYŻÓWKA 2. 11. Może być np. równoboczny lub rozwartokątny. Jego pole to a b HASŁO: KRZYŻÓWKA.Wyznaczają ją dwa punkty.. Jego pole to π r² 3. Jego pole to a a 4.Figura przestrzenna, której podstawą jest dowolny wielokąt, a ściany boczne są trójkątami o wspólnym wierzchołku. 5.Prosta mająca

Bardziej szczegółowo

Matematyka do liceów i techników Szczegółowy rozkład materiału Zakres podstawowy

Matematyka do liceów i techników Szczegółowy rozkład materiału Zakres podstawowy Matematyka do liceów i techników Szczegółowy rozkład materiału Zakres podstawowy Wariant nr (klasa I 4 godz., klasa II godz., klasa III godz.) Klasa I 7 tygodni 4 godziny = 48 godzin Lp. Tematyka zajęć

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony

MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony W klasie drugiej na poziomie rozszerzonym realizujemy materiał z klasy pierwszej tylko z poziomu rozszerzonego (na czerwono) oraz cały materiał z klasy drugiej. Rozkład

Bardziej szczegółowo

Podstawy Automatyki. wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak. Politechnika Wrocławska. Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24)

Podstawy Automatyki. wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak. Politechnika Wrocławska. Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24) Podstawy Automatyki wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak Politechnika Wrocławska Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24) Laboratorium Podstaw Automatyzacji (L6) 105/2 B1 Sprawy organizacyjne

Bardziej szczegółowo

Lista zwycięzców 30 zł na start z BZWBK24 mobile

Lista zwycięzców 30 zł na start z BZWBK24 mobile Lista zwycięzców 30 zł na start z BZWBK24 mobile KRYSTYNA S. KRYSTYNA C. EDWARD F. KAROLINA C. WOJCIECH T. JANINA F. FRANCISZKA G. HENRYK H. MIROSŁAW W. JULI BARBARA H. CELINA Ł. STANISŁAW K. HELENA S.

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne klasa trzecia.

Wymagania edukacyjne klasa trzecia. TEMAT Wymagania edukacyjne klasa trzecia. WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY PROGRAMOWEJ 1. LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE Lekcja organizacyjna System dziesiątkowy System rzymski Liczby wymierne i niewymierne

Bardziej szczegółowo

Matematyczne Podstawy Informatyki

Matematyczne Podstawy Informatyki Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Informacje podstawowe 1. Konsultacje: pokój

Bardziej szczegółowo

HARMONOGRAM - MATEMATYKA sem.letni 2015/16

HARMONOGRAM - MATEMATYKA sem.letni 2015/16 HARMONOGRAM - MATEMATYKA sem.letni 2015/16 przedmiot kod typu prowadzący zajęc termin lokalizacja Algebry funkcyjne WYK dr hab. Marek Kosiek CZWARTEK 14:0-16:0 s. 0101 Interpolacja wielomianowa i jej zastosowania

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ OD RÓWNAŃ DO ODWZOROWAŃ LINIOWYCH

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ OD RÓWNAŃ DO ODWZOROWAŃ LINIOWYCH ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 OD RÓWNAŃ DO ODWZOROWAŃ LINIOWYCH Piotr M Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 8, 27112013 Typeset by Jakub Szczepanik Motywacja 2/10 Przechodzimy od rozwiązywania jednego równania

Bardziej szczegółowo

Usługi analityczne budowa kostki analitycznej Część pierwsza.

Usługi analityczne budowa kostki analitycznej Część pierwsza. Usługi analityczne budowa kostki analitycznej Część pierwsza. Wprowadzenie W wielu dziedzinach działalności człowieka analiza zebranych danych jest jednym z najważniejszych mechanizmów podejmowania decyzji.

Bardziej szczegółowo

III OGÓLNOPOLSKA KONFERENCJA GIS W NAUCE

III OGÓLNOPOLSKA KONFERENCJA GIS W NAUCE III OGÓLNOPOLSKA KONFERENCJA GIS W NAUCE 23-25 czerwca 2014 roku Gdańsk KOMUNIKAT 2 Szanowni Państwo, Przed nami III ogólnopolska konferencja GIS w nauce. Jej organizatorzy, Centrum GIS Wydziału Oceanografii

Bardziej szczegółowo

KARTA KURSU. Mathematics

KARTA KURSU. Mathematics KARTA KURSU Nazwa Nazwa w j. ang. Matematyka Mathematics Kod Punktacja ECTS* 4 Koordynator Dr Maria Robaszewska Zespół dydaktyczny dr Maria Robaszewska Opis kursu (cele kształcenia) Celem kursu jest zapoznanie

Bardziej szczegółowo

Sposoby prezentacji problemów w statystyce

Sposoby prezentacji problemów w statystyce S t r o n a 1 Dr Anna Rybak Instytut Informatyki Uniwersytet w Białymstoku Sposoby prezentacji problemów w statystyce Wprowadzenie W artykule zostaną zaprezentowane podstawowe zagadnienia z zakresu statystyki

Bardziej szczegółowo

Roczny plan pracy Studenckiego Koła Naukowego Doradztwa Zawodowego i Personalnego. Rok akademicki 2011/2012

Roczny plan pracy Studenckiego Koła Naukowego Doradztwa Zawodowego i Personalnego. Rok akademicki 2011/2012 Roczny plan pracy Studenckiego Koła Naukowego Doradztwa Zawodowego i Personalnego Rok akademicki 2011/2012 Poznań 2011 Kluczowe działania SKNDZiP w roku akademickim 2011/2012 Budowanie nowej struktury

Bardziej szczegółowo

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora.

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. 1. Podstawy matematyki 1.1. Geometria analityczna W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. Skalarem w fizyce nazywamy

Bardziej szczegółowo

ZADANIA NA DOWODZENIE GEOMETRIA, cz. II Wojciech Guzicki

ZADANIA NA DOWODZENIE GEOMETRIA, cz. II Wojciech Guzicki ZNI N OWOZNI GOMTRI, cz. II Wojciech Guzicki W arkuszach maturalnych w ostatnich dwóch latach znalazły się zadania geometryczne na dowodzenie. Za poprawne rozwiązanie takiego zadania w arkuszu podstawowymzdającymógłotrzymać2pkt,warkuszurozszerzonym4pktlub3pkt.przy

Bardziej szczegółowo

Algorytmy i bazy danych (wykład obowiązkowy dla wszystkich)

Algorytmy i bazy danych (wykład obowiązkowy dla wszystkich) MATEMATYKA I EKONOMIA PROGRAM STUDIÓW DLA II STOPNIA Data: 2010-11-07 Opracowali: Krzysztof Rykaczewski Paweł Umiński Streszczenie: Poniższe opracowanie przedstawia projekt planu studiów II stopnia na

Bardziej szczegółowo

Stypendia Ministra Nauki i Szkolnictwa Wyższego. za wybitne osiągnięcia w roku akademickim 2014/2015

Stypendia Ministra Nauki i Szkolnictwa Wyższego. za wybitne osiągnięcia w roku akademickim 2014/2015 Stypendia Ministra Nauki i Szkolnictwa Wyższego za wybitne osiągnięcia w roku akademickim 2014/2015 LISTA NAGRODZONYCH DOKTORANTÓW alfabetycznie Lp Imię i nazwisko Uczelnia 1 p. Małgorzata Aleksandrzak

Bardziej szczegółowo

Szanowni Państwo, Temat planowanych obrad : Zdolności i twórczość: od potencjału do realizacji

Szanowni Państwo, Temat planowanych obrad : Zdolności i twórczość: od potencjału do realizacji Organizatorzy: Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu oraz Gimnazjum i Liceum Akademickie w Toruniu ul. Szosa Chełmińska 83 87-100 Toruń kontakt tel.: (0-prefix-56) 6555560 (sekretariat GiLA) e-mail:

Bardziej szczegółowo

dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE

dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE Zarządzanie i Inżynieria Produkcji studia stacjonarne Konspekt do wykładu z Matematyki 1 1 Postać trygonometryczna liczby zespolonej zastosowania i przykłady 1 Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie GeoGebry w realizacji zagadnień związanych z trygonometrią 13. Wykresy funkcji sin x i cos x Paweł Perekietka 13

Zastosowanie GeoGebry w realizacji zagadnień związanych z trygonometrią 13. Wykresy funkcji sin x i cos x Paweł Perekietka 13 . Spis treści 1. 2. 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6. 2.7. 2.8. 2.9. 2.10. 3. 3.1. Wstęp Katarzyna Winkowska-Nowak, Edyta Pobiega, Robert Skiba 11 Zastosowanie GeoGebry w realizacji zagadnień związanych z

Bardziej szczegółowo

KARTA KURSU (realizowanego w module specjalności) MATEMATYKA Studia I stopnia niestacjonarne

KARTA KURSU (realizowanego w module specjalności) MATEMATYKA Studia I stopnia niestacjonarne KARTA KURSU (realizowanego w module specjalności) MATEMATYKA Studia I stopnia niestacjonarne (specjalność nauczycielska) Nazwa Nazwa w j. ang. Matematyka szkolna a matematyka wyższa School Mathematics

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania

Przedmiotowy system oceniania Przedmiotowy system oceniania gimnazjum - matematyka Opracowała mgr Katarzyna Kukuła 1 MATEMATYKA KRYTERIA OCEN Kryteria oceniania zostały określone przez podanie listy umiejętności, którymi uczeń musi

Bardziej szczegółowo

SYLABUS PRZEDMIOTU MATEMATYKA W RAMACH ZAJ

SYLABUS PRZEDMIOTU MATEMATYKA W RAMACH ZAJ SYLABUS PRZEDMIOTU MATEMATYKA W RAMACH ZAJĘĆ WYRÓWNAWCZYCH Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW I ROKU BUDOWNICTWA WNT UWM W ROKU AKADEMICKIM 2012/2013 Nazwa przedmiotu: Zajęcia wyrównawcze z matematyki Rodzaj studiów:

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA KLASYCZNA I RELATYWISTYCZNA Cele kursu

MECHANIKA KLASYCZNA I RELATYWISTYCZNA Cele kursu MECHANIKA KLASYCZNA I RELATYWISTYCZNA Cele kursu Karol Kołodziej Instytut Fizyki Uniwersytet Śląski, Katowice http://kk.us.edu.pl Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 1/8 Cele kursu Podstawowe

Bardziej szczegółowo

Logika i teoria mnogości Wykład 14 1. Sformalizowane teorie matematyczne

Logika i teoria mnogości Wykład 14 1. Sformalizowane teorie matematyczne Logika i teoria mnogości Wykład 14 1 Sformalizowane teorie matematyczne W początkowym okresie rozwoju teoria mnogości budowana była w oparciu na intuicyjnym pojęciu zbioru. Operowano swobodnie pojęciem

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów 4. Wartości własne i wektory własne 4.1. Podstawowe definicje, własności i twierdzenia 4.2. Lokalizacja wartości własnych 4.3. Metoda potęgowa znajdowania

Bardziej szczegółowo

KARTA KURSU DLA STUDIÓW PODYPLOMOWYCH

KARTA KURSU DLA STUDIÓW PODYPLOMOWYCH KARTA KURSU DLA STUDIÓW PODYPLOMOWYCH Nazwa Nazwa w j. ang. Geometria Geometry Punktacja ECTS* 9 Opis kursu (cele kształcenia) Celem przedmiotu jest powtórzenie i pogłębienie wiadomości słuchaczy z geometrii

Bardziej szczegółowo

lsait 2 matematyczne KOŁO NAUKOWE organizatorzy konferencji patronat nad konferencją objęli WYDZIAŁ MATEMATYCZNO-FIZYCZNY POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ

lsait 2 matematyczne KOŁO NAUKOWE organizatorzy konferencji patronat nad konferencją objęli WYDZIAŁ MATEMATYCZNO-FIZYCZNY POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ lsait 2 konferencja matematyczna letnia szkoła szkoła algebry i topologii 4-8 września 2006 w Gliwicach organizatorzy konferencji matematyczne KOŁO NAUKOWE patronat nad konferencją objęli POL ITE C H NI

Bardziej szczegółowo

Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI

Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI Matematyka dla liceum ogólnokształcącego i technikum w zakresie podstawowym i rozszerzonym Z E S Z Y T M E T O D Y C Z N Y Miejski

Bardziej szczegółowo

PROGRAM AUTORSKI ZAJĘĆ WYRÓWNAWCZYCH Z MATEMATYKI OPRACOWANY PRZEZ MGR ANNĘ JAKUBOWICZ

PROGRAM AUTORSKI ZAJĘĆ WYRÓWNAWCZYCH Z MATEMATYKI OPRACOWANY PRZEZ MGR ANNĘ JAKUBOWICZ PROGRAM AUTORSKI ZAJĘĆ WYRÓWNAWCZYCH Z MATEMATYKI OPRACOWANY PRZEZ MGR ANNĘ JAKUBOWICZ WPROWADZENIE W projekcie Kierunek zamawiany Informatyka stosowana zaplanowane są zajęcia wyrównawcze z matematyki.

Bardziej szczegółowo

KARTA PRZEDMIOTU 1/5. Wydział Mechaniczny PWR

KARTA PRZEDMIOTU 1/5. Wydział Mechaniczny PWR Wydział Mechaniczny PWR KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim: Mechanika analityczna Nazwa w języku angielskim: Analytical Mechanics Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Mechanika i Budowa Maszyn Specjalność

Bardziej szczegółowo

Generowanie i optymalizacja harmonogramu za pomoca

Generowanie i optymalizacja harmonogramu za pomoca Generowanie i optymalizacja harmonogramu za pomoca na przykładzie generatora planu zajęć Matematyka Stosowana i Informatyka Stosowana Wydział Fizyki Technicznej i Matematyki Stosowanej Politechnika Gdańska

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16 Spis treści Przedmowa.......................... XI Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar................. 1 1.1. Wielkości fizyczne i pozafizyczne.................. 1 1.2. Spójne układy miar. Układ SI i jego

Bardziej szczegółowo

Ułamki i działania 20 h

Ułamki i działania 20 h Propozycja rozkładu materiału Klasa I Razem h Ułamki i działania 0 h I. Ułamki zwykłe II. Ułamki dziesiętne III. Ułamki zwykłe i dziesiętne. Przypomnienie wiadomości o ułamkach zwykłych.. Dodawanie i odejmowanie

Bardziej szczegółowo

20 zorganizowanych w Uczelni (ZZU) Liczba godzin całkowitego 150 nakładu pracy studenta (CNPS)

20 zorganizowanych w Uczelni (ZZU) Liczba godzin całkowitego 150 nakładu pracy studenta (CNPS) Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ ELEKTRONIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ANALIZA MATEMATYCZNA.3 A Nazwa w języku angielskim Mathematical Analysis Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność (jeśli

Bardziej szczegółowo

Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2012/13

Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2012/13 Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2012/13 (1) Nazwa Rachunek różniczkowy i całkowy II (2) Nazwa jednostki prowadzącej Instytut Matematyki przedmiot (3) Kod (4) Studia

Bardziej szczegółowo

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1 PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1 Planimetria to dział geometrii, w którym przedmiotem badań są własności figur geometrycznych leżących na płaszczyźnie (patrz określenie płaszczyzny). Pojęcia

Bardziej szczegółowo

O CIEKAWYCH WŁAŚCIWOŚCIACH LICZB TRÓJKĄTNYCH

O CIEKAWYCH WŁAŚCIWOŚCIACH LICZB TRÓJKĄTNYCH Jeśli matematyka jest królową nauk, to królową matematyki jest teoria liczb Carl Friedrich Gauss O CIEKAWYCH WŁAŚCIWOŚCIACH LICZB TRÓJKĄTNYCH OPRACOWANIE: MATEUSZ OLSZAMOWSKI KL 6A, ALEKSANDER SUCHORAB

Bardziej szczegółowo

Co to jest Business Intelligence?

Co to jest Business Intelligence? Cykl: Cykl: Czwartki z Business Intelligence Sesja: Co Co to jest Business Intelligence? Bartłomiej Graczyk 2010-05-06 1 Prelegenci cyklu... mariusz@ssas.pl lukasz@ssas.pl grzegorz@ssas.pl bartek@ssas.pl

Bardziej szczegółowo

MATURA POPRAWKOWA Z MATEMATYKI 23 SIERPIEŃ 2011 R. PRZYKŁADOWE ODPOWIEDZI

MATURA POPRAWKOWA Z MATEMATYKI 23 SIERPIEŃ 2011 R. PRZYKŁADOWE ODPOWIEDZI MATURA POPRAWKOWA Z MATEMATYKI 23 SIERPIEŃ 2011 R. PRZYKŁADOWE ODPOWIEDZI OPRACOWANIE AKADEMIA MATEMATYKI 26 SIERPNIA 2011 mgr Marek Dębczyński CENTRUM NOWCZESNEJ EDUKACJI W KALISZU MAREK DEBCZYŃSKI Zadanie

Bardziej szczegółowo

Kolegium Dziekanów i Dyrektorów

Kolegium Dziekanów i Dyrektorów Kolegium Dziekanów i Dyrektorów jednostek posiadających uprawnienia do nadawania stopnia doktora habilitowanego w zakresie nauk matematycznych Warszawa, 9. listopada 2007 Kolegium Dziekanów i Dyrektorów

Bardziej szczegółowo

OFERTA OGÓLNOUCZELNIANA NA ROK AKADEMICKI

OFERTA OGÓLNOUCZELNIANA NA ROK AKADEMICKI KATALOG KURSÓW OFERTA OGÓLNOUCZELNIANA NA ROK AKADEMICKI 2012/2013 Politechnika Wrocławska Katalog kursów Oferta Ogólnouczelniana 2012/2013 Politechnika Wrocławska Dział Nauczania Wybrzeże Wyspiańskiego

Bardziej szczegółowo

Opis poszczególnych przedmiotów (Sylabus) Fizyka, studia pierwszego stopnia

Opis poszczególnych przedmiotów (Sylabus) Fizyka, studia pierwszego stopnia Opis poszczególnych przedmiotów (Sylabus) Fizyka, studia pierwszego stopnia Nazwa Przedmiotu: Mechanika klasyczna i relatywistyczna Kod przedmiotu: Typ przedmiotu: obowiązkowy Poziom przedmiotu: rok studiów,

Bardziej szczegółowo

Samorządność doktorancka w Polsce rozwój, funkcjonowanie, perspektywy

Samorządność doktorancka w Polsce rozwój, funkcjonowanie, perspektywy Samorządność doktorancka w Polsce rozwój, funkcjonowanie, perspektywy Uniwersytet Gdański Politechnika Gdańska Gdańsk 26-28.07.2013 r. Organizatorzy: PATRONAT HONOROWY: PATRONAT MEDIALNY: Ramowy program

Bardziej szczegółowo

PODSTAWA PROGRAMOWA PRZEDMIOTU MATEMATYKA IV etap edukacyjny: liceum Cele kształcenia wymagania ogólne

PODSTAWA PROGRAMOWA PRZEDMIOTU MATEMATYKA IV etap edukacyjny: liceum Cele kształcenia wymagania ogólne PODSTAWA PROGRAMOWA PRZEDMIOTU MATEMATYKA IV etap edukacyjny: liceum Cele kształcenia wymagania ogólne ZAKRES PODSTAWOWY ZAKRES ROZSZERZONY I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń używa języka matematycznego

Bardziej szczegółowo

SAP FORUM POLSKA Discover Simple Sopot, 10-12 Czerwca 2015. Zaproszenie. www.sap.pl/sap-forum

SAP FORUM POLSKA Discover Simple Sopot, 10-12 Czerwca 2015. Zaproszenie. www.sap.pl/sap-forum SAP FORUM POLSKA Zaproszenie www.sap.pl/sap-forum SAP FORUM POLSKA Szanowni Państwo, W dniach 10 12 czerwca 2015r. w Sopocie, w hotelu Sheraton odbędzie się konferencja SAP Forum. Hasło tegorocznej edycji

Bardziej szczegółowo

Nowa podstawa programowa z matematyki ( w liceum od 01.09.2012 r.)

Nowa podstawa programowa z matematyki ( w liceum od 01.09.2012 r.) IV etap edukacyjny Nowa podstawa programowa z matematyki ( w liceum od 01.09.01 r.) Cele kształcenia wymagania ogólne ZAKRES PODSTAWOWY ZAKRES ROZSZERZONY I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń

Bardziej szczegółowo

Nowoczesne metody nauczania przedmiotów ścisłych

Nowoczesne metody nauczania przedmiotów ścisłych Nowoczesne metody nauczania przedmiotów ścisłych Bartosz Ziemkiewicz Wydział Matematyki i Informatyki UMK, Toruń 14 VI 2012 Bartosz Ziemkiewicz Nowoczesne metody nauczania... 1/14 Zdalne nauczanie na UMK

Bardziej szczegółowo

Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 2013

Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 2013 Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 013 3.4.1 Inwersja względem okręgu. Inwersja względem okręgu jest przekształceniem płaszczyzny

Bardziej szczegółowo

Matematyka 2 wymagania edukacyjne

Matematyka 2 wymagania edukacyjne Matematyka wymagania edukacyjne Zakres podstawowy POZIOMY WYMAGAŃ Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające

Bardziej szczegółowo

Matematyka II nazwa przedmiotu SYLABUS A. Informacje ogólne

Matematyka II nazwa przedmiotu SYLABUS A. Informacje ogólne Matematyka II nazwa przedmiotu SYLABUS A. Informacje ogólne Elementy składowe sylabusu Nazwa jednostki prowadzącej kierunek Nazwa kierunku studiów Poziom kształcenia Profil studiów Forma studiów Kod przedmiotu

Bardziej szczegółowo

INFORMATYKA MÓJ SPOSÓB NA POZNANIE I OPISANIE ŚWIATA PROGRAM NAUCZANIA INFORMATYKI Z ELEMENTAMI PRZEDMIOTÓW MATEMATYCZNO-PRZYRODNICZYCH

INFORMATYKA MÓJ SPOSÓB NA POZNANIE I OPISANIE ŚWIATA PROGRAM NAUCZANIA INFORMATYKI Z ELEMENTAMI PRZEDMIOTÓW MATEMATYCZNO-PRZYRODNICZYCH INFORMATYKA MÓJ SPOSÓB NA POZNANIE I OPISANIE ŚWIATA PROGRAM NAUCZANIA INFORMATYKI Z ELEMENTAMI PRZEDMIOTÓW MATEMATYCZNO-PRZYRODNICZYCH Moduł interdyscyplinarny: informatyka matematyka Rozmaitości matematyczne

Bardziej szczegółowo

Geometria. Rodzaje i własności figur geometrycznych:

Geometria. Rodzaje i własności figur geometrycznych: Geometria Jest jednym z działów matematyki, którego przedmiotem jest badanie figur geometrycznych i zależności między nimi. Figury geometryczne na płaszczyźnie noszą nazwę figur płaskich, w przestrzeni

Bardziej szczegółowo

PROGRAM KLASY Z ROZSZERZONĄ MATEMATYKĄ

PROGRAM KLASY Z ROZSZERZONĄ MATEMATYKĄ PROGRAM KLASY Z ROZSZERZONĄ MATEMATYKĄ ALGEBRA Klasa I 3 godziny tygodniowo Klasa II 4 godziny tygodniowo Klasa III 3 godziny tygodniowo A. Liczby (24) 1. Liczby naturalne i całkowite. a. Własności, kolejność

Bardziej szczegółowo

Egzamin gimnazjalny 2015 część matematyczna

Egzamin gimnazjalny 2015 część matematyczna Egzamin gimnazjalny 2015 część matematyczna imię i nazwisko Kalendarz gimnazjalisty Tydz. Dział start 22.09 29 26.09 Przygotowanie do pracy zapoznanie się z informacjami na temat egzaminu gimnazjalnego

Bardziej szczegółowo

Ogłoszenie wyników konkursów organizowanych przez Instytut Informatyki i Mechatroniki:

Ogłoszenie wyników konkursów organizowanych przez Instytut Informatyki i Mechatroniki: Ogłoszenie wyników konkursów organizowanych przez Instytut Informatyki i Mechatroniki: V edycji konkursu moja strona WWW pt. Przestrzeń wokół mnie VIII edycji konkursu. Pomoce naukowe 17 kwietnia godz.

Bardziej szczegółowo

Webowy generator wykresów wykorzystujący program gnuplot

Webowy generator wykresów wykorzystujący program gnuplot Uniwersytet Mikołaja Kopernika Wydział Fizyki, Astronomii i Informatyki Stosowanej Marcin Nowak nr albumu: 254118 Praca inżynierska na kierunku informatyka stosowana Webowy generator wykresów wykorzystujący

Bardziej szczegółowo

Ach te trójkąty, czyli dwa interesujące twierdzenia i mnóstwo przemyśleń.

Ach te trójkąty, czyli dwa interesujące twierdzenia i mnóstwo przemyśleń. Ach te trójkąty, czyli dwa interesujące twierdzenia i mnóstwo przemyśleń. Justyna Stefaniak V Liceum Ogólnokształcące Spis treści: 1. Twierdzenie Harcourt a 2. Dowód twierdzenia Harcourt a 3. Twierdzenie

Bardziej szczegółowo

Problemy studentów na I roku

Problemy studentów na I roku Poczatek studiów Problemy studentów na I roku Jacek Cichoń Wydział Podstawowych Problemów Techniki Politechniki Wrocławskiej VIII Konferencja Regionalna: 5 grudnia 2011 Poczatek studiów Program I roku

Bardziej szczegółowo

KATALOG KURSÓW PRZEDMIOTÓW KSZTACŁENIA OGÓLNEGO

KATALOG KURSÓW PRZEDMIOTÓW KSZTACŁENIA OGÓLNEGO KATALOG KURSÓW PRZEDMIOTÓW KSZTACŁENIA OGÓLNEGO NA ROK AKADEMICKI 2015/2016 Politechnika Wrocławska Katalog kursów przedmiotów kształcenia ogólnego Oferta Ogólnouczelniana 2015/2016 Politechnika Wrocławska

Bardziej szczegółowo

Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2014/15

Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2014/15 Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2014/15 (1) Nazwa Równania różniczkowe zwyczajne i cząstkowe (2) Nazwa jednostki prowadzącej Wydział Matematyczno - Przyrodniczy przedmiot

Bardziej szczegółowo

Analiza wyników egzaminu gimnazjalnego 2013 r. Test matematyczno-przyrodniczy (matematyka) Test GM-M1-132

Analiza wyników egzaminu gimnazjalnego 2013 r. Test matematyczno-przyrodniczy (matematyka) Test GM-M1-132 Analiza wyników egzaminu gimnazjalnego 2013 r. Test matematyczno-przyrodniczy (matematyka) Test GM-M1-132 Zestaw zadań z zakresu matematyki posłużył w dniu 24 kwietnia 2013 roku do sprawdzenia u uczniów

Bardziej szczegółowo

M A T E M A T Y K A 8 KURSÓW OPISY KURSÓW. Rok szkolny 2015/2016. klasa III Zakres Trymestr I. Podstawowy 104 105 300

M A T E M A T Y K A 8 KURSÓW OPISY KURSÓW. Rok szkolny 2015/2016. klasa III Zakres Trymestr I. Podstawowy 104 105 300 M A T E M A T Y K A Podział kursów w procesie nauczania: -podstawowe 5 kursów (300 godzin) -rozszerzone 8 kursów (480 godzin) MATURA zakres podstawowy 5 KURSÓW PP: 101,102,103,104,105 MATURA zakres rozszerzony

Bardziej szczegółowo

Czy umiemy mnożyć wektory?

Czy umiemy mnożyć wektory? Czy umiemy mnożyć wektory? wprowadzenie do algebry geometrycznej Jacek Grela 1 UJ 2010 Plan działania Motywacja Wprowadzenie do algebry geometrycznej Algebra 2D, 3D Przykład fizyczny Algebra czasoprzestrzeni

Bardziej szczegółowo

Matematyka, kl. 6. Konieczne umiejętności

Matematyka, kl. 6. Konieczne umiejętności Matematyka, kl. 6 Liczby naturalne i ułamki Program Matematyka z plusem Odczytywanie liczb na osi liczbowej. Zapisywanie potęg w postaci iloczynu i obliczanie ich wartości. Sprawność rachunkowa w pisemnych

Bardziej szczegółowo

Scenariusz lekcji matematyki w kl. V.

Scenariusz lekcji matematyki w kl. V. Scenariusz lekcji matematyki w kl. V. T em a t : Powtórzenie wiadomości o czworokątach. C z a s z a jęć: 1 jednostka lekcyjna (45 minut). C e l e o g ó l n e : utrwalenie wiadomości o figurach geometrycznych

Bardziej szczegółowo

klasa I Dział Główne wymagania edukacyjne Forma kontroli

klasa I Dział Główne wymagania edukacyjne Forma kontroli semestr I 2007 / 2008r. klasa I Liczby wymierne Dział Główne wymagania edukacyjne Forma Obliczenia procentowe Umiejętność rozpoznawania podzbiorów zbioru liczb wymiernych. Umiejętność przybliżania i zaokrąglania

Bardziej szczegółowo

1.7. Eksploracja danych: pogłębianie, przeszukiwanie i wyławianie

1.7. Eksploracja danych: pogłębianie, przeszukiwanie i wyławianie Wykaz tabel Wykaz rysunków Przedmowa 1. Wprowadzenie 1.1. Wprowadzenie do eksploracji danych 1.2. Natura zbiorów danych 1.3. Rodzaje struktur: modele i wzorce 1.4. Zadania eksploracji danych 1.5. Komponenty

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie geometryzacyjne

Twierdzenie geometryzacyjne Jest to tekst związany z odczytem wygłoszonym na XLV Szkole Matematyki Poglądowej, Co mi się podoba, Jachranka, sierpień 2010. Twierdzenie geometryzacyjne Zdzisław POGODA, Kraków Pod koniec lat siedemdziesiątych

Bardziej szczegółowo

Grzegorz Ruciński. Warszawska Wyższa Szkoła Informatyki 2011. Promotor dr inż. Paweł Figat

Grzegorz Ruciński. Warszawska Wyższa Szkoła Informatyki 2011. Promotor dr inż. Paweł Figat Grzegorz Ruciński Warszawska Wyższa Szkoła Informatyki 2011 Promotor dr inż. Paweł Figat Cel i hipoteza pracy Wprowadzenie do tematu Przedstawienie porównywanych rozwiązań Przedstawienie zalet i wad porównywanych

Bardziej szczegółowo

Wykaz treści i umiejętności zawartych w podstawie programowej z matematyki dla IV etapu edukacyjnego

Wykaz treści i umiejętności zawartych w podstawie programowej z matematyki dla IV etapu edukacyjnego Wykaz treści i umiejętności zawartych w podstawie programowej z matematyki dla IV etapu edukacyjnego 1. Liczby rzeczywiste P1.1. Przedstawianie liczb rzeczywistych w różnych postaciach (np. ułamka zwykłego,

Bardziej szczegółowo

Analiza korespondencji

Analiza korespondencji Analiza korespondencji Kiedy stosujemy? 2 W wielu badaniach mamy do czynienia ze zmiennymi jakościowymi (nominalne i porządkowe) typu np.: płeć, wykształcenie, status palenia. Punktem wyjścia do analizy

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna - 14. Analiza zmiennych dyskretnych: ciągi i szeregi liczbowe

Analiza matematyczna - 14. Analiza zmiennych dyskretnych: ciągi i szeregi liczbowe Analiza matematyczna - 4. Analiza zmiennych dyskretnych: ciągi i szeregi liczbowe Wstęp: zmienne ciągłe i zmienne dyskretne Podczas dotychczasowych wykładów rozważaliśmy przede wszystkim zależności funkcyjne

Bardziej szczegółowo