Geometria odwzorowań inżynierskich powierzchnie Wyk lad 05B

Transkrypt

1 Scriptiones Geometrica Volumen I (2014), No. 5B, Geometria odwzorowań inżynierskich powierzchnie Wyk lad 05B Edwin Koźniewski Zak lad Informacji Przestrzennej 1. O powierzchniach maj acych zastosowanie w budownictwie i architekturze Wnȩtrza, korytarze, tunele, wiadukty, wejścia s a od góry ograniczone p laskim sufitem lub sklepieniem wspieraj acym siȩ na ścianach lub kolumnach. Sklepienia s a utworzone z fragmentów powierzchni. Zwykle s a to: sfera, elipsoida, walec obrotowy i nieobrotowy, stożek obrotowy i nieobrotowy, torus, konoidy, cylindroidy, konusoidy. Niektóre z nich s a powierzchniami stopnia drugiego Powierzchnie stopnia drugiego Powierzchni a stopnia drugiego nazywamy każd a powierzchniȩ, któr a we wspó lrzȩdnych jednorodnych można przedstawić w postaci: Σ 4 i,j=1 a ijx i x j = 0, (1) gdzie a ij = a ji. Geometrycznie fakt, że powierzchnia jest stopnia drugiego wyraża siȩ tym, że prosta ma z powierzchni a dwa punkty wspólne, jeden punkt wspólny lub nie ma punktów wspólnych. Powierzchnia stożka obrotowego, sfera, omawiana wcześniej hiperboloida obrotowa jednopow lokowa s a powierzchniami stopnia drugiego. Natomiast powierzchnia torusa jest powierzchni a stopnia czwartego. Czȩść wspólna powierzchni stopnia drugiego jest krzyw a stopnia czwartego, na ogó l przestrzenn a. W zastosowaniach technicznych interesuj acy jest przypadek, w którym linia przenikania rozpada siȩ na dwie stożkowe, czyli dwie krzywe p laskie stopnia drugiego, których równania podobne s a do równań (1), w których indeksy zmieniaj a siȩ od 1 do Twierdzenia o rozpadzie linii przenikania powierzchni stopnia drugiego Twierdzenia te s a nastȩpuj ace: Edwin Koźniewski c 2014 Politechnika Bia lostocka, Bia lystok

2 2 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, Wyk lad 05B Twierdzenie 1 Jeżeli linia przenikania dwu powierzchni stopnia drugiego rozpada siȩ na dwie czȩści, z których jedna jest stożkow a, to druga jest też stożkow a. Twierdzenie 2 Linia przenikania dwu powierzchni stopnia drugiego opisanych na wspólnej sferze rozpada siȩ na dwie stożkowe. Rys. 5B-01: Elementy sklepień krzyzowego i klasztornego: a) fragmenty walca obrotowego; a11) kozuba (rzut poziomy); a12) rzut poziomy sklepienia krzyzowego; a21) koleba (rzut poziomy); a22) rzut poziomy sklepienia klasztornego Rys. 5B-02: Konstrukcja rzutów prostok atnych sklepienia krzyżowego: a) przyjmujemy rzut poziomy tworzcej kozuby; a1) konstruujemy jej rzut pionowy; a2) rzuty prostok atne sklepienia krzyzowego odwzorowanego przez wybrane tworz ace Wezźmy pod uwagȩ dwie powierzchnie walców obrotowych o jednakowych promieniach, o osiach prostopad lych i przecinaj acych siȩ. Istnieje sfera na której walce te s a opisane. Ich linia przenikania rozpada siȩ na dwie stożkowe, czyli na dwie elipsy (spośród krzywych

3 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, Wyk lad 05B 3 Rys. 5B-03: Aksnonometria sklepienia krzyzowego. Wybrane tworz ace przechodz a przez punkty elipsy i s a konstruowane z wykorzystaniem powinowactwa osiowego Rys. 5B-04: Przyk lady konstrukcji sklepień kolebkowych (krzyżowych) z podniesionym kluczem, powsta lych: a) na bazie walca nieobrotowego, którego kierownic a jest pó lokr ag a tworz ace s a nachylone pod sta lym k atem do p laszczyzny okrȩgu; b) o osiach lukowych o profilu ko lowym: pó lokr ag przesuwany jest wzd luż luku innego okrȩgu, b1 b3) każdy punkt przesuwanego okrȩgu zakreśla luk równoleg ly do luku krzywej prowadz acej p laskich na powierzchni walca leż a tylko elipsy i okrȩgi). Rozważmy czȩść obu powierzchni, której rzutem prostok atnym jest kwadrat (Rys. 5B-01a). Wyróżnijmy czȩści powierzchni, których rzutami s a trójk aty równoramienne. Trójk at równoramienny, w którym tworz ace s a prostopad le do podstawy jest rzutem czȩści powierzchni zwanej kozub a (Rys. 5B-01a11),

4 4 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, Wyk lad 05B Rys. 5B-05: Sklepienia krzyżowe rozpiȩte nad sześciok atem: z podniesionym kluczem (lewy górny róg); z obniżonym kluczem (na dole) wykonane w AutoCADzie za pomoc a funkcji, specjalnie napisanych w jȩzyku AutoLISP. Krzywymi prowadz acymi s a odcinki Rys. 5B-06: Konstrukcja sklepienia klasztornego: a a2) wybrane tworz ace (konstrukcja dyskretna) skonstruowano przy użyciu transformacji uk ladu rzutni; a21) konstrukcja sklepienia klsztornego otwartego poprzez odciȩcie p laszczyznami pionowymi (linie) przekroju s a elipsami równoleg lymi do elips - linii żebrowych

5 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, Wyk lad 05B 5 Rys. 5-07: Konstrukcja wybranych tworz acych sklepienia klasztornego przy pomocy powinowactwa osiowego trójk at równoramienny, w którym tworz ace s a równoleg le do podstawy jest rzutem czȩści powierzchni walca zwanej koleb a (Rys. 5B-01a21). Figura z lożona z czterech przylegaj acych do siebie (wzd luż luków elips - tzw. linii żebrowych) kozub zwana jest sklepieniem krzyżowym (Rys. 5B-01a12), zaś figura z lożona z czterech podobnie przylegaj acych do siebie koleb nazywa siȩ sklepieniem klasztornym (Rys. 5B-01a22). Sklepienia krzyżowe mog a mieć podniesiony zwornik (klucz). W praktyce s a murowane na przesuwanej kr ażynie (geometrycznie: jest to czȩsto pó lokr ag) Kr ażyna jest szablonem wykonanym zazwyczaj z desek i tworzy ż adany profil sklepienia. Aby ukszta ltować sklepienie kr ażynȩ przesuwamy równolegle do ustalonej p laszczyzny pionowej wzd luż prostej (rys. 5B-04a a3) lub luku okrȩgu (rys. 5B-04b b3). Każdy punkt przesuwanego okrȩgu zakreśla luk równoleg ly do luku krzywej prowadz acej. 2. O powierzchniach prostokreślnych Wiele z omawianych wcześniej powierzchni - to powierzchnie prostokreślne. Jeżeli przez każdy punkt powierzchni Ω przechodzi prosta t, której wszystkie punkty należ a do tej powierzchni, to tak a powierzchniȩ nazywamy powierzchni a prostokreśln a a prost a t nazywamy tworz ac a powierzchni Ω. Każd a powierzchniȩ prostokreśln a można utworzyć przez ruch prostej (w przestrzeni) przecinaj acej trzy krzywe c 1, c 2, c 3. Przyz za lożeniu, że przez krzyw a można rozumieć także punkt dla c 1 = c 2 = W otrzymujemy powierzchniȩ stożkow a - gdy punkt W jest w laściwy i powierzchniȩ walcow a - gdy punkt W jest niew laściwy. Powierzchnie te nie musz a być ani powierzchniami stożka (obrotowego), ani walca, ponieważ krzywa c 3 jest zupe lnie dowolna). Dodajmy, że co innego oznaczaj a w tym wyk ladzie określenia powierzchnia walcowa i używana kilkakrotnie wcześniej powierzchnia walca. To samo dotyczy powierzchni stożkowej. Przytoczymy kilka typów powierzchni maj acych zastosowania techniczne (zw laszcza jeśli idzie o przekrycia budowlane). W przypadku, gdy c 1 jest jest prost a

6 6 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, Wyk lad 05B w laściw a, c 2 - prost a niew laściw a, c 3 - dowoln a krzyw a, otrzymujemy powierzchniȩ zwan a konoid a. Rysunek 5B-08 przedstawia konoidȩ, gdzie krzyw a jest pó lokr ag. W przypadku, gdy c 1 jest jest prost a w laściw a, c 2 - prost a niew laściw a, c 3 - dowoln a krzyw a, otrzymujemy powierzchniȩ zwan a powierzchni a siod low a lub paraboloid a hiperboliczn a (rys. 5B-09). Jest to powierzchnia stopnia drugiego. W przypadku, gdy jedna z krzywych, np. c 1 jest prost a w laściw a otrzymujemy powierzchniȩ zwan a konusoid a. W przypadku, gdy jedna z krzywych jest prost a niew laściw a otrzymujemy cylindroidȩ. Rysunki 5B-14, 5B-15 przedstawiaj a cylindroidy, gdzie krzywymi s a pó lokrȩgi. W pierwszym przypadku jest to sklepienie skośne, w drugim sklepienie marsylijskie. Wreszcie w przypadku, gdy wszystkie krzywe s a prostymi w laściwymi skośnymi otrzymujemy hiperboloidȩ jednopow lokow a. Jest to powierzchnia stopnia drugiego. Powierzchniȩ tȩ (o szczególnych parametrach) można otrzymać w wyniku obrotu prostej doko la innej prostej, gdy obie s a skośne. Rys. 5B-08: Aksonometria konoidy rozpiȩtej na pó lokrȩgu, odcinku i prostej niew laściwej. Konoidȩ tȩ AutoCADzie otrzymano za pomoc a polecenia POWPROST(RULESURF), zrealizowan a za pośrednictwem dwukonoidy (por. rys. 5B-10) 3. O powierzchniach powsta lych na bazie sfery Sfera może pos lużyć nam do kszta ltowania takich sklepie jak: bania, która jest modelem pó lsfery pokrywaj acej okr ag le wnȩtrze. Czȩsto spotykanym sklepieniem jest sklepienie czeskie. Jest to czȩść pó lsfery pozostaj aca po obciȩciu jej czterema p laszczyznami murów kwadratowego wnȩtrza, przy czym przek atna kwadratu jest równa średnicy pó lsfery (rys. 5B- 10b). Owe cztery p laszczyzny przecinaj a sferȩ w czterech przystaj acych pó lokrȩgach. Czȩść powierzchni pó lsfery, która leży nad kwadratem tworzy powierzchniȩ sklepienia czeskiego. Jej linia nasadowa sk lada siȩ ze wspomnianych czterech pó lokrȩgów. Na rys. 5B-10c przedstawiono rzuty prostok atne sklepienia czeskiego ściȩtego p laszczyzn a styczn a do pó lokrȩgów linii nasadowej tego sklepienia, zamkniȩtego pó lsfer a - tzw. bania na żagielkach. Czȩść sfery z lożona z czterech narożników (ściȩta piȩcioma p laszczyznami) tworzy żagielki. Sklepienie czeskie jest szczególnym przypadkiem sklepienia żaglowego - fragmentu sfery rozpiȩtego nad kwadratowym wnȩtrzem, gdzie przek atna kwadratu jest mniejsza od średnicy sfery lub jej

7 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, Wyk lad 05B 7 Rys. 5B-09: Aksonometria powierzchni siod lowej zraelizowanej w AutoCADzie za pomoc a polecenia POWPROST(RULESURF), kierownicami s a skośne przek atne ścian przeciwleg lych sześcianu i prosta niew laściwa pozosta lych dwu równoleg lych ścian sześcianu Rys. 5B-10: Rzuty prostok atne dwukonoidy zrealizowane (w 2D w AutoCADzie) za pośrednictwem rzutu trzeciego równa (rys. 5B-10c). Na żagielkach może spoczywać także kopu la ukszta ltowana przez powierzchniȩ pierścieniow a, powsta l a w wyniku obrotu luku okrȩgu doko la prostej nie przechodz acej przez środek tego okrȩgu (rys. 5B-10e). Kopu la taka może być zamkniȩta świetlikiem w kszta lcie walca zwieńczonego kolejn a kopu l a. Sklepienie czeskie (potraktowane ogójniej) możemy utworzyć z pó lelipsoidy obrotowej, rozpinaj ac je nad prostok atem wpisanym w elipsȩ podstawy ( równikow a ) tej pó lelipsoidy. Linia nasadowa sklepienia sk lada siȩ wówczas z czterech lȩków o jednakowo wzniesionych zwornikach; dwa lȩki s a pó lokrȩgami (równoleżnikami elipsoidy), a dwa s a pó lelipsami (przeciȩciami p laszczyznami równoleg lymi do p lazczyzny symetrii elipsoidy, zawieraj acymi boki prostok ata) (Dlaczego zworniki tych lȩków s a jed-

8 8 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, Wyk lad 05B Rys. 5-11: Dwukonoida zrealizowana automatycznie (3D) w AutoCADzie za pomoc a polecenia POWPROST(RULESURF) Rys. 5B-12: Za lożenia do sklepień lupinowych: a) z obniżonym kluczem; b) z podniesionym kluczem; c) za lożenie do modelu przekrycia konusoidonalnego (krzywe: odcinek c 1, pó lokr ag c 2, prosta c 3 ) nakowo wzniesione?).

9 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, Wyk lad 05B 9 Rys. 5B-13: Za lożenie i rozpoczȩte rozwi azanie modelu przekrycia konusoidonalnego (krzywe: prosta c 1, odcinek c 2, pó lokr ag c 3 ) Rys. 5B-14: Dwa rzuty sklepienia skośnego (krzywe: pó lokr ag c 1, pó lokr ag c 2, prosta c 3 ) Literatura [Fol95] J. D. Foley i inni: Wprowadzenie do grafiki komputerowej (Introduction to Com-

10 10 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, Wyk lad 05B Rys. 5B-15: Dwa rzuty sklepienia marsylijskiego (krzywe: luk okrȩgu c 1, pó lokr ag c 2, prosta c 3 ) Rys. 5B-16: Realizacja sklepień na bazie sfey: a) sklepienie czeskie; a ) aksonometria prostok atna sklepienia czeskiego; b) sklepienie żaglowe; c) bania na żagielkach; c ) aksonometria prostok atna bani na żagielkach puter Graphics). Wydawnictwa Naukowo-Techniczne. Warszawa [Gro95] B. Grochowski: Geometria wykreślna z perspektyw a stosowan a. Wydawnictwo Naukowe PWN. Warszawa [Jan90] M. Jankowski: Elementy grafiki komputerowej. Wydawnictwa Naukowo-Techniczne. Warszawa [Ott94] F. Otto, E. Otto: Podrȩcznik geometrii wykreślnej. Wydawnictwo Naukowe PWN.

11 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, Wyk lad 05B 11 Rys. 5B-17: a a1) Sklepienie krzyżowe rozpiȩte nad prostok atem zrealizowane za pomoc a transformacji do trzeciego rzutu. Jeden z walców - prostopad ly do rzutni pionowej jest eliptyczny; b) kopu la na żagielkach zrealizowana na bazie powierzchni pierścieniowej niebȩd acej klasycznym torusem, zamkniȩta cylindryczn a latarni a (świetlikiem) zwieńczon a kopu l a z powierzchni pierścieniowej Warszawa [Pik97] A. Pikoń: AutoCAD, wersje 10, 11, 12 i 12PL, 14 i 14PL i wyższe. Wydawnictwo HELION. Gliwice 1991, 1992, 1994, [Prz82] S. Przew locki: Geometria wykreślna w budownictwie. Arkady. Warszawa [Prz00] S. Przew locki: Geometria wykreślna w zastosowaniach dla budownictwa i architektury. Wydawnictwo Uniwersytetu Warmińsko-Mazurskiego. Olsztyn 2000.