trójkąta ABC. Wykazać, że te proste zawierają dwusieczne kątów wewnętrznych trójkąta PQR.
|
|
- Aleksander Stefański
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 1. W trójkącie ABC boki AB i BC są różnej długości. Wykazać, że punkt przecięcia dwusiecznej kąta przy wierzchołku B i symetralnej boku AC należy do okręgu opisanego na trójkącie ABC. 2. Pięciokąt ABCDE jest wpisany w okrąg. Wykazać, że dwusieczne kątów ACB, ADB i AEB przecinają się w jednym punkcie. 3. Sześciokąt ABCDEF jest wpisany w okrąg, a jego przekątne AC i BD przecinają się w punkcie P. Wykazać, że <) AFB + <) CED = <) APB. 4. Sześciokąt ABCDEF jest wpisany w okrąg, półproste BC i AD przecinają się w punkcie P. Wykazać, że <) AFB <) CED = <) APB. 5. Punkt S jest środkiem okręgu opisanego na trapezie ABCD o podstawach AB i CD. Przekątne tego trapezu przecinają się w punkcie E. Wykazać, że <) CEB <) CSB. 6. Trójkąty ostrokątne ABC i PQR są wpisane w okrąg o. Proste AP, BQ i CR zawierają wysokości trójkąta ABC. Wykazać, że te proste zawierają dwusieczne kątów wewnętrznych trójkąta PQR. 7. Trójkąty ostrokątne ABC i PQR są wpisane w okrąg o. Proste AP, BQ i CR zawierają dwusieczne kątów wewnętrznych trójkąta PQR. Wykazać, że te proste zawierają wysokości trójkąta ABC. 8. Punkt S jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ABC, a odcinek AD jest wysokością tego trójkąta. Wykazać, że <) BAD <) SAC. 9. Czworokąt ABDC jest wpisany w okrąg. Łuk AD (do którego nie należy B) i łuk BC (do którego nie należy A) są przystające. Wykazać, że odcinek AB jest równoległy do odcinka CD 10. Czworokąt ABCD jest wpisany w okrąg. Odcinek AB jest równoległy do odcinka CD. Wykazać, że łuk AD (do którego nie należy B) i łuk BC (do którego nie należy A) są przystające. 11. Okrąg o jest opisany na trójkącie ABC. Prosta k, przechodząca przez C, jest styczna do okręgu o i k AB. Wykazać, że CA = CB. 12. Okrąg o jest opisany na trójkącie ABC. Prosta k, przechodząca przez C, jest styczna do okręgu o i CA = CB. Wykazać, że k AB. 13. Czworokąty ABCD i PQRS są wpisane w ten sam okrąg i AB PQ, BC QR, CD RS. Wykazać, że DA SP. 14. Dwa czworokąty o bokach odpowiednio równoległych są wpisane w ten sam okrąg. Wykazać, że przekątne jednego z tych czworokątów są równe odpowiednim przekątnym drugiego czworokąta. 15. Okrąg wpisany w trójkąt ABC jest styczny do boków BC, CA, AB odpowiednio w punktach K, L, M. Wykazać, że środki okręgów wpisanych w trójkąty AML, BKM, CLK leżą na okręgu wpisanym w trójkąt ABC.
2 16. Punkt S jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt ABC. Półprosta AS przecina okrąg opisany na ABC w punkcie D. Wykazać, że DB = DS. 17. Punkty A i B należą do okręgu o. Znaleźć zbiór środków okręgów wpisanych w takie trójkąty ABP, że punkt P należy do okręgu o. 18. Dany jest okrąg o, punkty A i B należące do tego okręgu oraz odcinek długości r. Wpisać w okrąg o taki trójkąt ABC, by promień okręgu wpisanego w ten trójkąt miał długość r. 19. Punkt S jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt ABC. Punkt D jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie BCS. Wykazać, że punkty A, S, D są współliniowe.
3 20. Dany jest trójkąt ABC. Wykazać, że okręgi o średnicach AB i AC przecinają się na prostej BC. 21. Wykazać, że obraz ortocentrum trójkąta ABC przy symetrii względem prostej AB należy do okręgu opisanego na trójkącie ABC (rozważyć różne przypadki). 22. Punkt H jest ortocentrum trójkąta ABC. Wykazać, że okręgi opisane na trójkątach ABH, BCH i CAH są przystające. 23. Punkty P, Q, i należą odpowiednio do boków BC, CA, AB trójkąta ABC. Okręgi opisane na trójkątach BPR i CPQ przecinają się w punktach P i S. Wykazać, że na czworokącie ARSQ można opisać okrąg. 24. Środkowe AD, BE i CF trójkąta ABC przecinają się w punkcie S. Na każdym z czworokątów AFSE i BDSF można opisać okrąg. Wykazać, że trójkąt ABC jest równoboczny. 25. Kąt B trójkąta ABC jest równy 60. Dwusieczne AD i CE przecinają się w punkcie M. Wykazać, że MD = ME. 26. Odcinki AB i CD są średnicami okręgu o, a punkt M należy do tego okręgu. Punkty P i R są rzutami prostokątnymi punktu M na proste AB i CD. Wykazać, że przy ustalonych średnicach AB i CD długość odcinka PR nie zależy od wyboru punktu M. 27. Punkty P, Q, R, S leżą odpowiednio na bokach AB, BC, CD, DA czworokąta wypukłego ABCD. Odcinki PR i QS dzielą czworokąt ABCD na cztery czworokąty. Wykazać, że jeśli na trzech spośród tych czterech czworokątów można opisać okręgi, to: (a) także na czwartym czworokącie można opisać okrąg, (b)abcd jest równoległobokiem. 28. Dany jest okrąg o i punkt A. Znaleźć zbiór środków cięciw okręgu o, wyznaczonych przez proste przechodzące przez punkt A. 29. Podzielić kwadrat na trójkąty ostrokątne (im mniej trójkątów, tym lepszy wynik). Jaka jest najmniejsza liczba takich trójkątów? 30. Dane są punkty B i C, kąt oraz odcinek długości h. Skonstruować taki trójkąt ABC, aby <) CAB =, a wysokość poprowadzona z wierzchołka A miała długość h. 31. Dana jest prosta k oraz okręgi o 1 i o 2, leżące po tej samej stronie prostej k i styczne do niej odpowiednio w punktach A i B. Dany jest też kąt. Skonstruować taki punkt S należący do odcinka AB, aby suma kątów, pod jakimi widać z punktu S okręgi o 1 i o 2, była równa.
4 32. Wykazać, że w czworokącie wypukłym suma przekątnych jest większa od sumy dwóch boków przeciwległych. 33. Punkty A i B leżą po tej samej stronie prostej k. Znaleźć taki punkt P, należący do prostej k, by suma PA + PB była najmniejsza. 34. Punkty A i B leżą po tej samej stronie prostej k. Znaleźć taki punkt P, należący do prostej k, by wartość wyrażenia PA PB była największa. 35. Punkt P należy do wnętrza trójkąta ABC. Wykazać, że AP + BP < AC + BC. 36. Czworokąt wypukły c 1 jest zawarty w czworokącie wypukłym c 2. a) Wykazać, że obwód czworokąta c 1 jest mniejszy od obwodu czworokąta c 2. b) Czy suma przekątnych i obwodu czworokąta c 1 musi być mniejsza od sumy przekątnych i obwodu czworokąta c 2? 37. Czworościan c 1 jest zawarty w czworościanie c 2. Czy suma wszystkich krawędzi czworościanu c 1 musi być mniejsza od sumy krawędzi czworościanu c 2? 38. Suma przekątnych czworokąta wypukłego jest równa s, a jego obwód jest równy 2p. Wykazać, że p s 2 p. 39. Suma przekątnych pięciokąta wypukłego jest równa s, a jego obwód jest równy 2p. Wykazać, że 2 p s 4 p. 40. Punkt P należy do wnętrza trójkąta równobocznego ABC. Proste PA, PB i PC przecinają boki tego trójkąta odpowiednio w punktach D, E i F. Wykazać, że PD + PE + PF < AB. 41. Dany jest kąt wypukły i punkt A, leżący wewnątrz tego kąta. Znaleźć takie punkty B i C, należące do różnych ramion tego kąta, by obwód trójkąta ABC był najmniejszy. 42. Dany jest kąt wypukły i punkt A, leżący wewnątrz tego kąta. Przez punkt A poprowadzić taką prostą, która od kąta odetnie trójkąt o najmniejszym polu. 43. Dane są dwa okręgi: o 1 = o(a, r 1 ) i o 2 = o(b, r 2 ). Zbadać wzajemne położenie tych okręgów w zależności od wartości parametrów t i s jeśli: a) AB = t, r 1 = 3, r 2 =, b) AB = 3t, r 1 = t + 1, r 2 = 5 t, c) AB = 2 ts, r 1 = t, r 2 = s, d) AB = (t + s) 2, r 1 = t 2, r 2 = s 2, e) AB = cos 40, r 1 = cos 2 20, r 2 = sin Na płaszczyźnie dane są trzy niewspółliniowe punkty. Znaleźć wszystkie proste jednakowo oddalone od tych punktów. 45. W przestrzeni dane są cztery punkty, nie leżące na jednej płaszczyźnie. Znaleźć wszystkie płaszczyzny jednakowo oddalone od tych punktów. 46. Na płaszczyźnie dane są trzy niewspółliniowe punkty. Znaleźć wszystkie okręgi jednakowo oddalone od tych punktów. 47. Na płaszczyźnie dane są cztery punkty. Znaleźć wszystkie okręgi jednakowo oddalone od tych punktów. 48. Okręgi o 1 i o 2 przecinają się w punktach A i B. Punkty E i F leżą odpowiednio na okręgach o 1 i o 2, a punkty E, A i F są współliniowe. Prosta styczna do okręgu o 1 w punkcie E i prosta styczna do okręgu o 2 w punkcie F przecinają się w punkcie K. Wykazać, że punkty E, K, F i B leżą na jednym okręgu.
5 49. Punkty P, Q, R, S są środkami odpowiednio boków AB, BC, CD i DA czworokąta wypukłego ABCD. Odcinki AQ, BR, CS i DP dzielą czworokąt ABCD na 4 trójkąty i 5 czworokątów. Wykazać, że suma pól tych trójkątów jest równa polu tego z czworokątów, który nie ma punktów wspólnych z brzegiem czworokąta ABCD. 50. Proste PA i PB są styczne do okręgu o odpowiednio w punktach A i B. Punkt F jest rzutem prostokątnym punktu B na średnicę AE okręgu o. Odcinki EP i BF przecinają się w punkcie S. Wykazać, że punkt S jest środkiem odcinka BF. 51. Czy dwusieczne dwóch kątów trójkąta mogą przecinać się pod kątem prostym? 52. W trójkącie ABC środkowe AD i BE są prostopadłe. Obliczyć stosunek trzeciej środkowej do boku AB. 53. W trójkącie ABC poprowadzono dwusieczną CD kąta ACB. Środek okręgu wpisanego w trójkąt ADC pokrywa się ze środkiem okręgu opisanego na trójkącie ABC. Wyznaczyć kąty trójkąta ABC. 54. Punkty D i E należą do boku AB trójkąta ABC i <) BAC <) BCD, a półprosta CE jest dwusieczną kąta ACD. Wykazać, że BC = BE. 55. Dany jest trójkąt prostokątny równoramienny ABC o kącie prostym przy wierzchołku C. Punkt P jest środkiem okręgu o, wpisanego w ten trójkąt. Odcinek EF jest prostopadły do boku AB, styczny do okręgu o, przy czym punkt E należy do boku AB, punkt F należy do boku BC. Wykazać, że EF = PC. 56. W trójkącie ABC poprowadzono środkowe AD, BE i CF, przecinające się w punkcie S. Odcinki AD i EF przecinają się w punkcie M. Obliczyć stosunek odcinków MS i AD. 57. Okrąg wpisany w trójkąt jest styczny do boków tego trójkąta w punktach P, Q, R. Wykazać, że trójkąt PQR jest ostrokątny. 58. Punkty K i L są środkami boków CD i DA równoległoboku ABCD. Proste BK i BL przecinają przekątną AC odpowiednio w punktach M i N. Wykazać, że suma pól trójkątów ALN, BMN i CKM jest równa 3 1 pola równoległoboku ABCD. 59. Punkt P należy do wnętrza trójkąta równobocznego ABC, punkty D, E, F są rzutami prostokątnymi punktu P na boki BC, CA, AB tego trójkąta. Wykazać, że suma długości odcinków PD, PE, PF nie zależy od wyboru punktu P. 60. Punkt P należy do wnętrza trójkąta równobocznego ABC, punkty D, E, F są rzutami prostokątnymi punktu P na boki BC, CA, AB tego trójkąta. Wykazać, że suma pól trójkątów PAE, PBF, PCD nie zależy od wyboru punktu P. 61. Punkt O jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ABC, natomiast AH jest wysokością tego trójkąta. Wykazać, że kąty OAC i BAH są przystające. 62. Wykazać, że w trójkącie prostokątnym suma przyprostokątnych jest mniejsza od sumy przeciwprostokątnej i wysokości poprowadzonej na przeciwprostokątną. 63. Odcinki AP i BR są wysokościami trójkąta ABC. Wykazać, że jeśli AC AP BC BR, to trójkąt ten jest równoramienny. 64. Na papierze w kratkę narysowany jest trójkąt o wierzchołkach leżących w punktach kratowych. Skonstruować środek ciężkości tego trójkąta, posługując się linijką i ołówkiem.
6 65. Okręgi, których średnicami są ramiona trapezu, są styczne zewnętrznie. Wykazać, że w ten trapez można wpisać okrąg. 66. Dane są dwa różne punkty A i B. Znaleźć zbiór punktów styczności okręgów stycznych zewnętrznie, takich, że jeden z nich jest poza tym styczny do prostej AB w punkcie A, a drugi w punkcie B. 67. Punkt A należy do boku BE, punkt C do boku BF trójkąta EBF, odcinki AF i CE przecinają się w punkcie D. Wykazać, że jeśli AB + AD = CB + CD, to EB + ED = FB + FD. 68. ABCD jest czworokątem wypukłym. Okręgi wpisane w trójkąty ABC i ADC są styczne do AC w punktach odpowiednio P i R. Wykazać, że w czworokąt ABCD można wpisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy P = R. 69. Podstawą ostrosłupa jest równoległobok ABCD, punkt S jest jego wierzchołkiem, punkt A spodkiem wysokości. Okręgi wpisane w ściany SBC i SDC są styczne. Wykazać, że podstawą tego ostrosłupa jest romb. 70. Wykazać, że jeśli istnieje sfera styczna do wszystkich krawędzi czworościanu to sumy przeciwległych krawędzi tego czworościanu są równe. 71. Wykazać, że jeśli w czworościanie sumy przeciwległych krawędzi są równe, to istnieje sfera styczna do wszystkich krawędzi tego czworościanu. 72. Dany jest kąt, punkt A i odcinek o długości p. Przez punkt A poprowadzić prostą odcinającą od kąta trójkąt o obwodzie 2p. 73. Dany jest kąt i dwa odcinki o długości odpowiednio p i h. Poprowadzić prostą odcinającą od kąta trójkąt o obwodzie 2p i wysokości h. 74. Dany jest kąt o wierzchołku A i dwa odcinki o długości odpowiednio p i a. Poprowadzić prostą, odcinającą od danego kąta trójkąt ABC o obwodzie 2p i boku BC o długości a. 75. Dany jest kąt, punkt A i odcinek o długości p. Poprowadzić prostą odcinającą od kąta trójkąt o obwodzie 2p i największym polu. 76. Dany jest czworokąt ABCD. Wykazać, że jeśli okręgi wpisane w trójkąty ABC i ADC są styczne, to i okręgi wpisane w trójkąty BCD i BAD są styczne. 77. Punkt E należy do boku AB, punkt F do boku BC trójkąta ABC, odcinki AF i CE przecinają się w punkcie D i AE = CF. W czworokąt DEBF można wpisać okrąg. Wykazać, że AB = BC. 78. Środkowe AP i CQ trójkąta ABC przecinają się w punkcie D. W czworokąt BPDQ można wpisać okrąg. Wykazać, że AB = BC. 79. Punkt P należy do boku AB, a punkt R do boku AD czworokąta wypukłego ABCD; proste PD i RB przecinają się w punkcie S. W każdy z czworokątów APSR i CDSB można wpisać okrąg. Wykazać, że w czworokąt ABCD można wpisać okrąg.
7 80. Punkty P, Q, R, należą odpowiednio do boków BC, CA, AB trójkąta ABC, proste AP, BQ, CR przecinają się w punkcie S. W każdy z czworokątów PCQS i PBRS można wpisać okrąg. Wykazać, że i w czworokąt SQAR można wpisać okrąg. 81. Punkty P, Q i R należą odpowiednio do boków BC, CA, AB trójkąta ABC. Proste AP, BQ i CR przecinają się w punkcie S. W czworokąt PCQS jest wpisany okrąg o 1, a w czworokąt PBRS jest wpisany okrąg o 2. Okrąg o 1 jest styczny do QS w punkcie E, a okrąg o 2 jest styczny do RS w punkcie F. Wykazać, że EQ = FR. 82. W czworokąt ABCD można wpisać okrąg. Punkt M należy do boku AB tego czworokąta. W trójkąty ADM, DMC, MCB wpisano okręgi. Wykazać, że istnieje prosta styczna do tych okręgów. 83. Dany jest trójkąt ABC. Punkt X należy do boku AB tego trójkąta. Prosta l X, różna od prostej AB, jest styczna zewnętrznie do okręgów wpisanych w trójkąty ACX i BCX. Wyznaczyć zbiór punktów przecięcia prostych l X i CX dla wszystkich punktów X należących do odcinka AB. 84. Czworokąt wypukły ABCD został podzielony na dziewięć czworokątów, jak na rysunku. Wykazać, że jeśli w każdy z narożnych czworokątów i w centralny czworokąt można wpisać okrąg, to również w czworokąt ABCD można wpisać okrąg. D A B C 85. Wykazać, że jeśli w każdy z czworokątów 1 i 3 można wpisać okrąg, to w czworokąt PQRS można wpisać okrąg. 86. Wykazać, że jeśli w każdy z czworokątów 2 i 4 można wpisać okrąg, to w czworokąt PQRS można wpisać okrąg. P S R Q 87. Dany jest prostokąt ABCD. Punkty P i Q należą do wnętrza tego prostokąta. Wyznaczyć konstrukcyjnie taką drogę punktu P, aby trafił w punkt Q po: (a) jednym odbiciu, (b) dwóch odbiciach, (c) trzech odbiciach od brzegu prostokąta ABCD. 88. Dany jest kąt wypukły i punkt A należący do jego wnętrza. Punkt A, pchnięty w pewnym kierunku, odbija się od ramion kąta. Wykazać, że niezależnie od kierunku takiego pchnięcia, punkt A odbije się od ramion kąta skończoną liczbę razy.
8 Oszacować z góry liczbę odbić. 89. Dany jest kwadrat o boku długości 1. Wierzchołki czworokąta ABCD leżą na różnych bokach tego kwadratu. Wykazać, że obwód czworokąta ABCD jest nie mniejszy niż Dany jest kąt prosty o wierzchołku P. Punkt A należy do wnętrza tego kąta, a punkty B i C do jego różnych ramion. Wykazać, że AB + BC + CA > 2 AP. 91. Odcinki AB i CD są podstawami trapezu ABCD, punkt S jest środkiem ramienia BC. Wykazać, że AS + SD > AB + CD. 92. Punkt P jest środkiem boku AD, a punkt Q jest środkiem boku BC czworokąta wypukłego ABCD. Wykazać, że 2 PQ AB + CD. 93. Dane są: punkt B, prosta k i okrąg o. Skonstruować takie punkty A i C, należące odpowiednio do prostej k i okręgu o, by punkt B był środkiem odcinka AC. 94. Punkt P należy do wnętrza trójkąta równobocznego ABC. Wykazać, że z odcinków PA, PB, PC można zbudować trójkąt. Znaleźć kąty tego trójkąta, znając kąty <) APB, <) BPC, <) CPA. 95. Punkt P należy do boku CD kwadratu ABCD; dwusieczna kąta BAP przecina bok BC w punkcie S. Wykazać, że BS + DP = AP. 96. Dana jest prosta k i punkt A nie należący do tej prostej. Znaleźć zbiór takich punktów P, dla których istnieje taki punkt B należący do prostej k, że trójkąt ABP jest równoboczny. 97. Dane są okręgi o 1 i o 2 oraz punkty A i B. Skonstruować taki równoległobok ABCD, by punkt C należał do okręgu o 1, a punkt D należał do okręgu o Dane są dwa okręgi i prosta k. Poprowadzić prostą równoległą do prostej k, wyznaczającą na danych okręgach przystające cięciwy. 99. Dane są odcinki a, b, c, d. Skonstruować trapez o podstawach o długości a i b oraz ramionach o długości c i d Dany jest kwadrat ABCD o boku długości 1. Punkty P, Q, R, S są środkami odpowiednio boków BC, CD, DA, AB. Obliczyć pole czworokąta wyznaczonego przez proste AP, BQ, CR, DS Dany jest kąt wypukły i punkt B należący do wnętrza tego kąta. Poprowadzić taką prostą k, by punkt B był środkiem odcinka wyznaczonego na prostej k przez ramiona kąta Okręgi o 1 i o 2, każdy o promieniu r, są styczne w punkcie B. Punkt A należy do okręgu o 1, punkt C należy do okręgu o 2, a kąt ABC jest prosty. Wykazać, że AC = 2r Na zewnątrz trójkąta ABC zbudowano trójkąty równoboczne ABR, BCP, CAQ. Wykazać, że odcinki AP, BQ i CR są równe.
9 104. Dane są okręgi o 1 i o 2 oraz prosta k. Skonstruować taki kwadrat ABCD, by punkt A należał do okręgu o 1, punkt C należał do okręgu o 2, a punkty B i D należały do prostej k Na trójkącie ABC opisano okrąg. Punkty P, Q i R są symetryczne do środka tego okręgu, odpowiednio względem prostych BC, CA i AB. Wykazać, że trójkąty ABC i PQR są przystające Dany jest kwadrat ABCD. Punkty E i F należą odpowiednio do boków AB i BC tego kwadratu i BE = BF. Punkt S jest rzutem prostokątnym punktu B na prostą EC. Wykazać, że kąt DSF jest prosty Dane są odcinki o długościach a, b, c, d. Skonstruować taki czworokąt ABCD, by długości jego boków AB, BC, CD, DA były równe odpowiednio a, b, c, d oraz by półprosta AC była dwusieczną kąta DAB Dany jest kąt ostry oraz punkty P i Q należące do jego wnętrza. Skonstruować taki trójkąt równoramienny ABC, by podstawa AB była zawarta w jednym z ramion kąta, wierzchołek C należał do drugiego z ramion, a punkty P i Q należały odpowiednio do boków AC i BC Dany jest trójkąt ABC oraz odcinek o długości a. Skonstruować taki prostokąt KLMN, aby punkty K i L leżały na prostej AB, a punkty M i N odpowiednio na bokach BC i CA trójkąta ABC oraz aby długość odcinka KL była równa a W czworokącie ABCD boki AB i CD mają jednakową długość. Punkty E i F są środkami boków BC i DA. Wykazać, że prosta EF tworzy z prostymi AB i CD równe kąty Dany jest punkt A, prosta k i odcinek długości r. Weźmy wszystkie okręgi o promieniu r, przechodzące przez punkt A i styczne do prostych równoległych do prostej k. Znaleźć zbiór wszystkich punktów styczności tych okręgów do tych prostych Dany jest odcinek długości r, okrąg oraz takie cięciwy AB i CD tego okręgu, które nie przecinają się. Na tym łuku CD, do którego nie należy punkt A, skonstruować taki punkt P, by odcinki PA i PB przecięły cięciwę CD w takich punktach Q i R, by odcinek QR miał długość r Dany jest prostokąt ABCD, w którym AB = x i BC = y. Punkt P należy do wnętrza tego prostokąta i PA = a, PB = b, PC = c, PD = d. Wykazać, że istnieje czworokąt wypukły o prostopadłych przekątnych długości x i y oraz bokach długości a, b, c, d Dany jest równoległobok ABCD oraz punkt K, który nie należy do żadnej z prostych wyznaczonych przez boki tego równoległoboku. Przez punkty A, B, C, D prowadzimy proste k, l, m, n równoległe odpowiednio do prostych KC, KD, KA i KB. Wykazać, że proste k, l, m, n przecinają się w jednym punkcie Czworokąt ABCD jest wpisany w okrąg, a punkty K, L, M, N są środkami jego boków AB, BC, CD, DA. Proste k, l, m, n przechodzą odpowiednio przez punkty K, L, M, N i są prostopadłe odpowiednio do prostych CD, DA, AB, BC. Wykazać, że proste k, l, m, n przecinają się w jednym punkcie.
10 116. Dane są: okrąg o, prosta k i punkt A. Skonstruować taki trójkąt równoboczny ABC, by punkt B należał do okręgu o, a punkt C należał do prostej k.
11 117. Trójkąty ABC i PQR spełniają warunki: AB = PQ, AC = PR, środkowe AE i PT są równe. Czy stąd wynika, że te trójkąty są przystające? 118. Trójkąty ABC i PQR spełniają warunki: AB = PQ, AC = PR, wysokości AE i PT są równe. Czy stąd wynika, że te trójkąty są przystające? 119. Trójkąty ABC i PQR spełniają warunki: środkowe AE i PT są równe, <) BAE = <) QPT oraz <) CAE = <) RPT. Czy stąd wynika, że te trójkąty są przystające? 120. Trójkąty ABC i PQR spełniają warunki: wysokości AE i PT są równe, <) BAE = <) QPT oraz <) CAE = <) RPT. Czy stąd wynika, że te trójkąty są przystające? 121. Dany jest trójkąt ABC. Punkt P, różny od punktu C, należy do dwusiecznej kąta zewnętrznego przy wierzchołku C. Wykazać, że PA + PB > CA + CB Dane są odcinki o długości p, q, m. Skonstruować wysokość takiego trapezu, aby długości jego przekątnych były równe p i q, a długość jego środkowej była równa m. Czy długości podstaw takiego trapezu są wyznaczone jednoznacznie? 123. Punkt M jest środkiem boku AB czworokąta wypukłego ABCD; pole trójkąta MCD jest dwa razy mniejsze od pola czworokąta ABCD. Wykazać, że AD BC W czworokącie wypukłym ABCD punkt P jest środkiem boku AD, a punkt Q jest środkiem boku BC. Wykazać, że 2 PQ = AB + CD wtedy i tylko wtedy, gdy proste AB i CD są równoległe Trójkąty równoboczne ABC i AEF mają taką samą orientację; punkty K, L, M są środkami odpowiednio odcinków BC, CE i EF. Wykazać że KL = LM Dany jest wielokąt A 1 A 2... A n. Skonstruować taki n-kąt, aby punkty A 1, A 2,..., A n były środkami jego kolejnych boków Dane są punkty A, B, C. Znaleźć punkt stały przekształcenia S C S B S A Dane są punkty A i B. Znaleźć punkt stały i proste stałe przekształcenia R B R A Dany jest trójkąt ABC. Na zewnątrz trójkąta ABC dorysowano trójkąty prostokątne równoramienne ABP, BCQ, CAR, o kątach prostych przy wierzchołkach P, Q, R. Trójkąt prostokątny równoramienny PQM, o kącie prostym przy wierzchołku M, nie leży na zewnątrz trójkąta PQR. Wykazać, że punkt M jest środkiem odcinka AC Dany jest czworokąt wypukły ABCD. Na zewnątrz czworokąta ABCD dorysowano trójkąty prostokątne równoramienne ABP, BCQ, CDR, DAS, o kątach prostych przy wierzchołkach P, Q, R, S. Wykazać, że PR = QS i PR QS Dany jest czworokąt wypukły ABCD oraz trójkąty prostokątne równoramienne ABP, BCQ, CDR, DAS, o kątach prostych przy wierzchołkach P, Q, R, S. Trójkąty te nie leżą na zewnątrz czworokąta ABCD. Wykazać, że jeżeli P = R, to Q = S.
12 132. Dany jest trójkąt ABC. Punkty P, Q, R należą odpowiednio do boków BC, CA, AB. Punkty K, L, M są środkami okręgów opisanych odpowiednio na trójkątach ARQ, BPR, CQP. Wykazać, że trójkąty ABC i KLM są podobne.
13 133. Przekątne trapezu przecinają się w punkcie P, a proste zawierające ramiona trapezu przecinają się w punkcie Q. Wykazać, że prosta PQ przechodzi przez środki podstaw tego trapezu Dany jest trójkąt ABC oraz dodatnia liczba a. Wpisać w ten trójkąt taki prostokąt o stosunku boków a, by dwa sąsiednie wierzchołki prostokąta należały do boku AB, a pozostałe wierzchołki należały odpowiednio do boków BC i CA Dany jest trójkąt ABC. W kąty przy wierzchołkach A i B wpisać dwa przystające, styczne zewnętrznie okręgi Dany jest okrąg o i dwa różne punkty A, B należące do tego okręgu. Znaleźć zbiór środków ciężkości wszystkich takich trójkątów ABP, że punkt P należy do okręgu o Dane są punkty A i B oraz prosta k. Znaleźć zbiór środków ciężkości wszystkich takich trójkątów ABP, że punkt P należy do prostej k Punkt P należy do wnętrza czworokąta wypukłego ABCD. Wykazać, że środki ciężkości trójkątów ABP, BCP, CDP i DAP są wierzchołkami równoległoboku Dany jest sześciokąt wypukły ABCDEF. Wykazać, że środki ciężkości trójkątów ABC, BCD, CDE, DEF, EFA, FAB są wierzchołkami sześciokąta, którego przeciwległe boki są równoległe i równe Przystające, rozłączne okręgi o 1 i o 2 są styczne wewnętrznie do okręgu o w punktach odpowiednio A i B. Punkt P należy do okręgu o, odcinki PA i PB przecinają okręgi o 1 i o 2 w punktach odpowiednio C i D. Wykazać, że proste AB i CD są równoległe Okręgi o 1 i o 2 są styczne wewnętrznie w punkcie B. Cięciwa AC okręgu o 1 jest styczna do okręgu o 2 w punkcie M. Wykazać, że półprosta BM jest dwusieczną kąta ABC Rozłączne zewnętrznie okręgi o 1 i o 2 są styczne wewnętrznie do okręgu o w punktach odpowiednio A i B. Prosta k, nie rozdzielająca okręgów o 1 i o 2, jest do nich styczna w punktach odpowiednio P i Q. Wykazać, że proste AP i BQ przecinają się w punkcie należącym do okręgu o Okręgi o 1 i o 2 są wpisane w kąt o wierzchołku P oraz w kąty wierzchołkowe o wierzchołku Q. Punkt R należy do okręgu o 1, a proste PR i QR przecinają okrąg o 2 w czterech punktach. Wykazać, że dwa spośród tych punktów są końcami jednej średnicy okręgu o Dany jest okrąg o i punkty A, B należące do tego okręgu. Rozważmy wszystkie pary takich okręgów o 1 i o 2 stycznych zewnętrznie, które są styczne do okręgu o w punktach odpowiednio A i B. Każda taka para okręgów wyznacza środki jednokładności przekształcających okrąg o 1 na okrąg o 2. Znaleźć zbiór wszystkich środków takich jednokładności W trójkącie ABC punkt D jest środkiem ciężkości, punkt H jest ortocentrum, a punkt O jest środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie. Wykazać, że punkty D, H, O są współliniowe i DH = 2 DO Okrąg wpisany w trójkąt ABC jest styczny do boku AC w punkcie D. Odcinek DE jest średnicą tego okręgu, a prosta BE przecina bok AC w punkcie F. Wykazać, że AF = CD Okręgi o 1 i o 2 są wpisane w kąt o wierzchołku P. Okrąg o jest styczny zewnętrznie do okręgów o 1 i o 2 w punktach odpowiednio A i B. Wykazać, że punkty P, A, B są współliniowe.
14 148. Dany jest prostokąt ABCD, w którym AB = a, BC = b. Na bokach AB i BC tego prostokąta zbudowano trójkąty równoboczne ABE i BCF, jeden na zewnątrz prostokąta, drugi do wewnątrz. Obliczyć długość odcinka EF Wysokość trójkąta prostokątnego ABC, poprowadzona z wierzchołka kąta prostego, dzieli ten trójkąt na trójkąty o obwodach 2p i 2q. Znaleźć obwód trójkąta ABC Dwa okręgi są styczne zewnętrznie, a prosta k jest styczna do nich w różnych punktach E i F. Dane są promienie tych okręgów. Obliczyć długość odcinka EF Odcinek EF jest średnicą okręgu o, a cięciwa AB jest prostopadła do tej średnicy. Punkt P należy do krótszego łuku AF okręgu o. Proste PE i PF przecinają prostą AB odpowiednio w punktach Q i R. Wykazać, że. RA QA RB QB 152. W trójkącie ABC poprowadzono dwusieczną AD. Długość odcinka BD jest większa od długości odcinka CD. Wykazać, że odcinek AB jest dłuższy od odcinka AC W czworokącie wypukłym ABCD iloczyny długości przeciwległych boków są równe. Wykazać, że dwusieczne kątów przy wierzchołkach A i C w tym czworokącie przecinają się w punkcie należącym do przekątnej BD Punkty A i B należą do okręgu o. Na jednym z łuków AB skonstruować taki punkt P, aby stosunek odcinków PA i PB był równy danej liczbie a Dane są trzy odcinki o długości odpowiednio b, c i d. Skonstruować taki trójkąt ABC, aby AB = c, AC = b oraz by długość dwusiecznej AD była równa d Wykazać, że w dowolnym trójkącie większy kąt ma krótszą dwusieczną Rozłączne okręgi o 1 i o 2 są wpisane w kąt o wierzchołku S i są styczne do jednego z ramion tego kąta w punktach odpowiednio K i L. Prosta k, przechodząca przez punkt S przecina te okręgi kolejno w punktach: A, B, C i D (licząc od S), a prosta l kolejno w punktach E, F, G i H. Wykazać, że na każdym z czworokątów: BCGF, BCHE, FGLK można opisać okrąg Dane są dwa rozłączne zewnętrznie okręgi o 1 i o 2 oraz punkt A nie należący do żadnego z tych okręgów. Skonstruować taki okrąg styczny zewnętrznie do okręgów o 1 i o 2, aby punkty styczności były współliniowe z punktem A Dany jest sześciokąt wypukły ABCDEF. Każda z przekątnych AD, BE i CF tego sześciokąta dzieli go na dwa czworokąty o równych polach. Wykazać, że te przekątne przecinają się w jednym punkcie Boki AB, BC, CA trójkąta ABC są styczne do okręgu wpisanego w punktach odpowiednio R, P, Q. Prosta równoległa do BC, przechodząca przez A, przecina proste PQ i PR w punktach E i F. Wykazać, że A jest środkiem odcinka EF Wykazać, że trójkąt nierównoramienny można przykryć dwoma trójkątami podobnymi do niego, ale mniejszymi (te dwa trójkąty mogą się częściowo nakrywać).
15 162. Pewien prostokąt można przykryć 25 kołami o promieniu 2. Wykazać, że ten prostokąt można przykryć 100 kołami o promieniu Odcinki BP i CQ są wysokościami trójkąta ABC. Wykazać, że trójkąty ABC i APQ są podobne Wysokości AP i BQ trójkąta ABC przecinają się w punkcie H, pola trójkątów AHQ i BHP są równe. Wykazać, że AC = BC W trójkącie ABC środkowe AD i BE są prostopadłe. Obliczyć stosunek trzeciej środkowej do boku AB Na zewnątrz trójkąta ABC zbudowano trójkąty równoboczne ABR, BCP i CAQ. Punkty K, L, M są środkami ciężkości tych trójkątów równobocznych. Wykazać, że trójkąt KLM jest równoboczny W trójkącie prostokątnym ABC z wierzchołka kąta prostego poprowadzono wysokość CD. Dane są promienie r 1 i r 2 okręgów wpisanych odpowiednio w trójkąty BCD i ACD. Wyznaczyć wartość dowolnej funkcji trygonometrycznej kąta BAC Trójkąt równoramienny ABC jest wpisany w okrąg o. Punkt D należy do podstawy BC tego trójkąta, a prosta AD przecina okrąg o w punktach A i E. Wykazać, że 2 AB AE AD Długości dwóch boków trójkąta równe są b i c. Dwusieczna poprowadzona na trzeci bok dzieli go na odcinki o długościach p i q. Długość tej dwusiecznej jest równa x. Wykazać, że x b c p q Czworokąt ABCD jest wpisany w okrąg o, a proste AD i BC przecinają się w punkcie P. Dwusieczna kąta APB przecina odcinki AB i CD odpowiednio w punktach S i T. Wykazać, że BS CT AS DT Punkt P leży na zewnątrz okręgu o. Różne proste k i l, przechodzące przez punkt P, są styczne do okręgu o w punktach odpowiednio A i C. Prosta m, przechodząca przez punkt P, przecina okrąg o w punktach B i D. Wykazać, że AB CD BC DA Dany jest trapez o podstawach długości a i b. Punkt S jest punktem przecięcia przekątnych tego trapezu. Prosta przechodząca przez punkt S i równoległa do podstaw trapezu przecina jego ramiona w punktach A i B. Znaleźć długość odcinka AB Punkty D, E, F leżą odpowiednio na bokach BC, CA, AB trójkąta ABC, proste AD, BE i CF przecinają się w jednym punkcie. Wykazać, że jeśli DA jest wysokością w trójkącie ABC, to jest dwusieczną kąta EDF.
16 174. Dany jest trapez o wysokości 12. Długości przekątnych tego trapezu są równe 15 i 20. Oblicz pole tego trapezu Dany jest trapez ABCD o podstawach AB i CD. Punkt E należy do przekątnej BD. Punkt F jest punktem przecięcia prostej AC z prostą równoległą do prostej AE, przechodzącą przez punkt D. Wykaż, że proste BF i CE są równoległe Dany jest taki ostrosłup czworokątny ABCDS o podstawie ABCD, w którym AS = BS = DS i 2 <) ASB = <) BSC, 2 <) BSC = <) CSD, 2 <) CSD = <) DSA. Wiadomo też, że <) SAB = 2 <) SAD. Wyznacz miarę kąta SAB Na stole stało prostopadłościenne akwarium całkowicie wypełnione wodą. Podstawa tego akwarium ma wymiary 35 cm x 15 cm, a jego wysokość ma 20 cm. W pewnej chwili akwarium uniesiono z jednej strony w taki sposób, że tylko jedna, krótsza krawędź podstawy nadal leżała na stole, a płaszczyzna podstawy tworzyła z płaszczyzną stołu kąt 30. Część wody wylała się. Oblicz objętość wody, która się nie wylała Dany jest trójkąt o kątach jak na rysunku. Pole tego trójkąta jest równe 12. Policz boki tego trójkąta Dany jest prostokąt p. Jeżeli szerokość prostokąta p zwiększymy o 50%, to jego szerokość zwiększy się o 25%. O ile procent zmniejszy się długość prostokąta p, jeśli jego długość zmniejszymy o 50%?
Trójkąty Zad. 0 W trójkącie ABC, AB=40, BC=23, wyznacz AC wiedząc że jest ono sześcianem liczby naturalnej.
C Trójkąty Zad. 0 W trójkącie ABC, AB=40, BC=23, wyznacz AC wiedząc że jest ono sześcianem liczby naturalnej. Zad. 1 Oblicz pole trójkąta o bokach 13 cm, 14 cm, 15cm. Zad. 2 W trójkącie ABC rys. 1 kąty
Bardziej szczegółowoKurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 11 Zadania planimetria
1 TEST WSTĘPNY 1. (1p) Wysokość rombu o boku długości 6 i kącie ostrym 60 o jest równa: A. 6 3 B. 6 C. 3 3 D. 3 2. (1p) W trójkącie równoramiennym długość ramienia wynosi 10 a podstawa 16. Wysokość opuszczona
Bardziej szczegółowoĆwiczenia z Geometrii I, czerwiec 2006 r.
Waldemar ompe echy przystawania trójkątów 1. unkt leży na przekątnej kwadratu (rys. 1). unkty i R są rzutami prostokątnymi punktu odpowiednio na proste i. Wykazać, że = R. R 2. any jest trójkąt ostrokątny,
Bardziej szczegółowoPlanimetria Uczeń: a) stosuje zależności między kątem środkowym i kątem wpisanym, b) korzysta z własności stycznej do okręgu i własności okręgów
Planimetria Uczeń: a) stosuje zależności między kątem środkowym i kątem wpisanym, b) korzysta z własności stycznej do okręgu i własności okręgów stycznych, c) rozpoznaje trójkąty podobne i wykorzystuje
Bardziej szczegółowoZadanie PP-GP-1 Punkty A, B, C, D i E leżą na okręgu (zob. rysunek). Wiadomo, że DBE = 10
Zadanie PP-GP-1 Punkty A, B, C, D i E leżą na okręgu (zob. rysunek). Wiadomo, że DBE = 10, ACE = 60, ADB = 40 i BEC = 20. Oblicz miarę kąta CAD. B C A D E Typ szkoły: LO LP T Czy jesteś w klasie z rozszerzonym
Bardziej szczegółowoPlanimetria VII. Wymagania egzaminacyjne:
Wymagania egzaminacyjne: a) korzysta ze związków między kątem środkowym, kątem wpisanym i kątem między styczną a cięciwą okręgu, b) wykorzystuje własności figur podobnych w zadaniach, w tym umieszczonych
Bardziej szczegółowoMatematyka podstawowa VII Planimetria Teoria
Matematyka podstawowa VII Planimetria Teoria 1. Rodzaje kątów: a) Kąty wierzchołkowe; tworzą je dwie przecinające się proste, mają takie same miary. b) Kąty przyległe; mają wspólne jedno ramię, ich suma
Bardziej szczegółowoGEOMETRIA ELEMENTARNA
Bardo, 7 11 XII A. D. 2016 I Uniwersytecki Obóz Olimpiady Matematycznej GEOMETRIA ELEMENTARNA materiały przygotował Antoni Kamiński na podstawie zbiorów zadań: Przygotowanie do olimpiad matematycznych
Bardziej szczegółowoPlanimetria poziom podstawowy (opracowanie: Mirosława Gałdyś na bazie
Planimetria poziom podstawowy (opracowanie: Mirosława Gałdyś na bazie http://www.zadania.info/) 1. W trójkącie prostokątnym wysokość poprowadzona na przeciwprostokątną ma długość 10 cm, a promień okręgu
Bardziej szczegółowo11. Znajdż równanie prostej prostopadłej do prostej k i przechodzącej przez punkt A = (2;2).
1. Narysuj poniższe figury: a), b), c) 2. Punkty A = (0;1) oraz B = (-1;0) należą do okręgu którego środek należy do prostej o równaniu x-2 = 0. Podaj równanie okręgu. 3. Znaleźć równanie okręgu przechodzącego
Bardziej szczegółowoZADANIE 2 Czy istnieje taki wielokat, który ma 2 razy więcej przekatnych niż boków?
PLANIMETRIA 2 ZADANIE 1 W rombie jedna z przekatnych jest dłuższa od drugiej o 3 cm. Dla jakich długości przekatnych pole rombu jest większe od 5cm 2? 1 ZADANIE 2 Czy istnieje taki wielokat, który ma 2
Bardziej szczegółowo2. Wykaż, że dla dowolnej wartości zmiennej x wartość liczbowa wyrażenia (x 6)(x + 8) 2(x 25) jest dodatnia.
1. Wykaż, że liczba 2 2 jest odwrotnością liczby 1 2. 2. Wykaż, że dla dowolnej wartości zmiennej x wartość liczbowa wyrażenia (x 6)(x + 8) 2(x 25) jest dodatnia. 3. Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej
Bardziej szczegółowoTreści zadań Obozu Naukowego OMJ
STOWARZYSZENIE NA RZECZ EDUKACJI MATEMATYCZNEJ KOMITET GŁÓWNY OLIMPIADY MATEMATYCZNEJ JUNIORÓW Treści zadań Obozu Naukowego OMJ Poziom OM 2017 rok SZCZYRK 2017 Olimpiada Matematyczna Juniorów jest wspó³finansowana
Bardziej szczegółowoPLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1
PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1 Planimetria to dział geometrii, w którym przedmiotem badań są własności figur geometrycznych leżących na płaszczyźnie (patrz określenie płaszczyzny). Pojęcia
Bardziej szczegółowoZadania otwarte krótkiej odpowiedzi na dowodzenie
Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi na dowodzenie Zadanie 1. Na bokach trójkąta równobocznego ABC tak wybrano punkty E, F oraz D, że AE = BF = CD = 1 AB (rysunek obok). a) Udowodnij, że trójkąt EFD jest
Bardziej szczegółowoWielokąty na płaszczyźnie obliczenia z zastosowaniem trygonometrii. Trójkąty. Trójkąt dowolny. Wielokąty trygonometria 1.
Wielokąty na płaszczyźnie obliczenia z zastosowaniem trygonometrii Wielokąt wypukły miara każdego kąt wewnętrznego jest mniejsza od 180 o. Liczba przekątnych: n*(n-2) Suma kątów wewnętrznych wielokąta
Bardziej szczegółowoPodstawowe pojęcia geometryczne
PLANIMETRIA Podstawowe pojęcia geometryczne Geometria (słowo to pochodzi z języka greckiego i oznacza mierzenie ziemi) jest jednym z działów matematyki, którego przedmiotem jest badanie figur geometrycznych
Bardziej szczegółowoKlasa III technikum Egzamin poprawkowy z matematyki sierpień I. CIĄGI LICZBOWE 1. Pojęcie ciągu liczbowego. b) a n =
/9 Narysuj wykres ciągu (a n ) o wyrazie ogólnym: I. CIĄGI LICZBOWE. Pojęcie ciągu liczbowego. a) a n =5n dla n
Bardziej szczegółowoZadanie 1. W trapezie ABCD poprowadzono przekątne, które podzieliły go na cztery trójkąty. Mając dane pole S 1
Zadanie. W trapezie ABCD poprowadzono przekątne, które podzieliły go na cztery trójkąty. Mając dane pole S i S 2 obliczyć pole trapezu ABCD. Zadanie 2. Mamy trapez, w którym suma kątów przy dłuższej podstawie
Bardziej szczegółowoTreści zadań Obozu Naukowego OMG
STOWARZYSZENIE NA RZECZ EDUKACJI MATEMATYCZNEJ KOMITET GŁÓWNY OLIMPIADY MATEMATYCZNEJ GIMNAZJALISTÓW Treści zadań Obozu Naukowego OMG Poziom OM 2015 rok SZCZYRK 2015 Pierwsze zawody indywidualne Treści
Bardziej szczegółowoKlasa 3. Trójkąty. 1. Trójkąt prostokątny ma przyprostokątne p i q oraz przeciwprostokątną r. Z twierdzenia Pitagorasa wynika równość:
Klasa 3. Trójkąty. 1. Trójkąt prostokątny ma przyprostokątne p i q oraz przeciwprostokątną r. Z twierdzenia Pitagorasa wynika równość: A. r 2 + q 2 = p 2 B. p 2 + r 2 = q 2 C. p 2 + q 2 = r 2 D. p + q
Bardziej szczegółowoMini tablice matematyczne. Figury geometryczne
Mini tablice matematyczne Figury geometryczne Spis treści Własności kwadratu Ciekawostka:Kwadrat magiczny Prostokąt Własności prostokąta Trapez Własności trapezu Równoległobok Własności równoległoboku
Bardziej szczegółowoTrójkąty jako figury geometryczne płaskie i ich najważniejsze elementy
Artykuł pobrano ze strony eioba.pl Trójkąty jako figury geometryczne płaskie i ich najważniejsze elementy Trójkąt jest wielokątem o trzech bokach Suma miar kątów wewnętrznych trójkąta jest równa 180. +
Bardziej szczegółowoĆwiczenia z geometrii I
Ćwiczenia z geometrii I Dominik Burek 1 stycznia 2013 Zadanie 1. W trójkącie ABC punkt I jest środkiem okręgu wpisanego. Punkt P leży wewnątrz trójkąta oraz: Pokazać, że AP AI. P BA + P CA = P BC + P CB.
Bardziej szczegółowoBukiety matematyczne dla gimnazjum
Bukiety matematyczne dla gimnazjum http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/ 5 IX rok 2003/2004 Bukiet 1 1. W trójkącie ABC prosta równoległa do boku AB przecina boki AC i BC odpowiednio w punktach D i E. Zauważ,
Bardziej szczegółowoKONKURS ZOSTAŃ PITAGORASEM MUM. Podstawowe własności figur geometrycznych na płaszczyźnie
KONKURS ZOSTAŃ PITAGORASEM MUM ETAP I TEST II Podstawowe własności figur geometrycznych na płaszczyźnie 1. A. Stosunek pola koła wpisanego w kwadrat o boku długości 6 do pola koła opisanego na tym kwadracie
Bardziej szczegółowoPLANIMETRIA pp 2015/16. WŁASNOŚCI TRÓJKĄTÓW (nierówność trójkąta, odcinek łączący środki boków, środkowe, wysokość z kąta prostego)
PLNIMETRI pp 2015/16 WŁSNOŚI TRÓJKĄTÓW (nierówność trójkąta, odcinek łączący środki boków, środkowe, wysokość z kąta prostego) Zad.1 Wyznacz kąty trójkąta jeżeli stosunek ich miar wynosi 5:3:1. Zad.2 Znajdź
Bardziej szczegółowoWielokąty na płaszczyźnie obliczenia z zastosowaniem trygonometrii
Wielokąty na płaszczyźnie obliczenia z zastosowaniem trygonometrii Obliczenia geometryczne z zastosowaniem własności funkcji trygonometrycznych w wielokątach wypukłych Wielokąt - figura płaską będąca sumą
Bardziej szczegółowoZadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 2017/2018.
Zadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 017/018 19 grudnia 017 1 1 Klasy pierwsze - poziom podstawowy 1. Dane są zbiory
Bardziej szczegółowoKURS MATURA PODSTAWOWA Część 2
KURS MATURA PODSTAWOWA Część 2 LEKCJA 7 Planimetria ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie 1 Kąt na poniższym rysunku ma miarę:
Bardziej szczegółowoPLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 3
DEFINICJE PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 3 Czworokąt to wielokąt o 4 bokach i 4 kątach. Przekątną czworokąta nazywamy odcinek łączący przeciwległe wierzchołki. Wysokością czworokąta nazywamy
Bardziej szczegółowoPytania do spr / Własności figur (płaskich i przestrzennych) (waga: 0,5 lub 0,3)
Pytania zamknięte / TEST : Wybierz 1 odp prawidłową. 1. Punkt: A) jest aksjomatem in. pewnikiem; B) nie jest aksjomatem, bo można go zdefiniować. 2. Prosta: A) to zbiór punktów; B) to zbiór punktów współliniowych.
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2014/15
Kolokwium nr 3: 27.01.2015 (wtorek), godz. 8:15-10:00 (materiał zad. 1-309) Kolokwium nr 4: 3.02.2015 (wtorek), godz. 8:15-10:00 (materiał zad. 1-309) Ćwiczenia 13,15,20,22.01.2015 (wtorki, czwartki) 266.
Bardziej szczegółowoZadania, które zaproponowałem na różne konkursy Olimpiada Matematyczna. bc(b 3 + c 3 ) + c4 + a 4. ca(c 3 + a 3 ) 1. c + ca + cab 1 ( 1
Zadania, które zaproponowałem na różne konkursy Olimpiada Matematyczna. (57-II-3) Liczby dodatnie a, b, c spełniają warunek ab + bc + ca = abc. Dowieść, że a 4 + b 4 ab(a 3 + b 3 ) + b4 + c 4 bc(b 3 +
Bardziej szczegółowoMETODY KONSTRUKCJI ZA POMOCĄ CYRKLA. WYKŁAD 1 Czas: 45
METODY KONSTRUKCJI ZA POMOCĄ CYRKLA WYKŁAD 1 Czas: 45 TWIERDZENIE PONCELETA-STEINERA W roku 1833, Szwajcarski matematyk Jakob Steiner udowodnił, że wszystkie klasyczne konstrukcje (za pomocą cyrkla i linijki)
Bardziej szczegółowoZADANIA MATURALNE PLANIMETRIA POZIOM PODSTAWOWY Opracowała mgr Danuta Brzezińska
ZADANIA MATURALNE PLANIMETRIA POZIOM PODSTAWOWY Opracowała mgr Danuta Brzezińska Zad.1. ( 1pkt) Kąt środkowy i kąt wpisany są oparte na tym samym łuku. Suma ich miar jest równa. Jaka jest miara kąta środkowego?
Bardziej szczegółowoIX Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
IX Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa www.omg.edu.pl (3 października 2013 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Liczba 3 9 3 27 jest a) niewymierna; b) równa 3 27;
Bardziej szczegółowoPraca klasowa nr 2 - figury geometryczne (klasa 6)
Praca klasowa nr 2 - figury geometryczne (klasa 6) MARIUSZ WRÓBLEWSKI IMIĘ I NAZWISKO: KLASA: GRUPA A 1. Dany jest równoległobok ABCD. Narysuj za pomocą linijki i ekierki odcinek BF prostopadły do odcinka
Bardziej szczegółowoSTEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH
STEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH Stereometria jest działem geometrii, którego przedmiotem badań są bryły przestrzenne oraz ich właściwości. WZAJEMNE POŁOŻENIE PROSTYCH W PRZESTRZENI 2 proste
Bardziej szczegółowoMATURA Przygotowanie do matury z matematyki
MATURA 2012 Przygotowanie do matury z matematyki Część VII: Planimetria ROZWIĄZANIA Powtórka jest organizowana przez redaktorów portalu MatmaNa6.pl we współpracy z dziennikarzami Gazety Lubuskiej. Witaj,
Bardziej szczegółowoVIII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
VIII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa www.omg.edu.pl (18 października 01 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Miary α, β, γ kątów pewnego trójkąta spełniają warunek
Bardziej szczegółowo7. PLANIMETRIA.GEOMETRIA ANALITYCZNA
7. PLANIMETRIA.GEOMETRIA ANALITYCZNA ZADANIA ZAMKNIĘTE 1. Okrąg o równaniu : A) nie przecina osi, B) nie przecina osi, C) przechodzi przez początek układu współrzędnych, D) przechodzi przez punkt. 2. Stosunek
Bardziej szczegółowoTreści zadań Obozu Naukowego OMG
STOWARZYSZENIE NA RZECZ EDUKACJI MATEMATYCZNEJ KOMITET GŁÓWNY OLIMPIADY MATEMATYCZNEJ GIMNAZJALISTÓW Treści zadań Obozu Naukowego OMG Poziom OMG 2016 rok SZCZYRK 2016 Pierwsze zawody indywidualne Treści
Bardziej szczegółowoWielokąty i Okręgi- zagadnienia
Wielokąty i Okręgi- zagadnienia 1. Okrąg opisany na trójkącie. na każdym trójkącie można opisać okrąg, środkiem okręgu opisanego na trójkącie jest punkt przecięcia symetralnych boków tego trójkąta, jeżeli
Bardziej szczegółowoMetoda siatek zadania
Metoda siatek zadania 1. (Leningrad 1984) Wykazać, że jeżeli suma kątów płaskich przy wierzchołku S ostrosłupa SA 1 A 2... A n (n 3) jest większa niż 180, to każda z krawędzi bocznych jest mniejsza od
Bardziej szczegółowoProjekt Zobaczę-dotknę-wiem i umiem, dofinansowany przez Fundację mbanku w partnerstwie z Fundacją Dobra Sieć
Kartka papieru i własności trójkątów. Ćwiczenie 1 Uczniowie ustalają ile znają rodzajów trójkątów. Podział ze względu na miary kątów Podział ostrokątny prostokątny rozwartokątny ze względu na długości
Bardziej szczegółowoVII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa, test próbny www.omg.edu.pl (wrzesień 2011 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Liczba krawędzi pewnego ostrosłupa jest o
Bardziej szczegółowoPole powierzchni całkowitej prostopadłościanu o wymiarach 5 x 3 x 4 jest równe A. 94 B. 60 C. 47 D. 20
STEREOMETRIA - ZADANIA MATURALNE lata 2010-2017 Zadanie 1. (0-1) Maj 2010 [I. Wykorzystanie i tworzenie informacji] Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu o wymiarach 5 x x 4 jest równe A. 94 B.
Bardziej szczegółowoRównania prostych i krzywych; współrzędne punktu
Równania prostych i krzywych; współrzędne punktu Zad 1: Na paraboli o równaniu y = 1 x znajdź punkt P leŝący najbliŝej prostej o równaniu x + y = 0 Napisz równanie stycznej do tej paraboli, poprowadzonej
Bardziej szczegółowoSkrypt 33. Powtórzenie do matury:
Projekt Innowacyjny program nauczania matematyki dla liceów ogólnokształcących współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Skrypt 33 Powtórzenie do matury:
Bardziej szczegółowoPLANIMETRIA - TRÓJKATY (2) ZDANIA ŁATWE
PLANIMETRIA - TRÓJKATY (2) ZDANIA ŁATWE ZADANIE 1 Jeżeli wysokość trójkata równobocznego wynosi 2, to długość jego boku jest równa A) 6 B) 4 3 3 C) 2 3 D) 4 3 ZADANIE 2 Pole trójkata o bokach a = 4 cm
Bardziej szczegółowoOstrosłupy ( ) Zad. 4: Jedna z krawędzi ostrosłupa trójkątnego ma długość 2, a pozostałe 4. Znajdź objętość tego ostrosłupa. Odp.: V =
Ostrosłupy Zad 1: W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym kwadrat długości krawędzi podstawy, kwadrat długości wysokości ostrosłupa i kwadrat długości krawędzi bocznej są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego
Bardziej szczegółowo= a + 1. b + 1. b całkowita?
9 ALGEBRA Liczby wymierne Bukiet 1 1. Oblicz wartość wyrażenia 1+ 1 1+ 1 1+ 1 1. 2. Znajdź liczby naturalne a, b, c i d, dla których 151 115 = a + 1 b + 1. c + 1 d 3. W podobny sposób spróbuj przekształcić
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2011/12
168. Uporządkować podane liczby w kolejności niemalejącej. sin50, cos80, sin170, cos200, sin250, cos280. 169. Naszkicować wykres funkcji f zdefiniowanej wzorem a) f(x) = sin2x b) f(x) = cos3x c) f(x) =
Bardziej szczegółowo9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie
9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie Pitagorasa i twierdzenie cosinusów, twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym, okrąg wpisany i opisany na wielokącie, wielokąty foremne (c.d).
Bardziej szczegółowoTreści zadań Obozu Naukowego OMG
STOWARZYSZENIE NA RZECZ EDUKACJI MATEMATYCZNEJ KOMITET GŁÓWNY OLIMPIADY MATEMATYCZNEJ GIMNAZJALISTÓW Treści zadań Obozu Naukowego OMG Poziom OMG 2015 rok SZCZYRK 2015 Treści zadań Pierwsze zawody indywidualne
Bardziej szczegółowoTematy: zadania tematyczne
Tematy: zadania tematyczne 1. Ciągi liczbowe zadania typu udowodnij 1) Udowodnij, Ŝe jeŝeli liczby,, tworzą ciąg arytmetyczny ), to liczby,, takŝe tworzą ciąg arytmetyczny. 2) Ciąg jest ciągiem geometrycznym.
Bardziej szczegółowoSPRAWDZIAN NR Zaznacz poprawne dokończenie zdania. 2. Narysuj dowolny kąt rozwarty ABC, a następnie przy pomocy dwusiecznych skonstruuj kąt o
SPRAWDZIAN NR 1 ANNA KLAUZA IMIĘ I NAZWISKO: KLASA: GRUPA A 1. Średnica koła jest o 4 cm dłuższa od promienia. Pole tego koła jest równe 2. Narysuj dowolny kąt rozwarty ABC, a następnie przy pomocy dwusiecznych
Bardziej szczegółowoSTOWARZYSZENIE NA RZECZ EDUKACJI MATEMATYCZNEJ KOMITET GŁÓWNY OLIMPIADY MATEMATYCZNEJ JUNIORÓW SZCZYRK 2017
STOWARZYSZENIE NA RZECZ EDUKACJI MATEMATYCZNEJ KOMITET GŁÓWNY OLIMPIADY MATEMATYCZNEJ JUNIORÓW Obóz Naukowy OMJ Poziom OMJ 207 rok SZCZYRK 207 Olimpiada Matematyczna Juniorów jest wspó³finansowana ze œrodków
Bardziej szczegółowoInwersja w przestrzeni i rzut stereograficzny zadania
Inwersja w przestrzeni i rzut stereograficzny zadania Rozważmy sferę S o środku O i promieniu R. Inwersją względem sfery S nazywamy przekształcenie, które przekształca punkt A na punkt A leżący na półprostej
Bardziej szczegółowo9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie
9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie Pitagorasa i twierdzenie cosinusów, twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym, okrąg wpisany i opisany na wielokącie, wielokąty foremne (c.d).
Bardziej szczegółowoGeometria płaska - matura Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długości 3 7cm poprowadzona z wierzchołka kąta prostego ma długość: 12
Geometria płaska - matura 010 1. Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają ługości 7cm i 4 7cm. Wysokość poprowazona z wierzchołka kąta prostego ma ługość: 1 5 A. 7cm B. cm C. 8 7cm D. 7 7cm 5 7. Miara
Bardziej szczegółowoOdbicie lustrzane, oś symetrii
Odbicie lustrzane, oś symetrii 1. Określ, czy poniższe figury są swoimi lustrzanymi odbiciami. Jeśli nie, odpowiedź uzasadnij. 2. Dokończ rysunki, tak aby dorysowana część była odbiciem lustrzanym. 3.
Bardziej szczegółowoWymagania na egzamin poprawkowy z matematyki dla klasy I A LO (Rok szkolny 2015/16)
Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki dla klasy I A LO (Rok szkolny 05/6) Wykaz zakładanych osiągnięć ucznia klasy I liceum (osiągnięcia ucznia w zakresie podstawowym) I. Liczby rzeczywiste. Język
Bardziej szczegółowoKlasówka gr. A str. 1/3
Klasówka gr. A str. 1/3 1. Boki trójkąta ABC mają długości 9 cm, 7cm, 8 cm. Boki trójkąta podobnego A B C w skali 1 2 mają długości: A. 18 cm, 14 cm, 16 cm B. 4 1 2 cm, 3 1 2 cm, 4 cm C. 4 1 2 cm, 7 cm,
Bardziej szczegółowo2 Figury geometryczne
Płaszczyzna, proste... 21 2 igury geometryczne 1 Płaszczyzna, proste i półproste P 1. Wypisz proste, do których: a) prosta k jest równoległa, o n k l b) prosta p jest prostopadła, m c) prosta k nie jest
Bardziej szczegółowoProjekt Innowacyjny program nauczania matematyki dla liceów ogólnokształcących
Projekt Innowacyjny program nauczania matematyki dla liceów ogólnokształcących współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Skrypt dla ucznia Planimetria: 5.
Bardziej szczegółowoSpis treści. Zadania... 7 Algebra... 9 Geometria Teoria liczb, nierówności, kombinatoryka Wskazówki Rozwiazania...
Spis treści Zadania... 7 Algebra... 9 Geometria... 18 Teoria liczb, nierówności, kombinatoryka... 29 Wskazówki... 39 Rozwiazania... 55 Literatura... 135 Dokument pochodzi ze strony www.gwo.pl 9 ALGEBRA
Bardziej szczegółowo= [6; 2]. Wyznacz wierzchołki tego równoległoboku.
ZADANIE 1 (5 PKT) Wyznacz współrzędne wierzchołków trójkata jeżeli środki jego boków maja współrzędne: P = (1, 3), Q = ( 5, 4), R = ( 6, 7). ZADANIE 2 (5 PKT) Dla jakich wartości parametru α odległość
Bardziej szczegółowoTwierdzenia o czworokącie wpisanym w okrąg i o czworokącie opisanym na okręgu.
Twierdzenia o czworokącie wpisanym w okrąg i o czworokącie opisanym na okręgu. Adrian Łydka Bernadeta Tomasz Teoria Definicja 1. Klasyfikacja czworokątów (wypukłych): Trapez jest czworokątem, w którym
Bardziej szczegółowoGeometria mas. Bartłomiej Bzdęga. 27 października 2018 r. Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu
Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu 27 października 2018 r. Zasada dźwigni dwustronnej r1 r2 A 1 (m 1 ) S A 2 (m 2 ) x 1 x 2 x m 1 x 1 +m 2 x 2 m 1 +m 2 m 1 r1 + m 2 r2 = 0 m 1 m 2 = r 2 r 1 Więcej
Bardziej szczegółowoTemat: PRZEKROJE PROSTOPADŁOŚCIANÓW. Cel lekcji: kształcenie wyobraźni przestrzennej
Temat: PRZEKROJE PROSTOPADŁOŚCIANÓW Cel lekcji: kształcenie wyobraźni przestrzennej Przypomnienie podstawowych wiadomości potrzebnych do rozwiązywania zadań z przekrojami prostopadłościanów. 1. Prostopadłościan
Bardziej szczegółowoStereo. (a miejscami nawet surround) 30 stycznia 2014
Stereo (a miejscami nawet surround) 30 stycznia 2014 To kółko wiele zawdzięcza niezrównanym artykułom Michała Kiezy z Kącika Przestrzennego Delty. Oprócz tego zadania pochodzą z OMów oraz prezentacji Adama
Bardziej szczegółowoZADANIA MATURALNE STEREOMETRIA POZIOM PODSTAWOWY Opracowała mgr Danuta Brzezińska
ZADANIA MATURALNE STEREOMETRIA POZIOM PODSTAWOWY Opracowała mgr Danuta Brzezińska Zad.1. ( 5 pkt) Objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego, o długości krawędzi podstawy 6 cm, jest równa cm 3. Oblicz
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
MARZEC ROK 08 PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 70 minut Instrukcja dla zdającego. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 4 stron (zadania 34). Ewentualny brak zgłoś
Bardziej szczegółowoMiędzyszkolne Zawody Matematyczne Klasa I LO i I Technikum - zakres podstawowy Etap wojewódzki 02.04.2005 rok Czas rozwiązywania zadań 150 minut
Klasa I - zakres podstawowy Etap wojewódzki 17.04.004 rok Zad 1 ( 6 pkt) Znajdź wszystkie liczby czterocyfrowe podzielne przez 15, w których cyfrą tysięcy jest jeden, a cyfrą dziesiątek dwa. Odpowiedź
Bardziej szczegółowoV Międzyszkolny Konkurs Matematyczny
V Międzyszkolny Konkurs Matematyczny im. Stefana Banacha dla uczniów szkół średnich Zespół Szkół Nr 1 im. Adama Mickiewicza w Lublińcu 42-700 Lubliniec, ul. Sobieskiego 22 18. kwiecień 2011 rok 1. W trapezie
Bardziej szczegółowoTomasz Zamek-Gliszczyński. Zadania powtórkowe przed maturą. Zakres podstawowy. Matematyka. atematyka
atematyka Tomasz Zamek-Gliszczyński Matematyka Zadania powtórkowe przed maturą Zakres podstawowy Spis treści Wstęp 4 1 Liczby 5 2 Algebra 24 3 Funkcje 31 4 Ciągi 61 5 Geometria na płaszczyźnie 69 6 Trygonometria
Bardziej szczegółowoZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY ZADANIA ZAMKNIĘTE
ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY ZADANIA ZAMKNIĘTE Zad.1. (1p) Liczba 3 30 9 90 jest równa: A. 3 210 B. 3 300 C. 9 120 D. 27 2700 Zad.2. (1p) Liczba 3 8 3 3 9 2 jest równa: A. 3
Bardziej szczegółowokartkówka czas 1. Zaznacz na kątomierzu punkt B, tak aby kąt AOB miał rozwartość 90.
kartkówka czas WIESŁAWA MALINOWSKA IMIĘ I NAZWISKO: KLASA: GRUPA A 1. Zaznacz na kątomierzu punkt B, tak aby kąt AOB miał rozwartość 90. 2. Zaznacz trzy współliniowe punkty A, B i C. Narysuj półprostą,
Bardziej szczegółowoA. fałszywa dla każdej liczby x.b. prawdziwa dla C. prawdziwa dla D. prawdziwa dla
Zadanie 1 Liczba jest równa A. B. C. 10 D. Odpowiedź B. Zadanie 2 Liczba jest równa A. 3 B. 2 C. D. Odpowiedź D. Zadanie 3. Liczba jest równa Odpowiedź D. Zadanie 4. Liczba osobników pewnego zagrożonego
Bardziej szczegółowoTO TRZEBA ROZWIĄZAĆ-(I MNÓSTWO INNYCH )
Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA TO TRZEBA ROZWIĄZAĆ-(I MNÓSTWO INNYCH ) PAKIET ZADAŃ (zadania wybrano ze zbiorów autorów i wydawnictw: Kiełbasa, Res Polona,
Bardziej szczegółowoSprawdzian całoroczny kl. II Gr. A x
. Oblicz: a) (,5) 8 c) ( ) : ( ). Oblicz: Sprawdzian całoroczny kl. II Gr. A [ ] d) 6 a) ( : ) 5 6 6 8 50. Usuń niewymierność z mianownika: a). Oblicz obwód koła o polu,π dm. 5. Podane wyrażenia przedstaw
Bardziej szczegółowoRysunek 1. Udowodnij, że AB CD = BC DA. Rysunek 2. Po inwersji o środku w punkcie E. Rysunek 3. Po inwersji o środku w punkcie A
g H e D c H' E g' h e' O d A C' d' C A' F' f' I' G' B' G I F f INWERSJA Inwersją o środku O i promieniu r nazywamy takie przekształcenie płaszczyzny (bez punktu O), które każdemu punktowi X O przyporządkowuje
Bardziej szczegółowoZadania na dowodzenie Opracowała: Ewa Ślubowska
Egzamin Gimnazjalny Zadania na dowodzenie Opracowała: Ewa Ślubowska W nauczaniu matematyki ważne jest rozwijanie różnych aktywności umysłu. Ma temu służyć min. rozwiązywanie jednego zadania czy dowodzenie
Bardziej szczegółowoZadanie 2. ( 4p ) Czworokąt ABCD ma kąty proste przy wierzchołkach B i D. Ponadto AB = BC i BH = 1.
Zadanie 1. ( p ) Dodatnia liczba naturalna n ma tylko dwa dzielniki naturalne, podczas gdy liczba n + 1 ma trzy dzielniki naturalne. Liczba naturalna n + ma. dzielniki naturalne. Liczna n jest równa..
Bardziej szczegółowoZADANIA PRZED EGZAMINEM KLASA I LICEUM
ZADANIA PRZED EGZAMINEM KLASA I LICEUM + 7. Równanie = 0 : + A. ma tylko jedno rozwiązanie równe 7 B. ma tylko jedno rozwiązania równe 7 C. ma tylko jedno rozwiązanie równe D. nie ma rozwiązań.. Do przedziału,
Bardziej szczegółowoStereometria bryły. Wielościany. Wielościany foremne
Stereometria bryły Stereometria - geometria przestrzeni trójwymiarowej. Przedmiotem jej badań są własności brył oraz przekształcenia izometryczne i afiniczne przestrzeni. Przyjęte oznaczenia: - Pole powierzchni
Bardziej szczegółowoCzworościany ortocentryczne zadania
Czworościany ortocentryczne zadania 1. Wykazać, że nastepujące warunki są równoważne: a) istnieje przecięcie wysokości czworościanu, b) przeciwległe krawędzie są prostopadłe, c) sumy kwadratów długości
Bardziej szczegółowoSPIS TREŚCI. Do Nauczyciela Regulamin konkursu Zadania
SPIS TREŚCI Do Nauczyciela... 6 Regulamin konkursu... 7 Zadania Liczby i działania... 9 Procenty... 14 Figury geometryczne... 19 Kąty w kole... 24 Wyrażenia algebraiczne... 29 Równania i nierówności...
Bardziej szczegółowoII Warsztaty Matematyczne w I LO
II Warsztaty Matematyczne w I LO Geometria Zadania konkursowe + niektóre rozwiązania 22 24września2008r. Dzień 1, Grupa młodsza Czas: 100 minut Zadanie1.(5p.)WtrójkątKLMwpisujemyokrągośrodkuS,stycznydobokówKLiKModpowiedniowpunktachPiQ.PunktKjestśrodkiemodcinkaPR(jesttodefinicjapunktuR).Wykazać,
Bardziej szczegółowoMatematyka podstawowa IX. Stereometria
Zadania wprowadzające: Matematyka podstawowa IX Stereometria 1. Pole powierzchni całkowitej sześcianu jest równe 54. Oblicz objętość sześcianu. 2. Pole powierzchni sześcianu jest równe 96.Oblicz długość
Bardziej szczegółowoOdległośc w układzie współrzędnych. Środek odcinka.
GEOMETRIA ANALITYCZNA ZADANIA. Odległośc w układzie współrzędnych. Środek odcinka. Zad. 1 Wyznacz odległość między punktami A i B (długość odcinka AB) jeżeli: d = Zad. 2 a) A=(5,-3) B=(-2,3) b) A=(-2,2)
Bardziej szczegółowoElżbieta Świda Elżbieta Kurczab Marcin Kurczab. Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi na dowodzenie na obowiązkowej maturze z matematyki
Elżbieta Świda Elżbieta Kurczab Marcin Kurczab Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi na dowodzenie na obowiązkowej maturze z matematyki Zadanie Trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym. Z punktu M, należącego
Bardziej szczegółowoDydaktyka matematyki (III etap edukacyjny) IV rok matematyki Semestr letni 2017/2018 Ćwiczenia nr 6
Dydaktyka matematyki (III etap edukacyjny) IV rok matematyki Semestr letni 2017/2018 Ćwiczenia nr 6 Lang: Długość okręgu. pole pierścienia będę chciał znaleźć inne wyrażenie na pole pierścienia. oszacowanie
Bardziej szczegółoworys. 4 BK KC AM MB CL LA = 1.
Joanna Zakrzewska Wspólny punkt Na najnowszym, trzecim już, plakacie Stowarzyszenia na rzecz Edukacji Matematycznej (zob. www.sem.edu.pl) widnieje dwanaście konfiguracji geometrycznych. Ich wspólną cechą
Bardziej szczegółowoO D P O W I E D Z I D O Z A D A Ń T E S T O W Y C H
O D P O W I E D Z I D O Z A D A Ń T E S T O W Y C H 1. Niech A = {(x, y) R R : 3 x +4 x = 5 y } będzie zbiorem rozwiązań równania 3 x +4 x = 5 y w liczbach rzeczywistych. Wówczas zbiór A i zbiór N N mają
Bardziej szczegółowoKlucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i przykładowe rozwiązania zadań otwartych
Centralna Komisja Egzaminacyjna Materiał współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Próbny egzamin maturalny z matematyki listopad 009 Klucz odpowiedzi do
Bardziej szczegółowoKLASA I LO Poziom podstawowy (styczeń) Treści nauczania wymagania szczegółowe:
KLASA I LO Poziom podstawowy (styczeń) Treści nauczania wymagania szczegółowe: ZAKRES PODSTAWOWY 7. Planimetria. Uczeń: 1) rozpoznaje trójkąty podobne i wykorzystuje (także w kontekstach praktycznych)
Bardziej szczegółowoCztery punkty na okręgu
Tomasz Szymczyk V LO w ielsku-iałej ztery punkty na okręgu Przydatne fakty: (1) kąty wpisane w okrąg oparte na łukach przystających są równe, (2) czworokąt jest wpisany w okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy
Bardziej szczegółowo