NUMERYCZNE ALGORYTMY PRZECHOWYWANIA MACIERZY RZADKICH
|
|
- Henryka Julia Komorowska
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Scientific Bulletin of Che lm Section of Mathematics and Computer Science No 1/2008 NUMERYCZNE ALGORYTMY PRZECHOWYWANIA MACIERZY RZADKICH RADOSŁAW MATUSIK Katedra Analizy Matematycznej i Teorii Sterowania, Wydział Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Łódzki Streszczenie W artykule przedstawiono różne typy macierzy rzadkich, a także wybrane numeryczne algorytmy przechowywania tych macierzy Każdy z algorytmów omówiony został na przykładzie W artykule wskazano również obszary zastosowań każdego ze schematów, a także korzyści wynikające z przechowywania elementów macierzy rzadkich za pomocą tych algorytmów 1 Wstęp Przez macierz rzadką będziemy rozumieć macierz, której tylko nieznaczna część elementów jest różna od zera Macierze tego typu mają szerokie zastosowanie w praktyce, min w teorii sieci elektrycznych, teorii grafów, genetyce, czy też socjologii Istnieje wiele numerycznych algorytmów przechowywania w pamięci komputera macierzy rzadkich Powstały one w celu zaoszczędzenia pamięci, a także ograniczenia liczby wykonywanych na nich operacji Pozwalają min na rozwiązywanie układów równań liniowych przy mniejszej liczbie działań arytmetycznych, niż w przypadku układu o tej samej liczbie równań z macierzą pełną, umożliwiają wyznaczenie rozwiązania z większą precyzją obliczeń, a także pozwalają zaoszczędzić pamięć maszyny wykonującej obliczenia Kilka algorytmów przechowywania macierzy rzadkich zostało omówionych w dalszej części artykułu 2 Przykłady macierzy rzadkich Do macierzy rzadkich zaliczamy następujące typy macierzy o charakterystycznej strukturze: a) diagonalne: elementy niezerowe znajdują się na głównej przekątnej x x x 0, x 225
2 226 RADOSŁAW MATUSIK b) trójkątne: elementy niezerowe znajdują się pod główną przekątną (macierz trójkątna dolna) lub nad główną przekątną (macierz trójkątna górna) x x x x x x x x x x x x x 0 lub 0 0 x x, x x x x x x c) wstęgowe: α ij = 0, jeśli i j>βlub j i>γdla pewnych β i γ, α k,k β 0 dla chociaż jednej wartości k, α k,k+γ 0 dla chociaż jednej wartości k Szerokość wstęgi (czyli maksymalna liczba elementów niezerowych w wierszu) takiej macierzy wynosi w = β + γ + 1 Macierz wstęgowa jest symetryczna, gdy γ = β, α ij = 0 dla i j>1 oraz j i>2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x Widać, że szerokość wstęgi wynosi w tym przypadku w =1+2+1=4 d) trójdiagonalne (szczególny przypadek macierzy wstęgowej, gdy β = γ = 1): elementy niezerowe występują symetrycznie po obu stronach głównej przekątnej x x x x x x x x x x x x x Do macierzy rzadkich zaliczamy nie tylko te o specjalnej strukturze, jak w powyższych przykładach Za macierz rzadką uznaje się każdą macierz, w której liczba elementów zerowych zdecydowanie przewyższa liczbę elementów niezerowych, np 0 0 x 0 x x x x Numeryczne algorytmy przechowywania macierzy rzadkich Bardzo często macierze rzadkie mają duże rozmiary i przechowywanie wszystkich elementów w tradycyjny sposób w pamięci komputera, tj w postaci jednej tablicy, jest nieefektywne Dlatego stosuje się różne metody, których celem jest zoptymalizowanie zapisu takich macierzy W ogólnym przypadku algorytmy przechowywania macierzy rzadkich nie zapamiętują położenia elementów zerowych
3 NUMERYCZNE ALGORYTMY PRZECHOWYWANIA MACIERZY RZADKICH 227 a) Schemat diagonalny Rozważmy następującą macierz: W przypadku schematu diagonalnego elementy niezerowe przechowywane są w tablicy AN o wymiarze n β + 1, gdzie n jest wymiarem macierzy wejściowej, natomiast β = max β i jest tzw półszerokością wstęgi, przy założeniu, że na lewo od głównej i=1,2,,n przekątnej znajduje się element niezerowy Otrzymujemy zatem: β 1 =0,β 2 =0,β 3 =1, β 4 =2,β 5 =1,β 6 = 1 oraz β 7 = 2, stąd β = 2 Zatem macierz AN ma wymiar n β +1=7 2+1=7 3 i przyjmuje postać: b) Schemat powłokowy Rozważmy ponownie macierz A z poprzedniego przykładu W przypadku schematu powłokowego tworzy się dwie jednowymiarowe tablice: AN - w której przechowywane są wierszami wszystkie elementy niezerowe (ze względu na symetrię macierzy w każdym wierszu zapamiętywane są elementy maksymalnie do głównej przekątnej) AN = [ ], IA - w której przechowywane są wskaźniki do elementów znajdujących się na głównej przekątnej Zauważmy, że elementom znajdującym się na głównej przekątnej odpowiadają następujące pozycje w tablicy AN: 1 1, 2 2, 5 4, 6 7, 8 9, oraz Stąd I [ ] c) Schemat współrzędnych Rozważmy następującą macierz:
4 228 RADOSŁAW MATUSIK W przypadku schematu współrzędnych tworzy się trzy jednowymiarowe tablice: AN - w której przechowywane są wierszami wszystkie elementy niezerowe AN = [ ], IA - w której przechowywane są indeksy wierszy, w których znajdują się elementy niezerowe IN = [ ], JA - w której przechowywane są wierszami indeksy kolumn, w których znajdują się elementy niezerowe J [ ] d) Schemat rozrzedzony wierszowy Rozważmy następującą macierz: W przypadku schematu rozrzedzonego wierszowego tworzy się trzy jednowymiarowe tablice: AN - w której przechowywane są wierszami wszystkie elementy niezerowe AN = [ ], JA - w której przechowywane są wierszami wskaźniki do indeksów kolumnowych, pod którymi znajdują się elementy niezerowe Zauważmy, że niezerowe elementy znajdują się kolejno w kolumnie trzeciej, czwartej, ósmej (w pierwszym wierszu) oraz szóstej i ósmej (w wierszu trzecim) Stąd J [ ], IA - w której przechowywane są wierszami wskaźniki do danych zawartych w tablicach AN i JA wskazujące pozycje pierwszych elementów niezerowych w każdym wierszu I [ ] e) Kompresja Shermana Rozważmy macierz:
5 NUMERYCZNE ALGORYTMY PRZECHOWYWANIA MACIERZY RZADKICH 229 W przypadku kompresji Shermana tworzy się pięć jednowymiarowych tablic: AD - w której przechowywane są elementy znajdujące się na głównej przekątnej AD = [ ], AN - w której przechowywane są wierszami wszystkie elementy niezerowe macierzy trójkątnej (oczywiście oprócz głównej przekątnej) AN = [ ], IA - w której przechowywane są wskaźniki do danych zawartych w tablicach AD i AN wskazujące pozycje pierwszych elementów niezerowych w każdym wierszu (jak w przypadku schematu rozrzedzonego wierszowego) Zauważmy, że wypełnianie tablicy rozpoczynamy od pierwszego elementu, znajdującego się na głównej przekątnej W pierwszym wierszu mamy trzy elementy niezerowe, stąd = 4 W drugim wierszu mamy dwa elementy niezerowe, stąd = 6 W trzecim wierszu elementów niezerowych jest 2 stąd 6+2 = 8 Łatwo widać, że tablica IA zawiera następujące wskaźniki: I [ ], JA - w której przechowywane są indeksy kolumnowe do elementów niezerowych wykorzystujące powtarzalność struktury Zauważmy, że w pierwszym wierszu elementy niezerowe znajdują się w kolumnach 3, 7 i 10, w drugim wierszu w kolumnach 6 i 9 Wiersze trzeci, czwarty i piąty pomijamy ze względu na powtarzalność struktury W wierszu szóstym elementy niezerowe znajdują się w kolumnach 8, 9 i 10, w wierszu siódmym w8i9wierszósmypomijamy także ze względu na powtarzalność W wierszu dziewiątym mamy jeden element niezerowy znajdujący się w kolumnie 10 Stąd tablica JA przyjmuje postać: J [ ], IJ - w której przechowywane są wskaźniki do elementów znajdujących się w tablicy JA umożliwiające wybór indeksów kolumnowych IJ = [ ] f) Schemat Knutha Rozważmy macierz: W przypadku schematu Knutha tworzy się siedem jednowymiarowych tablic: AN - w której wierszami przechowywane są kolejne niezerowe elementy AN = [ ], I - w której przechowywane są indeksy wierszowe do elementów niezerowych Zauważmy, że w pierwszym wierszu znajduje się jeden element niezerowy, w drugim trzy, w trzecim jeden i w wierszu czwartym dwa elementy Stąd: I = [ ],
6 230 RADOSŁAW MATUSIK J - w której przechowywane są (wierszami) indeksy kolumnowe do elementów niezerowych Zauważmy, że w pierwszym wierszu element niezerowy znajduje się w drugiej kolumnie, w drugim wierszu elementy niezerowe znajdują się w kolumnie pierwszej, drugiej i czwartej, w trzecim wierszu w kolumnie pierwszej i w wierszu czwartym w kolumnie drugiej i czwartej Stąd: J = [ ] NR - w której przechowywane są informacje o następnym elemencie wiersza Zero oznacza, że w danym wierszu oprócz danego elementu niezerowego nie ma innych elementów niezerowych NR = [ ], NC - w której przechowywane są informacje o następnym elemencie kolumny Znaczenie 0 jest analogiczne, jak w opisie tablicy NR NC = [ ], JR - w której przechowywane są informacje o pierwszym niezerowym elemencie danego wiersza Zauważmy, że licząc od pierwszego elementu niezerowego, pierwsze elementy niezerowe w danym wierszu zaczynają się od pozycji 2 (jeden w wierszu pierwszym plus jeden w drugim), 5 (dwa wcześniejsze plus trzy w trzecim wierszu) i 6 (pięć wcześniejszych plus jeden w wierszu czwartym) Stąd: JR = [ ], JC - w której przechowywane są informacje o pierwszym niezerowym elemencie danej kolumny Zauważmy, że pierwsze elementy niezerowe w poszczególnych kolumnach znajdują się na pozycjach 2 (w pierwszej kolumnie), 1 (w drugiej kolumnie), 0 (w kolumnie trzeciej nie ma elementów niezerowych) oraz 2 (w kolumnie czwartej) Stąd: JC = [ ] Niektóre z zaprezentowanych w niniejszym artykule algorytmów przechowywania macierzy rzadkich można zmodyfikować, np pewną modyfikacją schematu Knutha jest powszechnie znany algorytm KRM (Knutha-Rheinboldta-Mesztenyi) Różnica polega jedynie na sposobie zapamiętywania indeksów w tablicach NR oraz NC Również po drobnych modyfikacjach rozrzedzony schemat wierszowy można przedstawić jako inny algorytm - rozrzedzony schemat kolumnowy Jednak różnice między tymi algorytmami są na tyle niewielkie, że nie wymagają osobnego przedstawienia w niniejszym artykule 4 Podsumowanie W poprzednim rozdziale zaprezentowane zostały wybrane numeryczne algorytmy przechowywania macierzy rzadkich Wybór algorytmu uzależniony jest od postaci samej macierzy W przypadku macierzy symetrycznej, w której elementy niezerowe skupione są wokół głównej przekątnej należy wykorzystać schemat diagonalny, bądź powłokowy Aby przechować elementy macierzy trójkątnej (dolnej, bądź górnej) należy zastosować kompresję Shermana Bardziej uniwersalne są schematy: współrzędnych, rozrzedzony wierszowy oraz Knutha, które pozwalają na zapamiętanie macierzy rzadkich o dowolnym
7 NUMERYCZNE ALGORYTMY PRZECHOWYWANIA MACIERZY RZADKICH 231 umiejscowieniu elementów niezerowych Schemat Knutha zalecany jest w przypadku, gdy elementy danej macierzy wygenerowane zostały przez jakiś algorytm, tj w przypadku, gdy nie jest znany ani wymiar macierzy, ani ilość elementów niezerowych Rozważmy rozrzedzony schemat wierszowy i macierz z podpunktu d): Zakładamy, że na zapamiętanie elementu macierzy potrzeba 8 bajtów, natomiast na zapamiętanie wskaźnika 4 bajty Do zapamiętania wszystkich elementów macierzy A potrzeba 240 bajtów (30 elementów, każdy po 8 bajtów) Natomiast w rozrzedzonym schemacie wierszowym musimy zapamiętać: jedną tablicę zawierającą 5 elementów niezerowych (każdy po 8 bajtów), jedną tablicę zawierającą 5 wskaźników (każdy po 4 bajty) oraz jedną tablicę zawierającą 4 wskaźniki (także każdy po 4 bajty) Stąd, na zapamiętanie odpowiednich elementów i wskaźników w przypadku rozrzedzonego schematu wierszowego potrzebujemy 5 8B +5 4B +4 4B =76B Widać zatem, że zastosowanie specjalnego algorytmu do przechowywania elementów macierzy rzadkiej pozwoliło zaoszczędzić 164 bajty w pamięci komputera Warto się zastanowić, czy w każdym przypadku do zapamiętania elementów macierzy rzadkiej trzeba stosować wybrany algorytm, czy może w niektórych przypadkach taką macierz należy przechować w zwykłej tablicy, zapamiętując wszystkie jej elementy (także zerowe) Rozważmy ponownie schemat Knutha i przykładową macierz (z podpunktu f): Do zapamiętania wszystkich elementów macierzy A potrzeba 128 bajtów (16 elementów, każdy po 8 bajtów) W schemacie Knutha potrzebujemy zapamiętać: 7 elementów niezerowych, każdy po 8 bajtów, cztery siedmioelementowe tablice zawierające wskaźniki (czyli na zapamiętanie jednego wskaźnika potrzebujemy 4 bajty) oraz dwie czteroelementowe tablice (również na zapamiętanie jednego wskaźnika potrzebujemy 4 bajty) Stąd, aby przechować potrzebne elementy oraz odpowiednie wskaźniki w schemacie Knutha potrzebujemy 7 8B B B = 200B Widać, że w tym przypadku zastosowanie schematu Knutha nie jest korzystne, gdyż na zapamiętanie elementów niezerowych i odpowiednich wskaźników potrzebujemy o 72 bajty więcej, niż w przypadku zapamiętania wszystkich elementów macierzy A (także zerowych) Jest to spowodowane małym wymiarem macierzy oraz niewielką liczbą elementów zerowych Podsumowując, w przypadku macierzy o bardzo dużych wymiarach, zawierających jednocześnie bardzo dużą liczbę elementów zerowych, należy stosować wybrany algorytm przechowywania macierzy rzadkiej (odpowiednio do typu macierzy) Pozwoli on na zaoszczędzenie pamięci, a w przypadku wykonywania na macierzy dodatkowych operacji, ograniczy ich liczbę Jednak, jak pokazuje powyższy przykład, nie zawsze korzystne jest stosowanie specjalnego algorytmu do zapamiętania elementów macierzy rzadkiej
8 232 RADOSŁAW MATUSIK Bibliografia [1] Bjoerck, Dahlquist G, Metody numeryczne, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1987 [2] Fortuna Z, Macukow B, Wąsowski J, Metody numeryczne, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 1982 [3] Śmietański M, Wykłady z algorytmów numerycznych - skrypt, 2006 NUMERICAL ALGORITHMS STORING SPARSE MATRICES RADOSŁAW MATUSIK Abstract The subject of article concerns the various types of sparse matrices and selected numerical algorithms keeping these matrices Each of these algorithms was discussed on example This article pointed out areas of adoptions each of schemas and profits come off keeping elements of sparse matrices by means of these algorithms
Macierze. Rozdział Działania na macierzach
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i, j) (i 1,..., n; j 1,..., m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F R lub F C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy
Bardziej szczegółowomacierze jednostkowe (identyczności) macierze diagonalne, które na przekątnej mają same
1 Macierz definicja i zapis Macierzą wymiaru m na n nazywamy tabelę a 11 a 1n A = a m1 a mn złożoną z liczb (rzeczywistych lub zespolonych) o m wierszach i n kolumnach (zamiennie będziemy też czasem mówili,
Bardziej szczegółowoRozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i,j) (i = 1,,n;j = 1,,m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F = R lub F = C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy F
Bardziej szczegółowoa 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...
Wykład 15 Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem i niech α 1, α 2,, α n, β K. Równanie: α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n = β z niewiadomymi x 1, x 2,, x n nazywamy równaniem liniowym. Układ: a 21 x
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych
Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K
Bardziej szczegółowodr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;
Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia
Bardziej szczegółowoPODSTAWY AUTOMATYKI. MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.
WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI I AUTOMATYKI Katedra Inżynierii Systemów Sterowania PODSTAWY AUTOMATYKI MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.
Bardziej szczegółowoMACIERZE. Sobiesiak Łukasz Wilczyńska Małgorzata
MACIERZE Sobiesiak Łukasz Wilczyńska Małgorzata Podstawowe pojęcia dotyczące macierzy Nie bez przyczyny zaczynamy od pojęcia macierzy, które jest niezwykle przydatne we wszystkich zastosowaniach, obliczeniach
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne
Wykład 10 Rozkład LU i rozwiązywanie układów równań liniowych Niech będzie dany układ równań liniowych postaci Ax = b Załóżmy, że istnieją macierze L (trójkątna dolna) i U (trójkątna górna), takie że macierz
Bardziej szczegółowoAnaliza numeryczna Lista nr 3 (ćwiczenia) x x 2 n x.
Analiza numeryczna Lista nr 3 (ćwiczenia) Sprawdzić że macierz ma wartości własne2+ 222 2 2 Niechx R n Udowodnić że 2 0 0 x x 2 n x 3 NiechA R n n będzie macierzą symetryczną Wiadomo że wówczas istnieje
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. Janusz Szwabiński. Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/50
Metody numeryczne Układy równań liniowych, część II Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/50 Układy równań liniowych, część II 1. Iteracyjne poprawianie
Bardziej szczegółowo2. Układy równań liniowych
2. Układy równań liniowych Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2017/2018 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 1 /
Bardziej szczegółowoWykład 14. Elementy algebry macierzy
Wykład 14 Elementy algebry macierzy dr Mariusz Grządziel 26 stycznia 2009 Układ równań z dwoma niewiadomymi Rozważmy układ równań z dwoma niewiadomymi: a 11 x + a 12 y = h 1 a 21 x + a 22 y = h 2 a 11,
Bardziej szczegółowoObliczenia naukowe Wykład nr 8
Obliczenia naukowe Wykład nr 8 Paweł Zieliński Katedra Informatyki, Wydział Podstawowych Problemów Techniki, Politechnika Wrocławska Literatura Literatura podstawowa [] D. Kincaid, W. Cheney, Analiza numeryczna,
Bardziej szczegółowoTreść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.
. Metoda eliminacji. Treść wykładu i ich macierze... . Metoda eliminacji. Ogólna postać układu Układ m równań liniowych o n niewiadomych x 1, x 2,..., x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne
Wykład 11 Ogólna postać metody iteracyjnej Definicja 11.1. (metoda iteracyjna rozwiązywania układów równań) Metodą iteracyjną rozwiązywania { układów równań liniowych nazywamy ciąg wektorów zdefiniowany
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna i algebra liniowa Macierze
Analiza matematyczna i algebra liniowa Macierze Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej email: imię.nazwisko@cs.put.poznan.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936 konsultacje: poniedziałek
Bardziej szczegółowoAlgebra WYKŁAD 3 ALGEBRA 1
Algebra WYKŁAD 3 ALGEBRA 1 Liczby zespolone Postać wykładnicza liczby zespolonej Niech e oznacza stałą Eulera Definicja Równość e i cos isin nazywamy wzorem Eulera. ALGEBRA 2 Liczby zespolone Każdą liczbę
Bardziej szczegółowo, A T = A + B = [a ij + b ij ].
1 Macierze Jeżeli każdej uporządkowanej parze liczb naturalnych (i, j), 1 i m, 1 j n jest przyporządkowana dokładnie jedna liczba a ij, to mówimy, że jest określona macierz prostokątna A = a ij typu m
Bardziej szczegółowoALGEBRA LINIOWA. Wykład 2. Analityka gospodarcza, sem. 1. Wydział Zarządzania i Ekonomii Politechnika Gdańska
ALGEBRA LINIOWA Wykład 2 Analityka gospodarcza, sem 1 Wydział Zarządzania i Ekonomii Politechnika Gdańska dr inż Natalia Jarzębkowska, CNMiKnO semzimowy 2018/2019 2/17 Macierze Niech M = {1, 2,, m} i N
Bardziej szczegółowoMet Me ody numer yczne Wykład ykład Dr inż. Mic hał ha Łanc Łan zon Instyt Ins ut Elektr Elektr echn iki echn i Elektrot Elektr echn olo echn
Metody numeryczne Wykład 3 Dr inż. Michał Łanczont Instytut Elektrotechniki i Elektrotechnologii E419, tel. 4293, m.lanczont@pollub.pl, http://m.lanczont.pollub.pl Zakres wykładu Pojęcia podstawowe Algebra
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne Wykład 4
Metody numeryczne Wykład 4 Dr inż. Michał Łanczont Instytut Elektrotechniki i Elektrotechnologii E419, tel. 4293, m.lanczont@pollub.pl, http://m.lanczont.pollub.pl Zakres wykładu Metody skończone rozwiązywania
Bardziej szczegółowoKrótkie wprowadzenie do macierzy i wyznaczników
Radosław Marczuk Krótkie wprowadzenie do macierzy i wyznaczników 12 listopada 2005 1. Macierze Macierzą nazywamy układ liczb(rzeczywistych, bądź zespolonych), funkcji, innych macierzy w postaci: A a 11
Bardziej szczegółowoMacierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji
Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji I LO im. F. Ceynowy w Świeciu Radosław Rudnicki joix@mat.uni.torun.pl 17.03.2009 r. Typeset by FoilTEX Streszczenie Celem wykładu jest wprowadzenie
Bardziej szczegółowoMetoda eliminacji Gaussa. Autorzy: Michał Góra
Metoda eliminacji Gaussa Autorzy: Michał Góra 9 Metoda eliminacji Gaussa Autor: Michał Góra Przedstawiony poniżej sposób rozwiązywania układów równań liniowych jest pewnym uproszczeniem algorytmu zwanego
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna i algebra liniowa Macierze
Analiza matematyczna i algebra liniowa Macierze Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej email: imię.nazwisko@cs.put.poznan.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936 konsultacje: poniedziałek
Bardziej szczegółowoUKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać układu równań liniowych Układ liniowych równań algebraicznych
Bardziej szczegółowo15. Macierze. Definicja Macierzy. Definicja Delty Kroneckera. Definicja Macierzy Kwadratowej. Definicja Macierzy Jednostkowej
15. Macierze Definicja Macierzy. Dla danego ciała F i dla danych m, n IN funkcję A : {1,...,m} {1,...,n} F nazywamy macierzą m n ( macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)
Bardziej szczegółowoObliczenia iteracyjne
Lekcja Strona z Obliczenia iteracyjne Zmienne iteracyjne (wyliczeniowe) Obliczenia iteracyjne wymagają zdefiniowania specjalnej zmiennej nazywanej iteracyjną lub wyliczeniową. Zmienną iteracyjną od zwykłej
Bardziej szczegółowoMacierze Lekcja I: Wprowadzenie
Macierze Lekcja I: Wprowadzenie Wydział Matematyki Politechniki Wrocławskiej Definicja Niech dane będą dwie liczby naturalne dodatnie m i n. Układ m n liczb ułożonych w prostokątną tablicę złożoną z m
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych
Układy równań liniowych ozważmy układ n równań liniowych o współczynnikach a ij z n niewiadomymi i : a + a +... + an n d a a an d a + a +... + a n n d a a a n d an + an +... + ann n d n an an a nn n d
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa II. Lista 1. 1 u w 0 1 v 0 0 1
Algebra liniowa II Lista Zadanie Udowodnić, że jeśli B b ij jest macierzą górnotrójkątną o rozmiarze m m, to jej wyznacznik jest równy iloczynowi elementów leżących na głównej przekątnej: det B b b b mm
Bardziej szczegółowoMetoda eliminacji Gaussa
Metoda eliminacji Gaussa Rysunek 3. Rysunek 4. Rozpoczynamy od pierwszego wiersza macierzy opisującej nasz układ równań (patrz Rys.3). Zakładając, że element a 11 jest niezerowy (jeśli jest, to niezbędny
Bardziej szczegółowo3. Wykład Układy równań liniowych.
31 Układy równań liniowych 3 Wykład 3 Definicja 31 Niech F będzie ciałem Układem m równań liniowych o niewiadomych x 1,, x n, m, n N, o współczynnikach z ciała F nazywamy układ równań postaci: x 1 + +
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do metod numerycznych Wykład 3 Metody algebry liniowej I Wektory i macierze
Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 3 Metody algebry liniowej I Wektory i macierze Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Katedra Informatyki Stosowanej Spis treści Spis treści 1 Wektory
Bardziej szczegółowo5. Rozwiązywanie układów równań liniowych
5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a
Bardziej szczegółowoPostać Jordana macierzy
Rozdział 8 Postać Jordana macierzy Niech F = R lub F = C Macierz J r λ) F r r postaci λ 1 0 0 0 λ 1 J r λ) = 0 λ 1 0 0 λ gdzie λ F nazywamy klatką Jordana stopnia r Oczywiście J 1 λ) = [λ Definicja 81
Bardziej szczegółowoRozwiązania, seria 5.
Rozwiązania, seria 5. 26 listopada 2012 Zadanie 1. Zbadaj, dla jakich wartości parametru r R wektor (r, r, 1) lin{(2, r, r), (1, 2, 2)} R 3? Rozwiązanie. Załóżmy, że (r, r, 1) lin{(2, r, r), (1, 2, 2)}.
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie układów równań liniowych metody dokładne Materiały pomocnicze do ćwiczeń z metod numerycznych
Rozwiązywanie układów równań liniowych metody dokładne Materiały pomocnicze do ćwiczeń z metod numerycznych Piotr Modliński Wydział Geodezji i Kartografii PW 13 stycznia 2012 P. Modliński, GiK PW Rozw.
Bardziej szczegółowoAnaliza korespondencji
Analiza korespondencji Kiedy stosujemy? 2 W wielu badaniach mamy do czynienia ze zmiennymi jakościowymi (nominalne i porządkowe) typu np.: płeć, wykształcenie, status palenia. Punktem wyjścia do analizy
Bardziej szczegółowoAlgebra. macierzy brzegowych z zastosowaniami. Micha Kolupa Zbigniew Âleszyƒski
Algebra macierzy brzegowych z zastosowaniami Micha Kolupa Zbigniew Âleszyƒski Algebra macierzy brzegowych z zastosowaniami Algebra macierzy brzegowych z zastosowaniami Micha Kolupa Zbigniew Âleszyƒski
Bardziej szczegółowoO MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ
O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ Problem Jak rozwiązać podany układ równań? 2x + 5y 8z = 8 4x + 3y z = 2x + 3y 5z = 7 x + 8y 7z = Definicja Równanie postaci a x + a 2 x 2 + + a n x n = b gdzie a, a 2, a
Bardziej szczegółowoNumeryczna algebra liniowa. Krzysztof Banaś Obliczenia Wysokiej Wydajności 1
Numeryczna algebra liniowa Krzysztof Banaś Obliczenia Wysokiej Wydajności 1 Numeryczna algebra liniowa Numeryczna algebra liniowa obejmuje szereg algorytmów dotyczących wektorów i macierzy, takich jak
Bardziej szczegółowo3. Macierze i Układy Równań Liniowych
3. Macierze i Układy Równań Liniowych Rozważamy równanie macierzowe z końcówki ostatniego wykładu ( ) 3 1 X = 4 1 ( ) 2 5 Podstawiając X = ( ) x y i wymnażając, otrzymujemy układ 2 równań liniowych 3x
Bardziej szczegółowoMathcad c.d. - Macierze, wykresy 3D, rozwiązywanie równań, pochodne i całki, animacje
Mathcad c.d. - Macierze, wykresy 3D, rozwiązywanie równań, pochodne i całki, animacje Opracował: Zbigniew Rudnicki Powtórka z poprzedniego wykładu 2 1 Dokument, regiony, klawisze: Dokument Mathcada realizuje
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych Faktoryzacja QR i SVD. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Faktoryzacja QR i SVD P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2012 Transformacja Householdera Niech u R N, u 0. Tworzymy macierz W sposób oczywisty P T = P. Obliczmy
Bardziej szczegółowodet[a 1,..., A i,..., A j,..., A n ] + det[a 1,..., ka j,..., A j,..., A n ] Dowód Udowodniliśmy, że: det[a 1,..., A i + ka j,..., A j,...
Wykład 14 Wyznacznik macierzy cd Twierdzenie 1 Niech A będzie macierzą kwadratową i niech A i, A j będą dwiema różnymi jej kolumnami, wtedy dla dowolnego k K: det[a 1,, A i,, A j,, A n ] det[a 1,, A i
Bardziej szczegółowo1 Układy równań liniowych
II Metoda Gaussa-Jordana Na wykładzie zajmujemy się układami równań liniowych, pojawi się też po raz pierwszy macierz Formalną (i porządną) teorią macierzy zajmiemy się na kolejnych wykładach Na razie
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych. Krzysztof Patan
Układy równań liniowych Krzysztof Patan Motywacje Zagadnienie kluczowe dla przetwarzania numerycznego Wiele innych zadań redukuje się do problemu rozwiązania układu równań liniowych, często o bardzo dużych
Bardziej szczegółowoEkoenergetyka Matematyka 1. Wykład 3.
Ekoenergetyka Matematyka Wykład 3 MACIERZE Macierzą wymiaru n m, gdzie nm, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z n wierszy i m kolumn: a a2 a j am a2 a22 a2 j a2m [ a ] nm A ai ai 2 a aim - i-ty wiersz
Bardziej szczegółowoMacierzowe algorytmy równoległe
Macierzowe algorytmy równoległe Zanim przedstawimy te algorytmy zapoznajmy się z metodami dekompozycji macierzy, możemy wyróżnić dwa sposoby dekompozycji macierzy: Dekompozycja paskowa - kolumnowa, wierszowa
Bardziej szczegółowoNumeryczna algebra liniowa
Numeryczna algebra liniowa Numeryczna algebra liniowa obejmuje szereg algorytmów dotyczących wektorów i macierzy, takich jak podstawowe operacje na wektorach i macierzach, a także rozwiązywanie układów
Bardziej szczegółowoWykład 5. Metoda eliminacji Gaussa
1 Wykład 5 Metoda eliminacji Gaussa Rozwiązywanie układów równań liniowych Układ równań liniowych może mieć dokładnie jedno rozwiązanie, nieskończenie wiele rozwiązań lub nie mieć rozwiązania. Metody dokładne
Bardziej szczegółowoUKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH
Transport, studia I stopnia rok akademicki 2011/2012 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Uwagi wstępne Układ liniowych równań algebraicznych można
Bardziej szczegółowo1 Macierze i wyznaczniki
1 Macierze i wyznaczniki 11 Definicje, twierdzenia, wzory 1 Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m n, gdzie m N oraz n N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn liczb rzeczywistych (zespolonych)
Bardziej szczegółowoZestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych
Zestaw - Macierz odwrotna, układy równań liniowych Przykładowe zadania z rozwiązaniami Załóżmy, że macierz jest macierzą kwadratową stopnia n. Mówimy, że macierz tego samego wymiaru jest macierzą odwrotną
Bardziej szczegółowoObliczenia naukowe Wykład nr 6
Obliczenia naukowe Wykład nr 6 Paweł Zieliński Katedra Informatyki, Wydział Podstawowych Problemów Techniki, Politechnika Wrocławska Literatura Literatura podstawowa [1] D. Kincaid, W. Cheney, Analiza
Bardziej szczegółowoUkłady równań i nierówności liniowych
Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +
Bardziej szczegółowoA A A A A A A A A n n
DODTEK NR GEBR MCIERZY W dodatku tym podamy najważniejsze definicje rachunku macierzowego i omówimy niektóre funkcje i transformacje macierzy najbardziej przydatne w zastosowaniach numerycznych a w szczególności
Bardziej szczegółowo"Bieda przeczy matematyce; gdy się ją podzieli na więcej ludzi, nie staje się mniejsza." Gabriel Laub
"Bieda przeczy matematyce; gdy się ją podzieli na więcej ludzi, nie staje się mniejsza." Gabriel Laub Def. Macierzą odwrotną do macierzy A M(n) i deta nazywamy macierz A - M(n) taką, że A A - A - A Tw.
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne II. Układy równań liniowych
Metody numeryczne II. Układy równań liniowych Oleksandr Sokolov Wydział Fizyki, Astronomii i Informatyki Stosowanej UMK (2016/17) http://fizyka.umk.pl/~osokolov/mnii/ Układ równań liniowych Układem równań
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych Faktoryzacja Cholesky ego i QR. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Faktoryzacja Cholesky ego i QR P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2018 Faktoryzacja Cholesky ego Niech A R N N będzie symetryczna, A T = A, i dodatnio określona:
Bardziej szczegółowo1 Macierz odwrotna metoda operacji elementarnych
W tej części skupimy się na macierzach kwadratowych. Zakładać będziemy, że A M(n, n) dla pewnego n N. Definicja 1. Niech A M(n, n). Wtedy macierzą odwrotną macierzy A (ozn. A 1 ) nazywamy taką macierz
Bardziej szczegółowoWektory i wartości własne
Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń W V nazywamy niezmienniczą
Bardziej szczegółowoPrzekształcenia liniowe
Przekształcenia liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 4. wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2010 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2006 1 / 7
Bardziej szczegółowoWykład 4. Informatyka Stosowana. Magdalena Alama-Bućko. 25 marca Magdalena Alama-Bućko Wykład 4 25 marca / 25
Wykład 4 Informatyka Stosowana Magdalena Alama-Bućko 25 marca 2019 Magdalena Alama-Bućko Wykład 4 25 marca 2019 1 / 25 Macierze Magdalena Alama-Bućko Wykład 4 25 marca 2019 2 / 25 Macierza wymiaru m n
Bardziej szczegółowoWykład 6. Metoda eliminacji Gaussa: Eliminacja z wyborem częściowym Eliminacja z wyborem pełnym
1 Wykład 6 Metoda eliminacji Gaussa: Eliminacja z wyborem częściowym Eliminacja z wyborem pełnym ELIMINACJA GAUSSA Z WYBOREM CZĘŚCIOWYM ELEMENTÓW PODSTAWOWYCH 2 Przy pomocy klasycznego algorytmu eliminacji
Bardziej szczegółowoObliczenia naukowe Wykład nr 2
Obliczenia naukowe Wykład nr 2 Paweł Zieliński Katedra Informatyki, Wydział Podstawowych Problemów Techniki, Politechnika Wrocławska Literatura Literatura podstawowa [1] D. Kincaid, W. Cheney, Analiza
Bardziej szczegółowoEgzamin z Metod Numerycznych ZSI, Egzamin, Gr. A
Egzamin z Metod Numerycznych ZSI, 06.2007. Egzamin, Gr. A Imię i nazwisko: Nr indeksu: Section 1. Test wyboru, max 33 pkt Zaznacz prawidziwe odpowiedzi literą T, a fałszywe N. Każda prawidłowa odpowiedź
Bardziej szczegółowoNUMERYCZNE METODY ROZWIĄZYWANIA ROWNAŃ LINIOWYCH. PRZYGOTOWAŁA: ANNA BANAŚ KoMBo, WILiŚ
NUMERYCZNE METODY ROZWIĄZYWANIA ROWNAŃ LINIOWYCH PRZYGOTOWAŁA: ANNA BANAŚ KoMBo, WILiŚ PODZIAŁ DOKŁADNE ELIMINACYJNE DEKOMPOZYCYJNE ELIMINACJI GAUSSA JORDANA GAUSSA-DOOLITTLE a GAUSSA-CROUTA CHOLESKY EGO
Bardziej szczegółowoMACIERZE I WYZNACZNIKI
Wykłady z matematyki inżynierskiej IMiF UTP 07 MACIERZ DEFINICJA. Macierza o m wierszach i n kolumnach nazywamy przyporza dkowanie każdej uporza dkowanej parze liczb naturalnych (i, j), gdzie 1 i m, 1
Bardziej szczegółowoTreści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Literatura. Terminy wykładów i ćwiczeń. Warunki zaliczenia. tnij.org/ktrabka
Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Elementy algebry liniowej. Macierze i wyznaczniki. Ciągi liczbowe, granica ciągu i granica funkcji, rachunek granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość
Bardziej szczegółowoWyznaczniki. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 6. Wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2013
Wyznaczniki Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 6. Wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2013 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2013 1 / 13 Terminologia
Bardziej szczegółowoDB Algebra liniowa semestr zimowy 2018
DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018 SPIS TREŚCI Teoria oraz większość zadań w niniejszym skrypcie zostały opracowane na podstawie książek: 1 G Banaszak, W Gajda, Elementy algebry liniowej cz I, Wydawnictwo
Bardziej szczegółowoWektory i wartości własne
Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń
Bardziej szczegółowoWartości i wektory własne
Dość często przy rozwiązywaniu problemów naukowych czy technicznych pojawia się konieczność rozwiązania dość specyficznego układu równań: Zależnego od n nieznanych zmiennych i pewnego parametru. Rozwiązaniem
Bardziej szczegółowoProjekt 6: Równanie Poissona - rozwiązanie metodą algebraiczną.
Projekt 6: Równanie Poissona - rozwiązanie metodą algebraiczną. Tomasz Chwiej 9 sierpnia 18 1 Wstęp 1.1 Dyskretyzacja n y V V 1 V 3 1 j= i= 1 V 4 n x Rysunek 1: Geometria układu i schemat siatki obliczeniowej
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne Technika obliczeniowa i symulacyjna Sem. 2, EiT, 2014/2015
Metody numeryczne Technika obliczeniowa i symulacyjna Sem. 2, EiT, 2014/2015 1 Metody numeryczne Dział matematyki Metody rozwiązywania problemów matematycznych za pomocą operacji na liczbach. Otrzymywane
Bardziej szczegółowoProcesy stochastyczne WYKŁAD 2-3. Łańcuchy Markowa. Łańcuchy Markowa to procesy "bez pamięci" w których czas i stany są zbiorami dyskretnymi.
Procesy stochastyczne WYKŁAD 2-3 Łańcuchy Markowa Łańcuchy Markowa to procesy "bez pamięci" w których czas i stany są zbiorami dyskretnymi. Przykład Symetryczne błądzenie przypadkowe na prostej. 1 2 Łańcuchem
Bardziej szczegółowoPraca domowa - seria 6
Praca domowa - seria 6 28 grudnia 2012 Zadanie 1. Znajdź bazę jądra i obrazu przekształcenia liniowego φ : R 4 wzorem: R 3 danego φ(x 1, x 2, x 3, x 4 ) = (x 1 +2x 2 x 3 +3x 4, x 1 +x 2 +2x 3 +x 4, 2x
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do Mathcada 1
Wprowadzenie do Mathcada Ćwiczenie. - Badanie zmienności funkcji kwadratowej Ćwiczenie. pokazuje krok po kroku tworzenie prostego dokumentu w Mathcadzie. Dokument ten składa się z następujących elementów:.
Bardziej szczegółowo1 Wartości własne oraz wektory własne macierzy
Rozwiązania zadania umieszczonego na końcu poniższych notatek proszę przynieść na kartkach Proszę o staranne i formalne uzasadnienie odpowiedzi Za zadanie można uzyskać do 6 punktów (jeżeli przyniesione
Bardziej szczegółowoProgramowanie dynamiczne
Programowanie dynamiczne Ciąg Fibonacciego fib(0)=1 fib(1)=1 fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2), gdzie n 2 Elementy tego ciągu stanowią liczby naturalne tworzące ciąg o takiej własności, że kolejny wyraz (z wyjątkiem
Bardziej szczegółowo13 Układy równań liniowych
13 Układy równań liniowych Definicja 13.1 Niech m, n N. Układem równań liniowych nad ciałem F m równaniach i n niewiadomych x 1, x 2,..., x n nazywamy koniunkcję równań postaci a 11 x 1 + a 12 x 2 +...
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych
Układy równań liniowych Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 1. wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 1 / 1
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie układów równań liniowych
Rozwiązywanie układów równań liniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Jeśli znamy macierz odwrotną A 1, to możęmy znaleźć rozwiązanie układu Ax = b w wyniku mnożenia x = A 1 b (1) 1.1 Metoda eliminacji Gaussa Pierwszy
Bardziej szczegółowoZadania egzaminacyjne
Rozdział 13 Zadania egzaminacyjne Egzamin z algebry liniowej AiR termin I 03022011 Zadanie 1 Wyznacz sumę rozwiązań równania: (8z + 1 i 2 2 7 iz 4 = 0 Zadanie 2 Niech u 0 = (1, 2, 1 Rozważmy odwzorowanie
Bardziej szczegółowoPrzykład 2 układ o rozwiązaniu z parametrami. Rozwiążemy następujący układ równań:
Przykład 2 układ o rozwiązaniu z parametrami Rozwiążemy następujący układ równań: Po zapisaniu układu w postaci macierzy rozszerzonej będziemy dążyć do uzyskania macierzy jednostkowej po lewej stronie
Bardziej szczegółowoVII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.
VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w
Bardziej szczegółowoIII TUTORIAL Z METOD OBLICZENIOWYCH
III TUTORIAL Z METOD OBLICZENIOWYCH ALGORYTMY ROZWIĄZYWANIA UKŁADÓW RÓWNAŃ LINIOWYCH Opracowanie: Agata Smokowska Marcin Zmuda Trzebiatowski Koło Naukowe Mechaniki Budowli KOMBO Spis treści: 1. Wstęp do
Bardziej szczegółowoFormy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2009
Formy kwadratowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2009 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2009 1 / 15 Definicja Niech V, W,
Bardziej szczegółowoOdwrócimy macierz o wymiarach 4x4, znajdującą się po lewej stronie kreski:
Przykład 2 odwrotność macierzy 4x4 Odwrócimy macierz o wymiarach 4x4, znajdującą się po lewej stronie kreski: Będziemy dążyli do tego, aby po lewej stronie kreski pojawiła się macierz jednostkowa. Na początek
Bardziej szczegółowoProgramowanie Współbieżne. Algorytmy
Programowanie Współbieżne Algorytmy Sortowanie przez scalanie (mergesort) Algorytm :. JEŚLI jesteś rootem TO: pobierz/wczytaj tablice do posortowania JEŚLI_NIE to pobierz tablicę do posortowania od rodzica
Bardziej szczegółowoRobert Susmaga. Instytut Informatyki ul. Piotrowo 2 Poznań
... Robert Susmaga Instytut Informatyki ul. Piotrowo 2 Poznań kontakt mail owy Robert.Susmaga@CS.PUT.Poznan.PL kontakt osobisty Centrum Wykładowe, blok informatyki, pok. 7 Wyłączenie odpowiedzialności
Bardziej szczegółowoZastosowania wyznaczników
Zastosowania wyznaczników Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 7.wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2012 1 / 17
Bardziej szczegółowoOptymalizacja ciągła
Optymalizacja ciągła 5. Metody kierunków poparwy (metoda Newtona-Raphsona, metoda gradientów sprzężonych) Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 28.03.2019 1
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie zależności rekurencyjnych metodą równania charakterystycznego
Rozwiązywanie zależności rekurencyjnych metodą równania charakterystycznego WMS, 2019 1 Wstęp Niniejszy dokument ma na celu prezentację w teorii i na przykładach rozwiązywania szczególnych typów równań
Bardziej szczegółowoUniwersytet Kazimierza Wielkiego w Bydgoszczy Zespół Szkół nr 5 Mistrzostwa Sportowego XV Liceum Ogólnokształcące w Bydgoszczy
Uniwersytet Kazimierza Wielkiego w Bydgoszczy Zespół Szkół nr 5 Mistrzostwa Sportowego XV Liceum Ogólnokształcące w Bydgoszczy Matematyka, królowa nauk Edycja X - etap 2 Bydgoszcz, 16 kwietnia 2011 Fordoński
Bardziej szczegółowoWykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u
Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u W ) Rzeczywiście U W jest podprzetrzenią przestrzeni
Bardziej szczegółowo0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0.
5 Kody liniowe Jak już wiemy, w celu przesłania zakodowanego tekstu dzielimy go na bloki i do każdego z bloków dodajemy tak zwane bity sprawdzające. Bity te są w ścisłej zależności z bitami informacyjnymi,
Bardziej szczegółowo