1. szereg wyliczający (szczegółowy) - wyniki są uporządkowane wyłącznie według wartości badanej cechy, np. od najmniejszej do największej

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "1. szereg wyliczający (szczegółowy) - wyniki są uporządkowane wyłącznie według wartości badanej cechy, np. od najmniejszej do największej"

Transkrypt

1 1 Statystyka opisowa Statystyka opisowa zajmuje się porządkowaniem danych i wstępnym ich opracowaniem. Szereg statystyczny - to zbiór wyników obserwacji jednostek według pewnej cechy 1. szereg wyliczający (szczegółowy) - wyniki są uporządkowane wyłącznie według wartości badanej cechy, np. od najmniejszej do największej 2. szereg rozdzielczy - wyniki są uporządkowane i pogrupowane według wariantów badanej cechy; poszczególnym wariantom przyporządkowane są odpowiadające im liczebności (a) szereg rozdzielczy punktowy (jednostopniowy, prosty) - gdy liczba możliwych przyjmowanych wartości jest niewielka (b) szereg rozdzielczy przedziałowy (wielostopniowy, złożony) - gdy liczba możliwych przyjmowanych wartości jest duża Przykład 1. Ceny akcji pewnej spółki na ostatnich 30 sesjach giełdowych 2015 roku kształtowały się następująco: 2,6; 2,6; 2,7; 2,7; 2,9; 3,0; 2,5; 2,6; 2,6; 2,7; 2,7; 2,8; 2,8; 2,8; 2,5; 2,4; 2,4; 2,0; 2,3; 2,3; 2,4; 2,6; 2,6; 2,6; 2,6; 2,6; 2,6; 2,6; 2,6; 2,7. szereg wyliczający cena akcji 2,0 2,3 2,3 2,4 2,4 2,4 2,5 2,5 2,6. szereg rozdzielczy punktowy cena akcji liczebność 2,0 1 2,3 2 2,4 3 2,5 2 2,6 12 2,7 5 2,8 3 2,9 1 3, szereg rozdzielczy przedziałowy przedziały liczebność 1,95-2,13 1 2,13-2,31 2 2,31-2,49 3 2,49-2, ,67-2,85 8 2,85-3, Miary statystyczne: 1. miary położenia - służą do określenia tej wartości cechy, wokół której skupiają się wszystkie pozostałe wartości; mierzą przeciętny poziom cechy (a) średnia z próby 1

2 (b) moda (dominanta) (c) mediana (d) kwartyle 2. miary rozproszenia (zmienności, rozrzutu) - służą do badania stopnia zróżnicowania jednostek populacji ze względu na wartość badanej cechy (a) wariancja (b) odchylenie standardowe (c) odchylenie przeciętne od średniej (d) odchylenie przeciętne od mediany (e) odchylenie ćwiartkowe (f) współczynnik zmienności (g) współczynnik nierównomierności 3. miary asymetrii - służą do badania kierunku zróżnicowania wartości badanej cechy; mierzą czy przeważająca liczba jednostek znajduje się powyżej czy poniżej przeciętnego poziomu badanej cechy (a) wskaźnik asymetrii (b) współczynnik asymetrii 4. miary koncentracji - służą do analizy stopnia skupienia poszczególnych jednostek wokół średniej (a) współczynnik skupienia (kurtoza) (b) eksces ZADANIA. 1. Studenci otrzymali następujące oceny z egzaminu: 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3,5; 3,5; 3,5; 3,5; 3,5; 3,5; 3,5; 3,5; 3,5; 3,5; 3,5; 3,5; 3,5; 3,5; 3,5; 3,5; 3,5; 3,5; 3,5; 3,5; 3,5; 3,5; 3,5; 3,5; 3,5; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4,5; 4,5; 4,5; 4,5; 4,5; 4,5; 4,5; 4,5; 4,5; 4,5; 4,5; 4,5; 4,5; 4,5; 4,5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5. Zbudować szereg rozdzielczy 2

3 punktowy (jednostopniowy). Dla otrzymanego szeregu rozdzielczego narysować histogram, a następnie wyznaczyć miary położenia, rozproszenia i asymetrii. 2. W pewnym przedsiębiorstwie na koniec 2014 roku przeprowadzono inwentaryzację sprzętu komputerowego i otrzymano następujący rozkład liczby napraw tego sprzętu od chwili zakupu: liczba napraw (x i ) liczba urządzeń (n i ) Narysować histogram. Dokonać analizy struktury sprzętu komputerowego według liczby napraw, wyznaczając miary położenia, rozproszenia i asymetrii. 3. Stopa bezrobocia (w %) w Polsce według województw na dzień roku kształtowała się następująco: 4,1; 6,1; 6,2; 8,4; 9,6; 9,8; 10,6; 10,7; 10,7; 11,7; 11,7; 11,9; 12; 12,1; 12,4; 12,4; 12,7; 12,8; 12,9; 13,1; 13,1; 13,9; 14,2; 14,3; 14,6; 14,9; 14,9; 15,2; 15,3; 16,2; 16,6; 16,7; 16,8; 16,9; 17; 17; 17,2; 17,3; 17,4; 18,2; 18,6; 19; 21,7; 21,5; 23,4; 23,6; 24,6; 24,7; 25,7. Zbudować szereg rozdzielczy przedziałowy (wielostopniowy), przyjmując długość klasy h = 3, 1. Dla otrzymanego szeregu rozdzielczego narysować histogram, a następnie wyznaczyć miary położenia, rozproszenia i asymetrii. Podać interpretację otrzymanych wyników. 4. W pewnym przedsiębiorstwie w Lublinie na dzień roku było zatrudnionych 48 osób, których staż pracy (w latach) wynosił: 1, 2, 7, 9, 31, 24, 21, 16, 2, 7, 11, 15, 8, 6, 7, 3, 13, 15, 4, 5, 17, 20, 12, 1, 2, 3, 10, 8, 13, 2, 11, 14, 6, 10, 18, 21, 27, 27, 9, 35, 17, 32, 8, 27, 26, 18, 25, 29. Przeprowadzić grupowanie statystyczne pracowników pod względem stażu pracy (zbudować szereg rozdzielczy przedziałowy, przyjmując długość klasy h = 5). Narysować histogram. Dokonać wszechstronnej analizy stażu pracy w tym przedsiębiorstwie, wyznaczając miary położenia, rozproszenia i asymetrii. 5. Ceny akcji pewnej spółki na ostatnich 30 sesjach giełdowych 2015 roku kształtowały się następująco: 2,6; 2,6; 2,7; 2,7; 2,9; 3,0; 2,5; 2,6; 2,6; 2,7; 2,7; 2,8; 2,8; 2,8; 2,5; 2,4; 2,4; 2,0; 2,3; 2,3; 2,4; 2,6; 2,6; 2,6; 2,6; 2,6; 2,6; 2,6; 2,6; 2,7. Zbudować szereg rozdzielczy przedziałowy, przyjmując długość klasy h = 0, 18. Dla otrzymanego szeregu rozdzielczego narysować histogram, a następnie wyznaczyć miary położenia, rozproszenia i asymetrii. 3

4 2 Estymacja Estymacja jest to szacowanie nieznanych paramentrów, które charakteryzują rozkład badanej cechy populacji (wychodzimy od wyników próby i na ich podstawie formułujemy wnioski o populacji). 1. Estymacja punktowa - polega na wyznaczeniu pojedynczej wartości, która stanowi przybliżenie poszukiwanego parametru 2. Estymacja przedziałowa - polega na konstruowaniu przedziału liczbowego, który z określonym z góry prawdopodobieństwem (bliskim jedności) będzie zawierał nieznaną wartość szacowanego parametru. Przedział ten nosi nazwę przedziału ufności. najpierw określamy prawdopodobieństwo 1 α tzw. poziom ufności (współczynnik ufności) potem wyznaczamy przedział, do którego z prawdopodobieństwem 1 α należy szacowany parametr θ, czyli wyznaczamy takie a, b, że P (a θ b) = 1 α ZADANIA. 1. W pewnym zakładzie zbadano staż pracy pracowników. W tym celu z populacji pracowników wylosowano próbę o liczebności n = 196 pracowników, z której obliczono x = 6, 9 lat. Dotychczasowe doświadczenie wskazuje, że rozkład stażu pracy pracowników jest normalny z odchyleniem standardowym σ = 2, 8 lat. Przyjmując poziom ufności 1 α = 0, 95, zbudować przedział ufności dla nieznanego średniego stażu pracy w populacji pracowników. 2. W celu ustalenia nowych norm pracy konieczne było oszacowanie średniego czasu potrzebnego do wykonania pewnego detalu na określonym typie obrabiarki. W tym celu z populacji wszystkich robotników wylosowano próbę n = 17 robotników i u każdego z nich dokonano pomiaru czasu wykonania detalu. Okazało się, że średni czas wykonania detalu wynosił 15 minut, odchylenie standardowe zaś 2 minuty. Przyjmując poziom ufności 1 α = 0, 95, oszacować średni czas potrzebny do wykonania tego detalu w całej populacji robotników. Wiadomo ponadto, że rozkład czasu wykonania tego detalu jest w przybliżeniu normalny N(µ, σ). 4

5 3. W losowo wybranej grupie samochodów osobowych pewnej marki przeprowadzono badanie zużycia benzyny na trasie 100 km. Okazało się, że odchylenie standardowe zużycia benzyny dla tej grupy samochodów wynosiło 0,8 litra na 100 km. Zakładając, że badana cecha na rozkład normalny, wyznaczyć przedział ufności dla odchylenia standardowego zużycia benzyny przez wszystkie samochody tej marki na takiej trasie. Przyjąć poziom ufności 0, Spośród 120 wylosowanych pracowników pewnego zakładu, 12 nie wykonało normy wydajności. Przyjmując poziom ufności 0,9, wyznaczyć przedział ufności dla wskaźnika struktury pracowników w tym zakładzie, którzy nie wykonują normy. 5. Dla 200 pracowników wylosowanych niezależnie w pewnym przedsiębiorstwie otrzymano następujący rozkład empiryczny wieku (w latach): wiek liczba pracowników n i Wiadomo, że wiek pracowników ma rozkład normalny. Przyjmując poziom ufności 1 α = 0, 99, oszacować przedziałowo: (a) przeciętny wiek pracowników w badanym przedsiębiorstwie, (b) odchylenie standardowe wieku pracowników w badanym przedsiębiorstwie, (c) odsetek pracowników w wieku poniżej 35 lat. 6. Analizując wydajność pracy w pewnym zakładzie otrzymano dane: 5

6 wydajność pracy liczba pracowników w szt/h n i Wiadomo, że wydajność pracy w tym zakładzie ma rozkład normalny. Przyjmując poziom ufności 1 α = 0, 95, wyznaczyć przedział ufności dla: (a) przeciętnej wydajności, (b) odchylenia standardowego. 7. Wśród studentów palących papierosy przeprowadzono ankietę na temat ilości wypalanych dziennie papierosów. Uzyskano następujące odpowiedzi: liczba liczba studentów papierosów n i Przyjmując poziom ufności 1 α = 0, 9, zbudować oszacować przedziałowo: (a) średnią ilości papierosów wypalanych dziennie przez studentów, (b) odsetek osób, które palą mniej niż 5 papierosów dziennie. 8. W celu oszacowania średniego kosztu oraz rozrzutu kosztu produkcji pewnego artykułu produkowanego przez różne zakłady, wylosowano niezależnie do próby 150 zakładów i otrzymano wyniki: 6

7 koszt jednostkowy liczba zakładów w zł n i Wiadomo, że koszt produkcji ma rozkład normalny. Przyjmując poziom ufności 1 α = 0, 95, oszacować metodą przedziałową: (a) nieznany średni koszt tego artykułu we wszystkich zakładach produkujących go w Polsce, (b) odchylenie standardowe jednostkowego kosztu tego artykułu we wszystkich zakładach produkujących go w Polsce, (c) odsetek zakładów, w których koszt jednostkowy jest wyższy niż 60 zł. 9. W pewnym doświadczeniu medycznym bada się czas snu pacjentów chorych na pewną chorobę. Zmierzono czas snu u n = 16 wylosowanych niezależnie pacjentów i otrzymano wyniki (w minutach): 436, 533, 393, 458, 525, 481, 324, 437, 348, 503, 383, 395, 416, 553, 500, 488. Zakładając, że czas snu ma rozkład N(µ, 70), oszacować średnią µ czasu snu pacjenta metodą przedziałową przyjmując 1 α = 0, Na koniec 2014 roku wylosowano niezależnie 8 pracowników umysłowych w pewnym przedsiębiorstwie i uzyskano następujące informacje dotyczące stażu pracy (w latach): 5, 16, 9, 13, 5, 14, 2, 9. Przy założeniu, że staż pracy w przedsiębiorstwie ma rozkład normalny, oszacować przedziałowo na poziomie ufności 0, 98: (a) przeciętny staż pracy pracowników umysłowych w badanym przedsiębiorstwie, (b) odchylenie standardowe stażu pracy pracowników umysłowych badanego przedsiębiorstwa. 7

8 3 Weryfikacja hipotez statystycznych Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy populacji, o prawdziwości lub fałszywości którego wnioskuje się na podstawie pobranej próby. Hipotezy możemy podzielić na: 1. hipotezy parametryczne - czyli przypuszczenia dotyczące parametru badanej cechy, 2. hipotezy nieparametryczne - czyli przypuszczenia dotyczące postaci funkcyjnej rozkładu badanej cechy Weryfikacja hipotez statystycznych jest to podejmowanie decyzji o prawdziwości lub fałszywości hipotez statystycznych. Weryfikując daną hipotezę statystyczną na podstawie zaobserwowanych wyników próby, ponosimy zawsze pewne ryzyko podjęcia błędnej decyzji. Wynika to stąd, że na podstawie próby nigdy nie mamy całkowitej informacji o populacji, z której pobrana została próba. Możemy popełnić 2 rodzaje błędów: 1. możemy odrzucić hipotezę, która jest prawdziwa - błąd I rodzaju (prawdopodobieństwo popełnienia tego błędu oznaczmy α), 2. możemy przyjąć hipotezę, która jest fałszywa - błąd II rodzaju (prawdopodobieństwo popełnienia tego błędu oznaczmy β). Decyzja Hipoteza prawdziwa Hipoteza fałszywa decyzja poprawna decyzja błędna przyjąć hipotezę 1 α β (błąd II rodzaju) decyzja błędna decyzja poprawna odrzucić hipotezę α 1 β (błąd I rodzaju) Najczęściej wykorzystywane są tzw. testy istotności. Są to testy, w których bierzemy pod uwagę jedynie prawdopodobieństwo popełnienia błędu I rodzaju α, zwane poziomem istotności testu, a pomijamy prawdopodobieństwo popełnienia błędu II rodzaju β. Dlatego nie podejmujemy decyzji o przyjęciu hipotezy. Możemy jedynie odrzucić hipotezę na poziomie istotności α lub stwierdzić, że nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy. Etapy weryfikacji hipotezy statystycznej: 8

9 1. Dokonujemy wyboru testu statystycznego. 2. Definiujemy hipotezę zerową H 0, która będzie podlegać weryfikacji. 3. Definiujemy hipotezę alternatywną H 1, która może przyjmować wszystkie rozwiązania poza tymi zawartymi w H 0. Hipoteza H 1 najczęściej wynika z celu badania statystycznego; jest zależna od konkretnych warunków rozwiązywanego problemu. Hipoteza H 1 jest taką hipotezą, którą w danym zagadnieniu jesteśmy skłonni przyjąć, jeśli weryfikowaną hipotezę trzeba będzie odrzucić. 4. Wyznaczamy zbiór krytyczny W na podstawie przyjętego poziomu istotności α (w zależności od postaci hipotezy alternatywnej H 1 ). Zazwyczaj α = 0, 1; 0, 05; 0, 01; 0, Wyznaczamy wartość statystyki testowej i ustalamy czy należy ona do zbioru krytycznego W. 6. Podejmujemy decyzję. Jeżeli wynik znalazł się w zbiorze krytycznym, to odrzucamy hipotezę H 0 na korzyść hipotezy alternatywnej H 1. W przeciwnym wypadku stwierdzamy jedynie brak podstaw do odrzucenia H 0. ZADANIA. 1. W celu ustalenia, czy dotychczasowa norma okresu użytkowania ubrań ochronnych - wynosząca 150 dni - nie jest zbyt wysoka, zbadano faktyczny okres użytkowania ich na przykładzie 50 losowo wybranych robotników pracujących w normalnych warunkach. Otrzymano średnią długość okresu użytkowania x = 139 dni oraz odchylenie standardowe s = 9, 8 dni. Zakładając, że czas użytkowania ubrań ma rozkład normalny, stwierdzić, na poziomie istotności α = 0, 01, czy uzyskane wyniki stanowią podstawę zmiany (zmniejszenia) normy. 2. Losowo wybrana próba złożona z n = 20 studentów pewnej uczelni dała odchylenie standardowe s = 30 papierosów wypalanych dziennie. Zakładając, że rozkład liczby wypalanych dziennie papierosów jest normalny, zweryfikować hipotezę, że odchylenie standardowe liczby wypalanych dziennie papierosów wynosi 5. Przyjąć poziom istotności α = 0, W celu porównania przeciętnego stażu pracy pracowników w dwóch zakładach wylosowano z każdego z tych zakładów grupę pracowników i zbadano ją pod względem długości stażu pracy. Otrzymano następujące wyniki: 9

10 zakład 1: n 1 = 18 pracowników, x 1 = 6, 8 lat, s 1 = 1, 7 lat zakład 2: n 1 = 20 pracowników, x 2 = 8, 2 lat, s 2 = 2, 5 lat. Na poziomie istotności 0,01 zweryfikować hipotezę, że średni staż pracy pracowników w zakładzie 1 jest niższy niż w zakładzie 2. Zakładamy, że średni staż pracy w obu zakładach ma rozkład normalny o nieznanych, ale jednakowych parametrach σ 1 = σ Studenci dwóch kierunków na pewnej uczelni uzyskali następujące średnie wyników nauczania: x 1 = 3, 6, s 1 = 2, x 2 = 4, s 2 = 1, 8. Przy obliczaniu średnich uwzględniono oceny ze wszystkich zaliczeń i egzaminów w czasie studiów: n 1 = 100, n 2 = 120. Na poziomie istotności 0,05 zweryfikować hipotezę, że średnie ocen uzyskanych przez studentów obu kierunków są jednakowe. 5. Wylosowano 300 mieszkań w Lublinie, w 54 przypadkach mieszkania te były wyposażone w telefon stacjonarny. Na poziomie istotności α = 0, 05, zweryfikować hipotezę, że wskaźnik struktury p mieszkań w Lublinie mających telefon stacjonarny jest równy 0,4. 6. Zbadano opony samochodowe, produkowane przez dwóch producentów, które zostały wycofane z eksploatacji. Spośród zbadanych 1582 opon producenta A otrzymano 1250 opon wycofanych z powodu zużycia bieżnika, a spośród 589 opon producenta B wycofanych z powodu tego defektu otrzymano 421 sztuk. Na poziomie istotności 0,01 zweryfikować hipotezę H 0, że procent opon wycofanych z eksploatacji na skutek zużycia się bieżnika jest jednakowy dla obu producentów, przeciw hipotezie H 1, że jest niższy dla producenta A. 7. Czas pracy baterii pewnego rodzaju ma rozkład N(µ, 70). Na poziomie istotności α = 0, 05 zweryfikować hipotezę, że przeciętny czas pracy tego typu baterii wynosi ponad 500 godzin, jeśli dla 16 losowo wybranych baterii otrzymano x = 560 godzin. 8. Przeprowadzono badanie przeciętnych miesięcznych płac netto osiągniętych przez pracowników pewnego przedsiębiorstwa w 2010 roku. Wylosowano 21 pracowników i otrzymano następujące wyniki: x = 750 zł, s = 150 zł. Miesięczne płace netto mają rozkład normalny. Na poziomie istotności α = 0, 05, zweryfikować następujące hipotezy: (a) przeciętna miesięczna płaca uzyskana przez pracowników była równa 700 zł, (b) odchylenie standardowe przeciętnych płac w przedsiębiorstwie przekroczyło 90 zł. 9. W pewnej firmie wylosowano niezależnie po 150 odbiorców w roku 2001 oraz w 2002 i zbadano poziom rentowności sprzedaży wyrobów firmy dla tych odbiorców. 10

11 rentowność liczba odbiorców liczba odbiorców w % w 2001 roku w 2002 roku razem Wiadomo, że rentowność w całej populacji ma rozkład normalny. Na poziomie istotności α = 0, 05 sprawdzić: (a) czy średnia rentowność w 2002 roku wynosiła 30 (%)? (b) czy odchylenie standardowe rozkładu rentowności w 2002 roku było większe od 20 (%)? (c) czy średnia rentowność firmy poprawiła się w 2002 roku w porównaniu z 2001 rokiem? (d) czy odsetek nierentownych transakcji w 2002 roku był mniejszy niż 35%? (e) czy są podstawy do twierdzenia, że odsetek odbiorców, dla których rentowność przekroczyła 20 (%) był większy w 2002 roku niż w 2001 roku? 10. Dzienne zużycie wody w fabryce jest zmienną losową o rozkładzie N(µ, σ). Na podstawie obserwacji n = 196 dni stwierdzono, że średnie dzienne zużycie wody wynosi x = 1025 (m 3 ), zaś odchylenie standardowe s = 20 (m 3 ). Na poziomie istotności α = 0, 01 zweryfikować hipotezę, że średnie dzienne zużycie wody jest mniejsze od 1000 (m 3 ). 11. Dokonano 100 pomiarów opóźnień autobusów w stosunku do rozkładu. Otrzymano x = 8, s = 4 (w minutach). Zakładając, że czas opóźnień ma rozkład normalny, zweryfikować na poziomie istotności α = 0, 01, hipotezę, że wariancja opóźnień wynosi W pewnym przedsiębiorstwie wylosowano niezależnie do próby 250 kobiet i 380 mężczyzn, i spytano ich czy są skłonni zmienić swoje miejsce pracy. Odpowiedziało twierdząco 100 kobiet i 280 mężczyzn. Czy można sądzić przy α = 0, 01, że badanie potwierdza ogólną opinię, że kobiety w większym stopniu boją się zmian niż mężczyźni? 13. Z populacji studentów wylosowano 150 osób, a z populacji studentek 180 osób. Wylosowanym osobom zadano pytanie: Czy lubi pan/pani pić alkohol? Odpowiedziało twierdząco 50 11

12 kobiet i 120 mężczyzn. Na poziomie istotności α = 0, 02, zweryfikować hipotezę o wyższym odsetku pijących studentów niż studentek. 14. Istnieje powszechna opinia, że studentki uzyskują lepsze oceny z egzaminu z matematyki niż studenci. Wylosowano 10 studentów oraz 10 studentek, których średnie oceny ze sprawdzianów z matematyki wynosiły: studenci studentki 3,0 3,3 3,2 3,6 2,5 4,0 4,5 4,0 4,0 3,5 2,8 5,0 3,2 3,0 3,0 4,1 3,1 3,3 3,0 3,6 Zweryfikować na poziomie istotności α = 0, 05 hipotezę, że średnie oceny z matematyki studentów i studentek są równe. Zakładamy, że średnie ocen (studentów i studentek) mają rozkłady normalne N(µ 1, σ 1 ) i N(µ 2, σ 2 ) oraz że σ 1 = σ Średnia prędkość trolejbusu (w km/h) obliczona na podstawie zmierzonych w środę prędkości 200 trolejbusów była równa 15, 1, natomiast średnia prędkość obliczona dla 120 trolejbusów w sobotę wynosiła 16, 4. Wariancja prędkości obliczona na podstawie tych wyników wynosiła odpowiednio s 2 1 = 6, 8, s2 2 = 4, 3. Na podstawie uzyskanych danych zweryfikować na poziomie istotności α = 0, 05 hipotezę, że średnia prędkość trolejbusów w środę jest mniejsza niż w sobotę. 16. Wiadomo, że rozkład wyników pomiaru głębokości morza jest normalny z odchyleniem standardowym σ = 5 metrów. Dokonano 5 niezależnych pomiarów w tym rejonie i otrzymano wyniki: 862, 870, 876, 866, 874. (a) Na poziomie istotności α = 0, 05 zweryfikować hipotezę, że µ = 870. (b) W innym rejonie rozkład jest N(µ, 10). Dla 10 niezależnych wyników otrzymano średnią głębokość morza 865 metrów. Czy można uważać, że przeciętna głębokość morza w tych rejonach jest jednakowa? 12

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki

Bardziej szczegółowo

Błędy przy testowaniu hipotez statystycznych. Decyzja H 0 jest prawdziwa H 0 jest faszywa

Błędy przy testowaniu hipotez statystycznych. Decyzja H 0 jest prawdziwa H 0 jest faszywa Weryfikacja hipotez statystycznych Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy populacji, o prawdziwości lub fałszywości którego wnioskuje się na podstawie

Bardziej szczegółowo

VI WYKŁAD STATYSTYKA. 9/04/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15

VI WYKŁAD STATYSTYKA. 9/04/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 VI WYKŁAD STATYSTYKA 9/04/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 WYKŁAD 6 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI Weryfikacja hipotez ( błędy I i II rodzaju, poziom istotności, zasady

Bardziej szczegółowo

Teoria Estymacji. Do Powyżej

Teoria Estymacji. Do Powyżej Teoria Estymacji Zad.1. W pewnym przedsiębiorstwie wylosowano niezależnie próbę 25 pracowników. Staż pracy (w latach) tych pracowników w 1996 roku był następujący: 37; 34; 0*; 5; 17; 17; 0*; 2; 24; 33;

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI

LABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI LABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI WERYFIKACJA HIPOTEZ Hipoteza statystyczna jakiekolwiek przypuszczenie dotyczące populacji generalnej- jej poszczególnych

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów. Wrocław, r

Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów. Wrocław, r Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów Wrocław, 18.03.2016r Plan wykładu: 1. Testowanie hipotez 2. Etapy testowania hipotez 3. Błędy 4. Testowanie wielokrotne 5. Estymacja parametrów

Bardziej szczegółowo

ESTYMACJA PARAMETRYCZNA I WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH

ESTYMACJA PARAMETRYCZNA I WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH ESTYMACJA PARAMETRYCZNA I WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH ZESTAW ZADAŃ ZALECANYCH DO PRZEROBIENIA PRZED PRZYSTĄPIENIEM DO EGZAMINU ZE STATYSTYKI 1 Oznaczenia: E estymacja, W weryfikacja, µ, σ, p, n

Bardziej szczegółowo

ESTYMACJA. Przedział ufności dla średniej

ESTYMACJA. Przedział ufności dla średniej ESTYMACJA Przedział ufności dla średniej W grupie 900 losowo wybranych pracowników przedsiębiorstwa średnia liczba dni nieobecności w pracy wynosiła 30, a odchylenie standardowe 3 dni. a) Przyjmując współczynnik

Bardziej szczegółowo

166 Wstęp do statystyki matematycznej

166 Wstęp do statystyki matematycznej 166 Wstęp do statystyki matematycznej Etap trzeci realizacji procesu analizy danych statystycznych w zasadzie powinien rozwiązać nasz zasadniczy problem związany z identyfikacją cechy populacji generalnej

Bardziej szczegółowo

Wykład 3 Hipotezy statystyczne

Wykład 3 Hipotezy statystyczne Wykład 3 Hipotezy statystyczne Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu obserwowanej zmiennej losowej (cechy populacji generalnej) Hipoteza zerowa (H 0 ) jest hipoteza

Bardziej szczegółowo

Zadania ze statystyki, cz.7 - hipotezy statystyczne, błąd standardowy, testowanie hipotez statystycznych

Zadania ze statystyki, cz.7 - hipotezy statystyczne, błąd standardowy, testowanie hipotez statystycznych Zadania ze statystyki, cz.7 - hipotezy statystyczne, błąd standardowy, testowanie hipotez statystycznych Zad. 1 Średnia ocen z semestru letniego w populacji studentów socjologii w roku akademickim 2011/2012

Bardziej szczegółowo

Wykład 2 Hipoteza statystyczna, test statystyczny, poziom istotn. istotności, p-wartość i moc testu

Wykład 2 Hipoteza statystyczna, test statystyczny, poziom istotn. istotności, p-wartość i moc testu Wykład 2 Hipoteza statystyczna, test statystyczny, poziom istotności, p-wartość i moc testu Wrocław, 01.03.2017r Przykład 2.1 Właściciel firmy produkującej telefony komórkowe twierdzi, że wśród jego produktów

Bardziej szczegółowo

Statystyka. #5 Testowanie hipotez statystycznych. Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik. rok akademicki 2016/ / 28

Statystyka. #5 Testowanie hipotez statystycznych. Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik. rok akademicki 2016/ / 28 Statystyka #5 Testowanie hipotez statystycznych Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik rok akademicki 2016/2017 1 / 28 Testowanie hipotez statystycznych 2 / 28 Testowanie hipotez statystycznych

Bardziej szczegółowo

TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Przez hipotezę statystyczną rozumiemy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu interesującej nas

TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Przez hipotezę statystyczną rozumiemy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu interesującej nas TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Przez hipotezę statystyczną rozumiemy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu interesującej nas cechy. Hipotezy dzielimy na parametryczne i nieparametryczne.

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna dla leśników

Statystyka matematyczna dla leśników Statystyka matematyczna dla leśników Wydział Leśny Kierunek leśnictwo Studia Stacjonarne I Stopnia Rok akademicki 03/04 Wykład 5 Testy statystyczne Ogólne zasady testowania hipotez statystycznych, rodzaje

Bardziej szczegółowo

SIGMA KWADRAT. Weryfikacja hipotez statystycznych. Statystyka i demografia CZWARTY LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO-DEMOGRAFICZNY

SIGMA KWADRAT. Weryfikacja hipotez statystycznych. Statystyka i demografia CZWARTY LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO-DEMOGRAFICZNY SIGMA KWADRAT CZWARTY LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO-DEMOGRAFICZNY Weryfikacja hipotez statystycznych Statystyka i demografia PROJEKT DOFINANSOWANY ZE ŚRODKÓW NARODOWEGO BANKU POLSKIEGO URZĄD STATYSTYCZNY

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych. Wnioskowanie statystyczne

Testowanie hipotez statystycznych. Wnioskowanie statystyczne Testowanie hipotez statystycznych Wnioskowanie statystyczne Hipoteza statystyczna to dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej (jego postaci funkcyjnej lub wartości parametrów). Hipotezy

Bardziej szczegółowo

Estymacja parametrów rozkładu cechy

Estymacja parametrów rozkładu cechy Estymacja parametrów rozkładu cechy Estymujemy parametr θ rozkładu cechy X Próba: X 1, X 2,..., X n Estymator punktowy jest funkcją próby ˆθ = ˆθX 1, X 2,..., X n przybliżającą wartość parametru θ Przedział

Bardziej szczegółowo

TESTOWANIE HIPOTEZ Przez hipotezę statystyczną rozumiemy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu interesującej nas cechy.

TESTOWANIE HIPOTEZ Przez hipotezę statystyczną rozumiemy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu interesującej nas cechy. TESTOWANIE HIPOTEZ Przez hipotezę statystyczną rozumiemy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu interesującej nas cechy. Hipotezy dzielimy na parametryczne i nieparametryczne. Zajmiemy

Bardziej szczegółowo

Wnioskowanie statystyczne i weryfikacja hipotez statystycznych

Wnioskowanie statystyczne i weryfikacja hipotez statystycznych Wnioskowanie statystyczne i weryfikacja hipotez statystycznych Wnioskowanie statystyczne Wnioskowanie statystyczne obejmuje następujące czynności: Sformułowanie hipotezy zerowej i hipotezy alternatywnej.

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM 9 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI

LABORATORIUM 9 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI LABORATORIUM 9 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI 1. Test dla dwóch średnich P.G. 2. Testy dla wskaźnika struktury 3. Testy dla wariancji DECYZJE Obszar krytyczny od pozostałej

Bardziej szczegółowo

a. opisać badaną cechę; cechą X jest pomiar średnicy kulki

a. opisać badaną cechę; cechą X jest pomiar średnicy kulki Maszyna ustawiona jest tak, by produkowała kulki łożyskowe o średnicy 1 cm. Pomiar dziesięciu wylosowanych z produkcji kulek dał x = 1.1 oraz s 2 = 0.009. Czy można uznać, że maszyna nie rozregulowała

Bardziej szczegółowo

VII WYKŁAD STATYSTYKA. 30/04/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15

VII WYKŁAD STATYSTYKA. 30/04/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 VII WYKŁAD STATYSTYKA 30/04/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 WYKŁAD 7 (c.d) WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI Weryfikacja hipotez ( błędy I i II rodzaju, poziom istotności,

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna i ekonometria

Statystyka matematyczna i ekonometria Statystyka matematyczna i ekonometria Wykład 5 dr inż. Anna Skowrońska-Szmer zima 2017/2018 Hipotezy 2 Hipoteza zerowa (H 0 )- hipoteza o wartości jednego (lub wielu) parametru populacji. Traktujemy ją

Bardziej szczegółowo

Wielkość dziennego obrotu w tys. zł. (y) Liczba ekspedientek (x) 6 2 4 5,5 6,6

Wielkość dziennego obrotu w tys. zł. (y) Liczba ekspedientek (x) 6 2 4 5,5 6,6 Zad. 1. Zbadano wydajność odmiany pomidorów na 100 poletkach doświadczalnych. W wyniku przeliczeń otrzymano przeciętną wydajność na w tonach na hektar x=30 i s 2 x =7. Przyjmując, że rozkład plonów pomidora

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych Przykład. Producent pewnych detali twierdzi, że wadliwość jego produkcji nie przekracza 2%. Odbiorca pewnej partii tego produktu chce sprawdzić, czy może wierzyć producentowi.

Bardziej szczegółowo

), którą będziemy uważać za prawdziwą jeżeli okaże się, że hipoteza H 0

), którą będziemy uważać za prawdziwą jeżeli okaże się, że hipoteza H 0 Testowanie hipotez Każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy nazywamy hipotezą statystyczną. Hipoteza określająca jedynie wartości nieznanych parametrów liczbowych badanej cechy

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO. Wykład 2

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO. Wykład 2 STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład Parametry przedziałowe rozkładów ciągłych określane na podstawie próby (przedziały ufności) Przedział ufności dla średniej s X t( α;n 1),X + t( α;n 1) n s n t (α;

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 8 TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH

WYKŁAD 8 TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH WYKŁAD 8 TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Było: Estymacja parametrów rozkładu teoretycznego punktowa przedziałowa Przykład. Cecha X masa owocu pewnej odmiany. ZałoŜenie: cecha X ma w populacji rozkład

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych cd.

Testowanie hipotez statystycznych cd. Temat Testowanie hipotez statystycznych cd. Kody znaków: żółte wyróżnienie nowe pojęcie pomarańczowy uwaga kursywa komentarz 1 Zagadnienia omawiane na zajęciach 1. Przykłady testowania hipotez dotyczących:

Bardziej szczegółowo

Statystyka i opracowanie danych- W 8 Wnioskowanie statystyczne. Testy statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych.

Statystyka i opracowanie danych- W 8 Wnioskowanie statystyczne. Testy statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych. Statystyka i opracowanie danych- W 8 Wnioskowanie statystyczne. Testy statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Hipotezy i Testy statystyczne Każde

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2

STATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2 STATYSTYKA Rafał Kucharski Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2 Karl Popper... no matter how many instances of white swans we may have observed, this does not

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna i ekonometria

Statystyka matematyczna i ekonometria Statystyka matematyczna i ekonometria Wykład 5 Anna Skowrońska-Szmer lato 2016/2017 Hipotezy 2 Hipoteza zerowa (H 0 )- hipoteza o wartości jednego (lub wielu) parametru populacji. Traktujemy ją jako prawdziwą

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych.

Testowanie hipotez statystycznych. Statystyka Wykład 10 Wrocław, 22 grudnia 2011 Testowanie hipotez statystycznych Definicja. Hipotezą statystyczną nazywamy stwierdzenie dotyczące parametrów populacji. Definicja. Dwie komplementarne w problemie

Bardziej szczegółowo

Estymatory i testy statystyczne - zadania na kolokwium

Estymatory i testy statystyczne - zadania na kolokwium Estymatory i testy statystyczne - zadania na kolokwium Zad. 1. Cecha X populacji ma rozkład N(µ, σ), gdzie µ jest znane, a σ nieznane. Niech X 1,...,X n będzie n-elementową próbą prostą pobraną z tej populacji.

Bardziej szczegółowo

Kolokwium ze statystyki matematycznej

Kolokwium ze statystyki matematycznej Kolokwium ze statystyki matematycznej 28.05.2011 Zadanie 1 Niech X będzie zmienną losową z rozkładu o gęstości dla, gdzie 0 jest nieznanym parametrem. Na podstawie pojedynczej obserwacji weryfikujemy hipotezę

Bardziej szczegółowo

Statystyka Matematyczna Anna Janicka

Statystyka Matematyczna Anna Janicka Statystyka Matematyczna Anna Janicka wykład IX, 25.04.2016 TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Plan na dzisiaj 1. Hipoteza statystyczna 2. Test statystyczny 3. Błędy I-go i II-go rodzaju 4. Poziom istotności,

Bardziej szczegółowo

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adrian@tempus.metal.agh.edu.pl

Bardziej szczegółowo

WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI. Test zgodności i analiza wariancji Analiza wariancji

WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI. Test zgodności i analiza wariancji Analiza wariancji WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI Test zgodności i analiza wariancji Analiza wariancji Test zgodności Chi-kwadrat Sprawdza się za jego pomocą ZGODNOŚĆ ROZKŁADU EMPIRYCZNEGO Z PRÓBY Z ROZKŁADEM HIPOTETYCZNYM

Bardziej szczegółowo

Wydział Matematyki. Testy zgodności. Wykład 03

Wydział Matematyki. Testy zgodności. Wykład 03 Wydział Matematyki Testy zgodności Wykład 03 Testy zgodności W testach zgodności badamy postać rozkładu teoretycznego zmiennej losowej skokowej lub ciągłej. Weryfikują one stawiane przez badaczy hipotezy

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów stat. Hipoteza statystyczna Dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez. Marcin Zajenkowski. Marcin Zajenkowski () Testowanie hipotez 1 / 25

Testowanie hipotez. Marcin Zajenkowski. Marcin Zajenkowski () Testowanie hipotez 1 / 25 Testowanie hipotez Marcin Zajenkowski Marcin Zajenkowski () Testowanie hipotez 1 / 25 Testowanie hipotez Aby porównać ze sobą dwie statystyki z próby stosuje się testy istotności. Mówią one o tym czy uzyskane

Bardziej szczegółowo

Populacja generalna (zbiorowość generalna) zbiór obejmujący wszystkie elementy będące przedmiotem badań Próba (podzbiór zbiorowości generalnej) część

Populacja generalna (zbiorowość generalna) zbiór obejmujący wszystkie elementy będące przedmiotem badań Próba (podzbiór zbiorowości generalnej) część Populacja generalna (zbiorowość generalna) zbiór obejmujący wszystkie elementy będące przedmiotem badań Próba (podzbiór zbiorowości generalnej) część populacji, którą podaje się badaniu statystycznemu

Bardziej szczegółowo

Pozyskiwanie wiedzy z danych

Pozyskiwanie wiedzy z danych Pozyskiwanie wiedzy z danych dr Agnieszka Goroncy Wydział Matematyki i Informatyki UMK PROJEKT WSPÓŁFINANSOWANY ZE ŚRODKÓW UNII EUROPEJSKIEJ W RAMACH EUROPEJSKIEGO FUNDUSZU SPOŁECZNEGO Pozyskiwanie wiedzy

Bardziej szczegółowo

Statystyki: miary opisujące rozkład! np. : średnia, frakcja (procent), odchylenie standardowe, wariancja, mediana itd.

Statystyki: miary opisujące rozkład! np. : średnia, frakcja (procent), odchylenie standardowe, wariancja, mediana itd. Wnioskowanie statystyczne obejmujące metody pozwalające na uogólnianie wyników z próby na nieznane wartości parametrów oraz szacowanie błędów tego uogólnienia. Przewidujemy nieznaną wartości parametru

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ

MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ Opracowała: Milena Suliga Wszystkie pliki pomocnicze wymienione w treści

Bardziej szczegółowo

Plan wykładu. Statystyka opisowa. Statystyka matematyczna. Dane statystyczne miary położenia miary rozproszenia miary asymetrii

Plan wykładu. Statystyka opisowa. Statystyka matematyczna. Dane statystyczne miary położenia miary rozproszenia miary asymetrii Plan wykładu Statystyka opisowa Dane statystyczne miary położenia miary rozproszenia miary asymetrii Statystyka matematyczna Podstawy estymacji Testowanie hipotez statystycznych Żródła Korzystałam z ksiażek:

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych

Testowanie hipotez statystycznych Agenda Instytut Matematyki Politechniki Łódzkiej 2 stycznia 2012 Agenda Agenda 1 Wprowadzenie Agenda 2 Hipoteza oraz błędy I i II rodzaju Hipoteza alternatywna Statystyka testowa Zbiór krytyczny Poziom

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów stat. Hipoteza statystyczna Dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej

Bardziej szczegółowo

Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średn

Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średn Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średniej Wrocław, 21 grudnia 2016r Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja 10.1 Przedziałem

Bardziej szczegółowo

TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH

TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH TETOWANIE HIPOTEZ TATYTYCZNYCH HIPOTEZA TATYTYCZNA przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej (jego postaci funkcyjnej lub wartości parametrów). Prawdziwość tego przypuszczenia jest oceniana na

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 5 TEORIA ESTYMACJI II

WYKŁAD 5 TEORIA ESTYMACJI II WYKŁAD 5 TEORIA ESTYMACJI II Teoria estymacji (wyznaczanie przedziałów ufności, błąd badania statystycznego, poziom ufności, minimalna liczba pomiarów). PRÓBA Próba powinna być reprezentacyjna tj. jak

Bardziej szczegółowo

Szczegółowy program kursu Statystyka z programem Excel (30 godzin lekcyjnych zajęć)

Szczegółowy program kursu Statystyka z programem Excel (30 godzin lekcyjnych zajęć) Szczegółowy program kursu Statystyka z programem Excel (30 godzin lekcyjnych zajęć) 1. Populacja generalna a losowa próba, parametr rozkładu cechy a jego ocena z losowej próby, miary opisu statystycznego

Bardziej szczegółowo

Badanie zgodności z określonym rozkładem. F jest dowolnym rozkładem prawdopodobieństwa. Test chi kwadrat zgodności. F jest rozkładem ciągłym

Badanie zgodności z określonym rozkładem. F jest dowolnym rozkładem prawdopodobieństwa. Test chi kwadrat zgodności. F jest rozkładem ciągłym Badanie zgodności z określonym rozkładem H 0 : Cecha X ma rozkład F F jest dowolnym rozkładem prawdopodobieństwa Test chi kwadrat zgodności F jest rozkładem ciągłym Test Kołmogorowa F jest rozkładem normalnym

Bardziej szczegółowo

Wyniki badań reprezentatywnych są zawsze stwierdzeniami hipotetycznymi, o określonych granicach niepewności

Wyniki badań reprezentatywnych są zawsze stwierdzeniami hipotetycznymi, o określonych granicach niepewności Wyniki badań reprezentatywnych są zawsze stwierdzeniami hipotetycznymi, o określonych granicach niepewności Statystyka indukcyjna pozwala kontrolować i oszacować ryzyko popełnienia błędu statystycznego

Bardziej szczegółowo

Estymacja przedziałowa

Estymacja przedziałowa Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Uniwersytet Zielonogórski Metody analizy danych ćwiczenia Estymacja przedziałowa Program ćwiczeń obejmuje następująca zadania: 1. Dom handlowy prowadzący

Bardziej szczegółowo

WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE

WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE STATYSTYKA WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE ESTYMACJA oszacowanie z pewną dokładnością wartości opisującej rozkład badanej cechy statystycznej. WERYFIKACJA HIPOTEZ sprawdzanie słuszności przypuszczeń dotyczących

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez. Hipoteza prosta zawiera jeden element, np. H 0 : θ = 2, hipoteza złożona zawiera więcej niż jeden element, np. H 0 : θ > 4.

Testowanie hipotez. Hipoteza prosta zawiera jeden element, np. H 0 : θ = 2, hipoteza złożona zawiera więcej niż jeden element, np. H 0 : θ > 4. Testowanie hipotez Niech X = (X 1... X n ) będzie próbą losową na przestrzeni X zaś P = {P θ θ Θ} rodziną rozkładów prawdopodobieństwa określonych na przestrzeni próby X. Definicja 1. Hipotezą zerową Θ

Bardziej szczegółowo

ODRZUCANIE WYNIKÓW POJEDYNCZYCH POMIARÓW

ODRZUCANIE WYNIKÓW POJEDYNCZYCH POMIARÓW ODRZUCANIE WYNIKÓW OJEDYNCZYCH OMIARÓW W praktyce pomiarowej zdarzają się sytuacje gdy jeden z pomiarów odstaje od pozostałych. Jeżeli wykorzystamy fakt, że wyniki pomiarów są zmienną losową opisywaną

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych.

Testowanie hipotez statystycznych. Bioinformatyka Wykład 4 Wrocław, 17 października 2011 Temat. Weryfikacja hipotez statystycznych dotyczących wartości oczekiwanej w dwóch populacjach o rozkładach normalnych. Model 3. Porównanie średnich

Bardziej szczegółowo

RÓWNOWAŻNOŚĆ METOD BADAWCZYCH

RÓWNOWAŻNOŚĆ METOD BADAWCZYCH RÓWNOWAŻNOŚĆ METOD BADAWCZYCH Piotr Konieczka Katedra Chemii Analitycznej Wydział Chemiczny Politechnika Gdańska Równoważność metod??? 2 Zgodność wyników analitycznych otrzymanych z wykorzystaniem porównywanych

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM 6 ESTYMACJA cz. 2

LABORATORIUM 6 ESTYMACJA cz. 2 LABORATORIUM 6 ESTYMACJA cz. 2 TEORIA ESTYMACJI I 1. ODRZUCANIE WYNIKÓW WĄTPLIWYCH PRÓBA P (m) (m-elementowa) Obliczenie: ; s bez wyników wątpliwych Odrzucenie wyników z poza przedziału: 3s PRÓBA LOSOWA

Bardziej szczegółowo

Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich. Wrocław, 5 grudnia 2014

Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich. Wrocław, 5 grudnia 2014 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich Wrocław, 5 grudnia 2014 Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja Przedziałem ufności dla paramertu

Bardziej szczegółowo

Miary statystyczne w badaniach pedagogicznych

Miary statystyczne w badaniach pedagogicznych Miary statystyczne w badaniach pedagogicznych Szeregi statystyczne Szczegółowy - gdzie materiał uporządkowany jest rosnąco lub malejąco Rozdzielczy - gdzie poszczególnym wariantom zmiennej przyporządkowane

Bardziej szczegółowo

Statystyka opisowa. Robert Pietrzykowski.

Statystyka opisowa. Robert Pietrzykowski. Statystyka opisowa Robert Pietrzykowski email: robert_pietrzykowski@sggw.pl www.ekonometria.info Na dziś Sprawy bieżące 2 Na dziś Wykład 5: Statystyka matematyczna Estymatory punktowe i przedziałowe 4

Bardziej szczegółowo

Parametry statystyczne

Parametry statystyczne I. MIARY POŁOŻENIA charakteryzują średni lub typowy poziom wartości cechy, wokół nich skupiają się wszystkie pozostałe wartości analizowanej cechy. I.1. Średnia arytmetyczna x = x 1 + x + + x n n = 1 n

Bardziej szczegółowo

Statystyki: miary opisujące rozkład! np. : średnia, frakcja (procent), odchylenie standardowe, wariancja, mediana itd.

Statystyki: miary opisujące rozkład! np. : średnia, frakcja (procent), odchylenie standardowe, wariancja, mediana itd. Wnioskowanie statystyczne obejmujące metody pozwalające na uogólnianie wyników z próby na nieznane wartości parametrów oraz szacowanie błędów tego uogólnienia. Przewidujemy nieznaną wartości parametru

Bardziej szczegółowo

LISTA 4. 7.Przy sporządzaniu skali magnetometru dokonano 10 niezależnych pomiarów

LISTA 4. 7.Przy sporządzaniu skali magnetometru dokonano 10 niezależnych pomiarów LISTA 4 1.Na pewnym obszarze dokonano 40 pomiarów grubości warstwy piasku otrzymując w m.: 54, 58, 64, 69, 61, 56, 41, 48, 56, 61, 70, 55, 46, 57, 70, 55, 47, 62, 55, 60, 54,57,65,60,53,54, 49,58,62,59,55,50,58,

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia 1-2 Analiza rozkładu empirycznego

Ćwiczenia 1-2 Analiza rozkładu empirycznego Ćwiczenia 1-2 Zadanie 1. Z kolokwium z ekonometrii studenci otrzymali następujące oceny: 5 osób dostało piątkę, 20 os. dostało czwórkę, 10 os. trójkę, a 3 osoby nie zaliczyły tego kolokwium. Należy w oparciu

Bardziej szczegółowo

Test lewostronny dla hipotezy zerowej:

Test lewostronny dla hipotezy zerowej: Poznajemy testowanie hipotez statystycznych w środowisku R Zajęcia z dnia 11 maja 2011 roku Najpierw teoria TESTY ISTOTNOŚCI WARTOŚCI ŚREDNIEJ W POPULACJI GENERALNEJ gdy znana jest wariancja!!! Test prawostronny

Bardziej szczegółowo

W kolejnym kroku należy ustalić liczbę przedziałów k. W tym celu należy wykorzystać jeden ze wzorów:

W kolejnym kroku należy ustalić liczbę przedziałów k. W tym celu należy wykorzystać jeden ze wzorów: Na dzisiejszym wykładzie omówimy najważniejsze charakterystyki liczbowe występujące w statystyce opisowej. Poszczególne wzory będziemy podawać w miarę potrzeby w trzech postaciach: dla szeregu szczegółowego,

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I STATYSTYKA MATEMATYCZNA

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I STATYSTYKA MATEMATYCZNA RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I STATYSTYKA MATEMATYCZNA LISTA 10 1.Dokonano 8 pomiarów pewnej odległości (w m) i otrzymano: 201, 195, 207, 203, 191, 208, 198, 210. Wiedząc,że błąd pomiaru ma rozkład normalny

Bardziej szczegółowo

Testy nieparametryczne

Testy nieparametryczne Testy nieparametryczne Testy nieparametryczne możemy stosować, gdy nie są spełnione założenia wymagane dla testów parametrycznych. Stosujemy je również, gdy dane można uporządkować według określonych kryteriów

Bardziej szczegółowo

Zadania ze statystyki cz.8. Zadanie 1.

Zadania ze statystyki cz.8. Zadanie 1. Zadania ze statystyki cz.8. Zadanie 1. Wykonano pewien eksperyment skuteczności działania pewnej reklamy na zmianę postawy. Wylosowano 10 osobową próbę studentów, których poproszono o ocenę pewnego produktu,

Bardziej szczegółowo

KURS STATYSTYKA. Lekcja 2 Przedziały ufności i estymacja przedziałowa ZADANIE DOMOWE. www.etrapez.pl Strona 1

KURS STATYSTYKA. Lekcja 2 Przedziały ufności i estymacja przedziałowa ZADANIE DOMOWE. www.etrapez.pl Strona 1 KUR TATYTYKA Lekcja Przedziały ufności i estymacja przedziałowa ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl trona 1 Część 1: TET Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie 1 We wnioskowaniu statystycznym

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja przypuszczeń odnoszących się do określonego poziomu cechy w zbiorowości (grupach) lub jej rozkładu w populacji generalnej,

Weryfikacja przypuszczeń odnoszących się do określonego poziomu cechy w zbiorowości (grupach) lub jej rozkładu w populacji generalnej, Szacownie nieznanych wartości parametrów (średniej arytmetycznej, odchylenia standardowego, itd.) w populacji generalnej na postawie wartości tych miar otrzymanych w próbie (punktowa, przedziałowa) Weryfikacja

Bardziej szczegółowo

Matematyka i statystyka matematyczna dla rolników w SGGW WYKŁAD 9. TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH cd.

Matematyka i statystyka matematyczna dla rolników w SGGW WYKŁAD 9. TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH cd. WYKŁAD 9 TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH cd. Było: Przykład 1. Badano krąŝek o wymiarach zbliŝonych do monety jednozłotowej ze stronami oznaczonymi: A, B. NaleŜy ustalić, czy krąŝek jest symetryczny?

Bardziej szczegółowo

ZALICZENIA. W celu uzyskania zaliczenia należy wybrać jeden z trzech poniższych wariantów I, II lub III

ZALICZENIA. W celu uzyskania zaliczenia należy wybrać jeden z trzech poniższych wariantów I, II lub III ZALICZENIA W celu uzyskania zaliczenia należy wybrać jeden z trzech poniższych wariantów I, II lub III 1 Wariant I. PROBLEM WŁASNY Sformułować własne zadanie statystyczne związane z własną pracą badawczą

Bardziej szczegółowo

WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI TESTOWANIE HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH

WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI TESTOWANIE HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI TESTOWANIE HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH Co to są hipotezy statystyczne? Hipoteza statystyczna to dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej. Dzielimy je

Bardziej szczegółowo

Pobieranie prób i rozkład z próby

Pobieranie prób i rozkład z próby Pobieranie prób i rozkład z próby Marcin Zajenkowski Marcin Zajenkowski () Pobieranie prób i rozkład z próby 1 / 15 Populacja i próba Populacja dowolnie określony zespół przedmiotów, obserwacji, osób itp.

Bardziej szczegółowo

IV WYKŁAD STATYSTYKA. 26/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15

IV WYKŁAD STATYSTYKA. 26/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 IV WYKŁAD STATYSTYKA 26/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 WYKŁAD 4 Populacja generalna, próba, losowanie próby, estymatory Statystyka (populacja generalna, populacja próbna, próbka mała, próbka duża, reprezentatywność,

Bardziej szczegółowo

Metody Statystyczne. Metody Statystyczne.

Metody Statystyczne. Metody Statystyczne. gkrol@wz.uw.edu.pl #4 1 Sprawdzian! 5 listopada (ok. 45-60 minut): - Skale pomiarowe - Zmienne ciągłe i dyskretne - Rozkład teoretyczny i empiryczny - Miary tendencji centralnej i rozproszenia - Standaryzacja

Bardziej szczegółowo

WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI ROZKŁAD EMPIRYCZNY

WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI ROZKŁAD EMPIRYCZNY WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI ROZKŁAD EMPIRYCZNY Liczebności i częstości Liczebność liczba osób/respondentów/badanych, którzy udzielili tej konkretnej odpowiedzi. Podawana w osobach. Częstość odsetek,

Bardziej szczegółowo

Miary położenia wskazują miejsce wartości najlepiej reprezentującej wszystkie wielkości danej zmiennej. Mówią o przeciętnym poziomie analizowanej

Miary położenia wskazują miejsce wartości najlepiej reprezentującej wszystkie wielkości danej zmiennej. Mówią o przeciętnym poziomie analizowanej Miary położenia wskazują miejsce wartości najlepiej reprezentującej wszystkie wielkości danej zmiennej. Mówią o przeciętnym poziomie analizowanej cechy. Średnia arytmetyczna suma wartości zmiennej wszystkich

Bardziej szczegółowo

Rozkład normalny. Marcin Zajenkowski. Marcin Zajenkowski () Rozkład normalny 1 / 26

Rozkład normalny. Marcin Zajenkowski. Marcin Zajenkowski () Rozkład normalny 1 / 26 Rozkład normalny Marcin Zajenkowski Marcin Zajenkowski () Rozkład normalny 1 / 26 Rozkład normalny Krzywa normalna, krzywa Gaussa, rozkład normalny Rozkłady liczebności wielu pomiarów fizycznych, biologicznych

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA

STATYSTYKA Wykład 1 20.02.2008r. 1. ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1.1 Rozkład dwumianowy Rozkład dwumianowy, 0 1 Uwaga: 1, rozkład zero jedynkowy. 1 ; 1,2,, Fakt: Niech,, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym

Bardziej szczegółowo

Zadanie Punkty Ocena

Zadanie Punkty Ocena Statystyka matematyczna Test przykładowy na zaliczenie laboratorium / ćwiczeń PROSZĘ NIE ODWRACAĆ KARTKI PRZED ROZPOCZĘCIEM TESTU! Wskazówki: 1. Wybierz zadania, za które w sumie możesz otrzymać 30 punktów

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA, LISTA 3

STATYSTYKA MATEMATYCZNA, LISTA 3 STATYSTYKA MATEMATYCZNA, LISTA 3 1. Aby zweryfikować hipotezę o symetryczności monety; H: p = 0.5 przeciwko K: p 0.5 wykonano nią n = 100 rzutów. Wyznaczyć obszar krytyczny i zweryfikować hipotezę H gdy

Bardziej szczegółowo

Oszacowanie i rozkład t

Oszacowanie i rozkład t Oszacowanie i rozkład t Marcin Zajenkowski Marcin Zajenkowski () Oszacowanie i rozkład t 1 / 31 Oszacowanie 1 Na podstawie danych z próby szacuje się wiele wartości w populacji, np.: jakie jest poparcie

Bardziej szczegółowo

Zadanie 2.Na III roku bankowości złożonym z 20 studentów i 10 studentek przeprowadzono test pisemny ze statystyki. Oto wyniki w obu podgrupach.

Zadanie 2.Na III roku bankowości złożonym z 20 studentów i 10 studentek przeprowadzono test pisemny ze statystyki. Oto wyniki w obu podgrupach. Zadanie 1.Wiadomo, że dominanta wagi tuczników jest umiejscowiona w przedziale [120 kg, 130 kg] i wynosi 122,5 kg. Znane są również liczebności przedziałów poprzedzającego i następnego po przedziale dominującym:

Bardziej szczegółowo

Statystyka. Opisowa analiza zjawisk masowych

Statystyka. Opisowa analiza zjawisk masowych Statystyka Opisowa analiza zjawisk masowych Typy rozkładów empirycznych jednej zmiennej Rozkładem empirycznym zmiennej nazywamy przyporządkowanie kolejnym wartościom zmiennej (x i ) odpowiadających im

Bardziej szczegółowo

Seria 7 1. 18 studentów drugiego roku zapytano na ilu wykładach z RPiS byli w ciagu semestru. Uzyskano nastepujace odpowiedzi: 12,15,9,13,15, 13, 1~ 10, 13, 1, 12, 1~ 1~ ~ 1~ 11, 13,1 Sporządzić wykres

Bardziej szczegółowo

Opis przedmiotu: Probabilistyka I

Opis przedmiotu: Probabilistyka I Opis : Probabilistyka I Kod Nazwa Wersja TR.SIK303 Probabilistyka I 2012/13 A. Usytuowanie w systemie studiów Poziom Kształcenia Stopień Rodzaj Kierunek studiów Profil studiów Specjalność Jednostka prowadząca

Bardziej szczegółowo

Statystyka Matematyczna Anna Janicka

Statystyka Matematyczna Anna Janicka Statystyka Matematyczna Anna Janicka wykład I, 22.02.2016 STATYSTYKA OPISOWA, cz. I Kwestie techniczne Kontakt: ajanicka@wne.uw.edu.pl Dyżur: strona z materiałami z przedmiotu: wne.uw.edu.pl/azylicz akson.sgh.waw.pl/~aborata

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta

Bardziej szczegółowo

Po co nam charakterystyki liczbowe? Katarzyna Lubnauer 34

Po co nam charakterystyki liczbowe? Katarzyna Lubnauer 34 Po co nam charakterystyki liczbowe? Katarzyna Lubnauer 34 Def. Charakterystyki liczbowe to wielkości wyznaczone na podstawie danych statystycznych, charakteryzujące własności badanej cechy. Klasyfikacja

Bardziej szczegółowo

Statystyka. Zadanie 1.

Statystyka. Zadanie 1. Statystyka Zadanie 1. W przedsiębiorstwie Statexport pracuje 100 pracowników fizycznych i 25 umysłowych. Typowy wiek pracownika fizycznego kształtuje się w przedziale od 30 do 40 lat. Średnia wieku pracowników

Bardziej szczegółowo

przedmiot podstawowy obowiązkowy polski drugi

przedmiot podstawowy obowiązkowy polski drugi KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 07/08 IN--008 STATYSTYKA W INŻYNIERII ŚRODOWISKA Statistics in environmental engineering

Bardziej szczegółowo

Estymacja parametro w 1

Estymacja parametro w 1 Estymacja parametro w 1 1 Estymacja punktowa: średniej, odchylenia standardowego i frakcji µ - średnia populacji h średnia z próby jest estymatorem średniej populacji = - standardowy błąd estymacji średniej

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych

Testowanie hipotez statystycznych Testowanie hipotez statystycznych Hipotezą statystyczną jest dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej (jego postaci funkcyjnej lub wartości parametrów). Prawdziwość tego przypuszczenia

Bardziej szczegółowo