Marek Ptak Joanna Kopcińska. Matematyka dla studentów kierunków przyrodniczych

Transkrypt

1 Marek Ptak Joanna Kopcińska Matematyka dla studentów kierunków przyrodniczych Wydawnictwo Naukowe AKAPIT Kraków 2015

2 Recenzent dr hab. Marek Kosiek Projekt okªadki Monika Wojtaszek-Dziadusz Skªad i ªamanie mgr Marta Majcherczyk Utwór nie mo»e by kopiowany, przedrukowywany, jak równie» umieszczany na no- ±nikach elektronicznych w caªo±ci lub we fragmentach, bez pisemnej zgody Wydawcy c Copyright by Marek Ptak, Kraków 2015 Wydanie drugie poprawione i uzupeªnione Printed in Poland ISBN Wydawca Wydawnictwo Naukowe Akapit, Kraków tel ; wn@akapit.krakow.pl

3 Spis tre±ci Przedmowa 7 1. Logika i zbiory Elementy logiki Elementy teorii mnogo±ci Zadania Relacje i funkcje Relacje Funkcja jako relacja Zadania Dziaªania i zbiory liczbowe Dziaªania i podstawowe struktury algebraiczne Liczby rzeczywiste Ciaªo liczb zespolonych Zadania Wst p do analizy funkcji zmiennej rzeczywistej Ci gi liczbowe i ich granice Podstawowe wªasno±ci funkcji Ci gªo± funkcji Granice funkcji Asymptoty funkcji Zadania Rachunek ró»niczkowy funkcji jednej zmiennej Funkcje ró»niczkowalne i pochodna funkcji Podstawowe twierdzenia Pochodne jednostronne

4 4 Spis tre±ci 5.4. Pochodne wy»szych rz dów Twierdzenie o wzorze Taylora Ekstrema funkcji Wkl sªo± i wypukªo± funkcji Badanie zmienno±ci funkcji Zadania Caªki nieoznaczone Funkcje pierwotne Podstawowe metody caªkowania Caªki nieoznaczone funkcji wymiernych Caªki nieoznaczone funkcji niewymiernych Caªki nieoznaczone funkcji trygonometrycznych Inne caªki nieoznaczone Zadania Caªka oznaczona i jej zastosowania Caªka Riemanna Zwi zek caªki z polem Krzywe i pola obszarów ograniczonych krzywymi Dªugo± krzywej Obj to± i pole powierzchni bryªy obrotowej Caªki niewªa±ciwe Zadania Przestrzenie wektorowe Denicja i przykªady Bazy przestrzeni wektorowych Przestrze«wektorowa macierzy Zadania Wyznaczniki i równania liniowe Wyznaczniki Ukªady równa«liniowych Ukªady Cramera Algorytm rozwi zywania ukªadów równa« Zadania

5 Spis tre±ci Elementy topologii przestrzeni R n Norma w R n Odlegªo± Zbiory otwarte i domkni te Zadania Ci gi i ci gªo± w przestrzeni R N Zbie»no± ci gów w przestrzeni R N Wªasno±ci granic ci gów Ci gªo± funkcji wielu zmiennych Granica funkcji wielu zmiennych Zadania Pochodne funkcji wielu zmiennych Pochodne cz stkowe funkcji wielu zmiennych Funkcje klasy C Pochodne cz stkowe rz du drugiego Ekstrema funkcji wielu zmiennych Twierdzenie o funkcji uwikªanej Zadania Caªka funkcji dwóch zmiennych Caªka podwójna po prostok cie Caªka podwójna po zbiorze dowolnym Miara a caªka Caªka po zbiorach normalnych i regularnych Twierdzenie Fubiniego Twierdzenie o zamianie zmiennych w caªce Zastosowania twierdzenia o zamianie zmiennych Zadania Równania ró»niczkowe zwyczajne Denicja i przykªady równa«ró»niczkowych Równania ró»niczkowe rz du pierwszego Równania ró»niczkowe rz du drugiego Zadania D. Funkcje elementarne 337 D.1. Funkcje zmiennej rzeczywistej D.2. Funkcje wielu zmiennych

6 6 Spis tre±ci Odpowiedzi do zada«349 Bibliograa 403 Skorowidz 405

7 Przedmowa Uniwersytety przyrodnicze i rolnicze prowadz kierunki typowo techniczne, takie jak geodezja i kartograa, in»ynieria ±rodowiska, ale równie» kierunki bardziej przyrodnicze, jak technologia»ywno±ci i le±nictwo, na których zakres ksztaªcenia matematycznego jest mniejszy. Matematyka na tych kierunkach stanowi jednak istotny wkªad w ksztaªcenie w zakresie przedmiotów podstawowych. Niniejszy podr cznik jest przeznaczony dla studentów wªa±nie tych kierunków studiów i powstaª na podstawie wieloletniego do±wiadczenia autorów w ksztaªceniu studentów na Uniwersytecie Rolniczym w Krakowie. Dotychczas autorzy wspomagali proces dydaktyczny z przedmiotów matematycznych nie tylko na kierunkach technicznych, ale równie» przyrodniczych, powstaªym w 2005 roku podr cznikiem Matematyka dla studentów kierunków technicznych i przyrodniczych napisanym przez pierwszego autora tej ksi»ki. Wiele wyda«wspomnianego podr cznika potwierdziªo celowo± jego opracowania. Podr cznik obejmowaª standardowy wykªad z matematyki: algebr liniow i analiz matematyczn z twierdzeniami typu Stokesa wª cznie, a wi c zakres materiaªu daleko wykraczaj cy poza wymogi programowe dotycz ce przedmiotów matematycznych na kierunkach przyrodniczych. Dlatego te» niniejszy podr cznik powstaª z my±l o studentach kierunków przyrodniczych. Modelowym dla autorów staª si kierunek technologia»ywno±ci. Podr cznik niniejszy mo-»e by u»ywany równie» na wielu innych kierunkach studiów uniwersyteckich, takich jak le±nictwo, biologia, biotechnologia. Gªówny nacisk w materiale merytorycznym zaprezentowanym w tym podr czniku zostaª poªo»ony na denicje, podstawowe twierdzenia i ich zastosowania. Dowody twierdze«wyst puj nielicznie, raczej w celu przekonania Czytelnika,»e matematyka stanowi logiczn caªo±ciow teori. Szczególn uwag zwrócono na precyzj matematyczn jako jedn z warto±ci w nauczaniu matematyki. Teoria ilustrowana jest licznymi przykªadami, aby Czytelnik mógª z jednej strony lepiej zrozumie dane poj cia, z drugiej za± samodzielnie pracowa, poza zaj ciami dydaktycznymi, nad pewnymi partiami materiaªu. Materiaª zostaª zilustrowany wieloma przykªadami zastosowa«matematyki. Dotyczy to mi dzy innymi rachunku ró»niczkowego, gdzie przedstawiono wiele praktycznych problemów dotycz cych zagadnie«poszukiwania ekstremów funkcji (np. optymalizowanie wielko±ci puszki czy opakowania kartonowego). Omówiono

8 8 Przedmowa tak»e tzw. zmiany powi zane w celu zilustrowania poj cia pochodnej. Wiele praktycznych zastosowa«omówiono równie» dla caªki oznaczonej i równa«ró»niczkowych. Podr cznik obejmuje klasyczny wykªad matematyki na kierunkach przyrodniczych, czyli analiz matematyczn i algebr liniow. Pierwsze dwa rozdziaªy maj charakter wst pny, a jednocze±nie sªu» precyzyjnemu zdeniowaniu poj znanych wcze±niej. W rozdziale 3 przypomniano pewne wªasno±ci zbiorów liczbowych, by zako«czy go peªn teori o ciele liczb zespolonych. Rozdziaªy od 4 do 7 zawieraj wykªad z analizy funkcji jednej zmiennej. Rozdziaªy 8 i 9 po±wi cone s algebrze liniowej, a rozdziaªy od 10 do 13 obejmuj analiz funkcji wielu zmiennych. Skoncentrowano si w nich na analizie funkcji dwu i trzech zmiennych, a w przypadku rachunku caªkowego omówiono jedynie caªki podwójne. Szczególnie w pocz tkowych rozdziaªach pewne fragmenty s to»same z poprzednim podr cznikiem. W przypadku funkcji wielu zmiennych zaproponowano nowe, prostsze podej±cie. We wszystkich rozdziaªach zamieszczono wiele zada«z przykªadowymi rozwi zaniami. Na ko«cu ka»dego rozdzia- ªu znajduje si zbiór zada«przeznaczonych do rozwi zywania w ramach wicze«. W stosunku do poprzedniego podr cznika usuni to niektóre trudniejsze zadania, zast puj c je nowymi wiele z nich dotyczy zastosowa«matematyki. Zaproponowano równie» zadania, które ucz bardziej intuicyjnego rozumienia matematyki. Zdecydowana wi kszo± zada«ma odpowiedzi. Podr cznik uwzgl dnia równie» zmiany programowe, które zaszªy w szko- ªach ponadgimnazjalnych. Dlatego te» poszerzony zostaª Dodatek, dzi ki któremu studenci mog uzupeªni braki z matematyki elementarnej. Dodatek ten umo»liwia równie» szybkie odwoªanie si do wªasno±ci funkcji podczas rozwi - zywania zada«. Autorzy pragn podzi kowa pracownikom dydaktycznym i technicznym Katedry Zastosowa«Matematyki Uniwersytetu Rolniczego w Krakowie; pracownikom dydaktycznym za nieocenion pomoc w przygotowaniu zada«i odpowiedzi, oraz pracownikom technicznym Katedry za pomoc w redakcji niniejszego podr cznika. * W drugim wydaniu podr cznika, który wªa±nie Czytelnik trzyma w r ce, zostaªy wprowadzone pewne zmiany dotycz ce zada«znajduj cych si na ko«cu ka»dego rozdziaªu. Wiele zada«zostaªo dodanych, kolejno± zostaªa zmieniona. Jest wi c ona istotnie inna ni» w wydaniu pierwszym. Autorzy maj nadziej,»e daj do r ki Czytelnikowi ulepszon, cho zapewne nie doskonaª wersj podr cznika. Marek Ptak Joanna Kopci«ska