Wojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów rok 2015/2016 Etap III wojewódzki

Transkrypt

1 Wojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów rok 2015/2016 Etap III wojewódzki W kluczu przedstawiono przykładowe rozwiązania oraz prawidłowe odpowiedzi. Za każdą inną poprawną metodę rozwiązania zadania uczeo otrzymuje maksymalną liczbę punktów. Tytuł laureata otrzymuje uczeo, który uzyskał co najmniej 16 punktów. Tytuł finalisty otrzymuje uczeo, który uzyskał co najmniej 6 punktów i mniej niż 16. Zadanie 1 [1 pkt.] Trójkąty T 1, T 2, T 3 są parami podobne każdy z każdym i mają odpowiednio pola P 1, P 2, P 3. Jeśli P 1 P oraz P 3 P 2 16, to trójkąt T 3 jest podobny do trójkąt T 1 w skali: A. 144 B C. 12 D Zadanie 2 [1 pkt.] Średnia arytmetyczna liczb a i b jest równa 0,75b. Wartośd ilorazu a jest równa: b A. 1 4 B. 3 4 C. 2 D. 1 2 Zadanie 3 [1 pkt.] A. 50 B. 0 C. 50 D. 49 Zadanie 4 [2 pkt.] Oceo prawdziwośd poniższych zdao. Jeśli zdanie jest prawdziwe zamaluj kratkę pod literą P, a jeśli fałszywe zamaluj kratkę pod literą F. P F Z pojemnika, w którym jest 30 kul ponumerowanych liczbami od 0 do 29 wylosowano jedną kulę. Prawdopodobieostwo wylosowania kulki oznaczonej liczbą pierwszą jest równe Reszta z dzielenia liczby przez 10 jest równa cyfrą po przecinku w liczbie 0, jest cyfra 3. poprawnie określi prawdziwośd dwóch zdao. poprawnie określi prawdziwośd trzech zdao.

2 Zadanie 5 [3 pkt.] Oblicz pole kwadratu, którego przekątna jest o 1 cm dłuższa od boku. Odpowiedź zapisz w postaci a + b c, gdzie a, b i c są liczbami całkowitymi. x długośd boku kwadratu x 2 x + 1 x x P Odpowiedź: Pole kwadratu jest równe cm 2. poprawnie obliczy długośd boku kwadratu x przedstawi długośd boku kwadratu w postaci lub przedstawi pole kwadratu w postaci Uczeo otrzymuje 3 punkty, gdy: poprawnie obliczy pole kwadratu P cm 2 Uwaga! Jeżeli uczeo poprawnie obliczy pole kwadratu i błędnie zapisze jednostkę (np. P cm) to otrzymuje 2 punkty.

3 Zadanie 6. [2 pkt.] Karol ma w skarbonce tylko banknoty o nominałach 100 zł i 200 zł i nie ma monet. Karol obliczył, że średnia arytmetyczna wartości wszystkich banknotów znajdujących się w skarbonce jest równa 120 zł. Oblicz, jakim procentem liczby wszystkich banknotów znajdujących się w skarbonce jest liczba banknotów o nominale 100 zł. x liczba banknotów o nominale 100 zł y liczba banknotów o nominale 200 zł 100x + 200y 120 x + y 100x + 200y 120x + 120y 20x 80y x 4y x x + y 4y 5y 80% Odpowiedź: Banknoty o nominale 100 zł stanowią 80% liczby wszystkich banknotów. obliczy, że liczba banknotów o nominale 100 zł jest cztery razy większa od liczby banknotów o nominale 200 zł Uczeo otrzymuje 2 punkt, gdy: poprawnie obliczy, jakim procentem liczby wszystkich banknotów znajdujących się w skarbonce jest liczba banknotów o nominale 100 zł. Uwaga! Jeżeli uczeo rozwiąże zadanie zakładając, że w portfelu jest 100 banknotów, to otrzymuje 0 punktów.

4 Zadanie 7 [3 pkt.] Ze stożka o promieniu podstawy 18 odcięto stożek o promieniu podstawy 4 i otrzymano bryłę przedstawioną na rysunku. Oblicz objętośd tej bryły. E C EC 21 + EC EC EC 14 EC 84 EC 6 V 1 3 π π π poprawnie obliczy długośd odcinka EC poprawnie obliczy długośd odcinka EC i zastosuje poprawną metodę obliczenia objętości bryły Uczeo otrzymuje 3 punkty, gdy: poprawnie obliczy objętośd bryły.

5 Zadanie 8 [3 pkt.] W trójkącie prostokątnym ABC wysokośd poprowadzona z wierzchołka kąta prostego przecina przeciwprostokątną AB w punkcie D, który dzieli tą przeciwprostokątną na odcinki o długości 3 cm oraz 5 cm. Oblicz pole trójkąta ABC. B D C A CDB DCA CD BD DA CD CD 2 BD DA 15 P Odpowiedź: Pole trójkąta jest równe 4 15 cm 2 obliczy, że CD 2 BD DA poprawnie wyznaczy długośd wysokości CD 15 Uczeo otrzymuje 3 punkty, gdy: poprawnie wyznaczy pole trójkąta P 4 15 cm 2 Zadanie 9 [2 pkt.] Wiedząc, że n jest dowolną liczbą całkowitą oraz, że liczba n 7 n jest podzielna przez 5 wykaż, że liczba: 2n n 5 jest również podzielna przez 5. Z: n 7 n 5x; x C Dowód 2n n 5 2n 7 2n + 15n 5 2 n 7 n + 15n 5 10x + 5 n 1 5 2x + n 1. 2x + n 1 C. Uczeo otrzymuje 1 punkty, gdy: zapisze liczbę 2n n 5 w postaci 2 n 7 n + 15n 5 przeprowadzi pełny dowód 2n n 5 5 2x + n 1 ; 2x + n 1 C.

6 Zadanie 10 [2 pkt.] Na przyprostokątnych BC i CA trójkąta prostokątnego ABC zbudowano na zewnątrz kwadraty ECBD i FGAC. Prosta AD przecina bok BC w punkcie P, a prosta BG przecina bok CA w punkcie R. Udowodnij, że odcinki CP i CR mają równą długośd. D B P E C R DE EC F G DE PC DE PC EC + CA CA CA PC BC DE CF CA BC CR DE CR BC + CF FG CA CR zapisze równanie PC PC CR lub PC przeprowadzi pełny dowód.