Programowanie Współbieżne. Algorytmy

Transkrypt

1 Programowanie Współbieżne Algorytmy

2 Sortowanie przez scalanie (mergesort) Algorytm :. JEŚLI jesteś rootem TO: pobierz/wczytaj tablice do posortowania JEŚLI_NIE to pobierz tablicę do posortowania od rodzica

3 Sortowanie przez scalanie (mergesort) 2. JEŚLI ilość elementów tablicy > 2 i (ilość procesów < max procesów) [tu można dodać czy tablica nie jest już posortowana lub inny warunek zatrzymania dzielenia] TO twórz 2 procesy i wyślij im po jednej części tablicy (najlepiej w miarę równe). czekaj na posortowane 2 tablice scal w jedną posortowaną JEŚLI_NIE to posortuj to co masz. (w szczególnym przypadku będzie to liczba do oddania lub dwie do porównania).

4 Sortowanie przez scalanie (mergesort) 3. JEŚLI jesteś rootem TO wyświetl/zapisz wynik JEŚLI_NIE to odeślij rodzicowi posortowaną tablicę.

5 Sortowanie przez scalanie 4,2,7,6,,8,5,,3,9 4,2,7,6, 8,5,,3,9,2,4,6,7,3,5,8,

6 Sortowanie przez scalanie 4,2,7,6,,8,5,,3,9 4,2,7,6, 8,5,,3,9 4,2,7 6, 8,5,3,9 4,2 7,6 5,8 2,4 2,4,7, 3, 5, 8, 9,2,4,6,7,,2,3,4,5,6,7,8,9

7 Sortowanie oscylacyjne Dla ciągu długości n tworzymy dwa zestawy procesów. A,A 2,...A n B,B,...B n A A 2 A n B B B 2 B n

8 Sortowanie oscylacyjne Zadania typu A i działają następująco: otrzymują 2 liczby mniejszą przesyłają do Bi- większą do Bi.

9 Sortowanie oscylacyjne Zadania typu B i działają następująco: otrzymują 2 liczby mniejszą przesyłają do Ai większa do Ai+ Elementy skrajne nic nie robią tylko oddają liczbę Po 2n cyklach mamy gotowy wynik

10 Sortowanie oscylacyjne

11 Sortowanie oscylacyjne

12 Sortowanie oscylacyjne

13 Sortowanie oscylacyjne

14 Sortowanie oscylacyjne

15 Sortowanie oscylacyjne

16 Mnożenie macierzy Zastosowanie: w matematyce, rozwiązywanie układów równań liniowych Metodą Gaussa Zapisanie obiektów geometrycznych w przestrzeni liniowej w fizyce tzw. Tensory Grafika trójwymiarowa, transformacje

17 Mnożenie macierzy Definicja Iloczynem macierzy A=[a ij ] nxp przez macierz B=[b ij ] pxm nazywamy taką macierz C=[c ij ] nxm piszemy C=A B, że p c ij = k = a ik b kj dla i=,2,...,n;j=,2,...,m

18 Mnożenie macierzy

19 Mnożenie macierzy Kilka przydatnych właściwości: Jeżeli A,B oraz C są macierzami o odpowiednich wymiarach to:. A(BC)=(AB)C 2. (AB)=(A)B 3. (A+B)C=AC+BC 4. C(A+B)=CA+CB 5. IA=A, gdy A nxn i I nxn

20 Mnożenie macierzy Algorytm dziel i rządź Uzyskanie macierzy C jest wynikiem niezależnych operacji arytmetycznych na wierszach macierzy A i kolumnach B. Stąd intuicyjny sposób podziału zadania na wiele wątków, tak by każdy obliczył niezależnie element macierzy C. Takich podziałów w tym wypadku musi być m*n (liczba wątków). Koszt operacji wynosi O(n3).

21 Mnożenie macierzy Każdy element A ij B jk C ik to mała podmacierz na której wykonujemy takie same operacje jak na pojedynczych elementach. A=[ A A 2 A 2 A 22] B=[ B B 2 B 2 B 22] C=[ C C 2 C 2 C 22]

22 Mnożenie macierzy Przykład: [ [ ] [ ]=[4 ] Takie mnożenie można rozbić na 4 działania analogiczne do poniższego 4] [ 3] 2 [ 2 3 2] [ ] = [ ] [ 2 5 3] = [ ]

23 Mnożenie macierzy Metoda Strassena - Z tak podzielonej macierzy wylicz 7 pomocniczych macierzy m i o rozmiarze n/2 m =(A 2 -A 22 )*(B 2 +B 22 ) m 2 =(A +A 22 )*(B +B 22 ) m 3 =(A -A 2 )*(B +B 2 ) m 4 =(A +A 2 )*B 22 m 5 =A *(B 2 -B 22 ) m 6 =A 22 *(B 2 -B ) m 7 =(A 2 +A 22 )*B

24 Mnożenie macierzy Oblicz składowe Cij macierzy wynikowej C C =m +m 2 -m 4 +m 6 C 2 =m 4 +m 5 C 2 =m 6 +m 7 C 22 =m 2 -m 3 +m 5 -m 7 Koszt powyższego algorytmu szacuje się na O(nlog 2 7)

25 Mnożenie macierzy Algorytm canona Zakładamy że mamy sieć zadań m x m. Każdy proces (t ij gdzie <i,j<m) wewnątrz zawiera bloki C ij, A ij i B ij. Na wstępie algorytmu proces na przekątnej diagonalnej (t ij gdzie i=j) przesyła swój blok A ij do wszystkich innych procesów w rzędzie i. Po transmisji A ii, wszystkie zadania obliczają A ii xb ij i dodają wynik do C ij. W kolejnym kroku kolumna bloków macierzy B jest obracana. Tzn. t ij przesyła swój blok t (i-)j. Proces t j przesyła swój blok B do t (m-)j.

26 Mnożenie macierzy Teraz procesy powracają do kroku pierwszego. A i(i+) jest podstawową informacją dla wszystkich innych procesów w rzędzie i. Algorytm jest dalej kontynuowany. Po m iteracjach macierz C zawiera wynik mnożenia AxB, a obracana macierz B przyjmuje swoją początkową postać.

27 A Mnożenie macierzy B [ ] [ 2 3 ]=[4 4 7 ] C

28 Mnożenie macierzy +=x +=x 2 3 +=x3 +=x +=x 3 2 +=x =x =x3 +=x Z macierzy A bierzemy wartości leżące na diagonalnej Przysyłamy do sąsiadów w tym samym wierszu. Mnożymy wartości przesyłane z wartościami macierzy B i dodajemy do wyniku w C

29 Mnożenie macierzy Kolumny macierzy B rolujemy w dół.

30 Mnożenie macierzy 2 4 +=2x =2x3 2 +=2x +=x +=x =x =2x =2x 2 4 +=2x2 Obniżamy diagonalną o jeden w dół. Przysyłamy do sąsiadów w tym samym wierszu. Mnożymy wartości przesyłane z wartościami macierzy B i dodajemy do wyniku w C

31 Mnożenie macierzy Kolumny macierzy B rolujemy w dół.

32 Mnożenie macierzy 4 +=x 67 +=x =x =3x2 3 +=3x =3x =2x =2x 3 4 +=2x3 Obniżamy diagonalną o jeden w dół. Przysyłamy do sąsiadów w tym samym wierszu. Mnożymy wartości przesyłane z wartościami macierzy B i dodajemy do wyniku w C

33 Mnożenie macierzy w 3D [ ] [ ]=[ ] A C B