PRZEDMIOT: - zadania do samodzielnego rozwiązania

Transkrypt

1 SPOŁECZNA AKDAEMIA NAUK W ŁODZI KIERUNEK STUDIÓW: ZARZĄDZANIE PRZEDMIOT: METODY ILOŚCIOWE W ZARZĄDZANIU - zadania do samodzielnego rozwiązania (MATERIAŁ POMOCNICZY PRZEDMIOT PODSTAWOWY ) Łódź

2 Zadania sprawdzające moduł 1 Zadanie 1. Rzucamy dwiema monetami. Obliczyć prawdopodobieństwo, że przynajmniej raz otrzymamy orła. Zadanie 2. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w rzucie dwiema sześciennymi kostkami do gry otrzymamy sumę oczek równą 8? Zadanie 3. Rzucamy równocześnie dwiema kostkami. Określamy zdarzenia: A na pierwszej kostce wypadła liczba większa od 4 B na drugiej kostce wypadła liczba mniejsza od 5. Czy zdarzenia A, B są niezależne? Zadanie 4. Niech X oznacza dowolną zmienną losową. Załóżmy, że prawdopodobieństwo przyjęcia przez tą zmienną wartości dodatniej wynosi 0,7. Czy można określić wartość dystrybuanty tej zmiennej w punkcie 0? Zadanie 5. Dany jest rozkład zmiennej losowej X : X = x i P X = x ) 0,1 0,2 0,1 0,2 c 0,1 ( i a) Wyznaczyć stałą c; b) Wyznaczyć wartość oczekiwaną, wariancję i odchylenie standardowe; wyniki zinterpretować. Zadanie 6. Dany jest rozkład pewnej zmiennej losowej dyskretnej X : X = x i P(X=x i ) a 0,05 0,2 0,1 0,1 0,25 0,15 Wyznaczyć stałą a. Znaleźć dystrybuantę powyższej zmiennej i naszkicować jej wykres. Obliczyć wartość oczekiwaną, wariancję i odchylenie standardowe. Obliczyć: P(X = 3), P( X > 2), P( X 5 ). Zadanie 7. Dana jest dystrybuanta pewnej zmiennej losowej dyskretnej X: 0 dla t < 3 0,2 dla 3 t < 0 F ( t) = 0,6 dla 0 t < 1 1 dla t 1 2

3 Przedstawić dystrybuantę graficznie. Znaleźć rozkład prawdopodobieństwa powyższej zmiennej. Obliczyć wartość oczekiwaną, wariancję i odchylenie standardowe. Obliczyć: P(X = 3), P(X > 0), P(X 1). Zadanie 8. Wiadomo, że zmienna losowa ciągła, o dystrybuancie F(t), przyjmuje wartość dodatnią z prawdopodobieństwem 0,7. Czy można określić F(0)? Jeśli tak, to jaka jest wartość F(0). Zadanie 9. Odczytać w tablicach rozkładu normalnego N(0; 1) a) wartości dystrybuanty Φ (a) dla następujących argumentów: 1,58; 0,36; 3,25; - 0,95; - 2,33; b) argumenty, dla których Φ(a) przyjmuje wartości: 0,2912; 0,4761; 0,853; 0,99789; 0,975 Zadanie 10. Masa śliw pewnej odmiany ma rozkład normalny N(50g;16g). 1) Obliczyć prawdopodobieństwo, że śliwka tego gatunku: a) ma wagę niższą niż 59 gramów, b) ma wagę z przedziału (45,60) gramów. 2) Jaką maksymalną wagę ma 60% śliw tego gatunku? 3) Jaką minimalną wagę ma 40% śliw tego gatunku? Zadanie 11. Zakładając, że czas oczekiwania na poczcie po odbiór przesyłki ma rozkład normalny N (7 minut; 2 minuty). Obliczyć prawdopodobieństwo odbioru przesyłki w czasie nie dłuższym niż 8 minut. Zadanie 12. Przeprowadzono badanie, z którego wynika, że czas trwania zakupów w pewnym centrum handlowym ma rozkład normalny z wartością oczekiwaną równą 1,4 godziny i odchyleniem standardowym 0,7 godziny. Jaki jest minimalny czas zakupów 20% klientów? Zadanie 13. Waga opakowania proszku do prania jest zmienną losową o rozkładzie normalnym z wartością oczekiwaną równą 3 kg i odchyleniem standardowym 0,005 kg. Obliczyć prawdopodobieństwo, że kupione opakowanie zawiera nie więcej niż 3,02 kg proszku. Zadanie 14. Zmienna losowa X ma rozkład chi kwadrat z siedmioma stopniami swobody. Obliczyć: a) P( X > 12 ) b) P( X > 0,6 ) c) P( X < 14 ) Zadanie 15. Zmienna losowa X ma rozkład chi kwadrat z 15 stopniami swobody. Obliczyć: a) P( X > 10,3 ) 3

4 b) P( X > 22,3 ) c) P( X < 25 ). Zadanie 16. Zmienna losowa X ma rozkład Studenta z 13 stopniami swobody. Obliczyć: a) P( X > 2,16 ) b) P( X > 2,16 ) c) P( X < 2,16 ). Zadanie 17. Zmienna losowa X ma rozkład Studenta z 20 stopniami swobody. Obliczyć: a) P( X > 0,86 ) b) P( X > 0,86 ) c) P( X < - 0,86 ). 1) 0,75 Odpowiedzi do zadań ( moduł 1 ) 2) ) A i B są niezależne ( P ( A) =, P ( B) =, P ( A B) = ) 36 4) nie można 5) a) c = 0,3 b) E ( X ) = 1, D 2 ( X ) = 11,6, σ = 3,4 6) a = 0,15, E ( X ) = 1,3 ; D 2 ( X ) = 32,41, σ = 5,69 P( X = 3 ) = 0, P( X > 2 ) = 0,5, P( X 5 ) = 0,85. 7) Rozkład zmiennej losowej X ma X = x i postać: P( X = x i ) = p i 0,2 0,4 0,4 E( X ) = - 0,2 ; D 2 ( X ) = σ 2 = 2,16, σ = 1,47 P( X = 3 ) = 0, P( X > 0 ) = 0,4, P( X 1 ) = 1. 8) tak można, F( 0 ) = 0,3 10) 1a) 0,7123 1b) 0,3541 2) 54 g 3) 54 g. 11) 0,6915 4

5 12) 2 godziny 13) prawie 100% 14) a) 0,1 b) 0,999 c) 0,95 15) a) 0,8 b) 0,1 c) 0,95 16) a) 0,05 b) 0,025 c) 0,975 17) a) 0,4 b) 0,2 c) 0,2 5

6 Zadania sprawdzające moduł 2 Zadanie 1 Firma produkująca zabawki planuje wprowadzenie na rynek serii plastikowych modeli do sklejania. Przygotowano 3 rodzaje tych modeli, a następnie oszacowano potencjalne zyski w zależności od wystąpienia jednego z 3 możliwych stanów rynku. Stosowne wyniki (tys. zł) zawiera poniższa tabela: Model Stany rynku Skłonność S1 S2 S3 do ryzyka Samolot ,7 Czołg ,7 Okręt ,7 P(S j ) 0,5 0,1 0,4 Przeanalizuj problem najpierw wykorzystując kryteria wspomagające podejmowanie decyzji w warunkach niepewności a następnie w oparciu o kryteria dla warunków ryzyka. Omów uzyskane wyniki. Oblicz i zinterpretuj OKPI oraz CGPI. Przeprowadzono dodatkową analizę przyszłego zainteresowania wyrobami tej firmy. Wynika z niej, że należy spodziewać się jednego z dwóch wariantów wzrostu popytu: dużego (o 25%) i niskiego (o 5%). Oszacowano prawdopodobieństwa zrealizowania się danego wariantu w zależności od wystąpienia określonego stanu natury. Wzrost popytu: S1 S2 S3 o 5% 0,3 0,5 0,2 o 25% 0,7 0,5 0,8 Jaką decyzję należy podjąć wykorzystując dodatkową informację na temat wzrostu popytu jeżeli odnotowany zostanie niski a jaką jeśli odnotujemy wysoki wzrost. Wyznacz i zinterpretuj OWDI oraz EDI. Zadanie 2 Właściciel kina zastanawia się jaki film wprowadzić na ekran. Oszacował zyski dla 4 wybranych tytułów w zależności od 3 wariantów frekwencji widzów. Zyski te (w tys. zł) podaje poniższa tabela. Przeanalizuj problem najpierw wykorzystując kryteria wspomagające podejmowanie decyzji w warunkach niepewności a następnie w oparciu o kryteria dla warunków ryzyka. Dla kryterium Hurwicza zaproponuj wartość skłonności do ryzyka. Omów uzyskane wyniki. Oblicz i zinterpretuj OKPI oraz CGPI. Stany natury Tytuł S1 S2 S3 Atak zmutowanych chrabąszczy 2-0,5 1,5 Alabastrowy romans -0,1 3,5 2,7 Zaczarowany schowek Gang z ulicy Zaściankowej 1,7 2,4 1,5 P(S j ) 0,4 0,3 0,3 Na podstawie recenzji filmów w internecie oraz analizy frekwencji w innych kinach właściciel zastanawia się nad uruchomieniem dodatkowych seansów interesujących go tytułów. Pod uwagę bierze dwie możliwości: dodatkowy seans poranny oraz popołudniowy. 6

7 Seans zwróci się jeśli pojawi się na nim co najmniej 20 osób. Oszacował prawdopodobieństwa zrealizowania się tego wariantu frekwencji w zależności od wystąpienia określonego stanu natury uzyskując wyniki: Seans: S1 S2 S3 Poranny 0,1 0,6 0,5 Popołudniowy 0,9 0,4 0,5 Jaką decyzję należy podjąć wykorzystując dodatkową informację na temat frekwencji podczas dodatkowych seansów jeżeli wybrany zostanie wariant poranny a jaką decyzję należy podjąć przy wariancie popołudniowym. Wyznacz i zinterpretuj OWDI oraz EDI. Zadanie 3 Inwestor planuje inwestycje w jedna z trzech akcji. W tym celu oszacował stopę zwrotu w zależności od jednego z przewidywanych stanów rynku. Stosowne wyniki zawiera tabela. Stany rynku Inwestycja S1 S2 S3 Skłonność do bycia optymistą Akcja A ,3 Akcja B ,3 Akcja C ,6 P(S j ) 0,7 0,2 0,1 Przeanalizuj problem najpierw wykorzystując kryteria wspomagające podejmowanie decyzji w warunkach niepewności a następnie w oparciu o kryteria dla warunków ryzyka. Omów uzyskane wyniki. Oblicz i zinterpretuj OKPI oraz CGPI. Walne zgromadzenia akcjonariuszy wyżej wymienionych spółek podjęły decyzje o wypłacie dywidend. Ich wysokość uzależniają jednak od przewidywanej sytuacji rynkowej. Zakładając, że inwestora interesuje łączna kwota otrzymanych dywidend oszacowane zostały prawdopodobieństwa uzyskania jednego z trzech wariantów wypłaty w zależności od sytuacji rynkowej. Szacunki owe znalazły się w poniższej tabeli. Wysokość wypłaty S1 S2 S3 W1 0,1 0,5 0,6 W2 0,2 0,5 0,1 W3 0,7 0 0,3 Akcje której ze spółek będą najbardziej atrakcyjne po uwzględnieniu dodatkowej informacji na temat wypłaty dywidend? Przeprowadź stosowna analizę i zinterpretuj jej wyniki. Zadanie 4 W czasie obchodów z okazji wręczenia sztandaru jednostce wojskowej zaplanowano festyn, podczas którego sprzedawane będą dania przygotowane przez wojskowych kucharzy. Uroczystość odbywać się ma pod gołym niebem, więc liczba gości zależy od pogody, która wystąpić może w jednym z 4 możliwych stanów. Oszacowano spodziewane zyski jakie przyniesie sprzedaż potraw w zależności od pogody (tys. zł). Zyski te zawarto w poniższej tabeli. Warunki pogodowe Potrawa S1 S2 S3 S4 Skłonność do ryzyka 7

8 Grochówka 2 1,1 1,9 2,1 0,6 Żurek -0,5 2,5 1,8 2 0,6 Bigos 3-0,2 0,5 2,4 0,6 P(S j ) 0,1 0,4 0,2 0,3 Przeanalizuj problem najpierw wykorzystując kryteria wspomagające podejmowanie decyzji w warunkach niepewności a następnie w oparciu o kryteria dla warunków ryzyka. Omów uzyskane wyniki. Oblicz i zinterpretuj OKPI oraz CGPI. Podczas uroczystości możliwe są pokazy lotnicze, które mogą przyciągnąć dodatkowych gości na uroczystość. Jednak występy lotników zależą od pogody dlatego oszacowano prawdopodobieństwa zorganizowania pokazów w zależności od wystąpienia spodziewanych stanów warunków pogodowych. Jeżeli pogoda pokrzyżuje plany, sprzęt latający będzie można obejrzeć na ziemi. Szacunki wspomnianych prawdopodobieństw znalazły się w poniższej tabeli. S1 S2 S3 S4 Pokazy się odbędą 0,4 0,2 0,7 0,9 Pokazy się nie odbędą 0,6 0,8 0,3 0,1 Jaką decyzję należy podjąć przygotowując wybraną potrawę na uroczystość jeżeli pokazy się odbędą a jaką jeśli pokazy nie będą miały miejsca. Wyznacz i zinterpretuj OWDI oraz EDI. Zadanie 5 Pewien pracownik codziennie dojeżdża samochodem do firmy, w której pracuje. Jako że ma różne godziny rozpoczęcia pracy musi uwzględniać podczas dojazdu warunki panujące na ulicach zamieszkiwanego miasta. Mając już pewne doświadczenie w tym zakresie podzielił natężenie ruchu na w interesujących go porach na 5 możliwych stanów. W pracy chce znaleźć się jak najszybciej, ale bierze pod uwagę 4 różne trasy przejazdu. W tabeli poniżej znalazły się czasy przejazdu [min.] w zależności od warunków panujących na drodze oraz prawdopodobieństwa wystąpienia stanów natury. Warunki na drogach (stany natury) S1 S2 S3 S4 S5 Trasa Trasa Trasa Trasa P(S j ) 0,10 0,20 0,60 0,05 0,05 Przeanalizuj problem najpierw wykorzystując kryteria wspomagające podejmowanie decyzji w warunkach niepewności a następnie w oparciu o kryteria dla warunków ryzyka. Dla kryterium Hurwicza zaproponuj wartość skłonności do ryzyka. Omów uzyskane wyniki. Oblicz i zinterpretuj OKPI oraz CGPI. UWAGA! Powyższą macierz wypłat potraktować jako macierz strat. 8

9 UWAGA: do tego modułu nie podajemy odpowiedzi ze względu na arbitralnośc przyjmowanych założeń. 9

10 Zadania sprawdzające moduł 3 Zadanie 1. W badaniu poświęconym psychologii myślenia polecono rozwiązać zadanie losowo wybranej grupie uczniów z pewnego liceum. Rozwiązywanie zadania przebiegało następująco: Czas (w min) Liczba uczniów Przyjmując poziom ufności 0,99 wyznaczyć: a) przedział ufności dla średniego czasu rozwiązywania zadania, b) przedział ufności dla odsetka osób, które rozwiązywały zadanie krócej niż 30 min. c) minimalną liczebność próby, dla której maksymalny błąd szacunku wskaźnika struktury z punktu b) nie przekroczy 4%. Zadanie 2. W grupie 250 losowo wybranych Łodzian 85 stwierdziło, że poruszając się po mieście korzysta wyłącznie z własnego samochodu. Na poziomie ufności 0,95 odsetek oszacować odsetek Łodzian jeżdżących po mieście wyłącznie własnym samochodem. Podać maksymalny błąd szacunku. Zadanie 3. W losowej grupie 120 pracowników pewnego przedsiębiorstwa średnia liczba nieobecności w pracy wynosiła 13 dni, a odchylenie standardowe 3 dni. Przyjmując poziom ufności 0,98 wyznaczyć przedział ufności dla średniej liczby nieobecności ogółu pracowników tego przedsiębiorstwa. O ile osób należałoby zwiększyć próbę, aby maksymalny błąd szacunku był o połowę mniejszy? Zadanie 4. Sprawdzono wielkość wypłat na osobę z funduszu wczasy pod gruszą dla 26 losowo wybranych pracowników pewnego zakładu. Obliczono, że wypłaty te przeciętnie wynosiły 800 zł, a odchylenie standardowe z tej próby 80 zł. Oszacować przedział ufności dla przeciętnych wypłat z funduszu socjalnego na wczasy pod gruszą na 1 pracownika tego zakładu, przyjmując poziom ufności 0,99 oraz wiedząc, że rozkład wypłat na wczasy pod gruszą jest normalny. Jak liczna powinna być próba, aby maksymalny błąd szacunku nie przekroczył 40 zł? Zadanie 5. Przeprowadzono ankietę wśród grupy losowo wybranych Łodzian, pytając ich o ulubione miejsce na wakacje. Ulubione miejsce na wakacje Liczba Łodzian góry 80 morze 130 jeziora 120 inne 70 Na poziomie ufności 0,98 oszacować przedziałowo odsetek Łodzian, którzy za najlepsze miejsce na wakacje uznają góry. Jak liczna powinna być próba, aby maksymalny błąd szacunku nie przekroczył 4%? Zadanie 6. W Poznaniu przeprowadzono ankietę, w której pytano losowo wybranych studentów o czas poświęcany przez nich na naukę. Otrzymano następujące dane: 10

11 Czas nauki Liczba studentów 5 nocy przed sesją 35 pół godziny dziennie 15 godzina dziennie 35 weekendy 30 prawie każda wolna chwila 5 Na poziomie ufności 0,98 oszacować przedziałowo odsetek studentów z Poznania, którzy uczą się w weekendy. Jaki poziom ufności należałoby przyjąć, aby maksymalny błąd oszacowania był o połowę mniejszy? Zadanie 7. Badano wysokość pożyczek lub kredytów na cele konsumpcyjne zaciągniętych przez mieszkańców miasta M z uwzględnieniem wieku kredytobiorców i dla losowo wybranej grupy otrzymano następujące dane:. Lp. Wysokość Liczba osób kredytu (w tys. zł) 1 2,5-7, ,5-12, ,5-17, ,5-22, ,5 27, ,5-32,5 31 a) Oszacować metodą przedziałową przeciętną wysokość kredytu dla wszystkich kredytobiorców tego miasta przyjmując poziom ufności 0,97. Podać błąd tego oszacowania. b) Jak liczna powinna być próba, aby przy poziomie ufności takim jak w punkcie (a) otrzymać oszacowanie przeciętnej wysokości kredytu z błędem o 30% mniejszym? c) Oszacować metodą przedziałową odsetek osób, które mają kredyty w wysokości 22,5-27,5 tys. zł przyjmując poziom ufności 0,9. Podać błąd tego oszacowania. d) O ile osób należy zwiększyć próbę, aby w oszacowaniu z punktu (c) błąd był o połowę mniejszy? Zadanie 8. Wyprodukowano nowy lek przeciwko pewnej chorobie. Badania kliniczne przeprowadzone na grupie ochotników wykazały 280 wyzdrowień na 400 pacjentów. Zbudować przedział ufności dla odsetka wyleczonych pacjentów. Przyjąć poziom ufności 0,996 i podać błąd tego oszacowania. Zadanie 9. Ile sztuk pewnego wyrobu Z należy wylosować do próby, aby oszacować średnią wagę tego wyrobu z maksymalnym błędem szacunku 0,03 g i z wiarygodnością 0,94, jeśli wiadomo, że odchylenie standardowe wagi tego wyrobu wynosi 0,15 g? Zadanie 10. W losowo wybranej grupie studentów pewnej łódzkiej uczelni 128 na stałe mieszkało w Łodzi. Oszacowano przedział ufności dla odsetka studentów mieszkających na stałe poza 11

12 Łodzią: (55,5%; 64,5%). a) Jak liczną próbę poddano badaniu? b) Jaki poziom ufności przyjęto przy estymacji? Odpowiedzi: Zadanie 1. a) (29,678; 34,322) b) (27,4%; 52,6%) c) n = 999 Zadanie 2. d=5,9% Zadanie 3. (12,362; 13,638) n - n = 360 Zadanie 4. (755,4; 844,6) n = 32 Zadanie 5. (15,3%; 24,7%) n = 543 Zadanie 6. (15,8%; 34,2%) 1 α = 0,758 Zadanie 7. a) (18,33; 20,57) d=1,12 b) n = 408 c) (15,4%; 24,6%) d=4,6% d) n n = 600 Zadanie 8. (63,4%; 76,6%) d=6,6% Zadanie 9. n = 89 Zadanie 10. a) n = 320 (wskazówka: k = n - 128) b) 1 α = 0,9 12

13 Zadania sprawdzające moduł 4 Zadanie 1 Zebrano dane na temat liczby sprzedanych płyt pewnego wykonawcy w ciągu ostatniego pół roku. W analizowanych 23 punktach sprzedaży nabyto średnio 10 tys. płyt tego wykonawcy przy odchyleniu 2 tys. płyt. Czy na poziomie istotności α=0,05 można powiedzieć, że średnia sprzedaż jest niższa od zakładanej średniej równej 13 tys. płyt interesującego nas piosenkarza (zakładając, że sprzedaż tych płyt ma rozkład normalny)? Zadanie 2 Zawartość soli (NaCl) w 1 litrze wody odprowadzanej do rzeki z instalacji oczyszczających pewnego zakładu jest zmienną losową o rozkładzie normalnym z odchyleniem standardowym równym 35 mg. Przeprowadzono serię piętnastu pomiarów stwierdzając, że średnio w 1 litrze znajdowało się 150 mg NaCl. Na poziomie istotności wynoszącym 0,06 zweryfikować hipotezę mówiącą, że przeciętna zawartość soli w odprowadzanej wodzie wynosi 160 mg. Zadanie 3 Piętnaście na sto dwadzieścia książek opuszczających drukarnię ma wady związane z nieprawidłowym funkcjonowaniem maszyn drukarskich. Przyjmując poziom istotności równy 0,02 zweryfikować hipotezę mówiącą, że udział nieprawidłowo wydrukowanych egzemplarzy jest mniejszy niż 10%. Zadanie 4 Podczas produkcji desek w tartaku powstają ścinki, których długość jest zmienną o rozkładzie normalnym z odchyleniem standardowym wynoszącym 10 cm. Na poziomie istotności 0,05 zweryfikować hipotezę mówiącą o tym, że średnia długość ścinka jest większa niż 30 cm, jeżeli po zmierzeniu 80 sztuk tych odpadów otrzymano średnią długość równą 32 cm. Zadanie 5 Na poziomie istotności 0,06 zweryfikować hipotezę, że przeciętna zawartość magnezu w butelce wody gazowanej "Nicowianka" przekracza 45 mg/l. Wiadomo, że zawartość magnezu w tej wodzie ma rozkład normalny. Dla 50 przebadanych butelek stwierdzono, że średnio zawierają one 44 mg/l z odchyleniem 20 mg/l. Zadanie 6 Postanowiono zweryfikować pogląd mówiący, że ponad 75% rodzin kupuje na święta Bożego Narodzenia żywą choinkę. Przeprowadzono stosowną ankietę. Na 200 zapytanych, 165 potwierdziło, że kupiło żywe drzewko. Zweryfikować stawianą hipotezę przyjmując poziom istotności równy 0,04. Zadanie 7 Zbadano zużycie paliwa dla silników benzynowych pewnej marki. Stwierdzono, że ma ono rozkład normalny z odchyleniem standardowym wynoszącym 0,5 litra. Dla 10 przebadanych silników otrzymano średnie zużycie 6,2 litra. Czy na poziomie istotności 0,05 można powiedzieć, że silnik ten zużywa przeciętnie poniżej 6,5 litra? Zadanie 8 Zbadano czas potrzebny na wykonanie elementu przy pomocy niedawno zakupionej obrabiarki. Stwierdzono (po wykonaniu 40 elementów), że średni czas wytwarzania wynosi 13

14 5,8 min. z odchyleniem 2 min. Czy na poziomie istotności 0,03 można powiedzieć, że przeciętny czas wykonania elementu różni się od 5 min.? Zadanie 9 Dwa miasta ubiegają się o dotację na budowę obwodnicy, która zmniejszy ilość przejeżdżających przez centrum ciężarówek. Wiadomo, że masa ładunku pojedynczej ciężarówki ma rozkład normalny o odchyleniu standardowym wynoszącym 6t. Czy na poziomie istotności równym 0,04 można powiedzieć, że średnia masa ładunku jednego samochodu ciężarowego w mieście pierwszym jest wyższa niż w drugim? W obu miastach przeprowadzono losowe badanie masy 30 ładunków. Dla pierwszego z nich średnia masa wyniosła 18 ton zaś dla drugiego 15 ton. Zadanie 90 Panuje opinia, że kobiety są gorszymi kierowcami niż mężczyźni. W wylosowanej grupie 305 kobiet kierowców stwierdzono, że 55 spośród nich spowodowało wypadek. Z kolei dla grupy kierujących samochodami 310 mężczyzn liczba winnych wypadków wyniosła 52 osoby. Zweryfikuj hipotezę, że procent liczby wypadków powodowanych przez kobiety jest wyższy niż w przypadku mężczyzn, przyjmując poziom istotności 0,05. Zadanie 11 Porównano silniki producentów A i B pod kątem zużycia paliwa. Dla 50 egzemplarzy silnika producenta A otrzymano średnie zużycie wynoszące 6,2 litra z odchyleniem 0,5 litra, a dla takiej samej liczby silników producenta B, średnie zużycie wyniosło 6,5 litra z odchyleniem 0,8 litra. Czy można powiedzieć, że (na poziomie istotności równym 0,03) zużycie paliwa jest dla obu producentów takie samo? Zadanie 102 Postanowiono zbadać hipotezę mówiącą, że poziom wiedzy z pewnego przedmiotu w dwóch grupach ćwiczeniowych jest równy. Po przeprowadzeniu kolokwium w grupie 1, liczącej sobie 17 osób, otrzymano średnią ocenę 3,5 z odchyleniem 0,3. W grupie 2 składającej się z 14 osób średnia ocena wyniosła 3,35 z odchyleniem 0,2. Zakładając, że oceny z kolokwium w obu grupach mają rozkład normalny z takim samym odchyleniem standardowym, zweryfikować postawioną hipotezę, przyjmując poziom istotności α=0,06. Zadanie 11 Zbadać, przy pomocy testu niezależności chi-kwadrat, czy na poziomie istotności równym 0,05 odpowiedź na jedno z pytań pewnej ankiety i miejsce zadania tego pytania nie są niezależne od siebie. Zebrano następujące dane dotyczące liczby ankietowanych: Odpowiedź Miejsce A Miejsce B Tak Nie Zadanie 12 Przeprowadzono badanie ankietowe mające sprawdzić czy poziom osiąganych dochodów i preferencje wyborcze nie są niezależne od siebie. Odpowiedzi ankietowanych rozłożyły się następująco: Dochód [zł] Partia A Partia B

15 Wykorzystując test niezależności chi-kwadrat sprawdź prawdziwość postawionej hipotezy (poziom istotności 0,06). W przypadku odrzucenia hipotezy zerowej, oblicz i zinterpretuj współczynnik V-Cramera. Zadanie 13 W badaniu wykonanym na zlecenie producenta telefonów komórkowych postanowiono zbadać m.in. czy płeć i wybierany model aparatu nie są niezależne od siebie. Poniżej przedstawiono zgromadzone dane odnośnie liczby osób zainteresowanych danym modelem. Na tej podstawie zbadaj (na poziomie istotności 0,04) prawdziwość postawionej hipotezy wykorzystując test niezależności chi-kwadrat. Oblicz i zinterpretuj współczynnik T- Czuprowa. Płeć Model 1 Model 2 Model 3 Kobieta Mężczyzna Odpowiedzi do zadań: 1) T = 7,0356, t α = -1,717, odrzucić H 0, przyjąć H 1 : m<13 2) U = 1,1066, u α = 1,88 lub u α = 1,75, brak podstaw do odrzucenia H 0 3) U = 0,9129, u α = 2,06, brak podstaw do odrzucenia H 0 4) U = 1,7889, u α = 1,65, odrzucić H 0, przyjąć H 1 : m>30 5) U = 0,3536, u α = 1,56, brak podstaw do odrzucenia H 0 6) U = 2,4495, u α = 1,75, odrzucić H 0, przyjąć H 1 : p>0,75 7) U = 1,8974, u α = 1,65, odrzucić H 0, przyjąć H 1 : m<6,5 8) U = 2,5298, u α = 2,17, odrzucić H 0, przyjąć H 1 : m 5 9) U = 1,9365, u α = 1,75, odrzucić H 0, przyjąć H 1 : m 1 >m 2 9) U = 0,4117, u α = 1,65, brak podstaw do odrzucenia H 0 10) U = 2,2486, t α = 2,17, odrzucić H 0, przyjąć H 1 : m 1 m 2 11) T = 1,5482, t α = 1,9573, brak podstaw do odrzucenia H ) χ e = 0,2011, χ α = 3,8415, brak podstaw do odrzucenia H ) χ e = 38,0209, χ α =0,06 = 5,6268, odrzucić H 0, V = 0, ) χ e = 2,2742, χ α =0,04 = 6,4377, brak podstaw do odrzucenia H 0, T = 0,