Geometria odwzorowań inżynierskich dachy 04

Transkrypt

1 Scriptiones Geometrica Volumen I (2014), No. 4, Geometria odwzorowań inżynierskich dachy 04 Edwin Koźniewski Zak lad Informacji Przestrzennej 1. Obroty i k lady Wykorzystywaliśmy już pojȩcie obrotu przy znajdowaniu elementów wspólnych. Obrót okreĺonej prostej lub p laszczyzny mia l doprowadzić te obiekty: prost a - do po lożenia czo lowego, p laszczyznȩ - do po lożenia rzutuj acego. Obrót jest znanym przekszta lceniem określonym na p laszczyźnie przez środek obrotu oraz k at obrotu lub w przestrzeni trójwymiarowej przez oś obrotu i k at obrotu. W sensie geome- Rys. 4-01: Ilustracja obrotu: i) na p laszczyźnie; ii) w przestrzeni - rysunek pogl adowy; iii) w rzutach Monge a Edwin Koźniewski c 2014 Politechnika Bia lostocka, Bia lystok

2 2 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, dachy 04 Rys. 4-02: Realizacja k ladu p laszczyzny α(a,w) poprzez sprowadzenie obrotu punktu tej p laszczyzny do superpozycji dwóch obrotów p laskich w dwóch p laszczyznach. Jednym z nich jest k lad różnicowy odcinka [OA] trycznym obrót, jako przekszta lcenie, jest zbiorem par punktów. Jednak w celu wsparcia naszej wyobraźni obrót punktu wygodnie jest traktować jako operacjȩ fizyczn a (dynamiczn a). W przestrzeni, gdzie zwykle mówimy o obrocie doko la prostej (osi obrotu), każdy punkt obraca siȩ w swojej p laszczyźnie, prostopad lej do osi obrotu, doko la punktu przeciȩcia osi obrotu z t a p laszczyzn a. W rzutach Monge a obrót naj latwiej opisuje siȩ, gdy oś obrotu jest prostopad la do jednej z rzutni. Wówczas p laszczyzna obrotu jest równoleg la do tej rzutni i prostopad la do drugiej rzutni. W pierwszym przypadku realizacja obrotu punktu w przestrzeni (w p laszczyźnie obrotu tego punktu) jest izometryczna (niezmiennik N5) z operacj a na rzutni (na rys jest to rzutnia pozioma), w drugim - z uwagi na rzutuj ace po lożenie drugiej p laszczyzny (na rys jest to p laszczyzna pionoworzutuj aca) - latwe jest śledzenie rzutu punktu w czasie obrotu, który porusza siȩ po prostej. Obrót punktu A doko la prostej l możemy interpretować jako obrót p laszczyzny α(a, l) doko la prostej l. W rzucie tym (na rys pionowym) odczytamy rzeczywist a d lugość promienia obrotu punktu, gdy obracana p laszczyzna uzyska po lożenie równoleg le do rzutni. Na rys. 4-01iii) p laszczyzna α 1 (l, A 2 ) jest równoleg la do rzutni pionowej, odcinek [OA 2 ] jest równoleg ly do rzutni pionowej. Wtedy odcinki [OA 2 ], [O A 2 ] s a przystaj ace. Jest również odwrotnie. Jeżeli rzut (na rys. 4.01iii) [O A 2 ]) promienia obrotu (na rys. 4-01iii) [OA 2 ]) punktu A doko la prostej l na p laszczyznȩ równoleg l a do tej prostej l (na rys. 4-01iii) p laszczyzn a t a jest rzutnia pionowa), ma d lugość równ a rzeczywistej d lugości promienia (na rys. 4-01iii) OA 2 = O A 2 ), to p laszczyzna α(a 2, l) jest równoleg la do rzutni (na rys. 4-01iii) jest to rzutnia pionowa). Zauważmy, że obrót punktu A doko la prostej (osi l) jest równoważny obrotowi p laszczyzny

3 α(a, l) doko la tej prostej K lad p laszczyzny E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, dachy 04 3 Fakt ten i powyższ a w lasność wykorzystamy przy wyznaczaniu tzw. k ladu p laszczyzny. K ladem p laszczyzny na wybran a rzutniȩ nazywać bȩdziemy obrót p laszczyzny doko la prostej leż acej na tej p laszczyźnie o taki k at, że p laszczyzna uzyskuje po lożenie równoleg le do rzutni. W rzutach Monge a s a to zwykle rzutnia pozioma lub pionowa. Praktyczny sens k ladu jest Rys. 4-03: K lad w rzutach Monge a p laszczyzny α określonej przez punkt A i prost a warstwow a w. Oś rzutów może być w tej konstrukcji pominiȩta: a a4) k lad różnicowy odcinka [OA]; a5) obrót punktu Ā w p laszczyźnie poziomej (realizowany de facto na rzutni poziomej) taki, że jeden z rzutów prostok atnych obróconej p laszczyzny odzwierciedla zwi azki miarowe tej p laszczyzny, tj. odleg lości, k aty, kszta lty figur. K lad p laszczyzny wykonywać bȩdziemy w oparciu o spostrzeżenie dotycz ace d lugości promienia obrotu. Rysunek 4-02 ilustruje - w ujȩciu pogl adowym - operacjȩ i konstrukcjȩ k ladu na rzutniȩ poziom a, tj. obrotu p laszczyzny doko la dowolnej jej prostej poziomej (warstwowej) w do po lożenia równoleg lego do rzutni poziomej: punkt A o - obraz obracanego punktu A musi znaleźć siȩ na prostej prostopad lej do prostej w (NCH) 1 w odleg lości równej rzeczywistej d lugości odcinka (promienia obrotu) [OA] (N5). Rzeczywist a d lugość odcinka [OA] znajdujemy poprzez k lad różnicowy. Rysunki: 4-03 oraz od 4-04 do 4-05 pokazuj kolejne etapy konstrukcji k ladu p laszczyzny w dwóch sytuacjach. W pierwszej sytuacji p laszczyzna określona jest na pocz atku za pomoc a jej prostej warstwowej i punktu nie leż acego na tej prostej (na rys s a to: prosta w(w, w ) i punkt A(A, A )). W drugiej ods lonie p laszczyzna jest określona 1 NCH oznacza niezmiennik charakterystyczny rzutu prostok atnego, tzn. nastȩpuj ac a w lasność: it jeżeli jedno ramiȩ k ata prostego jest równoleg le do rzutni, drugie zaś nie jest prostopad le, to rzutem prostok atnym k ata prostego jest k at prosty

4 4 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, dachy 04 Rys. 4-04: K lad w rzutach Monge a p laszczyzny określonej przez dwie proste a(a,a ), b(b,b ). Wybieramy najpierw: a1 a2) dowoln a prost a warstwow a tej p laszczyzny; a3 a5) konstrukcjȩ realizujemy analogicznie jak na rys (cdn) Rys. 4-05: K lad p laszczyzny (cd): a6) k lad A o punktu A; a7) proste a o, b o w k ladzie (rzeczywiste po lożenie prostych, w tym k ata miȩdzy nimi) jest za pomoc a dwóch prostych przecinaj acych siȩ (na rys s a to proste a(a, a ), b(b, b )). W celu dokonania k ladu wybieramy wcześniej dowoln a prost a warstwow a tej p laszczyzny (rys.

5 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, dachy a a2), nastȩpnie powtarzamy konstrukcjȩ z rys. 4-04, by na koniec narysować proste (a, b) w k ladzie (a o, b o ) (rys. 4-05a7). 2. Prostopad lość w rzutach Monge a Aby scharakteryzować w rzutach Monge a prostopad lość rozwi ażmy takie Zadanie Znaleźć rzuty prostej, prostopad lej do p laszczyzny równoleg loboku, prze- Rys. 4-06: Konstrukcja p laszczyzny prostopad lej do prostej l; b) wybieramy dowoln a prost a a prostopad l a do prostej l (prosta a ilustruje prostopad lść prostej a do prostej l l a a); c) wybieramy drug a prost a b prostopad l a do prostej l; d) prosta l jest prostopad la do p laszczyzny α(a,b) chodz acej przez dany punkt (rys. 4-06). Za lóżmy, że dane s a rzuty [A B C D ], [A B C D ] równoleg loboku [ABCD] oraz rzuty L, L punktu L. Znajdziemy rzuty l, l prostej l przechodz acej przez punkt L i prostopad lej do p laszczyzny równoleg loboku. Pamiȩtamy, że prosta jest protopad la do p laszczyzny wtedy i tylko, gdy jest prostopad la do dwu prostych nierównoleg lych leż acych ne tej tej p laszczyźnie (rys. 4-06). Proste te możemy wybrać dowolnie i w zwi azku z tym wybierzemy proste: poziom a (warstwow a) w i czo low a c. Wyboru takiego dokonujemy z uwagi na możliwość wykorzystania niezmiennika NCH dziȩki któremu prostoapd lość szukanej prostej l do prostych w i c przenosi siȩ na rzuty. Tzn. rzut poziomy l prostej l jest prostopad ly do rzutu poziomego w (rys. 4-08a2), rzut pionowy l jest prostopad ly do rzutu pionowego c prostej czo lowej c (rys. 4-09a4). Możemy to zapisać l ω(w, c) = l w l c. (1)

6 6 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, dachy 04 Rys. 4-07: a) Dany jest równoleg lobok [ABCD]([A B C D ],[A B C D ]) oraz punkt L(L,L ); a1) wybieramy dowoln a prost a warstwow a w(w x) p laszczyzny równoleg loboku (cdn) Rys. 4-08: a2) konstruujemy rzut poziomy l szukanej prostej l; a3) wybieramy dowoln a prost a czo low a c(c x) p laszczyzny równoleg lboku (cdn) Jest to ciekawy wniosek ale o wiele ważniejsza by laby implikacja odwrotna, tzn., by na podstawie rzutów danej prostej stwierdzić czy prosta ta jest prostopad la do p laszczyzny. Otóż

7 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, dachy 04 7 Rys. 4-09: a4) konstruujemy rzut pionowy l szukanej prostej l; a5) prosta l γ(abcd)(l w i l c ) implikacja odwrotna jest prawdziwa jeśli wy l aczymy przypadek, w którym prosta l nie jest prostopad la do osi x rzutów. W wy l aczonym bowiem przypadku p laszczyzna jest równoleg la do osi x i jej rodziny prostych warstwowych i czo lowych pokrywaj a siȩ. Wy l aczenie tego przypadku nie jest rzecz a now a. Wszak pamiȩtamy, że w przypadku, gdy prosta jest prostopad la do osi rzutów pojawiaj a siȩ k lopoty z odwzorowaniem prostej (rys. 2-06h) czy też określeniem przynależności punktu do prostej (rys. 3A-09b1, 3A-11, 3A-13). Zwykle w takich sytuacjach pos lugujemy siȩ rzutem bocznym. Ale powróćmy do charakteryzacji prostopad lości. Za lóżmy, że spe lniony jest warunek l w l c dla pewych prostych poziomej w i czo lowej c takich, że (w c). Wyobraźmy sobie dwie p laszczyzny: poziomorzutuj ac a α i pionoworzutuj ac a β przechodz ace przez prost a l. Zachodz a wówczas równości: l = α i l = β. Prostopad lość prostej w do prostej l (= α ) implikuje, wobec równoleg lości prostych w i w, prostopad lość prostej w do prostej l leż acej w p laszczyźnie α. Podobnie rozumuj ac w odniesieniu do prostej c, prostej l i p laszczyzny β wnioskujemy, że prosta c jest prostopad la do prostej l. Zatem prosta l jest równocześnie prostopad la do prostych w i c (z za lożenia nierównoleg lych). Możemy wiȩc napisać równoważność: l x = l ω(w, c) l w l c. (2) 3. Rozwi azywanie dachów 3.1. Dachy na budynkach wolnostoj acych Rozważać bȩdziemy dachy utworzone z p laskich wielok atów zwanych po laciami dachowymi przy za lożeniu, że górne krawȩdzie ścian budynku tworz a p laski wielok at, który nazywać bȩdziemy podstaw a dachu. Rozwi azanie dachu przy danej jego podstawie polega na wyz-

8 8 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, dachy 04 naczeniu po laci tworz acych ten dach oraz k atów miȩdzy nimi. Zgodnie z przytoczonym Rys. 4-10: Dachy kszta ltuj a krajobraz: a) budynek liceum w Augustowie (zbudowany 1922) z dachem regularnym i rzut prostok atny szkieletu tego dachu; b) wspó lczesny dom jednorodzinny z regularnym dachem i rzut prostok atny szkieletu tego dachu; c) wspó lczesny dom jednorodzinny z nieregularnym dachem i rzut prostok atny szkieletu tego dachu twierdzeniem krawȩdzie zetkniȩcia siȩ po laci zawieraj a siȩ w osiach symetrii okapów, które najczȩściej s a dwusiecznymi k atów. Dachy na budynkach wolnostoj acych, tzn. nie przylegaj acych do innych, rozwi azywać bȩdziemy przy dwu nastȩpuj acych za lożeniach: przez każdy bok wielok ata przechodzi po lać dachowa, wszystkie po lacie określonego dachu tworz a jednakowe k aty z poziomem. Okapem po laci dachowej nazywamy krawȩdź p laszczyzny tej po laci z podstaw a dachu. Kalenica jest to wspólna (górna) krawȩdź po laci o okapach równoleg lych, linia narożna jest to wypuk le zetkniȩcie siȩ (krawȩdź) dwu po laci o nierównoleg lych okapach, linia koszowa - wklȩs le zetkniȩcie siȩ dwu po laci o nierównoleg lych okapach. Jeżeli linia narożna nie dochodzi do wierzcho lka wielok ata podstawy dachu, to nazywamy j a narożem zgubnym. Kalenice i linie

9 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, dachy 04 9 Rys. 4-11: Czȩściowo-regularny dach budynku Wydzia lu Ekonomicznego Universytetu w Bia lymstoku i rzut prostok atny czȩści szkieletu budynku z architektoniczn a modyfikacj a dachu regularnego w kierunku czȩściowo regularnego dachu (a a a a ). U góry fragment miasta z budynkiem atrialnym Wydzia lu Ekonomicznego Universytetu w Bia lymstoku oraz atrialny zespó l budynków Wyższego Seminarium Duchownego (fot. W. Wo lkow) narożne zgubne tworz a liniȩ grzbietow a dachu. Przy rozwi azywaniu dachu korzystać bȩdziemy z nastȩpuj acego twierdzenia geometrii: jeżeli dwie p laszczyzny tworz a równe k aty z rzutni a, to rzut prostok atny krawȩdzi tych p laszczyzn jest osi a symetrii śladów tych p laszczyzn. Przejdźmy do rozwi azania dachu, którego podstawȩ ilustruje rysunek 4-12a). Dla pe lnego określenia dachu zadajemy jeszcze k at nachylenia po laci. Rozwi azanie, które zawsze rozpoczynamy od rzutu poziomego, nie zależy od k ata nachylenia po laci. Dach może być bardziej lub mniej stromy. Dla u latwienia rozwi azania oznaczamy kolejne po lacie numeruj ac okapy. Okap oznaczamy numerem, krawȩdź oznaczamy par a znaków opisuj acych po lacie tworz ace tȩ krawȩdź, wierzcho lek - trójk a znaków wyznaczaj acych ten wierzcho lek. Wierzcho lek dachu może być czȩści a wspóln a wiȩcej niż trzech po laci. Mamy wówczas do czynienia z pojȩciem nieregu-

10 10 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, dachy 04 larności szkieletu dachu 2. Dach regularny to taki, w którym w każdym wierzcho lku spotykaj a siȩ dok ladnie trzy krawȩdzie i każda po lać ma dok ladnie jeden okap. W przeciwnym przypadku mówimy o dachu nieregularnym. Na rys. 4-10c) nieregularny dach ma trzy punkty nieregularności, dwa z nich s a konsekwencj a posiadania przez dwie po lacie po dwa okapy, trzeci jest miejscem spotkania wiȩcej niż trzech krawȩdzi. Nieregularność dachu jest wprawdzie kategori a czysto geometryczn a. Ale jest to w lasność grafu implikuj aca cechy estetyczne dachu 3. Kszta lt geometryczny dachu zależeć bȩdzie nie tylko od kszta ltu wielok ata podstawy ale także od proporcji poszcaególnych boków wieloka ata podstawy. Jeżeli chcemy mieć określony kszta lt dachu (lub inaczej nie chcemy by kszta lt dachu by l przypadkowy) powinniśmy przy projektowaniu budynku, na pocz atku przy określaniu planu dokonali analizy kszta ltu dachu. Zasadȩ rozwi ania, pe lny algorytm wykonania geometrycznego projektu (dachu jako pewnej powierzchni wielościennej) przedstawiamy na rysunkach od 4-12 do Rys. 4-12: Aby rozwi azać dach: a) o podstawie wielok ata (liczby oznaczaj a d lugości boków np. w [mm]); a1) numerujemy okapy (po lacie); prowadzimy symetralne k atów; a2) oznaczaj ac je parami numerów po laci; rozwi azanie rozpoczynamy od po laci 7: dwusieczne (7,1) i (7,6) zamykaj a po lać 7; a3) z punktu (1,7,6) prowadzimy brakuj ac a krawȩdź (6,1) jako symetraln a okapów 6, 1 i zamykamy po lać 1 krawȩdzi a (1,2); a4) z punktu (1,2,6) wychodzi brakuj aca krawȩdź (6,2) (przed lużamy wcześniej linie okapów 6, 2), która; a5) spotykaj ac krawȩdź (6,5) zamyka po lać 6 (cdn) 3.2. Dachy z s asiadami Inn a nieco kategoriȩ stanowi a dachy z ograniczeniami lub z s asiadami (rys. 4-19). Zak lada siȩ, że pewne boki wielok ata podstawy dachu lub ich czȩści nie mog a być okapami. W rzeczy- 2 Regularność dachu zwi azana jest z regularności a grafu dachu. Dla dachu regularnego daje siȩ sformu lować twierdzenie Eulera. 3 Jest interesuj ac a rzecz a, że dach regularny oparty na podstawie wielok a o bokach prostopad lych lub równoleg lych do danego kierunku, maj acy wiȩcej niż cztery okapy musi mieć krawȩdzie koszowe i nieparzyst a liczbȩ po laci. Przedstawiony na rys. 4-12a dach jest regularny ale jego okapy nie spe lniaj a warunku równoleg lości do podstawowych kierunków na p laszczyźnie. St ad nieparzysta liczba okapów.

11 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, dachy Rys. 4-13: a6) z punktu (2,6,5) prowadzimy krawȩdź (5,2) jako symetraln a k ata miȩdzy okapami 5, 2 (przed lużamy wcześniej linie okapów 5, 2) i zamykamy po lać 5 pierwsz a napotkan a krawȩdzi a (5,4); a7 a8) zamykamy po lać 2 pierwsz a napotkan a krawȩdzi a (2,3), w tym samym punkcie spotykamy krawȩdź (4,3) zamykamy po lać 3; a9) pogrubiamy otrzymane krawȩdzie szkieletu dachu. Po ustaleniu k ata nachylenia po laci ψ dach jest jednoznacznie określony; a10) k at ten określa siȩ np. przez ustalenie rzutu pionowego po laci 7; a11) znajdujemy rzut pionowy krawȩdzi (6,1) (równoleg ly do rzutni poziomej); a12) rzut pionowy krawȩdzi (6,2) (ślad prostej (6,2) jest punktem przeciȩcia siȩ okapów 6, 2); a13) rzut pionowy krawȩdzi (6,5) (cdn) wistości, w praktyce oznacza to, że w kierunku danego odcinka (odcinków) boków wielok ata

12 12 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, dachy 04 Rys. 4-14: a14) rzut pionowy krawȩdzi (1,2); a15) po laci 5; a16) krawȩdzi (4,2); oraz a17) po laci 3. K lad po laci 2: a18) wybieramy punkt P(P,P ) i oś obrotu (okap 2) i prowadzimy przez P prost a prostopad l a do okapu 2; a19) przez punkt P prost a prostopad l a do tej prostej, znajdujemy punkt O ; a20) odmierzamy wysokość h p punktu P by znaleźć k lad boczny P punktu P, który; a21) l aczymy z punktem O otrzymuj ac k lad promienia obrotu r P (cdn)

13 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, dachy Rys. 4-15: a22 a25) otrzymujemy k lad P o punktu P i krawȩdzi (2,3); oraz a23) krawȩdzi (4,2) Rys. 4-16: K at miȩdzy po laciami 4 i 5 znajdujemy konstruuj ac p laski k at przekroju p laszczyzn a α prostopad l a do krawȩdzi: a2) k(k,k )=(4,5); a3 a4) wybieramy na krawȩdzi dowolny punkt A(A,A ) (A α); i a5) prost a czo low a c(c,c ); a6) rzut pionowy śladu poziomego H c (cdn) podstawy nie może sp lywać woda deszczowa. Na rysunku fragmenty podstawy dachu (projektowanego budynku), gdzie nie może sp lywać woda, zaznaczamy podwójn a lini a (rys. 4-18a). Linia ta oznaczać może budynek s asiedni. By odpowiednio odprowadzić wodȩ wprowadzamy dodatkowe po lacie (a wiȩc i okapy) wcześniej zaznaczaj ac kierunek odp lywu wody. Musimy

14 14 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, dachy 04 Rys. 4-17: Znajdujemy: a7) ślad poziomy H c ; a8) ślad poziomy h α szukanej p laszczyzny α; a9) szukany k at; a10 a14) k lad tego k ata Rys. 4-18: Dach: a) z s asiadami (liczby oznaczaj a d lugości boków np. w [mm]) rozwi azujemy; przyjmuj ac a1) dodatkowe po lacie a wiȩc okapy I, II, III prostopadle do kierunków odprowadzenia wody; konstruujemy dwusieczne wszystkich k atów; a2) zamykamy po lacie I, 1, 2=III; a3) prowadzimy krawȩdź (3,6); a4) zamykamy po lacie II, 4, 6; a5) krawȩdź (3,5) zamyka ostatnie po lacie 5, 3

15 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, dachy Rys. 4-19: Piȩć rzutów dachu z rysunku 4-18, m.in. z góry (plan), z przodu (elewacja g lówna) Rys. 4-20: Dach atrialny czyli dach z (dwoma) podwórkami. Konstrukcjȩ szkieletu dachu sprowadzono do rozwi azania dachu nad wielok atami jednspójnymi (bez dziur ) poprzez a1) podzia l wielok ata podstawy; a2) na trzy podwielok aty (cdn) wiedzieć, że woda na danej p laszczyźnie sp lywa wzd luż linii spadu tej p laszczyzny, które s a prostymi prostopad lymi do warstwic (prostych warstwowych) tej p laszczyzny. Prost a warstwow a p laszczyzny jest każda prosta równoleg la do p laszczyzny poziomej. Każdy okap jest

16 16 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, dachy 04 Rys. 4-21: Dach atrialny czyli dach z (dwoma) podwórkami. Konstrukcjȩ szkieletu dachu sprowadzono do rozwi azania dachu nad wielok atami jednspójnymi (bez dziur ) poprzez: a3) podzia l wielok ata podstawy na trzy podwielok aty i rozszerzenie poprzez wyci agniȩcie odpowiednich fragmentów (operacja boolowska sumowania); a4) i rozwi azanie każdego zwyk lego dachu; a5) obciȩcie (operacja boolowska różnicy lub iloczynu ze stosownie dobranymi prostopad lościanami); a6) po l aczenie (operacja sumy) otrzymanych czȩści dachu (cdn) prost a warstwow a po laci dachowej. Woda sp lywa wiȩc prostopadle do okapu. Zatem maj ac dany kierunek sp lywu wody nowe okapy rysujemy prostopadle do tego kierunku.

17 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, dachy Rys. 4-22: Dach atrialny czyli dach z (dwoma) podwórkami. Konstrukcjȩ szkieletu dachu sprowadzono do rozwi azania dachu nad wielok atem jednspójnym (bez dziury ): a1) poprzez przekszta lcenie wielok ata wielospójnego na jednospójny - usuniȩcie czȩści wielok ata (operacja boolowska różnicy lub iloczynu ze stosownie dobranymi prostopad lościanami); a2) rozwi azanie zwyk lego dachu nad wielok atem jednospójnym; a3) wstawienie brakuj acych czȩści dachu (po l aczenie - operacja sumy) Rys. 4-23: Automatyzacja za pomoc a CAD rozwi azania dachów z ograniczeniami: a) ograniczenie indukuj ace dach z jednym punktem spustowym; b) ograniczenie indukuj ace dach z dwoma punktami spustowymi; c) dach bez okapów z piȩcioma punktami spustowymi

18 18 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, dachy 04 Rys. 4-24: Rozwi azanie dachu z ograniczeniem generuj acym jeden punkt spustowy: c1) rozszerzenie wielok ata generuj ace jeden punkt spustowy; a2) otrzymany wielok at ma jeden bok o bardzo ma lej (infinitezymalnej) d lugości; a3) rozwi azanie zwyk lego dachu nad wielok atem jednospójnym; a3) obciȩcie czȩści uzupe lnionej czyli operacja boolowska (różnica lub iloczyn) Rys. 4-25: Rozwi azanie dachu z ograniczeniem generuj acym dach z dwoma punktami spustowymi: b1) rozszerzenie wielok ata generuj ace dwa punkty spustowe; b2) otrzymany wielok at ma dwa boki o bardzo ma lej (infinitezymalnej) d lugości; b3) rozwi azanie zwyk lego dachu nad wielok atem jednospójnym; a3) obciȩcie czȩści uzupe lnionych czyli operacja boolowska (różnica lub iloczyn) Rozwi azuj ac dach o podstawie na rysunku 4-18a wprowadzamy trzy dodatkowe okapy. W celu odróżnienia ich od okapów budynku wolnostoj acego oznaczamy je rzymskimi cyframi (rys. 4-18a1). Prowadzimy dwusieczne wszystkich k atów, które s a utworzone przez s asiaduj ace okapy,

19 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, dachy Rys. 4-26: Rozwi azanie dachu z pe lnym ograniczeniem generuj acym dach z piȩcioma punktami spustowymi: c1) rozszerzenie wielok ata generuj ace piȩć punktów spustowych; c2) otrzymany wielok at ma piȩć boków o bardzo ma lej (infinitezymalnej) d lugości; c3) rozwi azanie zwyk lego dachu nad wielok atem jednospójnym; c4) obciȩcie czȩści uzupe lnionych czyli operacja boolowska (różnica lub iloczyn) w tym również okapy nowe (rys. 4-18a1). Woda bȩdzie odprowadzana tak jak wskazuj a strza lki. Id ac wzd luż wielok ata podstawy dachu zgodnie ze wskazówkami zegara i rozpoczynaj ac analizȩ od najwyżej po lożonej na rysunku strza lki woda bȩdzie odprowadzana kolejno prostopadle do okapów: I, 1, 2, III, 4, II, 3. Zauważmy, że okap III jest przed lużeniem okapu 2. Po lać 2 jest wiȩc identyczna z po laci a III 4. Geometria dachów z ograniczeniami to nic innego jak geometria dachów na budynkach wolnostoj acych, gdzie dowoln a powierzchniȩ wielościenn a jak a jest dach poddajemy operacji różnica (union). Dok ladniej, operacja rozwi azania dachu polega na zaprojektowaniu budynku wolnostoj acego tak, by po usuniȩciu (odciȩciu) p laszczyznami pionowymi fragmentów powierzchni i zast apieniu ich wielok atami leż acymi w tych p laszczyznach otrzymać ż adany dach. W sensie geometrii elementarnej geometria dachów - to wyspecjalizowany dzia l powierzchni wielościennych maj acych interesuj ace w lasności praktyczne Dachy atrialne i z s asiadami rozwi azywane za pomoc a CAD Przedstawimy tu propozycje geometrycznego projektowania (rozwi azania geometrycznego) dachów z ograniczeniami, czyli z s asiadami, dachów atrialnych oraz dachów budynków z podwórkami pozwalaj ace wykorzystać oprogramowanie CAD do automatycznego rozwi azywania lub wspomagania rozwi azywania. Dachy z ograniczeniami konstruuje siȩ poprzez sprowadze- 4 Mamy wiȩc sytuacjȩ, w której po lać posiada dwa różne okapy. Taki dach nie da siȩ już na pewno rozszerzyć do dachu regularnego budynku wolnostoj acego. Przez rozszerzenie dachu rozumieć bȩdziemy takie uzupe lnienie wielok ata podstawy, że dach staje siȩ dachem budynku wolnostoj acego i fragmentem tego dachu jest dany dach z ograniczeniem.

20 20 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, dachy 04 Rys. 4-27: Szkielety dachów o wielok atach podstaw z rys nie ich (poprzez rozszerzenie wielok ata podstawy) do dachów zwyk lych, tj. rozpiȩtych nad wielok atem jednospójnym. Nastȩpnie do zaprojektowanych wcześniej dachów zwyk lych stosuje siȩ dzia lania boolowskie. Dachy z podwórkami projektuje siȩ również na bazie wykszta ltowanych wcześniej dachów nad wielok atami jednospójnymi poprzez infinitezymalne wyciȩcia wielok ata wielospójnego. Coraz bardziej powszechne metody pos lugiwania siȩ programami komputerowymi przy projektowaniu architektoniczno-budowlanym umożliwiaj a, czy też może lepiej powiedzieć wymuszaj a, zupe lnie różne od tradycyjnego, podejście do geometrycznego rozwi azania dachu budynku granicz acego bezpośrednio z innymi budynkami (tzw. dachu z s asiadami lub ograniczeniami) 5 lub posiadaj acego ograniczenie z innych powodów, np. estetycznych. Tradycyjne rozwi azanie dachu (por. rys. 4-18a1) wymaga wprowadzenia dodatkowych po laci, a wiȩc okapów, by odprowadzić wodȩ od s asiada (rys. 4-18a2) lub równolegle do krawȩdzi z s asiadem (na rys. 4-18a1 kierunek ten wskazuj a strza lki), co wymaga od projektanta wykonania różnych, nierzadko skomplikowanych, zabiegów. Czȩsto problem musimy traktować indywidualnie. Pomys l zaprzȩgniȩcia komputera do wykonania tej pracy, czy nawet użycia komputera do wspomagania realizacji postawionego zadania wymaga ujednolicenia (uczynienia uniwersalnym) algorytmu postȩpowania, by móc skorzystać z istniej acych programów lub napisać w lasne nak ladki b adź autonomiczne aplikacje 6. W proponowa- 5 Przy projektowaniu dachów należy brać pod uwagȩ ściany przyleg lych budynków. Po lacie powinny być tak zaprojektowane, żeby woda nie sp lywa la na mur s asiaduj acy 6 Wśród istniej acych procedur graficznych realizuj acych ściȩty dach dla wielok ata (wielok at wyt loczony) warto wymienić polecenie EXTRUDE (WYCIA GNIJ) w systemie AutoCAD wszystkich generacji, poczynaj ac od wersji 14. Jest rzecz a interesuj ac a, że odpowiednik, czy dok ladniej mówi ac przodek tej funkcji - polecenie SOLEXT z pakietu AME w wersji 12 programu AutoCAD realizuje nie tylko ściȩty szkielet dachu, ale także pe lny dach. Polecenie to można wykorzystać do konstruowania dachów, a wiȩc do projektowania geometrii dachów w standardowej wersji programu AutoCAD. Wersja 11 tego systemu nie zawiera tej funkcji, chociaż zawiera pakiet AME. Za pomoc a dostȩpnego na rynku programu ArCon 5.0 tego typu dachy można projektować.

21 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, dachy Rys. 4-28: Projektowanie geometrii dachu z ograniczeniami poprzez rozwi azanie dachu zwyk lego z późniejszymi korektami: a1) strza lki wskazuj a kierunek odp lywu wody i wymuszaj a istnienie nowych okapów; a2) linie przerywane oznaczaj a dodatkowe okapy; a3) wyznaczenie podstawy dachu pomocniczego; a4) dach pomocniczy; a5) wyznaczone po lacie odprowadzaj ace wodȩ we w laściwych kierunkach nej metodzie wprowadzenie dodatkowych po laci (okapów) uzyskuje siȩ poprzez rozszerzenie w sposób naturalny (bez wprowadzania okapów pozornych) wielok ata podstawy dachu (czyli planu budynku) (rys. 4-24a1, 4-25b1, 4-26c1). Rozwi azanie spowadza siȩ wiȩc do odpowiedniego zanurzenia dachu z ograniczeniami w dach nad wielok atem jednospójnym (rys. 4-24a1, 4-25b1, 4-26c1), rozwi azania zwyk lego (standardowego) dachu (rys. 4-24a4, 4-25b3, 4-26c4) i wykonania odpowiednich operacji boolowskich. (różnica (subtract), iloczyn (intersect), suma (union)) (rys. 4-24a1, 4-25b1, 4-26c1). Może siȩ zdarzyć, że rozwi azanie dachu, poprawne geometrycznie, jest nie do przyjȩcia pod wzglȩdem konstrukcyjno-technologicznym. Wada polega na takim ukszta ltowaniu dachu, że pojawia siȩ w nim krawȩdź koszowa wklȩs la o ma lym nachyleniu lub (co jest już zupe lnie niedopuszczalne) równoleg la do p laszczyzny podstawy dachu (rys. 4-29b, 4-29c). Pozioma wklȩs la (koszowa) kalenica lub krawȩdź z ma lym nachyleniem, dyskwalifikuje rozwi azanie dachu z inżynierskiego punktu widzenia. Na rysunku 4-29 mamy trzy różne rozwi azania dachu o danej podstawie (rys. 4-29a). Pierwsze, poprawne rozwi azanie jest nastȩpstwem zastosowania metody topograficznej, która polega na dokonywaniu poziomego przekroju dachu i, przy określaniu (znajdowaniu) kolejnego nowego

22 22 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, dachy 04 Rys. 4-29: Trzy różne rozwi azania dachu: a) nad ośmiok atem; a1) rozwi azanie poprawne pod wzglȩdem technologicznym; b) wadliwe technologicznie rozwi azanie jako efekt operacji boolowskiej dwu poprawnie rozwi azanych dachów (b1); c) inn wadliwe technologicznie rozwi azanie jako efekt operacji boolowskiej dwu poprawnie rozwi azanych dachów (c1) wierzcho lka, badaniu czy zmieni l siȩ kszta lt topologiczny przekroju 7. Funkcja SOLEXT w programie AutoCAD w. 12, takie rozwi azanie wyklucza, co jednak nie zwalnia projektanta od inżynierskiej weryfikacji rozwi azania. Literatura 7 Szczegó lowe informacje na temat metody topograficznej znajdziemy w monografii Edwina Koźniewskiego: Geometria dachów. Teoria i zastosowania. Wydawnictwo Politechniki Bia lostockiej, Bia lystok, 2007.

23 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, dachy [Gro95] B. Grochowski: Geometria wykreślna z perspektyw a stosowan a. Wydawnictwo Naukowe PWN. Warszawa [Lew95] Z. Lewandowski: Geometria wykreślna. PWN. Warszawa [Koz07] E. Koniewski: Geometria dachów. Teoria i zastosowania. Wydawnictwo Politechniki Bia lostockiej. Bia lystok [Ott94] F. Otto, E. Otto: Podrȩcznik geometrii wykreślnej. Wydawnictwo Naukowe PWN. Warszawa [Prz82] S. Przew locki: Geometria wykreślna w budownictwie. Arkady. Warszawa 1982.