Dawno, dawno temu przed siedmioma

Transkrypt

1 Ćwiczenia przed maturą czworokąty Pola czworokątów po turecku. n MONIKA BOLANOWSKA Dawno, dawno temu przed siedmioma reformami... takie zadania znajdowały się w naszych zbiorach zadań. Znalazłam podobne w archaicznej już publikacji Zbiór zadań z geometrii dla klas I i II (Norbert Dróbka, Karol Szymański), oraz po dwa przykłady w aktualnych zbiorach zadań H. Pawłowskiego (Operon) oraz M. Zakrzewskiego (PWN) i... zaprzestałam poszukiwań, Teraz prezentuję Państwu cały cykl zadań, pochodzących z podręczników tureckich. No to zaczynamy naukę od rozgrzewki. Na początek cztery zadania na dowodzenie, z których dwa pierwsze warto udowodnić wspólnie, a dwa kolejne potraktować już jako zadania do samodzielnego rozwiązania. Po teorii czas na praktykę, 4 zadań zaczerpniętych z tureckich podręczników przygotowujących do matury. Zadania są utrzymane w podobnym klimacie jak publikowane już zadania o polach i trójkątach. Zadania trudniejsze, wymagające dorysowania odcinków, oznaczyłam gwiazdką. Niektóre z zadań rachunkowych można rozwiązać stosując twierdzenia 4. Jednak ze względu na fakt, że twierdzenia te nie są uwzględnione w obowiązujących programach, zdecydowałam się na zaprezentowanie rozwiązań elementarnych pomijających te twierdzenia. Zadania na dowodzenie Udowodnić podane twierdzenie. Twierdzenie W równoległoboku ABCD poprowadzono odcinki DE i DF, gdzie E i F są środkami boków AB i BC. Przez G i H oznaczamy punkty przecięcia tych odcinków z przekątną AD. Wtedy odcinki AG, GH i HC są równej długości. Twierdzenie 2 W równoległoboku ABCD punkty E i F są środkami boków AD i BC, a przekątna AD przecina odcinki EB i FD w punktach G i H. Wówczas odcinki AG, GH i HC są równej długości. 8/

2 Twierdzenie 3 Zadania rachunkowe Dany jest prostokąt ABCD o bokach długości 6j i 3j. Na bokach AB i CD obrano dowolne punkty G i E, a na bokach BC i AD takie punkty H i F, aby CH = DF. Oblicz pole czworokąta EFGH. Dany jest równoległobok ABCD o polu P, w którym AE = EB i BF = FC. Wówczas: P DAED = P DEBD = P DBFD = P DFCD = P. 4 Twierdzenie 4 Wskazówka: Oblicz sumę pól trójkątów EDF i ECH a następnie sumę pól trójkątów GAF i GBH albo podziel czworokąt EFGH odcinkiem FH. Odpowiedź: P FGHE = 9j 2. Dany jest równoległobok o polu P, w którym zaznaczono środki dwóch nierównoległych boków. Przyjmijmy oznaczenia pól jak na rysunku. Zachodzą następujące równości: Na boku CD równoległoboku ABCD o polu 20 j 2 wyznaczono taki punkt E, aby 5 DE = CD. Oblicz pole trójkąta ABF.. P 6 = 8 P 2. P + P 4 = P 3 + P 7 = P 4 3. P 2 + P 5 + P 6 = P P 2 + P 5 = P 8 5. P = P 2 = P 3 = P 6 6. P 5 + P 6 = P 3 7. P 4 = P 7 = P P 5 = P 24 Wskazówka: Skorzystaj z podobieństwa trójkątów, aby stwierdzić jaką częścią wysokości całego równoległoboku jest wysokość zaciemnionego trójkąta. Odpowiedź: P DABF = 50j 2. Na krótszej podstawie trapezu ABCD zbudowano trójkąt prostokątny tak, że podstawa CD trapezu jest przeciwprostokątną trójkąta, a przedłużenie ramienia BC, gdzie BC = 2 j, jedną z przyprostokątnych. Wiadomo również, że druga 474 matematyka

3 przyprostokątna DE ma długość 8 j. Oblicz pole trójkąta ACD. Wskazówka: Oblicz pole trójkąta BCD. Odpowiedź: P DACD = 48j 2. Wskazówka: Zastanów się jaką częścią pola równoległoboku jest pole trójkąta CHF, a jaką pole trójkąta EBF. Odpowiedź: P ABCD = 80j 2. Na boku CD równoległoboku ABCD wybrano taki punkt E, aby 3 CE = DE. Punkt F jest takim punktem wewnętrznym równoległoboku, że P DFBC = 2j 2 i P DEFC = 2j 2. Wyznacz różnicę pól P DABF - P DAFD. Dany jest równoległobok ABCD o polu 8j 2. Punkt E jest środkiem boku AB, punkt F środkiem boku DC. Oblicz pole trójkąta GBH. Wskazówka: Oblicz pole trójkąta DFE, zastanów się jaką częścią pola równoległoboku jest suma pól trójkątów ABF i DFC. Wskazówka: Zastanów się jaką częścią pola trójkąta ABH jest pole trójkąta AEG. Wyraź pola czworokąta ABCD i trójkąta GBH w zależności od pola trójkąta AEG. Odpowiedź: P DGBH = 3j 2. Punkty E i F dzielą przekątną AC równoległoboku ABCD na trzy równe części. Na boku CD wybrano punkt H tak, aby odcinek FH był równoległy do BC. Wiedząc, że suma zaciemnionych pól wynosi 40j 2, oblicz pole równoległoboku. Odpowiedź: P DABF - P DAFD = 4 j 2. Punkty E, H, F, G leżą odpowiednio na bokach AB, BC, CD i AD równoległoboku, oraz EF AD i GH AB. Wiadomo, że P DAEI = 4j 2 oraz P DIHC = 9j 2. Oblicz pole równoległoboku ABCD. Wskazówka: Zastanów się, jak mają się do siebie pola równoległoboków: GIFD i IHCF, oraz pola EBHI i AEIG. Odpowiedź: P ABCD = 50j 2. 8/

4 Na boku CD prostokąta ABCD wyznaczono taki punkt F, aby 3 CF = CD oraz AF = 3j. Na półprostej AF obrano taki punkt E, aby AE ^ EC. Wiedząc, że CE = 4j, oblicz pole trójkąta AFD. Wskazówka: Poprowadź z wierzchołka B odcinek dzielący zaciemniony czworokąt na dwa trójkąty. Odpowiedź: Szukane pole wynosi 44j 2. Wskazówka: Wyznacz na dwa sposoby pole trójkąta AFC. Odpowiedź: P DAFD = 52j 2. Dany jest prostokąt ABCD, w którym E jest takim punktem na boku AB, że P DEBC = 5j 2. Wiadomo również, że P DAEF = 4j 2, gdzie F jest punktem przecięcia odcinka ED z przekątną AC. Oblicz pole trójkąta AFD. Wskazówka: Porównaj pola trójkątów AED i AEC. Skorzystaj z podobieństwa trójkątów AEF i CDF. Odpowiedź: P DAFD = 6j 2. W równoległoboku ABCD punkty E i F dzielą bok CD na trzy równe części, punkty G i H dzielą bok AB w stosunku : 2 :. Oblicz stosunek zaciemnionych pól. Wskazówka: Wyraź oba szukane pola jako różnicę pól (trapezu i trójkąta). Znajdź trójkąty podobne. Wszystkie pola wyraź przez pole równoległoboku. Odpowiedź: Szukany stosunek wynosi. * W czworokącie wypukłym ABCD punkty G, E, F są odpowiednio środkami boków: DA, AB, BC. Wiadomo ponadto, że P DEFG = 2j 2. Oblicz pole czworokąta ABCD. Dany jest prostokąt ABCD, w którym: AF = FB = DE = EC = 2j, AH = HD = BG = GC = 9j. Oblicz sumę zaciemnionych pól. 476 matematyka

5 Wskazówka: Zastanów się, jaką figurą jest czworokąt utworzony przez środki boków czworokąta, porównaj pola tych czworokątów. Odpowiedź: P ABCD = 48j 2. EF = 9j oraz P GBCE = 25j 2. Oblicz pole równoległoboku ABCD. * Punkt E jest środkiem boku AB równoległoboku ABCD o polu 20j 2. Na boku CD obrano taki punkt F, że 2 CF = AE. Oblicz pole czworokąta ECFG. Wskazówka: Korzystając z podobieństwa dwóch par trójkątów, wyznacz długość odcinka AG. Wyznacz pola figur AGD, ABG, GBCE w zależności od pola trójkąta EDG. Wskazówka: Poprowadź odcinek EF, dzielący czworokąt GECF na dwa trójkąty. Odpowiedź: P ECFG = 33j 2. * W sytuacji przedstawionej na rysunku wiadomo, że: CF to przedłużenie boku BC równoległoboku ABCD, GE = 3j, Odpowiedź: P ABCD = 60j 2. MONIKA BOLANOWSKA nauczycielka XII LO we Wrocławiu Rozwiązania zadań na stronie 484. x 457 y WYMIERNE? c.d. ) Nie, np. dla a = + 2 i b = - 2 2) Tak. Ponieważ liczby a - b i a 2 - b 2 = (a - b)(a + b) są wymierne (i a - b ¹ 0), więc a - b liczba a + b = a - b jest wymierna. Wobec tego wymierne są liczby 2a = (a + b) + (a - b) oraz 2b = (a + b) - (a - b). Stąd wynika, że liczby a i b również są wymierne. 3) Nie, np. dla a = 2 + i b = 2 - W dojściu do tego przykładu może pomóc wzór a 3 - b 3 = (a - b)(a 2 + ab + b 2 ) = (a - b)((a - b) 3 + 3ab). 8/