Odwrócimy macierz o wymiarach 4x4, znajdującą się po lewej stronie kreski:

Transkrypt

1 Przykład 2 odwrotność macierzy 4x4 Odwrócimy macierz o wymiarach 4x4, znajdującą się po lewej stronie kreski: Będziemy dążyli do tego, aby po lewej stronie kreski pojawiła się macierz jednostkowa. Na początek możemy pozbyć się liczb otoczonych prostokątem. Od trzeciego i czwartego wiersza odejmiemy jeden wiersz pierwszy, a od drugiego wiersza odejmiemy dwa wiersze pierwsze. Przydałoby się, aby element leżący na przecięciu drugiego wiersza i drugiej kolumny był równy +1, pomnożymy więc drugi wiersz przez -1. Teraz możemy już pozbyć się liczb leżących poniżej i powyżej jedynki w drugiej kolumnie. Od wiersza pierwszego odejmiemy dwa wiersze drugie, do wiersza trzeciego dodamy wiersz pierwszy, a do wiersza czwartego dodamy dwa wiersze pierwsze. Teraz dobrze byłoby, aby element leżący na przecięciu trzeciego wiersza i trzeciej kolumny był jedynką. Nie jest jednak łatwo zrobić z trójki jedynkę nie tworząc jednocześnie wielu ułamków w wierszu trzecim. Zamiast tego, zrobimy z piątki jedynkę. Od wiersza czwartego odejmiemy dwa wiersze trzecie... a następnie zamienimy wiersz trzeci z czwartym.

2 Po zamianie znaku wiersza trzeciego możemy już wykasować liczby leżące powyżej i poniżej jedynki w trzeciej kolumnie. Do wiersza pierwszego dodamy siedem wierszy trzecich. Od wiersza drugiego odejmiemy pięć wierszy trzecich. I w końcu od wiersza czwartego odejmiemy trzy wiersze pierwsze. W ostatnim wierszu chcielibyśmy mieć jedynkę. Trzeba więc ten wiersz podzielić przez 37. Niestety, powstaną ułamki, ale nie da się tego dłużej uniknąć w tym przykładzie. Aby powyżej jedynki w ostatniej kolumnie powstały zera, musimy: - dodać do pierwszego wiersza 92 wiersze czwarte, - dodać do trzeciego wiersza 12 wierszy czwartych, - odjąć od drugiego wiersza 66 wiersze czwarte. Po lewej stronie kreski mamy już macierz jednostkową, a więc po prawej stronie, w zielonym kwadracie, mamy odwrotność naszej początkowej macierzy.

3 Ten sam przykład w programie GaussMatrix Krok 1. W programie GaussMatrix wybierz aplikację Odwracanie macierzy, w aplikacji tej wybierz opcję podania własnego przykładu i na następnym ekranie wybierz rozmiar macierzy 4x4. Następnie wprowadź dane swojej macierzy: i naciśnij przycisk Dalej. Krok 2. Na ekranie pojawiło się następujące okno: Dodawanie wiersza pomnożonego przez Dodawanie wiersza podzielonego przez Mnożenie wiersza przez Dzielenie wiersza przez Zamiana dwóch wierszy Możesz cofnąć się o kilka kroków jeżeli się pomylisz lub stwierdzisz, że należałoby obrać inną strategię. Po cofnięciu się, możesz zmienić zdanie i powrócić do swojego ostatniego kroku. Możesz w dowolnej chwili zacząć ten sam przykład od nowa.

4 Krok 3. Teraz należy pozbyć się liczb w pierwszej kolumnie, położonych pod górną jedynką. Naciśnij przycisk, który zmienia dany wiersz w ten sposób, że dodaje do niego inny wiersz pomnożony przez liczbę niezerową. W małym okienku podaj takie parametry, które będą oznaczać, że chcesz zmienić drugi wiersz odejmując od niego dwa pierwsze wiersze. Analogicznie zmień trzeci i czwarty wiersz odejmij od nich jeden pierwszy wiersz. Po tych operacjach lewa strona aplikacji powinna wyglądać następująco: Krok 4. Naciśnij przycisk służący do mnożenia wiersza przez. Pomnóż drugi wiersz przez -1. Krok 5. Teraz należy się pozbyć wszystkich liczb z drugiej kolumny, oczywiście poza jedynką. Podobnie jak w trzecim kroku: - zmień pierwszy wiersz: odejmij od niego 2 wiersze drugie, - zmień trzeci wiersz: dodaj do niego 1 wiersz drugi, - zmień czwarty wiersz: dodaj do niego 2 wiersze drugie. Krok 6. W tej chwili mamy już dwie uporządkowane kolumny. Zmień czwarty wiersz odejmij od niego 2 wiersze trzecie. Po tej operacji ostatnia macierz wygląda następująco: Krok 7. Teraz zamień trzeci wiersz z czwartym. Następnie pomnóż wiersz trzeci przez -1. Krok 8. Można już uporządkować trzecią kolumnę: - zmień wiersz pierwszy dodając do niego 7 wierszy trzecich, - zmień wiersz drugi odejmując od niego 5 wierszy trzecich, - zmień wiersz czwarty odejmując od niego 3 wiersze trzecie. Po tym kroku ostatnia macierz wygląda następująco: Krok 9. Podziel ostatni wiersz przez 37. Teraz na przekątnej będziesz miał same jedynki i do rozwiązania wystarczy uporządkować ostatnią kolumnę:

5 - zmień pierwszy wiersz dodaj do niego 92 wiersze czwarte, - zmień drugi wiersz odejmij od niego 66 wierszy czwartych, - zmień trzeci wiersz dodaj do niego 12 wierszy czwartych. Krok 10. Rozwiązanie jest już gotowe! Macierzą odwrotną jest: