1. szereg wyliczający (szczegółowy) - wyniki są uporządkowane wyłącznie według wartości badanej cechy, np. od najmniejszej do największej

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "1. szereg wyliczający (szczegółowy) - wyniki są uporządkowane wyłącznie według wartości badanej cechy, np. od najmniejszej do największej"

Transkrypt

1 1 Statystyka opisowa Statystyka opisowa zajmuje się porządkowaniem danych i wstępnym ich opracowaniem. Szereg statystyczny - to zbiór wyników obserwacji jednostek według pewnej cechy 1. szereg wyliczający (szczegółowy) - wyniki są uporządkowane wyłącznie według wartości badanej cechy, np. od najmniejszej do największej 2. szereg rozdzielczy - wyniki są uporządkowane i pogrupowane według wariantów badanej cechy; poszczególnym wariantom przyporządkowane są odpowiadające im liczebności (a) szereg rozdzielczy punktowy (jednostopniowy, prosty) - gdy liczba możliwych przyjmowanych wartości jest niewielka (b) szereg rozdzielczy przedziałowy (wielostopniowy, złożony) - gdy liczba możliwych przyjmowanych wartości jest duża Przykład 1. Ceny akcji pewnej spółki na ostatnich 30 sesjach giełdowych 2015 roku kształtowały się następująco: 2,6; 2,6; 2,7; 2,7; 2,9; 3,0; 2,5; 2,6; 2,6; 2,7; 2,7; 2,8; 2,8; 2,8; 2,5; 2,4; 2,4; 2,0; 2,3; 2,3; 2,4; 2,6; 2,6; 2,6; 2,6; 2,6; 2,6; 2,6; 2,6; 2,7. szereg wyliczający cena akcji 2,0 2,3 2,3 2,4 2,4 2,4 2,5 2,5 2,6. szereg rozdzielczy punktowy cena akcji liczebność 2,0 1 2,3 2 2,4 3 2,5 2 2,6 12 2,7 5 2,8 3 2,9 1 3, szereg rozdzielczy przedziałowy przedziały liczebność 1,95-2,13 1 2,13-2,31 2 2,31-2,49 3 2,49-2, ,67-2,85 8 2,85-3, Miary statystyczne: 1. miary położenia - służą do określenia tej wartości cechy, wokół której skupiają się wszystkie pozostałe wartości; mierzą przeciętny poziom cechy (a) średnia z próby 1

2 (b) moda (dominanta) (c) mediana (d) kwartyle 2. miary rozproszenia (zmienności, rozrzutu) - służą do badania stopnia zróżnicowania jednostek populacji ze względu na wartość badanej cechy (a) wariancja (b) odchylenie standardowe (c) odchylenie przeciętne od średniej (d) odchylenie przeciętne od mediany (e) odchylenie ćwiartkowe (f) współczynnik zmienności (g) współczynnik nierównomierności 3. miary asymetrii - służą do badania kierunku zróżnicowania wartości badanej cechy; mierzą czy przeważająca liczba jednostek znajduje się powyżej czy poniżej przeciętnego poziomu badanej cechy (a) wskaźnik asymetrii (b) współczynnik asymetrii 4. miary koncentracji - służą do analizy stopnia skupienia poszczególnych jednostek wokół średniej (a) współczynnik skupienia (kurtoza) (b) eksces ZADANIA. 1. Studenci otrzymali następujące oceny z egzaminu: 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3,5; 3,5; 3,5; 3,5; 3,5; 3,5; 3,5; 3,5; 3,5; 3,5; 3,5; 3,5; 3,5; 3,5; 3,5; 3,5; 3,5; 3,5; 3,5; 3,5; 3,5; 3,5; 3,5; 3,5; 3,5; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4,5; 4,5; 4,5; 4,5; 4,5; 4,5; 4,5; 4,5; 4,5; 4,5; 4,5; 4,5; 4,5; 4,5; 4,5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5. Zbudować szereg rozdzielczy 2

3 punktowy (jednostopniowy). Dla otrzymanego szeregu rozdzielczego narysować histogram, a następnie wyznaczyć miary położenia, rozproszenia i asymetrii. 2. W pewnym przedsiębiorstwie na koniec 2014 roku przeprowadzono inwentaryzację sprzętu komputerowego i otrzymano następujący rozkład liczby napraw tego sprzętu od chwili zakupu: liczba napraw (x i ) liczba urządzeń (n i ) Narysować histogram. Dokonać analizy struktury sprzętu komputerowego według liczby napraw, wyznaczając miary położenia, rozproszenia i asymetrii. 3. Stopa bezrobocia (w %) w Polsce według województw na dzień roku kształtowała się następująco: 4,1; 6,1; 6,2; 8,4; 9,6; 9,8; 10,6; 10,7; 10,7; 11,7; 11,7; 11,9; 12; 12,1; 12,4; 12,4; 12,7; 12,8; 12,9; 13,1; 13,1; 13,9; 14,2; 14,3; 14,6; 14,9; 14,9; 15,2; 15,3; 16,2; 16,6; 16,7; 16,8; 16,9; 17; 17; 17,2; 17,3; 17,4; 18,2; 18,6; 19; 21,7; 21,5; 23,4; 23,6; 24,6; 24,7; 25,7. Zbudować szereg rozdzielczy przedziałowy (wielostopniowy), przyjmując długość klasy h = 3, 1. Dla otrzymanego szeregu rozdzielczego narysować histogram, a następnie wyznaczyć miary położenia, rozproszenia i asymetrii. Podać interpretację otrzymanych wyników. 4. W pewnym przedsiębiorstwie w Lublinie na dzień roku było zatrudnionych 48 osób, których staż pracy (w latach) wynosił: 1, 2, 7, 9, 31, 24, 21, 16, 2, 7, 11, 15, 8, 6, 7, 3, 13, 15, 4, 5, 17, 20, 12, 1, 2, 3, 10, 8, 13, 2, 11, 14, 6, 10, 18, 21, 27, 27, 9, 35, 17, 32, 8, 27, 26, 18, 25, 29. Przeprowadzić grupowanie statystyczne pracowników pod względem stażu pracy (zbudować szereg rozdzielczy przedziałowy, przyjmując długość klasy h = 5). Narysować histogram. Dokonać wszechstronnej analizy stażu pracy w tym przedsiębiorstwie, wyznaczając miary położenia, rozproszenia i asymetrii. 5. Ceny akcji pewnej spółki na ostatnich 30 sesjach giełdowych 2015 roku kształtowały się następująco: 2,6; 2,6; 2,7; 2,7; 2,9; 3,0; 2,5; 2,6; 2,6; 2,7; 2,7; 2,8; 2,8; 2,8; 2,5; 2,4; 2,4; 2,0; 2,3; 2,3; 2,4; 2,6; 2,6; 2,6; 2,6; 2,6; 2,6; 2,6; 2,6; 2,7. Zbudować szereg rozdzielczy przedziałowy, przyjmując długość klasy h = 0, 18. Dla otrzymanego szeregu rozdzielczego narysować histogram, a następnie wyznaczyć miary położenia, rozproszenia i asymetrii. 3

4 2 Estymacja Estymacja jest to szacowanie nieznanych paramentrów, które charakteryzują rozkład badanej cechy populacji (wychodzimy od wyników próby i na ich podstawie formułujemy wnioski o populacji). 1. Estymacja punktowa - polega na wyznaczeniu pojedynczej wartości, która stanowi przybliżenie poszukiwanego parametru 2. Estymacja przedziałowa - polega na konstruowaniu przedziału liczbowego, który z określonym z góry prawdopodobieństwem (bliskim jedności) będzie zawierał nieznaną wartość szacowanego parametru. Przedział ten nosi nazwę przedziału ufności. najpierw określamy prawdopodobieństwo 1 α tzw. poziom ufności (współczynnik ufności) potem wyznaczamy przedział, do którego z prawdopodobieństwem 1 α należy szacowany parametr θ, czyli wyznaczamy takie a, b, że P (a θ b) = 1 α ZADANIA. 1. W pewnym zakładzie zbadano staż pracy pracowników. W tym celu z populacji pracowników wylosowano próbę o liczebności n = 196 pracowników, z której obliczono x = 6, 9 lat. Dotychczasowe doświadczenie wskazuje, że rozkład stażu pracy pracowników jest normalny z odchyleniem standardowym σ = 2, 8 lat. Przyjmując poziom ufności 1 α = 0, 95, zbudować przedział ufności dla nieznanego średniego stażu pracy w populacji pracowników. 2. W celu ustalenia nowych norm pracy konieczne było oszacowanie średniego czasu potrzebnego do wykonania pewnego detalu na określonym typie obrabiarki. W tym celu z populacji wszystkich robotników wylosowano próbę n = 17 robotników i u każdego z nich dokonano pomiaru czasu wykonania detalu. Okazało się, że średni czas wykonania detalu wynosił 15 minut, odchylenie standardowe zaś 2 minuty. Przyjmując poziom ufności 1 α = 0, 95, oszacować średni czas potrzebny do wykonania tego detalu w całej populacji robotników. Wiadomo ponadto, że rozkład czasu wykonania tego detalu jest w przybliżeniu normalny N(µ, σ). 4

5 3. W losowo wybranej grupie samochodów osobowych pewnej marki przeprowadzono badanie zużycia benzyny na trasie 100 km. Okazało się, że odchylenie standardowe zużycia benzyny dla tej grupy samochodów wynosiło 0,8 litra na 100 km. Zakładając, że badana cecha na rozkład normalny, wyznaczyć przedział ufności dla odchylenia standardowego zużycia benzyny przez wszystkie samochody tej marki na takiej trasie. Przyjąć poziom ufności 0, Spośród 120 wylosowanych pracowników pewnego zakładu, 12 nie wykonało normy wydajności. Przyjmując poziom ufności 0,9, wyznaczyć przedział ufności dla wskaźnika struktury pracowników w tym zakładzie, którzy nie wykonują normy. 5. Dla 200 pracowników wylosowanych niezależnie w pewnym przedsiębiorstwie otrzymano następujący rozkład empiryczny wieku (w latach): wiek liczba pracowników n i Wiadomo, że wiek pracowników ma rozkład normalny. Przyjmując poziom ufności 1 α = 0, 99, oszacować przedziałowo: (a) przeciętny wiek pracowników w badanym przedsiębiorstwie, (b) odchylenie standardowe wieku pracowników w badanym przedsiębiorstwie, (c) odsetek pracowników w wieku poniżej 35 lat. 6. Analizując wydajność pracy w pewnym zakładzie otrzymano dane: 5

6 wydajność pracy liczba pracowników w szt/h n i Wiadomo, że wydajność pracy w tym zakładzie ma rozkład normalny. Przyjmując poziom ufności 1 α = 0, 95, wyznaczyć przedział ufności dla: (a) przeciętnej wydajności, (b) odchylenia standardowego. 7. Wśród studentów palących papierosy przeprowadzono ankietę na temat ilości wypalanych dziennie papierosów. Uzyskano następujące odpowiedzi: liczba liczba studentów papierosów n i Przyjmując poziom ufności 1 α = 0, 9, zbudować oszacować przedziałowo: (a) średnią ilości papierosów wypalanych dziennie przez studentów, (b) odsetek osób, które palą mniej niż 5 papierosów dziennie. 8. W celu oszacowania średniego kosztu oraz rozrzutu kosztu produkcji pewnego artykułu produkowanego przez różne zakłady, wylosowano niezależnie do próby 150 zakładów i otrzymano wyniki: 6

7 koszt jednostkowy liczba zakładów w zł n i Wiadomo, że koszt produkcji ma rozkład normalny. Przyjmując poziom ufności 1 α = 0, 95, oszacować metodą przedziałową: (a) nieznany średni koszt tego artykułu we wszystkich zakładach produkujących go w Polsce, (b) odchylenie standardowe jednostkowego kosztu tego artykułu we wszystkich zakładach produkujących go w Polsce, (c) odsetek zakładów, w których koszt jednostkowy jest wyższy niż 60 zł. 9. W pewnym doświadczeniu medycznym bada się czas snu pacjentów chorych na pewną chorobę. Zmierzono czas snu u n = 16 wylosowanych niezależnie pacjentów i otrzymano wyniki (w minutach): 436, 533, 393, 458, 525, 481, 324, 437, 348, 503, 383, 395, 416, 553, 500, 488. Zakładając, że czas snu ma rozkład N(µ, 70), oszacować średnią µ czasu snu pacjenta metodą przedziałową przyjmując 1 α = 0, Na koniec 2014 roku wylosowano niezależnie 8 pracowników umysłowych w pewnym przedsiębiorstwie i uzyskano następujące informacje dotyczące stażu pracy (w latach): 5, 16, 9, 13, 5, 14, 2, 9. Przy założeniu, że staż pracy w przedsiębiorstwie ma rozkład normalny, oszacować przedziałowo na poziomie ufności 0, 98: (a) przeciętny staż pracy pracowników umysłowych w badanym przedsiębiorstwie, (b) odchylenie standardowe stażu pracy pracowników umysłowych badanego przedsiębiorstwa. 7

8 3 Weryfikacja hipotez statystycznych Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy populacji, o prawdziwości lub fałszywości którego wnioskuje się na podstawie pobranej próby. Hipotezy możemy podzielić na: 1. hipotezy parametryczne - czyli przypuszczenia dotyczące parametru badanej cechy, 2. hipotezy nieparametryczne - czyli przypuszczenia dotyczące postaci funkcyjnej rozkładu badanej cechy Weryfikacja hipotez statystycznych jest to podejmowanie decyzji o prawdziwości lub fałszywości hipotez statystycznych. Weryfikując daną hipotezę statystyczną na podstawie zaobserwowanych wyników próby, ponosimy zawsze pewne ryzyko podjęcia błędnej decyzji. Wynika to stąd, że na podstawie próby nigdy nie mamy całkowitej informacji o populacji, z której pobrana została próba. Możemy popełnić 2 rodzaje błędów: 1. możemy odrzucić hipotezę, która jest prawdziwa - błąd I rodzaju (prawdopodobieństwo popełnienia tego błędu oznaczmy α), 2. możemy przyjąć hipotezę, która jest fałszywa - błąd II rodzaju (prawdopodobieństwo popełnienia tego błędu oznaczmy β). Decyzja Hipoteza prawdziwa Hipoteza fałszywa decyzja poprawna decyzja błędna przyjąć hipotezę 1 α β (błąd II rodzaju) decyzja błędna decyzja poprawna odrzucić hipotezę α 1 β (błąd I rodzaju) Najczęściej wykorzystywane są tzw. testy istotności. Są to testy, w których bierzemy pod uwagę jedynie prawdopodobieństwo popełnienia błędu I rodzaju α, zwane poziomem istotności testu, a pomijamy prawdopodobieństwo popełnienia błędu II rodzaju β. Dlatego nie podejmujemy decyzji o przyjęciu hipotezy. Możemy jedynie odrzucić hipotezę na poziomie istotności α lub stwierdzić, że nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy. Etapy weryfikacji hipotezy statystycznej: 8

9 1. Dokonujemy wyboru testu statystycznego. 2. Definiujemy hipotezę zerową H 0, która będzie podlegać weryfikacji. 3. Definiujemy hipotezę alternatywną H 1, która może przyjmować wszystkie rozwiązania poza tymi zawartymi w H 0. Hipoteza H 1 najczęściej wynika z celu badania statystycznego; jest zależna od konkretnych warunków rozwiązywanego problemu. Hipoteza H 1 jest taką hipotezą, którą w danym zagadnieniu jesteśmy skłonni przyjąć, jeśli weryfikowaną hipotezę trzeba będzie odrzucić. 4. Wyznaczamy zbiór krytyczny W na podstawie przyjętego poziomu istotności α (w zależności od postaci hipotezy alternatywnej H 1 ). Zazwyczaj α = 0, 1; 0, 05; 0, 01; 0, Wyznaczamy wartość statystyki testowej i ustalamy czy należy ona do zbioru krytycznego W. 6. Podejmujemy decyzję. Jeżeli wynik znalazł się w zbiorze krytycznym, to odrzucamy hipotezę H 0 na korzyść hipotezy alternatywnej H 1. W przeciwnym wypadku stwierdzamy jedynie brak podstaw do odrzucenia H 0. ZADANIA. 1. W celu ustalenia, czy dotychczasowa norma okresu użytkowania ubrań ochronnych - wynosząca 150 dni - nie jest zbyt wysoka, zbadano faktyczny okres użytkowania ich na przykładzie 50 losowo wybranych robotników pracujących w normalnych warunkach. Otrzymano średnią długość okresu użytkowania x = 139 dni oraz odchylenie standardowe s = 9, 8 dni. Zakładając, że czas użytkowania ubrań ma rozkład normalny, stwierdzić, na poziomie istotności α = 0, 01, czy uzyskane wyniki stanowią podstawę zmiany (zmniejszenia) normy. 2. Losowo wybrana próba złożona z n = 20 studentów pewnej uczelni dała odchylenie standardowe s = 30 papierosów wypalanych dziennie. Zakładając, że rozkład liczby wypalanych dziennie papierosów jest normalny, zweryfikować hipotezę, że odchylenie standardowe liczby wypalanych dziennie papierosów wynosi 5. Przyjąć poziom istotności α = 0, W celu porównania przeciętnego stażu pracy pracowników w dwóch zakładach wylosowano z każdego z tych zakładów grupę pracowników i zbadano ją pod względem długości stażu pracy. Otrzymano następujące wyniki: 9

10 zakład 1: n 1 = 18 pracowników, x 1 = 6, 8 lat, s 1 = 1, 7 lat zakład 2: n 1 = 20 pracowników, x 2 = 8, 2 lat, s 2 = 2, 5 lat. Na poziomie istotności 0,01 zweryfikować hipotezę, że średni staż pracy pracowników w zakładzie 1 jest niższy niż w zakładzie 2. Zakładamy, że średni staż pracy w obu zakładach ma rozkład normalny o nieznanych, ale jednakowych parametrach σ 1 = σ Studenci dwóch kierunków na pewnej uczelni uzyskali następujące średnie wyników nauczania: x 1 = 3, 6, s 1 = 2, x 2 = 4, s 2 = 1, 8. Przy obliczaniu średnich uwzględniono oceny ze wszystkich zaliczeń i egzaminów w czasie studiów: n 1 = 100, n 2 = 120. Na poziomie istotności 0,05 zweryfikować hipotezę, że średnie ocen uzyskanych przez studentów obu kierunków są jednakowe. 5. Wylosowano 300 mieszkań w Lublinie, w 54 przypadkach mieszkania te były wyposażone w telefon stacjonarny. Na poziomie istotności α = 0, 05, zweryfikować hipotezę, że wskaźnik struktury p mieszkań w Lublinie mających telefon stacjonarny jest równy 0,4. 6. Zbadano opony samochodowe, produkowane przez dwóch producentów, które zostały wycofane z eksploatacji. Spośród zbadanych 1582 opon producenta A otrzymano 1250 opon wycofanych z powodu zużycia bieżnika, a spośród 589 opon producenta B wycofanych z powodu tego defektu otrzymano 421 sztuk. Na poziomie istotności 0,01 zweryfikować hipotezę H 0, że procent opon wycofanych z eksploatacji na skutek zużycia się bieżnika jest jednakowy dla obu producentów, przeciw hipotezie H 1, że jest niższy dla producenta A. 7. Czas pracy baterii pewnego rodzaju ma rozkład N(µ, 70). Na poziomie istotności α = 0, 05 zweryfikować hipotezę, że przeciętny czas pracy tego typu baterii wynosi ponad 500 godzin, jeśli dla 16 losowo wybranych baterii otrzymano x = 560 godzin. 8. Przeprowadzono badanie przeciętnych miesięcznych płac netto osiągniętych przez pracowników pewnego przedsiębiorstwa w 2010 roku. Wylosowano 21 pracowników i otrzymano następujące wyniki: x = 750 zł, s = 150 zł. Miesięczne płace netto mają rozkład normalny. Na poziomie istotności α = 0, 05, zweryfikować następujące hipotezy: (a) przeciętna miesięczna płaca uzyskana przez pracowników była równa 700 zł, (b) odchylenie standardowe przeciętnych płac w przedsiębiorstwie przekroczyło 90 zł. 9. W pewnej firmie wylosowano niezależnie po 150 odbiorców w roku 2001 oraz w 2002 i zbadano poziom rentowności sprzedaży wyrobów firmy dla tych odbiorców. 10

11 rentowność liczba odbiorców liczba odbiorców w % w 2001 roku w 2002 roku razem Wiadomo, że rentowność w całej populacji ma rozkład normalny. Na poziomie istotności α = 0, 05 sprawdzić: (a) czy średnia rentowność w 2002 roku wynosiła 30 (%)? (b) czy odchylenie standardowe rozkładu rentowności w 2002 roku było większe od 20 (%)? (c) czy średnia rentowność firmy poprawiła się w 2002 roku w porównaniu z 2001 rokiem? (d) czy odsetek nierentownych transakcji w 2002 roku był mniejszy niż 35%? (e) czy są podstawy do twierdzenia, że odsetek odbiorców, dla których rentowność przekroczyła 20 (%) był większy w 2002 roku niż w 2001 roku? 10. Dzienne zużycie wody w fabryce jest zmienną losową o rozkładzie N(µ, σ). Na podstawie obserwacji n = 196 dni stwierdzono, że średnie dzienne zużycie wody wynosi x = 1025 (m 3 ), zaś odchylenie standardowe s = 20 (m 3 ). Na poziomie istotności α = 0, 01 zweryfikować hipotezę, że średnie dzienne zużycie wody jest mniejsze od 1000 (m 3 ). 11. Dokonano 100 pomiarów opóźnień autobusów w stosunku do rozkładu. Otrzymano x = 8, s = 4 (w minutach). Zakładając, że czas opóźnień ma rozkład normalny, zweryfikować na poziomie istotności α = 0, 01, hipotezę, że wariancja opóźnień wynosi W pewnym przedsiębiorstwie wylosowano niezależnie do próby 250 kobiet i 380 mężczyzn, i spytano ich czy są skłonni zmienić swoje miejsce pracy. Odpowiedziało twierdząco 100 kobiet i 280 mężczyzn. Czy można sądzić przy α = 0, 01, że badanie potwierdza ogólną opinię, że kobiety w większym stopniu boją się zmian niż mężczyźni? 13. Z populacji studentów wylosowano 150 osób, a z populacji studentek 180 osób. Wylosowanym osobom zadano pytanie: Czy lubi pan/pani pić alkohol? Odpowiedziało twierdząco 50 11

12 kobiet i 120 mężczyzn. Na poziomie istotności α = 0, 02, zweryfikować hipotezę o wyższym odsetku pijących studentów niż studentek. 14. Istnieje powszechna opinia, że studentki uzyskują lepsze oceny z egzaminu z matematyki niż studenci. Wylosowano 10 studentów oraz 10 studentek, których średnie oceny ze sprawdzianów z matematyki wynosiły: studenci studentki 3,0 3,3 3,2 3,6 2,5 4,0 4,5 4,0 4,0 3,5 2,8 5,0 3,2 3,0 3,0 4,1 3,1 3,3 3,0 3,6 Zweryfikować na poziomie istotności α = 0, 05 hipotezę, że średnie oceny z matematyki studentów i studentek są równe. Zakładamy, że średnie ocen (studentów i studentek) mają rozkłady normalne N(µ 1, σ 1 ) i N(µ 2, σ 2 ) oraz że σ 1 = σ Średnia prędkość trolejbusu (w km/h) obliczona na podstawie zmierzonych w środę prędkości 200 trolejbusów była równa 15, 1, natomiast średnia prędkość obliczona dla 120 trolejbusów w sobotę wynosiła 16, 4. Wariancja prędkości obliczona na podstawie tych wyników wynosiła odpowiednio s 2 1 = 6, 8, s2 2 = 4, 3. Na podstawie uzyskanych danych zweryfikować na poziomie istotności α = 0, 05 hipotezę, że średnia prędkość trolejbusów w środę jest mniejsza niż w sobotę. 16. Wiadomo, że rozkład wyników pomiaru głębokości morza jest normalny z odchyleniem standardowym σ = 5 metrów. Dokonano 5 niezależnych pomiarów w tym rejonie i otrzymano wyniki: 862, 870, 876, 866, 874. (a) Na poziomie istotności α = 0, 05 zweryfikować hipotezę, że µ = 870. (b) W innym rejonie rozkład jest N(µ, 10). Dla 10 niezależnych wyników otrzymano średnią głębokość morza 865 metrów. Czy można uważać, że przeciętna głębokość morza w tych rejonach jest jednakowa? 12

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki

Bardziej szczegółowo

Błędy przy testowaniu hipotez statystycznych. Decyzja H 0 jest prawdziwa H 0 jest faszywa

Błędy przy testowaniu hipotez statystycznych. Decyzja H 0 jest prawdziwa H 0 jest faszywa Weryfikacja hipotez statystycznych Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy populacji, o prawdziwości lub fałszywości którego wnioskuje się na podstawie

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI

LABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI LABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI WERYFIKACJA HIPOTEZ Hipoteza statystyczna jakiekolwiek przypuszczenie dotyczące populacji generalnej- jej poszczególnych

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów. Wrocław, r

Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów. Wrocław, r Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów Wrocław, 18.03.2016r Plan wykładu: 1. Testowanie hipotez 2. Etapy testowania hipotez 3. Błędy 4. Testowanie wielokrotne 5. Estymacja parametrów

Bardziej szczegółowo

ESTYMACJA. Przedział ufności dla średniej

ESTYMACJA. Przedział ufności dla średniej ESTYMACJA Przedział ufności dla średniej W grupie 900 losowo wybranych pracowników przedsiębiorstwa średnia liczba dni nieobecności w pracy wynosiła 30, a odchylenie standardowe 3 dni. a) Przyjmując współczynnik

Bardziej szczegółowo

Wykład 3 Hipotezy statystyczne

Wykład 3 Hipotezy statystyczne Wykład 3 Hipotezy statystyczne Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu obserwowanej zmiennej losowej (cechy populacji generalnej) Hipoteza zerowa (H 0 ) jest hipoteza

Bardziej szczegółowo

166 Wstęp do statystyki matematycznej

166 Wstęp do statystyki matematycznej 166 Wstęp do statystyki matematycznej Etap trzeci realizacji procesu analizy danych statystycznych w zasadzie powinien rozwiązać nasz zasadniczy problem związany z identyfikacją cechy populacji generalnej

Bardziej szczegółowo

TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Przez hipotezę statystyczną rozumiemy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu interesującej nas

TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Przez hipotezę statystyczną rozumiemy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu interesującej nas TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Przez hipotezę statystyczną rozumiemy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu interesującej nas cechy. Hipotezy dzielimy na parametryczne i nieparametryczne.

Bardziej szczegółowo

Statystyka. #5 Testowanie hipotez statystycznych. Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik. rok akademicki 2016/ / 28

Statystyka. #5 Testowanie hipotez statystycznych. Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik. rok akademicki 2016/ / 28 Statystyka #5 Testowanie hipotez statystycznych Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik rok akademicki 2016/2017 1 / 28 Testowanie hipotez statystycznych 2 / 28 Testowanie hipotez statystycznych

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna dla leśników

Statystyka matematyczna dla leśników Statystyka matematyczna dla leśników Wydział Leśny Kierunek leśnictwo Studia Stacjonarne I Stopnia Rok akademicki 03/04 Wykład 5 Testy statystyczne Ogólne zasady testowania hipotez statystycznych, rodzaje

Bardziej szczegółowo

SIGMA KWADRAT. Weryfikacja hipotez statystycznych. Statystyka i demografia CZWARTY LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO-DEMOGRAFICZNY

SIGMA KWADRAT. Weryfikacja hipotez statystycznych. Statystyka i demografia CZWARTY LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO-DEMOGRAFICZNY SIGMA KWADRAT CZWARTY LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO-DEMOGRAFICZNY Weryfikacja hipotez statystycznych Statystyka i demografia PROJEKT DOFINANSOWANY ZE ŚRODKÓW NARODOWEGO BANKU POLSKIEGO URZĄD STATYSTYCZNY

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych. Wnioskowanie statystyczne

Testowanie hipotez statystycznych. Wnioskowanie statystyczne Testowanie hipotez statystycznych Wnioskowanie statystyczne Hipoteza statystyczna to dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej (jego postaci funkcyjnej lub wartości parametrów). Hipotezy

Bardziej szczegółowo

Estymacja parametrów rozkładu cechy

Estymacja parametrów rozkładu cechy Estymacja parametrów rozkładu cechy Estymujemy parametr θ rozkładu cechy X Próba: X 1, X 2,..., X n Estymator punktowy jest funkcją próby ˆθ = ˆθX 1, X 2,..., X n przybliżającą wartość parametru θ Przedział

Bardziej szczegółowo

a. opisać badaną cechę; cechą X jest pomiar średnicy kulki

a. opisać badaną cechę; cechą X jest pomiar średnicy kulki Maszyna ustawiona jest tak, by produkowała kulki łożyskowe o średnicy 1 cm. Pomiar dziesięciu wylosowanych z produkcji kulek dał x = 1.1 oraz s 2 = 0.009. Czy można uznać, że maszyna nie rozregulowała

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych Przykład. Producent pewnych detali twierdzi, że wadliwość jego produkcji nie przekracza 2%. Odbiorca pewnej partii tego produktu chce sprawdzić, czy może wierzyć producentowi.

Bardziej szczegółowo

), którą będziemy uważać za prawdziwą jeżeli okaże się, że hipoteza H 0

), którą będziemy uważać za prawdziwą jeżeli okaże się, że hipoteza H 0 Testowanie hipotez Każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy nazywamy hipotezą statystyczną. Hipoteza określająca jedynie wartości nieznanych parametrów liczbowych badanej cechy

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO. Wykład 2

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO. Wykład 2 STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład Parametry przedziałowe rozkładów ciągłych określane na podstawie próby (przedziały ufności) Przedział ufności dla średniej s X t( α;n 1),X + t( α;n 1) n s n t (α;

Bardziej szczegółowo

Wielkość dziennego obrotu w tys. zł. (y) Liczba ekspedientek (x) 6 2 4 5,5 6,6

Wielkość dziennego obrotu w tys. zł. (y) Liczba ekspedientek (x) 6 2 4 5,5 6,6 Zad. 1. Zbadano wydajność odmiany pomidorów na 100 poletkach doświadczalnych. W wyniku przeliczeń otrzymano przeciętną wydajność na w tonach na hektar x=30 i s 2 x =7. Przyjmując, że rozkład plonów pomidora

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych cd.

Testowanie hipotez statystycznych cd. Temat Testowanie hipotez statystycznych cd. Kody znaków: żółte wyróżnienie nowe pojęcie pomarańczowy uwaga kursywa komentarz 1 Zagadnienia omawiane na zajęciach 1. Przykłady testowania hipotez dotyczących:

Bardziej szczegółowo

Statystyka i opracowanie danych- W 8 Wnioskowanie statystyczne. Testy statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych.

Statystyka i opracowanie danych- W 8 Wnioskowanie statystyczne. Testy statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych. Statystyka i opracowanie danych- W 8 Wnioskowanie statystyczne. Testy statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Hipotezy i Testy statystyczne Każde

Bardziej szczegółowo

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adrian@tempus.metal.agh.edu.pl

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2

STATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2 STATYSTYKA Rafał Kucharski Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2 Karl Popper... no matter how many instances of white swans we may have observed, this does not

Bardziej szczegółowo

Wydział Matematyki. Testy zgodności. Wykład 03

Wydział Matematyki. Testy zgodności. Wykład 03 Wydział Matematyki Testy zgodności Wykład 03 Testy zgodności W testach zgodności badamy postać rozkładu teoretycznego zmiennej losowej skokowej lub ciągłej. Weryfikują one stawiane przez badaczy hipotezy

Bardziej szczegółowo

Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średn

Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średn Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średniej Wrocław, 21 grudnia 2016r Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja 10.1 Przedziałem

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 5 TEORIA ESTYMACJI II

WYKŁAD 5 TEORIA ESTYMACJI II WYKŁAD 5 TEORIA ESTYMACJI II Teoria estymacji (wyznaczanie przedziałów ufności, błąd badania statystycznego, poziom ufności, minimalna liczba pomiarów). PRÓBA Próba powinna być reprezentacyjna tj. jak

Bardziej szczegółowo

Pozyskiwanie wiedzy z danych

Pozyskiwanie wiedzy z danych Pozyskiwanie wiedzy z danych dr Agnieszka Goroncy Wydział Matematyki i Informatyki UMK PROJEKT WSPÓŁFINANSOWANY ZE ŚRODKÓW UNII EUROPEJSKIEJ W RAMACH EUROPEJSKIEGO FUNDUSZU SPOŁECZNEGO Pozyskiwanie wiedzy

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów stat. Hipoteza statystyczna Dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej

Bardziej szczegółowo

Plan wykładu. Statystyka opisowa. Statystyka matematyczna. Dane statystyczne miary położenia miary rozproszenia miary asymetrii

Plan wykładu. Statystyka opisowa. Statystyka matematyczna. Dane statystyczne miary położenia miary rozproszenia miary asymetrii Plan wykładu Statystyka opisowa Dane statystyczne miary położenia miary rozproszenia miary asymetrii Statystyka matematyczna Podstawy estymacji Testowanie hipotez statystycznych Żródła Korzystałam z ksiażek:

Bardziej szczegółowo

WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE

WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE STATYSTYKA WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE ESTYMACJA oszacowanie z pewną dokładnością wartości opisującej rozkład badanej cechy statystycznej. WERYFIKACJA HIPOTEZ sprawdzanie słuszności przypuszczeń dotyczących

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ

MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ Opracowała: Milena Suliga Wszystkie pliki pomocnicze wymienione w treści

Bardziej szczegółowo

Statystyka opisowa. Robert Pietrzykowski.

Statystyka opisowa. Robert Pietrzykowski. Statystyka opisowa Robert Pietrzykowski email: robert_pietrzykowski@sggw.pl www.ekonometria.info Na dziś Sprawy bieżące 2 Na dziś Wykład 5: Statystyka matematyczna Estymatory punktowe i przedziałowe 4

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych.

Testowanie hipotez statystycznych. Bioinformatyka Wykład 4 Wrocław, 17 października 2011 Temat. Weryfikacja hipotez statystycznych dotyczących wartości oczekiwanej w dwóch populacjach o rozkładach normalnych. Model 3. Porównanie średnich

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM 6 ESTYMACJA cz. 2

LABORATORIUM 6 ESTYMACJA cz. 2 LABORATORIUM 6 ESTYMACJA cz. 2 TEORIA ESTYMACJI I 1. ODRZUCANIE WYNIKÓW WĄTPLIWYCH PRÓBA P (m) (m-elementowa) Obliczenie: ; s bez wyników wątpliwych Odrzucenie wyników z poza przedziału: 3s PRÓBA LOSOWA

Bardziej szczegółowo

Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich. Wrocław, 5 grudnia 2014

Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich. Wrocław, 5 grudnia 2014 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich Wrocław, 5 grudnia 2014 Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja Przedziałem ufności dla paramertu

Bardziej szczegółowo

Estymacja przedziałowa

Estymacja przedziałowa Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Uniwersytet Zielonogórski Metody analizy danych ćwiczenia Estymacja przedziałowa Program ćwiczeń obejmuje następująca zadania: 1. Dom handlowy prowadzący

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez. Hipoteza prosta zawiera jeden element, np. H 0 : θ = 2, hipoteza złożona zawiera więcej niż jeden element, np. H 0 : θ > 4.

Testowanie hipotez. Hipoteza prosta zawiera jeden element, np. H 0 : θ = 2, hipoteza złożona zawiera więcej niż jeden element, np. H 0 : θ > 4. Testowanie hipotez Niech X = (X 1... X n ) będzie próbą losową na przestrzeni X zaś P = {P θ θ Θ} rodziną rozkładów prawdopodobieństwa określonych na przestrzeni próby X. Definicja 1. Hipotezą zerową Θ

Bardziej szczegółowo

ODRZUCANIE WYNIKÓW POJEDYNCZYCH POMIARÓW

ODRZUCANIE WYNIKÓW POJEDYNCZYCH POMIARÓW ODRZUCANIE WYNIKÓW OJEDYNCZYCH OMIARÓW W praktyce pomiarowej zdarzają się sytuacje gdy jeden z pomiarów odstaje od pozostałych. Jeżeli wykorzystamy fakt, że wyniki pomiarów są zmienną losową opisywaną

Bardziej szczegółowo

RÓWNOWAŻNOŚĆ METOD BADAWCZYCH

RÓWNOWAŻNOŚĆ METOD BADAWCZYCH RÓWNOWAŻNOŚĆ METOD BADAWCZYCH Piotr Konieczka Katedra Chemii Analitycznej Wydział Chemiczny Politechnika Gdańska Równoważność metod??? 2 Zgodność wyników analitycznych otrzymanych z wykorzystaniem porównywanych

Bardziej szczegółowo

Parametry statystyczne

Parametry statystyczne I. MIARY POŁOŻENIA charakteryzują średni lub typowy poziom wartości cechy, wokół nich skupiają się wszystkie pozostałe wartości analizowanej cechy. I.1. Średnia arytmetyczna x = x 1 + x + + x n n = 1 n

Bardziej szczegółowo

Test lewostronny dla hipotezy zerowej:

Test lewostronny dla hipotezy zerowej: Poznajemy testowanie hipotez statystycznych w środowisku R Zajęcia z dnia 11 maja 2011 roku Najpierw teoria TESTY ISTOTNOŚCI WARTOŚCI ŚREDNIEJ W POPULACJI GENERALNEJ gdy znana jest wariancja!!! Test prawostronny

Bardziej szczegółowo

Wyniki badań reprezentatywnych są zawsze stwierdzeniami hipotetycznymi, o określonych granicach niepewności

Wyniki badań reprezentatywnych są zawsze stwierdzeniami hipotetycznymi, o określonych granicach niepewności Wyniki badań reprezentatywnych są zawsze stwierdzeniami hipotetycznymi, o określonych granicach niepewności Statystyka indukcyjna pozwala kontrolować i oszacować ryzyko popełnienia błędu statystycznego

Bardziej szczegółowo

Statystyki: miary opisujące rozkład! np. : średnia, frakcja (procent), odchylenie standardowe, wariancja, mediana itd.

Statystyki: miary opisujące rozkład! np. : średnia, frakcja (procent), odchylenie standardowe, wariancja, mediana itd. Wnioskowanie statystyczne obejmujące metody pozwalające na uogólnianie wyników z próby na nieznane wartości parametrów oraz szacowanie błędów tego uogólnienia. Przewidujemy nieznaną wartości parametru

Bardziej szczegółowo

Matematyka i statystyka matematyczna dla rolników w SGGW WYKŁAD 9. TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH cd.

Matematyka i statystyka matematyczna dla rolników w SGGW WYKŁAD 9. TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH cd. WYKŁAD 9 TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH cd. Było: Przykład 1. Badano krąŝek o wymiarach zbliŝonych do monety jednozłotowej ze stronami oznaczonymi: A, B. NaleŜy ustalić, czy krąŝek jest symetryczny?

Bardziej szczegółowo

Testy nieparametryczne

Testy nieparametryczne Testy nieparametryczne Testy nieparametryczne możemy stosować, gdy nie są spełnione założenia wymagane dla testów parametrycznych. Stosujemy je również, gdy dane można uporządkować według określonych kryteriów

Bardziej szczegółowo

WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI TESTOWANIE HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH

WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI TESTOWANIE HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI TESTOWANIE HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH Co to są hipotezy statystyczne? Hipoteza statystyczna to dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej. Dzielimy je

Bardziej szczegółowo

KURS STATYSTYKA. Lekcja 2 Przedziały ufności i estymacja przedziałowa ZADANIE DOMOWE. www.etrapez.pl Strona 1

KURS STATYSTYKA. Lekcja 2 Przedziały ufności i estymacja przedziałowa ZADANIE DOMOWE. www.etrapez.pl Strona 1 KUR TATYTYKA Lekcja Przedziały ufności i estymacja przedziałowa ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl trona 1 Część 1: TET Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie 1 We wnioskowaniu statystycznym

Bardziej szczegółowo

ZALICZENIA. W celu uzyskania zaliczenia należy wybrać jeden z trzech poniższych wariantów I, II lub III

ZALICZENIA. W celu uzyskania zaliczenia należy wybrać jeden z trzech poniższych wariantów I, II lub III ZALICZENIA W celu uzyskania zaliczenia należy wybrać jeden z trzech poniższych wariantów I, II lub III 1 Wariant I. PROBLEM WŁASNY Sformułować własne zadanie statystyczne związane z własną pracą badawczą

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia 1-2 Analiza rozkładu empirycznego

Ćwiczenia 1-2 Analiza rozkładu empirycznego Ćwiczenia 1-2 Zadanie 1. Z kolokwium z ekonometrii studenci otrzymali następujące oceny: 5 osób dostało piątkę, 20 os. dostało czwórkę, 10 os. trójkę, a 3 osoby nie zaliczyły tego kolokwium. Należy w oparciu

Bardziej szczegółowo

IV WYKŁAD STATYSTYKA. 26/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15

IV WYKŁAD STATYSTYKA. 26/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 IV WYKŁAD STATYSTYKA 26/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 WYKŁAD 4 Populacja generalna, próba, losowanie próby, estymatory Statystyka (populacja generalna, populacja próbna, próbka mała, próbka duża, reprezentatywność,

Bardziej szczegółowo

Rozkład normalny. Marcin Zajenkowski. Marcin Zajenkowski () Rozkład normalny 1 / 26

Rozkład normalny. Marcin Zajenkowski. Marcin Zajenkowski () Rozkład normalny 1 / 26 Rozkład normalny Marcin Zajenkowski Marcin Zajenkowski () Rozkład normalny 1 / 26 Rozkład normalny Krzywa normalna, krzywa Gaussa, rozkład normalny Rozkłady liczebności wielu pomiarów fizycznych, biologicznych

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA

STATYSTYKA Wykład 1 20.02.2008r. 1. ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1.1 Rozkład dwumianowy Rozkład dwumianowy, 0 1 Uwaga: 1, rozkład zero jedynkowy. 1 ; 1,2,, Fakt: Niech,, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym

Bardziej szczegółowo

Pobieranie prób i rozkład z próby

Pobieranie prób i rozkład z próby Pobieranie prób i rozkład z próby Marcin Zajenkowski Marcin Zajenkowski () Pobieranie prób i rozkład z próby 1 / 15 Populacja i próba Populacja dowolnie określony zespół przedmiotów, obserwacji, osób itp.

Bardziej szczegółowo

WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI ROZKŁAD EMPIRYCZNY

WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI ROZKŁAD EMPIRYCZNY WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI ROZKŁAD EMPIRYCZNY Liczebności i częstości Liczebność liczba osób/respondentów/badanych, którzy udzielili tej konkretnej odpowiedzi. Podawana w osobach. Częstość odsetek,

Bardziej szczegółowo

Opis przedmiotu: Probabilistyka I

Opis przedmiotu: Probabilistyka I Opis : Probabilistyka I Kod Nazwa Wersja TR.SIK303 Probabilistyka I 2012/13 A. Usytuowanie w systemie studiów Poziom Kształcenia Stopień Rodzaj Kierunek studiów Profil studiów Specjalność Jednostka prowadząca

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta

Bardziej szczegółowo

Miary położenia wskazują miejsce wartości najlepiej reprezentującej wszystkie wielkości danej zmiennej. Mówią o przeciętnym poziomie analizowanej

Miary położenia wskazują miejsce wartości najlepiej reprezentującej wszystkie wielkości danej zmiennej. Mówią o przeciętnym poziomie analizowanej Miary położenia wskazują miejsce wartości najlepiej reprezentującej wszystkie wielkości danej zmiennej. Mówią o przeciętnym poziomie analizowanej cechy. Średnia arytmetyczna suma wartości zmiennej wszystkich

Bardziej szczegółowo

Zadanie Punkty Ocena

Zadanie Punkty Ocena Statystyka matematyczna Test przykładowy na zaliczenie laboratorium / ćwiczeń PROSZĘ NIE ODWRACAĆ KARTKI PRZED ROZPOCZĘCIEM TESTU! Wskazówki: 1. Wybierz zadania, za które w sumie możesz otrzymać 30 punktów

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych

Testowanie hipotez statystycznych Testowanie hipotez statystycznych Hipotezą statystyczną jest dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej (jego postaci funkcyjnej lub wartości parametrów). Prawdziwość tego przypuszczenia

Bardziej szczegółowo

Zadanie 2.Na III roku bankowości złożonym z 20 studentów i 10 studentek przeprowadzono test pisemny ze statystyki. Oto wyniki w obu podgrupach.

Zadanie 2.Na III roku bankowości złożonym z 20 studentów i 10 studentek przeprowadzono test pisemny ze statystyki. Oto wyniki w obu podgrupach. Zadanie 1.Wiadomo, że dominanta wagi tuczników jest umiejscowiona w przedziale [120 kg, 130 kg] i wynosi 122,5 kg. Znane są również liczebności przedziałów poprzedzającego i następnego po przedziale dominującym:

Bardziej szczegółowo

POLITECHNIKA OPOLSKA

POLITECHNIKA OPOLSKA POLITECHNIKA OPOLSKA WYDZIAŁ MECHANICZNY Katedra Technologii Maszyn i Automatyzacji Produkcji Laboratorium Podstaw Inżynierii Jakości Ćwiczenie nr 4 Temat: Analiza korelacji i regresji dwóch zmiennych

Bardziej szczegółowo

Oszacowanie i rozkład t

Oszacowanie i rozkład t Oszacowanie i rozkład t Marcin Zajenkowski Marcin Zajenkowski () Oszacowanie i rozkład t 1 / 31 Oszacowanie 1 Na podstawie danych z próby szacuje się wiele wartości w populacji, np.: jakie jest poparcie

Bardziej szczegółowo

Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA (wykład 2) Dariusz Gozdowski

Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA (wykład 2) Dariusz Gozdowski Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA (wykład ) Dariusz Gozdowski Katedra Doświadczalnictwa i Bioinformatyki Wydział Rolnictwa i Biologii SGGW Weryfikacja (testowanie) hipotez statystycznych

Bardziej szczegółowo

hipotez statystycznych

hipotez statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych Przykład. Producent pewnych detali twierdzi, że wadliwość jego produkcji nie przekracza 2%. Odbiorca pewnej partii tego produktu chce sprawdzić, czy może wierzyć producentowi.

Bardziej szczegółowo

W1. Wprowadzenie. Statystyka opisowa

W1. Wprowadzenie. Statystyka opisowa W1. Wprowadzenie. Statystyka opisowa dr hab. Jerzy Nakielski Zakład Biofizyki i Morfogenezy Roślin Plan wykładu: 1. O co chodzi w statystyce 2. Etapy badania statystycznego 3. Zmienna losowa, rozkład

Bardziej szczegółowo

Wykorzystanie testu t dla pojedynczej próby we wnioskowaniu statystycznym

Wykorzystanie testu t dla pojedynczej próby we wnioskowaniu statystycznym Wiesława MALSKA Politechnika Rzeszowska, Polska Anna KOZIOROWSKA Uniwersytet Rzeszowski, Polska Wykorzystanie testu t dla pojedynczej próby we wnioskowaniu statystycznym Wstęp Wnioskowanie statystyczne

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: y t. X 1 t. Tabela 1.

Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: y t. X 1 t. Tabela 1. tel. 44 683 1 55 tel. kom. 64 566 811 e-mail: biuro@wszechwiedza.pl Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: gdzie: y t X t y t = 1 X 1

Bardziej szczegółowo

Elektrotechnika II [ Laboratorium Grupa 1 ] 2016/2017 Zimowy. [ Laboratorium Grupa 2 ] 2016/2017 Zimowy

Elektrotechnika II [ Laboratorium Grupa 1 ] 2016/2017 Zimowy. [ Laboratorium Grupa 2 ] 2016/2017 Zimowy Elektrotechnika II [ Laboratorium Grupa ] 206/207 Zimowy Lp Numer indeksu Pkt Kol Suma Popr Ocena Data Uwagi 97574 6 7 Db + 2 9758 ++0,9 5 7,9 Db + 3 99555 0,9+0,9 2,8 Dst + 4 97595 0,8++ 0 2,8 Dst + 5

Bardziej szczegółowo

TEST STATYSTYCZNY. Jeżeli hipotezę zerową odrzucimy na danym poziomie istotności, to odrzucimy ją na każdym większym poziomie istotności.

TEST STATYSTYCZNY. Jeżeli hipotezę zerową odrzucimy na danym poziomie istotności, to odrzucimy ją na każdym większym poziomie istotności. TEST STATYSTYCZNY Testem statystycznym nazywamy regułę postępowania rozstrzygająca, przy jakich wynikach z próby hipotezę sprawdzaną H 0 należy odrzucić, a przy jakich nie ma podstaw do jej odrzucenia.

Bardziej szczegółowo

-> Średnia arytmetyczna (5) (4) ->Kwartyl dolny, mediana, kwartyl górny, moda - analogicznie jak

-> Średnia arytmetyczna (5) (4) ->Kwartyl dolny, mediana, kwartyl górny, moda - analogicznie jak Wzory dla szeregu szczegółowego: Wzory dla szeregu rozdzielczego punktowego: ->Średnia arytmetyczna ważona -> Średnia arytmetyczna (5) ->Średnia harmoniczna (1) ->Średnia harmoniczna (6) (2) ->Średnia

Bardziej szczegółowo

L.Kowalski zadania ze statystyki matematycznej-zestaw 2 ZADANIA - ZESTAW 2

L.Kowalski zadania ze statystyki matematycznej-zestaw 2 ZADANIA - ZESTAW 2 L.Kowalski zadania ze statystyki matematycznej-zestaw ZADANIA - ZESTAW Zadanie.1 Badano maksymalną prędkość pewnego typ samochodów osobowych (cecha X poplacji. W 5 pomiarach tej prędkości otrzymano x 195,8

Bardziej szczegółowo

4.Zmienne losowe X 1, X 2,..., X 100 są niezależne i mają rozkład wykładniczy z α = 0.25 Jakie jest prawdopodobieństwo, że 1

4.Zmienne losowe X 1, X 2,..., X 100 są niezależne i mają rozkład wykładniczy z α = 0.25 Jakie jest prawdopodobieństwo, że 1 LISTA 7 W rozwiązaniu zadań 1-4 wykorzystać centralne twierdzenie graniczne. 1.Prawdopodobieństwo, że aparat zepsuje się w czasie jego konserwacji wynosi 0.02. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w trakcie

Bardziej szczegółowo

Dokładne i graniczne rozkłady statystyk z próby

Dokładne i graniczne rozkłady statystyk z próby Dokładne i graniczne rozkłady statystyk z próby Przypomnijmy Populacja Próba Wielkość N n Średnia Wariancja Odchylenie standardowe 4.2 Rozkład statystyki Mówimy, że rozkład statystyki (1) jest dokładny,

Bardziej szczegółowo

ZMIENNE LOSOWE. Zmienna losowa (ZL) X( ) jest funkcją przekształcającą przestrzeń zdarzeń elementarnych w zbiór liczb rzeczywistych R 1 tzn. X: R 1.

ZMIENNE LOSOWE. Zmienna losowa (ZL) X( ) jest funkcją przekształcającą przestrzeń zdarzeń elementarnych w zbiór liczb rzeczywistych R 1 tzn. X: R 1. Opracowała: Joanna Kisielińska ZMIENNE LOSOWE Zmienna losowa (ZL) X( ) jest funkcją przekształcającą przestrzeń zdarzeń elementarnych w zbiór liczb rzeczywistych R tzn. X: R. Realizacją zmiennej losowej

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA IV SEMESTR ALK (PwZ) STATYSTYKA OPISOWA RODZAJE CECH W POPULACJACH I SKALE POMIAROWE

STATYSTYKA IV SEMESTR ALK (PwZ) STATYSTYKA OPISOWA RODZAJE CECH W POPULACJACH I SKALE POMIAROWE STATYSTYKA IV SEMESTR ALK (PwZ) STATYSTYKA OPISOWA RODZAJE CECH W POPULACJACH I SKALE POMIAROWE CECHY mogą być: jakościowe nieuporządkowane - skala nominalna płeć, rasa, kolor oczu, narodowość, marka samochodu,

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

Prawdopodobieństwo i statystyka r. Prawdopodobieństwo i statystyka 9.06.999 r. Zadanie. Rzucamy pięcioma kośćmi do gry. Następnie rzucamy ponownie tymi kośćmi, na których nie wypadły szóstki. W trzeciej rundzie rzucamy tymi kośćmi, na których

Bardziej szczegółowo

1. Opis tabelaryczny. 2. Graficzna prezentacja wyników. Do technik statystyki opisowej można zaliczyć:

1. Opis tabelaryczny. 2. Graficzna prezentacja wyników. Do technik statystyki opisowej można zaliczyć: Wprowadzenie Statystyka opisowa to dział statystyki zajmujący się metodami opisu danych statystycznych (np. środowiskowych) uzyskanych podczas badania statystycznego (np. badań terenowych, laboratoryjnych).

Bardziej szczegółowo

Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA 7.1 PL (wykład 1) Dariusz Gozdowski

Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA 7.1 PL (wykład 1) Dariusz Gozdowski Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA 7.1 PL (wykład 1) Dariusz Gozdowski Katedra Doświadczalnictwa i Bioinformatyki Wydział Rolnictwa i Biologii SGGW STATYSTYKA to nauka, której przedmiotem

Bardziej szczegółowo

Testy dotyczące wartości oczekiwanej (1 próbka).

Testy dotyczące wartości oczekiwanej (1 próbka). ZASADY TESTOWANIA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH. TESTY DOTYCZĄCE WARTOŚCI OCZEKIWANEJ Przez hipotezę tatytyczną rozumiemy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu intereującej na cechy. Hipotezy

Bardziej szczegółowo

Spis treści 3 SPIS TREŚCI

Spis treści 3 SPIS TREŚCI Spis treści 3 SPIS TREŚCI PRZEDMOWA... 1. WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE JAKO DYSCYPLINA MATEMATYCZNA... Metody statystyczne w analizie i prognozowaniu zjawisk ekonomicznych... Badania statystyczne podstawowe

Bardziej szczegółowo

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com Analiza korelacji i regresji KORELACJA zależność liniowa Obserwujemy parę cech ilościowych (X,Y). Doświadczenie jest tak pomyślane, aby obserwowane pary cech X i Y (tzn i ta para x i i y i dla różnych

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA zadania do ćwiczeń. Weryfikacja hipotez część I.

STATYSTYKA zadania do ćwiczeń. Weryfikacja hipotez część I. STATYSTYKA zadania do ćwiczeń Weryfikacja hipotez część I Zad 1 W pewnej firmie postanowiono zbadać staż pracy pracowników W tym celu wylosowano prostą próbę losową z populacji pracowników i otrzymano,

Bardziej szczegółowo

b) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań jest co najwyżej jedno o dawce 15 mg. Wówczas:

b) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań jest co najwyżej jedno o dawce 15 mg. Wówczas: ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zadanie A1. Można założyć, że przy losowaniu trzech kul jednocześnie kolejność ich wylosowania nie jest istotna. A więc: Ω = 20 3. a) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań

Bardziej szczegółowo

Matematyka - Statystyka matematyczna Mathematical statistics 2, 2, 0, 0, 0

Matematyka - Statystyka matematyczna Mathematical statistics 2, 2, 0, 0, 0 Nazwa przedmiotu: Kierunek: Matematyka - Statystyka matematyczna Mathematical statistics Inżynieria materiałowa Materials Engineering Rodzaj przedmiotu: Poziom studiów: forma studiów: obowiązkowy studia

Bardziej szczegółowo

Statystyka. Tematyka wykładów. Przykładowe pytania. dr Tomasz Giętkowski www.krajobraz.ukw.edu.pl. wersja 20.01.2013/13:40

Statystyka. Tematyka wykładów. Przykładowe pytania. dr Tomasz Giętkowski www.krajobraz.ukw.edu.pl. wersja 20.01.2013/13:40 Statystyka dr Tomasz Giętkowski www.krajobraz.ukw.edu.pl wersja 20.01.2013/13:40 Tematyka wykładów 1. Definicja statystyki 2. Populacja, próba 3. Skale pomiarowe 4. Miary położenia (klasyczne i pozycyjne)

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA OPISOWA Przykłady problemów statystycznych: - badanie opinii publicznej na temat preferencji wyborczych;

STATYSTYKA OPISOWA Przykłady problemów statystycznych: - badanie opinii publicznej na temat preferencji wyborczych; STATYSTYKA OPISOWA Przykłady problemów statystycznych: - badanie opinii publicznej na temat preferencji wyborczych; - badanie skuteczności nowego leku; - badanie stopnia zanieczyszczenia gleb metalami

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna i ekonometria

Statystyka matematyczna i ekonometria Statystyka matematyczna i ekonometria prof. dr hab. inż. Jacek Mercik B4 pok. 55 jacek.mercik@pwr.wroc.pl (tylko z konta studenckiego z serwera PWr) Konsultacje, kontakt itp. Strona WWW Elementy wykładu.

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie: Weryfikacja hipotez statystycznych dla jednej i dwóch średnich.

Ćwiczenie: Weryfikacja hipotez statystycznych dla jednej i dwóch średnich. Ćwiczenie: Weryfikacja hipotez statystycznych dla jednej i dwóch średnich. EXCEL Do weryfikacji różnic między dwiema grupami jednostek doświadczalnych w Excelu wykorzystujemy funkcję o nazwie T.TEST. Zastosowana

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji

Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji Statystyka dla jakości produktów i usług Six sigma i inne strategie Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji StatSoft Polska Wybrane zagadnienia analizy korelacji Przy analizie zjawisk i procesów stanowiących

Bardziej szczegółowo

Porównaj płace pracowników obu zakładów, dokonując kompleksowej analizy struktury. Zastanów się, w którym zakładzie jest korzystniej pracować?

Porównaj płace pracowników obu zakładów, dokonując kompleksowej analizy struktury. Zastanów się, w którym zakładzie jest korzystniej pracować? 1 Zadanie 1.1 W dwóch zakładach produkcyjnych Złomex I i Złomex II, należących do tego samego przedsiębiorstwa Złomowanie na zawołanie w ostatnim miesiącu następująco kształtowały się wynagrodzenia pracowników.

Bardziej szczegółowo

Statystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski

Statystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski Statystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski Książka jest nowoczesnym podręcznikiem przeznaczonym dla studentów uczelni i wydziałów ekonomicznych. Wykład podzielono na cztery części. W pierwszej

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA Statistics. Inżynieria Środowiska. II stopień ogólnoakademicki

STATYSTYKA Statistics. Inżynieria Środowiska. II stopień ogólnoakademicki Załącznik nr 7 do Zarządzenia Rektora nr../12 z dnia.... 2012r. KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2012/13 STATYSTYKA

Bardziej szczegółowo

Metody Statystyczne. Metody Statystyczne. #8 Błąd I i II rodzaju powtórzenie. Dwuczynnikowa analiza wariancji

Metody Statystyczne. Metody Statystyczne. #8 Błąd I i II rodzaju powtórzenie. Dwuczynnikowa analiza wariancji gkrol@mail.wz.uw.edu.pl #8 Błąd I i II rodzaju powtórzenie. Dwuczynnikowa analiza wariancji 1 Ryzyko błędu - powtórzenie Statystyka niczego nie dowodzi, czyni tylko wszystko mniej lub bardziej prawdopodobnym

Bardziej szczegółowo

7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej

7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej 7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej Definicja 1 n-elementowa losowa próba prosta nazywamy ciag n niezależnych zmiennych losowych o jednakowych rozkładach

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Laboratorium III: Testy statystyczne. Inżynieria biomedyczna, I rok, semestr letni 2013/2014 Analiza danych pomiarowych

Spis treści. Laboratorium III: Testy statystyczne. Inżynieria biomedyczna, I rok, semestr letni 2013/2014 Analiza danych pomiarowych 1 Laboratorium III: Testy statystyczne Spis treści Laboratorium III: Testy statystyczne... 1 Wiadomości ogólne... 2 1. Krótkie przypomnienie wiadomości na temat testów statystycznych... 2 1.1. Weryfikacja

Bardziej szczegółowo

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 3: Analiza struktury zbiorowości statystycznej. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 3: Analiza struktury zbiorowości statystycznej. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin. Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 3: Analiza struktury zbiorowości statystycznej dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Zadania analityczne (1) Analiza przewiduje badanie podobieństw

Bardziej szczegółowo

Statystyka opisowa. Literatura STATYSTYKA OPISOWA. Wprowadzenie. Wprowadzenie. Wprowadzenie. Plan. Tomasz Łukaszewski

Statystyka opisowa. Literatura STATYSTYKA OPISOWA. Wprowadzenie. Wprowadzenie. Wprowadzenie. Plan. Tomasz Łukaszewski STATYSTYKA OPISOWA Literatura A. Aczel, Statystyka w Zarządzaniu, PWN, 2000 A. Obecny, Statystyka opisowa w Excelu dla szkół. Ćwiczenia praktyczne, Helion, 2002. A. Obecny, Statystyka matematyczna w Excelu

Bardziej szczegółowo

laboratoria 24 zaliczenie z oceną

laboratoria 24 zaliczenie z oceną Wydział: Psychologia Nazwa kierunku kształcenia: Psychologia Rodzaj przedmiotu: podstawowy Opiekun: dr Andrzej Tarłowski Poziom studiów (I lub II stopnia): Jednolite magisterskie Tryb studiów: Niestacjonarne

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych JERZY STEFANOWSKI Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Plan wykładu 1. Metody wnioskowania statystycznego vs. metody opisu 2. Testowanie hipotez statystycznych

Bardziej szczegółowo

Porównanie wielu rozkładów normalnych

Porównanie wielu rozkładów normalnych Porównanie wielu rozkładów normalnych Założenia:. X i N(µ i, σi 2 ), i =,..., k 2. X,..., X k są niezależne Czy µ = = µ k? Czy σ 2 = = σ 2 k? Próby: X i,..., X ini, i =,..., k X i, varx i, s 2 i = varx

Bardziej szczegółowo

czerwiec 2013 Uwaga: Przy rozwiązywaniu zadań, jeśli to konieczne, należy przyjąć poziom istotności 0,1 i współczynnik ufności 0,90

czerwiec 2013 Uwaga: Przy rozwiązywaniu zadań, jeśli to konieczne, należy przyjąć poziom istotności 0,1 i współczynnik ufności 0,90 Uwaga: Przy rozwiązywaniu zadań, jeśli to konieczne, należy przyjąć poziom istotności 0,1 i współczynnik ufności 0,90 czerwiec 2013 Zadanie 1 Poniższe tabele przestawiają dane dotyczące umieralności dzieci

Bardziej szczegółowo