Geometria odwzorowań inżynierskich powierzchnie 05A

Transkrypt

1 Scriptiones Geometrica Volumen I (2014), No. 5A, Geometria odwzorowań inżynierskich powierzchnie 05A E. Koźniewski Zak lad Informacji Przestrzennej 1. O krzywych i powierzchniach Dotychczas zajmowaliśmy siȩ g lównie odwzorowaniem prostej i p laszczyzny oraz obiektami, które daja a siȩ z lożyć z figur zawartych w p laszczyźnie, maj acych laman a jako brzeg. Opisywaliśmy je także analitycznie. Rozważaliśmy również znane ze szko ly powierzchnie: stożek, walec i sferȩ. Obecnie zajmiemy siȩ krzywymi i powierzchniami w ogólniejszym sensie. Analitycznie krzyw a zapisuje siȩ za pomoc a uk ladu równań parametrycznych: x = x(t), y = y(t), z = z(t), (1) gdzie parametr t < t 1, t 2 > a funkcje x = x(t), y = y(t), z = z(t) s a ci ag le we wspólnym przedziale określoności. Podobnie powierzchnie opisuje siȩ za pomoc a uk ladu funkcji ci ag lych, tym razem dwu zmiennych (parametrów): x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v), (2) o parametrach u < u 1, u 2 >, v < v 1, v 2 >. Ogólny opis powierzchni jest przedmiotem dyscypliny matematycznej zwanej topologi a, bardziej szczegó lowy ale i zawȩżony opis należy do geometrii różniczkowej. W geometrii i grafice inżynierskiej mówi siȩ o krzywych i powierzchniach, które maj a zastosowanie w technice, w szczególności w budownictwie i architekturze. 2. Niektóre sposoby tworzenia powierzchni Powierzchnie czȩsto otrzymuje siȩ przez tzw. zakreślanie przestrzeni, czyli przez przemieszczanie krzywej wzd luż pewnej trajektorii Zakreślanie przez obrót - powierzchnie obrotowe Za lóżmy, że dana jest oś obrotu (ang. axis of revolution) oraz krzywa definiuj aca (ang. path curve). Na rysunku 5A-01 jako krzyw a definiuj ac a przyjȩto prost a skośn a do osi obrotu i otrzymano powierzchniȩ zwan a hiperboliod a jednopow lokow a (obrotow a). Edwin Koźniewski c 2014 Politechnika Bia lostocka, Bia lystok

2 2 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, powierzchnie 05A Rys. 5A-01: Sposób tworzenia hiperboloidy obrotowej poprzez obrót prostej doko la innej prostej skośnej. Hiperboloida otrzymana poprzez obrót prostej - krzywej tworz acej (ang. path curve) doko la prostej - osi obrotu (ang. axis of revolution) Jeśli osi a obrotu krzywej opisanej równaniami (1) jest oś Oz uk ladu wspó lrzȩdnych, to równania opisuj ace powierzchniȩ maj a postać: x = x 2 (t) + y 2 (t)cosu, y = x 2 (t) + y 2 (t)sinu, z = z(t), t < t 1, t 2 >, u < u 1, u 2 >. (3) Każdy punkt (o wspó lrzȩdnych x = x(t), y = y(t), z = z(t)) krzywej definiuj acej obraca siȩ po Rys. 5A-02: Powierzchnia torusa zrealizowana w programie AutoCAD. okrȩgu zwanym równoleżnikiem. Powierzchniȩ tȩ można utworzyć za pomoc a programu AutoCAD przy użyciu funkcji REVSURF (ang. surface of revolution) przy wartości parametrów SURFTAB1=n 1 (n 1 - liczba powieleń krzywej definiuj acej - po ludników w przypadku krzywej p laskiej leż acej w p laszczyźnie osi obrotu), SURFTAB2=n 2 (n 2 - liczba okrȩgów zakreślonych przez wybrane punkty obrotu - równoleżników). Gdy krzyw a definiuj ac a jest prosta - to w zależności od jej po lożenia wzglȩdem osi obrotu otrzymujemy: - powierzchniȩ stożka (obrotowego), jeśli prosta definiuj aca przecina oś obrotu (powierzchnia znana z geometrii szko lnej), 1 Krzywa opisuj aca ruch punktu w kinematyce

3 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, powierzchnie 05A 3 - powierzchniȩ walca (obrotowego), jeśli prosta definiuj aca jest równoleg la do osi obrotu (powierzchnia znana z geometrii szko lnej), - powierzchniȩ hiperboloidy (obrotowej), jeśli prosta definiuj aca jest skośna wzglȩdem osi obrotu (rys. 5A-01). Gdy krzyw a definiuj ac a jest okr ag - to w zależności od jej po lożenia wzglȩdem osi obrotu otrzymujemy: - sferȩ, jeśli środek okrȩgu leży osi obrotu (powierzchnia znana z geometrii szko lnej), - powierzchniȩ pierścieniow a (torus) 2, jeśli środek okrȩgu nie leży na osi obrotu (w zasadzie przyjmuje siȩ, że okr ag leży w p laszczyźnie osi obrotu i odleg lość środka okrȩgu jest wiȩksza od promienia okrȩgu 3 ) (rys. 5A-02) Zakreślanie przez przesuniȩcie - powierzchnie walcowe Dana jest krzywa definiuj aca (ang. path curve, defining curve) oraz wektor kierunkowy (ang. direction vector) (rys. 5A-03). Powierzchnia jest zbiorem prostych (w AutoCADzie jest to zbiór odcinków) przecinaj acych krzyw a definiuj ac a. Równania takiej powierzchni, przy za lożeniu, że liczby a, b, c s a wspó lrzȩdnymi wektora przesuniȩcia zaś krzywa definiuj aca ma równania (1) maj a postać: x = x(t) + au, y = y(t) + bu, z = z(t) + cu, t < t 1, t 2 >, u < u 1, u 2 >. (7) Przedzia l < u 1, u 2 > w praktycznych zastosowaniach, np. w komputerowej grafice inynierskiej jest ograniczony, natomiast formalnie jest zbiorem wszystkich lizcb rzeczywistych Zakreślanie przez ruch śrubowy - powierzchnie śrubowe Dana jest krzywa definiuj aca (ang. path curve, defining curve) oraz wektor kierunkowy (ang. direction vector), k at obrotu (ang. angle of revolution). Na rysunku 5A-05 krzyw a definiuj ac a jest odcinek. Powierzchnia otrzymana za pomoc a ruchu śrubowego odcinka (prostej) nazywa siȩ powierzchni a śrubow a lub helikoid a. Krzyw a, któr a wyznacza koniec odcinka nazywamy lini a śrubow a (rys. 5A-05a3). Przy za lożeniu, że odcinek ma d lugość a, zaś skok linii śrubowej ma d lugość b równania linii śrubowej w odpowiednio przyjȩtym uk ladzie maj a postać: x = acost, y = asint, z = b t, t < 0, 2π >, (8) 2π 2 Jeśli, w pewnym uk ladzie wspó lrzȩdnych, okr ag o równaniach x = b + acosϑ, z = asinϑ, ϑ < 0, 2π >, 0 < a < b. (4) obraca siȩ doko la osi Oz, to powstaje powierzchnia zwana torusem, której równania parametryczne s a postaci x = bcosϕ + acosϑcosϕ, x = bsinϕ + acosϑsinϕ, z = asinϕ, ϑ < 0, 2π >, ϕ < 0, 2π >, 0 < a < b. (5) Jest to powierzchnia stopnia 4, gdyż daje siȩ ona, po eliminacji parametrów, przedstawić równaniem (x 2 + y 2 + z 2 a 2 b 2 ) 2 = 4b 2 (a 2 z 2 ) (6) i istniej a proste przecinaj ace tȩ powierzchniȩ w czterech punktach. 3 W praktyce projektowania architektonicznego korzysta siȩ również z powierzchni pierścieniowych, gdzie warunek odleg lości środka okrȩgu od osi obrotu nie jest spe lniony, np. przy projektowaniu kopu l (por. rys. 5B-17).

4 4 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, powierzchnie 05A Rys. 5A-03: Powierzchnia walcowa otrzymana przez przesuniȩcie krzywej tworz acej (ang. path curve) wzd luż odcinka - wektora kierunkowego (ang. direction vector) i helikoidy: x = (acost)u, y = (asint)u, z = b t, t < 0, 2π >, u < 0, 1 >. (9) 2π W przypadku opisuj acym helikoidȩ powsta l a przez obrót prostej w opisie parametrycznym parametr u przebiega ca ly zbiór liczb rzeczywistych. Przez eliminacjȩ parametrów otrzymujemy równanie powierzchni śrubowej w postaci jawnej: y = xtg 2πz b Elipsa jako obraz okrȩgu w powinowactwie Spośród różnych definicji elipsy na uwagȩ zas luguje taka, wed lug której elipsa jest obrazem okrȩgu w powinowactwie. Przygl adnijmy siȩ tej sytuacji rozwi azuj ac nastȩpuj ace zadanie. Zadanie 1 Skonstruować elipsȩ jako obraz okrȩgu w powinowactwie określonym przez oś k i parȩ odpowiadaj acych sobie punktów (O o, O e ) (rys. 5A-07a). Rozwi azanie zadania 1 opisane zosta lo na rysunkach 5A-07 5A-11. Pokazano tam konstrukcjȩ punktu elispy jako obrazu dowolnie wybranego punktu na okrȩgu w stosownie dobranym powinowactwie. Powinowactwo to może być zadane zupe lnie dowolnie. Jednak stosowny wybór czyni ca l a konstrukcjȩ bardziej eleganck a i, jak siȩ wydaje, zdecydowanie bardziej przyjazn a wykonawcy. Konstrukcjȩ tak a można powtarzać dowoln a liczbȩ razy. Wielokrotne stosowanie takiej metody by loby jednak dość uci ażliwe nawet przy za loėniu, że by loby realizowane na komputerze. W praktyce przyjmuje siȩ inny, o wiele prostszy, algorytm konstrukcji wynikaj acy z w lasności okrȩgu i powinowactwa jako odwzorowania geometrycznego. Jest to tzw. konstrukcja siatkowa (rys. 5A-12). Rzecz ciekawa, że konstrukcja ta może być wykorzystana w implementacji komputerowej. Implementacja taka zosta la zrealizowana, gdyż standardowe aplikacje programu AutoCAD zawieraj a funkcje rysuj ace elipsȩ

5 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, powierzchnie 05A 5 Rys. 5A-04: Ruch w przestrzeni powsta ly przez z lożenie dwóch ruchów: obrotowego i postȩpowego (w sensie geometrycznym jest to superpozycja dwu przekszta lceń: obrotu i przesuniȩcia) Rys. 5A-05: Kszta ltowanie powierzchni śrubowej (tzw. helikoidy) poprzez z lożenie obrotu z przesuniȩciem tylko w oparciu o jej osie, nie posiadaj a natomiast poleceń realizuj acych konstrukcje elipsy w oparciu o średnice sprzȩżone oraz funkcji rysuj acych hiperbolȩ i parabolȩ 4. 4 Procedury rysuj ace elipsȩ, parabolȩ i hiperbolȩ zrealizowano w jȩzyku AutoLISP (E. Koźniewski: Nak ladki na AutoCAD a STOŻKOWE I WIELOŚCIANY wspomagaj ace realizacjȩ rysunków technicznych i nauczanie

6 6 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, powierzchnie 05A Rys. 5A-06: Elipsa jako krzywa posiadaj aca dwa ogniska F 1, F 2 : a) zwi azki geometryczne miȩdzy d lugościami pó losi i odleg lości a ogniska od środka; b) promienie elipsy z danego punktu tworz a jednakowe k aty ze styczn a w tym punkcie - k at padania promienia dźwiȩkowego jest równy k atowi odbicia; c)-d) akustyczna w lasność elispy i elipsoidy - ogniska jako źród lo i punkt wzmocnienia dźwiȩku Opisy algebraiczne elipsy Omawiaj ac w lasności warto przypomnieć analityczny opis tej krzywej. W stosownie dobranym uk ladzie wspó lrzȩdnych równanie elipsy ma postać: x 2 a + y2 = 1, (10) 2 b2 gdzie liczby a, b oznaczaj a d lugości pó losi elipsy (rys. 5A-06). Jeśli ponadto przez c oznaczymy odleg lość ogniska od środka elipsy, to prawdziwa jest zależność: b 2 + c 2 = a 2, (11) która może być wykorzystana do konstrukcyjnego wyznaczania ogniska. Ponadto dla dowolnego punktu danej elipsy suma promieni r 1,r 2 jest sta la i równa 2a (r 1 + r 2 = 2a). W lasność ta może być wykorzystana do konstrukcji elipsy, może też być jej definicj a. Do konstrukcji wystarczy wtedy sznurek i dwie szpilki. Elipsa ma interesuj ace w lasności skupiaj ace promienie np. dźwiȩkowe (rys. 5A-06b) o ile źród lo dźwiȩku znajduje siȩ w ognisku. Elipsa jest krzyw a stopnia drugiego i ma interesuj ace w lasności, które zosta ly wykorzystane przy projektowaniu wnȩtrz o specjalnych w lsnościach akustycznych 5. geometrii wykreślnej. Bia lystok 1994). 5 Przyk ladem takich rozwi azań projektowych może być sala w zamku Lubomirskich herbu Śreniawa w Wiśniczu Starym k/bochni, która ma w lasności akustyczne bȩd ace konsekwencj a elipsoidalnego kszta ltu

7 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, powierzchnie 05A 7 Rys. 5A-07: Za lożenia do zadania 1. Dany jest okr ag o środku O o a) powinowactwo określone jest przez przyjȩcie dowolnie osi k (styczność nie jest konieczna) i punktu O e jako obrazu punktu O o ; b) wybieramy dwie średnice prostopad le okrȩgu (dla wygody konstruujemy kwadrat opisany na okrȩgu - po lożenie równoleg le do osi k jednej ze średnic jest przyjazne ale nie konieczne) (cdn) Rys. 5A-08: W określonym już powinowactwie konstruujemy obraz średnicy okrȩgu równoleg lej do osi k (cdn) Inn a postaci a analityczn a elipsy jest jej opis parametrczny: x = acost, y = bsint, t < 0, 2π >. (12) Taki opis u latwia obliczanie pola powierzchni obszaru ograniczonego elips a, które wynosi abπ Mimośrodowa w lasność elipsy Najogólniejsz a definicj a elipsy, obejmuj ac a również parabolȩ i hiperbolȩ, jest definicja stożkowej. Niech dane bȩd a punkt F i prosta k nie incyduj ace ze sob a. Stożkow a o ognisku F i kierownicy k nazywamy zbiór punktów X spe lniaj acych warunek: d(x, F) d(x, k) = e, (13) gdzie d(x, F) oznacza odleg lość punktu X od ogniska F, d(x, k) oznacza odleg lość punktu X od kierownicy k, zaś e jest pewn a liczb a dodatni a zwan a mimośrodem stożkowej. Wówczas sklepienia. Zwiedzaj acy może być świadkiem nastȩpuj acego zjawiska. Wystarczy cicho mówić w jednym rogu sali, by przez drug a osobȩ g los by l dobrze s lyszany w drugim rogu. Obserwuj ac rysunek 5A-06 nietrudno zauważyć, że punkty o takiej w laściwości znajduj a siȩ w ogniskach elipsoidy, której fragmentem jest sklepienie sali (rys. 5A-06c d). Dźwiȩk wydawany w punkcie F 1 poprzez skupienie promieni w punkcie F 2 ulega wzmocnieniu.

8 8 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, powierzchnie 05A dla e < 1 mamy elipsȩ, dla e = 1 - parabolȩ i dla e > 1 - hiperbolȩ. Ostatnia definicja ma ścis ly zwi azek z przekrojami stożka. Rys. 5A-09: Konstruujemy: a4) obraz drugiej średnicy okrȩgu i otrzymujemy tzw. średnice sprzȩżone elipsy; a5) wybieramy na okrȩgu dowolny punkt 1 o i prowadzimy przez ten punkt i przez środek okrȩgu (a wiȩc przez punkt, którego obraz w powinowactwie znamy) prost a. Znajdujemy przy okazji drugi punkt 2 o na okrȩgu (cdn) Rys. 5A-10: Znajdujemy: a6) obraz prostej oraz a7) obrazy 1 e, 2 e punktów 1 o, 2 o (cdn) 3. Hiperboloida obrotowa i schody krȩcone Zadanie 2 A) Skonstruować w programie AutoCAD, w trybie 2D, dowoln a aksonometriȩ hiperboloidy obrotowej jednopow lokowej, której równoleżnikiem jest dana, narysowana wcześniej elipsa o danych osiach (rys.14a). B) Narysować (tradycyjnie p-o) w rzutach prostok atnych (Monge a) i w aksonometrii prawieprostok atnej 8 2 (16 2) 6 tworz acych hiperboloidy (rys.5a-14b). C) Narysować za pomoc a programu AutoCAD, w trybie 3D, hiperboloidȩ jednopow lokow a. Rozwi azanie zadania 2A. Narysowanie hiperboloidy obrotowej środkami klasycznymi p-o, dok ladniej wybranej liczby jej tworz acych, w aksonometrii wymaga użycia powinowactwa osiowego. I to niezależnie, czy wykonujemy j a na komputerze w trybie 2D czy cyrklem i linijk a. Dopiero realizacja konstrukcji 3D odbywa siȩ za pomoc a przekszta lceń w przestrzeni 6 Liczba 16 2 oznazca, że mamy narysować dwie rodziny tworz acych hiperboloidy (rys. 5A-14A).

9 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, powierzchnie 05A 9 Rys. 5A-11: Wybieraj ac dowoln a liczbȩ punktów na okrȩgu otrzymujemy dowoln a liczbȩ punktów elipsy jako obrazu okrȩgu w przyjȩtym powinowactwie (koniec) Rys. 5A-12: Algorytm konstrukcji siatkowej elipsy jako konsekwencja w lasności powinowactwa okrȩgu i elipsy. W celu uporz adkowania systemu znajdowania obrazu okrȩgu odcinki [O o 4 o ], [Oo4 o] dzielimy na dowoln a liczbȩ równych czȩści odpowiednio punktami 1 o, 2 o, 3 o ; 1 o, 2 o, 3 o. Zauważmy, że trójk aty [A o O o 1 o ], [BoO o1 o] s a przystaj ace, zaś k aty (A o O o 1 o ), (BoO o1 o) s a równe. Zatem trójk aty [A o O o 1 o ], [A o B o P o ] s a podobne, a wiȩc k at (A o P o B o ) jest prosty i wobec tego punkt P o leży na okrȩgu. Obraz P e punktu P o leży wiȩc na elipsie. Ponieważ powinowactwo zachowuje stosunek podzia lu odcinka punkt P e możemy otrzymać dziel ac odcinki [O e 4 e ], [Oe4 e] na tak a sam a liczbȩ równych czȩści punktami 1 e, 2 e, 3 e ; 1 e, 2 e, 3 e i prowadz ac odpowiednie proste. Jak widać do konstrukcji wystarcz a średnice sprzȩżone a liczba punktów podzia lu decyduje od dok ladności aproksymacji krzywej laman a (OBRÓT/REVOLUTION, w AutoCADzie jest to polecenie POWOBROT/REVSURF). Konstrukcjȩ 2D przedstawia rys. 5A-14. Przy za lożeniu, że kreślimy tylko 8 tworz acych nie musimy korzystać z powinowactwa (rys. 5A-14), gdyż w tym przypadku podzia l elipsy jest zrealizowany przez przek atne równoleg lboku. W przypadku innej, wiekszej liczby tworz acych wykorzystujemy powinowactwo (rys ). Rysunek 5A-14 jest przede wszystkim

10 10 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, powierzchnie 05A Rys. 5A-13: Ilustracja konstrukcji siatkowej elipsy: a) danej za pomoc a średnic sprzȩżonych ćwiczeniem w rysowaniu za pomoc a edytora graficznego (AutoCAD). Rozwi azanie zadania 2B. Opis rozwi azania przeprowadzimy komentuj ac sekwencjȩ rysunków 5A-15 5A-17. Zak ladamy (rys. 15a), że: rys. 5A-15a) dana jest elipsa o danych dwóch średnicach sprzȩżonych przy czym średnice te musz a być zadane zgodnie z zasadami aksonometrii prawieprostok atnej (3:4), to znaczy przyjmujemy uk lad osi aksonometrii i dwa po lowi ace siȩ odcinki jeden wzd luż osi Oy, drugi skrócony w stosunku 3:4 wzd luż osi Ox (na rys. 15a średnice sprzȩżone przyjȩto w dowolnej aksonometrii); rys. 5A-15a1) w celu odwzorowania elipsy na okr ag konstrujemey oś powinowactwa równoleg l a do jednej ze średnic przechodz ac a przez koniec drugiej (to ostatnie za lożenie nie jest konieczne ale wygodne); rys. 5A-15a2) konstruujemy równoleg lobok i odpowiadaj acy mu kwadrat definiuj acy powinowactwo; rys. 5A-15a3) rysujemy okr ag i rys. 5A-15a4) dzielimy go na n (n=16) równych czȩści; rys. 5A-16a5) przekszta lcamy przez powinowactwo otrzymane punkty rysuj ac przez dwa z tych punktów prost a w uk ladzie okrȩgu; rys. 5A-16a6) znajdujemy obraz tej prostej; rys. 5A-16a7) znajdujemy obrazy dwóch punktów leż acych na tej prostej; rys. 5A-17a8) przekszta lcamy przez powinowactwo otrzymane pozosta le punkty równomiernego podzia lu okrȩgu, otrzymujemy punkty podzia lu elipsy (n = 16 punktów); i rys. 5A-17a9) rysujemy drug a, przesuniȩt a równolegle, elipsȩ i l aczymy punkty dolnej elipsy z punktami górnej elipsy przyjmuj ac przesuniȩcie o t(t = 4) punktów. Należy dodać, że ustawienie prostej tworz acej wzglȩdem osi obrotu jest zupe lnie dowolne. Na rysunku 5A-17a9 narysowano tylko jedn a rodzinȩ prostych, by rysunek ten by l możliwie jak najbardziej czytelny. Otrzymana powierzchnia może pe lnić w praktyce interersuj ace funkcje

11 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, powierzchnie 05A 11 Rys. 5A-14: Konstrukcja rzutu aksonometrycznego hiperboloidy obrotowej w AutoCADzie metod a 2D. Zak ladamy, że: a1) elipsa jest dana jako krzywa ci ag la o danych osiach (dwóch średnicach sprzȩżonych prostopad lych - ELLIPSE/ELIPSA). Rysujemy: a2) dowoln a średnicȩ i prost a do niej równoleg l a za pomoc a polecenia COPY/KOPIUJ; a3) obcinamy odcinki brzegiem elipsy (TRIM/UTNIJ); a4) l aczymy odcinkiem środki odcinków (PLINE/WIELOLINIA MIDpoint MIDpoint(INTersec)); a5) Wyd lużamy (EXTEND/WYD LUŻ) do brzegu elipsy; a6) Usuwamy linie pierwotne i pomocnicze (ERASE/WYMAŻ); a7) konstruujemy równoleg lobok; a8) i przek atne wyznaczaj ace punkty regularnego podzia lu elipsy na osiem czȩści odpowiadaj acego podzia lowi okrȩgu równoleżnika na osiem równych czȩści; A) Kopiujemy elipsȩ pionowo i l aczymy odpowiednie punkty ( przesuwaj ac górne punkty, odpowiadaj ace dolnym punktom, o 2). Przesuniȩcie to może być dowolne, ważne jest jednak, by zapewnić skośność tworz acej i osi paraboloidy. W tym wypadku nie może to być wiȩc przesuniȩcie o 4. Dlaczego? Dlatego, że wtedy odleg lość tworz acej od osi by laby równa zero (oś i tworz aca by lyby prostymi przecinaj acymi siȩ) i otrzymalibyśmy tworz ace stożka. Otrzymana rodzina tworz acych, to rodzina prostych wzajemnie skośnych. Ale na hiperboloidzie obrotowej leży jeszcze inna rodzina tworz acych. Jeżeli bȩdziemy l aczyć punkty przesuwaj ac górne w prawo o 2, to otrzymamy podobn a rodzinȩ tworz acych wzajemnie skośnych. Warto dodać, że proste z tych obu rodzin przecinaj a siȩ; B) (hiperboloida w rzutach prostok atnych (Monge a) rozwi azanie klasyczne p-o). Zak ladamy, że dane s a: okr ag szyjny oraz dwa dowolnie przyjȩte, symetryczne wzglȩdem p laszczyzny okrȩgu szyjnego, okrȩgi równoleżnikowe (rys. 5A-14B). Tworz ace kszta ltujemy rysuj ac w rzucie poziomym proste styczne do okrȩgu szyjnego i znajduj ac punkty wspólne tych prostych (ślady) z okrȩgiem - rzutem poziomym okrȩgów równoleżnikowych. konstrukcyjne. Ma zastosowanie m.in. przy budowie silosów, ch lodni kominowych, wież ciśnień itp W Ciechanowie znajduje siȩ wieża ciśnień, w której konstrukcj a noń a jest ustrój hiperboloidy obrotowej, sam zbiornik ma kszta lt powierzchni torusoidalnej (S. Przew locki: Geometria wykreślna w budownictwie. Arkady. Warszawa 1982.)

12 12 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, powierzchnie 05A Rozwi azanie zadania 2C. Za pomoc a polecenia REVSURF/POWOBROT tworzymy hiperboloidȩ obrotow a. Przyjmujemy prost a pionow a oraz inn a prost a skośn a (PLINE/PLINIA z użyciem filtru na przyk lad.xy). Rys. 5A-15: Wykorzystanie powinowactwa i pośrednictwa okrȩgu do konstrukcji elipsy wraz z punktami równomiernego podzia lu: a) elipsa dana za pomoc a średnic sprzȩżonych; a1) wybór osi powinowactwa; a2)-a4) konstrukcja okrȩgu - obrazu elipsy wraz z punktami podzia lu okrȩgu Zadanie 3 W oparciu o dokonany w zadaniu 1 podzia l stożkowej narysować (tradycyjnie p- o) w rzutach prostok atnych i w aksonometrii prawieprostok atnej (3:4) schody krȩcone o ośmiu stopniach na jeden pe lny obrót (rys. 5A-18). Rozwi azanie zadania 3. Konstrukcja schodów polega na podnoszeniu na odpowiedni a wysokość czȩści elipsy (rys. 5A-18a1 rys. 5A-18a2). Jest jednak pewien szczegó l mianowicie wyznaczenie stycznych pionowych do elipsy (i odpowiednich punktów styczności). Do tego celu wykorzystamy powinowactwo osiowe (rys. 5A-18a3). Oś schodów przekszta lcamy do uk ladu okrȩgu (rys. 5A-18a3 5A-18a4) i rysujemy proste styczne do okrȩgu, równoleg le do przekszta lconej prostej (rys. 5A-19a7 rys. 5A-19a8), równocześnie znajdujemy punkty styczności. Nastȩpnie wracamy z prostymi stycznymi do uk ladu elipsy (rys. 5A-20a9 rys. 5A-20a10). Znajdujemy równocześnie punkty styczności prostych pionowych do elipsy w podstawie schodów, które odpowiednio podnosimy. Na rys. 5A-20a10 podniesiono dwa punkty styczności. Rysunek 5A-21a10 w powiȩkszeniu pokazuje szczegó ly konstrukcji. Przedstawiony algorytm konstrukcji schodów krȩconych - to klasyczna konstrukcja za pomoc a środków p-o chociaż w przestawianym materiale wyk ladów przedstawiona technik a komputerow a 2D. Cyrklem i linijk a wykonywalibyśmy te konstrukcjȩ analogicznie. Interesuj acym jest również pokazać istotȩ konstrukcji w innej logice niż klasyczna metoda konstrukcji.

13 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, powierzchnie 05A 13 Rys. 5A-16: Zasada znajdowania punktów i prostych - obrazów w powinowactwie Rys. 5A-17: Punkty równomiernego podzia lu elipsy i tworz ace hiperboloidy jednopow lokowej obrotowej 3.1. Konstrukcja schodów krȩconych w programie AutoCAD za pomoc a poleceń geometrii bry l Schody krȩcone można zrealizować za pomoc a poleceń geometrii bry l. Pos luguj ac siȩ poleceniami geometrii bry l konstruujemy walec (CYLINDER) o wysokości stopnia schodów i dowoln a

14 14 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, powierzchnie 05A Rys. 5A-18: Zasada konstrukcji aksonometrii schodów krȩconych. Określenie powinowactwa Rys. 5A-19: Konstrukcja obrazu osi schodów w powinowactwie i prostych stycznych do okrȩgu i punktów styzcności kostkȩ (BOX). Nastȩpnie za pomoc a operacji boolowskich (UNION, SUBTRACT, INTER- SECT) kszta ltujemy odpowiedni schodek, który nastȩpnie kopiujemy w liczbie równej liczbie stopni, i każdy i-ty schodek obracamy odpowiednio o k at 2π i, dla i = 1, 2,..., n i przesuwamy n w odpowiedni punkt osi schodów. Nastȩpnie konstruujemy poleceniem WALEC/CYLINDER walec o wymienionej wyżej osi stanowi acy nośny s lup schodów krȩconych i dokonujemy po l aczenia poleceniem SUMA/UNION. Konstrucja tych obiektów naturalnie nie wymaga

15 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, powierzchnie 05A 15 Rys. 5A-20: Konstrukcja konturowych stycznych pionowych do elips kszta ltuj acych schody krȩcone Rys. 5A-21: Fragment schodów krȩconych w aksonometrii (jest to powiȩkszenie fragmentu rysunku 5A-20a10) pos lugiwania siȩ powinowactwem. Obiekt jest bowiem konstruowany w przestrzeni wirtualnej, zaś efekt wizualizacji w aksonometrii jest realizowany przez polecenie VPOINT.

16 16 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, powierzchnie 05A Rys. 5A-22: Propozycja ukszta ltowania czȩści dachu za pomoc a powierzchni śrubowej. Wewn atrz domu i obok schody krȩcone zrealizowane za pomoc a poleceń geometrii bry l w AutoCADzie (BOX, CYLINDER) i operacji boolowskich (UNION, SUBTRACT, INTERSECT) (fragment realizacji studenckiego projektu Dom z kwiaciarni a z przedmiotu architektura i urbanistyka na kierunku Budownictwo Politechniki Bia lostockiej). Rys. 5A-23: Schody skonstruowane za pomoc a programu w jȩzyku PASCAL i importowane do AutoCADa jako plik o rozszerzeniu DXF 3.2. Konstrukcja schodów krȩconych w programie AutoCAD realizowana poza AutoCADem Skomplikowany obiekt geometryczny jakim s a schody krȩcone można narysować za pomoc a specjalnie przygotowanego programu komputerowego, np. w jȩzyku PASCAL przygotowuj acego

17 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, powierzchnie 05A 17 kod wejściowy dla AutoCADa 8 przedstawiono. Program w PASCALu umożliwiaj acy parametryczne ukszta ltowanie schodów przygotowuje odpowiedni plik w trybie DXF, który jest natȩpnie importowany (DXFIN) do programu AutoCAD. Punkt ciȩżkowści rozwi azania problemu zosta l przeniesiony tym razem do środowiska kompilatora jȩzyka PASCAL (rys. 5A-23). Schemat postȩpowania jest nastȩpuj acy: napisanie programu w jȩzyku PASCAL i jego kompilacja: algorytm edytorascii schody.pas TPC schody.exe uruchomienie programu w Windows i importowanie do AutoCADa: schody.exe schody.dxf AutoCAD(DXFIN) schody.dwg Prezentowany program umożliwia narysowanie schodów o określonych przez parametry: liczba schodków, wysokość schodka, wielkość promienia zewnȩtrznego, wielkość promienia wewnȩtrznego, liczba elementów sk ladowych schodka (prymitywów atomowych budowy bry ly, liczby skoków linii śrubowej indukowanej przez schody krȩcone). Zbudowany poza AutoCADem (obiekt geometryczny) jest obiektem (entycj a, prymitywem) AutoCADa. Konstrukcja pliku schody.dxf zosta la wykonana tak, by by l to pe lny obiekt wirtualny, który można cieniować, chować krawȩdzie niewidoczne itp. Literatura [Fol95] J. D. Foley i inni: Wprowadzenie do grafiki komputerowej (Introduction to Computer Graphics). Wydawnictwa Naukowo-Techniczne. Warszawa [Gro95] B. Grochowski: Geometria wykreślna z perspektyw a stosowan a. Wydawnictwo Naukowe PWN. Warszawa [Jan90] M. Jankowski: Elementy grafiki komputerowej. Wydawnictwa Naukowo-Techniczne. Warszawa [Ott94] F. Otto, E. Otto: Podrȩcznik geometrii wykreślnej. Wydawnictwo Naukowe PWN. Warszawa [Pik97] A. Pikoń: AutoCAD, wersje 10, 11, 12 i 12PL, 14 i 14PL i wyższe. Wydawnictwo HELION. Gliwice 1991, 1992, 1994, [Prz82] S. Przew locki: Geometria wykreślna w budownictwie. Arkady. Warszawa [Prz00] S. Przew locki: Geometria wykreślna w zastosowaniach dla budownictwa i architektury. Wydawnictwo Uniwersytetu Warmińsko-Mazurskiego. Olsztyn Koźniewski E., Or lowski M.: Rysunki w środowisku AutoCADa wykonywane poza AutoCADem. Zeszyty Naukowe PB BUDOWNICTWO nr 24. Bia lystok 2003.