Kontrakty teminowe. Kupujący = długa pozycja Sprzedający = krótka pozycja. Przykład. Kontraktowanie płodów rolnych.

Transkrypt

1 Kontrakty teminowe Transakcja (kontrakt) forward to umowa sprzedaży określonego dobra (bazowego) realizowana w z góry określonym terminie i po z góry określonej cenie. W dniu realizacji transakcji następuje dostawa dobra bazowego (przedmiotu transakcji) i zapłata lub rozliczenie różnicy ceny z umowy i bieżacej ceny rynkowej w gotówce. W tym drugim przypadku umowę można traktować jako zakład o poziom ceny. Kupujący = długa pozycja Sprzedający = krótka pozycja Przykład. Kontraktowanie płodów rolnych. 1

2 Oznaczenia: 0 - moment zawarcia transacji T moment dostawy i zapłaty F(0, T) cena przyjęta w kontrakcie (w ten sposób, aby w momencie zawarcia transakcji wartość kontraktu dla każdej z jego strony byłą równa 0) cena forward, cena rozliczenia S(t) - cena rynkowa dobra bazowego w momencie t. W momencie dostawy posiadacz długiej pozycji zarabia: S T F(0, T), a posiadacz krótkiej pozycji F(0, T) S T. Wykres funkcji wypłaty dla każdej ze stron. 2

3 Załóżmy, że S jest dobrem nie przynoszącym bieżącego dochodu i którego przechowywanie nic nie kosztuje (np. akcja nie wypłacająca dywidendy). Fakt. Cena forward takiej akcji to F 0, T = S(0)e!", gdzie r jest stopą zwrotu z aktywów wolnych od ryzyka (w kapitalizacji ciągłej). Bardziej ogólnie Jeśli kontrakt jest zawierany w momencie t, 0 t < T, to cena tego kontraktu, to F t, T = S(t)e!(!!!) 3

4 Dowód. Zauważmy, że pozycję długą na kontrakcie można zreplikować w następujący sposób: w momencie 0 i) pożyczamy S(0), ii) kupujemy akcję. W tym momencie nasz stan posiadania netto to 0 W momencie T mamy akcję wartą S(T) i zobowiąznie wartości S(0)e!". Łączna wartość naszej pozycji, to S T S(0)e!". W przypadku kontraktu forward : w momencie 0 zajmujemy długą pozycje na kontrakcie o cenie F 0, T w tym momencie to nic nie kosztuje w momencie T kupujemy akcję S po cenie F 0, T za pożyczone pieniądze nasz stan posiadania netto to S T F 0, T. Stąd S T S 0 e!" = S T F 0, T. 4

5 Inaczej, bardziej dokładnie. Użyjemy własność braku możliwości arbitrażu czyli niemożliwe jest, aby bez ryzyka z pozycji o wartości 0 otrzymać pozycję o wartości dodatniej. Przypuśćmy, że F 0, T S(0)e!". Przypadek F 0, T > S(0)e!". Wtedy w momencie 0: i) zajmujemy pozycję krótką na kontrakcie ii) pożyczamy S(0) przy stopie r iii) kupujemy akcję S za S(0) Wartość netto całej pozycji to 0. W momencie T: iv) sprzedajemy akcję za F 0, T zamykając pozycję na kontekcie. v) spłacamy dług wydając S(0)e!". Wartość netto naszej pozycji po tych operacjach to F 0, T S 0 e!" > 0, co przeczy brakowi możliwości arbitrażu. Przypadek F 0, T < S(0)e!". Wtedy w momencie 0 i) dokonujemy krótkiej sprzedaży akcji S za S(0) (czyli pożyczamy akcję S i ją sprzedajemy) ii) lokujemy środki S(0) ze sprzedaży akcji przy stopie r iii) zajmujemy długą pozycję na kontrakcie Nasz stan posiadania netto w tym memencie to 0. W momencie T iii) zamykamy lokatę otrzymując S 0 e!" iv) zamykamy pozycję na kontrakcie kupując akcję S za F 0, T v) oddajemy pożyczoną akcję. Po tych operacjach nasz stan posiadania netto to S 0 e!" F 0, T > 0, co przeczy brakowi możliwości arbitrażu. 5

6 Uwaga. Zauważmy, że w dowodzie wzoru na cenęrozliczeniową kontraktu forward wykorzystywaliśmy założenia, które nie zawsze są w realnym świecie spełnione (a na pewno nie dla wszytkich inwestorów). a) brak kosztów transakcyjnych, b) możliwość krótkiej sprzedaży dobra bazowego, c) stopa lokat równa stopie kredytu. Fakt. Jeśli na akcję S wypłacana jest dywidenda D w momencie t, 0 < t < T, to cena forward tej akcji wyraża się wzorem F 0, T = [S 0 e!!" D]e!". 6

7 Dowód. Modyfikujemy poprzedni dowód. Przypuśćmy, że F 0, T [S 0 e!!" D]e!". Przypadek F 0, T > [S 0 e!!" D]e!". Wtedy w momencie 0 i) pożyczamy kwotę S 0, ii) kupujemy akcję S za S 0, iii) otwieramy krótką pozycje na kontrakcie. Po tych operacjach nasz stan posiadania netto to 0. W momencie t iv) otrzymujemy dywidendę o wartości D i lokujemy ją przy stopie r. W momencie T v) zamykamy lokatę otrzymując e!(!!!) D, vi) sprzedajemy akcję za F 0, T zamykając pozycję na kontrakcie terminowym vii) spłacamy kredyt płacąc S 0 e!" Stan posiadania netto po tych operacjach to F 0, T S 0 e!" + e!!!! D > 0. Przypadek F 0, T < [S 0 e!!" D]e!". Analogicznie.(należy tylko zwrócić uwagę na to, że inwestor sprzedający pożyczaną akcję musi zapłacić z własnej kieszeni dywidendy wypłacana w międzyczasie osobie, od której akcje są pożyczone) 7

8 Kontrakt forward na walutę Oznaczenia P t cena jednostki waluty B wyrażona w walucie A w momencie t (kurs B/A) Niech r! i r! będą (odpowiednio) stopami wolnymi od ryzyka w tych walutach. Niech F 0, T będzie kursem terminowym waluty B względem waluty A, czyli ceną w walucie A transakcji forward na jednostkę waluty B. Koszt zakupu w momencie T jednostki waluty B można w momencie 0 zagwarantować sobie na dwa sposoby: a) otworzyć długą pozycję na kontrakcie terminowym na zakup waluty B (a walutę A). Wtedy w momencie 0 trzeba na ten cel zarezerwować F 0, T e!!!! przetrzymując te środki na lokacie, lub b) zakupić walutę B już teraz w ilości e!!!! płacąc za to F 0, T e!!!!. Te koszty powinny być sobie równe F 0, T e!!!! = F 0, T e!!!! Otrzymujemy wzór na kurs terminowy: F 0, T = P(0)e (r A!r B )T. 8

9 Dowód. Przypuśćmy, że 𝐹 0, 𝑇 𝑃(0)𝑒 (!!!!! )!. Przypadek 𝐹 0, 𝑇 > 𝑃(0)𝑒 (!!!!! )!. W momencie 0: i) zajmujemy krótką pozycją na kontrakcie terminowym na 1 jednostkę waluty B, ii) pożyczamy 𝑒!!!! 𝑃(0) w walucie A przy stopie 𝑟!, iii) kupujemy 𝑒!!!! jednostek waluty B płacąc 𝑒!!!! 𝑃 0 w walucie A iv) Otwieramy lokatę na 𝑒!!!! jednostek waluty B przy stopie 𝑟!. W momencie 𝑇 v) zamykamy lokatę otrzymując 1 jednostkę waluty B vi) sprzedajemy 1 jednostkę waluty B za 𝐹 0, 𝑇 jednostek waluty A zamykając kontrakt terminowy, v) spłacamy kredyt wydając 𝑒!!! 𝑒!!!! 𝑃 0 = 𝑃(0)𝑒 (!!!!! )! w walucie A Nasz stan posiadania netto po tych operacjach, to 𝐹 0, 𝑇 𝑃 0 𝑒!!!!!! > 0. Przypadek 𝐹 0, 𝑇 < 𝑃(0)𝑒 (!!!!! )!. W momencie 0 i) zajmujemy długą pozycją na kontrakcie terminowym na 1 jednostkę waluty B, ii) bierzemy pożyczkę 𝑒!!!! waluty B przy stopie 𝑟!, iii) wymieniamy pożyczoną walutę B na walutę A otrzymując 𝑃(0)𝑒!!!! waluty A, iv) lokujemy otrzymane środki 𝑃(0)𝑒!!!! waluty A przy stopie 𝑟!. W momencie 𝑇 v) zamykamy lokatę w walucie A otrzymując 𝑃(0)𝑒 (!!!!! )!, vi) za część środków z lokaty kupujemy jednostkę waluty B za 𝐹 0, 𝑇 jednostek waluty A zamykając kontrakt terminowy, vii) spłacamy pożyczkę w walucie B wydając zakupioną jednostkę waluty A. Po tych operacjach nasz stan posiadania to 𝑃 0 𝑒!!!!!! 𝐹 0, 𝑇 > 0 w walucie A. 9

10 W chwili zawierania kontraktu forward wartość tego kontraktu dla każdej ze stron jest równa zeru. Później (pod wpływem zmian ceny dobra bazowego) ta wartość zwykle jest niezerowa (dodatnia dla jednej ze stron, a ujemna dla drugiej). Załóżmy, że mamy dwa kontrakty forward wygasające w tym samym momencie T. Cena rozliczenia jednego z nich to X!, a drugiego to X!. W momencie T wartości długich pozycji na tych kontraktach to S T X! i S T X! odpowiednio. Wartość różnicy tych kontraktów (lub sumy długiej pozycji na pierwszym i krótkiej na drugim) to V T = X! X! niezależnie od ceny dobra bazowego. Stąd V t = (X! X! )e!!(!!!), dla t T. Niech 0 < t < T. Rozważmy wartość różnicy dwóch kontraktów na to samo dobro bazowe i o tym samym terminie rozliczenia. Pierwszy z nich to kontrakt, który został zawarty w momencie zero, a drugi w momencie t. Ich ceny rozliczeniowe to (odpowiednio) X! = F 0, T i X! = F t, T. Wartość drugiego z tych kontraktów w momencie t jest równa zeru dla każdej ze stron. Dlatego wartość długiej pozycji na pierwszym z kontraktów w momencie t jest równa. V t = [F t, T - F 0, T ]e!r(t!t). 10