MRF2019_W6. Kontrakty teminowe

Transkrypt

1 Kontrakty teminowe Transakcja (kontrakt) forward to umowa sprzedaży określonego dobra (bazowego) realizowana w z góry określonym terminie i po z góry określonej cenie. W dniu realizacji transakcji następuje dostawa dobra bazowego (przedmiotu transakcji) i zapłata lub rozliczenie różnicy ceny z umowy i bieżącej ceny rynkowej w gotówce. W tym drugim przypadku umowę można traktować jako zakład o poziom ceny. Kupujący = długa pozycja Sprzedający = krótka pozycja Przykład. Kontraktowanie płodów rolnych. 1

2 Oznaczenia: 0 - moment zawarcia transacji T moment dostawy i zapłaty F(0,T ) cena przyjęta w kontrakcie (w ten sposób, aby w momencie zawarcia transakcji wartość kontraktu dla każdej z jego strony byłą równa 0) cena forward, cena rozliczenia S(t) - cena rynkowa dobra bazowego w momencie t. W momencie dostawy posiadacz długiej pozycji zarabia: S(T ) F(0,T ), a posiadacz krótkiej pozycji F(0,T ) S(T ). Wykres funkcji wypłaty dla każdej ze stron. 2

3 Załóżmy, że S jest dobrem nie przynoszącym bieżącego dochodu i którego przechowywanie nic nie kosztuje (np. akcja nie wypłacająca dywidendy). Fakt 5.3 Cena forward takiej akcji to F(0,T ) = S(0)e rt, gdzie r jest stopą zwrotu z aktywów wolnych od ryzyka (w kapitalizacji ciągłej). Bardziej ogólnie Jeśli kontrakt jest zawierany w momencie t, 0 t < T, to cena tego kontraktu, to F(t, T ) = S(t)e r(t t) 3

4 Dowód. Użyjemy własność braku możliwości arbitrażu czyli niemożliwe jest, aby bez ryzyka straty z pozycji o wartości 0 otrzymać pozycję o wartości dodatniej. Przypuśćmy, że F(0,T ) S(0)e rt. Przypadek F(0,T ) > S(0)e rt. W momencie 0: i) zajmujemy pozycję krótką na kontrakcie ii) pożyczamy S(0) przy stopie r iii) kupujemy akcję S za S(0) Wartość netto całej pozycji to 0. W momencie T: iv) sprzedajemy akcję za F(0,T ) zamykając pozycję na kontrakcie. v) spłacamy dług wydając S(0)e rt. Wartość netto naszej pozycji po tych operacjach to F(0,T ) S(0)e rt > 0, co przeczy brakowi możliwości arbitrażu. Przypadek F(0,T ) < S(0)e rt. W momencie 0 i) dokonujemy krótkiej sprzedaży akcji S za S(0) (czyli pożyczamy akcję S i ją sprzedajemy) ii) lokujemy środki S(0) ze sprzedaży akcji przy stopie r iii) zajmujemy długą pozycję na kontrakcie Nasz stan posiadania netto w tym memencie to 0. W momencie T iii) zamykamy lokatę otrzymując S(0)e rt iv) zamykamy pozycję na kontrakcie kupując akcję S za F(0,T ) v) oddajemy pożyczoną akcję. Po tych operacjach nasz stan posiadania netto to S(0)e rt F(0,T ) > 0, co przeczy brakowi możliwości arbitrażu. 4

5 Uwaga. Zauważmy, że w dowodzie wzoru na cenę rozliczeniową kontraktu forward wykorzystywaliśmy założenia, które nie zawsze są w realnym świecie spełnione (a na pewno nie dla wszystkich inwestorów). a) brak kosztów transakcyjnych, b) możliwość krótkiej sprzedaży dobra bazowego, c) stopa lokat równa stopie kredytu. d) brak kosztów przechowywania dobra 5

6 Fakt 5.4 Jeśli na akcję S wypłacana jest dywidenda D w momencie t, 0 < t < T, to cena forward tej akcji wyraża się wzorem F(0,T ) = [S(0) e rt D]e rt. Dowód. (ModyZikujemy poprzedni dowód) Przypuśćmy, że F(0,T ) [S(0) e rt D]e rt. Przypadek F(0,T ) > [S(0) e rt D]e rt. W momencie 0 i) pożyczamy kwotę S(0), ii) kupujemy akcję S za S(0), iii) otwieramy krótką pozycje na kontrakcie. Po tych operacjach nasz stan posiadania netto to 0. W momencie t iv) otrzymujemy dywidendę o wartości D i lokujemy ją przy stopie r. W momencie T v) zamykamy lokatę otrzymując e r(t t) D, vi) sprzedajemy akcję za F(0,T ) zamykając pozycję na kontrakcie terminowym vii) spłacamy kredyt płacąc S(0)e rt Stan posiadania netto po tych operacjach to F(0,T ) S(0)e rt + e r(t t) D > 0. Przypadek F(0,T ) < [S(0) e rt D]e rt - analogicznie.(należy tylko zwrócić uwagę na to, że inwestor sprzedający pożyczaną akcję musi zapłacić z własnej kieszeni dywidendy wypłacane w międzyczasie osobie, od której akcje są pożyczone) 6

7 W chwili zawierania kontraktu forward wartość tego kontraktu dla każdej ze stron jest równa zeru. Później (pod wpływem zmian ceny dobra bazowego) ta wartość zwykle jest niezerowa (dodatnia dla jednej ze stron, a ujemna dla drugiej). Załóżmy, że mamy dwa kontrakty forward wygasające w tym samym momencie T. Cena rozliczenia jednego z nich to X 1, a drugiego to X 2. W momencie T wartości długich pozycji na tych kontraktach to S(T ) X 1 i S(T ) X 2 odpowiednio. Wartość różnicy tych kontraktów (lub sumy długiej pozycji na pierwszym i krótkiej na drugim) to V(T ) = X 2 X 1 niezależnie od ceny dobra bazowego. Stąd V(t) = (X 2 X 1 )e r(t t), dla t T. Niech 0 < t < T. Rozważmy wartość różnicy dwóch kontraktów na to samo dobro bazowe i o tym samym terminie rozliczenia. Pierwszy z nich to kontrakt, który został zawarty w momencie zero, a drugi w momencie t. Ich ceny rozliczeniowe to (odpowiednio) X 1 = F(0,T ) i X 2 = F(t, T ). Wartość drugiego z tych kontraktów w momencie t jest równa zeru dla każdej ze stron. Dlatego wartość długiej pozycji na pierwszym z kontraktów w momencie t jest równa. V(t) = [F(t, T) F(0,T)]e r(t t) -. 7

8 Kontrakt forward na walutę Oznaczenia P(t) cena jednostki waluty B wyrażona w walucie A w momencie t (kurs B/A) Niech r A i r B będą (odpowiednio) stopami wolnymi od ryzyka w tych walutach. Niech F(0,T ) będzie kursem terminowym waluty B względem waluty A, czyli ceną w walucie A transakcji forward na jednostkę waluty B. Koszt zakupu w momencie T jednostki waluty B można w momencie 0 zagwarantować sobie na dwa sposoby: a) otworzyć długą pozycję na kontrakcie terminowym na zakup waluty B (za walutę A). Wtedy w momencie 0 trzeba na ten cel zarezerwować F(0,T )e r AT przetrzymując te środki na lokacie, lub b) zakupić walutę B już teraz w ilości e r B T płacąc za to P(0)e r BT. Te koszty powinny być sobie równe F(0,T )e rat = P(0)e r BT. Otrzymujemy wzór na kurs terminowy: F(0,T) = P(0)e (r A r B )T. 8

9 Dowód. Przypuśćmy, że F(0,T ) P(0)e (r A r B )T. Przypadek F(0,T ) > P(0)e (r A r B )T. W momencie 0 i) zajmujemy krótką pozycją na kontrakcie terminowym na 1 jednostkę waluty B, ii) pożyczamy e rbt P(0) w walucie A przy stopie r A, iii) kupujemy e r BT jednostek waluty B płacąc e rbt P(0) w walucie A iv) Otwieramy lokatę na e r BT jednostek waluty B przy stopie r B. W momencie T v) zamykamy lokatę otrzymując 1 jednostkę waluty B vi) sprzedajemy 1 jednostkę waluty B za F(0,T ) jednostek waluty A zamykając kontrakt terminowy, v) spłacamy kredyt wydając e r A T e r BT P(0) = P(0)e (r A r B )T w walucie A Nasz stan posiadania netto po tych operacjach, to F(0,T ) P(0)e (r A r B) T > 0. Przypadek F(0,T ) < P(0)e (r A r B )T. W momencie 0 i) zajmujemy długą pozycją na kontrakcie terminowym na 1 jednostkę waluty B, ii) bierzemy pożyczkę e r BT waluty B przy stopie r B, iii) wymieniamy pożyczoną walutę B na walutę A otrzymując P(0)e r BT waluty A, iv) lokujemy otrzymane środki P(0)e r BT waluty A przy stopie r A. W momencie T v) zamykamy lokatę w walucie A otrzymując P(0)e (r A r B )T, vi) za część środków z lokaty kupujemy jednostkę waluty B za F(0,T ) jednostek waluty A zamykając kontrakt terminowy, vii) spłacamy pożyczkę w walucie B wydając zakupioną jednostkę waluty A.Po tych operacjach nasz stan posiadania to P(0)e (r A r B) T F(0,T ) > 0 w walucie A. 9

10 Największą wadą kontraktów forward jest brak mechanizmów zabezpieczających wywiązanie się obydwu stron z ze zobowiązań wynikających z kontraktu. Nie mają tej wady Kontrakty futures. Są na tyle podobne do kontraktów forward, że najłatwiej je opisać podając różnice. 1. Standaryzacja. Występują w seriach. Kontrakty danej serii są identyczne (takie samo: dobro bazowe, data rozliczenia, warunki rozliczenia). Transakcje zawierane są przez rynek (giełdę). Rozliczane przez pośrednika (izbę rozliczeniową). 2. Wyceniane i handlowane codziennie (przez giełdę) 3. Okresowe (codzienne) rozliczenie zysku/straty z pozycji na kontrakcie (przez brokerów i izbę rozliczeniową) za pomocą depozytu zabezpieczającego. 10

11 Dokładniej: Jak zwykle niech τ będzie krokiem czasu. Będziemy pisać S(n) w miejsce S(nτ) (cena dobra bazowego w momencie τ) i f(n, T ) w miejsce f(nτ, T ) (wartość w momencie nτ kontraktu, którego rozliczenie końcowe przypada na moment T. Cena f(n, T ) jest ustalana przez rynek w powiązaniu z ceną dobra bazowego S(n). Końcowe rozliczenie następuje po cenie f(t, T ) = S(T ). Przedtem w każdym momencie n strona zajmująca długą pozycję otrzymuje od strony zajmującej pozycję krótką kwotę f(n, T ) f(n 1,T ) (płaci jeśli różnica jest ujemna) marking to market. W każdym momencie n mogą powstawać nowe kontrakty danej serii jeśli tylko znajdą się dwie strony, które zaakceptują bieżącą cenę. Rozliczeniem płatności zajmują się brokerzy i izby rozliczeniowe. Strona która chce zająć pozycję na kontrakcie futures wpłaca do brokera depozyt zabezpieczający (wstępny) w kwocie będącej określonym procentem ceny kontraktu. Ten depozyt powiększają lub pomniejszają w/w płatności. W momencie kiedy wartość depozytu spadnie poniżej wymaganej wartości tzw. depozytu właściwego (również określonego procentem ceny kontraktu, ale mniejszym od depozytu wstępnego) strona musi uzupełnić depozyt do aktualnej wysokości depozytu wstępnego. 11

12 Przykład. Załóżmy, że depozyt wstępny to 10% ceny kontraktu, a depozyt właściwy, to 5% ceny kontraktu. Historia rachunku depozytowego dla pozycji długiej mogłaby wyglądać następująco: n S(n) f(n,t) CF Depozyt1 wpł/wypł Depozyt Otwarcie 0-10,7 10, ,7 1, Zamknięcie -4 12

13 Przykład. Załóżmy, że depozyt wstępny to 10% ceny kontraktu, a depozyt właściwy, to 5% ceny kontraktu. Historia rachunku depozytowego dla pozycji długiej mogłaby wyglądać następująco: n S(n) f(n,t) CF Depozyt1 wpł/wypł Depozyt Otwarcie 0-10,7 10, ,7 1,8 10, ,9 0, ,4 10, ,4 9,4 0 Zamknięcie -4 13

14 Wycena kontraktów futures: Twierdzenie Jeśli stopa procentowa jest stała to: f (t, T ) = F(t, T ). Dowód. Wystarczy wykazać, że f (0,T ) = F(0,T ). Dla uproszczenia załóżmy, że dla kontraktu futures operacja marking to market jest wykonywana jedynie dwukrotnie w momentach t 1 i t 2, gdzie 0 < t 1 < t 2 < T. Pokażemy, że strategię polegającą na: W momencie 0 i) otwarciu pozycji długiej na kontrakcie forward oraz ii) ulokowaniu kwoty e rt F(0,T ) wg stopy wolnej od ryzyka i w momencie T iii) zakupu akcji S za F(0,T ) i iv) sprzedaży akcji S za S(T ), (czyli w momencie 0 wydajemy e rt F(0,T ) i momencie T otrzymujemy S(T )) można zreplikować przy pomocy kontraktu futures. 14

15 Ta strategia replikująca wygląda następująco: w momencie 0: i) ulokowanie kwoty e rt f (0,T ) wg stopy wolnej od ryzyka ii) otwarcie długiej pozycji na części kontraktu futures w wysokości e r(t t 1) kontraktu jednostkowego w momencie t 1 iii) otrzymujemy e r (T t 1)( f(t 1, T) f (0,T )) z tytułu marking to market (płacimy jeśli kwota jest ujemna) iv) lokujemy (lub pożyczamy) kwotę z punktu iii) v) zwiększamy pozycję do e r(t t 2) kontaktu jednostkowego. (na koncie wolnym od ryzyka mamy po tych operacjach e r (T t 1)f(t 1, T) ) w momencie t 2 vi) otrzymujemy e r (T t 2)( f(t 2, T) f(t 1, T)) z tytułu marking to market (płacimy jeśli kwota jest ujemna) vii) ) lokujemy (lub pożyczamy) kwotę z punktu vi) viii) zwiększamy długą pozycję na kontrakcie futures do 1 w momencie T ix) zamykamy lokatę otrzymując f(t 2, T) x) zamykamy pozycję na kontrakcie futures otrzymując S(T ) f(t 2, T). Podsumowując: W momencie 0 zainwestowaliśmy e rt f (0,T ), a zamykając inwestycję w momencie T otrzymujemy S(T ). Argument braku możliwości arbitrażu pokazuje, że zainwestowane kwoty muszą być równe: e rt f (0,T ) = e rt F(0,T ). 15

16 Strategie zabezpieczające (hedging) z użyciem kontraktów futures Załóżmy, że mamy sprzedać akcję S za 3 miesiące i chcielibyśmy się zabezpieczyć przed zmianą ceny. W tym celu otwieramy krótką pozycję na kontrakcie futures na tę akcję wygasającym za 3 miesiące. Załóżmy, że stopa procentowa (kapitalizacja ciągłą) wynosi 8% i że kontrakty są marked to market co miesiąc. Poniżej dwa scenariusze. Rachunki nie obejmują kosztu utrzymania depozytu zabezpieczającego. Spadek kursu akcji: n S(n) f(n,t) m2m Odsetki: , ,33 1,69 0, ,68-1,35-0, ,68 0 Total: 6,02 0,01 Wzrost kursu akcji: Wynik: 102,03 n S(n) f(n,t) m2m Odsetki: , ,33 1,69 0, ,71-6,38-0, ,71 0 Total: -1,98-0,02 Wynik:

17 Dla odmiany załóżmy że chcemy kupić akcję S za 2 miesiące, a dostępne są jedynie 3 miesięczne kontrakty futures na tę akcję. Otwieramy długą pozycję na kontrakcie. Po dwóch miesiącach zamykamy pozycję i kupujemy akcję. Obliczenia przy tych samych danych wyglądają teraz tak: Wzrost kursu akcji: S(n) f(n,t) m2m Odsetki , ,33-1,69-0, ,71 6,38 0 Total: 4,69-0,01 Wynik: 102,03 Spadek kursu akcji: S(n) f(n,t) m2m Odsetki , ,33-1,69-0, ,64-3,69 0 Total: -5,38-0,01 Wynik: 102,03 17

18 Różnica miedzy ceną spot S(t) i ceną kontraktu futures (lub forward) nazywana jest bazą: b(t, T ) = S(t) f(t, T ) Baza dąży do zera, gdy t T. Gdy stopa procentowa jest stała to b(t, T ) = S(t)(1 e r(t t) ) (zatem < 0). Przypuśćmy, że w momencie 0 chcemy zabezpieczyć cenę sprzedaży dobra bazowego S w momencie t poprzez otwarcie krótkiej pozycji na kontrakcie futures na dobro S wygasającym w momencie T, 0 < t < T. Jeśli w momencie t sprzedamy S i zamkniemy pozycję na kontrakcie, to otrzymamy S(t)+ f(0,t ) f(t, T ) = f(0,t ) + b(t, T ). Wartość f(0,t ) jest znana w momencie 0, więc cała niepewność odnosi się do nieznanej w momencie 0 wartości bazy w momencie t. Ta z kolei wynika z niepewności co do ryzyka stóp procentowych. 18

19 Aby zminimalizować to ryzyko zmodyzikujmy nieco sposób zabezpieczenie otwierając krótką pozycję nie na jednym, ale na N kontraktach terminowych futures, gdzie N jest tak dobrane, aby ryzyko bazy było jak najmniejsze. Baza: b N (t, T) = S(t) Nf(t, T) Wariancja bazy (chcemy ją zminimalizować): To wyrażenie osiąga wartości minimalną, gdy Var(b N (t, T)) = σ 2 S(t) + N2 σ 2 f(t,t) 2Nσ S(t) σ f(t,t) ρ S(t),f(t,T) N = ρ S(t),f(t,T) σ S(t) σ f(t,t). Jest to tzw. opitmal hedge ratio Gdy stopa procentowa jest stała i równa r, to f(t, T) = S(t)e r(t t), skąd ρ S(t),f(t,T) = 1 oraz σ f(t,t) = e r(t t) σ S(t). Dlatego N = e r(t t). Najbardziej popularnymi i szeroko stosowanymi na rynkach kapitałowych kontraktami futures są kontrakty na indeksy giełdowe. 19