Arytmetyka Grupy Mordella-Weila na rozmaitości abelowej nad ciałem skończenie generowanym nad Q.

Transkrypt

1

2 Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza Piotr Rzonsowski Arytmetyka Grupy Mordella-Weila na rozmaitości abelowej nad ciałem skończenie generowanym nad Q. Rozprawa doktorska napisana pod kierunkiem Prof. dr hab. Grzegorza Banaszaka Poznań 2010

3 Wstęp Niniejsza rozprawa jest poświęcona rozwiązaniu dwóch problemów. Pierwszym problemem jaki będę rozważał w rozprawie jest problem nośnika. Problem jako pierwszy sformułował P. Erdös w następujący sposób: Pytanie. Załóżmy, że dla pewnych liczb całkowitych x, y następujący warunek jest spełniony: Supp(x n 1) = Supp(y n 1), dla wszystkich liczb naturalnych n. Czy z tego wynika, że x = y. Problem ten został rozwiązany przez C. Corrales-Rodrigáñez i R. Schoof w [7]. Następnie problem ten został uogólniony na rozmaitości abelowe nad ciałem liczbowym i był rozwiązany dla szczególnych klas rozmaitości abelowych przez Banaszaka, Gajdę, Krasonia, Khare, Prasada i innych. Jednakże rozwiązany został w pełnej ogólności przez Larsena w [16]. Podał on następujące twierdzenie: Twierdzenie 1. Niech F będzie ciałem liczbowym, O F będzie pierścieniem liczb całkowitych. Niech A będzie rozmaitością abelową, R := End F (A), P, Q A(F ). Załóżmy, że dla każdego n Z i dla prawie wszystkich v O F zachodzi: np 0 mod v = nq 0 mod v Istnieje wtedy k N i endomorfizm ϕ End F (A) taki, że ϕ(p ) = kq W swojej rozprawie rozszerzam ten wynik dla abelowych rozmaitości nad ciałem skończenie generowanym nad Q. Co ważne dowód zawarty w tej pracy jest znaczą-

4 Wstęp ii co inny od tego zaproponowanego przez Larsena i znacznie krótszy choć obejmuje również przypadek ciał liczbowych. Drugi problem dotyczy liniowej zależności punktów na rozmaitości abelowej. Pytanie to sformułował W. Gajda w 2002 r. w następujący sposób: Pytanie. Czy dla rozmaitości abelowej A i jej podgrupy Λ następujące warunki są równoważne: P Λ r v (P ) r v (Λ), dla prawie wszystkich v O F Problematyka ta była rozważana w przeciągu kilku następnych lat w wielu pracach [2], [3], [4], [11], [36]. Jednakże wszystkie wyniki uzyskiwane w tych pracach były dla rozmaitości abelowych nad ciałem liczbowym. W rozprawie rozszerzam ten problem na ciała skończenie generowane nad Q. Teraz omówię pokrótce zawartość poszczególnych rozdziałów. W rozdziale pierwszym na początku przedstawiam podstawowe definicje i własności rozmaitości abelowych. Następnie rozważam zagadnienia związane z schematami abelowymi. W drugiej części przedstawiam twierdzenia związane z l-adyczną reprezentacją rozmaitości abelowej. W rozdziale 2 badam odwzorowanie redukcji i jego własności, jest to fundamentalny rozdział, który pozwala nam poznać poszczególne własności odwzorowania redukcji. Poczynając od tego, że odwzorowanie to jest iniektywne na częściach l- torsyjnych jak również to, że możemy redukować punkty nietorsyjne na punkty o dowolnym rzędzie. W rozdziale 3 jest rozważany problem liniowej zależności. Wprowadzamy w nim metodę redukcji rozmaitości abelowej do przypadków rozmaitości prostych a następnie ją sklejamy i uzyskujemy końcowy rezultat. Metody zawarte w tym rozdziale są uogólnieniem metod zawartych w pracach [1] i [4]. W rozdziale 4 rozwiązujemy problem nośnika na rozmaitości abelowej. Używając metod rozwiniętych w rozdziale 3 uogólniamy wynik z pracy [6], który rozszerzam na ciała skończenie generowane nad Q. Dodatkowo pokazujemy, że twierdzenie z pracy [5] również zachodzi dla tych ciał.

5 Podziękowania W tym miejscu chciałbym serdecznie podziękować mojemu Nauczycielowi i Promotorowi rozprawy prof. dr. hab. Grzegorzowi Banaszakowi za inspiracje matematyczne, cierpliwość oraz niezliczone godziny rozmów. Słowa podziękowania kieruję również w stronę moich Rodziców i Żony, za wsparcie w realizacji trudnych celów oraz wszelką pomoc w trudnych sytuacjach.

6 Spis treści 1. Preliminaria Rozmaitości abelowe Izogenie Pierścień Endomorfizmów Półproste algebry Inwolucja Rosati Schematy abelowe Reprezentacje l-adyczne dla rozmaitości abelowej nad ciałami skończenie generowanymi Twierdzenia o redukcji Odwzorowanie redukcji Liniowa zależność punktów Liniowa zależność Problem liniowej zależności dla dowolnej podgrupy Λ A(K) Problem nośnika Problem nośnika Problem multinośnika

7 Rozdział 1 Preliminaria Oznaczenia K-ciało skończenie generowane nad Q; A rozmaitość abelowa nad ciałem K; A[l k ] jądro odwzorowania l k : A A; A[l ] = k A[lk ]; T l (A) := lim k A[l k ]- moduł Tate a rozmaitości abelowej A; K l = K (A[l ]); ( ) G K = Gal K/K ; A- schemat abelowy nad schematem S; k(s) ciało reszt punktu s S; g s := Gal(k(s)/k(s)); A s := A Spec k(s) oznacza włókno A nad s S; End 0 (A) = End(A) Q; π 1 (S) := π1 et (S) fundamentalna grupa étalna schematu S; c := A(K) tor ; Ω := ca(k); Λ podgrupa A(K). 1

8 Preliminaria Rozmaitości abelowe Na początku zacznijmy od pojęcia rozmaitości abelowej i kilku jej własności. Definicja 1. Rozmaitością grupową nad ciałem K będziemy nazywać rozmaitość algebraiczną G wraz z morfizmami m : G G G i : G G mnożenie; odwrotność; i elementem e G(K) tworzącymi strukturę grupy na G(K) z elementem neutralnym e. Czyli przemienne są następujące diagramy: i) łączność Id G m G G G G G m Id G m G G m G ii) Element neutralny {e} G π 2 e Id G G G m G {e} π 1 Id G e G G m G = G G = G iii) element odwrotny G {e} (Id G,i) e G G m G G {e} (i,id G ) e G G m G Definicja 2. Zupełną rozmaitość grupową będziemy nazywać rozmaitością abelową. Twierdzenie 1.1 (Rigidity). Niech f : V W U będzie morfizmem rozmaitości algebraicznych nad ciałem K. Jeżeli V jest zupełną rozmaitością algebraiczną i f(v {w 0 }) = {u 0 } = f({v 0 } W ), dla pewnych u 0 U, v 0 V, w 0 W. Wtedy f(v W ) = {u 0 }. Dowód. [18, Thm 2.1, str 104]

9 Preliminaria 3 Wniosek 1.1. Każdy morfizm f : A B rozmaitości abelowych jest złożeniem homomorfizmu h : A B i translacji t a : B B, a = f(0). Działanie grupowe na rozmaitości abelowej jest wyznaczone jednoznacznie poprzez wybór elementu neutralnego. Działanie grupowe na rozmaitości abelowej jest przemienne. Twierdzenie 1.2. Każda rozmaitość abelowa jest projektywna. Dowód. [18, Thm 7.1, str 113] 1.2. Izogenie Teraz podam definicję i podstawowe własności izogenii. Ten rodzaj odwzorowania między rozmaitościami abelowymi będzie odgrywał fundamentalną rolę w dalszej części pracy. Definicja 3. Niech f : A B będzie homomorfizmem rozmaitości abelowych. Jeżeli f będzie odwzorowaniem surjektywnym które ma skończone jądro to będziemy je nazywać izogenią. Przez stopień izogenii f (ozn deg f) będziemy rozumieć rząd jądra odwzorowania f (jako skończonego schematu grupowego). Lemat 1.1. Niech f : A B będzie homomorfizmem rozmaitości abelowych, wtedy następujące warunki są równoważne: i) f jest izogenią; ii) dima = dimb i f jest suriekcją; iii) dima = dimb i jądro f jest skończonym schematem grupowym; iv) f jest skończone, płaskie i surjektywne. Niech teraz n A oznacza odwzorowanie z A do A zadane wzorem a na, gdzie na = a + a + + a. }{{} n Twierdzenie 1.3. Niech A będzie rozmaitością abelową wymiaru g, n N. Wtedy n A : A A jest izogenią stopnia n 2g i jest ona étalna wtedy i tylko wtedy, gdy charakterystyka ciała nie dzieli n. Dowód. [18, Thm 8.2, str 115] Uwaga Niech f : A B będzie izogenią stopnia n = deg f. Wtedy istnieje izogenia g : B A dla której zachodzi równość n A = f g. Izogenie g będziemy nazywać izogenią dualną.

10 Preliminaria 4 Uwaga Jeżeli K ciałem i n nie dzieli charakterystyki ciała wtedy jądro A[n] izogenii n A : A A posiada n 2g elementów. Ponieważ jest to prawdą dla każdego n n, więc A[n] jest wolnym Z/nZ-modułem rangi 2g. Dlatego możemy zdefiniować moduł Tate a jako: T l (A) = lim k A[l k ], gdzie A[l k ] = {P A(K) : l n P = 0} Twierdzenie 1.4 (Poincare irreducibility). Jeżeli A jest rozmaitością abelową, a Y jest podrozmaitością abelową, wtedy istnieje podrozmaitość abelowa Z taka, że Y Z jest zbiorem skończonym oraz Y + Z = A. Innymi słowy rozmaitość abelowa A jest izogeniczna z Y Z. Dowód. [20, Rozdział 19, Tw 1, Str. 173] Wniosek 1.2. Dowolna rozmaitość abelowa A jest izogeniczna z produktem A e 1 1 Aes s, gdzie A i są podrozmaitościami prostymi, które nie są izogeniczne między sobą. Rozmaitości A i z dokładnością do izogenii oraz stałe e i są wyznaczone jednoznacznie. Dowód. [20, Rozdział 19, Wniosek 1, Str 174] 1.3. Pierścień Endomorfizmów Teraz przejdziemy do omówienia pierścienia endomorfizmów rozmaitości abelowej. Dzięki jego strukturze będziemy w stanie rozwiązać problemy omawiane we wstępie. Lemat 1.2. Dla dowolnej liczby pierwszej l char(k) odwzorowanie Hom(A, B) Hom Zl (T l (A), T l (B)) jest iniekcją, w szczególności Hom(A, B) jest beztorsyjny. Dowód. [18, Lemat 12.3 str 122] Przyjmijmy teraz oznaczenie End 0 (A) := End(A) Q. Jeżeli A jest rozmaitością abelową wymiaru g nad K, wtedy dla każdego ϕ End(A) definiujemy jego stopień następująco: jeżeli ϕ jest izogenią to naszym stopniem jest stopień izogenii (zdefiniowany wcześniej), a jeżeli nie to degϕ = 0. Ponieważ deg(nϕ) = n 2g deg(ϕ) to możemy rozszerzyć definicję na End 0 (A), następująco. Jeżeli nϕ End(A) to deg(ϕ) = 1 n 2g deg(nϕ). Lemat 1.3. Funkcja ϕ : End 0 (A) Q, ϕ deg ϕ jest jednorodną funkcją wielomianową stopnia 2g na End 0 (A).

11 Preliminaria 5 Dowód. [18, Prop 12.4, str 123] Wniosek 1.3. Z powyższego lematu mamy, że dla każdego α End 0 (A) istnieje wielomian P α (X) Q[X] stopnia 2g, taki, że dla każdej liczby wymiernej r mamy P α (r) = deg(α r A ). Wielomian P α (X) nazywamy wielomianem charakterystycznym endomorfizmu α który ma postać P α (X) = X 2g tr(α)x 2g deg α. Lemat 1.4. Dla każdej liczby pierwszej l chark, P α (X) jest wielomianem charakterystycznym α działającego na T l A Q l. Stąd ślad i stopień α jest śladem i wyznacznikiem α działającego na T l A Q l Dowód. [18, Prop 12.9, str 125] Lemat 1.5. Niech ϕ Hom(A, B), jeżeli ϕ jest podzielne przez l n w Hom(T l A, T l B), wtedy jest on podzielny przez l n w Hom(A, B). Dowód. [18, Lem 12.6, str 124] Lemat 1.6. Jeżeli A jest prostą rozmaitością abelową, wtedy End Zl A Z l End(T l A) jest iniekcją. Dowód. [18, Lem 12.7, str 124] Twierdzenie 1.5. Dla każdych rozmaitości abelowych A i B, Hom(A, B) jest wolnym Z-modułem o skończonej randze mniejszej bądź równej 4dim(A)dim(B). Dla każdej liczby pierwszej l char(k), odwzorowanie: Hom(A, B) Z l Hom(T l (A), T l (B)) jest iniekcją z beztorsyjnym kojądrem. Dowód. [18, Them 12.5, str 123] Z twierdzenia 1.4 i wniosku 1.2 każda rozmaitość abelowa jest izogeniczna z Z tego powodu dostajemy A = t A e i i. t End 0 (A) = M ei (End 0 (A i )),

12 Preliminaria 6 gdzie End 0 (A i ) := End(A i ) Q jest algebrą z dzieleniem. Zatem dla każdej rozmaitości abelowej A pierścień End 0 (A) jest algebrą półprostą, skończenie wymiarową nad Q. Dlatego w następnym podrozdziale zamierzam opisać pewne własności algebr półprostych i modułów nad nimi, które są zawarte w pracy [4] Półproste algebry Niech D będzie algebrą z dzieleniem, a K i M e (D) oznacza lewy ideał w M e (D) który złożony jest z macierzy postaci: 0... a 1i a 2i... 0 α i := K i 0... a e i... 0 Niech W będzie przestrzenią wektorową nad D i e N. Wtedy W e := W W }{{} e razy jest M e (D)-modułem. Dla ω W oznaczmy : ω := Lemat 1.7. Każdy niezerowy prosty podmoduł M e (D)-modułu W e jest postaci dla pewnego ω. Dowód. [4, str 8] K 1 ω = { α 1 ω, α 1 K 1 } = { ω 0. 0 a 11 ω a 21 ω. a e1 ω, a i1 D, 1 i e} Niech D i będą skończenie generowanymi algebrami z dzieleniem nad Q, dla każdego 1 i t. Przyjmijmy następujące oznaczenia: t D := D i t M e (D) = M ei (D i ), e = (e 1, e 2,..., e t ).

13 Preliminaria 7 Jeżeli W i jest przestrzenią wektorową nad D i, dla wszystkich i = 1, 2,..., t to W := t W e i i ma strukturę M e (D)-modułu. Wniosek 1.4. Każdy prosty niezerowy M e (D)-podmoduł modułu W = t W e i i jest następującej postaci: K(j) 1 ω(j) = { α(j)1 ω(j) : α(j)1 K(j) 1 } = { a 11 ω(j) a 21 ω(j). a e1 ω(j), a k1 D j, 1 k e j }, dla pewnego 1 j t i ω(j) W j, gdzie K(j) 1 M ej (D j ) oznacza ideał w M ej (D j ) który zawiera pierwszą kolumnę macierzy. Niech D i będzie skończenie wymiarową algebrą z dzieleniem nad Q, dla każdego 1 i t. Wtedy homomorfizm śladu: tr i : M ei (D i ) Q, dla i = 1, 2,..., t, daje nam homomorfizm śladu: tr : M e (D) Q, gdzie tr := t tr i. Niech W i będą skończenie generowanymi przestrzeniami wektorowymi nad D i odpowiednio dla 1 i t. Wtedy W jest w naturalny sposób skończenie generowanym M e (D)- modułem i homomorfizm tr daje nam odwzorowanie między przestrzeniami wektorowymi nad Q: (1.1) tr : Hom Me(D) (W, M e (D)) Hom Q (W, Q) Lemat 1.8. Odwzorowanie śladu zdefiniowane powyżej (1.1) jest izomorfizmem. Dowód. [4, str 9] Uwaga Ponieważ M e (D) jest półprostą algebrą, dlatego W jest półprostym modułem, a więc dla każdego π Hom Me(D) (W, M e (D)) istnieje M e (D)-homomorfizm s : Im π W, dla którego zachodzi π s = Id. Dzięki izomorfizmom: t Hom Mei (D i ) (W e i i, M ei (D i )) = Hom Me(D) (W, M e (D)) t Hom Q (W e 1 i, Q) = Hom Q (W, Q) możemy zapisać: π = t π(i), dla pewnych π(i) HomMei (D i ) (W e i i, M ei (D i )). Mamy również Im ( π) = t Im π(i), teraz dla każdego π(i) możemy znaleźć M ei (D i )-homomorfizm s(i) : Im π(i) W e i i taki, że π(i) s(i) = Id i s = t s(i), ponieważ Mei (D i ) jest prostą algebrą.

14 Preliminaria 8 Uwaga Na mocy twierdzenia [25, twierdzenie 7.3, str 91] każdy prosty M ei (D i )- podmoduł M ei (D i ) jest izomorficzny z K(i) 1. Ponieważ mamy dim Di M ei (D i ) = e 2 i oraz dim Di K(i) 1 = e i, dlatego M ei (D i ) jest sumą prostą e i prostych M ei (D i )- podmodułów które są w jednej klasie izomorfizmu jako M ei (D i )-moduły. Stąd każdy M ei (D i )-podmoduł w M ei (D i ) jest sumą prostą co najwyżej e i prostych M ei (D i )- podmodułów Inwolucja Rosati Teraz podam kilka definicji powiązanych z rozmaitościami abelowymi i pierścieniem endomorfizmów. Definicja 4. Przez P ic 0 (A) będziemy rozumieć grupę klas izomorfizmów odwracalnych snopów na A spełniających jeden z równoważnych warunków ([18, Rozdział 9, Prop 9.2]): i) A = {a A : obcięcie snopu m L q L 1 do {a} A jest snopem trywialnym }; ii) t al L na A K dla wszystkich a A(K); iii) m L p L q L; gdzie L jest odwracalnym snopem na A, t a : A A jest translacją o element a A, a p, q : A A A są projekcjami pierwszej, drugiej współrzędnej odpowiednio. Definicja 5. Rozmaitość abelową A nazywamy dualną do A, a snop P snopem Poincaré jeżeli i) P {0} A jest snopem trywialnym leżącym w P ic 0 (A(K(a))) dla wszystkich a A ; ii) Dla każdego K-schematu T i snopu odwracalnego L na A T takiego, że L {0} T jest trywialny i L A {t} leży w P ic 0 (A(K(t))) dla wszystkich t T, istnieje wtedy jednoznacznie wyznaczony morfizm f : T A taki, że (1 f) P L. Dla rozmaitości abelowej A i liczby całkowitej m mamy przekształcenie dwuliniowe Weil a ( zobacz np. [18, str 131]): e m : A[m](K) A [m](k) µ m. W poniższym lemacie zawarte są podstawowe własności tego przekształcenia. Lemat 1.9. Niech e m będzie przekształceniem dwuliniowym Weil a oraz niech f : A B będzie homomorfizmem rozmaitości abelowych. Wtedy e m posiada następujące własności:

15 Preliminaria 9 i) Niech n, m Z i nie dzielą charakterystyki ciała K, a A[mn](K), a A [mn](k) wtedy: e mn (a, a ) n = e m (na, na ); ii) e m (a, f (b)) = e m (f(a), b), a A[m], b B [m] iii) e l (a, f b) = e l (f(a), b) a T l A, b T l B; iv) e m jest niezdegenerowanym przekształceniem liniowym. gdzie f : B A jest odwzorowaniem dualnym. Definicja 6. Oznaczmy homomorfizm ϕ L : A(k) P ica, a t al L 1. Izogenię λ : A A taką, że λ k = ϕ L dla pewnego szerokiego odwracalnego snopa na A L, będziemy nazywać polaryzacją rozmaitości A. Definicja 7. Ustalmy polaryzację λ na A. Inwolucją Rosati na End 0 A związaną z polaryzacją λ nazywamy odwzorowanie: : End 0 (A) End 0 (A); α α = λ 1 α λ 1.6. Schematy abelowe Definicja 8. Niech S będzie schematem. Schemat grupowy π : A S nad S nazywamy schematem abelowym, jeżeli π jest właściwy, gładki i włókna π są spójne. Twierdzenie 1.6 (Rigidity). Niech S będzie spójnym schematem, π : V S będzie właściwym płaskim odwzorowaniem którego włókna są rozmaitościami algebraicznymi. Niech π : V S będzie drugim S-schematem, a f : V V będzie morfizmem S-schematów. Jeżeli dla jakiegoś punktu s S obraz V s w V s jest pojedynczym punktem, wtedy istnieje odwzorowanie s : S V takie, że f = s π. Dowód. [21, 6.1] Wniosek 1.5. i) Każdy morfizm schematów abelowych który przekształca element neutralny w element neutralny jest homomorfizmem; ii) Struktura grupowa na schemacie abelowym jest wyznaczona jednoznacznie przez wybór elementu neutralnego; iii) Schemat abelowy jest grupą przemienną;

16 Preliminaria 10 Dowód. [18, Cor 20.2, str 146] Lemat Niech A będzie schematem abelowym o wymiarze g nad S i n A będzie mnożeniem przez n na A. Wtedy n A jest płaskie, surjektywne i skończone, a jądro A[n] jest skończonym płaskim schematem grupowym nad S o rzędzie n 2g. Co więcej n A (a zatem też jądro) jest étalne nad S wtedy i tylko wtedy, gdy n nie dzieli się przez charakterystykę żadnego z ciał reszt S. Dowód. [18, Prop. 20.7, str 147] Uwaga Niech S będzie całkowitym schematem noetherowskim, a A będzie rozmaitością abelową nad ciałem funkcji wymiernych K schematu S. Niech A będzie domknięciem A w P n U, Wtedy istnieje podzbiór otwarty U S taki, że A rozszerza się na nim do projektywnego schematu abelowego A U P n U. Uwaga Jeżeli K jest skończenie generowanym ciałem nad Q to istnieje pierścień R K, skończenego typu nad Z taki, że K = F r(r). Niech S = Spec R. Rozpatrzymy morfizm schematów S Spec Z. Z definicji gładkości [18, uwaga po definicji 3, str 36] wynika, że istnieje otwarty podzbiór U S taki, że morfizm U Spec Z jest gładki. Rozważmy diagram L R K R gdzie R będzie całkowitym domknięciem R w skończonym rozszerzeniu L/K. Niech A := A S S gdzie S = Spec R. Wtedy A jest abelowym schematem projektywnym nad S, ponieważ gładkość i właściwość morfizmu schematów zachowuje się ze względu na zmianę bazy (gładkość [6, Cor 4.8 str 102], właściwość [13, Uwaga pod definicją 3 na str 34]). Lemat 1.11 (Raynaud). Niech S będzie noetherowskim całkowitym schematem oraz G i H będą dwoma abelowymi schematami nad S. Załóżmy, że nad gęstym otwartym podschematem U schematu S istnieje homomorfizm ψ U : H U G U. Wtedy ψ rozszerza się (jednoznacznie) do homomorfizmu ψ : H G nad S. Dowód. [10, Prop 2.7, str 9] Uwaga Niech A/S, B/S będą dwoma projektywnymi schematami abelowymi z włóknami generycznymi A/K, B/K odpowiednio. Wtedy z 1.11 mamy (1.2) Hom K (A, B) = Hom S (A, B),

17 Preliminaria 11 ponieważ Hom K (A, B) jest skończenie generowaną grupą abelową i każdy homomorfizm ϕ Hom K (A, B) rozszerza się do elementu z Hom U (A U, B U ) to z lematu 1.11 i z twierdzenia Grothendiecka (zobacz [6, Rozdział 1, podrozdział 1.2, lemat 5]) mamy lim Hom U (A U, B U ) = Hom K (A, B). U To daje równość (1.2). W szczególności mamy End K (A) = End S (A). Rozważmy teraz rozmaitość abelową A nad ciałem K, która jest włóknem generycznym schematu abelowego A/S. Istnieje izogenia ϕ : A A et 1 Aet t określona nad pewnym skończonym rozszerzeniem L/K, gdzie A i są prostymi parami nieizogenicznymi rozmaitościami abelowymi określonymi nad L. Weźmy całkowite domknięcie R w L, które oznaczamy R. Wtedy, dostajemy schemat abelowy A := A S S nad S, którego włókno generyczne jest równe A K L. Istnieje U L S zbiór otwarty taki, że A i /U L są schematami abelowymi z włóknami generycznymi A i /L oraz morfizm ϕ rozszerza się do morfizmu schematów abelowych tak, że ϕ UL L = ϕ. ϕ : A U L Uwaga Jeżeli A/K jest rozmaitością abelową nad ciałem skończenie generowanym o charakterystyce 0 to z powyższych uwag wynika, że istnieje gładki i normalny schemat S = Spec R, taki, że F r(r) = K i istnieje schemat abelowy A/S, którego generycznym włóknem jest A/K. W szczególności jeżeli ϕ : A t A e i i jest izogenią rozmaitości abelowych nad K to rozszerza się ona do morfizmu schemtów abelowych ϕ jak wyżej dla pewnego afinicznego normalnego U L, którego ciałem funkcyjnym jest L oraz takiego, że U L Spec Z jest gładkie. t A e i i 1.7. Reprezentacje l-adyczne dla rozmaitości abelowej nad ciałami skończenie generowanymi Twierdzenie 1.7 (Mordell-Weil,Lang-Néron). Niech A będzie rozmaitością abelową nad ciałem skończenie generowanym K (o dowolnej charakterystyce), wtedy A(K) jest skończenie generowaną grupą abelową. Dowód. Zobacz [15, p. 27.3]

18 Preliminaria 12 Twierdzenie 1.8 (Chebotarev). Niech A/K będzie rozmaitością abelową nad ciałem charakterystyki zero. Zbiór {Fr v : v punkt domknięty w π 1 (S)} jest gęsty w π 1 (S). Dowód. Zobacz [9, str ]. Twierdzenie 1.9 (Faltings, Zarhin). Dla dowolnej rozmaitości abelowej i liczby pierwszej l mamy 1. End(A) Z Z l EndGK (T l (A)) jest izomorfizmem; 2. V l (A) jest półprostym Q l [G l ]-modułem. Dowód. Dla przypadku, gdzie K jest ciałem skończenie generowanym nad Q, dowód znajduje się w [9, twierdzenie 1, str. 204], a w przypadku, gdy K jest ciałem skończenie generowanym nad ciałem charakterystyki dodatniej [38, Wnioski 1 i 2, str. 240]. Twierdzenie 1.10 (Zarhin). Dla dowolnej rozmaitości abelowej A/K, char K względnie pierwsza z l, mamy: End GK (A[l]) jest izomorfizmem, dla każdej liczby pierw- 1. End K (A) Z/l szej l; 2. A[l] jest półprostym Z/l[G l ] modułem, dla l 0. Dowód. [33, Prop. 3.4] Twierdzenie 1.11 (Serre). Niech A/K, char K = 0, będzie rozmaitością abelową: ρ : G K GL n (T l (A)) będzie l-adyczną reprezentacją stowarzyszoną z A. Wtedy indeks e l := [ ] Z Id Tl (A) : ρ l (G K ) Id Tl (A) jest ograniczony niezależnie od l. Dowód. Przedstawimy tu dwa dowody, pierwszy należy do J.P. Serre a. Dowód będzie przeprowadzony przez indukcję względem n = tr. deg K. Jeżeli n > 0, wtedy możemy rozważać K jako ciało funkcyjne nad gładką krzywą nad ciałem K 0, którego stopień przestępny jest równy n 1. Wtedy rozmaitość A/K definiuje abelowy schemat grupowy à nad otwartym gęstym podzbiorem U krzywej C. Wybierzmy domknięty punkt P z U i niech v będzie waluacją dyskretną ciała K odpowiadającą punktowi P. Wiemy, że jego ciało reszt k v jest

19 Preliminaria 13 skończonym rozszerzeniem ciała K 0. Jeżeli m jest większe od zera, to rozszerzenie ciał K(A[m])/K jest nierozgałęzione w v. Mamy teraz grupę Galois odpowiadającą temu rozszerzeniu ( G )(K(A[m])/K), której grupa dekompozycji v jest izomorficzna z G k v (Ã)[m]/k v, gdzie Ãv oznacza włókno à w v. Biorąc teraz granicę odwrotną po m dostajemy, że obraz G ( ) K/K l GL(T l(a)) zawiera obraz G ( ) ) kv /k v l (T GL l (Ãv), gdzie GL (T l (A)) ( = GL T l (Ãv)) = GL2g (Z l ). Teraz na mocy indukcji obraz G ( kv ) ) /k v l (T GL l (Ãv) zawiera e-tą potęgę homotetii, dla pewnego e > 0, stąd G ( ) K/K l GL (T l(a)) zawiera również e-tą potęgę homotetii. Dowód 2 (G. Banaszak) Krok 1. Istnieje gładki, geometrycznie nierozkładalny schemat S nad L (domkniecie algebraiczne Q w K) z punktem generycznym η = spec K takim, że A jest włóknem generycznym schematu abelowego A. Co więcej istnieje domknięty punkt P S(L) [9, str 212], a więc dostajemy A = A S Spec K, oznaczmy A P := A S P. Krok 2. Naturalne odwzorowanie G K π 1 (S) jest suriekcją, a grupa rozkładu D P π 1 (S) jest izomorficzna z G L. Ponadto G K działa na T l (A) poprzez π 1 (S) [9, str 212]. Krok 3. Z [31] wiemy, że indeks e l = [ ] Z Id Tl (A P ) : ρ L,l (D P ) Z Id Tl ((A) P ) jest ograniczony dla zmieniających się l, gdzie ρ L,l : G L GL(T l (A P )). Krok 4. Z twierdzenia [19, Rozdział VI, podrozdział 4 wniosek 4.2] zastosowanego do snopa stałego Z/l k na A, dla każdego k 1 mamy naturalny izomorfizm T l (A) = T l (A P ) jako Z l [D P ]- modułów taki, że D P działa na T l (A) jako podgrupa π 1 (S). Stąd ẽ l e l. Wniosek 1.6 (Bogomolov). Niech A/K, gdzie char K = 0, będzie rozmaitością abelową, a l liczbą pierwszą. Niech ρ l : G K GL (T l (A)) będzie reprezentacją stowarzyszoną z A, wtedy ρ(g K ) Z l Id Tl (A) jest zbiorem otwartym w Z l Id Tl (A). Dowód. Dowód wynika z twierdzenia (1.11). Uwaga Jeżeli w twierdzeniu 1.11 i wniosku 1.6 nie założymy, że charaktery-

20 Preliminaria 14 styka ciała jest równa zero, to twierdzenia te nie są prawdziwe. Przykłady rozmaitości dla których to twierdzenie jest fałszywe podał Zarhin w artykule [39]. Twierdzenie 1.12 (Serre II). Dla dowolnej rozmaitości abelowej nad K i dowolnej liczby pierwszej l char K: 1. H n (G l ; V l (A)) = 0; 2. H n (G l ; T l (A)) jest skończoną grupą abelową. Dowód. [31, wniosek i uwaga 2 str 734] Twierdzenie Niech A będzie rozmaitością abelową nad K. Wtedy: ( ) 1. H n G k ; A[l k ] = 0 dla l 0 i k k 1; 2. H n (G l ; T l (A)) = 0 dla l 0. Dowód. Z twierdzenia (1.11) istnieje stała e N taka, że e e l dla wszystkich l. Weźmy teraz l 0 tak, żeby zachodziło l > c + 1. Ponieważ Z l = (Z/l) (1 + lz l ), więc istnieje h := c Id Tl (A) (Z/l) Id Tl (A) Z l Id Tl (A), gdzie c 1 mod l. Niech będzie podgrupą G l generowaną przez cz l Id Tl (A). Zauważmy, że l 1. Możemy zauważyć, że odwzorowuje się izomorficznie na swój obraz za pomocą odwzorowania G l G l k k 1, ponadto Z (G l ) i Z (G l k), dla wszystkich k 1. Rozważmy teraz ciąg spektralny: ) E i,j 2 = H (G i l k / ; Hj ( ; A[l k ]) H i+j( G l k ; A[lk ] ) ( ) Zauważmy, że H j ; A[l k ] = 0, ( dla wszystkich j 1, ponieważ l 1. ) Co więcej z definicji mamy: H 0 : A[l k ] = A[l k ] ( = 0. Stąd dostajemy, że ) H n : A[l k ] = 0, dla wszystkich n 0, l > e + 1 i dla wszystkich k ( k 0. ) Stąd H n (G l : T l (A)) = lim lim k k Hn G l k : A[lk ] = 0, dla l > e + 1.

21 Rozdział 2 Twierdzenia o redukcji 2.1. Odwzorowanie redukcji Niech A/S będzie schematem abelowym l będzie liczbą pierwszą, względnie pierwszą z charakterystyką ciał reszt schematu S. Wtedy odwzorowanie mnożenia przez l k na A/S jest odwzorowaniem étalnym ([19, Prop. 20.7]), stąd pull back poprzez sekcję elementu neutralnego (unit section e : S A) jest schematem skończonym, który jest étalny nad S. W szczególności jądro odwzorowania l k jest skończonym schematem nad S. Niech S = Spec R, K = F r(r) i niech R będzie całkowicie domknięty w K. Rozważmy teraz wszystkie skończone rozszerzenia L/K, L K s takie, że normalizacja R pierścienia R w L daje nierozgałęzione rozszerzenie schematów S /S, w każdym punkcie S, gdzie S = Spec R. Jeżeli K ur oznacza sumę wszystkich takich ciał L zawartych w K s, wtedy z [19, Examp 5.2 (b)] π 1 (S) := π 1 (S, η) = G(K ur /K). W tym przypadku R ur definiujemy jako sumę pierścieni R w K s i schemat S ur = Spec R ur będziemy nazywać nakryciem uniwersalnym S. Przypomnijmy, że każda rozmaitość abelowa A/K jest rozmaitością projektywną. Jeżeli K = K(S) jest ciałem funkcyjnym całkowitego noetherowskiego schematu S, wtedy możemy wziąć domknięcie Zariskiego rozmaitości A w P n /S, żeby otrzymać schemat projektywny A/S. Nad pewnym otwartym podzbiorze U S schemat A/U stanie się projektywnym schematem abelowym ( [18, Rem. 20.9] ). Dla dowolnego schematu abelowego A/S, możemy zawsze znormalizować schemat S do S i zmienić bazę przez S S tak, żeby dostać schemat abelowy Ā := A S S nad normalnym schematem bazowym S. 15

22 Twierdzenia o redukcji 16 Jeżeli M oznacza dowolną grupę abelową to Div(M) := Div(M) oznacza maksymalną podgrupę podzielną. Przypomnijmy, że g s = Gal(k(s)/k(s)). Twierdzenie 2.1 (G. Banaszak). Niech A/S będzie schematem abelowym nad całkowitym, normalnym schematem bazowym S i A/K będzie włóknem generycznym. Niech s S będzie ustalonym punktem schematu S (nie koniecznie domkniętym), l będzie liczbą pierwszą względnie pierwszą z charakterystyką K i k(s). Załóżmy ponadto, że naturalne przekształcenie A(S) A(K) jest suriekcją oraz grupa H 0 (g s, A[l ]) jest skończona. Wtedy: (1) l-adyczne uzupełnienie na przekształceniu A(S) A(K) daje izomorfizm lim A(S)/l k lim A(K)/l k, k (2) odwzorowanie redukcji r s : A(S) l A s (k(s)) l jest monomorfizmem. Dowód. Ponieważ skończony schemat grupowy A[l k ] jest étalny nad S, dla wszystkich k 1, a więc działanie G K na A[l k ] faktoryzuje się przez działanie π 1 (S) = G (K ur /K) ponieważ A[l k ] = A[l k ] jako G(K ur /K)-moduły. Jeżeli l jest względnie pierwsze z charakterystyką k(s), wtedy mamy izomorfizm grup skończonych A s [l k ] ( = Z/l k) 2g, dla każdego s dla którego char k(s) l. W szczególności dla każdego s, którego char k(s) l mamy izomorfizm g s -modułów A s [l k ] = A[l k ]. Wynika to z twierdzenia [19, Chap. VI, sec 4, Cor 4.2] zastosowanego dla snopu stałego Z/l k na A, dla k 1. Z [18, rozdział 2 podrozdział 1] i z tego, że grupowy abelowy schemat może być traktowany jako étalny snop dostajemy, że A(S ur ) π 1(S) = A(S). Biorąc długi ciąg dokładny kohomologii dla grupy π 1 (S) zastosowanego do krótkiego ciągu dokładnego: 0 A[l k ] A(S ur ) lk A(S ur ) 0 uzyskujemy monomorfizm A(S)/l k H 1 (π 1 (S); A[l k ]). W podobny sposób pokazujemy, że A(K)/l k H 1 (G K ; A[l k ]) i A s (k(s))/l k H 1 (g s ; T l (A)) są monomorfizmami. Dla każdego s S mamy Div = 0 w H 0 (g s, A s [l ]) z założenia skończo-

23 Twierdzenia o redukcji 17 ności. Stąd dolna, prawa, pozioma strzałka w diagramie przemiennym: A(K) l r η r A(S) s l As (k(s)) l lim k A(K)/lk r η lim A(S)/l k k r s lim A k s (k(s))/l k H 1 (G K, T l (A)) l = r η H 1 r (π 1 (S), T l (A)) s l = H 1 (g s, T l (A s )) l = H 0 (G K, A[l ])/Div H 0 (π 1 (S), A[l ])/Div r s H 0 (g s, A s [l ])/Div jest monomorfizmem, a środkowe pionowe strzałki są monomorfizmami z zastosowania długich ciągów dokładnych w kohomologii. Z twierdzenia [35, Prop 2.3 p. 261] dolne pionowe strzałki są równościami. Górne pionowe strzałki są monomorfizmami bo skończoność grupy H 0 (g s, A s [l ]) pociąga skończoność grup H 0 (π 1 (S), A[l ]), H 0 (G K, A[l ]). Stąd prawa górna pozioma strzałka jest monomorfizmem i druga od góry lewa pozioma strzałka jest monomorfizmem i z założenia epimorfizmem a zatem jest izomorfizmem. Wniosek 2.1. Niech A/S będzie schematem abelowym nad całkowitym, normalnym afinicznym schematem S = Spec R, gdzie R jest skończenie generowaną Z-algebrą lub F p -algebrą. Niech A/K będzie włóknem generycznym. Niech v S będzie punktem domkniętym i niech k v := k(v). Załóżmy ponadto, że naturalne przekształcenie A(S) A(K) jest suriekcją. Niech l będzie liczbą pierwszą względnie pierwszą z charakterystyką ciała reszt punktu v i punktu generycznego η S. Wtedy: (1) l-adyczne uzupełnienie na przekształceniu A(S) A(K) daje izomorfizm lim k A(S)/l k A(K) Zl (2) odwzorowanie redukcji r s : A(K) l A s (k(s)) l jest monomorfizmem. Dowód. Z twierdzenia [18, Rozdział VI, podrozdział 4, wniosek 4.2] zastosowanego do snopa stałego Z/l k na A dostajemy, że dla każdego k 1 mamy naturalny izomorfizm g v := G(k v /k v )-modułów H 1 (A, Z/l k ) = H 1 (A v, Z/l k ), dla każdego k. Biorąc granicę odwrotną po k dostajemy izomorfizm Z l i g v -modułów T l (A) = T l (A v ). Tensorując z Q l /Z l dostajemy izomorfizm g v -modułów A[l ] = A v [l ]. Grupa g v

24 Twierdzenia o redukcji 18 działa na tych modułach poprzez G(k v (A v [l ])/k v ). Ponieważ k v jest ciałem skończonym, wiemy z hipotezy Weila, udowodnionej przez Deligne a, że H 0 (g v, A v [l ]) jest skończona. Stąd H 0 (G K, A[l ]) i H 0 (π 1 (S), A[l ]) również są skończone. Ponieważ A(K) jest skończenie generowana (twierdzenie 1.7) to wtedy lim A(K)/l k k = A(K) Z l i lewa dolna pozioma strzałka z dowodu twierdzenia 2.1 pokazuje, że A(K) l = A(S) l. Dlatego wniosek wynika z twierdzenia 2.1. Z założenia wniosku 2.1 wynika, że k v jest ciałem skończonym, a zatem A v (k v ) jest grupą skończoną. Stąd lim A v (k v )/l k = A v (k v ) l i drugie od góry poziome strzałki w diagramie z dowodu twierdzenia 2.1 prowadzą do naturalnego przekształcenia redukcji: (2.1) r v : A(K) Z l A v (k v ) l. Ponieważ mamy naturalny homomorfizm A(K) A(K) Z l to dostajemy przekształcenie redukcji: (2.2) r v : A(K) A v (k v ) l Zauważmy, że jądro przekształcenia A(K) A(K) Z l A(K) tor /A(K) l o rzędzie względnie pierwszym z l. jest grupa skończona Od tej pory w każdej sytuacji kiedy pracujemy z odwzorowaniami redukcji 2.1 lub 2.2 w domyśle zawsze mamy schemat abelowy A nad S taki, że A spełnia założenia wniosku 2.1 ponadto S Spec Z jest gładkim morfizmem, S jest normalnym schematem, którego ciało funkcyjne jest równe K. W sformułowaniach twierdzeń w tej pracy r v będzie rozumiane jak zwykle jako następujące przekształcenie redukcji: r v : A(S) A v (k v ). Tensorując to przekształcenie redukcji przez Z l dostajemy następujące odwzorowanie redukcji które będzie używane w dowodach tych twierdzeń i ich wniosków: r v : A(K) Z l A v (k v ) l. Niech A i dla i = 1,..., t, będą rozmaitościami abelowymi nad K takimi, że Hom K (A i, A j ) = 0 dla wszystkich j i. Niech P i1,..., P iri A i (K) będą liniowo niezależnymi punktami nad pierścieniem R i = End K (A i ), dla wszystkich 1 i t. Kolejne dwa lematy są oparte na metodach rozwiniętych w pracach [2] i [4], dlatego przypomnijmy oznaczenia: K l := K(A[l ]), G l := Gal(K l /K), H l := Gal( K/K l ), H l k := Gal( K/K l k), dla wszystkich k 1. Teraz zdefiniujmy

25 Twierdzenia o redukcji 19 dla wszystkich 1 i t i 1 j r j odwzorowanie: φ ij : H l T l (A i ), oznaczający granicę odwrotną odwzorowań Kummerowskich po k: φ (k) ij : H l k A i [l k ], ( ) φ (k) 1 ij (σ) := σ l k P ij 1 l k P ij Lemat 2.1. Jeżeli α 11,..., α 1r1 R 1 Z Z l,..., α t1,..., α trt R t Z Z l spełniają równanie t rt j=1 α ijφ ij = 0, wtedy α ij = 0 w R i, dla wszystkich 1 i t, 1 j r i. Dowód. Niech Ψ będzie złożeniem odwzorowań: A(K) Z Z l H 1 (G K ; T l (A)) H 1 (H l ; T l (A)) = Hom (H l ; T l (A)). Zauważmy, że Ψ(P ij 1) = φ ij. Z twierdzenia 1.12 grupa H 1 (G l ; T l (A)) jest grupą skończoną, a więc ker Ψ (A(K) Z l ) tor. Niech c := A(K) tor, ponieważ Ψ jest R Z Z l -homomorfizmem, mamy: t r t t r t 0 = α ij φ ij = Ψ α ij (φ ij 1). j=1 j=1 Stąd t rt j=1 α ij(φ ij 1) (A(K Z Z l ) tor. A więc t r t c α ij (φ ij 1) = 0 j=1 w A(K) Z l. Ponieważ P i1 1,..., P iri 1 są liniowo niezależne nad R i Z l w A i (K) Z l dostajemy cα ij = 0 a zatem: α i1 = = α iri = 0, dla wszystkich 1 i t ponieważ R i jest wolnym Z-modułem. Zdefiniujmy teraz następne odwzorowanie: Φ k i ( Φ k i (σ) := : H l k A i [l k ] r i φ (k) i1 ) (σ),..., φ(k) ir i (σ)

26 Twierdzenia o redukcji 20 i teraz z tego odwzorowania stwórzmy kolejne: Φ k : t A i [l k ] r i Φ k := oraz odwzorowanie w moduł Tate a: t Φ k i. Φ i : H l T l (A i ) r i Φ i (σ) := (φ i1 (σ),..., φ iri (σ)), t Φ : H l T l (A i ) r i t Φ := Φ i. Lemat 2.2. Obraz odwzorowania Φ jest zbiorem otwartym w t T l (A i ) r i. Dowód. Przyjmijmy oznaczenia T := t T l (A i ) r i, W := T Zl Q l = t V r i il, gdzie V il := T l (A i ) Zl Q l. Przez Φ 1 oznaczmy złożenie Φ z zanurzeniem T W oraz M := Im(Φ 1) W. Wiemy, że M, W są Q l [G l ]-modułami. Wystarczy pokazać, że ImΦ jest skończonego indeksu w T. Dlatego wystarczy pokazać, że Φ 1 jest na. Zauważmy, że V il jest półprostym Q l [G l ]-modułem, dla każdego 1 i t bo na mocy twierdzenia 1.9 t V l = V il i V l jest półprostym Q l [G l ]-modułem. Zauważmy, że G l działa na V il poprzez Gal (K(A i [l ])/K). Jeżeli Φ 1 nie byłoby odwzorowaniem na to istniałby rozkład W na Q l [G l ]-moduły M M 1, gdzie M 1 jest nietrywialnym modułem. Niech π M1 : W W będzie projekcją na M 1, a π i : W V il będzie projekcją, która odwzorowuje M 1 nietrywialnie. Oznaczmy π := π π M1. Mamy Hom Gl (V il ; V i l) = Hom K (A i ; A i ) Zl Q l = 0, dla wszystkich i i. Stąd dostajemy: r i π(v ij ) = β ij v ij, j=1 dla pewnych βij R i Q l. Ponieważ π jest nietrywialne na M 1 więc musi istnieć

27 Twierdzenia o redukcji 21 przynajmniej jedno niezerowe β ij. Jednak z drugiej strony: r i π i (Φ(h) 1) = β ij (φ ij (h) 1) = 0, j=1 dla wszystkich h H l. Ponieważ β ij R i Q l możemy przemnożyć ostatnią równość przez odpowiednią potęgę l i dostać: r i 0 = α ij (φ ij (h) 1), j=1 dla pewnych α ij R i Z l. Ponieważ następujące odwzorowania R i Z l R i Q l, Hom(H l, T l ) Hom(H l, V l ) są zanurzeniami(imbeddings) R Z l -modułów, dostajemy r i α ijφ ij = 0. Teraz z lematu 2.1 dostajemy, że α i1 = = α iri = 0 i stąd β i1 = = β iri = 0 ponieważ R jest beztorsyjny. Jednakże to jest sprzeczne z założeniem, że M 1 0 czyli M 1 = 0. Twierdzenie 2.2. Niech A = t A i będzie rozmaitością abelową nad ciałem skończenie generowanym K, gdzie Hom K (A i, A j ) = 0 dla wszystkich i j. Niech Q ij A i (K), dla 1 j r i będą liniowo niezależnymi punktami nad R i, dla wszystkich 1 i t. Wtedy dla każdego podzbióru otwartego U S, istnieje nieskończnie wiele punktów domkniętych v U takich, że r v (Q ij ) = 0 dla wszystkich 1 j r i i 1 i t. Dowód. Krok 1 Z lematu 2.2 istnieje stała m N taka, że t t l m T l (A i ) ri Φ(H l ) T l (A i ) r i. Niech Γ będzie R-podmodułem A(K) generowanym przez wszystkie punkty Q ij, to znaczy t r i Γ := {P A(K) : P = α ij Q ij, α ij R i }. j=1 Teraz dla k m rozważmy następujący diagram przemienny:

28 Twierdzenia o redukcji 22 G(K l ( 1 l Γ)/K l ) ( G K l k+1( 1 Γ)/K l k+1 l k+1 ( ) G K l k( 1 Γ)/K l k l k Φ t T l (A i ) r i /l m t T l (A i ) r i ) Φ k+1 ) t (A i [l k+1 ri ] /l m ( t = A i [l k+1 ] Φ k ) t (A i [l k ri ] /l m ( ) t A i [l k ri ] Odwzorowania Φ i Φ k, dla k 1 są indukowane przez odwzorowanie Kummer a. Dla k 0 obrazy odwzorowań Φ k i Φ k+1 są izomorficzne, a więc dolna lewa pionowa strzałka w diagramie jest odwzorowaniem na, ponieważ odwzorowanie Φ k jest iniektywne dla k 1. Rozważmy wieżę ciał: K l k+1 ( 1 l k+1 Γ ) ) ri K l k+1 ( 1 l k Γ ) ( 1 l k Γ ) K l k K l k+1 K l k Wtedy z powyższego argumentu dostajemy: K (2.3) K l k( 1 l k Γ) K l k+1 = K l k for k 0 Krok 2 Niech U 0 := Spec R 0 S będzie afinicznym zbiorem otwartym, gdzie R 0 jest lokalizacją R. Niech R 1 (odpowiednio R 2 ) będzie całkowitym domknięciem R 0 w K l k+1 ( 1 l k Γ) (odpowiednio w K l k ( 1 Γ)). Niech U 1 := Spec R 1 i U 2 := Spec R 2. l k

29 Twierdzenia o redukcji 23 Zauważmy, że U 0 możemy wybrać w taki sposób, że A(U 1 ) A(K l k+1 ( 1 lk Γ)) oraz A(U 2 ) A(K l k ( 1 Γ)). Zauważmy, że A(U 0) A(K). l Niech h G (K k l /K l k) będzie automorfizmem działającym na T l A jako homotetia 1 + l k u, dla pewnego u Z l. Taka homotetia istnieje, dla k 0 z twierdzenia Bogomolov a 1.6. Niech( h oznacza ( ) projekcję ) h do G (K l k+1/k l k). Z równości (2.3) możemy wybrać σ G K 1 l k+1 Γ /K taką, że σ l k Kl k ( 1 l k Γ) = id i σ K = l k+1 h. Z twierdzenia Chebotarev a 1.8 istnieje nieskończona rodzina punktów domkniętych v w U 0 takich, ( ) że dla każdego v U 0 istnieje ω 1 w U 1 nad v, dla którego Frobenius w K 1 l k+1 Γ /K jest równy σ. l k Niech l c ij będzie rzędem elementu r v (Q ij ) w grupie A iv (k v ) l, dla pewnej stałej c ij 0, a ω 2 będzie punktem domkniętym w U 2 leżącym pod ω 1. Rozważmy teraz następujący diagram: A i (K) r v Ai v (k v ) l = (2.4) A i (K l k( 1 Γ) l k ) r w2 Ai, v (k w2 ) l A i (K l k+1( 1 l k Γ) ) r w1 Ai v (k w1 ) l Zauważmy, że wszystkie pionowe strzałki są iniektywne. Niech R ij := 1 ( ( )) ( ( )) 1 1 l k Q ij A K l k l k Γ A K l k+1 l k Γ. Element r ω1 (R ij ) ma rząd l k+c ij w grupie A iω1 (k ω1 ) l, ponieważ l k+c ij r ω1 (R ij ) = l c ij r ω (Q ij ) = 0. Z wyboru v, dostajemy k v = k ω2, stąd element r ω1 (R ij ) pochodzi od elementu z A iv (k v ) l. Jeżeli c ij 1, wtedy: ( ) h l cij 1 r ω1 (R ij ) = (1 + l k u)l cij 1 r ω1 (R ij ), ponieważ l c ij 1 r ω1 (R ij ) A iω1 (k v )[l k+1 ]. Z drugiej strony, z wyboru v, Frobenius w ω 1 działa na l c ij 1 r ω1 (R ij ) poprzez h, a więc h ( l c ij 1 r ω1 (R i j) ) = l c ij 1 r ω1 (R ij ), ponieważ r ω1 (R ij ) A iv (k v ) l. Stąd l c ij 1 ur ω1 (Q ij ) = 0, ale to jest sprzeczne z tym, że rząd r ω1 (Q ij ) jest równy l c ij, zatem dostajemy c ij = 0. Wniosek 2.2. Niech A = t A i będzie rozmaitością abelową nad ciałem skończenie generowany K, gdzie Hom K (A i, A j ) = 0 dla wszystkich i j oraz niech l będzie liczbą pierwszą. Niech m N {0}. Niech P ij A i (K) będzie rodziną punktów li-

30 Twierdzenia o redukcji 24 niowo niezależnych nad R i, T ij A i [l m ] będzie dowolnym elementem torsyjnym dla wszystkich 1 j r i, 1 i t. Oznaczmy przez R całkowite domknięcie R w K(A[l m ]). Niech ω oznacza punkt domknięty w U nad v, gdzie U := γ 1 (U) i γ jest naturalnym odwzorowaniem γ : Spec R Spec R. Wtedy istnieje nieskończona rodzina punktów domkniętych v U, dla których zachodzi: r ω (T ij ) = r v (P ij ) w A iv (k v ) l, dla wszystkich 1 j r i, 1 i t, gdzie r ω odwzorowaniem redukcji. : A i (K(A i [l m ])) A iω (k ω ) l jest

31 Rozdział 3 Liniowa zależność punktów 3.1. Liniowa zależność Lemat 3.1. Niech A będzie rozmaitością [ ] abelową nad K taką, że A = A 1... A t i Q 1,..., Q r A(K). Zapiszmy Q i = Q j i. Jeżeli Q 1,..., Q r A(K) są liniowo 1 j t niezależne nad End K (A), wtedy Q j 1,..., Qj r są liniowo niezależne nad End K A j, dla wszystkich 1 j t. Dowód. Załóżmy, że istnieje j takie, że r α j i Qj i = 0 i αj i 0 dla pewnego i. Wtedy: 0 0 Q 1 i r.. α j i. Q j r.. i = α j i Qj i = Q t i 0 0 ale to przeczy założeniu, że Q i są liniowo niezależne nad End K (A). Lemat 3.2. Niech A będzie rozmaitością abelową nad K taką, że A = A 1... A t i Hom(A i, A j ) = {0}, dla wszystkich j i. Niech Q 1..., Q r A(K). Wtedy następujące warunki są równoważne: 1. Q 1,..., Q r A(K) są liniowo niezależne nad End K (A); [ ] 2. jeżeli Q i = Q j i, wtedy: 1 j t 1 j t Q j 1,..., Qj r są liniowo niezależne nad End K (A j ). 25

32 Liniowa zależność punktów 26 Dowód. (1) (2) Udowodnione w lemacie (3.1) (2) (1) Załóżmy, że istnieje α i 0, dla pewnego i oraz r α i Q i = 0. Wtedy z założenia, że Hom(A i, A j ) = {0}, dla wszystkich j i, mamy End(A) = t End(A i ). Zatem możemy zapisać równanie macierzowe: α 1 i 0 Q 1 r i α 1 i.... Q1 i 0. r.... α j i. Q j i = r α j i. Qj i = αi t Q t r i αi tqt i 0 Stąd, dla pewnego 1 j t istnieje α j i 0 takie, że r α j i Qj i = 0, co jest sprzeczne z (2). Zatem Q 1,..., Q r są liniowo niezależne nad End K (A). Od tej pory do końca pracy zakładamy, że R K, F r(r) = K, schemat S = Spec R jest normalnym schematem i Spec S Spec Z jest gładkim morfizmem. Lemat 3.3. Niech A będzie prostą rozmaitością abelową nad K, P, P 1,..., P r A(K) będą beztorsyjnymi punktami z A(K). Niech P 1,..., P r będą punktami liniowo niezależnymi nad R := End K (A) i niech Λ będzie Z-podmodułem generowanym przez P 1,..., P r. Niech U będzie dowolnym otwartym niepustym zbiorem w S. Jeżeli (3.1) r v (P ) r v (Λ), dla każdego domkniętego punktu v U, wtedy ap r RP i, dla pewnej liczby a Z \ {0}. Dowód. Na początku pokażę, że punkty P, P 1,..., P r nie mogą być liniowo niezależne nad R. Załóżmy, że te punkty są jednak liniowo niezależne nad R. Wtedy dla pewnej liczby pierwszej l, z twierdzenia 2.2 istnieje element v U taki, że r v (P ) ma duży rząd i r v (P i ) = 0 w A v (k v ) l, dla wszystkich 0 i r. Ale to przeczy założeniu (3.1). Stąd wiemy, że te punkty są liniowo zależne nad R, czyli istnieją elementy α, α 1,..., α r R i α 0 takie, że αp = α 1 P 1 + α r P r Ponieważ A jest rozmaitością prostą, więc istnieje izogenia dualna α taka, że

33 Liniowa zależność punktów 27 αα = a, dla pewnego a N. Wtedy mamy: Stąd ap r RP i. r ααp = αα i P i Lemat 3.4. Niech A = A 1 A s będzie rozmaitością abelową nad ciałem K, gdzie A i są podrozmaitościami prostymi zawartymi w A. Niech P, P 1,..., P r A(K) będą beztorsyjne oraz P 1,..., P r będą punktami liniowo niezależnymi nad pierścieniem R := End K (A) i niech Λ będzie Z-podmodułem generowanym przez P 1,..., P r. Jeżeli (3.2) r v (P ) r v (Λ), dla każdego domkniętego punktu v U, wtedy ap r RP i dla pewnej liczby a Z \ {0}. Dowód. W taki sam sposób jak w dowodzie lematu 3.3 możemy pokazać, że punkty P, P 1,..., P r nie są liniowo niezależne nad R. Mianowicie zapiszmy punkty P, P 1,..., P r następująco: P = P 1. P t, P i = Z lematu 3.1 wiemy, że punkty {P j i } 1 i r są liniowo niezależne nad pierścieniem R j := End(A j ), dla wszystkich 1 j t. Z założenia (3.2) dostajemy r v (P j ) = r α i r v (P j i ), dla wszystkich 1 j s. Z lematu 3.3 dla wszystkich 1 j s istnieją endomorfizmy α j i End K(A j ) i stałe a j N takie, że a j P = r α j i P j i. Przyjmując teraz a = NWW (a j : 1 j t) dostajemy ap j = r β j i P j i, dla pewnych βj i R j. Stąd dostajemy równanie co kończy dowód. a P 1. P t = P 1 i. P t i. β1 i r. β j k βi t Twierdzenie 3.1. Niech A będzie rozmaitością abelową nad ciałem K, P, P 1,..., P r A(K) będą punktami beztorsyjnymi z A(K). Niech P 1,..., P r będą punktami linio- P 1 i. P t i,

34 Liniowa zależność punktów 28 wo niezależnymi nad R := End K (A) i Λ będzie Z-podmodułem generowanym przez P 1,..., P r. Niech U będzie dowolnym otwartym niepustym podzbiorem w S. Jeżeli (3.3) r v (P ) r v (Λ), dla każdego domkniętego punktu v U, wtedy ap r RP i, dla pewnej liczby a Z \ {0}. Dowód. Z twierdzenia (1.4) i jego wniosku wiemy, że istnieje skończone rozszerzenie L/K takie, że izogenia ϕ : A A e 1 1 Aes s jest zdefiniowana nad L. Oznacz- s, gdzie B jest włóknem generycznym schematu abelowego oraz A i są włóknami generycznymi A i, które są prostymi podroz- my B = A e 1 1 Aes B/S = t A e i i maitościami abelowymi, które nie są parami izogeniczne. Możemy pracować nad L, ponieważ A(K) A(L) i A v (k v ) A w (k w ), dla wszystkich w v z U L, gdzie U L S jest takim zbiorem otwartym, że A i (U l ) A i (L), dla każdego i oraz U L Spec Z jest gładki. Z warunku (3.3) dostajemy (3.4) r w (P ) r w (Λ), dla wszystkich domkniętych punktów w U L. Punkty ϕ(p ), ϕ(p 1 ),..., ϕ(p r ) są beztorsyjne w B(L) oraz punkty ϕ(p 1 ),..., ϕ(p r ) są liniowo niezależne nad R L = End L(B). Z lematu 3.4 dostajemy: r aϕ(p ) = R Lϕ(P i ), dla pewnej stałej a N. Istnieje izogenia dualna ϕ : B A nad L taka, że ϕ ϕ = a N. Stąd dostajemy a ap R L P i + T, gdzie T A(L) tor. Z twierdzenia (2.2) istnieje nieskończenie wiele w U L takich, że r w (P i ) = 0 w A w (k w ), dla wszystkich 1 i r, czyli z warunku (3.4) dostajemy, że r w (T ) = 0, dla nieskończenie wielu w. Ale odwzorowanie r w jest iniektywne (twierdzenie 2.1) na punktach torsyjnych więc mamy T = 0. Oznaczmy b = a a, czyli teraz nasza równość przyjmuje postać bp = r β i P i, gdzie β i R L := End L (A), ponieważ zakładaliśmy, że L/K jest rozszerzeniem Galois. Dla P, P 1,..., P r A(K) mamy b G (L/K) P = r Tr L/K (β i )P i, ale Tr(β i ) R, dla wszystkich 1 i r. Twierdzenie 3.2. Niech A będzie rozmaitością abelową nad ciałem K, P, P 1,..., P r będą nietorsyjnymi punktami w A(K). Niech P 1,..., P r będą liniowo niezależne nad R K := End K (A), a Λ będzie Z-podmodułem generowanym przez P 1,..., P r. Załóż-

35 Liniowa zależność punktów 29 my, że (3.5) r v (P ) r v (Λ), dla każdego domkniętego punktu v U S, wtedy P Λ. Dowód. Z twierdzenia (3.1) mamy: r (3.6) ap = α i P i gdzie α i R := End K (A). Na początku załóżmy, że α i Z, dla wszystkich i = 1,..., r. Pokażemy, że P r ZP i. Niech l k będzie największą potęgą liczby pierwszej l, która dzieli a. Niech U S będzie ustalonym zbiorem otwartym. Twierdzenie 2.2 pokazuje, że dla każdego i istnieje nieskończona rodzina punktów domkniętych v U takich, że zachodzi r v (P 1 ) = = r v (P i 1 ) = r v (P i+1 ) = = r v (P r ) = 0 i r v (P i ) ma rząd równy l k w A v (k v ) l. Z równości (3.6) dostajemy ar v (P ) = α i P i. Z warunku (3.5) mamy r v (P ) = β i r v (P i ), dla β i Z. Stąd (α i aβ i )r v (P i ) = 0 w A v (k v ) l, czyli l k dzieli α i, dla wszystkich i = 1,..., r. Teraz z równania (3.5) dostajemy: (3.7) a l k P = r α i l k P i + T, dla pewnego punktu T A(K)[l k ]. Ponownie dzięki twierdzeniu 2.2 istnieje nieskończenie wiele punktów domkniętych v U takich, że r v (P i ) = 0 w A v (k v ) l, dla wszystkich i = 1,..., r oraz wiemy, że r v (P ) r Zr v (P i ), dla wszystkich v U K. Więc z równości (3.7) dostajemy, że r v (T ) = 0 dla nieskończenie wielu v, ale to przeczy iniektywności odwzorowania r v chyba, że T = 0, dlatego w końcu dostajemy: a l k P = r α i l k P i Powtarzając powyższy argument, dla wszystkich dzielników pierwszych a dostajemy tezę. Załóżmy teraz, że α i / Z, dla pewnego 1 i r. Dla dowolnej liczby pierwszej l zbadajmy działanie α i na T l (A). Z [18, Proposition 12.9] dostajemy

36 Liniowa zależność punktów 30 P αi (n) = deg(α i n), dla wszystkich n Z, gdzie P αi (t) jest wielomianem charakterystycznym automorfizmu α i na T l (A), a deg : End(A) Z jest funkcją stopnia. Stąd P αi (t) Z[t], P αi (t) jest wielomianem unormowanym i niezależnym od wyboru l. Niech E będzie ciałem rozkładu wielomianu P αi (t). Dla każdej liczby pierwszej l, która rozkłada się całkowicie w E, pierścień O E możemy traktować jako podpierścień pierścienia Z l. Jeżeli P αi (t) posiada co najmniej 2 różne pierwiastki, wtedy możemy znaleźć wektor u T l (A), który nie jest wektorem własnym α i. Wystarczy wziąć sumę dwóch wektorów własnych odpowiadających różnym wartościom własnym. Jeżeli P αi (t) posiada tylko jeden pierwiastek λ O E, wtedy P αi (t) = (x λ) 2g, a więc 2gλ Z, czyli λ O E Q = Z. Z twierdzenia 1.9 dostajemy α i λ Id Tl (A), a więc wielomian minimalny automorfizmu α i na T l (A) ma postać (t λ) k, dla 1 < k < 2g. Również w tym wypadku możemy znaleźć wektor u T l (A), który nie jest wektorem własnym automorfizmu α i. Przemnażając przez odpowiednią stałą (jeżeli to potrzebne), możemy założyć, że u / lt l (A). Stąd dla m N i m dostatecznie dużego dostajemy, że warstwa u+l m T l (A) nie jest wektorem własnym α i na T l (A)/l m T l (A). Jeżeli α i u c m u mod l m T l (A), dla c m Z/l m, m N, wtedy c m c m+1 mod l m, dla wszystkich m N. Ale to przeczy założeniu, że u nie jest wektorem własnym α i na T l (A). Niech T A[l m ] będzie obrazem warstwy u + l m T l (A) względem izomorfizmu R modułów T l (A)/l m T l (A) = A[l m ]. Oznaczmy L := K (A[l m ]) i niech R będzie całkowitym domknięciem R w L i U będzie przeciwobrazem U przy przekształceniu Spec R Spec R. Z twierdzenia 2.2 możemy wybrać punkt domknięty ω z U taki, że r ω (P j ) = 0 dla j i i r ω (P i ) = r ω (T ) w A ω (k ω ) l. Stąd dostajemy ar ω (P ) = α i r ω (T ). Z równości 3.5 istnieje stała d Z taka, że ar ω (P ) = adr ω (P i ) = adr ω (T ), z tego, że r ω jest iniektywne na punktach torsyjnych dostajemy: α i T = adt w A[l m ]. Ale to przeczy temu, że T nie jest wektorem własnym α i działającego na A[l m ]. Stąd musimy mieć, że α i Z, dla wszystkich 1 i r, co kończy dowód Problem liniowej zależności dla dowolnej podgrupy Λ A(K). W tym rozdziale uogólnimy twierdzenie A z pracy [4], dowód tego twierdzenia jest identyczny jak dowód w [4] jednakże, ponieważ praca [4] jeszcze się nie ukazała, dlatego zamieszczam go tutaj w całości.