1. szereg wyliczający (szczegółowy) - wyniki są uporządkowane wyłącznie według wartości badanej cechy, np. od najmniejszej do największej

Transkrypt

1 1 Statystyka opisowa Statystyka opisowa zajmuje się porządkowaniem danych i wstępnym ich opracowaniem. Szereg statystyczny - to zbiór wyników obserwacji jednostek według pewnej cechy 1. szereg wyliczający (szczegółowy) - wyniki są uporządkowane wyłącznie według wartości badanej cechy, np. od najmniejszej do największej 2. szereg rozdzielczy - wyniki są uporządkowane i pogrupowane według wariantów badanej cechy; poszczególnym wariantom przyporządkowane są odpowiadające im liczebności (a) szereg rozdzielczy punktowy (jednostopniowy, prosty) - gdy liczba możliwych przyjmowanych wartości jest niewielka (b) szereg rozdzielczy przedziałowy (wielostopniowy, złożony) - gdy liczba możliwych przyjmowanych wartości jest duża Przykład 1. Ceny akcji pewnej spółki na ostatnich 30 sesjach giełdowych 2015 roku kształtowały się następująco: 2,6; 2,6; 2,7; 2,7; 2,9; 3,0; 2,5; 2,6; 2,6; 2,7; 2,7; 2,8; 2,8; 2,8; 2,5; 2,4; 2,4; 2,0; 2,3; 2,3; 2,4; 2,6; 2,6; 2,6; 2,6; 2,6; 2,6; 2,6; 2,6; 2,7. szereg wyliczający cena akcji 2,0 2,3 2,3 2,4 2,4 2,4 2,5 2,5 2,6. szereg rozdzielczy punktowy cena akcji liczebność 2,0 1 2,3 2 2,4 3 2,5 2 2,6 12 2,7 5 2,8 3 2,9 1 3, szereg rozdzielczy przedziałowy przedziały liczebność 1,95-2,13 1 2,13-2,31 2 2,31-2,49 3 2,49-2, ,67-2,85 8 2,85-3, Miary statystyczne: 1. miary położenia - służą do określenia tej wartości cechy, wokół której skupiają się wszystkie pozostałe wartości; mierzą przeciętny poziom cechy (a) średnia z próby 1

2 (b) moda (dominanta) (c) mediana (d) kwartyle 2. miary rozproszenia (zmienności, rozrzutu) - służą do badania stopnia zróżnicowania jednostek populacji ze względu na wartość badanej cechy (a) wariancja (b) odchylenie standardowe (c) odchylenie przeciętne od średniej (d) odchylenie przeciętne od mediany (e) odchylenie ćwiartkowe (f) współczynnik zmienności (g) współczynnik nierównomierności 3. miary asymetrii - służą do badania kierunku zróżnicowania wartości badanej cechy; mierzą czy przeważająca liczba jednostek znajduje się powyżej czy poniżej przeciętnego poziomu badanej cechy (a) wskaźnik asymetrii (b) współczynnik asymetrii 4. miary koncentracji - służą do analizy stopnia skupienia poszczególnych jednostek wokół średniej (a) współczynnik skupienia (kurtoza) (b) eksces ZADANIA. 1. Studenci otrzymali następujące oceny z egzaminu: 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3,5; 3,5; 3,5; 3,5; 3,5; 3,5; 3,5; 3,5; 3,5; 3,5; 3,5; 3,5; 3,5; 3,5; 3,5; 3,5; 3,5; 3,5; 3,5; 3,5; 3,5; 3,5; 3,5; 3,5; 3,5; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4,5; 4,5; 4,5; 4,5; 4,5; 4,5; 4,5; 4,5; 4,5; 4,5; 4,5; 4,5; 4,5; 4,5; 4,5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5. Zbudować szereg rozdzielczy 2

3 punktowy (jednostopniowy). Dla otrzymanego szeregu rozdzielczego narysować histogram, a następnie wyznaczyć miary położenia, rozproszenia i asymetrii. 2. W pewnym przedsiębiorstwie na koniec 2014 roku przeprowadzono inwentaryzację sprzętu komputerowego i otrzymano następujący rozkład liczby napraw tego sprzętu od chwili zakupu: liczba napraw (x i ) liczba urządzeń (n i ) Narysować histogram. Dokonać analizy struktury sprzętu komputerowego według liczby napraw, wyznaczając miary położenia, rozproszenia i asymetrii. 3. Stopa bezrobocia (w %) w Polsce według województw na dzień roku kształtowała się następująco: 4,1; 6,1; 6,2; 8,4; 9,6; 9,8; 10,6; 10,7; 10,7; 11,7; 11,7; 11,9; 12; 12,1; 12,4; 12,4; 12,7; 12,8; 12,9; 13,1; 13,1; 13,9; 14,2; 14,3; 14,6; 14,9; 14,9; 15,2; 15,3; 16,2; 16,6; 16,7; 16,8; 16,9; 17; 17; 17,2; 17,3; 17,4; 18,2; 18,6; 19; 21,7; 21,5; 23,4; 23,6; 24,6; 24,7; 25,7. Zbudować szereg rozdzielczy przedziałowy (wielostopniowy), przyjmując długość klasy h = 3, 1. Dla otrzymanego szeregu rozdzielczego narysować histogram, a następnie wyznaczyć miary położenia, rozproszenia i asymetrii. Podać interpretację otrzymanych wyników. 4. W pewnym przedsiębiorstwie w Lublinie na dzień roku było zatrudnionych 48 osób, których staż pracy (w latach) wynosił: 1, 2, 7, 9, 31, 24, 21, 16, 2, 7, 11, 15, 8, 6, 7, 3, 13, 15, 4, 5, 17, 20, 12, 1, 2, 3, 10, 8, 13, 2, 11, 14, 6, 10, 18, 21, 27, 27, 9, 35, 17, 32, 8, 27, 26, 18, 25, 29. Przeprowadzić grupowanie statystyczne pracowników pod względem stażu pracy (zbudować szereg rozdzielczy przedziałowy, przyjmując długość klasy h = 5). Narysować histogram. Dokonać wszechstronnej analizy stażu pracy w tym przedsiębiorstwie, wyznaczając miary położenia, rozproszenia i asymetrii. 5. Ceny akcji pewnej spółki na ostatnich 30 sesjach giełdowych 2015 roku kształtowały się następująco: 2,6; 2,6; 2,7; 2,7; 2,9; 3,0; 2,5; 2,6; 2,6; 2,7; 2,7; 2,8; 2,8; 2,8; 2,5; 2,4; 2,4; 2,0; 2,3; 2,3; 2,4; 2,6; 2,6; 2,6; 2,6; 2,6; 2,6; 2,6; 2,6; 2,7. Zbudować szereg rozdzielczy przedziałowy, przyjmując długość klasy h = 0, 18. Dla otrzymanego szeregu rozdzielczego narysować histogram, a następnie wyznaczyć miary położenia, rozproszenia i asymetrii. 3

4 2 Estymacja Estymacja jest to szacowanie nieznanych paramentrów, które charakteryzują rozkład badanej cechy populacji (wychodzimy od wyników próby i na ich podstawie formułujemy wnioski o populacji). 1. Estymacja punktowa - polega na wyznaczeniu pojedynczej wartości, która stanowi przybliżenie poszukiwanego parametru 2. Estymacja przedziałowa - polega na konstruowaniu przedziału liczbowego, który z określonym z góry prawdopodobieństwem (bliskim jedności) będzie zawierał nieznaną wartość szacowanego parametru. Przedział ten nosi nazwę przedziału ufności. najpierw określamy prawdopodobieństwo 1 α tzw. poziom ufności (współczynnik ufności) potem wyznaczamy przedział, do którego z prawdopodobieństwem 1 α należy szacowany parametr θ, czyli wyznaczamy takie a, b, że P (a θ b) = 1 α ZADANIA. 1. W pewnym zakładzie zbadano staż pracy pracowników. W tym celu z populacji pracowników wylosowano próbę o liczebności n = 196 pracowników, z której obliczono x = 6, 9 lat. Dotychczasowe doświadczenie wskazuje, że rozkład stażu pracy pracowników jest normalny z odchyleniem standardowym σ = 2, 8 lat. Przyjmując poziom ufności 1 α = 0, 95, zbudować przedział ufności dla nieznanego średniego stażu pracy w populacji pracowników. 2. W celu ustalenia nowych norm pracy konieczne było oszacowanie średniego czasu potrzebnego do wykonania pewnego detalu na określonym typie obrabiarki. W tym celu z populacji wszystkich robotników wylosowano próbę n = 17 robotników i u każdego z nich dokonano pomiaru czasu wykonania detalu. Okazało się, że średni czas wykonania detalu wynosił 15 minut, odchylenie standardowe zaś 2 minuty. Przyjmując poziom ufności 1 α = 0, 95, oszacować średni czas potrzebny do wykonania tego detalu w całej populacji robotników. Wiadomo ponadto, że rozkład czasu wykonania tego detalu jest w przybliżeniu normalny N(µ, σ). 4

5 3. W losowo wybranej grupie samochodów osobowych pewnej marki przeprowadzono badanie zużycia benzyny na trasie 100 km. Okazało się, że odchylenie standardowe zużycia benzyny dla tej grupy samochodów wynosiło 0,8 litra na 100 km. Zakładając, że badana cecha na rozkład normalny, wyznaczyć przedział ufności dla odchylenia standardowego zużycia benzyny przez wszystkie samochody tej marki na takiej trasie. Przyjąć poziom ufności 0, Spośród 120 wylosowanych pracowników pewnego zakładu, 12 nie wykonało normy wydajności. Przyjmując poziom ufności 0,9, wyznaczyć przedział ufności dla wskaźnika struktury pracowników w tym zakładzie, którzy nie wykonują normy. 5. Dla 200 pracowników wylosowanych niezależnie w pewnym przedsiębiorstwie otrzymano następujący rozkład empiryczny wieku (w latach): wiek liczba pracowników n i Wiadomo, że wiek pracowników ma rozkład normalny. Przyjmując poziom ufności 1 α = 0, 99, oszacować przedziałowo: (a) przeciętny wiek pracowników w badanym przedsiębiorstwie, (b) odchylenie standardowe wieku pracowników w badanym przedsiębiorstwie, (c) odsetek pracowników w wieku poniżej 35 lat. 6. Analizując wydajność pracy w pewnym zakładzie otrzymano dane: 5

6 wydajność pracy liczba pracowników w szt/h n i Wiadomo, że wydajność pracy w tym zakładzie ma rozkład normalny. Przyjmując poziom ufności 1 α = 0, 95, wyznaczyć przedział ufności dla: (a) przeciętnej wydajności, (b) odchylenia standardowego. 7. Wśród studentów palących papierosy przeprowadzono ankietę na temat ilości wypalanych dziennie papierosów. Uzyskano następujące odpowiedzi: liczba liczba studentów papierosów n i Przyjmując poziom ufności 1 α = 0, 9, zbudować oszacować przedziałowo: (a) średnią ilości papierosów wypalanych dziennie przez studentów, (b) odsetek osób, które palą mniej niż 5 papierosów dziennie. 8. W celu oszacowania średniego kosztu oraz rozrzutu kosztu produkcji pewnego artykułu produkowanego przez różne zakłady, wylosowano niezależnie do próby 150 zakładów i otrzymano wyniki: 6

7 koszt jednostkowy liczba zakładów w zł n i Wiadomo, że koszt produkcji ma rozkład normalny. Przyjmując poziom ufności 1 α = 0, 95, oszacować metodą przedziałową: (a) nieznany średni koszt tego artykułu we wszystkich zakładach produkujących go w Polsce, (b) odchylenie standardowe jednostkowego kosztu tego artykułu we wszystkich zakładach produkujących go w Polsce, (c) odsetek zakładów, w których koszt jednostkowy jest wyższy niż 60 zł. 9. W pewnym doświadczeniu medycznym bada się czas snu pacjentów chorych na pewną chorobę. Zmierzono czas snu u n = 16 wylosowanych niezależnie pacjentów i otrzymano wyniki (w minutach): 436, 533, 393, 458, 525, 481, 324, 437, 348, 503, 383, 395, 416, 553, 500, 488. Zakładając, że czas snu ma rozkład N(µ, 70), oszacować średnią µ czasu snu pacjenta metodą przedziałową przyjmując 1 α = 0, Na koniec 2014 roku wylosowano niezależnie 8 pracowników umysłowych w pewnym przedsiębiorstwie i uzyskano następujące informacje dotyczące stażu pracy (w latach): 5, 16, 9, 13, 5, 14, 2, 9. Przy założeniu, że staż pracy w przedsiębiorstwie ma rozkład normalny, oszacować przedziałowo na poziomie ufności 0, 98: (a) przeciętny staż pracy pracowników umysłowych w badanym przedsiębiorstwie, (b) odchylenie standardowe stażu pracy pracowników umysłowych badanego przedsiębiorstwa. 7

8 3 Weryfikacja hipotez statystycznych Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy populacji, o prawdziwości lub fałszywości którego wnioskuje się na podstawie pobranej próby. Hipotezy możemy podzielić na: 1. hipotezy parametryczne - czyli przypuszczenia dotyczące parametru badanej cechy, 2. hipotezy nieparametryczne - czyli przypuszczenia dotyczące postaci funkcyjnej rozkładu badanej cechy Weryfikacja hipotez statystycznych jest to podejmowanie decyzji o prawdziwości lub fałszywości hipotez statystycznych. Weryfikując daną hipotezę statystyczną na podstawie zaobserwowanych wyników próby, ponosimy zawsze pewne ryzyko podjęcia błędnej decyzji. Wynika to stąd, że na podstawie próby nigdy nie mamy całkowitej informacji o populacji, z której pobrana została próba. Możemy popełnić 2 rodzaje błędów: 1. możemy odrzucić hipotezę, która jest prawdziwa - błąd I rodzaju (prawdopodobieństwo popełnienia tego błędu oznaczmy α), 2. możemy przyjąć hipotezę, która jest fałszywa - błąd II rodzaju (prawdopodobieństwo popełnienia tego błędu oznaczmy β). Decyzja Hipoteza prawdziwa Hipoteza fałszywa decyzja poprawna decyzja błędna przyjąć hipotezę 1 α β (błąd II rodzaju) decyzja błędna decyzja poprawna odrzucić hipotezę α 1 β (błąd I rodzaju) Najczęściej wykorzystywane są tzw. testy istotności. Są to testy, w których bierzemy pod uwagę jedynie prawdopodobieństwo popełnienia błędu I rodzaju α, zwane poziomem istotności testu, a pomijamy prawdopodobieństwo popełnienia błędu II rodzaju β. Dlatego nie podejmujemy decyzji o przyjęciu hipotezy. Możemy jedynie odrzucić hipotezę na poziomie istotności α lub stwierdzić, że nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy. Etapy weryfikacji hipotezy statystycznej: 8

9 1. Dokonujemy wyboru testu statystycznego. 2. Definiujemy hipotezę zerową H 0, która będzie podlegać weryfikacji. 3. Definiujemy hipotezę alternatywną H 1, która może przyjmować wszystkie rozwiązania poza tymi zawartymi w H 0. Hipoteza H 1 najczęściej wynika z celu badania statystycznego; jest zależna od konkretnych warunków rozwiązywanego problemu. Hipoteza H 1 jest taką hipotezą, którą w danym zagadnieniu jesteśmy skłonni przyjąć, jeśli weryfikowaną hipotezę trzeba będzie odrzucić. 4. Wyznaczamy zbiór krytyczny W na podstawie przyjętego poziomu istotności α (w zależności od postaci hipotezy alternatywnej H 1 ). Zazwyczaj α = 0, 1; 0, 05; 0, 01; 0, Wyznaczamy wartość statystyki testowej i ustalamy czy należy ona do zbioru krytycznego W. 6. Podejmujemy decyzję. Jeżeli wynik znalazł się w zbiorze krytycznym, to odrzucamy hipotezę H 0 na korzyść hipotezy alternatywnej H 1. W przeciwnym wypadku stwierdzamy jedynie brak podstaw do odrzucenia H 0. ZADANIA. 1. W celu ustalenia, czy dotychczasowa norma okresu użytkowania ubrań ochronnych - wynosząca 150 dni - nie jest zbyt wysoka, zbadano faktyczny okres użytkowania ich na przykładzie 50 losowo wybranych robotników pracujących w normalnych warunkach. Otrzymano średnią długość okresu użytkowania x = 139 dni oraz odchylenie standardowe s = 9, 8 dni. Zakładając, że czas użytkowania ubrań ma rozkład normalny, stwierdzić, na poziomie istotności α = 0, 01, czy uzyskane wyniki stanowią podstawę zmiany (zmniejszenia) normy. 2. Losowo wybrana próba złożona z n = 20 studentów pewnej uczelni dała odchylenie standardowe s = 30 papierosów wypalanych dziennie. Zakładając, że rozkład liczby wypalanych dziennie papierosów jest normalny, zweryfikować hipotezę, że odchylenie standardowe liczby wypalanych dziennie papierosów wynosi 5. Przyjąć poziom istotności α = 0, W celu porównania przeciętnego stażu pracy pracowników w dwóch zakładach wylosowano z każdego z tych zakładów grupę pracowników i zbadano ją pod względem długości stażu pracy. Otrzymano następujące wyniki: 9

10 zakład 1: n 1 = 18 pracowników, x 1 = 6, 8 lat, s 1 = 1, 7 lat zakład 2: n 1 = 20 pracowników, x 2 = 8, 2 lat, s 2 = 2, 5 lat. Na poziomie istotności 0,01 zweryfikować hipotezę, że średni staż pracy pracowników w zakładzie 1 jest niższy niż w zakładzie 2. Zakładamy, że średni staż pracy w obu zakładach ma rozkład normalny o nieznanych, ale jednakowych parametrach σ 1 = σ Studenci dwóch kierunków na pewnej uczelni uzyskali następujące średnie wyników nauczania: x 1 = 3, 6, s 1 = 2, x 2 = 4, s 2 = 1, 8. Przy obliczaniu średnich uwzględniono oceny ze wszystkich zaliczeń i egzaminów w czasie studiów: n 1 = 100, n 2 = 120. Na poziomie istotności 0,05 zweryfikować hipotezę, że średnie ocen uzyskanych przez studentów obu kierunków są jednakowe. 5. Wylosowano 300 mieszkań w Lublinie, w 54 przypadkach mieszkania te były wyposażone w telefon stacjonarny. Na poziomie istotności α = 0, 05, zweryfikować hipotezę, że wskaźnik struktury p mieszkań w Lublinie mających telefon stacjonarny jest równy 0,4. 6. Zbadano opony samochodowe, produkowane przez dwóch producentów, które zostały wycofane z eksploatacji. Spośród zbadanych 1582 opon producenta A otrzymano 1250 opon wycofanych z powodu zużycia bieżnika, a spośród 589 opon producenta B wycofanych z powodu tego defektu otrzymano 421 sztuk. Na poziomie istotności 0,01 zweryfikować hipotezę H 0, że procent opon wycofanych z eksploatacji na skutek zużycia się bieżnika jest jednakowy dla obu producentów, przeciw hipotezie H 1, że jest niższy dla producenta A. 7. Czas pracy baterii pewnego rodzaju ma rozkład N(µ, 70). Na poziomie istotności α = 0, 05 zweryfikować hipotezę, że przeciętny czas pracy tego typu baterii wynosi ponad 500 godzin, jeśli dla 16 losowo wybranych baterii otrzymano x = 560 godzin. 8. Przeprowadzono badanie przeciętnych miesięcznych płac netto osiągniętych przez pracowników pewnego przedsiębiorstwa w 2010 roku. Wylosowano 21 pracowników i otrzymano następujące wyniki: x = 750 zł, s = 150 zł. Miesięczne płace netto mają rozkład normalny. Na poziomie istotności α = 0, 05, zweryfikować następujące hipotezy: (a) przeciętna miesięczna płaca uzyskana przez pracowników była równa 700 zł, (b) odchylenie standardowe przeciętnych płac w przedsiębiorstwie przekroczyło 90 zł. 9. W pewnej firmie wylosowano niezależnie po 150 odbiorców w roku 2001 oraz w 2002 i zbadano poziom rentowności sprzedaży wyrobów firmy dla tych odbiorców. 10

11 rentowność liczba odbiorców liczba odbiorców w % w 2001 roku w 2002 roku razem Wiadomo, że rentowność w całej populacji ma rozkład normalny. Na poziomie istotności α = 0, 05 sprawdzić: (a) czy średnia rentowność w 2002 roku wynosiła 30 (%)? (b) czy odchylenie standardowe rozkładu rentowności w 2002 roku było większe od 20 (%)? (c) czy średnia rentowność firmy poprawiła się w 2002 roku w porównaniu z 2001 rokiem? (d) czy odsetek nierentownych transakcji w 2002 roku był mniejszy niż 35%? (e) czy są podstawy do twierdzenia, że odsetek odbiorców, dla których rentowność przekroczyła 20 (%) był większy w 2002 roku niż w 2001 roku? 10. Dzienne zużycie wody w fabryce jest zmienną losową o rozkładzie N(µ, σ). Na podstawie obserwacji n = 196 dni stwierdzono, że średnie dzienne zużycie wody wynosi x = 1025 (m 3 ), zaś odchylenie standardowe s = 20 (m 3 ). Na poziomie istotności α = 0, 01 zweryfikować hipotezę, że średnie dzienne zużycie wody jest mniejsze od 1000 (m 3 ). 11. Dokonano 100 pomiarów opóźnień autobusów w stosunku do rozkładu. Otrzymano x = 8, s = 4 (w minutach). Zakładając, że czas opóźnień ma rozkład normalny, zweryfikować na poziomie istotności α = 0, 01, hipotezę, że wariancja opóźnień wynosi W pewnym przedsiębiorstwie wylosowano niezależnie do próby 250 kobiet i 380 mężczyzn, i spytano ich czy są skłonni zmienić swoje miejsce pracy. Odpowiedziało twierdząco 100 kobiet i 280 mężczyzn. Czy można sądzić przy α = 0, 01, że badanie potwierdza ogólną opinię, że kobiety w większym stopniu boją się zmian niż mężczyźni? 13. Z populacji studentów wylosowano 150 osób, a z populacji studentek 180 osób. Wylosowanym osobom zadano pytanie: Czy lubi pan/pani pić alkohol? Odpowiedziało twierdząco 50 11

12 kobiet i 120 mężczyzn. Na poziomie istotności α = 0, 02, zweryfikować hipotezę o wyższym odsetku pijących studentów niż studentek. 14. Istnieje powszechna opinia, że studentki uzyskują lepsze oceny z egzaminu z matematyki niż studenci. Wylosowano 10 studentów oraz 10 studentek, których średnie oceny ze sprawdzianów z matematyki wynosiły: studenci studentki 3,0 3,3 3,2 3,6 2,5 4,0 4,5 4,0 4,0 3,5 2,8 5,0 3,2 3,0 3,0 4,1 3,1 3,3 3,0 3,6 Zweryfikować na poziomie istotności α = 0, 05 hipotezę, że średnie oceny z matematyki studentów i studentek są równe. Zakładamy, że średnie ocen (studentów i studentek) mają rozkłady normalne N(µ 1, σ 1 ) i N(µ 2, σ 2 ) oraz że σ 1 = σ Średnia prędkość trolejbusu (w km/h) obliczona na podstawie zmierzonych w środę prędkości 200 trolejbusów była równa 15, 1, natomiast średnia prędkość obliczona dla 120 trolejbusów w sobotę wynosiła 16, 4. Wariancja prędkości obliczona na podstawie tych wyników wynosiła odpowiednio s 2 1 = 6, 8, s2 2 = 4, 3. Na podstawie uzyskanych danych zweryfikować na poziomie istotności α = 0, 05 hipotezę, że średnia prędkość trolejbusów w środę jest mniejsza niż w sobotę. 16. Wiadomo, że rozkład wyników pomiaru głębokości morza jest normalny z odchyleniem standardowym σ = 5 metrów. Dokonano 5 niezależnych pomiarów w tym rejonie i otrzymano wyniki: 862, 870, 876, 866, 874. (a) Na poziomie istotności α = 0, 05 zweryfikować hipotezę, że µ = 870. (b) W innym rejonie rozkład jest N(µ, 10). Dla 10 niezależnych wyników otrzymano średnią głębokość morza 865 metrów. Czy można uważać, że przeciętna głębokość morza w tych rejonach jest jednakowa? 12