1,5 1,5. WYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI 1. Analiza matematyczna M1 2. Wstęp do logiki i teorii mnogości

Transkrypt

1 WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim TOPOLOGIA Nazwa w języku angielskim TOPOLOGY Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Matematyka Specjalność (jeśli dotyczy): Matematyka Teoretyczna Stopień studiów i forma: I stopień*, stacjonarna / niestacjonarna* Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy / wybieralny / ogólnouczelniany * Kod przedmiotu MAP1115 Grupa kursów TAK Całkowita liczba godzin zajęć zorganizowanych w Uczelni (ZZU) całkowitego nakładu pracy studenta (CNPS Forma zaliczenia Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium zaliczenie na ocenę Dla grupy kursów X zaznaczyć kurs końcowy Liczba punktów ECTS w tym liczba punktów odpowiadająca zajęciom o charakterze praktycznym (P) W tym liczba punktów ECTS odpowiadająca zajęciom wymagającym bezpośredniego kontaktu (BK) 1,5 1,5 WYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI 1. Analiza matematyczna M1. Wstęp do logiki i teorii mnogości CELE PRZEDMIOTU C1 Poznanie podstawowych pojęć topologii metrycznej C Zrozumienie pojęcia zbieżności i ciągłości w abstrakcyjnym sensie C3 Poznanie narzędzi topologicznych stosowanych powszechnie również w innych działach matematyki oraz w zastosowaniach praktycznych EFEKTY KSZTAŁCENIA DLA PRZEDMIOTU W wyniku przeprowadzonych zajęć student winien: PEK_W01 znać aksjomatykę i własności przestrzeni metrycznych, znać klasyfikację przestrzeni metrycznych PEK_W0 rozumieć pojęcia zbieżności w abstrakcyjnych przestrzeniach metrycznych PEK_W03 znać i rozumieć równoważne definicje ciągłości dla funkcji i przekształceń PEK_W0 znać fundamentalne twierdzenia topologii metrycznej i rozumieć ich dowody, 1

2 rozpoznawać typy przestrzeni metrycznych w zastosowaniach W zakresie umiejętności student winien: PEK_U01 umieć badać własności topologiczne przykładowych przestrzeni metrycznych i ich podzbiorów, w szczególności zwartość, oraz wykorzystywać konsekwencje tych własności PEK_U0 umieć badać zbieżność ciągów punktów oraz funkcji PEK_U03 badać ciągłość funkcji i przekształceń, stosować pojęcie ciągłości PEK_U0 klasyfikować zbiory według kategorii Baire a i stosować tw. Baire a PEK_U05 stosować podstawowe twierdzenia topologii metrycznej w przykładowych zagadnieniach topologicznych, w zagadnieniach z innych działów matematyki oraz w prostych zastosowaniach Z zakresu kompetencji społecznych student: PEK_K01 potrafi korzystać z dostępnej literatury naukowej PEK_K0 rozumie potrzebę systematycznej i samodzielnej pracy nad opanowaniem materiału PEK_K03 hartuje się w dążeniu do osiągnięcia celu (np. rozwiązania zadania) i nie zraża się początkowymi trudnościami PEK_K0 potrafi prezentować swoje rozumowania i dyskutować na temat wystąpień kolegów TREŚCI PROGRAMOWE Forma zajęć wykłady Wy1 pojęcie metryki, przestrzeń metryczna, przykłady Wy kule, zbiory otwarte, zbiory domknięte, zbieżność ciągów w przestrzeniach metrycznych Wy3 domknięcie zbioru, wnętrze, brzeg, zbiory gęste, brzegowe, niegdzie gęste, ciągłość funkcji, jednostajna ciągłość, równoważność metryk Wy podprzestrzenie, ograniczoność, zupełność, ośrodkowość, Wy5 homeomorfizm i izometria, własności topologiczne i metryczne, przestrzeń polska, Wy6 warunek Lipschitza, Tw. Banacha o odwzorowaniu zbliżającym, zastosowania Wy7 całkowita ograniczoność, zwartość, własności funkcji ciągłych na przestrzeniach zwartych Wy8 zbiór Cantora i jego własności Wy9 topologia produktowa, metryka produktowa, przeliczalne Tw. Tychonowa, kostka Hilberta, Wy10 zbiory typu G_delta i F_sigma, kategorie, Tw. Baire a Suma godzin 30 Forma zajęć ćwiczenia Ćw1 Powtórka z analizy: granica ciągu liczbowego, ciągłość funkcji z R w R, nierówność Schwarza Ćw przykłady metryk w różnych przestrzeniach, własności Ćw3 przykłady kul, zbiorów otwartych i domkniętych, równoważność metryk na

3 płaszczyźnie Ćw własności domknięcia i wnętrza zbioru, równoważność różnych definicji ciągłości, przykłady zbiorów brzegowych, gęstych, nigdzie gęstych i ich własności Ćw5 badanie zupełności przykładowych przestrzeni metrycznych (funkcyjnych, ciągowych, itp) Ćw6 sprawdzanie, które z poznanych własności są topologiczne, a które metryczne, które dziedziczą się na podprzestrzenie lub na nadprzestrzenie Ćw7 przykłady zastosowań tw. Banacha do obliczania granic ciągów rekurencyjnych, metoda iteracyjna obliczania pierwiastka Ćw8 powtórka materiału, przeglądowa lista zadań Ćw9 przykłady zbiorów całkowicie ograniczonych i zwartych, dziedziczenie całkowitej ograniczoności, zwartość jako własność topologiczna Ćw10 różne reprezentacje i zastosowania zbioru Cantora, jednorodność, uniwersalność dla przestrzeni zwartych (każda taka przestrzeń jest jego ciągłym obrazem) Ćw11 równoważne wersje tw Baire a, przykłady zbiorów I kategorii i rezydualnych, zastosowania i własności Ćw1 powtórka materiału, przeglądowa lista zadań Suma godzin 30 STOSOWANE NARZĘDZIA DYDAKTYCZNE 1. wykład problemowy metoda tradycyjna. ćwiczenia problemowe metoda tradycyjna. 3. konsultacje. praca własna studenta OCENA OSIĄGNIĘCIA EFEKTÓW KSZTAŁCENIA Oceny (F formująca (w trakcie semestru), P podsumowująca (na koniec semestru) F1 F P = 0.*F1+0.6*F Numer efektu kształcenia PE_U01 PE_U05 PE_W01 PE_W0 PE_K01 PE_K0 PE_U01 PE_U05 PE_W01 PE_W0 PE_K01 PE_K03 Sposób oceny osiągnięcia efektu kształcenia odpowiedzi ustne, kartkówki, kolokwia 3

4 LITERATURA PODSTAWOWA I UZUPEŁNIAJĄCA LITERATURA PODSTAWOWA: [1] Ryszard Engelking: Topologia ogólna. Biblioteka Matematyczna. PWN [] Kazimierz Kuratowski: Wstęp do teorii mnogości i topologii, PWN LITERATURA UZUPEŁNIAJĄCA: [1] BRYDAK, TURDZA: Zbiór zadań z teorii mnogości i teorii przestrzeni topologicznych i metrycznych PROWADZĄCY PRZEDMIOT (IMIĘ, NAZWISKO, ADRES ) prof. dr hab. Tomasz Downarowicz (Tomasz.Downarowicz@pwr.wroc.pl)

5 MACIERZ POWIĄZANIA EFEKTÓW KSZTAŁCENIA DLA PRZEDMIOTU TOPOLOGIA Z EFEKTAMI KSZTAŁCENIA NA KIERUNKU MATEMATYKA I SPECJALNOŚCI MATEMATYKA TEORETYCZNA Przedmiotowy efekt kształcenia Odniesienie przedmiotowego efektu do efektów kształcenia zdefiniowanych dla kierunku studiów i specjalności (o ile dotyczy) Cele przedmiotu** Treści programowe** Numer narzędzia dydaktycznego** PEK_W01 PEK_W0 PEK_W03 PEK_W0 PEK_U01 K1MAT_W01, K1MAT_W0, K1MAT_W0 K1MAT_W01, K1MAT_W0, K1MAT_W0 K1MAT_W01, K1MAT_W0, K1MAT_W0 K1MAT_W0, K1MAT_W03, K1MAT_W0, K1MAT_W05, K1MAT_W07 K1MAT_U01, K1MAT_U0, K1MAT_U3, K1MAT_U C1 Wy1, Wy3, Wy, Wy7, Wy8 1,3, C Wy, Wy 1,3, C C3 Wy3, Wy5, Wy6, Wy7 Wy6, Wy9, Wy10 1,3, 1,3, C1 Ćw, Ćw3 Ćw5, Ćw9, Ćw10,3, C Ćw1, Ćw5,,3, Ćw7 C Ćw, Ćw6,,3, PEK_U0 K1MAT_U01, K1MAT_U0, K1MAT_U09, K1MAT_U PEK_U03 K1MAT_U01, K1MAT_U0, K1MAT_U09, K1MAT_U PEK_U0 K1MAT_U3, K1MAT_U C3 Ćw11,3, PEK_U05 K1MAT_U01, K1MAT_U3, C3 Ćw8, Ćw11,,3, K1MAT_U Ćw1 PEK_K01 K1MAT_K01, K1MAT_K0, C1, C, C3 Wy1 Wy10 1,,3, K1MAT_K06 PEK_K0 K1MAT_K01, K1MAT_K0, C1, C, C3 Wy1 Wy10 1,,3, K1MAT_K03, Ćw1 Ćw1 PEK_K03 K1MAT_K01, K1MAT_K0, C3 Ćw1 Ćw1 1,,3, K1MAT_K03 PEK_K0 K1MAT_K03, K1MAT_K0, C1, C, C3 Ćw1 Ćw1 1,,3, K1MAT_K05, K1MAT_K06 ** - z tabeli powyżej