Hotellingova T 2 statistika. Mia Franić 6. srpnja 2016.
|
|
- Laura Kowalik
- 4 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Hotellingova T statistika Mia Franić 6. srpnja 06.
2 Sadržaj Uvod 3. Linearni model više varijabli Hotellingova statistika Hotellingov T test za dva normalna uzorka 7. Distribucija od S pool Distribucija od T statistike Omjer vjerodostojnosti Primjer 3 3. Normalnost podataka Normalost podataka skupine Thyroxin Normalost podataka skupine Thiouracil Normalost podataka skupine Control Provedba testa omjera vjerodostojnosti
3 Uvod. Linearni model više varijabli Linearni model više varijabli je linearni model koji ima više varijabli odziva. Označavamo ih sa Y, Y,... Y q. Sa Y = (Y,..., Y q ) označimo q-dimenzionalni vektor odziva. Neka je sada Y, Y,... Y n slučanjni uzorak duljine n za vektor odziva Y, pri čemu je Yi = (Y, Y,... Y n ) i-to opažanje od Y. Slučajni uzorak za j -tu komponentu od Y možemo opisati na slijedeći način: Y j = Te vektore možemo zapisati matrično: Y j Y j. Y nj Y = Y Y Y 3... Y q Y Y Y 3... Y q Y 3 Y 3 Y Y 3q Y n Y n Y n3... Y nq. opažanje od Y. opažanje od Y n-to opažanje od Y slučajan uzorak za.komponentu slučajan uzorak za q-tu komponentu Zatim označimo vektop p varijabli poicaja sa x = (x,..., x p ). Slično je dana i matrica dizajna. x x x 3... x p x x x 3... x p X = x 3 x 3 x x 3p x n x n x n3... x np Sada linearni model više varijabli zapisujemo ovako Y = x B + ε () 3
4 . Hotellingova statistika Pretpostavimo da je Y, Y,... Y n slučajni uzorak iz modela N q (µ, Σ), Σ > 0. Model za taj uzorak danje sa Za neki zadani µ 0 želimo testirati Y = n µ + E () H 0 : µ = µ 0 H : µ µ 0 Da bismo to testirali treba nam test koji je analogan Studentovom T testu u jednodimenzionalnom slučaju.može se pkazati da su procjenitelji maksimalne vjrodostojnosti modela jednaki ˆΣ = n n ˆµ = Y n (Y i Y)(Y i Y) i= Definicija.. Neka su X i N q (µ i, Σ), i =,..., n nezavisni normalni slučajni vektori sa istom kovarijacijskom matricom. Kažemo da slučajna matrica reda q q W = X i Xi i= ima Wishartovu distribuciju sa n stupnjeva slobode,kovarijacijskom matricom Σ i matricom parametara necentralnosti Q = Σ n i= µ i µ i Pišemo W w d (n, Σ, Q). Ako je Q 0, onda kažemo da je distribucija centralna i pišemo W w d (n, Σ, Q). Hipotezna statistika je dok je pogreškovna P = (HY XB 0 ) (HY XB 0 ) = n(y µ 0 )(Y µ 0 ) w q (, Σ) G = nˆσ = (n )S w q (n, Σ) 4
5 Definicija.. Hotellingovu statistiku definiramo na sljedeći način: T = (n )tr(p G ) = n(y µ 0 )(Y µ 0 ) Lema. (Tehnička lema) Za A M p,q i B M q,p slijedi det(i p + AB) = det(i p + BA). Teorem.3. Omjer vjerodostojnosti za testiranje hipoteza H 0 : µ = µ 0 H : µ µ 0 dan je sa Dokaz. λ = ( + ) n n T. λ = det(i n + G P ) n = det ( I n + n S n(y µ 0 )(Y µ 0 ) = tehnička lema ( = det + n n (Y µ 0 ) S (Y µ 0 ) ( = + ) n n T ) n ) n QED Definicija.4. Slučajna varijabla ima necentralnu F-distribuciju sa parom stupnjeva slobode (m, n) i parametrom necentralnosti δ ako postoje nezavisne slučajne varijable X χ (m, δ), Y χ (n) takve da Pišemo Z F (m, n; δ). Z = D X/m Y/n Propozicija.5. Ako su Z N d (δ, I), W w d (m), m d, nezavisne, tada je m d + Z W Z F (d, m d + ; d δ ). (3) Propozicija.6. Za n q + imamo n q q uz δ = nσ (µ µ 0 ). n T F (q, n q; δ ) 5
6 Korolar.7. Uz iste pretpostavke na model (), ( α) %00 pouzdano područje za vektor parametara µ je slučajni elipsoid n(y µ 0 ) S (Y µ 0 ) (n )q n q f α(q, n q), gdje je f α (q, n q) ( α)-kvantil centralne F-distribucije, F (q, n q). Dokaz. Dokaz slijedi direktno iz propozicije.6 uz µ 0 = µ. QED 6
7 Hotellingov T test za dva normalna uzorka Neka su x, x,..., x n nezavisni jednakodistribuirani slučajni vektori td. x i N p (µ, Σ), i {,..., n}, te neka su y, y,..., y m nezavisni jednakodistribuirani slučajni vektori td. y i N p (τ, Σ), i {,..., m}, takve da x, x,..., x n i y, y,..., y m čine dva nezavisna uzorka. Pretpostavljamo da je Σ > 0. Definiramo uzoračke varijance uzoraka: te S pool = S x = n S y = m n (x i x)(x i x) i= m (y i y)(y i y) i= n + m [(n )S x + (m )S y ]. Distribucija od S pool Odredimo prvo distribuciju od S pool : Iz prethodnog razmatranja u poglavlju. znamo da je pogreškovna statistika jednaka G x = (n )S x te da je Wishartove distribucije, tj. (n )S x w p (n, Σ). Isto tako vrijedi G y = (m )S y w p (m, Σ). Definicija Wishartove distribucije povlači da postoje nezavisni slučajni vektori X,..., X n N p (0, Σ) i Y,..., Y m N p (0, Σ) tako da vrijedi n (n )S x = X i Xi (m )S y = i= m i= Y i Y i Definiramo Z i := X i za i =..., n i Z n +i := Y i za i =..., m. Sada imamo m + n nezavisnih jednako distribuiranih slučajnih vektora iz N p (0, Σ) za koje vrijedi: (n )S x + (m )S y = pa iz definicije Wishartove distribucije slijedi n+m i= Z i Z i (n )S x + (m )S y w p (n + m, Σ) (n + m )S pool w p (n + m, Σ) 7
8 . Distribucija od T statistike Odredimo dristibuciju od T koju koristimo za testiranje hipoteze H 0 : µ = τ H : µ τ. Sa x i y označimo matrični zapis uzoraka. T definiramo na sljedeći način ( T = n + ) (x y) S pool (x y) m ( m + n T = n + ) (x y) ((m + n )S pool) (x y) m Zapišemo modele: x = n µ + E x N np (0, Σ I n ) (4) y = n τ + E y N mp (0, Σ I m ) (5) U prethodnim razmatranjima smo pokazali da ukoliko je model dan sa Y = XB +E, da je tada ˆµ MLE = (X X) X Y. Dakle, ˆµ = ( n n ) n x = x i analogno se pokaže da je ˆτ = y. (4) n n x = µ + n n E x x = µ + n n E x (5) m n y = τ + m n E y y = τ + m n E y Označimo sa ε x = n n E x i ε y = m n E y, pa je ε x N p (0, n Σ) ε y N p (0, m Σ) Kako je x = µ + ε x te y = τ + ε y ( n + m T = n + ) (µ + ε x τ ε y ) m ((m + n )S pool ) (µ + ε x τ ε y ) ( n + m T = n + ) (µ + ε x τ ε y ) m Σ Σ ((m + n )Spool ) Σ Σ (µ + εx τ ε y ) 8
9 Primijetimo, ε x i ε y nezavisne, a pretpostavka zadatka nam daje još Σ > 0, pa slijedi ( ε x ε y N p (0, n + ) Σ) m. Sa predavanja znamo da vrijedi: A > 0 i X N p (µ, Σ) AX N p (Aµ, AΣA ), pa to možemo primijeniti i na ovaj slučaj. (µ τ + ε x ε y ) N p (µ τ), Σ n + m n + m Definiramo pa je Zatim definiramo Z := Σ (µ τ + ε x ε y ) (6) n + m Z N p Σ n + m (µ τ), I p W := (n + m )Σ Spool Σ (7) te nas zanima njena distribucija. Znamo da je da je (n+m )S pool Wishartove distribucije, pa postoji m + n nezavisnih jednako distribuiranih slučajnih vektora iz N p (0, Σ) za koje vrijedi: (n + m )S pool = n+m i= X i X i. W = (n + m )Σ Spool Σ ( n+m ) = Σ X i Xi = n+m i= i= Σ (Σ Xi )(Σ Xi ) Kako su X i N p (0, Σ) vrijedi Σ X i N p (0, I p ), pa je W w p (n + m ). Primijetimo da sa Z i W definiranim kao u (6) i (7) možemo pisati n + m T = Z W Z 9
10 te ako još definiramo δ := Σ (µ τ) n + m možemo iskoristiti propoziciju.5. Sada slijedi n + m p Z W Z F (p, n + m p ; p δ ) n + m p p.3 Omjer vjerodostojnosti n + m T F (p, n + m p ; δ ) Neka su X, X,..., X n nezavisni jednakodistribuirani slučajni vektori td X i N p (µ, Σ), Σ > 0. Tražimo test omjera vjerodostojnosti za testiranje hipoteze: gdje je H 0 : θ Θ 0 H 0 : µ = τ H : θ / Θ 0 H : µ τ Θ = Θ 0 Θ = {(µ 0, µ, Σ) : µ 0, µ M p,, Σ M n, Σ > 0} Θ 0 = {(µ 0, µ 0, Σ) : µ 0 M p,, Σ M n, Σ > 0} Θ = Θ c 0 Definicija.. Omjer vjerodostojnosti definiramo sa Λ = max L(θ) θ Θ 0 max L(θ) θ Θ pri čemu je L(θ) funkcija vjerodostojnosti. Zatim, sa X označimo matrični zapis uzorka, pa je funkcija distribucije od X jednaka { } f(x) = (π) np det(σ) n exp n (X i µ) Σ (X i µ) i= L(µ, Σ) = (π) np det(σ) n exp { tr(gσ )( n } )(X µ) Σ (X µ) pri čemu je G = (n )S. Takoder znamo da je ˆµ MLE = X i ˆΣ MLE = n n S = n G. L(ˆµ, ˆΣ) = (π) np det(ˆσ) n np e l(ˆµ, ˆΣ) = np log(π) n log det(ˆσ) np 0
11 Primijenimo sada gornje razmatranje na uzorke sa početka zadatka,tj. na x, x,..., x n i y, y,..., y m. Uzorci su nezavisni pa je: L(θ) =L(µ 0, µ, Σ) = (π) (n+m)p det(σ) n+m e tr(gxσ )tr(g yσ )( n )(x µ0) Σ (x µ 0)( m )(y µ) Σ (y µ ) l(µ 0, µ, Σ) = log(π) (n+m)p n + m log det(σ) tr((g x G y )Σ ) n (x µ 0) Σ (x µ 0 ) m (y µ ) Σ (y µ ) Maksimizramo funkciju l(µ 0, µ, Σ). Ekvivalentan problem je minimizacija funkcije g(µ 0, µ, Σ) = (n + m) log det(σ) + tr((g x G y )Σ )+ + (x µ 0 ) Σ (x µ 0 ) + m(y µ ) Σ (y µ ) A g je minimalna za ˆµ 0 = x, ˆµ = y i ˆΣ = n+m (G x + G y ) L(ˆµ 0, ˆµ, ˆΣ) = (π) (n+m)p det(ˆσ) n+m e (n+m)p Uzmimo sada θ Θ 0, tj. pretpostavljamo nultu hipotezu. Analogno slijedi L(θ) = L(µ 0, µ 0, Σ) = (π) (n+m)p det(σ) n+m e tr(gxσ )tr(g yσ )( n )(x µ0) Σ (x µ 0)( m )(y µ0) Σ (y µ 0) l(µ 0, µ 0, Σ) = log(π) (n+m)p n + m log det(σ) tr((g x G y )Σ ) n (x µ 0) Σ (x µ 0 ) m (y µ 0) Σ (y µ 0 ) Ponovo maksimiziramo l(µ 0, µ 0, Σ). Maksimum se postiže za ˆµ 0 = nx + my n + m ˆΣ 0 = n + m (G x + G y + ( n + m ) (x y)(x y) ) L(ˆµ 0, ˆµ, ˆΣ 0 ) = (π) (n+m)p det(ˆσ 0 ) n+m e (n+m)p
12 Pa je Λ = L(µ 0, µ 0, Σ) L(ˆµ 0, ˆµ, ˆΣ 0 ) = (detˆσ 0 ) n+m (detˆσ) n+m = ( n+m (G x + G y + ( n + m ) (x y)(x y) ) n+m (G x + G y ) = [Tehnička lema] ) n+m = det(i + ( n + m ) (x y) (G x G y ) (x y) m+n = det(i + ( n + m ) (x y) ((n + m )S pool ) (x y) m+n Λ = ( + n + m T ) m+n Peta jednakost slijedi iz tehničke leme za A = (G x G y ) (x y) i B = ( n + m ) (x y). Izračunajmo p-vrijednost testa omjera vjerodostojnosti. Ona je definirana na sljedeći način pv = P(Λ c) Zatim primijetimo da je omjer vjerodostojnosti strogo monotona funkcija od T m+n. Definiramo strogo padajuću funkcijuf(t) = ( + n+m t). Očito je Λ = f(t ). pv = P(Λ c) = P(f(T ) c) = P(T f (c)) pv = P( n + m p p(n + m ) T n + m p p(n + m ) f (c)) Pod pretpostavkom H 0 hipozete tj. n + m p p n + m T F (p, n + m p ) za dobivanje p-vrijednosti sada je dovoljno izračunati gornju vjerojatnost.
13 3 Primjer Dani su podaci o težinama triju grupa štakora. Prvoj grupi je stavljen Thyroxin u vodu, drugoj Thiouracil, a treća grupa je bila kontrolna grupa. Težine su mjerene tjedno tokom 5 tjedana i izražene su u gramima. Ispitajte jednakost očekivanja izmedu danih skupina. Thyroxin Time0 Time Time Time3 Time Thiouracil Time0 Time Time Time3 Time Control Time0 Time Time Time3 Time Normalnost podataka Kako bi smo ispitali jednakost očekivanja izmedu svake dvije skupine štakora, moramo koristiti omjer vjerodostojnost koji smo izveli u prethodnom poglavlju, a prvi korak do provodenja tog testa je ispitivanje da li podaci dolaze iz normalne distribucije. 3.. Normalost podataka skupine Thyroxin Jedan od dobrih indikatora normalnosti podataka je normalni vjerojatnosni graf. Na slici su dani normalni vjerojatnosni grafovi za podatke iz skupine Thyroxin. 3
14 Nolmalne vjerojastnosne grafove smo nacrtali u programskom jeziku R koristeći naredbe qqnorm(x) i qqline(y). Primjer koda za skupinu štakora kojima su davali Thyroxin u početnom mjerenju (Time0): > qqnorm ( t ( Thyroxin [ ] ), main = Time 0, sub= Thyroxin, xlab=, ylab= ) > q q l i n e ( t ( Thyroxin [ ] ), c o l= blue ) Zatim provodimo testove normalnosti. Koristimo Kolmogorov-Smirnovljev te Shapiro Wilkinsov test normalnosti. Ukoliko dobimo da je p-vrijednost manje od 0 % odbaciti ćemo hipotezu o normalnosti očekivanja. Dati ćemo primjer samo sa Time 0. import numpy import scipy.stats as stats x=numpy.loadtxt( Thy.txt,delimiter=, ) m=stats.kstest(x[0], norm ) n=stats.shapiro(x[:,0]) Kolmogoro-Smirnovljev test nam je dao p vrijednost = 0.0, dok smo Shapiro Wilkinsovim testom dobili da je p vrijednost = S obzirom da imamo malo podataka, K-S test nije najsretniji izbor, pa ćemo daljne odluke donositi na temelju Shapiro Wilkinsovog testa. Prokomentirajmo prvo grafički test. Podaci se lijepo grupiraju oko pravca uz manja odstupanja na rubovima, pa naslučijemo da podaci dolaze iz normalne distribucije, a to nam dodatno potvrduje i p-vrijednost dobivena S-W testom koja je veća od 0., pa ne odbacujemo nultu hipotezu o normalnosti podataka. Slično dobimo i za ostale Timove, jedinu razliku nam čini Time gdje smo dobili da je 4
15 p vrijednost = , pa ćemo u ovom slučaju odbaciti nultu hipotezu o normalnosti podataka. 3.. Normalost podataka skupine Thiouracil Normalne vjerojatnosne grafove smo dobili korištenjem naredbi qqnorm(x) i qqline(y) u R-u. import numpy import scipy.stats as stats x=numpy.loadtxt( Thi.txt,delimiter=, ) n=stats.shapiro(x[:,0]) Jednako kao i kod testiranja normalnosti kod skupine Thyroxin i ovdje provodimo Shapiro Wilkinsov test. Za Time 0 dobivamo p vrijednost = Slično dobivamo i za ostala vremena, pa u svim slučajevima ne odbacujemo hipotezu o onormalnosti podataka. 5
16 3..3 Normalost podataka skupine Control Ponovo provodenem Shapiro-Wilkinsovog test, te grafičkim ispitivanjem normalnosti podataka, ne odbacujemo nultu hipotezu o normalnosti podataka. 6
17 3. Provedba testa omjera vjerodostojnosti Sada kada smo provjerili da podaci više-manje dolaze iz normalne distribucije, možemo provesti test omjera vjerodostojnosti. Prvo usporedimo skupine Control i Thiouracil.(Kod je raden u programskom jeziku R). > ##omjer v j e r o d o s t o j n o s t i > # m=0, n=0, p=5 > #i n i c i j a l i z i r a m o uzoracke kov. matrice > S< c ( rep ( 0, 5 ) ) > S x< matrix ( S, nrow=5, n c o l =5) > S y< matrix ( S, nrow=5, n c o l =5) > > t h i mean< c (mean( t ( T h i o u r a c i l [ ] ) ), mean( t ( T h i o u r a c i l [ ] ) ), mean( t ( T h i o u r a c i l [ 3 ] ) ), mean( t ( T h i o u r a c i l [ 4 ] ) ), mean( t ( T h i o u r a c i l [ 4 ] ) ) ) > c mean< c (mean( t ( Control [ ] ) ), mean( t ( Control [ ] ) ), mean( t ( Control [ 3 ] ) ), mean( t ( Control [ 4 ] ) ), mean( t ( Control [ 5 ] ) ) ) > f o r ( i i n : 0 ) + S x < S x + ( t ( T h i o u r a c i l [ i,]) t h i mean)% % t ( t ( T h i o u r a c i l [ i,]) t h i mean) > S x< S x/ 9 > f o r ( i i n : 0 ) + S y < S y + ( t ( Control [ i,]) c mean) % % t ( t ( Control [ i,]) c mean) > S y < S y/ 9 > S pool < /(0+0 ) ((0 ) S x+(0 ) S y ) > T < ( / 0)ˆ( ) t ( t h i mean c mean)% % s o l v e ( S pool ) % %( t h i mean c mean) > lambda < (+( /(0+0 )) T)ˆ( 0/ ) > lambda [, ] [, ] e 06 > ## f ˆ( )=( lambda ˆ( /m+n) )(n+m ) > t e s t n a s t a t < (0+0 5 )/((0+0 ) 5) ( lambdaˆ( / 0) ) (0+0 ) > pv < pf ( t e s t n a s tat, 5, 4 ) > pv [, ] [, ] Dakle, dobili smo da je p-vrijednost jako mala, točnije jednaka je pa odbacujemo H 0 hipotezu u korst H na svim razumnim razinama značajnosti, tj. očekivana težina štakora u grupi tretiranoj Thiouracilom i kontorlnoj grupi nije ista. Analogno se pokaže da očekivane težine štakora izmedu grupa Thiouracil i Thyroxin, te izmedu grupa Thyroxin i Control nisu jednake. u ovom primjeru radimo sa malim brojem podataka. Kada bi imali veći broj možda bi se i pokazalo da su svi podaci normalno distribuirani 7
Neprekidnost i limes. Definicija. Neka je I R otvoreni interval i c I. Funkcija. f : I {c} R
4 Neprekidnost i es Definicija. Neka je I R otvoreni interval i c I. Funkcija f : I {c} R ima es u točki c jednak L R ako za svaki niz ( n ) u I {c} vrijedi n = c = n + f( n) = L. n + Može se pokazati
Bardziej szczegółowoBaze podataka (vježbe) SQL - uvod i osnove naredbe SELECT. Sveučilište u Zagrebu PMF Matematički odsjek
Baze podataka (vježbe) SQL - uvod i osnove naredbe SELECT Sveučilište u Zagrebu PMF Matematički odsjek Kako započeti? Ulogirajte se na student (bilo kojim ssh klijentom). Kako započeti? Ulogirajte se na
Bardziej szczegółowoPARCIJALNE DIFERENCIJALNE JEDNAČINE. , odnosno
PARCIJALNE DIFERENCIJALNE JEDNAČINE. Odrediti Košijevo rešenje parijalne diferenijalne jednačine : p + q + 0 koje adovoljava uslov : 0 i p + q + 0 Najpre moramo da prebaimo na drugu stranu! p + q Sada
Bardziej szczegółowoPojam matrice je, neovisno o primjenama, uveden potkraj 19. st., a povezuje se s imenima J.J. Sylvester-a i A. Cayley-a;
2. MATRICE I DETERMINANTE Matrice (pravokutne sheme brojeva) susrećemo kod raznih problema u matematici, ali i u kemiji, zici, ekonomiji..., jer se s njima relativno jednostavno racuna; Pojam matrice je,
Bardziej szczegółowoVježba 2 Regularni izrazi I (eng. regex)
Ponavljanje: tipovi podataka i funkcije Funkcija za provjeru regex-a REGEX Funkcije search() i match() Kvantifikatori Klase/razredi uzoraka Uvod u skupine (grupe) uzoraka Domaća zadaća Rad s regularnim
Bardziej szczegółowoIdea. θ = θ 0, Hipoteza statystyczna Obszary krytyczne Błąd pierwszego i drugiego rodzaju p-wartość
Idea Niech θ oznacza parametr modelu statystycznego. Dotychczasowe rozważania dotyczyły metod estymacji tego parametru. Teraz zamiast szacować nieznaną wartość parametru będziemy weryfikowali hipotezę
Bardziej szczegółowoLinearna regresija. 7. prosinca 2012.
Linearna regresija 7. prosinca 2012. > setwd("/home/marina/statisticki praktikum/vjezbe9") > forbes = read.table("forbes.dat") > hooker = read.table("hooker.dat") > forbes V1 V2 1 194.5 20.79 2 194.3 20.79
Bardziej szczegółowoMetody systemowe i decyzyjne w informatyce
Metody systemowe i decyzyjne w informatyce Ćwiczenia lista zadań nr 2 autorzy: A. Gonczarek, J.M. Tomczak Metody estymacji ML Zad. 1 Pojawianie się spamu opisane jest zmienną losową x o rozkładzie dwupunktowym
Bardziej szczegółowoSpis treści Wstęp Estymacja Testowanie. Efekty losowe. Bogumiła Koprowska, Elżbieta Kukla
Bogumiła Koprowska Elżbieta Kukla 1 Wstęp Czym są efekty losowe? Przykłady Model mieszany 2 Estymacja Jednokierunkowa klasyfikacja (ANOVA) Metoda największej wiarogodności (ML) Metoda największej wiarogodności
Bardziej szczegółowoMetody systemowe i decyzyjne w informatyce
Metody systemowe i decyzyjne w informatyce Ćwiczenia lista zadań nr 2 autorzy: A. Gonczarek, J.M. Tomczak Metody estymacji Zad. 1 Pojawianie się spamu opisane jest zmienną losową x o rozkładzie dwupunktowym
Bardziej szczegółowoDarko Drakulić. Osnove programskog jezika C sa zbirkom zadataka -skripta-
Darko Drakulić Osnove programskog jezika C sa zbirkom zadataka -skripta- Rad u Code::Blocks okruženju Da bi se napisao i izvršio program napisan na programskom jeziku C, potreban je tekst editor u kojem
Bardziej szczegółowoRozpoznawanie obrazów
Rozpoznawanie obrazów Ćwiczenia lista zadań nr 5 autorzy: A. Gonczarek, J.M. Tomczak Przykładowe problemy Klasyfikacja binarna Dla obrazu x zaproponowano dwie cechy φ(x) = (φ 1 (x) φ 2 (x)) T. Na obrazie
Bardziej szczegółowoMetoda najmniejszych kwadratów
Metoda najmniejszych kwadratów Przykład wstępny. W ekonomicznej teorii produkcji rozważa się funkcję produkcji Cobba Douglasa: z = AL α K β gdzie z oznacza wielkość produkcji, L jest nakładem pracy, K
Bardziej szczegółowo1. UVOD U TEORIJU FORMALNIH JEZIKA
1. UVOD U TEORIJU FORMALNIH JEZIKA 17 1.1 ZNAKOVI I NIZOVI ZNAKOVA 19 1.2 DEFINICIJA FORMALNOG JEZIKA 20 Formalni jezik 20 Svojstvo prefiksa 21 Operacije nad jezicima 21 Produkt jezika 21 Zatvarač jezika
Bardziej szczegółowoMetody systemowe i decyzyjne w informatyce
Metody systemowe i decyzyjne w informatyce Ćwiczenia lista zadań nr 3 Metody estymacji. Estymator największej wiarygodności Zad. 1 Pojawianie się spamu opisane jest zmienną losową y o rozkładzie zero-jedynkowym
Bardziej szczegółowoRozpoznawanie obrazów
Rozpoznawanie obrazów Ćwiczenia lista zadań nr 7 autorzy: A. Gonczarek, J.M. Tomczak Przykładowe problemy Klasyfikacja binarna Dla obrazu x zaproponowano dwie cechy φ(x) = (φ 1 (x) φ 2 (x)) T. Na obrazie
Bardziej szczegółowoWYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 4 - zagadnienie estymacji, metody wyznaczania estymatorów
WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 4 - zagadnienie estymacji, metody wyznaczania estymatorów Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 4 1 / 23 ZAGADNIENIE ESTYMACJI Zagadnienie
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD listopada 2009
STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 7 23 listopada 2009 Wykład 6 (16.XI.2009) zakończył się zdefiniowaniem współczynnika korelacji: E X µ x σ x Y µ y σ y = T WSPÓŁCZYNNIK KORELACJI ρ X,Y = ρ Y,X (!) WSPÓŁCZYNNIK
Bardziej szczegółowoWeryfikacja hipotez statystycznych
Weryfikacja hipotez statystycznych Przykład (wstępny). Producent twierdzi, że wadliwość produkcji wynosi 5%. My podejrzewamy, że rzeczywista wadliwość produkcji wynosi 15%. Pobieramy próbę stuelementową
Bardziej szczegółowoWeryfikacja hipotez statystycznych
Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta
Bardziej szczegółowo2.1 Przykład wstępny Określenie i konstrukcja Model dwupunktowy Model gaussowski... 7
Spis treści Spis treści 1 Przedziały ufności 1 1.1 Przykład wstępny.......................... 1 1.2 Określenie i konstrukcja...................... 3 1.3 Model dwupunktowy........................ 5 1.4
Bardziej szczegółowoPorównanie modeli regresji. klasycznymi modelami regresji liniowej i logistycznej
Porównanie modeli logicznej regresji z klasycznymi modelami regresji liniowej i logistycznej Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski Małgorzata Bogdan Instytut Matematyki i Informatyki, Politechnika
Bardziej szczegółowoRóżne rozkłady prawdopodobieństwa
Różne rozłady prawdopodobieństwa. Rozład dwupuntowy D(p). Zmienna losowa ξ ma rozład D(p), jeżeli P p {ξ = 0} = p oraz P p {ξ = } = p. Eξ = p D ξ = p( p). Rozład dwumianowy Bin(n, p). Zmienna losowa ξ
Bardziej szczegółowoStatystyka Matematyczna Anna Janicka
Statystyka Matematyczna Anna Janicka wykład X, 9.05.206 TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH II: PORÓWNYWANIE TESTÓW Plan na dzisiaj 0. Przypomnienie potrzebnych definicji. Porównywanie testów 2. Test jednostajnie
Bardziej szczegółowoMetoda momentów i kwantyli próbkowych. Wrocław, 7 listopada 2014
Metoda momentów i kwantyli próbkowych Wrocław, 7 listopada 2014 Metoda momentów Momenty zmiennych losowych X 1, X 2,..., X n - próba losowa. Momenty zmiennych losowych X 1, X 2,..., X n - próba losowa.
Bardziej szczegółowoPOMPY SUCHOSTOJĄCE Pionowe pompy wielostopniowe (2900 obr/min)
SVI 201 / 03 E 03T/A 2 320,00 107360010 4F 0,3 3 x 230/400 1 3 106 SVI 202 / 03 E 03T/A 2 367,00 107360020 4F 0,3 3 x 230/400 2 3 106 SVI 203 / 03 E 03T/A 2 409,00 107360030 4F 0,45 3 x 230/400 3 3 106
Bardziej szczegółowodt dt 2 2t = 3 (1 + t). y (x) = x. ] b) x = sin 2 t, y = cos 2 t [ 1 ] c) x = e 2t cos 2 t, y = e 2t sin 2 t [ tg t tg (t + π/4) ]
168 Glava 3. Diferencijalni račun 487. Funkcija y = f(x) je zadata parametarskim jednačinama: Naći y (x). x = 2t t 2, y = 3t t 3 (t > 1). y (x) = dy dx = dy dt dt dx = ẏ ẋ = 3 3t2 2 2t = 3 (1 + t). 2 Iz
Bardziej szczegółowoStatystyka w przykładach
w przykładach Tomasz Mostowski Zajęcia 10.04.2008 Plan Estymatory 1 Estymatory 2 Plan Estymatory 1 Estymatory 2 Własności estymatorów Zazwyczaj w badaniach potrzebujemy oszacować pewne parametry na podstawie
Bardziej szczegółowoMetoda największej wiarogodności
Wprowadzenie Założenia Logarytm funkcji wiarogodności Metoda Największej Wiarogodności (MNW) jest bardziej uniwersalną niż MNK metodą szacowania wartości nieznanych parametrów Wprowadzenie Założenia Logarytm
Bardziej szczegółowoMATEMATIČKA ANALIZA 2
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET ELEKTROTEHNIKE I RAČUNARSTVA ZAVOD ZA PRIMIJENJENU MATEMATIKU MATEMATIČKA ANALIZA 2 Zadaci za vježbu Zagreb, 23. Sadržaj Funkcije više varijabli 3 2 Diferencijalni račun
Bardziej szczegółowov = v i e i v 1 ] T v =
v U = e i,..., e n ) v = n v i e i i= e i i v T v = = v v n v n U v v v +q 3q +q +q b c d XY X +q Y 3q r +q = r 3q = r +q = r +q = r 3q = r +q = E = E +q + E 3q + E +q = k q r+q 3 + k 3q r 3q 3 b V = kq
Bardziej szczegółowoAlgoritmi i strukture podataka
Algoritmi i strukture podataka vežbe 4 Mirko Stojadinović 27. oktobar 2013 1 Hip Hip je binarno stablo koje zadovoljava uslov hipa: ključ svakog čvora veći je ili jednak od ključeva njegovih sinova. Pored
Bardziej szczegółowo... i statystyka testowa przyjmuje wartość..., zatem ODRZUCAMY /NIE MA POD- STAW DO ODRZUCENIA HIPOTEZY H 0 (właściwe podkreślić).
Egzamin ze Statystyki Matematycznej, WNE UW, wrzesień 016, zestaw B Odpowiedzi i szkice rozwiązań 1. Zbadano koszt 7 noclegów dla 4-osobowej rodziny (kwatery) nad morzem w sezonie letnim 014 i 015. Wylosowano
Bardziej szczegółowoGranica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywsitej
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 3 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus listopada 07r. Granica i ciągłość funkcji Granica funkcji rzeczywistej jednej
Bardziej szczegółowoWażne rozkłady prawdopodobieństwa
Część V Dodatki 59 Dodatek A Ważne rozkłady prawdopodobieństwa Rozkład DWUMIANOWY X Bin(n, p) Funkcja prawdopodobieństwa: f(k) = P(X = k) = ( ) n p k ( p) n k, k (k = 0,,..., n). Momenty: EX = np, VarX
Bardziej szczegółowoMatematička analiza 4
Matematička analiza 4 zadaci za vežbu Dragan S. Dor dević 21.3.213. 2 Sadržaj 1 Integrali 5 1.1 Dvostruki integrali........................ 5 1.2 Trostruki integrali......................... 9 1.3 Nesvojstveni
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 3. Klasyfikacja: modele probabilistyczne
Wrocław University of Technology WYKŁAD 3 Klasyfikacja: modele probabilistyczne Maciej Zięba Politechnika Wrocławska Klasyfikacja Klasyfikacja (ang. Classification): Dysponujemy obserwacjami z etykietami
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa i statystyka
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Momenty Zmienna losowa jest wystarczająco dokładnie opisana przez jej rozkład prawdopodobieństwa. Względy praktyczne dyktują jednak potrzebę znalezienia charakterystyk
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych.
Statystyka Wykład 10 Wrocław, 22 grudnia 2011 Testowanie hipotez statystycznych Definicja. Hipotezą statystyczną nazywamy stwierdzenie dotyczące parametrów populacji. Definicja. Dwie komplementarne w problemie
Bardziej szczegółowoPEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA
PEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Trójkę (Ω, F, P ), gdzie Ω, F jest σ-ciałem podzbiorów Ω, a P jest prawdopodobieństwem określonym na F, nazywamy przestrzenią probabilistyczną. 2. Rodzinę F
Bardziej szczegółowoGranica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywistej
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 3 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus 3 listopada 06r. Granica i ciągłość funkcji Granica funkcji rzeczywistej jednej
Bardziej szczegółowoPrzestrzeń probabilistyczna
Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty zbiór Σ rodzina podzbiorów tego zbioru P funkcja określona na Σ, zwana prawdopodobieństwem. Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 4. Podejmowanie decyzji dla modeli probabilistycznych Modelowanie Gaussowskie. autor: Maciej Zięba. Politechnika Wrocławska
Wrocław University of Technology WYKŁAD 4 Podejmowanie decyzji dla modeli probabilistycznych Modelowanie Gaussowskie autor: Maciej Zięba Politechnika Wrocławska Klasyfikacja Klasyfikacja (ang. Classification):
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 5. 2 listopada 2009
STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 5 2 listopada 2009 Poprzedni wykład: przedział ufności dla µ, σ nieznane Rozkład N(µ, σ). Wnioskowanie o średniej µ, gdy σ nie jest znane Testowanie H : µ = µ 0, K : µ
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna. Wykład VI. Zesty zgodności
Statystyka matematyczna. Wykład VI. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści 1 Testy zgodności 2 Test Shapiro-Wilka Test Kołmogorowa - Smirnowa Test Lillieforsa Test Jarque-Bera Testy zgodności Niech x
Bardziej szczegółowoDruxtvo matematiqara Srbije REXENjA ZADATAKA OPXTINSKOG TAKMIQENjA IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija AC + AC 1.
Druxtvo matematiqara Srbije REXENj ZDTK OPXTINSKOG TKMIQENj IZ MTEMTIKE Prvi razred kategorija. Rexenje : Taqka K je sredixte duжi,teje + K =. Vektori K i M su kolinearni, tj. K = λ M ikakoje sredixte duжi
Bardziej szczegółowoStatystyka. Wykład 2. Krzysztof Topolski. Wrocław, 11 października 2012
Wykład 2 Wrocław, 11 października 2012 Próba losowa Definicja. Zmienne losowe X 1, X 2,..., X n nazywamy próba losową rozmiaru n z rozkładu o gęstości f (x) (o dystrybuancie F (x)) jeśli X 1, X 2,...,
Bardziej szczegółowozadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych
zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych 1. [E.A 5.10.1996/zad.4] Funkcja gęstości dana jest wzorem { 3 x + 2xy + 1 y dla (x y) (0 1) (0 1) 4 4 P (X > 1 2 Y > 1 2 ) wynosi:
Bardziej szczegółowoWYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 4 / 9 Przekształcenia zmiennej losowej X
Bardziej szczegółowoDefinicja 1 Statystyką nazywamy (mierzalną) funkcję obserwowalnego wektora losowego
Rozdział 1 Statystyki Definicja 1 Statystyką nazywamy (mierzalną) funkcję obserwowalnego wektora losowego X = (X 1,..., X n ). Uwaga 1 Statystyka jako funkcja wektora zmiennych losowych jest zmienną losową
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka r.
Zadanie. Niech (X, Y) ) będzie dwuwymiarową zmienną losową, o wartości oczekiwanej (μ, μ, wariancji każdej ze współrzędnych równej σ oraz kowariancji równej X Y ρσ. Staramy się obserwować niezależne realizacje
Bardziej szczegółowoUdruženje matematičara TK - (b a) (c a) + C. a + b c = x, b + c a = y, c + a b = z. x + y = 2b, z + x = 2a i y + z = 2c.
Prvi razred Zadaci i rješenja Zadatak 1. Odrediti vrijednost izraza w = (a + b c) (b + c a) (c + a b) + + (a c) (b c) (b a) (c a) (c b) (a b). Rješenje 1. Izraz je definisan ako i samo ako je a b, b c
Bardziej szczegółowoKARTA PRODUKTU. A Nazwa dostawcy Amica S.A. B1 Identyfikator modelu
KARTA PRODUKTU Informacje w karcie produktu podano zgodnie z rozporządzeniem delegowanym Komisji (UE) nr 65/2014 uzupełniającym dyrektywę Parlamentu Europejskiego i Rady 2010/30/UE w odniesieniu do etykiet
Bardziej szczegółowo1.1 Statystyka matematyczna Literatura Model statystyczny Preliminaria... 3
Spis treści Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Statystyka matematyczna...................... 1 1.2 Literatura.............................. 1 1.3 Model statystyczny......................... 2 1.4 Preliminaria.............................
Bardziej szczegółowo1 Estymacja przedziałowa
1 Estymacja przedziałowa 1. PRZEDZIAŁY UFNOŚCI DLA ŚREDNIEJ (a) MODEL I Badana cecha ma rozkład normalny N(µ, σ) o nieznanym parametrze µ i znanym σ. Przedział ufności: [ ( µ x u 1 α ) ( σn ; x + u 1 α
Bardziej szczegółowoWykład 5 Teoria eksperymentu
Wykład 5 Teoria eksperymentu Wrocław, 22.03.2017r Co to jest teoria eksperymentu? eksperyment - badanie jakiegoś zjawiska polegające na celowym wywołaniu tego zjawiska lub jego zmian oraz obserwacji i
Bardziej szczegółowoNajczęściej spotykane rozkłady dyskretne:
I. Rozkład dwupunktowy: Najczęściej spotykane rozkłady dyskretne: Def. Zmienna X ma rozkład dwupunktowy z prawdopodobieostwem 1 przyjmuje tylko dwie wartości, tzn. P(X = x 1 ) = p i P(X = x 2 ) = 1 p =
Bardziej szczegółowoPodstawowe rozkłady zmiennych losowych typu dyskretnego
Podstawowe rozkłady zmieych losowych typu dyskretego. Zmiea losowa X ma rozkład jedopuktowy, skocetroway w pukcie x 0 (ozaczay przez δ(x 0 )), jeżeli P (X = x 0 ) =. EX = x 0, V arx = 0. e itx0.. Zmiea
Bardziej szczegółowoRozdział 2: Metoda największej wiarygodności i nieliniowa metoda najmniejszych kwadratów
Rozdział : Metoda największej wiarygodności i nieliniowa metoda najmniejszych kwadratów W tym rozdziale omówione zostaną dwie najpopularniejsze metody estymacji parametrów w ekonometrycznych modelach nieliniowych,
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna. Wykład III. Estymacja przedziałowa
Statystyka matematyczna. Wykład III. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści Rozkłady zmiennych losowych 1 Rozkłady zmiennych losowych Rozkład χ 2 Rozkład t-studenta Rozkład Fischera 2 Przedziały ufności
Bardziej szczegółowoMETODY ESTYMACJI PUNKTOWEJ. nieznanym parametrem (lub wektorem parametrów). Przez X będziemy też oznaczać zmienną losową o rozkładzie
METODY ESTYMACJI PUNKTOWEJ X 1,..., X n - próbka z rozkładu P θ, θ Θ, θ jest nieznanym parametrem (lub wektorem parametrów). Przez X będziemy też oznaczać zmienną losową o rozkładzie P θ. Definicja. Estymatorem
Bardziej szczegółowoO testach wielowymiarowej normalności opartych na statystyce Shapiro-Wilka
O testach wielowymiarowej normalności opartych na statystyce Shapiro-Wilka Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Wisła 2012, 7.12.2012 Plan prezentacji 1 Wprowadzenie
Bardziej szczegółowoMatematička analiza 4
Matematička analiza 4 zadaci za vežbu Dragan S. Dor dević 1.3.13. Glava 1 Integrali Izračunati sledeće dvostruke integrale: 1.1. I(a) = G ( + y) a, gde je skup G odre den nejednačinama: >, y >, < a +
Bardziej szczegółowoZadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II Podać przykład rozkładów prawdopodobieństwa µ n, µ, takich, że µ n µ,
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II -. Udowodnij, że dla dowolnych liczb x n, x, δ xn δ x wtedy i tylko wtedy, gdy x n x.. Wykaż, że n n k= δ k/n λ, gdzie λ jest miarą Lebesgue a na [, ].. Podać przykład
Bardziej szczegółowo0. OSNOVE
0.1 JEZIK Operacije nad jezicima Simboli i nizovi simbola Klasifikacija jezika Regularni skupovi SVOJSTVA REGULARNIH SKUPOVA 0.2 REGULARNI IZRAZI Algebarska svojstva regularnih izraza 0.3 GRAMATIKE Gramatika
Bardziej szczegółowoRekurencyjna przeliczalność
Rekurencyjna przeliczalność Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Funkcje rekurencyjne Jerzy Pogonowski (MEG) Rekurencyjna przeliczalność Funkcje rekurencyjne
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna - Seria 1
Statystyka matematyczna - Seria. Niech Z oznacza zmienną losową o rozkładzie standardowym normalnym. Korzystając z tablic znaleźć (a) P (0 Z 2.7) (d) P (Z.37) (b) P ( Z 2.5) (e) P ( 2.5 Z 0) (c) P (Z.75)
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez cz. I
Wykład 11 Testowanie hipotez cz. I TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Hipoteza statystyczna jest to przypuszczenie dotyczące nieznanej własności rozkładu prawdopodobieństwa badanej cechy populacji. W zadaniach
Bardziej szczegółowoRozdział 9 Przegląd niektórych danych doświadczalnych o produkcji hadronów. Rozpraszanie elastyczne. Rozkłady krotności
Rozdział 9 Przegląd niektórych danych doświadczalnych o produkcji hadronów. Rozpraszanie elastyczne. Rozkłady krotności Krotności hadronów a + b c 1 + c +...+ c i +...+ c N Reakcje ekskluzywne: wszystkie
Bardziej szczegółowoĆWICZENIA Z ARYTMETYKI TEORETYCZNEJ 1. LICZBY NATURALNE. x + 1 = x, x + y = (x + y). ( y + (z + w) ) + w = x + (d) jeśli (x) = 1, to x = 1,
ĆWICZENIA Z ARYTMETYKI TEORETYCZNEJ 1. LICZBY NATURALNE. Dodawanie liczb naturalnych. Przypomnijmy, że dodawanie "+" jest działaniem scharakteryzowanym jednoznacznie przez warunki: (1 + ) (2 + ) x + 1
Bardziej szczegółowoq (s, z) = ( ) (λ T) ρc = q
M O D E L O W A N I E I N Y N I E R S K I E n r 4 7, I S S N 1 8 9 6-7 7 1 X W Y Z N A C Z A N I E O D K S Z T A C E T O W A R Z Y S Z Ą C Y C H H A R T O W A N I U P O W I E R Z C H N I O W Y M W I E
Bardziej szczegółowoWykład 7 Teoria eksperymentu
Wykład 7 Teoria eksperymentu Wrocław, 19.04.2017r Układ niekompletnych bloków losowych Zrównoważone niekompletne bloki: Gdy wszystkie porównania wyników są jednakowo ważne należy tak wybrać kombinacje
Bardziej szczegółowo1 Relacje i odwzorowania
Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X
Bardziej szczegółowoRezonanse w deekscytacji molekuł mionowych i rozpraszanie elastyczne atomów mionowych helu. Wilhelm Czapliński Katedra Zastosowań Fizyki Jądrowej
ezonanse w deekscytacj moekuł monowych ozpaszane eastyczne atomów monowych heu Whem Czapńsk Kateda Zastosowań Fzyk Jądowej . ezonanse w deekscytacj moekuł monowych µ He ++ h ++ Heµ h J ν h p d t otacyjna
Bardziej szczegółowoMetody systemowe i decyzyjne w informatyce
Metody systemowe i decyzyjne w informatyce Ćwiczenia lista zadań nr 3 autorzy: A. Gonczarek, J.M. Tomczak Zbiory i funkcje wypukłe Zad. 1 Pokazać, że następujące zbiory są wypukłe: a) płaszczyzna S = {x
Bardziej szczegółowoWEKTORY I WARTOŚCI WŁASNE MACIERZY. = λ c (*) problem przybliżonego rozwiązania zagadnienia własnego dla operatorów w mechanice kwantowej
WEKTORY I WARTOŚCI WŁASNE MACIERZY Ac λ c (*) ( A λi) c nietrywialne rozwiązanie gdy det A λi problem przybliżonego rozwiązania zagadnienia własnego dla operatorów w mechanice kwantowej A - macierzowa
Bardziej szczegółowoWprowadzenie Model ARMA Sezonowość Prognozowanie Model regresji z błędami ARMA. Modele ARMA
Ważną klasę modeli dynamicznych stanowią modele ARMA(p, q) Ważną klasę modeli dynamicznych stanowią modele ARMA(p, q) Modele tej klasy są modelami ateoretycznymi Ważną klasę modeli dynamicznych stanowią
Bardziej szczegółowoZadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II Podaj przykład rozkładów prawdopodobieństwa µ n, µ, takich, że µ n µ,
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II -. Udowodnij, że dla dowolnych liczb x n, x, δ xn δ x wtedy i tylko wtedy, gdy x n x.. Wykaż, że n n k= δ k/n λ, gdzie λ jest miarą Lebesgue a na [, ].. Podaj przykład
Bardziej szczegółowoNiech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX = 4 i EY = 6. Rozważamy zmienną losową Z =.
Prawdopodobieństwo i statystyka 3..00 r. Zadanie Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX 4 i EY 6. Rozważamy zmienną losową Z. X + Y Wtedy (A) EZ 0,
Bardziej szczegółowoWYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 13 i 14 - Statystyka bayesowska
WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 13 i 14 - Statystyka bayesowska Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 13 i 14 1 / 15 MODEL BAYESOWSKI, przykład wstępny Statystyka
Bardziej szczegółowoSPOTKANIE 3: Regresja: Regresja liniowa
Wrocław University of Technology SPOTKANIE 3: Regresja: Regresja liniowa Adam Gonczarek Studenckie Koło Naukowe Estymator adam.gonczarek@pwr.wroc.pl 22.11.2013 Rozkład normalny Rozkład normalny (ang. normal
Bardziej szczegółowoMETODY SZTUCZNEJ INTELIGENCJI algorytmy ewolucyjne
METODY SZTUCZNEJ INTELIGENCJI algorytmy ewolucyjne dr hab. inż. Andrzej Obuchowicz, prof. UZ Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Uniwersytet Zielonogórski A. Obuchowicz: MSI - algorytmy ewolucyjne
Bardziej szczegółowoEkonometria. Modelowanie zmiennej jakościowej. Jakub Mućk. Katedra Ekonomii Ilościowej
Ekonometria Modelowanie zmiennej jakościowej Jakub Mućk Katedra Ekonomii Ilościowej Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 8 Zmienna jakościowa 1 / 25 Zmienna jakościowa Zmienna ilościowa może zostać zmierzona
Bardziej szczegółowomgr inż. Paweł Szeptyński Podstawy wytrzymałości materiałów i mechaniki układów prętowych 07 Teoria stanu naprężenia i odkształcenia
NAPRĘŻENIE Teoria stanu naprężenia i odkształcenia Naprężeniem nazywamy gęstość powierzchniowych sił wewnętrznych obrazujących oddziaływanie jednej części ciała na drugą, po dokonaniu jego myślowego rozcięcia.
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA
STATYSTYKA MATEMATYCZNA Rafał Kucharski Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 08/9 Zarządzanie e-mail: www: konsultacje: rafal.kucharski@ue.katowice.pl http://web.ue.katowice.pl/rkucharski/ Piątki, 5:0-6:0,
Bardziej szczegółowoZestaw zadań z Równań różniczkowych cząstkowych I 18/19
Zestaw zadań z Równań różniczkowych cząstkowych I 18/19 Zad 1. Znaleźć rozwiązania ogólne u = u(x, y) następujących równań u x = 1, u y = 2xy, u yy = 6y, u xy = 1, u x + y = 0, u xxyy = 0. Zad 2. Znaleźć
Bardziej szczegółowoBezgradientowe metody optymalizacji funkcji wielu zmiennych. informacje dodatkowe
Bezgradientowe metody optymalizacji funkcji wielu zmiennych informacje dodatkowe Wybór kierunku poszukiwań Kierunki bazowe i ich modyfikacje metody bezgradientowe. Kierunki oparte na gradiencie funkcji
Bardziej szczegółowoNumeryczne metody optymalizacji Optymalizacja w kierunku. informacje dodatkowe
Numeryczne metody optymalizacji Optymalizacja w kierunku informacje dodatkowe Numeryczne metody optymalizacji x F x = min x D x F(x) Problemy analityczne: 1. Nieliniowa złożona funkcja celu F i ograniczeń
Bardziej szczegółowoWYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 11 i 12 - Weryfikacja hipotez statystycznych
WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 11 i 12 - Weryfikacja hipotez statystycznych Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 11 i 12 1 / 41 TESTOWANIE HIPOTEZ - PORÓWNANIE
Bardziej szczegółowov = v i e i v 1 ] T v = = v 1 v n v n [ ] U [x y z] T (X,Y,Z)
v U = e i,..., e n ) v = n v i e i i= e i i U = {X i } i=,n v T v = = v v n v n U x y z T X,Y,Z) v v v = 2 T A, ) b = 3 4 T B, ) c = + b b d = b c c d d 2 + 3b e b c = 5 3 T b d = 5 T c c = 34 d = 26 d
Bardziej szczegółowoWiększość zadań zamieszczonych na tej liście pochodzi z książki Modele i metody statystyki matematycznej w zadaniach, autorstwa Alicji Jokiel-Rokity
Większość zadań zamieszczonych na tej liście pochodzi z książki Modele i metody statystyki matematycznej w zadaniach, autorstwa Alicji Jokiel-Rokity i Ryszarda Magiery. W tym zbiorze można również znaleźć
Bardziej szczegółowoDane zgrupowane: każda obserwacja należy do jednej grupy i jest tylko jeden czynnik grupujący
1 Wstęp 1.1 Czym są efekty losowe? Jednokierunkowa ANOVA Na poprzednich zajęciach mówiliśmy o modelach liniowych, o jedno- i dwuczynnikowej analizie wariancji. W tych modelach estymowaliśmy nieznane wartości
Bardziej szczegółowoStatystyka w analizie i planowaniu eksperymentu
21 marca 2011 Zmienna losowa - wst ep Przeprowadzane w praktyce badania i eksperymenty maja bardzo różnorodny charakter, niemniej jednak wiaż a sie one z rejestracja jakiś sygna lów (danych). Moga to być
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne
Metody probabilistyczne Teoria estymacji Jędrzej Potoniec Bibliografia Bibliografia Próba losowa (x 1, x 2,..., x n ) Próba losowa (x 1, x 2,..., x n ) (X 1, X 2,..., X n ) Próba losowa (x 1, x 2,...,
Bardziej szczegółowoEksploracja Danych. Testowanie Hipotez. (c) Marcin Sydow
Testowanie Hipotez Wprowadzenie Testy statystyczne: pocz. XVII wieku (prace J.Arbuthnotta, liczba urodzeń noworodków obu płci w Londynie) Testowanie hipotez: Karl Pearson (pocz. XX w., testowanie zgodności,
Bardziej szczegółowoINTEGRALI I TEORIJA POLJA. - zadaci za vežbu -
INTEGRALI I TEORIJA POLJA - zadaci za vežbu -. Izračunati direktno krivolinijski integral: ydx x dy zdz duž presečne krive površi: C z x a y b i x a y b x a y b, orjentisane u pozitivnom smeru ako se posmatra
Bardziej szczegółowoPorównanie wielu rozkładów normalnych
Porównanie wielu rozkładów normalnych Założenia:. X i N(µ i, σi 2 ), i =,..., k 2. X,..., X k są niezależne Czy µ = = µ k? Czy σ 2 = = σ 2 k? Próby: X i,..., X ini, i =,..., k X i, varx i, s 2 i = varx
Bardziej szczegółowoCentralne twierdzenie graniczne
Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Universytet Zielonogórski Wykład 4 Ważne uzupełnienie Dwuwymiarowy rozkład normalny N (µ X, µ Y, σ X, σ Y, ρ): f XY (x, y) = 1 2πσ X σ Y 1 ρ 2 { [ (x ) 1
Bardziej szczegółowoProcesy Stochastyczne - Zestaw 1
Procesy Stochastyczne - Zestaw 1 Zadanie 1 Niech ξ i η bed a niezależnymi zmiennymi losowymi o rozk ladach N (0, 1). Niech X = ξ +η i Y = ξ η. Znaleźć rozk lad (X, Y ) i rozk lad warunkowy L X ( Y ). Zadanie
Bardziej szczegółowoGenerowanie liczb o zadanym rozkładzie. ln(1 F (y) λ
Wprowadzenie Generowanie liczb o zadanym rozkładzie Generowanie liczb o zadanym rozkładzie wejście X U(0, 1) wyjście Y z zadanego rozkładu F (y) = 1 e λy y = ln(1 F (y) λ = ln(1 0,1563 0, 5 0,34 Wprowadzenie
Bardziej szczegółowo